ESTÁTICA

Ing. Luis Ballena Rentería

MECÁNICA MECANICA DE CUERPOS RIGIDOS

ESTATICA DINAMICA

MECANICA DE CUERPOS DEFORMABLES

MECANICA DE FLUIDOS

RESISTENCIA DE MATERIALES

FLUIDOS COMPRESIBLES FLUIDOS INCOMPRESIBLES

HIDRAULICA

DIAGRAMA CONCEPTUAL

Estática de Partículas: Fuerzas en un plano.

Concepto. Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y se caracteriza por su punto de aplicación, magnitud o módulo y dirección, sin embargo las fuerzas sobre una partícula tienen el mismo punto de aplicación.

Línea de acción

Cabeza

P

ColaO

20°

Objetivos:

Sumar fuerzas y resolverlas en componentes usando la ley del paralelogramo.

Expresar la fuerza y la posición en forma vectorial cartesiana y explicar cómo determinar la magnitud y el sentido del vector.

Presentar el producto punto para determinar el ángulo entre dos vectores o la proyección de un vector en otro.

Escalares y vectores

La mayor parte de las cantidades físicas en mecánica pueden serexpresadas matemáticamente por medio de escalares y vectores.

Escalar. Una cantidad caracterizada por un número positivo o negativo se denomina un escalar. Por ejemplo, masa, volumen y longitud son cantidades escalares empleadas a menudo en estática.

Vector. Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección y sentido . En estática, las cantidades vectoriales con frecuencia son posición, fuerza y momento.

Operaciones vectoriales

Multiplicación y división de un vector por un escalar. La multiplicación o la división de un vector por, o entre, un escalar cambiará la magnitud del vector. El sentido del vector cambiará si el escalar es negativo.

2A

A -1.5A

0.5A

Multiplicación y división escalar

Suma de vectores. Dos vectores A y B, pueden sumarse para

formar un vector “resultante” R = A + B usando la ley delparalelogramo.

A

B

Ley del Paralelogramo

También podemos sumar B a A usando una construccióntriangular, un caso especial de la ley del paralelogramo, endonde el vector B se suma al vector A en forma de “cabeza a cola”, esto es conectando la cabeza de A a la cola de B. La resultante R se extiende desde la cola de A a la cola de B. De manera similar, R, también puede ser obtenida sumando A a B. Por comparación, se ve que suma vectorial es conmutativa, es decir: R = A + B = B + A

B

A

A

B

Construcción triangular

Resta de vectores. La diferencia resultante entre dosvectores A y B del mismo tipo puede ser expresada como

R’ = A - B = A + (- B)

dado que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la suma vectorial también se aplica a la resta vectorial.

- B

AR’

B - B

A oR’ A

Vectores Ley del paralelogramo Construcción triangular

Suma de un Sistema de Fuerzas Coplanares. Para determinar la resultante de más de dos fuerzas, es más fácil encontrar las componentes de cada fuerza a lo largo de ejes especificados, sumar esas componentes algebraicamente, y luego formar la resultante, en vez de formar la resultante de las fuerzas por aplicación sucesiva de la ley de paralelogramo.

yy

F

FyF’x

x F’yFx x

F = Fx + Fy

F’

F’ = F’x + F’y

Notación Vectorial Cartesiana. es posible representarlas componentes de una fuerza en términos de vectores unitarios cartesianos.

En dos dimensiones, los vectores unitarios cartesianos i y j se usan para designar las direcciones de los ejes x y y, respectivamente.

y

jF

Fy

xFx i

-j

y

F’y

F’x

i

x

F’

F = Fxi + Fyj F’ = F’xi + F’y(-j) ó F’ = F’xi - F’yj

Resultantes de Fuerzas Coplanares. Para resolver

este problema usando notación vectorial cartesiana, cada fuerza se representa primero como un vector cartesiano. Ej. Figura:

y

F2

F1

F2x

x

F3

F2y F1y

F3y

F3x

F1x

F1 = F1xi + F1yj

F2 = -F2xi + F2yj

F3 = F3xi - F3yj

El vector resultante es, por tanto:

FR = F1 + F2 + F3

FR= F1xi + F1yj -F2xi + F2yj + F3xi - F3yj

FR = (F1x - F2X + F3X) i + (F1y + F2Y – F3Y) j

FR = (FRX) i + (FRY)j

FRX = F1X – F2X + F3X Ò FRX = ΣFX

FRY = F1Y + F2Y - F3Y FRY = ΣFY

FUERZA RESULTANTE:

FR = F²RX + F²RY

DIRECCION:

θ = tan◌¹ F R Y

FRX

Vectores Cartesianos

•Sistema coordenado derecho.

Se dice que un sistema rectangular, o sistema coordenado cartesiano, es derecho si el pulgar de la mano derecha señala en la dirección del eje z positivo cuando los dedos de la mano derecha se enrollan alrededor de este eje y están dirigidos del eje x positivo hacia el eje y positivo.

Además, de acuerdo con esta regla, el eje z para un problema bidimensional como el de la figura, estará dirigido hacia afuera, perpendicularmente a la página.

• Componentes rectangulares de un vector.Un vector A puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes coordenados x, y, z, dependiendo de cómo esté orientado con respecto a los ejes. En general, cuando A está dirigido dentro de un octante del marco x, y, z,, entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, podemos resolver el vector en componentes como A = A' + Az y luego A' = Ax + Ay. Combinando estas ecuaciones, A es representado por la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares,

zA = Ax + Ay + Az

Az

A

Ay

yAx

A’

x

Vector unitario.

La dirección de A puede ser especificada usando un vector unitario. Este vector se llama así porque tiene una magnitud de 1. Si A es un vector con una magnitud A ≠ O, entonces el vector unitario que tenga la misma dirección que A se representa mediante

u A = A de manera que: A = A u A

A

Como A es de un cierto tipo, por ejemplo, un vector fuerza, se acostumbra usar el conjunto apropiado de unidades para su descripción. La magnitud A también tiene este mismo conjunto de unidades; por tanto, a partir de la ecuación anterior, el vector unitario no tendrá dimensiones ya que las unidades se cancelarán. La ecuación siguiente indica, por tanto, que el vector A puede ser expresado en términos de su magnitud y su dirección separadamente; esto es, A (un escalar positivo) define la magnitud de A, y uA

(un vector sin dimensiones) define la dirección y el sentido de A.

A

AuA

1

Vectores unitarios cartesianos.

En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos, i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. Como se indicó anteriormente, el sentido (o cabeza de la flecha) de esos vectores será descrito analíticamente por un signo más o menos, dependiendo de si los vectores señalan a lo largo de los ejes x, y o z positivos o negativos. En la figura se muestran los vectores unitarios cartesianos positivos

z

k

yi j

x

Representación de un vector cartesiano.

A = Ax i + Ay j + Az k

Magnitud de un vector cartesiano.

A = V A²x + A²y + A²z

Dirección de un vector cartesiano.

Cos α = Ax Cos β = Ay cos γ = Az

A A A

Estos números se conocen como cosenos directores deA

Una vez obtenidos, los ángulos directores coordenados α, β y γ, pueden ser determinados entonces mediante los cosenos inversos.

Una manera fácil de obtener los cosenos directores de A es formar

un vector unitario en la dirección de A. Si A está expresado en forma

vectorial cartesiana. A = Axi + Ayj + Azk

z z z

y yy

x x x

uA = A = Ax i + Ay j + Azk

A A A A

Cos² α + Cos² β + cos² γ = 1

Finalmente, si la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de A son dados, A puede ser expresado en la forma vectorial cartesiana como.

A = A uA

A = A cos αi + A cos βj + A cos γk

A = Axi + Ayj + Azk

Suma y Resta de Vectores Cartesianos

Las operaciones vectoriales de suma y resta de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores son expresados en términos de

sus componentes cartesianas

R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k

La resta vectorial, un caso especial de la suma vectorial, requiere simplemente una resta escalar de las respectivas componentes i, j, k de A o B.

R' = A - B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k

Vectores de Posición. El vector posición r se define como un vector fijo que localiza un punto en el espacio con relación a otro punto.

La manera más fácil de formular las componentes de un vector de posición es determinando la distancia y la dirección que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y, z, al pasar de la cola a la cabeza del vector.

Por ejemplo, si r se extiende desde el origen de coordenadas, O, hasta el punto P( x,y,z), entonces r puede ser expresado en forma de vector cartesiano como

r = xi + yj +zkz

zkr

o xi

P (x,y,z)

yjy

x

En el caso más general, el vector posición puede estar dirigido desde el punto A hasta el punto B en el espacio.

z

rA(xA,yA,zA)

rA

x

B(xB,yB,zB)

rB

y

(xB - xA)i

z

r

A

(yB - yA)j

B (zB - zA)k

y

x

r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + ( zB – zA)k

Producto Punto

El producto punto se usa para determinar el ángulo entre dos vectores o la

proyección de un vector en una dirección específica.

Si los vectores A y B están expresados en forma cartesiana, el producto punto se determina multiplicando las respectivas componentes escalares, x,y,z y sumando algebraicamente los resultados, esto es

A .B = AxBx + AyBy + AzBz

A partir de la definición del producto punto, el ángulo formado entre las

colas de los vectores A y B es θ = cos◌¹ (A . B / AB)

La magnitud de la proyección del vector A a lo largo de una línea cuya dirección está especificada por u se determina con el producto punto.

AII = A.uA

θB