Estructuras Algebráicas

5/11/2018 Estructuras Algebr icas - slidepdf.com

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Introducción a lasestructuras algebraicas

Introducción a las estructuras algebraicas − Javier Lapazaran, 7-2010 − 1

Se dice que un conjunto, con ciertas operaciones, tiene cierta estructura algebraica,

si en ellos se satisfacen las propiedades que definen tal estructura.

CONTENIDOS

Con este documento pretendemos ofrecer al alumno una introducción a lasestructuras algebraicas que va a encontrar en el resto de la asignatura y a lo largode la carrera.

Comenzaremos viendo qué son las operaciones internas y algunas de laspropiedades más destacables que en ellas podremos encontrar (asociativa,conmutativa...). A partir de ellas definiremos las diferentes estructuras algebraicasque vamos a abordar.

• Por un lado analizaremos la estructura de álgebra de Boole, ya conocida.

• Por otro, seguiremos un esquema que parte de la estructura más básica, con unaúnica operación interna sin más requisitos (conocida por diferentes autores como

grupoide, magma..., en la que no nos detendremos), para ir añadiéndole algunaspropiedades (semigrupo, monoide y grupo), pasando a continuación a estructurasalgebraicas con dos operaciones internas (anillo y cuerpo).

Llegados a ese punto, tan sólo habremos abordado estructuras algebraicas conoperaciones internas, y no abarcaremos más en este tema, aunque hablaremos delas operaciones externas, que nos serán necesarias más adelante para estudiarotras estructuras algebraicas a las que nos dedicaremos con mayor profundidad enel curso: los espacios vectoriales.




Operación internaDado un conjunto A ≠ ∅ , denominamos operación o ley de composición interna ∗ sobre A a cualquier aplicación de × A en A.

:

,

A A A

a b c a b

∗ × →

→ = ∗( )

Notas:

• Notemos que una operación interna es una aplicación. Es decir:, !a b A A c A c a b∀ ∈ × ∃ ∈ = ∗( )

, !a b A c A c a b∀ ∈ ∃ ∈ = ∗

O, lo que es lo mismo, * habrá de cumplir:definida.

, , de resultado único.

su resultado pertenece a .

a b A A

A

−⎧⎪

∀ ∈ × −⎨⎪

−⎩

( )

• Notación:"a b∗ " denota el resultado (la imagen) de "operar" a con b, mediante laoperación ∗ , en ese orden. La notación funcional, " ,a b∗ ( ) " es equivalente.El alumno está más habituado a utilizar la notación funcional con letras( f, g , h...) que con símbolos (∗ , +, ⋅ ...):

:

, ,

f A A A

a b c f a b

× →

→ =( ) ( )

Ejemplos sobre operaciones internas• Suma en N, en Z, en Q, en R, en I, en C... (y la suma de números pares)

• Producto en N, en Z, en Q, en R, en I, en C... (en los pares, en los impares)

• ¿División en R?

• División en 0− .

• ¿División en N?, ¿y en 0− ?

• Dado un conjunto referencial o universal Ω, la unión en Ω( )P .

[ Ω( )P es el conjunto de las partes de Ω]

• Suma de matrices en pxq

M ( ) .

• ¿El producto de matrices?

• Producto de matrices cuadradas del mismo tamaño,n

M ( ) .

• ¿Raíz cuadrada en ?, ¿y en + ?, ¿y en ?

• La composición de funciones, , es operación interna en el conjunto de lasfunciones reales de variable real, : f = → ( ) F :

:, f g h f g

× →→ =( )

F F F ( ) ( ) ( ) .




Tablas de Cayley para definir operaciones internas en conjuntos finitosSiendo ∗ una operación interna definida sobre el conjunto finito A, podremosrepresentarla mediante una tabla cuadrada con tantas filas (y columnas) comoelementos tenga A. Siendo , , , A a b n= ,

a b n

a a a a b a n

b b a b b b n

n n a n b n n

∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ i

Ejemplos sobre operaciones internas con tablas de Cayley

• Representamos comon

al conjunto de los posibles restos en la división de un

entero entre n (con n ∈ ). 0,1, , 1n n= − .• Simbolizamos por

n+ la suma en

n , que definimos de modo que represente el

resto de la suma de dos enteros cuyos restos estamos operando conn

+ .

• Simbolizamos porn

⋅ el producto enn

, que definimos de modo que represente

el resto del producto de dos enteros cuyos restos estamos operando conn

⋅ .

• Las tablas de Cayley de 2 y 3 serán:

+2 0 1 •2 0 1 +3 0 1 2 •3 0 1 2

0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 01 1 0 1 0 1 1 1 2 0 1 0 1 22 2 0 1 2 0 2 1

Nota:

En 2 , el 0 representa los pares (resto 0 al dividir 2÷ ) y el 1 a los impares.

• En 4 , 5 y 6 tendremos:

+4 0 1 2 3 •4 0 1 2 3 +5 0 1 2 3 4 •5 0 1 2 3 40 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 42 2 3 0 1 2 0 2 0 2 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 33 3 0 1 2 3 0 3 2 1 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2

4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

+6 0 1 2 3 4 5 •6 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 01 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 52 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 43 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3

4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 25 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1




Notas:

• Nótense las diferencias entre los casos en que n es primo o compuesto.• En adelante, denotaremos con + y ⋅ la suma y el producto en

n . Así,

hablaremos de ,n

+( ) y ,n

⋅( ) .

• Tomemos el conjunto 1,2, , A n= … , formado por los naturales menores o igualesa uno dado n. Existen n! formas diferentes de ordenar los n elementos en n-uplas.Cada una de estas n-uplas define una aplicación biyectiva,

i p , de A en A, que

recibe el nombre de permutación de A, y para la que es habitual utilizar lasiguiente representación,

1 2

1 2i

i i i

n p

p p p n

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( ).

Denominemosn

S al conjunto de las n! posibles permutaciones de los n elementos

de A: 1 2 !, , ,n n

S p p p= …

La composición de dos permutaciones es también permutación (ya sabemos que lacomposición de aplicaciones es operación interna). El resultado de la aplicación

i j p p , es el de aplicar primero

j p y sobre su resultado aplicar

i p .

Como ejemplo, estudiemos la composición de permutaciones en 3S , conjunto de

las 6 permutaciones de los 3 elementos de A = 1,2,3.

3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , ,

1 2 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1 3 1 2S

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

De modo que:• 1 p es la función identidad I 1 1 11 1, 2 2, 3 3 p p p= = =⎡ ⎤⎣ ⎦( ) ( ) ( ) ;

• 2 p intercambia los dos primeros elementos [genera (2,1,3) sobre (1,2,3)];

• 3 p intercambia los elementos primero y tercero [genera (3,2,1) sobre (1,2,3)];

• 4 p intercambia los elementos segundo y tercero [genera (1,3,2) sobre (1,2,3)];

• 5 p realiza un paso de rotación a la izquierda [genera (2,3,1) sobre (1,2,3)];

• 6 p realiza un paso de rotación a la derecha [genera (3,1,2) sobre (1,2,3)];

Razonando de esta manera es sencillo evaluar el resultado de cada composiciónde permutaciones de 3S ,

1 1i i i p p p p p= = ; 2 3 5 p p p= ; 3 2 6 p p p= ...

La tabla de Cayley de 3 ,S ( ) será:

p1 p2 p3 p4 p5 p6

p1 p1 p2 p3 p4 p5 p6

p2 p2 p1 p5 p6 p3 p4

p3 p3 p6 p1 p5 p4 p2

p4 p4 p5 p6 p1 p2 p3

p5 p5 p4 p2 p3 p6 p1

p6 p6 p3 p4 p2 p1 p5




Alguna propiedad de interés con una operación internaSea A un conjunto no vacío y ∗ una operación interna en él definida.

• La operación ∗ es conmutativa si y sólo si , ,a b A a b b a∀ ∈ ∗ = ∗ .

• La operación ∗ es asociativa si y sólo si , , ,a b c A a b c a b c∀ ∈ ∗ ∗ = ∗ ∗( ) ( ) .

Nota:

Si la operación ∗ es asociativa, el resultado no depende de la colocación delos paréntesis, mientras se respete el orden de los términos. Podremos, porello, prescindir del uso de los paréntesis y expresar a b c∗ ∗ .

• El elemento n A∈ es neutro de ∗( ), A , si y sólo si ,a A n a a n a∀ ∈ ∗ = ∗ = . Y, por lo tanto, , A ∗( ) tiene elemento neutro, n, si y sólo si

, ,n A a A n a a n a∃ ∈ ∀ ∈ ∗ = ∗ = .

Nota:Démonos cuenta de que no es lo mismo

, ,n A a A n a a n a∃ ∈ ∀ ∈ ∗ = ∗ = .que , ,a A n A n a a n a∀ ∈ ∃ ∈ ∗ = ∗ = .En el primer caso se habla de un mismo n que para todo a cumple....En el segundo se dice que para cada a hay un n que cumple... pero no tienepor qué ser el mismo n para todo a.

Proposición

Si existe elemento neutro en , A ∗( ) , necesariamente es único.

Demostración (por reducción al absurdo)Supongamos que hubiera dos, 1n y 2n . Por la definición del neutro,

,a A n a a n a∀ ∈ ∗ = ∗ = ,

1 2 1 1 2 2

a n n a a

a n a a n

n n n n n n

∗ ∗

∗ ∗

= ∗ = ∗ =

, luego 1 2n n= .

• Si en , A ∗( ) existe neutro, n, decimos que el elemento a A∈ admite simétrico para la operación ∗ , si y sólo si ' , ' 'a A a a a a n∃ ∈ ∗ = ∗ = .

En tal caso, a A′ ∈ es elemento simétrico de a A∈ .

Nótese que al ser a′ simétrico de a, también a es simétrico de a′ . Luego a es a′ ′( ) .

• El elemento a A∈ es idempotente en ∗( ), A , si y sólo si a a a∗ = .Si todo elemento de A es idempotente, decimos que en , A ∗( ) se cumple lapropiedad de idempotencia.

• El elemento b A∈ es absorbente en ∗( ), A , si y sólo si ,a A a b b a b∀ ∈ ∗ = ∗ = .

• Se dice que el elemento a A∈ es simplificable o regular si y sólo si, ,x y A a x a y x y∀ ∈ ∗ = ∗ ⇒ = (simplificable por la izda.),

, ,x y A x a y a x y∀ ∈ ∗ = ∗ ⇒ = (simplificable por la dcha.).Si todo elemento de A es simplificable, decimos que A es regular para ∗ , o que en

, A ∗( ) es válida la ley de simplificación (véase en propiedades de los grupos).




Nota:

Con un elemento a no simplificable podría ocurrir a x a y∗ = ∗ , con x y≠ .Ejemplos:

• En ,⋅( ) , a x a y x y⋅ = ⋅ ⇒ = (puede ser 0a = ).El cero no es regular en ,⋅( ) .

• ,× ( )J , con J definida por , , , , , , ,a b c d a b c d a c b d∀ ∈ × = ⋅ ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )J .El 3,0( ) no es regular en ,× ( )J .

• En 4 ,⋅( ) a x a y x y⋅ = ⋅ ⇒ = , ya que para 0a = y 2a = puede ocurrir:

0 1 0 2 1 2⋅ = ⋅ ⇒ = ; 2 0 2 2 0 2⋅ = ⋅ ⇒ = ; 2 1 2 3 1 3⋅ = ⋅ ⇒ = .El 0 y el 2 son elementos no simplificables en 4 ,⋅( ) .

Alguna propiedad de interés con dos operaciones internas

Sea A un conjunto no vacío sobre el que están definidas las operaciones internas © y H , a las que denominaremos suma y producto, respectivamente.Denominamos elemento cero al elemento neutro de la suma y elemento unidad (uno) al elemento neutro del producto.

• La operación H es distributiva respecto de © (el producto es distributivo

respecto de la suma) si y sólo si. , , ,a b c a b a c

a b c Ab c a b a c a

=⎧∀ ∈ ⎨

=⎩

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

H © H © H

© H H © H

.

De igual manera:

La operación © es distributiva respecto de H (la suma es distributiva respecto delproducto) si y sólo si. , , ,

a b c a b a ca b c A

b c a b a c a

=⎧∀ ∈ ⎨

=⎩

© H © H ©

H © © H ©

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

• El elemento a A∈ es invertible si y sólo si existe en A el inverso (simétricorespecto del producto) de a.

invertible , 1a b A a b b a⇔ ∃ ∈ = =H H (en tal caso, 1b a−= )

Nota:Hemos expuesto ya casi todas las propiedades que vamos a utilizar de lasoperaciones internas. Sin embargo, preferimos que la definición de elementocomplementario y las propiedades relacionadas con la complementación,como son las leyes de Morgan, aparezcan en el entorno en que van a serutilizadas, dentro de la estructura de álgebra de Boole.




Álgebra de BooleSe dice que un conjunto B, con las operaciones internas F y , tiene estructura deálgebra de Boole, o que , , B ( )F es un álgebra de Boole, si y sólo si se verifica lasiguiente axiomática (postulados de Huntington):

b1) Propiedades conmutativas: , ,a b B a b b a∀ ∈ =F F ,, ,a b B a b b a∀ ∈ = .

b2) Elementos neutros: , B a B a a∃Φ∈ ∀ ∈ Φ =F ,, B a B a a∃Ω∈ ∀ ∈ Ω = .

b3) Complementario de cada elemento: , , ,a B a B a a a a∀ ∈ ∃ ∈ = Ω = ΦF .

Dicho en dos pasos: , , ,a B b B a b a b∀ ∈ ∃ ∈ = Ω = ΦF . Además, decimos que b es complementario de a y lo designamos por b a= .

b4) Propiedades distributivas (ambas): , , ,a b c B a b c a b a c∀ ∈ = ( ) ( ) ( )F F ,, , ,a b c B a b c a b a c∀ ∈ = ( ) ( ) ( )F F F .

Notas:

• Por verificar la propiedad conmutativa, usamos las expresiones reducidas(un sentido) de los neutros, del complementario y de las distributivas.

• Existen otras axiomáticas equivalentes para definir el álgebra de Boole.

Algunas propiedades del álgebra de BooleSi ,, A ( )F es un álgebra de Boole, se verifica:

Pb1) Principio de dualidad: Toda expresión que se verifique en un álgebra deBoole, seguirá verificándose si se sustituyen simultáneamente los símbolos:

→ F ; → F ; Ω → Φ ; Φ → Ω .

Pb2) Idempotencia: ,a B a a a∀ ∈ =F ,,a B a a a∀ ∈ = .

Pb3) Los neutros cruzados son absorbentes: ,a B a∀ ∈ Ω = ΩF ,,a B a∀ ∈ Φ = Φ .

Pb4) Absorción: , ,a b B a a b a∀ ∈ = ( )F ,, ,a b B a a b a∀ ∈ =( )F .

Pb5) Asociativa: , , ,a b c B a b c a b c∀ ∈ =F F F F( ) ( ) ,, , ,a b c B a b c a b c∀ ∈ = ( ) ( ) .

Pb6) Unicidad del complementario: , ! , ,a B a B a a a a∀ ∈ ∃ ∈ = Ω = ΦF .

Pb7) Doble complementación: ,a B a a∀ ∈ =( ) .

Pb8) Complementación de ambos neutros: Ω Φ = ΩF ,Φ Ω = Φ .

Pb9) Leyes de Morgan: , ,a b B a b a b∀ ∈ = ( )F ,

, ,a b B a b a b∀ ∈ =( ) F .




Demostración de las propiedades del álgebra de Boole a partir de lospostulados

Comprobemos que las nueve propiedades anteriores ( Pb1 a Pb9) pueden deducirsede los cuatro postulados de Huntington (b1 a b4).

Pb1) Principio de dualidad.En los postulados que definen el álgebra de Boole, las dos operaciones tienensimetría (dualidad), de modo que si en los postulados simultáneamente sesustituyen los símbolos: → F , → F , Ω → Φ , Φ → Ω , se vuelven a obtenerlos mismos postulados.

Luego en cualquier expresión que se verifique (que pueda deducirse de lospostulados), al realizar esta sustitución simbólica, se obtendrá otra (su dual),que también se verificará (se deducirá de los postulados).

En las siguientes demostraciones veremos ejemplos que nos ayuden acomprenderlo.

Pb2) Idempotencia.

a B∀ ∈ a a a a= Ω( )F F (b2, e. neutro),a a a a′= ( ) ( )F F (b3, e. complementario),

a a a′= ( )F (b4, distributiva - sumando común),a= ΦF (b3, e. complementario),a= (b2, e. neutro).

Análogamente:

a B∀ ∈ a a a a= Φ ( )F (b2, e. neutro),a a a a′= ( ) ( )F (b3, e. complementario),

a a a′= ( )F (b4, distributiva - sumando común),a= Ω (b3, e. complementario),a= (b2, e. neutro).

Esta demostración es dual de la anterior. Tan sólo hemos sustituido en la

anterior, simultáneamente, los símbolos: → F , → F , Ω → Φ , Φ → Ω .Haciendo uso del principio de dualidad, podríamos habérnosla ahorrado.

Pb3) Los neutros cruzados son absorbentes.

a B∀ ∈ a aΩ = Ω Ω( )F F (b2, e. neutro),a a a′= Ω ( ) ( )F F (b3, e. complementario),

a a′= Ω ( )F (b4, distributiva - sumando común),a a′= F (b1 y b2, conmutativa sobre el neutro),

= Ω (b3, e. complementario), Y, haciendo uso del principio de dualidad, ,a B a∀ ∈ Φ = Φ .




Pb4) Ley de absorción.

,a b B∀ ∈ a a b a a b= Φ ( ) ( ) ( )F F F (b2, e. neutro),a b= Φ ( )F (b4, distributiva - sumando común),a= ΦF ( Pb3, neutro cruzado absorbente),a= (b2, e. neutro),

Y, haciendo uso del principio de dualidad, , ,a b B a a b a∀ ∈ =( )F .

Pb5) Asociativa.

Denominemos p y q a cada miembro de la igualdad a demostrar: p a b c= ( )F F ; q a b c= ( )F F .

Multipliquemos ambos por a y probemos que son iguales., ,a b c B∀ ∈ a p a a b c a a b a c= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )F F F F (b4, distributiva),

a a c= ( )F ( Pb4, ley de absorción),a= ( Pb4, ley de absorción)., ,a b c B∀ ∈ a q a a b c a= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )F F ( Pb4, ley de absorción).

Luego a p a q= (I).

Pero esto no implica que p q= .

Hagamos lo mismo ahora con a ., ,a b c B∀ ∈ a p a a b c a a b a c= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )F F F F (b4, distributiva),

a a a b a c= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )F F (b4, distributiva),

a b a c= Φ⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )F F (b3, e. complementario),a b a c= ( ) ( )F (b2, e. neutro),

a b c= ( )F (b4, distributiva).

, ,a b c B∀ ∈ a q a a b c a a a b c= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )F F F F (b4, distributiva),

a b c= Φ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )F F (b3, e. complementario),

a b c= ( )F (b2, e. neutro).Luego a p a q= (II).

Sumando miembro a miembro las expresiones I y II, y recordando que hemos

nombrado: p a b c= ( )F F ;q a b c= ( )F F ,, ,a b c B∀ ∈ a p a p a q a q= ( ) ( ) ( ) ( )F F

⇒ a a p a a q= ( ) ( )F F (b4, distributiva),⇒ p qΩ = Ω (b3, e. complementario),⇒ p q= (b2, e. neutro).

Luego , , ,a b c B a b c a b c∀ ∈ =F F F F( ) ( ) .

Y, haciendo uso del principio de dualidad, , , ,a b c B a b c a b c∀ ∈ = ( ) ( ) .




Pb6) Unicidad del complementario.

b3 nos dice que para cada elemento de B existe un complementario. Pb6 nosdice que, además, dicho complementario es único para cada elemento.

Para demostrarlo, supongamos que el elemento a tuviera dos elementoscomplementarios,

1

a y2

a (reducción al absurdo). En tal caso, se cumpliría,

1a a = ΩF ; 1a a = Φ ; 2a a = ΩF ; 2a a = Φ (b3, según hipótesis).

Veamos que eso se contradice con que 1a y 2a sean diferentes.

a B∀ ∈ 1 1a a= Ω (b2, e. neutro),

1 2a a a= ( )F (hipótesis),

1 1 2a a a a= ( ) ( )F (b4, distributiva),

1 2a a= Φ ( )F (hipótesis),

1 2a a= (b2, e. neutro),

1 2a a= Φ( )F (b2, e. neutro),1 2 2a a a a= ( ) ( )F (hipótesis),

2 1 2a a a a= ( ) ( )F (b1, conmutativa),

2 1a a a= ( )F (b4, distributiva),

2a= Ω (hipótesis),

2a= (b2, e. neutro).

Luego un mismo elemento no puede tener dos complementarios diferentes.

Pb7) Doble complementación.

Partimos de que a es el complementario de a, y vamos a demostrar que, en talcaso, a es el complementario de a .

Por ser a es el complementario de a (por b3): a a = ΩF , a a = Φ .

Con sólo aplicar la conmutativa (b1): a a = ΩF , a a = Φ .

Luego a es el complementario de a .

Pb8) Complementación de ambos neutros.Tomando Φ como elemento a en b2, Φ Φ = ΦF , Φ Ω = Φ (I).

Tomando ahora Ω como a en b2, Ω Φ = ΩF , Ω Ω = Ω (II).

Escojamos las expresiones primera de (II) y segunda de (I), aplicando laconmutativa en el primer caso: Φ Ω = ΩF ; Φ Ω = Φ .

Luego Φ = Ω .

Y, bien aplicando la conmutativa a la otra expresión, o bien por Pb7, Ω = Φ .




Pb9) Leyes de Morgan: ,

Demostremos primero que , ,a b B a b a b∀ ∈ = = ( )F

Como ya se ha demostrado en Pb6 que el complementario es único, parademostrar esta primera ley de Morgan será suficiente con demostrar que a bF

y a b son elementos complementarios. Es decir, que,a b B∀ ∈ , a b a b⎡ ⎤= Ω⎣ ⎦( ) ( )F F ∧ a b a b⎡ ⎤= Φ⎣ ⎦ ( ) ( )F .

,a b B∀ ∈ a b a b a b a a b b⎡ ⎤= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )F F F F F F (b4, distributiva),

b a a a b b⎡ ⎤= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦( ) ( )F F F F (b1, conmutativa),

b a a a b b⎡ ⎤= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦( ) ( )F F F F ( Pb5, asociativa),

b a= Ω Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦F F (b3, e. complementario),

= Ω Ω ( Pb3, neutros cruzados absorbentes),

= Ω (b2, e. neutro).,a b B∀ ∈ a b a b a b a b= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )F F ( Pb5, asociativa),

a a b a b= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )F (b4, distributiva),

b a b= Φ⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )F (b3, e. complementario),

b a b= ( ) (b2, e. neutro),

a b b= ( ) (b1, conmutativa),

a b b= ( ) ( Pb5, asociativa),a= Φ (b3, e. complementario),

= Φ ( Pb3, neutros cruzados absorbentes).

Queda así demostrada la primera ley de Morgan, , ,a b B a b a b∀ ∈ = = ( )F .

Y, haciendo uso del principio de dualidad, , ,a b B a b a b∀ ∈ = =( ) F .




Álgebra de Boole binariaEs un caso particular de álgebra de Boole, con sólo dos elementos en B (e.g., 0 y 1).

La lógica ha extendido tanto el uso del álgebra de Boole binaria que es habitualdenominar booleanas a las variables binarias.

Las operaciones internas F y en un álgebra de Boole binaria serán:F 0 1 0 10 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1

Suma lógica Producto lógico

Nota: Nótese que la suma lógica no coincide con la suma en 2 .

Ejemplos sobre álgebras de Boole

• Álgebra de Boole de proposiciones:Entendiendo las proposiciones por su valor de verdad ( V 1= , F 0= ), el conjuntode las proposiciones, con las operaciones internas disyunción (suma lógica) yconjunción (producto lógico) tiene estructura de álgebra de Boole (binaria).

• Álgebra de Boole de la conmutación o de la lógica digital:El conjunto de estados lógicos digitales (abierto y cerrado; alto y bajo; 0 y 1...),con las operaciones internas suma lógica (OR, +, ) y producto lógico (AND, i ,

) tiene estructura de álgebra de Boole (binaria).

• Álgebra de Boole de conjuntos:El conjunto Ω( )P , de las partes del conjunto Ω , con las operaciones internasunión ( ∪ ) e intersección ( ∩ ) de conjuntos, tiene estructura de álgebra de Boole.

Identificando elementos:

Algebra de

conjuntos

Algebra de

proposiciones

Algebra de

conmutación (digital)

Conjunto: B P ( )Ω F, V 0, 1

Suma: F ∪ ∨ +,Producto: ∩ ∧ •,

Complem.: ( )( ) ( )( ) ( )( ), ( )¬ ( )( ),

E.N. de :F Φ F 0

E.N. de : Ω Ω V 1

∅




Grupoide, semigrupo y monoide

• Un grupoide es el par , A ∗( ) , formado por un conjunto no vacío A y una operacióninterna ∗ en él definida. Diferentes autores lo conocen también como magma.

• Un grupoide ,S ∗( ) tiene estructura de semigrupo si y sólo si se verifica que∗ es asociativa. , , ,a b c S a b c a b c∀ ∈ ∗ ∗ = ∗ ∗( ) ( ) .

• Un grupoide ,M ∗( ) tiene estructura de monoide si y sólo si se verifica que

m1) ∗ es asociativa. , , ,a b c M a b c a b c∀ ∈ ∗ ∗ = ∗ ∗( ) ( ) .

m2) Existe elemento neutro, n, para ∗ . , ,n M a M n a a n a∃ ∈ ∀ ∈ ∗ = ∗ = .

Es decir, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Unicidad del simétrico en los monoidesSi en ,M ∗( ) la operación ∗ tiene neutro y es asociativa (monoide), cada elemento deM a lo sumo puede tener un simétrico.

Demostración (por reducción al absurdo)Sea a M ∈ y supongamos que a′ y a′′ fueran ambos simétricos de a.Siendo n el neutro, a a n′′ ′′= ∗ (definición de neutro),

a a a′′ ′= ∗ ∗( ) (a′ es simétrico de a),a a a′′ ′= ∗ ∗( ) (asociativa),

n a′= ∗ (a′′ es simétrico de a),a′= (definición de neutro).

Nota:

No se garantiza la existencia del simétrico para cada elemento; pero, casode existir el simétrico de un elemento, se garantiza su unicidad.




Grupo

• Un grupoide ,G ∗( ) tiene estructura de grupo si y sólo si se verifica:

g 1) ∗ es asociativa. , , ,a b c G a b c a b c∀ ∈ ∗ ∗ = ∗ ∗( ) ( ) .

g 2) Existe elemento neutro, n, para ∗ . , ,n G a G n a a n a∃ ∈ ∀ ∈ ∗ = ∗ = . g 3) Cada elemento a G∈ tiene simétrico en G. , ' , ' 'a G a G a a a a n∀ ∈ ∃ ∈ ∗ = ∗ = .

• Se dice que un grupo ,G ∗( ) es conmutativo o abeliano si y sólo si, además:∗ es conmutativa. , ,a b G a b b a∀ ∈ ∗ = ∗ .

Ejemplos sobre grupos

• ,+( ) , ,+( ) , ,+( ) , ,+( ) y ,n

+( ) son grupos abelianos.

• ¿ ,⋅( ) , ,⋅( ) , ,⋅( ) , ,⋅( ) y ,n

⋅( )?

•

0 ,− ⋅( ) , 0 ,− ⋅( ) , 0 ,− ⋅( ) , 0 ,− ⋅( ) ... son grupos abelianos.• , p q× +M ( ( ) ) es grupo abeliano.

• ¿ , p q×

⋅M ( ( ) )?, ¿ ,n

⋅M ( ( ) )?

• El conjunto 3S , de las permutaciones del conjunto 1,2,3 A = tiene estructura de

grupo no conmutativo.

El alumno, debe trabajar sobre la tabla de Cayley en la comprobación de que

3 ,S ( ) es grupo:

• Dese cuenta de que la comprobación en tabla de Cayley de la propiedadasociativa es una tarea tediosa.

• El elemento neutro de la composición de permutaciones es la aplicaciónidentidad, permutación 1 p :

1

1 2 3

1 2 3 p I

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Cada permutacióni

p tiene su simétricai

p′ : 1 p a 4 p son sus propias simétricas,

mientras que 5 p y 6 p son recíprocamente simétricos uno del otro.




Algunas propiedades de los gruposSi ,G ∗( ) tiene estructura de grupo, se verifica:

Pg 1) Ley de simplificación (todos los elementos son regulares):

, , ,

a x a y x y

a x y G x a y a x y

∗ = ∗ ⇒ =⎧∀ ∈

⎨ ∗ = ∗ ⇒ =⎩ .

Pg 2) Cada elemento, a, tiene un único elemento simétrico, a' . Es más:, ,a b G a b n b a′∀ ∈ ∗ = ⇔ = ,, ,a b G b a n b a′∀ ∈ ∗ = ⇔ = .

Pg 3) Las ecuaciones x a b∗ = y a x b∗ = tienen solución única (y si el grupo esabeliano, además ambas son la misma):

, , ! ,a b G x G a x b∀ ∈ ∃ ∈ ∗ = ,, , ! ,a b G x G x a b∀ ∈ ∃ ∈ ∗ = .

Pg 4) El único elemento idempotente es el neutro: ,a G a a a a n∀ ∈ ∗ = ⇔ = .

Pg 5) , ,a b G a b b a′ ′ ′∀ ∈ ∗ = ∗( ) .

Demostración de las propiedades de los grupos

Comprobemos que las propiedades de los grupos que acabamos de ver puedendeducirse de las tres propiedades que definen su estructura de grupo.

Pg 1) ley de simplificación

Sean a, x e y elementos cualesquiera de G, tales que cumplan a x a y∗ = ∗ ,⇒ a a x a a y′ ′∗ ∗ = ∗ ∗( ) ( ) (por g 3, existencia del simétrico),⇒ a a x a a y′ ′∗ ∗ = ∗ ∗( ) ( ) (por g 1, asociativa),⇒ n x n y∗ = ∗ (por def. de simétrico),⇒ x y= (por def. de neutro).

Análogamente demostraríamos la otra expresión.

Pg 2) Unicidad del simétrico Ya hemos demostrado que, siendo ∗ asociativa y existiendo neutro,

(siendo ,M ∗( ) monoide), cada elemento de M a lo sumo puede tener unsimétrico. Vamos a demostrar además que en un grupo, basta con que seobtenga el neutro al operar a con cierto elemento b, ya sea por la derecha o porla izquierda, para que ese elemento sea el simétrico de a, y por lo tanto seobtenga el neutro al operar con a, tanto por la derecha como por la izquierda.Comencemos por la derecha: , ,a b G a b n b a′∀ ∈ ∗ = ⇔ = ,

⇒ Sea ,a b G a b n∈ ∗ = ,

⇒ a a b a n′ ′∗ ∗ = ∗( ) (por g 3, existencia del simétrico),⇒ a a b a′ ′∗ ∗ =( ) (por g 1, asociativa y def. de neutro),⇒

b a′=

(por def. de simétrico).⇐ Inmediato, por definición de simétrico.

La segunda expresión se demostraría de manera análoga.




Pg 3) Ecuaciones, x a b∗ = y a x b∗ = , con solución únicaSean a, b y x elementos cualesquiera de G, tales que cumplan b a x = ∗ .

g 3 garantiza la existencia del simétrico, y por la existencia y unicidad de laimagen de una operación interna se cumple la equivalencia:b a x = ∗ ⇔ a b a a x ′ ′∗ = ∗ ∗( ) ,

a a x ′= ∗ ∗( ) (por g 1, asociativa),n x = ∗ (por def. de simétrico),x = (por def. de neutro).

Luego x a b′= ∗ es solución de la primera ecuación, x a b∗ = (existencia), peroademás es su única solución (unicidad).

Análogamente demostraríamos la otra expresión.

Nótese que, aunque hemos expresado la incógnita en ambas expresiones con lamisma letra, x , son expresiones independientes y su valor no tiene por quécoincidir. Sin embargo, si la operación ∗ fuera conmutativa, ambas ecuacionesserían la misma (y, por lo tanto, también sus soluciones).

Pg 4) El único elemento idempotente en un grupo es el neutro⇒ Sea a G a a a∈ ∗ =

⇒ a a a a a′ ′∗ ∗ = ∗( ) (por g 3, existencia del simétrico),⇒ a a a n′ ∗ ∗ =( ) (por g 1, asociativa y def. de simétrico),⇒ n a n∗ = (por def. de simétrico),⇒ a n= (por def. de neutro),

⇐ Inmediato, por definición de neutro.

Pg 5) , ,a b G a b b a′ ′ ′∀ ∈ ∗ = ∗( ) Sean a y b elementos cualesquiera de G.

Nombremos*

c a b

d b a

= ∗⎧⎨

′ ′=⎩, y comprobemos que d c′= .

c d a b b a′ ′∗ = ∗ ∗ ∗( ) ( ) ,a b b a′ ′= ∗ ∗ ∗( ) (por g 1, asociativa),a n a′= ∗ ∗ (por def. de simétrico),a a′= ∗ (por def. de neutro),n= (por def. de simétrico).

Así, c d n∗ = , luego d c′= .

Es decir, , ,a b G a b b a′ ′ ′∀ ∈ ∗ = ∗( )




Anillo• Se dice que un conjunto A ≠ ∅ tiene estructura de anillo respecto de las

operaciones internas © y H , o que ,, A( )© H es un anillo, si y sólo si se verifica:

a1) , A( )© tiene estructura de grupo abeliano.

a2) H es asociativo ( , A( )H es semigrupo). , , ,a b c A a b c a b c∀ ∈ =( ) ( )H H H H

a3) H es distributiva respecto de © . , , ,a b c a b a c

a b c Ab c a b a c a

=⎧∀ ∈ ⎨

=⎩

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

H © H © H

© H H © H

• Se dice que un anillo ,, A( )© H es conmutativo si y sólo si, además:H es conmutativa. , ,a b A a b b a∀ ∈ =H H

• Se dice que un anillo ,, A( )© H es unitario si y sólo si, además:H tiene elemento neutro. , ,n A a A n a a n a∃ ∈ ∀ ∈ = =H H H

H H

Notación:

En adelante, por simplicidad (notación extendida):

Objeto recibe el nombre lo representamos por© suma +H producto ⋅ n

©elemento cero 0

nH

(si existe) elemento unidad 1

a' para © opuesto de a −a a' para H (si existe) inverso de a 1a−

Ejemplos sobre anillos

Nota: Veremos que algunos de ellos no son sólo anillos, sino cuerpos.

• , ,+ ⋅

( ) , , ,+ ⋅

( ) , , ,+ ⋅

( ), , ,+ ⋅

( ) y , ,n+ ⋅

( ) son anillos conmutativos unitarios.• , ,

n+ ⋅M ( ( ) ) es anillo unitario no conmutativo.

• Sea , ( )F el conjunto de las funciones reales de variable real.

Definimos las operaciones internas suma y producto de funciones como: f g x f x g x + = +( )( ) ( ) ( ) ; f g x f x g x ⋅ = ⋅( )( ) ( ) ( )

Es decir,

: , , ,

, f g f g

× →⎧ ⎫⎨ ⎬

→⎩ ⎭

( ) ( ) ( )

( )

F F F ©

©

, donde:

.

f g

x f g x f x g x

→⎧⎨

→ = +⎩

( )( ) ( ) ( )

©

©

, , ,+ ⋅ ( ( ) )F es anillo conmutativo unitario.




Notas: • El elemento cero (neutro de +) en este anillo es la función nula, tal que

, 0 0x x ∀ ∈ = ( ) .• El elemento unidad (neutro de ⋅ ) es la función constante uno, tal que

, 1 1x x ∀ ∈ = ( ) .

• Una función polinómica p, es aquélla que a cada x dada asigna el real p x ( ) :

0 1

0 1

:con

, , , y

n

n

n

p p x a a x a x

x p x a a a n

⎧→ = + + +⎪⎨

→ ∈ ∈⎪⎩

…

…

( )

( )

• Designamos [ ]x al conjunto de las funciones polinómicas de una variable y

coeficientes reales: ] : es polinómicax p p→ [ = .

• Definidas las operaciones internas suma y producto de polinomios comoacabamos de hacerlo en las funciones:

p q x p x q x + = +( )( ) ( ) ( ) , p q x p x q x ⋅ = ⋅( )( ) ( ) ( ) ,[ ], ,x + ⋅( ) es anillo conmutativo unitario.

Notas: • Análogamente, designamos [ ]x A al conjunto de las funciones polinómicas

en una variable y coeficientes en A : [ ] : es polinómicax p p→A A A= .

• Las funciones nula y constante uno son también funciones polinómicas.• Los únicos polinomios invertibles son los polinomios constantes no nulos.

• [ ], ,x + ⋅( ) , [ ], ,x + ⋅( ) , [ ], ,x + ⋅( ) y [ ], ,n

x + ⋅( ) son anillos conmutativos unitarios.

Divisor de ceroEn el anillo unitario , , A + ⋅( ) ,

0 es divisor de cero 0 , 0 0a A b A a b b a∈ − ⇔ ∃ ∈ − ⋅ = ∨ ⋅ = (en tal caso, también b será divisor de cero).

Nota: "0" es el "elemento cero", neutro de la primera operación, la suma.

Ejemplos sobre divisores de cero (anillos)

• El 2 es divisor de cero en 4 , ,+ ⋅( ) .

• En el anillo unitario no conmutativo 2 , ,+ ⋅( ( ) )M , sean las matrices:

1

1 0

0 0 A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, 1

0 0

2 3 B

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒ 1 1

0 0

0 0 A B

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠(matriz cero)

1 y 1 B son divisores de cero.

• ¿Es 2 2 31 2 A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠divisor de cero?




• El anillo , , ,+ ⋅ ( ( ) )F tiene divisores de cero, ya que fg puede ser la función nulasin que f ni g lo sean.Tomemos como ejemplo el siguiente caso:

0 0

1 0

x f x

x

∀ ≤⎧⎨

∀ >⎩( ) = y

1 0

0 0

x g x

x

∀ ≤⎧⎨

∀ >⎩( ) = .

Nota:

Nótese que esto mismo puede realizarse con cualquier función que corte alcero (que tenga imagen cero para algún valor de x ), por lo que todas lasfunciones con paso por cero son divisores de cero en , , ,+ ⋅ ( ( ) )F .

• Ninguno de los siguientes anillos tienen divisores de cero: , ,+ ⋅( ) , , ,+ ⋅( ) , , ,+ ⋅( ) ,, ,+ ⋅( ) , 2 , ,+ ⋅( ) , [ ], ,x + ⋅( ) , [ ], ,x + ⋅( ) , [ ], ,x + ⋅( ) , ni 2[ ], ,x + ⋅( ) .

Nota:

Como las funciones polinómicas no constantes tienen raíces, luego, según seha dicho en la nota anterior, son todas divisores de cero en , , ,+ ⋅ ( ( ) )F .Sin embargo no lo son en [ ], ,x + ⋅( ) , ya que la función necesaria paraobtener como producto con ellas la función nula, nunca es polinómica.

Algunas propiedades de los anillos

• Si , , A + ⋅( ) tiene estructura de anillo, se verifica:

Pa1) El elemento cero (neutro de la suma) es absorbente para el producto:, 0 0 0a A a a∀ ∈ ⋅ = ⋅ = .

Pa2) El opuesto del producto:, ,a b A a b a b a b∀ ∈ − ⋅ = ⋅ − = − ⋅( ) ( ) ( ) .

Pa3) Los elementos no simplificables para el producto son el cero, junto con losdivisores de cero.

• Si , , A + ⋅( ) tiene estructura de anillo unitario, además se verifica:

Pa4) Si dos elementos ,a b A∈ son invertibles, su producto también lo es y severifica:1 1 1a b b a− − −⋅ = ⋅( ) .

Pa5) Si un elemento a A∈ es invertible, su opuesto también lo es, y se verifica:1 1a a− −− = −( ) ( ) .

Pa6) Ningún divisor de cero es invertible.

Pa7) Ningún elemento invertible es divisor de cero.




Ejemplo sobre divisores de cero, invertibles y simplificables

• En el anillo unitario conmutativo , ,+ ⋅( ) no hay divisores de cero:, ¨, 0, 0, 0a b a b a b∃ ∈ ≠ ≠ ⋅ =

Por lo tanto, todos salvo el cero son simplificables.

Sin embargo, sólo son invertibles el 1 y el−1.Es decir, el 2 (por ejemplo) es simplificable, por no ser cero ni divisor de cero,

2 3 2 3x x ⋅ = ⋅ ⇒ = .

Pero, ¿cómo simplificamos el 2, si no es invertible? 12−∃ ∈ ( )

Por las propiedades de la suma: 2 3 2 x ⋅ = ⋅ ,sumando opuestos, ( ) ( )2 3 2 2 2x x x ⋅ + − ⋅ = ⋅ + − ⋅( ) ( ) ,

( )2 3 2 0x ⋅ + − ⋅ =( ) ,

2 3 2 0x ⋅ + ⋅ − =( ) ,

por factor común, ( )2 3 0x ⋅ + − =( ) , (ver distributiva)que, al no ser 2 divisor de cero, 3 0x + − =( ) ,y, por ser ,+( ) grupo, 3x = .

No habríamos podido razonar de igual manera de haber sido el 2 divisor de cero.

Demostración de las propiedades de los anillos

Comprobemos que las propiedades de los anillos que hemos expuesto puedendeducirse de las propiedades que definen su estructura de anillo.

Pa1) El elemento cero es absorbente para el productoSea a un elemento cualquiera del anillo , , A + ⋅( ) y designemos por c al elementoresultado de operar 0a ⋅ ,

0 0 0c a a= ⋅ = ⋅ +( ) (neutro de la suma),0 0a a= ⋅ + ⋅ (• distributivo respecto +).

Hemos llegado a que c c c= + . Y, dado que el único elemento idempotente en el grupo , A +( ) es el cero,podemos concluir que 0c = . Luego , 0 0a A a∀ ∈ ⋅ = .

Análogamente demostraríamos que , 0 0a A a∀ ∈ ⋅ =

. Pa2) Opuesto del producto

Siendo , , A + ⋅( ) anillo, por la unicidad del simétrico en el grupo , A +( ) sabemos

que, ,c d A∀ ∈ , 0c d c d+ = ⇔ = −⎡ ⎤⎣ ⎦.

Demostremos que ,a b A∀ ∈ , ( ) 0a b a b− ⋅ + ⋅ =( ) ( ) ,

para así poder concluir que a b a b− ⋅ = − ⋅( ) ( ) :

,a b A∀ ∈ , ( )a b a b a a b− ⋅ + ⋅ = − + ⋅( ) ( ) (• distributivo respecto +, f. común),

0 b= ⋅ (def. de opuesto),

0= (0 absorbente para •).Luego a b a b− ⋅ = − ⋅( ) ( ) .

Análogamente demostraríamos que , ,a b A a b a b∀ ∈ ⋅ − = − ⋅( ) ( ) .




Pa3) Elementos no simplificables para el productoQueremos demostrar que en un anillo , , A + ⋅( ) , el cero, junto con los divisores decero, son todos y sólo los elementos no simplificables para el producto.

Vamos a afrontar la demostración por casos:

0a = Hemos visto que el cero es absorbente para el producto, por lo que,

,a b A∀ ∈ 0 0a b⋅ = ⋅ Luego el cero no es simplificable.

0a ≠ Demostremos que, siendo ,a A∈ con 0a ≠ ,es simplificable no es divisor de ceroa A a∈ ⇔ .

⇐ Hipótesis: ,a A∈ 0a ≠ , a no es divisor de cero.(demostremos que a es simplificable)

I ) Sean b y c también elementos de A, tales que a b a c⋅ = ⋅ ,⇒ ( ) 0a b a c⋅ + − ⋅ =( ) (existe opuesto en grupo , A +( ) ),

⇒ 0a b a c⋅ + ⋅ − =( ) (opuesto del producto),⇒ ( ) 0a b c⋅ + − =( ) (• distributivo respecto +, f. común),

⇒ 0b c+ − =( ) (a no es divisor de cero, ni cero),⇒ b c= (el opuesto es único).

II) Análogamente, b a c a b c⋅ = ⋅ ⇒ = .

De I y II concluimos que a es simplificable.

⇒ Hipótesis: ,a A∈ 0a ≠ , a es simplificable.(demostremos que a no es divisor de cero)

I ) Sea b también elemento de A, tal que 0a b⋅ =

,⇒ 0a b a⋅ = ⋅ (cero absorbente, luego 0 0a= ⋅ ),⇒ 0b = (a es simplificable, por hipótesis),

II) Análogamente, 0 0b a b⋅ = ⇒ = .

De I y II concluimos que a no es divisor de cero

( ), 0 0 0b A b a b b a∃ ∈ ≠ ⋅ = ∨ ⋅ = .

Pa4) Producto de dos elementos invertiblesQueremos demostrar que en el anillo unitario , , A + ⋅( ) , el producto de a b⋅ por

1 1

b a− −

⋅ (por la derecha y por la izquierda) da como resultado la unidad; estoprobará que uno es el inverso del otro. De esta manera, no sólo demostramosque el producto de elementos invertibles es también invertible, sino queobtenemos una expresión para su cálculo.

,a b A∀ ∈ 1 1 1 1a b b a a b b a− − − −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) (producto asociativo),1a a−= ⋅ (inverso y unidad),

1= (inverso).

Análogamente demostraríamos que 1 1, , 1a b A b a a b− −∀ ∈ ⋅ ⋅ ⋅ =( ) ( ) .




Pa5) Inverso del opuesto de un elemento invertibleComo en la demostración anterior, obteniendo la unidad del producto de doselementos, demostramos que son inversos el uno del otro.

Sea , , A + ⋅( ) un anillo unitario. Si donde se decía a y b en la Pa2 anterior,, ,a b A a b a b a b∀ ∈ − ⋅ = ⋅ − = − ⋅( ) ( ) ( ) ,

tomamos respectivamente los elementos a− y 1a− , tendremos,,a b A∀ ∈

( ) ( ) ( )1 1 1a a a a a a− − −− ⋅ − = − ⋅ − = − − ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Pa2),

( )1a a−= − − ⋅( ) (Pa2, miembros I y III, con 1b a−= ),

1)= − −( (def. de inverso),1= (opuesto del opuesto).

Pa6) Ningún divisor de cero es invertible.Procedamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe un divisor decero invertible; demostremos que eso nos lleva a una contradicción con laspremisas utilizadas.

Sea , , A + ⋅( ) un anillo unitario, y sea a A∈ , invertible y divisor de cero.

Por ser invertible, 1a−∃ , inverso de a.

Por ser a divisor de cero, 0 0 0b a b b a∃ ≠ ⋅ = ∨ ⋅ =( ) .

Para ese elemento b,• caso 1 - Supuesto que se cumpla 0a b⋅ = :1 1 0a a b a− −⋅ ⋅ = ⋅( ) ,

⇒ 1 0a a b− ⋅ ⋅ =( ) ( ⋅ asociativo y cero absorbente),⇒ 0b = (inverso y neutro).

Esto contradice la hipótesis de que a sea divisor de cero ( 0b∃ ≠ … ).

• caso 2 - Supuesto que se cumpla 0b a⋅ = :Razonaríamos análogamente.

Pa7) Ningún elemento invertible es divisor de cero.Es evidente a partir de Pa6.

Se recomienda al alumno que reflexione sobre las siguientes figuras.

A

, , A + ⋅( ) anillo , , A + ⋅( ) anillo unitario

0 y

divisores

de cero

simplificables para el producto

invertibles0 y

divisores

de cero

simplificables para el productoA




Cuerpo• Se dice que un conjunto K tiene estructura de cuerpo respecto de las operaciones

internas + y ⋅ , o que , ,+ ⋅K( ) es un cuerpo, si y sólo si se verifica:c1) , ,+ ⋅K( ) es anillo.

c2) ,∗ ⋅K( ) es grupo.

Nota: 0 ∗−K K = , conjunto de los elementos no nulos de K .

Dicho de otro modo:c' 1) ,+K( ) es grupo abeliano.

c' 2) ,∗ ⋅K( ) es grupo.c' 3) El producto es distributivo respecto de la suma.

Dicho de otro modo: Siendo ∗ ≠ ∅K , , ,+ ⋅K( ) es cuerpo si y sólo si es anillo unitario

y todos los elementos de K* son invertibles.

• Se dice que un cuerpo , ,+ ⋅K( ) es conmutativo si y sólo si, además:El producto es conmutativo.

Ejemplos sobre cuerpos

• , ,+ ⋅( ) , , ,+ ⋅( ) y , ,+ ⋅( ) son cuerpos conmutativos.

• ¿ , ,+ ⋅( ) ?

• 2 , ,+ ⋅( ) es cuerpo conmutativo.• En general, , ,

n+ ⋅( ) , con n primo ( 2n ≥ ), es cuerpo conmutativo.

Notas: • En general, sólo trabajaremos con cuerpos conmutativos. En lo que sigue

del texto y el curso, extenderemos el nombre de cuerpo a los cuerpos

conmutativos, considerándolos sinónimos.• Véanse las páginas 198, 199 y 217 del libro "Álgebra y geometría", de

Eugenio Hernández.

Algunas propiedades de los cuerpos Además de cumplirse todas las propiedades de los grupos, tanto con la suma comocon el producto, así como la propiedad distributiva del producto respecto de la sumay al menos la conmutativa en la suma:

Pc1) Ningún cuerpo tiene divisores de cero.

Pc2) Todos los elementos del cuerpo son simplificables para la suma y todos salvoel cero lo son para el producto.

Pc3) Todos los elementos del cuerpo, salvo el cero, son invertibles.

Pc4) Si , ,+ ⋅K( ) tiene estructura de cuerpo, la ecuación ax b c+ = , con 0a ≠ , tienesolución única en K . , , 0 ! ,a b c a x ax b c∈ ∧ ≠ ⇒ ∃ ∈ + =( )K K .




Demostración de las propiedades de los cuerpos

Comprobemos que las propiedades de los cuerpos que hemos expuesto puedendeducirse de las propiedades que definen su estructura.

Pc1) Ningún cuerpo tiene divisores de ceroSea un cuerpo cualquiera , ,+ ⋅K( ) .

Sean ,a b ∈ K , con 0 0 0a a b b a≠ ∧ ⋅ = ∨ ⋅ =( ) .

Probemos que necesariamente b es cero:

Dado que 0a∀ ∈ −K , a tiene inverso 1a− ,1 1 10 0 0 0a b a a b a a a b b− − −⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =( ) ( ) ,

1 1 10 0 0 0b a b a a a b a a b− − −⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =( ) ( ) ,Por lo que, necesariamente, 0b = .

Pc2) Elementos simplificables en un cuerpo

Por ser cuerpo , ,+ ⋅K( ) , ,+K( ) y ,∗

⋅K( ) son grupos y se cumple Pg 1.

Pc3) Elementos invertibles en un cuerpoPor ser cuerpo , ,+ ⋅K( ) , ,∗ ⋅K( ) es grupo y se cumple g 3.

Pc4) Solución única de la ecuación ax b c+ = (con 0a ≠ )Sea un cuerpo cualquiera , ,+ ⋅K( ) . Sean a, b, c y x elementos cualesquiera deK , siendo 0a ≠ , y tales que cumplan a x b c⋅ + = .Por la unicidad de la imagen de una operación interna (en este caso, la suma),se cumple la equivalencia:

⇔ a x b b c b⋅ + + − = + −( ) ( ) .Rescribamos esta expresión con notación más laxa:

⇔ ax b b c b+ − = − ,⇔ ax b b c b+ − = −( ) (+ asociativa),⇔ 0ax c b+ = − (def. opuesto),⇔ ax c b= − (def. elemento cero),⇔ 1 1a ax a c b− −⋅ = ⋅ −( ) (unicid. en i ; exist. y unicid. inverso),

⇔ 1 1a a x a c b− −⋅ ⋅ = ⋅ −( ) ( ) ( i asociativo),

⇔ 11 x a c b−⋅ = ⋅ −( ) (def. inverso),

⇔ 1x a c b−= ⋅ −( ) (def. elemento unidad). Así, existe solución y es única: , , 0 ! ,a b c a x ax b c∈ ∧ ≠ ⇒ ∃ ∈ + =( )K K .

Además, hemos obtenido el valor de esa solución única: 1x a c b−= −( ) .

Nota:

Así, cuando trabajemos en un cuerpo, si sabemos que 0a ≠ , podremosoperar más despreocupadamente:

ax b c+ = ⇔ ax c b= − ⇔ 1x a c b−= −( ) .Esto no puede asegurarse en los anillos, donde no todos los elementostienen por qué ser invertibles:

• Pruebe el lector a obtener la solución de 2 3 4x + = en el anillo , ,+ ⋅( ) .• Pruebe a obtenerla, sin embargo, en el cuerpo , ,+ ⋅( ) .




Ejercicios

1) Sean los conjuntos A ≠ ∅ y B ≠ ∅ .Sea el conjunto de funciones de A en B, , es función A B f A B f = ⊂ ×F ( ) .

Siendo , B +( ) grupo abeliano, definimos la operación suma de funciones:

, , , , f g A B a A f g a f a g a∀ ∈ ∀ ∈ + = +F ( ) ( )( ) ( ) ( ) .Demuestre que ( ), , A B +F ( ) , con A ≠ ∅ y , B +( ) grupo abeliano, es también

grupo abeliano.

2) (Pasatiempos) A B=

2 A AB= 2 2 2 A B AB B− = −

A B A B+ −( )( ) B A B= −( )

A B B+ = 2 B B= 2 = 1

¿?

3) (Pasatiempos)Dado 1, 3, 5, 7, 9 A = , se definen las leyes + y ⋅ mediante las siguientes tablas:

+ 1 3 5 7 9 · 1 3 5 7 9

1 9 5 7 1 3 1 9 1 3 7 53 5 1 9 3 7 3 1 3 5 7 95 7 9 3 5 1 5 3 5 9 7 17 1 3 5 7 9 7 7 7 7 7 79 3 7 1 9 5 9 5 9 1 7 3

Sabiendo que , ,( ) A + ⋅ tiene estructura de cuerpo, se pide:a) Compruebe si en el producto se verifica la propiedad conmutativa.b) Calcule, si existen, el elemento neutro de cada operación (elementos cero y

uno).c) Calcule, si existen, el elemento opuesto y el inverso de cada elemento.d) Descubra si hay algún elemento absorbente.e) Resuelva el sistema de ecuaciones:

3 1 5

9 9

x y

x y

⎧ ⋅ + ⋅ =⎪⎪⎨⎪ + ⋅ =⎪⎩

.

f) Demuestre que, efectivamente, , , A + ⋅( ) tiene estructura de cuerpo.




Operación externaDados los conjuntos A y B, no vacíos, denominamos operación o ley decomposición externa ∗ sobre A, con dominio de operadores en B, a cualquieraplicación de B A× en A.

: , B A A

a b c a b∗ × →

→ = ∗( )

Nota:

Una operación interna sobre A es un caso particular de operación externasobre A, con dominio de operadores en A.

Ejemplos sobre operaciones externas (sobre A)

• Producto de un número real ( B = ) por una matriz (p q

A ×= M ).

• Producto de un real ( B = ) por un complejo ( A = ).

• Producto de un real (R) por un polinomio de coeficientes reales ( P ( ) o [ ]x ).

• Actuación de una función ( : B f = → , con A = ):: :

,

f

f x c f x f x

∗ → × →

→ = ∗ =

( ) ( )

• Suma de un número par a un número impar. ¿Y un impar a un par?

Restricción de una operación externa

Subconjunto cerrado para una operación externaEl subconjunto A' ( A′ ⊂ ) es cerrado para la operación externa : B A A∗ × → ,cuando : B A A′ ′∗ × → (restricción de ∗ a A' ),sigue siendo operación externa.

Ejemplos sobre restricciones en operaciones externas (cerradas o no)

• El producto de un número real ( B) por una matriz ( A) es operación externa.La restricción de este producto a las matrices cuadradas ( A' ) también lo es.Luego el conjunto de las matrices cuadradas es cerrado para el producto por real.

• El producto de un número par ( B) por un entero ( A) es operación externa.La restricción de este producto (por par) a los impares ( A' ) no lo es.Luego el conjunto de los impares no es cerrado para el producto por un par.

• El producto de un número real ( B) por una matriz ( A) es operación externa.Su restricción a las matrices con determinante no nulo ( A' ) no lo es.Luego el conjunto de las matrices con determinante no nulo no es cerrado para elproducto por un real.




Nota:

Alguna de las propiedades de las operaciones internas puede extenderse alas externas.

A modo de ejemplo (que se entenderá más adelante), en el cursoencontraremos la propiedad de simplificación con operaciones no internas,como en:

AB = AC ⇒ B = C si rg A( ) = número de columnas de A,

o en k k∗ = ∗v w ⇒ =v w , si k es un escalar no nulo,o k k′∗ = ∗v v ⇒ k k′= , si v es un vector no nulo.

Subgrupos, subanillos y subcuerpos

• Siendo ,G ∗( ) grupo y S subconjunto de G, si ,S ∗( ) es también grupo, decimos queS es subgrupo de ,G ∗( ) .

• Siendo , , A + ⋅( ) anillo y S subconjunto de A, si , ,S + ⋅( ) es también anillo, decimosque S es subanillo de , , A + ⋅( ) .

• Siendo , ,+ ⋅K( ) cuerpo y S subconjunto de A, si , ,S + ⋅( ) es también cuerpo, decimosque S es subcuerpo de , ,+ ⋅K( ) .

Nota:

Estos conceptos están relacionados con los conceptos de restricción de unaoperación interna (conjunto cerrado para la operación interna). Recordemos

que la operación interna es sólo un caso particular de la externa.Si al restringir las operaciones internas al subconjunto, se conserva el tipode estructura, hablamos de sub- (-grupo, -anillo, -cuerpo).

Ejemplos sobre subgrupos, subanillos y subcuerpos

• Siendo n el neutro de ,G ∗( ) , un subgrupo suyo es n .• y son subgrupos de ,+( ) , y a su vez, lo es de ,+( ) .• Siendo k un entero positivo, el conjunto de los múltiplos enteros de k es subanillo

de , ,+ ⋅( ) .

• [ ]x es subanillo de , , ,+ ⋅ ( ( ) )F .• es subcuerpo de , ,+ ⋅( ) y de , ,+ ⋅( ) .• es subcuerpo de , ,+ ⋅( ) .

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