Estructuras de Ejes curvosEstructuras Isostáticas

Cinthya Gpe. López Nucamendi

Agos-Dic 2013UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CHIAPAS Facultad de Ingeniería

Ing. Pedro Pérez Cruz

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INTRODUCCIÓN

A partir de la definición del concepto de estructura (como el conjunto de elementos con forma geométrica que, unidos a través de nodos soportan cargas que son transmitidas a su sistema de apoyos a través de los elementos que la conforman); las clasificamos por:

Su forma geométrica por su sistema de cargas por su sistema de apoyos por sus condiciones de isostaticidad.

El estudio de las estructuras isostáticas es un tópico que cobra especial interés cuando la geometría juega un papel crucial y la solución intuitiva no se da en forma evidente.

En este trabajo se dará una explicación acerca de arcos y cables en una dimensión, o eje curvo, cuando se someten a su propio peso o bien a una cierta carga dada. Parte de los principios fundamentales del equilibrio de fuerzas y fórmulas generales para el cálculo de momentos flexionante así como fuerzas cortantes y de compresión,

Teniendo en consideración las bases importantes para su comprensión, de esta manera, poder aplicar los elementos de manera correcta y cuando sea

conveniente.

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INDICE

ESTRUCTURAS DE EJE CURVO--------------------------------------------3

ANTECEDENTES:---------------------------------------------------------------------------3A R C O S -------------------------------------------------------------------------------------4DEFINICION:-------------------------------------------------------------------------------4Clasificación:------------------------------------------------------------------------------6Arcos Circulares Articulados (Isostáticos).------------------8ARCOS PARABOLICOS-----------------------------------------------------------------12ARCOS ELÍPTICOS----------------------------------------------------------------------14

C A B L E S ----------------------------------------------------------------------------------16Antecedentes:----------------------------------------------------------------------16Clasificación:-----------------------------------------------------------------------------18CABLES DE ELEMENTOS RECTILINEOS (CARGAS CONCENTRADAS)-------19CABLES PARABÓLICOS (SOMETIDOS A CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS) -------------------------------------------------------------------------20CABLES CATENARIOS (SOMETIDOS A SU PROPIO PESO)--------------------21

CONCLUSIÓN.----------------------------------------------------------------------22BIBLIOGRAFÍA.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------23

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ESTRUCTURAS DE EJE CURVO

Antecedentes:E

l arco es un elemento estructural en la arquitectura y en la ingeniería civil, que

lleva a cabo como funciones cubrir claros, soportar cargas, así como constituir

un elemento estético. Una amplia gama de formas geométricas de arcos han

sido construidas desde la antigüedad. Los romanos usaron el arco semicircular

en puentes, acueductos y arquitectura de gran escala; este tipo de arco

consistía en la unión de bloques de tabique o piedra, dispuestos en forma

circular (desde alrededor de 200 a.C, quizá hasta 250 d.C. En estas estructuras

los bloques se mantenían en su posición debido a su geometría y a la fuerza de

compresión que actúa a lo largo del eje del arco.

Los principios geométricos jugaron un papel muy importante en el diseño de

arcos estructurales a través de la historia, especialmente en tiempos anteriores

al conocimiento de las leyes físicas. Otros diseños de arcos han pasado a la

historia, los que fueron concebidos más por su forma estética que por su

funcionalidad. Tal es el caso del arco de herradura en las mezquitas árabes, el

arco gótico de la Edad Media, así como el arco falso en los templos mayas.

Además de estas formas continuas, se han diseñado arcos en forma de

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estructuras poligonales, cuya construcción en algunos casos ofrece ventajas

prácticas. El francés, Lahire (1640-1718), fue el primero en aplicar los

principios de estática en un intento de analizar el arco, y, en un artículo

publicado en 1773, Coulomb

A R C O S

DEFINICION:P

odemos considerar a los arcos cuyo eje

coincide con la línea de presiones, llamados

arcos “funiculares”, como sistemas simétricos

respecto al de los cables y en ese sentido

incorporarlos a la familia estructural en

estudio.

Claro que la palabra funicular refiere a

funiculares-cables-tracción. Usamos ahora el término, asociado a arcos,

exclusivamente para asociar estos arcos a sus cables simétricos que

podrían equilibrar las mismas cargas

El arco es en esencia una estructura comprimida utilizada para cubrir

grandes y pequeñas luces, y puede considerarse como uno de los

elementos estructurales básicos en todo tipo de arquitectura.

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La forma ideal de un arco capaz de resistir cargas determinadas por un

estado de compresión simple, pueden hallarse siempre con la forma del

polígono funicular correspondiente invertido.

El método que utilizó Gaudí para establecer la forma de sus obras fue

una compleja y laboriosa maqueta funicular de hilos colgados

traccionados con pesos representativos de las diferentes partes del

edificio, cuya inversión de 180°, mediante croquis o fotografía, daba la

posición y la dirección en el espacio de los ejes de los elementos

constructivos exclusivamente lineales, pilares o arcos, que estarían

sometidos sólo a esfuerzos de compresión pura. En el paso del hilo a la

materia genera los elementos portantes con una corporeidad suficiente

para no sufrir los efectos del pandeo.

Los arcos generan fuerzas horizontales que se deben absorber en los

apoyos mediante contrafuertes o tensores.

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LClasificación: 

os arcos pueden clasificarse sobre la base de los materiales de los cuales se construyen. Los más

comunes son acero, concreto reforzado y madera. También pueden clasificarse por su

comportamiento estructural, en este caso existen los arcos no articulados (algunas veces

designados como fijos), doblemente articulados o triplemente articulados (el arco triplemente

articulado está estáticamente determinado). Los arcos se clasifican conveniente y necesariamente

en cuanto a la forma y posición estructural de la nervadura.

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Las partes que conforman un arco son las siguientes:

o Centro: Centro geométrico del arco, puede situarse por arriba o por debajo de la imposta.

o Esbeltez: Relación entre la flecha y la luz. Por lo general se expresa con fracciones (p.ej.:

1/2, 1/3, etc.)

o Flecha: Altura del arco midiendo desde la línea de arranque hasta la clave.

o Luz: Distancia libre entre dos soportes contiguos, especialmente de un vano en una

estructura porticada.

o Semiluz: Mitad de anchura del arco.

o Imposta: Hilada de piezas sobresaliente sobre la cual se levanta un arco o bóveda, que se

coloca también para evitar que el agua discurra de forma continua por la fachada del

edificio.

o Intradós: Superficie interior de un Arco o Bóveda.

o Extradós: Superficie exterior curva de un Arco o Bóveda.

o Jamba: Lados de una abertura que delimitan el hueco y sobre les cuales se sostienen el

arco o dintel.

o Trasdós: Haz exterior de una pared.

o Línea de arranque: Línea de transición entre la imposta o jamba y el arco.

o Vértice: Es el punto más alto del arco.

o Arquivolta: Conjunto de molduras que decoran un arco.

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Arcos Circulares Articulados (Isostáticos). 

Este tipo de arcos debe tener

cuando menos tres

articulaciones, para su

resolución pueden emplearse lo

mismo el método gráfico que el

algebraico bastando la

aplicación de las tres

ecuaciones de equilibrio de la

estática: 

FV=0; FH=0; M=0; 

En las cuales FV, FH, M son cargas verticales, horizontales y momentos

respectivamente. 

Como es sabido en las articulaciones se considera que el momento es

nulo, entonces en los puntos A, B y C de la figura los momentos valen

cero. 

Ahora supongamos que en el arco A, B y C tenemos aplicadas las cargas

P1, P2, P3 y P4, por defecto de las cuales en A y B se presentan unas

reacciones inclinadas con una intensidad RA y RB respectivamente y las

cuales podemos descomponer en sus componentes vertical y horizontal

V y H, afectadas del índice correspondiente.

Si ahora aplicamos la ecuación que dice M=0; tomando momentos con

respecto a B se tendrá:

VAl-MeB=0;

Ecuación en la cual MeB es el momento estático de las cargas P1, P2, P3

y P4 con respecto al apoyo B. Si despejamos a VA= MeB/l

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Como se observa, la ecuación anterior es similar a la que nos daría la

reacción en una viga simplemente apoyada con claro l.

Para determinar el valor de los empujes horizontales se procede como

sigue: 

Se tomarán momentos de todas las cargas a la derecha o izquierda de la

articulación intermedia, e igualando a cero se tendrá la ecuación que

nos dé el valor de HA o HB según se tomen momentos del lado izquierdo

o derecho, así para determinar HA tendremos: 

HAf-VA+PnXni=0 

Pero si llamamos a -VA+PnXni=Mic tendremos: 

HA=Micf 

Si todas las cargas aplicadas son verticales, entonces HA=HBi en caso

de que algunas o todas las cargas aplicadas sean inclinadas, entonces

para conocer HA sin tomar momentos con respecto a C de las cargas

colocadas en el lado derecho, habrá que aplicar la condición que dice

FU=0. 

Deducción de las funciones de los elementos mecánicos se realizara

bajo el cumplimiento de los siguientes pasos: 

PRIMERO.- A partir de la estructura planteada, se construye un diagrama

de cuerpo libre para identificar: 

_ El sistema de fuerzas.- Dado que se analizan estructuras planas, el

sistema de fuerzas en su conjunto podrá ser un sistema de fuerzas

paralelo o un sistema de fuerzas generales en el plano. 

_ Las condiciones de isostaticidad.- Identificado el número de las

incógnitas y el número de las ecuaciones de equilibrio estático que

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contiene el sistema en su conjunto, se tendrán elementos de análisis

para abordar estructuras cuando las condiciones de isostaticidad sean

iguales; esto es: I = E. 

_ El tipo de estructura.- Con el resultado anterior, estaremos en

condiciones para abordar el análisis de una estructura que se define

como Isostática. 

SEGUNDO.- Aplicando las condiciones de equilibrio sobre el diagrama de

cuerpo libre, se determinan las reacciones para encontrar el equilibrio

externo. 

TERCERO.- Analizando la estructura de izquierda a derecha o viceversa

según sea el caso se identifican los tramos que presenten cambios de

forma en la carga externa, para que, sobre cada uno de ellos, se

construya un diagrama de cuerpo libre indicando la acción de las cargas

externas (que actúan sobre la porción que se analice) las que se habrán

de equilibrar con un resultante interno, identificando en éste, las

componentes que definen a los elementos mecánicos que actúan en el

tramo respectivo. 

CUARTO.- Aplicando las condiciones del equilibrio estático se deducen

las funciones de los elementos mecánicos que se presentan en cada

tramo, y al sustituir en éstas los parámetros de variación de la distancia

angular “!”, previa descomposición de los elementos de la carga externa

obteniendo las magnitudes respectivas. 

QUINTO.- Con el resultado del punto anterior se procederá a trazar el

diagrama de variación para cada elemento mecánico considerando: 

_ Línea base de la fuerza normal, fuerza cortante o momento

flexionante: A partir de un marco de referencia, mismo que será de

forma del arco en análisis (circular o parabólico) por el cual se traza la

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línea base, sobre la que se indicarán los parámetros de variación de la

distancia angular “!”; que se relacionarán sobre la línea base, en el que

se localizarán las magnitudes de los elementos mecánicos respectivos

(normal, cortante o momento flexionante). 

_ Trazo de la variación de los elementos mecánicos.- Con los puntos

encontrados del resultado anterior, se une punto a punto obteniéndose

la variación de esfuerzos que estará definida por las funciones de los

elementos mecánicos hallados según la variación de la distancia angular

correspondiente al arco. 

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ARCOS PARABOLICOS

Considere el arco parabólico de la

figura V-4, f es la altura total del

arco o flecha y  L es la

longitud horizontal total entre

los apoyos o cuerda. La ecuación

que define la forma de este arco en

términos de f y L es Z=4 f

L2x2

Para obtener la ecuación (4) se debe recurrir a la definición de la

parábola: conjunto de puntos P que equidistan de la directriz l y del foco

F, es decir, que satisfacen (figura V-5)

|PF|=|PL|

A partir de esta definición, podemos deducir la ecuación en x y z

atendiendo al siguiente procedimiento:

Si aplicamos la definición de parábola en la figura V-5(a), obtenemos

¿√ ( x−x )2+ (z−p )2∨¿=¿√( x−0 )2+( z−p )2∨¿¿¿

Resolviendo ambos lados de la ecuación, resulta

z2−2 zp+ p2=x2+z2+2 zp+ p2

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Simplificando

−4 zp+x2

Z=−14 px2

la expresión anterior representa la ecuación general de una parábola,

donde  p es la distancia vertical del origen de coordenadas al foco F ,

que es igual a la distancia vertical entre el origen a la directriz l .

Si repetimos el proceso anterior en la figura V-5(b), donde se ha ubicado

el arco parabólico en el sistema de coordenadas xz y se ha trazado la

directrizl , obtenemos la ecuación

4 fp= L2

4

Resolviendo para p

p= L2

16 f

sustituyendo el valor de p en la ecuación general de la parábola

obtenemos la ecuación de un arco parabólico en términos de su flecha y

su cuerda (ecuación 4), éstos valores serán siempre conocidos a partir

del proyecto del arco.

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ARCOS ELÍPTICOS

Un arco con tres articulaciones al momento de sustentar cargas

verticales no sólo presenta reacciones verticales, sino también

reacciones horizontales. Estas reacciones evitan el fenómeno del

“coceo” (tendencia que un arco presenta de abrirse hacia los lados.)

Para evitar este fenómeno se recurre a colocar un tensor en los apoyos

para impedir que el arco se abra. 

Una definición de este tipo de arco es la siguiente: Arco cuyo intradós

tiene forma de elipse. 

Los arcos elípticos se utilizan comúnmente en la arquitectura como

puerta de entrada y elementos de diseño. Dichos arcos son seguros para

las luces de hasta dos metros y medio de largo, y siempre deben tener

soportes muy fuertes en cada lado. Contrariamente a un arco

segmentado, que es la mitad de un círculo con un diámetro, los elipses

son un círculo con dos diámetros. Cuando traces un arco elíptico, es

importante garantizar que el arco no sea ni demasiado corto ni

demasiado alto. La cabecera, o parte inferior de la abertura de la puerta,

debe ser lo suficientemente alto como para que el arco pueda sentarse

debajo de él sin tener que quitar parte de la cabecera.

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Un arco con una articulación interna y con articulaciones en ambos

apoyos es estáticamente determinado. Se tiene cuatro incógnitas: dos

componentes horizontales y dos verticales de las reacciones, pero se

dispone de cuatro ecuaciones basadas en las leyes del equilibrio

1.- la suma de fuerzas horizontales debe ser cero

2.- la suma de los momentos con respecto al apoyo izquierdo debe ser

cero

3.- la suma de los momentos con respecto al apoyo derecho debe ser

cero.

4.- el momento flexionante en la articulación de la corona debe ser cero.

(no debe confundirse con la suma de los momentos con respecto a la

corona, que también debe ser igual a cero, pero que no llevaría a una

ecuación independiente para la solución de las reacciones).

Las reacciones y fuerzas en los arcos de tres articulaciones se pueden

determinar en forma gráfica aprovechando el hecho de que el momento

flexionante en la articulación de la corona es cero.

Después de encontradas las reacciones, los esfuerzos se pueden

calcular con las leyes de la estática, en el caso de un arco armadura, se

pueden determinar gráficamente.

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C A B L E S  

Un cable es un miembro estructural lineal, como una barra de armadura. Sin embargo, las dimensiones transversales de un cablerelativas de longitud son tan pequeñas que este no puede resistir flexion o compresión.Los cables se utilizan algunas veces en la construcción de edificios como una alternativa para miembros sometidos a tensión, tañes como los suspensores, los tirantes o las cuerdas de tensión en las armaduras.

Antecedentes:

Los cables de acero soportan se usan para soportar cargas sobre

grandes claros, como son, por ejemplo, puentes colgantes, teleféricos,

etc. Además se usan como tirantes en grúas, torres de radio y otras

estructuras similares. 

Su fabricación es a partir de alambres de acero de alta resistencia,

ofreciendo de esta forma, probablemente, la razón más baja de costo a

resistencia de cualquier miembro estructural común. Tienen gran

facilidad para manipularse y montarse aun en claros muy largos. 

La forma en que los cables adoptan al resistir cargas se llama curva

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funicular. Los cables son bastante flexibles y soportan sus cargas en

tensión pura. 

No podemos decir que su empleo sea producto de nuestra moderna

tecnología, ya que fue empleado hace ya muchos años para construir

puentes rudimentarios, sin embargo, desde la aparición del acero, este

elemento estructural adquirió mayor importancia. 

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Clasificación: 

Características:

• Resisten únicamente esfuerzos de tracción pura.

• La forma responde a las cargas.

• Cualquier cambio en las condiciones de carga afecta la forma.

• Carecen de rigidez transversal.

• Las cargas pueden ser muy grandes en relación al peso propio.

• No constituye una estructura autoportante.

Los cables se clasifican de acuerdo con las solicitaciones que soportan y

la geometría que dichas cargas definen en:

Cables de elemento rectilíneo.

Cables parabólicos.

Cables catenarias

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CABLES DE ELEMENTOS RECTILINEOS (CARGAS CONCENTRADAS)

Este tipo de cables mantiene cargas verticales concentradas en puntos

llamados nodos y por ello la conformación geométrica del mismo es de

tipo recto o poligonal.

Cuando un cable de peso despreciable soporta varias cargas

concentradas, el cable adopta la forma de varios segmentos de línea

recta, cada uno de los cuales esta sometido a una fuerza constante de

tensión. Se supone que los cables son tan flexibles que no resisten a la

flexión o a la compresión. Por lo que trabajan a tensión directa, para lo

cual se dispone el análisis de la ecuación M=0, respecto a cualquier

punto del cable. Si se conoce la deflexión en un punto cualquiera de un

cable, las reacciones en los extremos y la deflexión en cualquier otro

punto puede determinarse con esas ecuaciones. 

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CABLES PARABÓLICOS (SOMETIDOS A CARGAS UNIFORMEMENTE

DISTRIBUIDAS)

En estas estructuras la carga se presenta repartida uniformemente

según su eje horizontal y por ello la forma que adopta el cable es

parabólico.

Para resolver un cable de este tipo se necesita conocer una de las

coordenadas de un punto y la posición de los apoyos. También es

necesario conocer la carga uniformemente repartida w, el claro del

mismo I, y la ubicación de los apoyos, con estos datos es posible calcular

la ecuación del cable y la fuerza máxima que soporta. El sistema de

referencia por lo general se ubica en el punto más bajo del cable para

facilitar su análisis.

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CABLES CATENARIOS (SOMETIDOS A SU PROPIO PESO)

El cable que mantiene su propio

peso de manera uniformemente

distribuida según su eje presenta

una deflexión tipo cadena y por ello

se denomina cable catenario.

Son cables catenarios todas las

líneas de conducción del fluido

eléctrico o los alambres telefónicos

que soportan exclusivamente su peso.

Como ya se ha mencionado los cables proporcionan un medio muy

eficaz para soportar el peso muerto de las trabes o cubiertas de puentes

de claros o luces muy grandes, pero también como un gran dispositivo

de unión entre estructuras alejadas o separadas, para analizar aquellos

cables que están sometidos a su propio peso determinaremos la forma

del cable a lo largo de su longitud ΔS. 

Como ya se ha mencionado, un cable que soporte solamente su peso

propio tomara la forma de una curva catenaria, cuya ecuación

corresponde a una parábola como se mostró anteriormente. 

A continuación consideramos el caso de un cable que soporta

únicamente su peso propio, entonces la carga puede darse como una

función de arco S. las ecuaciones deducidas anteriormente son válidas si

se analizan como Δx =Δs. 

CONCLUSIÓN. 

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Con el presente trabajo se cumplió con el objetivo de presentar un panorama general de

estructuras de eje curvo, se observó que tanto los arcos como los cables, son elementos

estructurales muy importantes en la construcción. Se aprendió que nuestros ancestros tuvieron

influencia en la construcción de los arcos, en su forma, y su cálculo. Además de que los cables

fueron de mucha utilidad para cierto tipo de construcciones. Lo más relevante es saber la

importancia de estos elementos en las construcciones, en que momentos es necesario y

conveniente utilizarlos, y sobre todo el cálculo para un buen empleo de estos.

Sobre todo como estudiantes de ingeniería, estos conocimientos son fundamentales e

indispensables para nuestra carrera.

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BIBLIOGRAFÍA. 

Hibbeler, R. C., Engineeing Mechanics: Statics,(Prentice Hall (11th Ed.), USA, 2006)

Análisis de estructuras indeterminadas. Ed. CECSA. J. STERLING KINNEY. 10ma impresión.

Análisis de estructuras. McComac. Nelson. Ed Alfa omega. 2da edición.

Análisis de Estructuras. Alfonso Olvera López. Ed CECSA. 7ma impresión.

http://www.construaprende.com/

http://www.construmatica.com/construpedia/Terminología_para_Arcos

Merritt Frederick S., Loftin Kent M., Ricketts, Manual del ingeniero Civil tomo I, Ed.

McGraw-Hill. Cuarta edicion.