EXAMEN TRLF, 1er curso. Grado en Fısica(23 de junio de 2014)

1. Demuestra que 〈u|A|u〉 tiene parte real nula (es imaginario puro) si el operadorA es antihermıtico (o sea, si A = −A†). [Hazlo sin usar matrices].

2. Una matriz cuadrada es antihermıtica siA = −A†. Prueba que el determinantede una matriz antihermıtica n × n con n par es un numero real. Pruebaque, si la matriz antihermıtica es de orden impar, entonces la parte real deldeterminante de A es nula (o sea, el determinante de A es imaginario puro).

3. Escribe, usando ındices, las entradas de la matriz n × n que corresponde ala rotacion ~r −→ −~r en Rn. Usando ındices, demuestra que ciertamente esuna rotacion. ¿Cuanto vale su determinante? ¿Es una rotacion propia (giro)o es impropia? ¿En que imagen, activa o pasiva, esta dada en este ejercicio latransformacion?

4. Demuestra que toda matriz de rotacion en dos dimensiones se puede escribir

como

(cos θ sen θ− sen θ cos θ

)o como

(cos θ sen θsen θ − cos θ

), siendo θ ∈ [0, 2π).

[Recuerda que sen(α± β) = cosβ senα± cosα senβ y

cos(α± β) = cosβ cosα∓ senα senβ ]

5. Demuestra que, si las matrices A y B son simetricas y [A,B] = iC, entoncesC es antisimetrica.

6. Demuestra que, si un operador cumple que P 2 = P , sus valores propios (au-tovalores) son 0 y 1. Demuestra que, siendo ası, dado cualquier vector |u〉,|v〉 = P |u〉 es vector propio de P con valor propio 1 y |w〉 = (I − P )|u〉 esvector propio de P con valor propio 0.

7. Demuestra que cualquier rotacion en dos dimensiones de determinante −1 sepuede diagonalizar y que su forma diagonal en la base ortonormal de vectores

propios se puede escribir como

(1 00 −1

). ¿Hay para estas transformaciones

algun subespacio invariante? [Puedes usar de partida uno de los resultados delejercicio 4)].

8. Sin usar matrices, demuestra que, para cualquier vector |u〉, si H es un ope-rador hermıtico, se cumple que 〈u|H|u〉 es un numero real.

9. En la imagen activa, bajo la transformacion dada por x′i = −xi, calcula como

se transforma el operador ~∇ =∑3i=1 ~ei

∂

∂xi. Asumiendo que sabemos que

la fuerza que actua sobre una partıcula en movimiento en un campo externoconservativo cambia de signo bajo paridad (~F −→ −~F ), encuentra como se

transforma las energıa potencial V (~r) de la partıcula [~F = −~∇V (~r)].

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 7 DE LOS 9 EJERCICIOSLISTADOS HASTA AQUI. CADA UNO VALE UN PUNTO (MAXI-MA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 7 PUNTOS)

Sigue por detras −→

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NO OLVIDEIS QUE, EN LO QUE SIGUE, APLICA EL CONVE-NIO DE SUMA DE INDICES DE EINSTEIN: INDICE REPE-TIDO ARRIBA Y ABAJO ES INDICE SUMADO DE CERO ATRES

10. Observamos un sistema formado por un foton de energıa E0 que se mueve alo largo del eje X1 en el sentido positivo y otro foton moviendose en el mismoeje con la misma energıa, pero en sentido negativo. Calcula la energıa totaldel sistema y su vector momento total. Si una sola partıcula tuviera la mismaenergıa y el mismo momento que este sistema de dos fotones, ¿cuales serıansu masa y su vector velocidad?

11. Demuestra que el intervalo en relatividad especial es invariante bajo la trans-formacion T : xµ −→ −xµ

12. Demuestra que el intervalo en relatividad especial es invariante bajo rotacionesde los vectores de la base ortonormal formada por ~e1 , ~e2 y ~e3 en el espaciode las posiciones.

13. ¿Como se transforma∂

∂xµbajo la transformacion x′

µ= xµ+aµ donde aµ son

las componentes de un cuadrivector independiente del tiempo y la posicion?

14. Demuestra que, si asumimos que Fµν es un tensor de rango dos covariante

bajo transformaciones de Lorentz (es decir: F′

µν = Ωµρ Ων

σFρσ), entoncesM = Fµν U

µ Uν es un escalar invariante Lorentz, siendo Uν las componentescontravariantes de la cuadrivelocidad. ¿Cuanto vale M para un observadorpropio? ¿Y para un observador cualquiera?

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 3 DE LOS 5 EJERCICIOSPROPUESTOS EN ESTA PARTE. CADA UNO VALE 1 PUNTO(MAXIMA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 3 PUNTOS)

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