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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FBCULTBD DE CIENCIBS
FISICBS Y MBTEMBTICBS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
MAT 522 234 Complemento de Clculo para Ingeniera
FPV0fpv )08.05.2001)
Resolucin Certamen I
I. Escribir, la representacin en Serie de Fourier de la
extensin
(1.1) pi-peridica impbr de una forma de onda arbitraria f(x),
denida en el intervalo[0, pi/2];Definimos la extensin
pi-peridica
f(x) =
{f(x) si 0 x pi/2
f(x+ pi) si pi/2 x 0f(x) = f(x+ pi)
y construimos la representacin de Fourier:
f(x) =
n=1
bn sin2npi
pi=
n=1
bn sin 2nx
donde
bn =4
pi
pi/20
f(x) sin 2nxdx
(1.2) 4-peridica pbr c/r a x=5 de una forma de onda arbitraria
g(x), denida en el intervalo[5, 7].Definimos la extensin par
4-peridica:
g(x) =
{g(x) si 5 x 7
g(10 x) si 3 x 5g(x) = g(x+ 4)
y construimos la representacin de Fourier:
g(x) =
n=1
an cosnpi
2(x 5)
donde
an =2
2
73
g(x) cosnpi
2(x 5)dx
=
20
g(x+ 5) cosnpi
2xdx
II. Construir la extensin 2-peridica blternbnte de la forma de
onda
f(x) =
2x si 0 x 1/2
1/2 si 1/2 < x < 1(1)
Adems, estudiar la convergencia de las sumas parciales de dicha
Serie de Fourier.
1
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La extensin peridica requerida es:
fa(x) =
{f(x) si 0 x 1
f(x+ 1) si 1 x 0fa(x) = fa(x+ 2)
y construimos la representacin de Fourier:
fa(x) =
n=0
[a2n+1 cos(2n+ 1)pix+ b2n+1 sin(2n+ 1)pix]
donde
a2n+1 =
11
f(x) cos(2n+ 1)pixdx
= 01
f(x+ 1) cos(2n+ 1)pixdx+
10
f(x) cos(2n+ 1)pixdx
= 10
f(x) cos(2n+ 1)pi(x 1)dx+ 10
f(x) cos(2n+ 1)pixdx
= 2
10
f(x) cos(2n+ 1)pixdx
= . . . . . . . . . . . . realizar los clculos!
anlogamente
b2n+1 = 2
10
f(x) sin(2n+ 1)pixdx
= . . . . . . . . . . . . realizar los clculos!
Finalmente- definimos la sucecin de sumas parciales:
SN(x) =
Nn=0
{a2n+1 cos(2n+ 1)pix+ b2n+1 sin(2n+ 1)pix}
entonces:
limN
SN(x) =
2x si 0 < x < 1/21/4 si x = 1/21/2 si 1/2 < x < 11/2
si 1/2 < x < 01/4 si x = 1/22(x+ 1) si 1 < x < 1/21/4
si x = 1y en las repeticiones 2-peridicas de los puntos del
intervalo fundamental [1, 1].
III. Determine los valores propios y autofunciones del problema
de Sturm-Liouville:
y + y = 0y(0) = 0, y(10) = 0 (2)
La familia de valores propios y funciones caractersticas es:
n = ((2n+1)pi
20)2 yn(x) = sin
(2n+1)pix20
2
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IV. Considere el proceso de difusin del calor en un alambre de
acero de 10 [ cm ] de longitud,con constante de difusin k = 0.128 [
cm2/seg ] cuyos extremos x = 0 y x = 10 sonmantenidos a 0o y 10o,
respectivamente. Determinar la temperatura u(x, t) en cada puntox
del alambre despus de transcurrido t [ seg ], si la distribusin
inicial de temperatura esmodelada por
(4.1) f(x) = x. Adems, interprete su solucin.La temperatura
estacionaria es U(x) = x que coincide con la distribucin inicial
de
temperatura- luego no existe cambio de temperatura cualesquiera
sea el instante
subsiguiente: u(x, t) = x, 0 < x < 10, t 0
(4.2) f(x) = 125x(35 x). Escriba una aproximacin para la
temperatura u(x, t).Como la temperatura estacionaria es U(x) = x
debemos considerar la solucin v(x, t) del problemade difucin del
calor- donde los extremos del alambre son mantenidos a 0o y la
distribucininicial de temperatura es:f(x) = 1
25(10 x)x- es decir:
u(x, t) = v(x, t) + x
=
n=1
cnet(knpi
10)2 sin npix
10
donde
cn =1
125
100
(10 x)x sin npix10
dx
=4
25(10
npi)3(1)n+1 (conrmar!)
As- la solucin es proporcional a la siguiente expresin :
u(x, t) n=1
et(knpi10
)2
n3(1)n+1 sin npix
10dx
denotando = e(knpi10
)2y observando que |cn| 1
n3
u(x, t) 4 104
pi3
( sin pix
10
4t
8sin pix
5+
9t
27sin 3pix
10
)
3
