Ex Amenes Re Sueltos

8/10/2019 Ex Amenes Re Sueltos

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E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos

Examenes resueltos de Calculo Innitesimal

M. Soler


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Examenes resueltos de Calculo Innitesimal

Primer curso


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En las paginas siguientes se reunen los examenes parciales y nales (Junio, Septiembrey Febrero) realizados en a~nos anteriores.

La estructura es la siguiente: Cada uno de los examenes empieza con los enunciadosen el formato exacto en que se entregan en examen para ser realizados, pero sin resolver.En las paginas siguientes aparecen los mismos examenes resueltos.

El alumno no debe esperar aprender a hacer problemas con estas hojas. Esa eslabor de clase y de otro tipo de publicaciones. El objeto de esta es que pueda comprobar sunivel de aprendizaje en funcion de lo exigido para superar esta asignatura en esta Escuela.Por tanto, pedimos al alumno queno mire las soluciones hasta haber intentado realizarlos problemas de forma autonoma. Ese es el objeto de los enunciados sin resolver queaparecen al principio de cada bloque, con los que el alumno puede ponerse en la situacionmas parecida posible (siempre es poco parecida) al momento de tener que rendir examen.Este intento tiene que ser serio, no basta con dedicar tres o cuatro minutos y pasarluego a ver la solucion. Esto no sirve para nada, salvo para perder el tiempo. Lassoluciones son completas pero relativamente esquematicas. Las dudas que queden despuesde ver la solucion son objeto (ademas de todas las que puedan tenerse de forma general) de

las tutorias. Debe tambien tenerse en cuenta que no hay una unica forma de resolver losproblemas. De hecho casi todos pueden resolverse de muchas formas, unas mas tecnicasy otras mas imaginativas. Hemos tratado de que la solucion expuesta sea lo mas tecnicaposible, eludiendo siempre la temida (y odiada) feliz idea. Las referencias a teoremas,proposiciones y corolarios corresponden al libro Calculo diferencial e integral. Unay varias variables del mismo autor.

Esperamos que esta publicacion sea util y ayude a superar la asignatura.Madrid, Octubre de 2009.


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Primeros parciales resueltos de Calculo Innitesimal

Primer curso


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C ALCULO INFINITESIMALPrimer curso. Primer examen parcial. 26 de Enero de 2006.

APELLIDOS...................................................................................................N UMERO...........NOMBRE...........................................

Primera pregunta. Cada uno de los apartados se calicara de 0 a 2 puntos. Un error consideradomuy graveen alguno de los apartados puede hacer que la calicacion global de la pregunta sea 0 puntos.

Responda breve y razonadamente

1. Las funciones f y g son indenidamente derivables en x = 0. La formula de Taylor de orden 5 enx= 0 de f es f(x) = x3 2x4 + R5 y la de orden 4 de g esg (x) = x + x2 + R4 (Rn es lo mismoqueo(xn)). Hallar la formula de Taylor de orden 5 de f g enx = 0 y estudiar si f g tiene en x = 0un maximo relativo, mnimo relativo o punto de inexion.

2. Demostrar que arctg x x si x 2 [0; +1).

3. Enunciar la propiedad arquimediana de los numeros reales y, utilizando esta, demuestrese queN

no esta acotado superiormente.


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4. Sea z un numero complejo,jzj = 1, z6= 1. Comprobar que 1 + z1 z es imaginario puro (su parte real

es 0).

5. Seaf : [0; +1) ! Runa funcion continua tal que f(0) = 1 y limx!+1

xf(x) = 2. Estudiar el caracter

de la integral Z +10

f(x)arctg xpx ln(1 + x)

dx


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APELLIDOS...................................................................................................N UMERO...........

NOMBRE...........................................

Segunda pregunta. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion global de lapregunta sea 0 puntos.

Dada la funcion

f(x) =

8>:

2 ln(1x) arctg x+2x2+x3x3

si x 2 [1; 0)a si x = 0arcsen xshxp

1x2cos x si x 2 (0; 1]

1. Determnese el valor de a para que sea continua. (Hasta 6 puntos.)

2. Estudiese la derivabilidad en (1; 1). (Hasta 4 puntos.)


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APELLIDOS...................................................................................................N UMERO..........

NOMBRE...........................................

Tercera pregunta. Se calicara cada apartado de 0 a 5 puntos. Un error considerado muy gravepuede hacer que la calicacion global de la pregunta sea 0 puntos.

Dadas la elipse x2

16+

y 2

9= 1 y la circunferencia con centro en el punto (0; 3) y radio 5, se pide:

1. Area de la region comun a la elipse y la circunferencia.

2. Volumen del cuerpo que se forma cuando la region anterior gira en torno al eje OX.


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NOMBRE...........................................

Cuarta pregunta. Se cali cara cada apartado de 0 a 5 puntos. Un error considerado muy gravepuede hacer que la calicacion global de la pregunta sea 0 puntos.

Dada la funcion

f(x) =

( 2 1t

2p2t2 si t 2 [1; 0)

6p3

t2t2t+1 si t 2 [0; 1]

consideramos su funcion integral asociada F(x) =

Z x1

f(t) dt.

1. Estudiar la continuidad y derivabilidad deF en [1; 1].2. Calculese, si existen, el maximo y mnimo absolutos de F en [1; 1].


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1. Las funciones f y g son indenidamente derivables en x = 0. La formula de Taylor de orden 5 enx= 0 de f es f(x) = x3 2x4 + R5 y la de orden 4 de g esg (x) = x + x2 + R4 (Rn es lo mismoqueo(xn)). Hallar la formula de Taylor de orden 5 de f g enx = 0 y estudiar si f g tiene en x = 0un maximo relativo, mnimo relativo o punto de inexion.

Multiplicando los desarrollos se tiene

h(x) =244!

x4 +3605!

x5 + R5= x4 + 3x5 + R5As, h0(0) =h00(0) =h000(0) = 0 y hiv(0)0 8x 2 [0; +1), por lo que h escreciente. Como h(0) = 0, h(x) 0 y queda demostrado.

Con el desarrollo de Taylor: arctg x= x R1= x 2t

2(1 + t2)2 x2

; 0< t < x. Como la fraccionanterior es siempre mayor o igual a 0, se sigue el resultado.

3. Enunciar la propiedad arquimediana de los numeros reales y, utilizando esta, demuestrese que Nno esta acotado superiormente.

Consultar la teora.


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4. Sea z un numero complejo,jzj = 1, z6= 1. Comprobar que 1 + z1 z es imaginario puro (su parte real

es 0).

Si z = a+ ib, a2 + b2 = 1. Asi

1 + z1 z =1 + a + ib1 a ib =(1 + a+ ib)(1 a+ ib)j1 a ibj2 = 1 a + ib + a a

2

+ iab + ib iab b2

j1 a ibj2 =

= 2b

(1 a)2 + b2 i

5. Seaf : [0; +1) ! Runa funcion continua tal que f(0) = 1 y limx!+1

xf(x) = 2. Estudiar el caracter

de la integral Z +10

f(x)arctg xpx ln(1 + x)

dx

La integral es impropia de primera especie y de segunda especie en 0, por lo que debemos estudiar

Z a

0

: Aplicando equivalencias

limx!0

xkf(x)arctg xp

x ln(1 +x)= lim

x!0xkf(x)xp

xx = 1

si k =1

2


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NOMBRE...........................................


Dada la funcion

f(x) =

8>:

2 ln(1x) arctg x+2x2+x3x3

si x 2 [1; 0)a si x = 0arcsen xshxp

1x2cos x si x 2 (0; 1]

1. Determnese el valor de a para que sea continua. (Hasta 6 puntos.)

2. Estudiese la derivabilidad en (1; 1). (Hasta 4 puntos.)

1. Los desarrollos de Taylor en 0 de las funciones que aparecen son

ln(1 x) = x 12

x2 + R2

arctg x= x + 0 x2 13

x3 + R03

arcsen x= x +1

6x3 + R4

sh x= x +1

6x3 + R04p

1 x2 = 1 12

x2 18

x4 + R004

cos x= 1 12

x2 + 1

24x4 + R0004

Asi tenemos

limx!0

2 ln(1 x) arctg x + 2x2 + x3x3

= limx!0

2x x22 + R2

x x33 + R03

+ 2x2 + x3

x3 =

= limx!0

2x

3 2x R

03

x3 + 2

x2

6 x2 R

03

x3 + 2

R2x2

2 x2

3

R2x2

+ 2R03x3

R2

= 0

Por otra parte

limx!0+

arcsen x shxp1 x2 cos x = limx!0+

x + x3

6 + R4 x x3

6 R04

1 x22 x4

8 + R004 1 + x

2

2 x4

24 R0004

=

= limx!0+

R4 R04x46 + R004 R0004

= 0

por lo que el lmite existe y vale 0. Asi,a = 0 para que sea continua.


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2. La funcion es evidentemente derivable en todo punto salvo enx = 0. Para estudiar este punto hay

que calcular limx!0

f(x) f(0)x 0 . Para calcular este lmite se utilizan las mismas tecnicas que antes,

salvo que hay que considerar desarrollos de arcsen x y sh x de orden 5. Los lmites laterales sondiferentes, por lo que no existe el lmite y la funcion no es derivable.


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NOMBRE...........................................

Tercera pregunta. Se calicara cada apartado de 0 a 5 puntos. Un error considerado muy gravepuede hacer que la calicacion global de la pregunta sea 0 puntos.

Dadas la elipse x2

16+

y 2

9= 1 y la circunferencia con centro en el punto (0; 3) y radio 5, se pide:

1. Area de la region comun a la elipse y la circunferencia.

2. Volumen del cuerpo que se forma cuando la region anterior gira en torno al eje OX.

La circunferencia tiene por ecuacionx2 + (y+ 3)2 = 25. La region esta representada en la gura

-4 4

zona comn

1. Despejandoy en la ecuacion de la circunferencia se tieney = 3 + p25 x2, por lo que el area dela parte superior de la region (debajo de la circunferencia y sobre OX) es

2

Z 40

(3 +p

25 x2)dx= 24 + 2Z 4

0

p25 x2dx

Esta ultima integral con el cambio x = 5 sen t se transforma en

Z arcsen 45

0

25cos2 tdt, que es inme-

diata. El resto del area corresponde a media elipse de semiejes 4 y 3, por lo que es 6. El area total

es 6+ 25 arcsen4

512.

2. Al girar la region se forma un elipsoide de revolucion de semiejes 4, 3 y 3. Asi el volumen es

V =4

3 4 3 3 = 48


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NOMBRE...........................................

Cuarta pregunta. Se cali cara cada apartado de 0 a 5 puntos. Un error considerado muy gravepuede hacer que la calicacion global de la pregunta sea 0 puntos.

Dada la funcion

f(t) =

( 2 1t

2p2t2 si t 2 [1; 0)

6p3

t2t2t+1 si t 2 [0; 1]

consideramos su funcion integral asociada F(x) =

Z x1

f(t) dt.

1. Estudiar la continuidad y derivabilidad deF en [1; 1].2. Calculese, si existen, el maximo y mnimo absolutos de F en [1; 1].

1. La funcionftiene una unica discontinuidad ent = 0, por lo que es integrable y su funcion integralFes continua en [1; 1]. Comofes continua en [1; 0)[(0; 1],Fes derivable en el mismo conjuntoy su derivada es f. Solo hay que estudiar la derivabilidad en 0. Como F es continua en x = 0, los

siguientes lmites presentan una indeterminacion0

0y se puede aplicar la regla de L'Hopital (F0 = f

en cada caso):

limx!0

F(x) F(0)x 0 = limx!0 f(x) = limx!0 2 1 x

2

p2 x2 = p2.

limx!0+

F(x) F(0)x 0 = limx!0+

6p3

x 2x2 x + 1=

12p3

, por lo que Fno es derivable en 0.

2. Como F es continua y [1; 1] es cerrado y acotado (compacto), F alcanza su maximo y mnimoabsolutos. Los puntos a considerar son los puntos crticos pertenecientes a [1; 1](la derivada deFesfsalvo enx = 0 en que no es derivable), los extremos del intervalo y puntos de no derivabilidad.Asi hay que considerar1, 0 y 1. Al ser f >0 en [1; 0), Fcrece en ese intervalo y como f


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0< x 1:

F(x) =

Z x1

f(t) dt = F(0) + 6p

3

Z x0

t 2t2 t+ 1 dt= 1 +

6p3

1

2

Z x0

2t 4t2 t + 1 dt

=

= 1 + 6

2p

3

0B@Z x0

2t 1t2 t+ 1

3 4 p33 2

Z x0

2p3

1 +

2t1p3

2 dt1CA =

= 1 + 3p

3ln(x2 x + 1) 6

arctg

2x 1p3

arctg

1p3

=

= 3p

3ln(x2 x + 1) 6

arctg

2x 1p3

ya que arctg

1p

3

=

6.

Evaluando, F(1) = 1 y comoF(1) = 0, el mnimo absoluto se alcanza en x = 1.

Como se ve, puede hacerse todo el problema salvo la determinacion nal sin necesi-

dad de calcular la funcion F. Otro procedimiento totalmente valido es empezarpor el calculo de esta funcion y estudiar luego los dos apartados sobre ella.


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C ALCULO INFINITESIMALPrimer curso. Primer examen parcial. 5 de Febrero de 2007.




1. La desigualdad triangular de los numeros complejos establece

jz+ wj jzj + jwj; 8 z; w 2 C:

Estudiese si son ciertas o falsas las siguientes desigualdades:

(a)jzj jwj jz+ wj 8 z; w 2 C:(b)

jzj j

wj j

z

wj 8

z; w2

C:

(c)jzj + jwj jz+ wj 8 z; w 2 C:

2. Hallar el numero de races reales de f(x) = ln(1 + x) xx + 1

en [0; +1).


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3. El polinomio de Taylor de orden 3 de f(x) ena = 1 es 2 5x + 7x2 2x3. Halle la ecuacion de larecta tangente a la graca def(x) enx = 1.

4. Sea f : [0; 2] ! R, f(x) =8Es diferenciablef(x; y) =

( x2y2

x4+y4 si (x; y) 6= (0; 0)0 si (x; y) = (0; 0)

en (0; 0)?

3. >En que puntos arma el teorema de la Funcion inversa que existe inversa local diferenciable de lafuncion

F(x; y) =

x

y;x3 + y3

x3 y3

; y 6= 0; x 6=y ? (En el denominador pone y. El apostrofe es realmentela coma de separacion.)


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4. Calculese la torsion y el plano osculador a la curva

(t) =

sen2 t + t

t;

t

2;cos2 t

+

1

t

; t > 0

en el punto 1;

2

;2

.

5. Dada la integral doble

Z 10

Z 1+p1x2p

1(x1)2f(x; y)dy dx, dibujar el recinto y cambiar el orden de inte-

gracion.


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C ALCULO INFINITESIMALPrimer curso. Segundo examen parcial. 12 de Junio de 2006.


NOMBRE...........................................


1. Demostrar que la serie

+1Xn=1

2n + 1

n(n+ 1)(n + 2)es convergente y hallar su suma. (Indicacion: expresar

2n + 1

n(n + 1)(n + 2) como

a

n+

b

n + 1+

c

n + 2para ciertas constantes a;b;c 2 R.) (Hasta 5 puntos).

2. Dada la serie de potencias

+1

Xn=1

x3n

n 8n

, determinar su intervalo de convergencia (estudiando tambien

los extremos del mismo) y sumarla en el. (Hasta 5 puntos).


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NOMBRE...........................................

Cuarta pregunta. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion global de lapregunta sea 0 puntos.

Se considera una placa con forma de triangulo isosceles de base 2 y altura 1, rematado con mediocrculo de radio 1 de forma que la base del triangulo y el diametro del semicrculo coindiden. Sabemosque la densidad del material es proporcional (constante de proporcionalidad 1) a la distancia al verticeopuesto al semicrculo. Hallar

1. La masa de la placa. (Hasta 5 puntos).

2. La distancia a la que se encuentra el centro de masas del vertice antes citado. (Hasta 5 puntos).


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1. Dada la supercie z = x +y, denuestre razonadamente y sin hallarlos, que los planos tangentes ala misma en (0; 2) y en (7; 5) coinciden.

La supercie z = x +y es un plano. Por tanto, todos los planos tangentes a la misma coinciden ysonz = x + y.

2. >Es diferenciablef(x; y) =

( x2y2

x4+y4 si (x; y) 6= (0; 0)0 si (x; y) = (0; 0)

en (0; 0)?

La funcion no es continua en (0; 0) ya que

lim!0

4 cos2 ' sen2 '

4(cos4 ' + sen4 ')=

cos2 ' sen2 '

cos4 ' + sen4 '

que depende de '. Por tanto no es diferenciable en (0; 0).

3. >En que puntos arma el teorema de la Funcion inversa que existe inversa local diferenciable de lafuncion

F(x; y) =

x

y;x3 + y3

x3 y3

; y 6= 0; x 6=y ? (En el denominador pone y. El apostrofe es realmentela coma de separacion.)

Construimos la matriz de las derivadas parciales de cada funcion componente0B@

1y

xy2

6x2y3(x3y3)2

6x3y2

(x3y3)2

1CA

. En su dominio todas las derivadas parciales son continuas y por tanto

Fes diferenciable. El determinante de la matriz anterior es 0 8x; y, por lo que no podemos asegurarla existencia de la funcion inversa en ningun punto.


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4. Calculese la torsion y el plano osculador a la curva

(t) =

sen2 t + t

t;

t

2;cos2 t

+

1

t

; t > 0

en el punto 1;

2

;2

.

Primera forma: Si (x; y; z) son las coordenadas de un punto de la curva, tenemos

x

+ z=

sen2 t

+

t

1

t+

cos2 t

+

1

t =

1

+

1

t =

1

+

2

y

por lo que la curva es plana. En consecuencia, la torsion es 0 y el plano osculador es el plano quela contiene (el anterior).

Segunda forma:

0 =

2sen t cos t + 1 +

t2;1

2;2sen t cos t

1

t2

=

sen(2t) + 1 +

t2;1

2; sen(2t)

1

t2

00 =

2 cos(2t) 2t3

; 0; 2cos(2t)

+ 2t3

000 =

4sen(2t) +6t4

; 0;4 sen(2t)

6

t4

Como el punto corresponde a t = , 0() =

1 + 1

;1

2; 1

2

, 00() =

2 2

2; 0; 2

+

2

3

y

000() =

6

3; 0; 6

4

. Con estos valores se tiene ~w= 0 00 = 1

3(1 2; 2 + 2 23; 3)

y comojj0 00jj 6= 0 y [0; 00; 000] = 0, la torsion es 0 y la curva plana. En este caso, ~w es unvector ortogonal al plano osculador, por lo que la ecuacion es

(x

(

1); y

2

; z

2

)

~w= 0

5. Dada la integral doble

Z 10

Z 1+p1x2p

1(x1)2f(x; y)dy dx, dibujar el recinto y cambiar el orden de inte-

gracion.

dominio

Las circunferencias son (x 1)2 + y2 = 1; x2 + (y 1)2 = 1 y la integralZ 1

0

Z 1p1y20

f(x; y) dx dy+

Z 21

Zp1(y1)20

f(x; y) dx dy


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NOMBRE...........................................


1. Demostrar que la serie

+1Xn=1

2n + 1

n(n+ 1)(n + 2)es convergente y hallar su suma. (Indicacion: expresar

2n + 1

n(n + 1)(n + 2) como

a

n+

b

n + 1+

c

n + 2para ciertas constantes a;b;c 2 R.) (Hasta 5 puntos).

2. Dada la serie de potencias

+1

Xn=1

x3n

n 8n

, determinar su intervalo de convergencia (estudiando tambien

los extremos del mismo) y sumarla en el. (Hasta 5 puntos).

1. Basta aplica el criterio de Pringsheim con k= 2. Por otra parte, 2n + 1

n(n+ 1)(n + 2)=

12

n+

1

n + 1+

32

n + 2y asi

Sn =12

1 +

1

2+

323

+

+12

2

+1

3

+ 3

2

4

+

+12

3+

1

4+

325

+

+ +

+12

n+

1

n++

32

n + 2=

5

4+

1

n+ 1+

32

n + 2! 5

4

De igual forma se puede usar la constante de Euler: Sn =1

2Hn+ (Hn+1 1) 3

2

Hn+2 1 1

2

.

2. Convergencia: limn

jxj3n+3(n+1) 8n+1

jxj3nn 8n

= limn

jxj3 n8(n + 1)

=jxj3

8


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Suma: Como es una serie de potencias podemos permutar la suma y la integral. Asi+1Xn=1

x3n

n 8n = 3

+1Xn=1

x3n

3n

1

8n = 3

+1Xn=1

1

8n

Z x3n1dx=

3

2

Z +1Xn=1

x2

3n1dx=

3

2

Z x24

1 x38

dx=

=3

2 Z 2x2

8

x3

dx= ln(8 x3) + C. Evaluando en x = 0, C= ln8. Asi+1Xn=1

x3n

n 8n = ln

8

8 x3


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NOMBRE...........................................

Tercera pregunta. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion global de lapregunta sea 0 puntos.

Sean f; g; h 2 C(2(R2) con polinomios de Taylor de grado 2 en (0 ; 0):Funcionf: 1 + x y+ 3x2 xyFunciong : x + y x2 + xy 2y2Funcionh:1 + 2x y+ 2x2 y2SiF(x; y; z) = f(x2; y) + g(y2; z) + h(x; z2),

1. Demostrar queF(x; y; z) = 0 dene a z como funcion implcita diferenciables dex; y en un entornode (0; 0; 0). (Hasta 3 puntos).

2. Siz = z(x; y) es la funcion del apartado anterior, hallar su polinomio de Taylor de grado 1 en (0 ; 0).(Hasta 7 puntos).

Para evitar confusiones con las variables, cambiaremos las letras que las identican

Funcionf(u1; v1): 1 + u1 v1+ 3u21 u1v1 ) f(0; 0) = 1; @f

@u1(0; 0) = 1;

@f

@v1(0; 0) = 1

Funciong(u2; v2): u2+ v2 u22+ u2v2 2v22 ) g(0; 0) = 0; @g

@u2(0; 0) = 1;

@g

@v2(0; 0) = 1

Funcionh(u3; v3):1 + 2u3 v3+ 2u23 v23 ) h(0; 0) = 1; @h

@u3(0; 0) = 2;

@h

@v3(0; 0) = 1

Entonces F(x; y; z) = f(x2; y) + g(y2; z) + h(x; z2) = f(u1; v1) + g(u2; v2) + h(u3; v3), siendou1= x

2; v1= y; u2= y2; v2= z; u3 = x; v3= z

2.

1. Comprobemos que se verican las hipotesis del teorema de la Funcion implcita:

F(0; 0; 0) = f(0; 0) + g(0; 0) + h(0; 0) = 0. Derivadas parciales: Teniendo en cuenta que

@v1@x

=@u2

@x =

@v2@x

=@v3

@x= 0 tenemos

@F

@x =

@f

@u12x +

@h

@u3y por identicos motivos@F

@y =

@f

@v1+

@g

@u22y,

@F

@z =

@g

@v2+

@h

@v32z

Asi, las derivadas parciales existen y son continuas, luego Fes diferenciable.

Por ultimo,

@F

@z

(0; 0; 0) = 1

6= 0.

Se sigue que z es funcion implcita diferenciable de x; y, z = z(x; y).

2. Derivaremos de forma implcita la ecuacionf(u1; v1) + g(u2; v2) + h(u3; v3) = 0

Derivando respecto a x: @f

@u12x +

@g

@v2

@z

@x+

@h

@u3+

@h

@v32z

@z

@x= 0

y evaluando en (0; 0; 0) tenemos @z

@x= 2.


60/245

Derivando respecto a y : @f

@v1+

@g

@u22y+

@g

@v2

@z

@y+

@h

@v32z

@z

@y = 0

y evaluando en (0; 0; 0) tenemos @z

@y = 1.

Asi, el polinomio de Taylor de grado 1 de z es

0 2

1! x +

1

1! y= 2x + y


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NOMBRE...........................................


Se considera una placa con forma de triangulo isosceles de base 2 y altura 1, rematado con mediocrculo de radio 1 de forma que la base del triangulo y el diametro del semicrculo coindiden. Sabemosque la densidad del material es proporcional (constante de proporcionalidad 1) a la distancia al verticeopuesto al semicrculo. Hallar

1. La masa de la placa. (Hasta 5 puntos).

2. La distancia a la que se encuentra el centro de masas del vertice antes citado. (Hasta 5 puntos).

1 2

= 2 cos

La ecuacion del crculo es (x 1)2 +y2 = 1. Pasando a coordenadas polares es 0 2cos ',

4 '

4.

1. Masa:

m=

ZZplaca

px2 + y2 dxdy =

Z 4

4

d'

Z 2cos '0

d=Z

4

4

3

3

2 cos '0

d'=8

3

Z 4

4

cos3 'd'=

=8

3 Z 4

4

(1 sen2 ')cos 'd'= 20p

2

9

2. En esta posicion la distancia del centro de masas al vertice es x. Asi

x= 1

m

ZZplaca

xp

x2 + y2 dxdy= 1

m

Z 4

4

d'

Z 2cos '0

cos ' d= 1m

Z 4

4

cos '

4

4

2cos '0

d'=

= 4

m

Z 4

4

cos5 'd'== 4

m

Z 4

4

(1 sen2 ')2 cos 'd'= 129100

= 1029


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1. Se sabe que la serie de potencias

+1Xn=0

an(x 1)n es convergente para x =2 y divergente parax = 7. Diga razonadamente que se puede armar sobre la convergencia de las series numericas+1Xn=0

an,+1Xn=0

3nan y+1Xn=0

(1)n2nan.

2. Sea X R2, X abierto y f : X! R. Indique, escribiendo V o Fque armaciones son ciertas ycuales falsas en todo caso:

(a) Si f2 C(1(X), fes continua en X.(b) Si f2 C(1(X), ftiene plano tangente en todo punto de X.(c) Si ftiene todas las derivadas direccionales, incluidas las derivadas parciales en todo punto de

X, f2 C(1(X).(d) Si f2 C(1(X), f tiene todas las derivadas direccionales, incluidas las derivadas parciales en

todo punto de X.

(e) Si ftiene derivadas parciales continuas en todo punto de X, f2 C(1(X).(f) Si fes diferenciable en todo punto de X, f2 C(1(X).(g) Si f2 C(1(X), fes diferenciable en todo punto de X.

Esta pregunta se calicara con la siguiente tabla: 4 respuestas correctas, 1 punto, 5 respuestascorrectas, 105 puntos, 6 respuestas correctas, 2 puntos, 7 respuestas correctas, 205 puntos.


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NOMBRE...........................................


Hallar los maximos y mnimos absolutos de la funcionf(x; y) = y3 3x2y+ 6x en el dominioD= f(x; y) 2 R2; jxj + jyj 3; y 0g.


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NOMBRE...........................................


1. Comprobar que el sistema de ecuaciones (x 2)2 + (y 1)2 + (z 2)2 = 1exy + x2 z2 = 1

dene a y; z como funciones implcitas diferenciables y = y(x); z = z (x) de x en un entorno delpunto (x; y; z) = (2; 0; 2). (Deben comprobarse explcitamente todas las condiciones del, o los,

teoremas utilizados. Hasta 3 puntos.)2. Consideremos la curva enR3, (x) = (x; y(x); z(x)), x 2 (2 r; 2 +r) para algun r >0. Hallar el

vector tangente a en x = 2. (Hasta 5 puntos.)

3. Hallar el valor de la derivada direccional de la funcionF(x; y; z) = sen(xy) + z2 en el punto (2; 0; 2)segun la direccion del vector tangente calculado en el apartado anterior. (Hasta 2 puntos.)


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NOMBRE...........................................

Cuarta pregunta. Planteamiento de la, o las, integrales necesarias, con los posibles cambios devariable, hasta 5 puntos. Resolucion efectiva de estas, hasta 5 puntos. No se valorara la segunda parte sino es totalmente correcta la primera. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacionglobal de la pregunta sea 0 puntos.

Consideremos el cuerpo limitado inferiormente por la esfera x2 +y2 +z2 2z = 0 y superiormentepor el cono z 2 =x2 + y2. Su densidad puntual esd(x; y; z) = jxj3jyj3. Hallar la masa del cuerpo.


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1. Se sabe que la serie de potencias

+1Xn=0

an(x 1)n es convergente para x =2 y divergente parax = 7. Diga razonadamente que se puede armar sobre la convergencia de las series numericas+1Xn=0

an,+1Xn=0

3nan y+1Xn=0

(1)n2nan.

Con los datos del enunciado sabemos que la convergencia es absoluta al menos en I= (2; 4), peroen x=2 solo sabemos que converge condicionalmente. Como

+1Xn=0

an es la serie para x = 22I,

converge absolutamente. La serie+1Xn=0

3nan corresponde a x = 4, por lo que no podemos armar

nada y+1Xn=0

(1)n2nan es para x = 1 2 I, luego es absolutamente convergente.

2. Sea X

R2, X abierto y f : X

!R. Indique, escribiendo V o Fque armaciones son ciertas y

cuales falsas en todo caso:

Recordemos quef2 C(1(X) si, y solo si, ftiene derivadas parciales continuas.(a) Si f2 C(1(X), fes continua en X. (V)(b) Si f2 C(1(X), ftiene plano tangente en todo punto de X. (V)(c) Si ftiene todas las derivadas direccionales, incluidas las derivadas parciales en todo punto de

X, f2 C(1(X). (F)(d) Si f2 C(1(X), f tiene todas las derivadas direccionales, incluidas las derivadas parciales en

todo punto de X. (V)

(e) Si ftiene derivadas parciales continuas en todo punto de X, f2 C(1(X). (V)(f) Si fes diferenciable en todo punto de X, f

2C(1(X). (F)

(g) Si f2 C(1(X), fes diferenciable en todo punto de X. (V)Esta pregunta se calicara con la siguiente tabla: 4 respuestas correctas, 1 punto, 5 respuestascorrectas, 105 puntos, 6 respuestas correctas, 2 puntos, 7 respuestas correctas, 205 puntos.


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3. Consideremos la funcion f :R2 ! R2, f(x; y) = (3x + y3; 3y+ x3).(a) >Admite inversa global enR2? En caso armativo, calcularla.

(b) >Admite inversa local en (1; 0)? En caso armativo hallar la matriz jacobiana de def1 en(3; 1).

(a) f(0; 0) = (0; 0). Como3x+ y3 = 0 ) x = y3

3, sustituyendo en3y+ x3 = 0, se tiene

el punto (p

3;p

3), que verica f(p

3;p

3) = (0; 0). Asi, fno es inyectiva y no tiene inversaglobal.

(b) Las derivadas parciales, dispuestas en forma de matriz, son

3 3y23x2 3

, por lo que las

derivadas parciales existen y son continuas. Se sigue que la aplicacionfes diferenciable. Como

en (1; 0) la matriz es

3 03 3

, y su determinante vale 9 6= 0, la funcion es localmente

invertible. Asi

Jf1(3; 1) = 3 03

3

1=

13 0

1

3 1

3

4. Calcular la integral

ZZD

cos(x 2y) dxdy, D =f(x; y)2R2 j x y 4 x; x 2y x g,mediante el cambio de variablex = u + v; y= u v.

Como el jacobiano de la transformacion es J =

1 11 1

=2, el modulo del jacobiano es

jJj = 2. Ademas,x y ) u 0, y 4 x ) u 2, x 2 y ) v 1, y x ) v 0,tenemos ZZ

D

cos(x 2y) dxdy= 2Z

2

0

duZ

1

0

cos(3v u)dv = 23

[cos 1 cos2 cos 3 + 1]


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NOMBRE...........................................


Hallar los maximos y mnimos absolutos de la funcionf(x; y) = y3 3x2y+ 6x en el dominioD= f(x; y) 2 R2; jxj + jyj 3; y 0g.

El dominio es el triangulo de la gura

(0,3)

(-3,0) (3,0)

AB

C

Puntos crticos relativos:@f

@x= 6xy+ 6 = 0 ) xy = 1

@f

@y = 3y2

3x2 = 0

) y=

x

Para y = x, la primera ecuacion es x2 = 1 ) x =1, lo que suministra los puntos (1; 1) quepertenece al dominio y (1; 1) que no pertenece. Por otra parte, y =x conduce ax2 = 1, que noaporta soluciones.

Estudio en la frontera:

1. LadoA: x + y= 3 ) y= 3 x; x 2 [0; 3]'(x) = (3 x)3 3x2(3 x) + 6x. Derivando e igualando a 0, '0(x) = 0. da como valores dex =

r7

2, a los que corresponden los puntos

r

7

2; 3

r7

2

!. Solo pertenece al dominio el

punto

r

7

2; 3 r

7

2

!y los correspondientes a los extremos del intervalo (0; 3) y (3; 0).

2. Lado B: y x = 3 ) y = 3 +x; x2[3; 0]. Procediendo de forma similar tenemos los puntosr

11

2; 3

r11

2

!y los extremos (3; 0) y (0; 3).

3. Lado C: y = 0 x2 [3; 3], solo suministra (3; 0) y (3; 0) que corresponden a los extremos delintervalo.

Evaluando la funcion en los puntos anteriores tenemos maximo absoluto en (0; 3) con valor 27 y

mnimo absoluto en

r

11

2 ; 3

r11

2

!, con valor aproximado de2406.


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NOMBRE...........................................


1. Comprobar que el sistema de ecuaciones (x 2)2 + (y 1)2 + (z 2)2 = 1exy + x2 z2 = 1

dene a y; z como funciones implcitas diferenciables y = y(x); z = z (x) de x en un entorno delpunto (x; y; z) = (2; 0; 2). (Deben comprobarse explcitamente todas las condiciones del, o los,

teoremas utilizados. Hasta 3 puntos.)2. Consideremos la curva enR3, (x) = (x; y(x); z(x)), x 2 (2 r; 2 +r) para algun r >0. Hallar el

vector tangente a en x = 2. (Hasta 5 puntos.)

3. Hallar el valor de la derivada direccional de la funcionF(x; y; z) = sen(xy) + z2 en el punto (2; 0; 2)segun la direccion del vector tangente calculado en el apartado anterior. (Hasta 2 puntos.)

1. El punto veri ca el sistema. Por otra parte, la matriz de las derivadas parciales es 2(x 2) 2(y 1) 2(z 2)yexy + 2x xexy 2z

, que existen y son todas ellas combinaciones de polinomios y

de la funcion exponencial, por lo que son continuas. Se sigue que la funcion es diferenciable. Como

el determinante del menor formado por las dos ultimas columnas, evaluado en (2; 0; 2), vale 8 6= 0,se sigue quey = y(x) y z = z(x) en un entorno de dicho punto.

2. Derivando implcitamente el sistema se tiene

2(x 2) + 2(y 1)y0+ 2(z 2)z0 = 0exy (y+ xy0) + 2x 2zz 0= 0si lo evaluamos en (2; 0; 2), tenemos y0 = 0, z0 = 1. Asi, el vector velocidad es ~v = (1; 0; 1), y el

vector tangente~t= 1p

2(1; 0; 1).

3. El gradiente de Fen un punto generico es gradF(x;y;z) = (y cos(xy); x cos(xy); 2z) y en el punto

(2; 0; 2) es gradF(2; 0; 2) = (0; 2; 4). Asi D~tF(2; 0; 2) = (0; 2; 4)

1

p2(1; 0; 1) =

4

p2.


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NOMBRE...........................................

Cuarta pregunta. Planteamiento de la, o las, integrales necesarias, con los posibles cambios devariable, hasta 5 puntos. Resolucion efectiva de estas, hasta 5 puntos. No se valorara la segunda parte sino es totalmente correcta la primera. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacionglobal de la pregunta sea 0 puntos.

Consideremos el cuerpo limitado inferiormente por la esfera x2 +y2 +z2 2z = 0 y superiormentepor el cono z 2 =x2 + y2. Su densidad puntual esd(x; y; z) = jxj3jyj3. Hallar la masa del cuerpo.

La esfera es x2 + y2 + (z 1)2 = 1, por lo que la proyeccion del cuerpo esx2 + y2 = 1. Tanto el cuerpocomo la densidad son simetricas, por lo que basta trabajar con el primer cuadrante y multiplicar por 4,con lo que

jxj

=x;j

yj

=y. Cambiando a coordenadas polares se tiene

m=

ZZproyeccion

jxj3jyj3dxdyZpx2+y2

1p

1x2y2dz=

ZZproyeccion

jxj3jyj3hp

x2 + y2 1 +p

1 x2 y2i

dxdy=

= 4

Z 2

0

d'

Z 10

3 cos3 '3 sen3 'h

1 +p

1 2i

d= 4

Z 2

0

cos3 ' sen3 ' d'

Z 10

7h

1 +p

1 2i

d

I1 =

Z 10

7h

1 +p

1 2i

d=

Z 10

h8 7 + 7

p1 2

i d=

9

9

8

8

10

+

Z 10

7p

1 2 d

En esta ultima integral se realiza el cambio 1 2

=u

2

y queda

I1= 172

Z 0

1

(1 u2)3u2 du= 172

+

1

3 3

5+

3

7 1

9

Como este resultado es numerico, si le llamamosA, tenemos

m= 4A

Z 2

0

cos3 ' sen3 ' d'= 4A

Z 2

0

sen3 '(1 sen2 ')cos ' d'= 4A 112

=A

3


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3. Sea f(x; y) =

1 si x 6= 0 e y6= 00 en el resto de los puntos

. >Se verica la igualdad @f

@x(1; 1) = @f

@y(1; 1)?

4. Sea f(x; y) una funcion de clase C(2 en R2. Sabemos que f alcanza en D =f(x; y) j x2 +y2 1gsu maximo absoluto en el punto (1; 0) y su mnimo absoluto en (0; 0). Decir si son verdaderas (V)o falsas (F) las siguientes armaciones:

(a) El gradiente de f en (0; 0) es (0; 0).

(b) La forma cuadratica asociada al Hessiano de f en (0; 0) es denida negativa.

(c) La forma cuadratica asociada al Hessiano de f en (0; 0) es indenida.

(d) La funciong (t) = f(cos t; sen t) verica g 0(0) = 0.

(e) Sih(x; y) = x2 + y2 1, los gradientes defyh en (1; 0) son vectores linealmente dependientes.(Esta pregunta se calicara con la siguiente tabla: Menos de 3 respuestas correctas, 0 puntos, 3respuestas correctas, 1 punto, 4 respuestas correctas, 105 puntos y 5 respuestas correctas, 2 puntos.

5. Se considera la curva en R3 denida por la interseccion del cilindro elptico x2 + 2y2 = 1 y el plano

y= z. Hallar la curvatura y el plano osculador de la curva en el punto

0;

1p2 ;

1p2


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C ALCULO INFINITESIMALPrimer curso. Segundo examen parcial. 28 de Mayo de 2008.


NOMBRE...........................................


Hallar el maximo y mnimo absolutos, si existen, de la funcion f(x; y) = x4 +y4 2(x2 +y2) enD= f (x; y) j x2 + y2 4; y 0; y xg


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NOMBRE...........................................


Seaf :R ! R una funcion de claseC(1 tal que f(1) = 1 y f0(1) = 0.1. Comprobar que

F(x; y; z) =

Z x2+y2z

f(t) dt 2x + y2 + 2z= 0

dene a z como funcion implcita diferenciable de x; y, z = z(x; y), en un entorno del punto(x; y; z) = (1; 0; 1). (Hasta 5 puntos.)

2. Comprobar que la funcion z = z(x; y) del apartado anterior tiene en (1; 0) un punto crtico yclasicarlo. (Hasta 5 puntos.)


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NOMBRE...........................................

Cuarta pregunta. Calculo de las masas parciales, hasta 6 puntos. Calculo efectivo de la masa, 4puntos. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion global de la pregunta sea 0puntos.

Consideremos la laminaA determinada por la elipse x2 + 23y2 = 1. Sabiendo que la parte de laminacomprendida entre las elipses x2 + 2ny2 = 1 y x2 + 2n+1y2 = 1, n 3, tiene densidad n2jxjjyj, hallarla masa de A. (Nota: Para sumar la serie resultante, puede utilizar la suma de la serie de potencias+1Xn=1

n2xn.)


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1. Seaan 0. Si existe el lmiteL = limn!+1

anp

ny 0< L < +1, probar que la serieX an

n converge

si >1

2y diverge si 1

2.

Aplicando el criterio de Pringsheim limn

nkann

= limn

annk = lim

nan

pn nk

12 = L > 0 si

k= +

1

2 . Asi

Si k >1, esto es, si > 12

, la serie es convergente.

Si k 1, esto es, si 12

, la serie es divergente.

2. Dados los conjuntos de numeros reales A = (0; +1), B = (1; 0) [(0; 1) y C =f2g indicar,RAZONADAMENTE si pueden ser o no campo de convergencia de una serie de potencias, ydar un ejemplo en los casos en que s lo sea.

El campo de convergencia de una serie de potencias se reduce a un punto, es un intervalo acotadoo todo R. Por lo tanto,A y B no pueden serlo. C si lo es y, por ejemplo, la serie

Pnn(x 2)n

tiene a Ccomo campo de convergencia.


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3. Sea f(x; y) =

1 si x 6= 0 e y6= 00 en el resto de los puntos

. >Se verica la igualdad @f

@x(1; 1) = @f

@y(1; 1)?

Como f(x; y) es constante e igual a 1 en todo punto no perteneciente al conjuntof(x; 0) j x2Rg [ f(0; y) j y2 Rg, las dos derivadas son iguales y valen 0.

4. Sea f(x; y) una funcion de clase C(2 en R2. Sabemos que f alcanza en D =f(x; y) j x2 +y2 1gsu maximo absoluto en el punto (1; 0) y su mnimo absoluto en (0; 0). Decir si son verdaderas (V)o falsas (F) las siguientes armaciones:

(a) El gradiente de f en (0; 0) es (0; 0). V (Por ser punto crtico.)

(b) La forma cuadratica asociada al Hessiano de f en (0; 0) es denida negativa. F (Vea laclasicacion de formas cuadraticas.)

(c) La forma cuadratica asociada al Hessiano de fen (0; 0) es indenida. F (Vea la clasicacionde formas cuadraticas.)

(d) La funciong (t) = f(cos t; sen t) verica g 0(0) = 0. V(Es punto crtico en la frontera.)

(e) Sih(x; y) = x2 + y2 1, los gradientes defyh en (1; 0) son vectores linealmente dependientes.V (Los dos gradientes son proporcionales y, por tanto, linealmente dependientes.)

(Esta pregunta se calicara con la siguiente tabla: Menos de 3 respuestas correctas, 0 puntos, 3respuestas correctas, 1 punto, 4 respuestas correctas, 105 puntos y 5 respuestas correctas, 2 puntos.

5. Se considera la curva en R3 denida por la interseccion del cilindro elptico x2 + 2y2 = 1 y el plano

y= z. Hallar la curvatura y el plano osculador de la curva en el punto

0;

1p2

; 1p

2

Dado que la curva es la interseccion de un plano con un cilindro, la curva es plana y asi el planoosculador esy = z. Por otra parte, la curva es~x=

cos t;

1p2

sen t; 1p

2sen t

,t 2 [0; 2). El punto

dado corresponde a t =

2 (dato irrelevante, como veremos despues). Asi

~x0=

sen t; 1p2

cos t; 1p

2cos t

) jj~x0jj = 1 y el vector tangente coincide con ~x0. Por tanto

~= ~x00=

cos t; 1p2

sen t; 1p2

sen t

) = jj~jj = 1 en todo punto de la curva.


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NOMBRE...........................................


Hallar el maximo y mnimo absolutos, si existen, de la funcion f(x; y) = x4 +y4 2(x2 +y2) enD= f (x; y) j x2 + y2 4; y 0; y xg

2

2

El dominio es el representado en la gura. Para todo lo quesigue, los puntos con y < 0 se excluyen por no pertenecer

al dominio.Relativos:

@f

@x= 4x3 4x= 0 ) x= 0;1.

@f

@y = 4y3 4y = 0 ) y = 0;1.

Asi, tenemos los puntos (0; 0), (1; 0), (0; 1) y (1; 1)Frontera:

Lado horizontal: y = 0, x2 [0; 2]. La funcion es x4 2x2 y su derivada 4x3 4x = 0 ) x =0; x= 1. Se excluyex = 1 por no pertenecer al dominio y se incluye (por ser extremo) x = 2.Aporta como nuevo punto el (2; 0).

Lado oblicuo: y = x, x 2 [p2; 0]. La funcion es 2x4 4x2 y su derivada 8x3 8x= 0 ) x=0; x= 1. Se excluyex = 1 por no pertenecer al dominio y se incluye (por ser extremo) x = p2.Aporta como nuevo punto el (p2; p2).

Arco de circunferencia: y2 = 4 x2, x2 [p

2; 2]. La funcion es 2x4 8x2 + 8 y su derivada8x3 16x = 0 ) x = 0; x =p2. Se incluye (por ser extremo)x = 2. Aporta como nuevospuntos (0; 2) y (

p2;

p2).

Evaluando la funcion se tiene maximo en (2; 0) y (0; 2) con valor 8 y mnimo en (1; 1) con valor 2.


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NOMBRE...........................................


Seaf :R ! R una funcion de claseC(1 tal que f(1) = 1 y f0(1) = 0.1. Comprobar que

F(x; y; z) =

Z x2+y2z

f(t) dt 2x + y2 + 2z= 0

dene a z como funcion implcita diferenciable de x; y, z = z(x; y), en un entorno del punto(x; y; z) = (1; 0; 1). (Hasta 5 puntos.)

2. Comprobar que la funcion z = z(x; y) del apartado anterior tiene en (1; 0) un punto crtico yclasicarlo. (Hasta 5 puntos.)

1. Comprobamos las condiciones:

F(1; 0; 1) =Z 1

1

f(t) dt 2 + 2 = 0. Derivadas parciales

@F

@x =f(x2 + y2) 2x 2

@F

@y =f(x

2

+ y

2

) 2y+ 2y@F

@z = f(z) + 2

que son todas ellas continuas por ser combinacion de f, que lo es, y funciones polinomicas.Por tantoF es diferenciable.

Evaluando en el punto tenemos@F

@x(1; 0; 1) = 0,

@F

@y(1; 0; 1) = 0,

@F

@z(1; 0; 1) = 16= 0. Por tanto z es funcion implcita

diferenciable dex; y, z = z(x; y).

2. Derivamos la ecuacion

Z x2+y2z

f(t) dt 2x + y2 + 2z = 0 sabiendo que z = z(x; y):

@@x

: f(x2 +y2) 2x f(z) @z@x

2 + 2 @z@x

= 0. Evaluando en (1; 0) (entonces z = 1), tenemos

2 @z@x

(1; 0) 2 + 2 @z@x

(1; 0) = 0 ) @z@x

(1; 0) = 0

@

@y : f(x2 +y2)2yf(z) @z

@y+ 2y +2

@z

@y= 0. Evaluando en (1; 0) tenemos @z

@y(1; 0)+2

@z

@y(1; 0) =

0 ) @z@y

(1; 0) = 0


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y, por tanto,z = z(x; y) tiene un punto crtico en (1; 0). Para clasicarlo, calcularemos las derivadassegundas:

@2

@x2 : f0(x2 +y2) 4x2 +f(x2 +y2) 2 f0(z)

@z

@x

2 f(z) @

2z

@x2+ 2

@2z

@x2 = 0. Evaluando en el

punto, 2 @2z

@x2(1; 0) + 2

@2z

@x2(1; 0) = 0 ) @

2z

@x2(1; 0) = 2.

@2

@y2 : f0(x2 +y2) 4y2 + f(x2 +y2) 2 f0(z)

@z

@y

2 f(z) @

2z

@y 2+ 2 + 2

@2z

@y 2= 0. Evaluando en

el punto, 2 @2z

@y2(1; 0) + 2 + 2

@2z

@y 2(1; 0) = 0 ) @

2z

@y 2(1; 0) = 4.

@2

@x@y : f0(x2 + y 2)4xy f0(z) @z

@x

@z

@y f(z) @

2z

@x@y + 2

@2z

@x@y = 0. Evaluando en el punto,

@2z

@x@y(1; 0) + 2

@2z

@x@y(1; 0) = 0 ) @

2z

@x@y(1; 0) = 0.

Asi,

2 00 4

= 8 > 0

y como2< 0, tiene un maximo.


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NOMBRE...........................................

Cuarta pregunta. Calculo de las masas parciales, hasta 6 puntos. Calculo efectivo de la masa, 4puntos. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion global de la pregunta sea 0puntos.

Consideremos la laminaA determinada por la elipse x2 + 23y2 = 1. Sabiendo que la parte de laminacomprendida entre las elipses x2 + 2ny2 = 1 y x2 + 2n+1y2 = 1, n 3, tiene densidad n2jxjjyj, hallarla masa de A. (Nota: Para sumar la serie resultante, puede utilizar la suma de la serie de potencias+1Xn=1

n2xn.)

x2+2ny2=1 x2+2n+1y2=1

Calcularemos la masa total como suma de la serie formadapor las masas parciales (masa de la parte de placa com-prendida entre dos elipses consecutivas). Para calcular es-tas masas parciales, trabajaremos en el primer cuadrante,lo que nos permite prescindir del modulo en la densidad.Cada una de las masas parciales se obtiene mediante

Mn =

ZZAn

n2 jxjjyj dxdy

donde An es la zona interior a la elipse x2 + 2ny2 = 1 y

exterior ax2 + 2n+1y2 = 1. Asi la masa total sera+1Xn=3

Mn

Calculo de Mn: Mn = 4n2 Z

1

0

x dxZp

1x22n

q 1x22n+1 y dy= 2n2 Z

1

0

x 1 x2

2n 1 x

2

2n+1 dx ==

n2

2n

Z 10

(x x3) dx= 14

n2

2n

Suma de la serie auxiliar: Puede sumarse como serie de potencias o como aritmetico-geometrica.Indicamos aqu le proceso de aritmetico geometrica.

Como M =+1Xn=3

Mn = 1

4

+1Xn=3

n2

2n, sumaremos la serie que se indica en el enunciado desde n = 3 y

particularizaremos la suma a x =1

2.

Sn = x + 4x2 + 9x3 + + n2xn. Multiplicando porx

xSn = x2 + 4x3 + 9x4 + + (n 1)2xn + n2xn+1 y restando

(1

x)Sn = x + 3x2 + 5x3 +

+ (2n

1)xn

n2xn+1. Multiplicando de nuevo por x

x(1 x)Sn = x2 + 3x3 + 5x4 + + (2n 3)xn + (2n 1)xn+1 n2xn+2 y restando de nuevo(1 x)2Sn = x + 2(x2 + x3 + x4 + + xn) (n2 + 2n 1)xn+1 + n2xn+2 ==x + 2

nXk=2

xk (n2 + 2n 1)xn+1 + n2xn+2. Pasando al lmite y recordando que sijxj


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1. SeaF = (f1; f2) : R2 ! R2 una funcion de claseC(1 yP2 . Seanu= f1(x; y) yv = f2(x; y).>Que se puede armar sobre la existencia de la inversa local de Fen un entorno de Pa partir delteorema de la funcion inversa si u = g(v) en un entorno de P, siendog una funcion de clase C(1?

2. >Puede existir una curva enR3 tal que en cada uno de sus puntos la curvatura sea nula y la torsionno?>Y la torsion nula y la curvatura no? Justifquese la respuesta.


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3. Sea f2 C(2(R2; R). Su gradiente en (x; y) es (g(x; y); h(x; y)). Indicar razonadamente por que@g

@y =

@h

@x

4. Sea g : R2 ! R una funcion de clase C(2 que tiene un mnimo relativo en el punto (u0; v0). Sumatriz hessiana en dicho punto es

H(g)(u0; v0) =

2 11 2

SeaF :R2

! R2

, de claseC(2

, conF(x0; y0) = (u0; v0). La matriz jacobiana de Fen dicho puntoes

J(F)(x0; y0) =

1 01 2

Seah = g F. Hallar @2h

@x2(x0; y0).

5. Dada la integral

Z 2

1

dy

Zp

y

1y

f(x; y) dx, dibujar el recinto sobre el que se ha planteado y cambiar el

orden de integracion.


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NOMBRE...........................................


Dada la serie de potencias+1Xn=1

x3n1

3n 1 hallar:

1. Radio de convergencia. (1 pto.)

2. Convergencia en los extremos. (2 pto.)

3. Suma de la serie. (4 pto.)

4. Calcular, cuando sea posible, la suma de las series numericas

+1Xn=1

(1)n13n 1 ;

+1Xn=1

8n

3n 1

justicando si en algun caso no lo es. (3 pto.)


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NOMBRE...........................................


Hallar la masa de la placaf(x; y)jx2 + y2 2x; x2 + y2 4xg, siendo la densidad d(x; y) = jxyj.


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1. SeaF = (f1; f2) : R2 ! R2 una funcion de claseC(1 yP2 . Seanu= f1(x; y) yv = f2(x; y).>Que se puede armar sobre la existencia de la inversa local de Fen un entorno de Pa partir delteorema de la funcion inversa si u = g(v) en un entorno de P, siendog una funcion de clase C(1?

Como g es de clase C(1, la funcion F(g f2; f2) verica todas las condiciones del teorema de lafuncion inversa salvo el jacobiano, ya que

@f1@x @f1@y@f2

@x@f2@y

=

g0 @f2@x g0 @f2@y@f2

@x@f2@y

=g0 @f2

@x

@f2@y

@ f2@y

@f2@x

= 0

independientemente del valor de g 0. No se puede armar nada.

2. >Puede existir una curva enR3 tal que en cada uno de sus puntos la curvatura sea nula y la torsionno?>Y la torsion nula y la curvatura no? Justifquese la respuesta.

Si la curvatura es nula en todo punto, la curva es una recta, que es plana. Torsion igual a 0. Una curva plana puede tener curvatura distinta de 0 y siempre tiene torsion 0, como por

ejemplo (cos t; sen t; 0).


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3. Sea f2 C(2(R2; R). Su gradiente en (x; y) es (g(x; y); h(x; y)). Indicar razonadamente por que@g

@y =

@h

@x

@g

@y =

@2f

@x@y =

@2f

@y@x=

@h

@x.

4. Sea g : R2 ! R una funcion de clase C(2 que tiene un mnimo relativo en el punto (u0; v0). Sumatriz hessiana en dicho punto es

H(g)(u0; v0) =

2 11 2

SeaF :R2 ! R2 , de claseC(2, conF(x0; y0) = (u0; v0). La matriz jacobiana de Fen dicho puntoes

J(F)(x0; y0) = 1 0

1 2

Seah = g F. Hallar @2h

@x2(x0; y0).

h(x; y) = g[F(x; y)] = g(u; v), siendo u = F1(x; y); v = F2(x; y) las funciones coordenadas de F.Asi@f

@x =

@g

@u

@u

@x+

@ g

@v

@v

@x

@2h

@x2 =

@2g

@u2@u

@x+

@2g

@u@v

@v

@x

@u

@x+

@g

@u

@2u

@x2+

@2g

@u@v

@u

@x+

@2g

@v2@v

@x

@ v

@x+

@ g

@v

@2v

@x2.

Como g tiene un mnimo relativo en (u0; v0), @g

@u=

@g

@v= 0. Se sigue que

@2h@x2

(x0; y0) = [2 1 + 2 (1)] 1 + 0 + [1 1 + 2 (1)] (1) + 0 = 2

5. Dada la integral

Z 21

dy

Zpy1y

f(x; y) dx, dibujar el recinto sobre el que se ha planteado y cambiar el

orden de integracion.

y=x2

xy=1

2

1

1

Dominio

Z 112

dx

Z 21x

f(x; y) dy+

Zp21

dx

Z 2x2

f(x; y) dy


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NOMBRE...........................................


Dada la serie de potencias+1Xn=1

x3n1

3n 1 hallar:

1. Radio de convergencia. (1 pto.)

2. Convergencia en los extremos. (2 pto.)

3. Suma de la serie. (4 pto.)

4. Calcular, cuando sea posible, la suma de las series numericas

+1Xn=1

(1)n13n 1 ;

+1Xn=1

8n

3n 1

justicando si en algun caso no lo es. (3 pto.)

1. limn

jxj3n13n1jxj3n4

3n4= lim

n

3n 43n 1 jxj

3 = jxj3


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NOMBRE...........................................


Dada la funcion f(x; y) =34

x2 + 9

16y+

1

64y3, calculense, si existe, los valores maximo y mnimo

absolutos defen = f(x; y) 2 R2 j 1 x2 + y2

4 4; x + y 4; x y 4 g

Puntos crticos relativos:@f

@x= 3

2x= 0 ) x= 0

@f

@y =

9

16+

3

64y2 = 0. No tiene solucion.

No existen puntos crticos relativos.

Estudio en la frontera:

Elipse x2 +

y 2

4 = 1. La parametrizacionx = cos ', y = 2sen ', '

2[0; 2] conduce a

g(') = 34

cos2 ' +9

8sen ' +

1

8sen3 '

g0(') =3

8cos '(sen2 ' + 4 sen ' + 3) = 0

y se tiene como soluciones ' =

2;

3

2 correspondientes a los puntos (0; 2), a los que hay que

a~nadir el punto (1; 0) como extremo del intervalo.

Elipse x2 + y2

4 = 4. La parametrizacion x = 2 cos ', y = 4 sen ', '2[0; 2] conduce a los valores

'=

2

; 3

2

; 7

6

; 11

6

. Los puntos obtenidos son (0;

4), (

p

3;

2)

Segmento x+y = 4. Se tieney = 4 x; x2

0;8

5

. Sustituyendo no se obtienen puntos crticos

salvo los correspondientes a los extremos. Punto nuevo

8

5;12

5

Segmento x y = 4. Un estudio similar conduce al punto crtico (20 p372; 16 p372) y elcorrespondiente al extremo

8

5; 12

5

Basta ahora evaluar en cada punto, cosa que me niego a hacer.


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NOMBRE...........................................


Hallar la masa de la placaf(x; y)jx2 + y2 2x; x2 + y2 4xg, siendo la densidad d(x; y) = jxyj.

A

B

M=

ZZA[B

jxyj dxdy. Por la simetra de la funcion y el recinto

M= 2ZZ

Ajxyj dxdy= 2ZZ

Axydxdy ya que en Ajxy! = xy.

Realizamos un cambio a coordenadas polares y entonces

x2 + y2 = 2x ! = 2cos ',x2 + y2 = 4x ! = 4 cos ', 0 ' 2

.

y asi M= 2

Z 2

0

d'

Z 4cos '2 cos '

2 cos ' sen ' d = 120

Z 2

0

cos5 ' sen ' d'=

= 20


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95/245

3. Sabiendo que fes continua en [1; +1) y que limx!+1

x2f(x) = +1, >que se puede armar sobre la

convergencia de

Z +11

f(x) dx?

4. Diga si es correcto o no, y por que, el siguiente calculoZ 11

1

1 + x2dx= arctg x]

11=

4 3

4 =

2

5. >Por que ha de ser limn!+1

xn = 0 si

Pxn es convergente?


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CALCULO INFINITESIMAL

Examen nal de Junio. 13 de Junio de 2005

APELLIDOS...................................................................................................NUMERO...........NOMBRE...........................................

Segunda pregunta

Seaf :R ! R

f(x) =p

1 + jxj3

1. Estudiar su derivabilidad y, en su caso, hallarf0. (Hasta 3 puntos.)

2. Hallar los puntos crticos de f y clasicarlos. (Hasta 2 puntos.)

3. Hallar el polinomio de Taylor def ena = 0 de mayor grado que sea posible. (Hasta 5 puntos.)


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Tercera preguntaPlanteamiento hasta 3 puntos. Puntos crticos, hasta 2 puntos. Discusion, hasta5 puntos.

Una persona se encuentra en un punto A de la orilla de un lago circular y desea trasladarse al puntoB diametralmente opuesto. Puede caminar por la orilla a una velocidad de 4 km/h y navegar en unabarca a una velocidad de 2 km/h. Hallar el recorrido (por tierra, por agua o mixto) que le permite llegara B en el menor tiempo posible en funcion del radio r del lago.


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Cuarta pregunta Planteamiento de la o las integrales necesarias, includos los posibles cambios devariable hasta 4 puntos. Calculo efectivo de la masa, hasta 6 puntos. La segunda parte se valorara solosi es correcta la primera.

Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide z = x2 + 4y2 y el planoz = 2x+ 8y +4, sabiendoque la densidad del mismo es d(x;y;z) = xy.


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3. Sabiendo que fes continua en [1; +1) y que limx!+1

x2f(x) = +1, >que se puede armar sobre la

convergencia de

Z +11

f(x) dx?

Al ser el lmite +1 y k = 2 > 1, el criterio de convergencia no resuelve. No se puede armarnada sobre la convergencia de la integral. Por ejemplo, si f(x) =

1

x la integral es divergente y si

f(x) = 1

x32

, es convergente. (NO SE PEDIAN LOS EJEMPLOS.)

4. Diga si es correcto o no, y por que, el siguiente calculoZ 11

1

1 + x2dx= arctg x]

11=

4 3

4 =

2

El integrando es siempre positivo, por lo que el valor de la integral no puede ser negativo. El errorproviene del calculo de los valores del arcotangente. En el primero se toma una determinacion y en

el segundo, otra. Para que el resultado sea correcto debemos tomar arctg(1) = 4

.

5. >Por que ha de ser limn!+1

xn = 0 siP

xn es convergente?

Si la serie es convergente su suma es un numero realS. As limn

Sn = S, dondeSn es la suma parcial

n-esima de la serie. Se sigue que limn

xn = limn

(Sn Sn1) = S S= 0.


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Segunda pregunta

Seaf :R ! R

f(x) =p

1 + jxj3

1. Estudiar su derivabilidad y, en su caso, hallarf0. (Hasta 3 puntos.)

2. Hallar los puntos crticos de f y clasicarlos. (Hasta 2 puntos.)

3. Hallar el polinomio de Taylor def ena = 0 de mayor grado que sea posible. (Hasta 5 puntos.)

1. Si x 0, la funcion es f(x) =p

1 + x3 y six 0 : f0(x) = 3x2

2p

1 + x3 x < 0 : f0(x) = 3x

2

2p

1 x3

Enx = 0 calculamos la derivada usando la denicion:

x= 0 : f0(0) = limx!0

f(x) f(0)x 0 = limx!0

p1 + jxj3 1

x = lim

x!0jxj3

x(

p1 + jxj3 + 1) = limx!0

x2jxjx(

p1 + jxj3 + 1) = 0

2. Es evidente que f0 se anula solo en x = 0. Como f0 0 en (0; +1), f tieneenx = 0 un mnimo local y absoluto.

3. Derivando igual que en el apartado anterior se tiene

x >0 : f00(x) = 12x + 3x4

4(1 + x3)32

x < 0 : f00(x) = 12x 3x4

4(1 x3) 32

yf00(0) = 0. Al calcular la tercera derivada tenemos

f000(0+) = limx!0+

12x+3x4

4(1+x3)32

x = lim

x!0+12 + 3x3

4(1 + x3)33

= 3

y de igual forma f000(0) = 3, por lo que la tercera derivada en 0 no existe. El polinomio pedidoes 1 +

1

1!0x +

1

2!0x2 = 1.


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Tercera preguntaPlanteamiento hasta 3 puntos. Puntos crticos, hasta 2 puntos. Discusion, hasta5 puntos.

Una persona se encuentra en un punto A de la orilla de un lago circular y desea trasladarse al puntoB diametralmente opuesto. Puede caminar por la orilla a una velocidad de 4 km/h y navegar en unabarca a una velocidad de 2 km/h. Hallar el recorrido (por tierra, por agua o mixto) que le permite llegara B en el menor tiempo posible en funcion del radio r del lago.

B A

C

O

2

La longitud del arco ACes igual a 2r' y la de la cuerda C B es de 2r cos ', por lo que si la personava caminando por el arco ACy luego en barca a lo largo de C B empleara un tiempo dado por

f(') =2r'

4 +

2r cos '

2 =r

h'2

+ cos 'i

; ' 2h

0;

2

i

Los casos extremos corresponden a ir siempre en barca ('= 0 ) f(0) =r) o siempre a pie ('= 2) f

2

=r

4).

Como fes continua y el intervalo es cerrado y acotado, el teorema de Weierstrass nos garantiza que sealcanza el valor mnimo def. Este mnimo se alcanzara en un extremo del intervalo o en un punto crticointerior a el, ya que fes derivable en todos los puntos del interior. Derivando e igualando a 0 se tiene

f0(') =r 12

sen ' ) '=

6

+ 2k; o' = 5

6

+ 2k

por lo que la unica solucion perteneciente al intervalo es

6. Evaluando en este punto y comparando con

los valores en los extremos se obtiene que el mnimo absoluto corresponde a ' =

2. Por tanto el tiempo

mnimo se logra realizando todo el recorrido por tierra.


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Cuarta pregunta Planteamiento de la o las integrales necesarias, includos los posibles cambios devariable hasta 4 puntos. Calculo efectivo de la masa, hasta 6 puntos. La segunda parte se valorara solosi es correcta la primera.

Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide z = x2 + 4y2 y el planoz = 2x+ 8y +4, sabiendoque la densidad del mismo es d(x;y;z) = xy.

1. Determinacion del dominio de integracion

La frontera del dominioD de integracion esta denida por los (x; y) comunes a paraboloide y plano:

x2 + 4y2 = 2x + 8y+ 4 ) (x2 2x + 1) + (4y2 8y+ 4) = 9 ) (x 1)2

32 +

(y 1)2(3=2)2

= 1

que es una elipse centrada en el punto (1; 1) y semiejes 3 y 3=2.

2. Planteamiento del cambio de variable.

El cambio de variable es:

x = 1 + cos

y = 1 +1

2 sen

que expresa la traslacion del origen de coordenadas al punto (1; 1) y relacion (1=2) de los semiejesde la elipse. El jacobiano de la transformacion:

jJj = @x@ @x@@y

@@y@

= cos sen 1

2sen 1

2 cos

=12

3. Planteamiento de la integral

Teniendo en cuenta que la densidad es independiente de la coordenada z, la masa se puede calcularcomo:

M=Z

Dd(x; y)

(2x + 8y+ 4) (x2 + 4y2) dxdy

M=

ZD

xy

9 (x 1)2 (2y 2)2 dxdyM=

1

2

ZD

(1 + cos )(1 +1

2 sen )

9 ( cos )2 ( sen )2 d d


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4. Resolucion de la integral

Manipulando la expresion anterior:

M=1

2

Z 3=0

Z 2=0

(1 +1

2 sen + cos +

1

22 sen cos )

9 2 d d

M= 12

Z 3

=0

9 2 Z 2

=0

(1 +12

sen + cos +14

2 sen2) d d

M=1

2

Z 3=0

9 2 1

2 cos + sen 1

82 cos2)

20

d

M=

Z 3=0

9 2 d= 9 32

2 3

4

4

=

81

4


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3. Indique las razones por las que el siguiente calculo mediante la regla de L'Hopitalnoes correcto ycalcule el verdadero valor del lmite.

limx!0

x sen x

x2 cos x = limx!0sen x + x cos x

2x + sen x = lim

x!02cos x x sen x

2 + cos x = lim

x!03sen x x cos x

sen x =

= limx!0

4cos x + x sen x cos x

=4 + 0

1 = 4

4. Dada la ecuacion xyz+ sen(z 6) 2(x + y+ x2y2) = 0, indicar que variables asegura el teoremade la funcion implcita que son funcion diferenciable de las otras dos en un entorno de (1; 1; 6),comprobando de forma explcita el cumplimiento de las hipotesis oportunas.

5. Indique como se puede obtener el desarrollo de Taylor en a = 0 de ln(1 + x) a partir del desarrollo

de 1

1 + xy las consideraciones teoricas que lo permiten.


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Examen de Septiembre. 12 de Septiembre de 2005


Cuarta pregunta Planteamiento de la o las integrales necesarias, includos los posibles cambios devariable hasta 4 puntos. Calculo efectivo del momento de inercia, hasta 6 puntos. La segunda parte sevalorara solo si es correcta la primera.

Hallar el momento de inercia respecto al ejeOZdel cuerpo limitado por el paraboloide z = 3x2 + y2

y el planoz = 6x + 2y+ 5. Se supone que el cuerpo es homogeneo y tiene densidad 1.


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3. Indique las razones por las que el siguiente calculo mediante la regla de L'Hopitalnoes correcto ycalcule el verdadero valor del lmite.

limx!0

x sen x

x2 cos x = limx!0sen x + x cos x

2x + sen x = lim

x!02cos x x sen x

2 + cos x = lim

x!03sen x x cos x

sen x =

= limx!0

4cos x + x sen x cos x

=4 + 0

1 = 4

Enx = 0 no hay indeterminacion. Para poder aplicar la regla de L'Hopital debera ser, en este caso0

0. El verdadero valor es

0

1= 0.

4. Dada la ecuacion xyz+ sen(z 6) 2(x + y+ x2y2) = 0, indicar que variables asegura el teoremade la funcion implcita que son funcion diferenciable de las otras dos en un entorno de (1; 1; 6),comprobando de forma explcita el cumplimiento de las hipotesis oportunas.

Sea f(x; y; z) = xyz + sen(z

6)

2(x+y + x2y2). Se cumple que f(1; 1; 6) = 0. Las derivadas

parciales

@f

@x =yz 2(1 + 2xy2) @f

@y =xz 2(1 + 2x2y) @f

@z =xy + cos(z 6)

existen y son continuas y fes diferenciable. Evaluando en el punto solo es distinta de 0 la derivadarespecto az . As, solo se puede asegurar que z es funcion implcita de (x; y).

5. Indique como se puede obtener el desarrollo de Taylor en a = 0 de ln(1 + x) a partir del desarrollo

de 1

1 + xy las consideraciones teoricas que lo permiten.

El desarrollo de ln(1 +x) se puede obtener por integracion termino a termino del desarrollo de1

1 + x. La razon es la convergencia uniforme de una serie de potencias en todo intervalo cerrado

contenido en su intervalo de convergencia.


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Segunda pregunta

Dada la funcionf(x; y) = x2 + y2 xy+ x + y,1. Hallar y clasicar los extremos relativos de la funcion. (Hasta 3 puntos.)

2. Hallar sus maximos y mnimos absolutos en el conjunto acotado deR2 denido por las desigualdadesx 0,y 0 y x + y 3. (Hasta 7 puntos.)

1. @f@x

= 2x y+ 1 = 0, @f@y

= 2y x + 1 = 0 y restando ambas ecuaciones, x = y . Sustituyendo en

la primera se obtiene el punto (1; 1). Como @2f

@x2 = 2,

@2f

@y 2 = 2 y

@2f

@x@y = 1, el Hessiano

2>0 11 2

= 3 > 0

nos dice que se trata de un mnimo.

2. El punto anterior pertenece al recinto, por lo que debe tenerse en cuenta. Ademas, en cada uno delos lados se tiene

-3

-3

x = 0 : f(0; y) = y 2 +y, y2 [3; 0]. Derivando e igualando a 0 tenemos un unico punto crtico

0; 1

2 al que debemos a~nadir los correspondientes a los extremos (0; 3) y (0; 0).y= 0 : Por simetra,

1

2; 0

al que debemos a~nadir los correspondientes a los extremos (3; 0) y

(0; 0)

x + y= 3 ) y = x 3, x 2 [3; 0]. La funcion pasa a ser 3x2 + 9x + 6. Derivando se obtieneel punto

3

2; 3

2

y los extremos, que ya han sido considerados. Por evaluacion se obtiene un

mnimo en (1; 1) con valor1 y maximos en (0; 3) y (3; 0) con valor 6.


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Cuarta pregunta Planteamiento de la o las integrales necesarias, includos los posibles cambios devariable hasta 4 puntos. Calculo efectivo del momento de inercia, hasta 6 puntos. La segunda parte sevalorara solo si es correcta la primera.

Hallar el momento de inercia respecto al ejeOZdel cuerpo limitado por el paraboloide z = 3x2 + y2

y el planoz = 6x + 2y+ 5. Se supone que el cuerpo es homogeneo y tiene densidad 1.

El momento de inercia pedido es

IOZ=ZZZ

cuerpo(x2

+ y2

) dx dy dz=ZZ

proyeccion (x2

+ y2

) dxdyZ6x+2y+5

3x2+y2 dz=

=

ZZproyeccion

(x2 + y2)(6x + 2y+ 5 3x2 y2) dxdy

Para obtener la proyeccion eliminamosz entre las ecuaciones que delimitan el cuerpo:

3x2 + y2 = 6x + 2y+ 5 ) (x + 1)2

3 +

(y 1)29

= 1

y se trata de una elipse centrada en (1; 1). El cambio aconsejable es x= 1+p3 cos ',y = 1+3 sen ',0 1, 0 ' 2, Jacobiano 3p3. Con esto la integral queda

IOZ=Z 2

0d'Z 1

0(2 2p3 cos ' + 6 sen ' + 32 + 62 sen2 ') 9 ( 1 2) 3p3 d

que es larga de operaciones, pero de facil obtencion. El resultado es 54p

3.


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Examen Extraordinario de Febrero. 7 de Diciembre de 2005


Tercera pregunta Calicacion: Primer apartado, 4 puntos. Segundo, 6 puntos.

1. Demostrar que la ecuacion

zz + z ln(x2 + y2 + 1) + (x + y)z= 1

dene a z como funcion implcita de x; y en un entorno de (x; y; z) = (0; 0; 1), comprobando deforma explcita las condiciones e hipotesis necesarias.

2. Si designamos a la funcion anterior por z = z(x; y), hallar la direccion en que crece mas rapido enel punto (0; 0).

(ln es el logaritmo neperiano. Una direccion es un vector unitario).


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Cuarta pregunta Planteamiento de la o las integrales necesarias, incluidos los posibles cambios devariable, hasta 6 puntos. Resolucion efectiva de la o las integrales, hasta 4 puntos. No se considerara lasegunda parte sin un correcto planteamiento de la primera.

Se considera la placa limitada por la curva x2

36+

y2

64= 1. En ella se practican dos perforaciones, una

de ellas es un crculo de centro (1; 1) y radio 1 y la otra es la zona limitada por y 0,py x 1.La placa tiene densidad constante igual a 1. Hallar su momento de inercia respecto a un eje ortogonal ala misma por el origen de coordenadas. (Se recuerda que

py 0.)


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Primera pregunta. Calicacion: hasta 205 puntos cada apartado con respuestas razonadas. Unerror considerado muy grave en alguno de los apartados puede hacer que la calicacion global de lapregunta sea 0 puntos.

1. Sean a0; a1; a2; ; an numeros reales y n un numero natural impar. Demostrar que el polinomiop(x) = a0+ a1x + a2x

2 + + anxn tiene al menos una raz real.

Primera forma: El polinomio tiene exactamente n races reales y complejas. Como los coecientesson reales, las races complejas van acompa~nadas de su compleja conjugada, por lo que son un

numero par. Se sigue que, al menos, tiene una raz real.Segunda forma: Basta aplicar el teorema de los ceros de Bolzano teniendo en cuenta que, como elgrado es impar, lim

x!+1p(x) = +1y lim

x!1p(x) = 1.

2. Dada la funcion f(x) =

Z x12

t2 3t+ 21 + t4

dt, hallar el punto del intervalo

1

2;3

2

en el que falcanza

su valor maximo.

Derivando e igualando a 0, f0(x) =x2 3x + 2

1 +x4 = 0 ) x= 1; 2. De estos dos puntos crticos, solo

1 2 1

2;3

2. Como f0> 0 en

1

2; 1 y f

0< 0 en 1;3

2, la funcion alcanza su maximo enx = 1.


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Segunda pregunta

Se desea construir una lata de conserva cilndrica con tapas, con capacidad 2 litros. Las considera-c

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