7/26/2019 Examen_junio2015

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EE1001-EM1001-EQ1001-ET1001 Algebra.Primera Convocatoria 2015

28 de mayo de 2015

1 Ejercicio. Todos los grupos

En el espacio vectorial R 4 consideramos los siguientes subespacios vectoriales:

S = < (1, 2, 1, 3), (2, 5, 1, 1), (5, 12, 1, 1) >,

T = {(x,y,z , t ) R 4 : x + y + 2 z + t = 0 , 2x + 4 y + z + t = 0 , x y + 5 z + 2 t = 0}

a. Encuentra una base, la dimensi on y las ecuaciones implcitas y parametricas de S .

b. Encuentra una base, la dimensi on y las ecuaciones implcitas y parametricas de T .

c. Encuentra una base y la dimensi on de S T y S + T .

2 Ejercicio. Todos los grupos

Sea la aplicaci on lineal f : R 3 R 3 tal que

f (x,y,z ) = ( y z, x + 4 z, y z).

a. Halla la matriz asociada a f respecto de las bases canonicas.

b. Dadas las bases:

B 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}, B 2 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 2)}.

Halla la matriz asociada a f respecto de las bases B 1 y B 2 .

c. Calcula las ecuaciones implcitas, una base y la dimensi on del nucleo y de la imagen.

Determina si la aplicacion es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.d. Calcula una base y las ecuaciones implcitas de la imagen del subespacio H = < ( 1, 1, 1), (1, 1, 0) >

.

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3 Ejercicio. Todos los grupos

Dada la matriz

A =1 0 00 0 10 p2 0

a. Determina el valor de p sabiendo que (0 , 3, 1) es un vector propio de A

b. Para p = 2, estudia si la matriz es diagonalizable. Y en caso armativo, calcula la matrizdiagonal D y la matriz invertible P tales que D = P 1 AP .

c. Solo Grupo Y (Optativo). Determina los valores de p para los que la matriz anteriores diagonalizable.

4 Ejercicio. Todos los grupos.

Dada la forma cuadr atica q : R 3 R cuya expresi on en base can onica es

q (x,y,z ) = x 2 + 2 y2 + 3 z 2 + 4 xy + 6 xz + 2 yz,

a. Calcula la matriz asociada a la base can onica..

b. La forma bilineal simetrica asociada (forma polar).

c. Una forma diagonal y la correspondiente matriz de paso P , tal que P t AP sea la matrizdiagonal.

d. Calcula el rango y signatura de la forma cuadr atica.

e. Solo Grupo Y. Indica la f ormula de cambio de base en una forma bilineal y explica dedonde sale esa f ormula.

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