Experimento aleatorio. EA.

En teora de la probabilidad un experimento aleatorio (EA) es un hecho uacontecimiento, cuyo resultado no se puede predecir y solamente se conoce una vezque ocurre.

Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:

Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente

de resultados posibles.

Espacio muestral o S.

Es el conjunto de datos de todos los posibles resultados que pueden darse, al ocurrir unexperimento aleatorio y suele representarse con las letras S o con el smbolo omega.

Suceso.

Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. Un suceso se cumple overifica cuando el resultado del experimento aleatorio es un elemento del suceso.

Probabilidad.

Es un mtodo por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinadomediante la realizacin de un experimento aleatorio, del que se conocen todos losresultados posibles. Y se identifica como P[a]. Su frmula es: P[a]=n(A)/n (). Donden(A)= suceso y n ()= total del espacio muestral.

Evento.

Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En trminos de conjunto, unevento es un subconjunto del espacio muestral.

Ejercicios de experimentos aleatorios.

EA= Lanzamiento de un dado y su puntaje obtenido.

= [1, 2, 3, 4, 5, 6].

Suceso: n ()= 6

A= puntaje obtenido es par.

B= puntaje obtenido es mayor a dos.

P [A]= 3/6= 0.5

P [B]= 4/6= 0.66

EA. Se lanzan simultneamente 3 monedas.

A) Determinar su espacio muestral.B) Cul es la probabilidad de obtener un sello y dos caras?a) =[ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss]

P[B]= 3/8= 0.375

ACTIVIDAD 2 DE PROBABILIDAD FECHA DE ENTREGA 22/OCT/2014

1. EXPERIMENTO: LANZAR UNAMONEDA;

a) Suceso A: que salga Cara;Espacio Muestral:A = {s, c}, s= Sol y c= Cara, son sucesoselementales

N () = 2Evento:

A: Que salga cara;A = (c), N(A) = 1

b) calcular P (A).= N AN = = 12 = 0.5= (0.5) 100% = 50%= 50%

c) Obtener la frecuencia relativa Del Suceso A: cuando el experimento se repite 30 veces, 50 vecesy 100 veces.

LANZAMIENTO DE UNA MONEDA 30 VESES

MONEDAfrecuenciaabsoluta

frecuenciarelativa

Porcentaje%

SOL 12 12/30=0.4 40CARA 18 18/30=0.6 60Total 30 1 100

LANZAMIENTO DE UNA MONEDA 50 VESES

MONEDAfrecuenciaabsoluta

frecuenciarelativa

Porcentaje%

SOL 16 16/50=0.32 32CARA 34 34/50=0.68 68Total 50 1 100

LANZAMIENTO DE UNA MONEDA 50 VESES

MONEDAfrecuenciaabsoluta

frecuenciarelativa

Porcentaje%

SOL 38 38/100=0.38 38CARA 62 62/100=0.62 62Total 100 1 100

2. UNA PERSONA TIENE 20 LPICES EN SU BOLSO, 4 DE LOS CUALES NO FUNCIONAN, SI TIENE QUEFIRMAR UNA CARTA Y SACA AL AZAR UN LPIZ DEL BOLSO, CUL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SAQUEUN LPIZ BUENO?

a) Suceso A: Sacar un lpiz bueno;Espacio Muestral:A = {B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, M,M, M, M}, B= lpiz buenos y M= lpiz malos,son sucesos elementales

N () = 20Evento:

A: Que salga lpiz bueno (B);A = (B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B,

B) N(A) = 16b) calcular P (A).= N AN = = 1620 = 0.8= (0.8) 100% = 80%

= 80%3. UNA BOLSA DE CARAMELOS DE 3 SABORES (SANDA, NARANJA Y LIMN) CONTIENE 20 UNIDADESDE LAS CUALES EL 50% ES DE LIMN, EL 25% DE SANDA Y EL OTRO 25% DE NARANJA.

Determine: Experimento, Espacio Muestral, Suceso y probabilidad del SucesoSi un nio saca al azar un caramelo:a) Cul Es la probabilidad que saque uno de limn? b)Cul es la probabilidad que saque uno de sanda? c) Cules la probabilidad que saque uno de naranja?

BOLSA DE CARAMELOS

SABORESSfrecuenciaabsoluta

frecuenciarelativa

Porcentaje%

SANDIA (S) 10 10/20=0.5 50NARANJA(N) 5 5/20=0.25 25LIMON (L) 5 5/20=0.25 25

total 20 1 100

a) Experimento A: sacar un caramelo de limn.Espacio Muestral:

A = {S, S, S, S, S, S, S, S, S, S, N, N, N, N, N, L, L, L,L, L}, S= sandia, N= naranja y L= limn, sonsucesos elementales

N () = 20Suceso A: Que salga un caramelo de limn (L);

A = (L, L, L, L, L) N(A) = 5Calcular P (A):= N AN = = 520 = 0.25= (0.25) 100% = 25%

= 25%b) Experimento B: sacar un caramelo de Sandia.Espacio Muestral:B = {S, S, S, S, S, S, S, S, S, S, N, N, N, N, N, L, L, L,L, L}, S= sandia, N= naranja y L= limn, sonsucesos elementales

N () = 20Suceso B: Que salga un caramelo de Sandia

B = (S, S, S, S, S, S, S, S, S, S) N (B) = 10Calcular P (B):= N BN = = 1020 = 0.5= (0.5) 100% = 50%c) Experimento C: sacar un caramelo de Naranja:Espacio Muestral:C = {S, S, S, S, S, S, S, S, S, S, N, N, N, N, N, L, L, L,L, L}, S= sandia, N= naranja y L= limn, sonsucesos elementales

N () = 20Suceso C: Que salga un caramelo de Naranja:

A = (N, N, N, N, N) N(C) = 5Calcular P (C):

= N CN = = 520 = 0.25= (0.25) 100% = 25%= 25%

Si el nio saca al azar dos caramelos:a) Cul es la probabilidad que los dos Sean de limn?b) Cul es la probabilidad que los dos Sean de naranja?c) Cul es la probabilidad que uno sea de sanda y otro de naranja?

a) Experimento A: sacar dos caramelos de limn.Espacio Muestral:A = {(S, S), (S, N), (S, L), (L, L), (L, S), (L, N) (N, N),(N, S), (N, L)}

N () = 9Suceso A: Que salga dos caramelos de limn;

A = {(L, L)} N(A) = 1Calcular P (A):= N AN = = 19 = 0.1111= (0.1111) 100% = 11.11%

= 11.11%b) Experimento B: sacar dos caramelos de Naranja.Espacio Muestral:B = {(S, S), (S, N), (S, L), (L, L), (L, S), (L, N) (N, N),(N, S), (N, L)}

N () = 9Suceso B: Que salga dos caramelos de Naranja;

B = {(N, N)} N (B) = 1Calcular P (B):

= N BN = = 19 = 0.1111= (0.1111) 100% = 11.11%= 11.11%

c) Experimento C: sacar dos caramelos, uno de sanda y otro denaranja.Espacio Muestral:C = {(S, S), (S, N), (S, L), (L, L), (L, S), (L, N) (N, N),(N, S), (N, L)}

N () = 9C: Que salga dos caramelos, uno de sanda y otro de naranja.C = {(S, N)} N(C) = 1Calcular P (C):= NN = = 19 = 0.1111= (0.1111) 100% = 11.11%

= 11.11%4. LANZAR TRES MONEDAS.Experimento: lanzar tres monedas.Espacio Muestral: = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A), (S,A,A), (A,A,A) },N () = 8.

5. LANZAR TRES DADOS Y ANOTAR LA SUMADELOS PUNTOS OBTENIDOS.Espacio Muestral:

= {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18},N () = 16.

6. EXTRACCIN DE DOS BOLAS DE UNA URNA QUE CONTIENE CUATRO BOLAS BLANCAS Y TRESNEGRAS.

Experimento: extraccin de dos bolas.

Espacio Muestral:

A = {BB, BN, NN}, B = Blanca y N= negra, sonsucesos elementales

N () = 3

7. EL TIEMPO, CON RELACIN A LA LLUVIA, QUE HAR DURANTE TRES DAS CONSECUTIVOS.

Experimento: El tiempo, con relacin a la lluvia, que har Durante tres das consecutivos.

Espacio Muestral:

() = {(LLL), (LLN), (LNL), (NLL), (LNN), (NLN),(NNL), (NNN)}, considerando L = da con lluvia yN= da sin lluvia, son sucesos elementales

N () = 8El juego de Craps el jugador lanza dos dados. Si el resultado es 7 u 11, el jugador gana. Si es 2, 3o 12, pierde. Si es cualquier otro resultado k, continua lanzando hasta obtener un 7, en cuyocaso pierde, o k, en cuyo caso gana.A) Cul es un espacio muestral adecuado para este juego?B) Cul es la probabilidad de ganar?C) Cul es la probabilidad de ganar en el primero?

C segundo lanzamiento?D) Cul es la probabilidad de ganar si el primer lanzamiento es 6?

Primero deben calcularse las probabilidades asociadas con los totales del experimento aleatorio. Debenotarse que hay 6x6 = 36 posibles resultados igualmente probables que se muestran en la tabla quesiguiente. En esta tabla cada fila indica el resultado del dado uno mientras las columnas representan elresultado del dado dos.

1 2 3 4 5 6

12 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Contando las celdas en la tabla pueden obtenerse las siguientes probabilidades de los totales:

PTotal 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 136 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

A) CUL ES UN ESPACIO MUESTRAL ADECUADO PARA ESTE JUEGO?A= (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)B) CUL ES LA PROBABILIDAD DE GANAR?= P C u C = PC + PCFinalmente queda despus de calcular = P C u C = PC + PC = 0.2222 + 0.2707 = 0.4929C) CUL ES LA PROBABILIDAD DE GANAR EN EL PRIMERO?La probabilidad de ganar es igual:= P7 + P11 = 636 + 236 = 836 = 0.2222 = 22.22%C SEGUNDO LANZAMIENTO?Para calcular la PC se definen los eventos:

Total 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

iB1: El puntaje del jugador es 4. B4: El puntaje del jugador es 8.B2: El puntaje del jugador es 5. B5: El puntaje del jugador es 9.B3: El puntaje del jugador es 6. B6: El puntaje del jugador es 10. PB1 = 336Para calcular PC puede usarse un razonamiento como el que segue. Puesto queSolamente existen las opciones de ganar con el puntaje y perder obteniendo 7, se pueden

calcular las probabilidades condicionales de ganar dado un puntaje es decir calcularPC B Con i= 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por ejemplo, cuando el puntaje es 9, hay 4 formas de obtener esetotal y 6 de alcanzar un 7, de esta manera, la probabilidad queda PB5 = = , se resumeen los Demas valores en la siguiente tabla:

Ahora utilizando el teorema de probabilidad

r

iii BPBAPAP

1)()/()(

esto queda:39 336 + 410 436 + 511 536 + 511 536 + 410 436 + 39 336 = .2707 = 27.07%PC = .2707 = 27.07%D) CUL ES LA PROBABILIDAD DE GANAR SI EL PRIMER LANZAMIENTO ES 6?6 = 536Formas de sacar 6 = 5Formas de sacar 7 = 6

Ahora utilizando el teorema de probabilidad

r

iii BPBAPAP

1)()/()(

esto queda:55 + 6 536 = 511 536 = 0.06313EL TEOREMA DE BAYES

1. - Un estudiante responde una pregunta de un examen de multiple seleccion que tienecuatro respuestas posibles. Suponga que la probabilidad de que el estudiante conozcala respuesta a la pregunta es0.8 y la probabilidad de que adivine es 0.2. Si elestudiante adivina, la probabilidad de que acierte es 0.25. Si el estudiante respondeacertadamente la pregunta, cual es la probabilidad de que el estudiante realmentesupiera la respuesta?

i 1 2 3 4 5 6

PA B i 33 + 6 = 39 44 + 6 = 410 55 + 6 = 511 55 + 6 = 511 44 + 6 = 410 33 + 6 = 39

Definamos los siguientes eventos:C: el estudiante conoce la respuestaA: el estudiante responde acertadamenteQueremos calcular P (C |A) y sabemos que:

P (C) = 0.8; = 0.25; P (A|C) = 1. | .. . . .. .

2.-Tres cajas contienen dos monedas cada una. En la primera, C1, ambas son de oro; enla segunda, C2, ambas son de plata y en la tercera, C3, una es de oro y otra es de plata.Se escoge una caja al azar y luego una moneda tambien al azar. Si la moneda es de oro,cual es la probabilidad de que venga de la caja que contiene dos monedas de oro?

Sabemos que P (Ci) = 1/3. Sea O: se escoge una moneda de oro. Usando el Teorema de Bayes,

3. se selecciona un individuo al azar de entre los adultos de una pequea ciudad para queviaje por el pas promoviendo las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad.Suponga que ahora se nos da la informacin adicional de que 36 de los empleados y 12 de losdesempleados son miembros del Club Rotario. Deseamos encontrar la probabilidad delevento A de que el individuo seleccionado sea miembro del Club Rotario.

Podemos escribir A como la unin de los dos eventos mutuamente excluyentes EnA ynA. Por lo tanto, A=(EnA)(nA), mediante el teorema, podemos escribirP(A) = P [(E n A) ( n A)] = P(E n A) + P(n A)

= P(E)P(A|E) + P()P(A|).Ahora:

Ahora calculando probabilidad de (A)

4. Una empresa constructora emplea a dos ingenieros de ventas. El ingeniero 1 hace eltrabajo de estimar costos en 70% de las cotizaciones solicitadas a la empresa. El

ingeniero 2 hace lo mismo en 30% de las cotizaciones. Se sabe que la tasa de error para elingeniero 1 es tal que la probabilidad de encontrar un error en su trabajo es 0.02;mientras que la probabilidad de encontrar un error en el trabajo del ingeniero 2 es 0.04.Suponga que al revisar una solicitud de cotizacin se encuentra un error grave en laestimacin de los costos. Qu ingeniero supondra usted que hizo los clculos? Expliquesu respuesta y muestre todo el desarrollo.Considere los eventos:1: ingeniero, P(1)= 0.7, 2: ingeniero, P(2)= 0.3E: error en la estimacion de costos, P(E/1)= 0.02 y , P(E/2)= 0.04

PROBABILIDAD CONDICIONAL1. Un grupo de estudiantes de fsica avanzada se compone de 10 alumnos de primer ao,30 del ltimo ao y 10 graduados. Las calificaciones finales muestran que 3 estudiantes deprimer ao, 10 del ltimo ao y 5 de los graduados obtuvieron 10 en el curso. Si se elige unestudiante al azar de este grupo y se descubre que es uno de los que obtuvieron 10 decalificacin, cul es la probabilidad de que sea un estudiante de ltimo ao?Podemos percibir que 10 alumnos de ultimo ao obtuvieron A, y en total de alumnos queobtuvieron A es de 18 y como se pretende calcular la probabilidad elegir un estudiante al azarque aiga obtenido A, y que este sea de ultimo ao entonses obtenemos:

2. Si R es el evento de que un convicto cometa un robo a mano armada y D es el evento deque el convicto venda drogas, exprese en palabras lo que en probabilidades se indica comoa) P(R|D); b) P(D|R); c) P(R|D).(a) La probabilidad de que un convicto que vendi droga, tambin cometi robo a manoarmada.(b) La probabilidad de que un convicto que cometi robo a mano armada, no vendi droga.(c) La probabilidad de que un convicto que no vendi droga y que tambin no cometi robo amano armada3.- La siguiente es una clasificacin, segn el gnero y el nivel de escolaridad, de unamuestra aleatoria de 200 adultos.

Si se elige una persona al azar de este grupo, cul es la probabilidad de quea) la persona sea hombre, dado que su escolaridad es de secundaria?;b) la persona no tenga un grado universitario, dado que es mujer?Considere los eventoss:

Y

M: una persona es un hombreS: una persona tiene una escolaridad de secundariaC: una persona tiene un grado universitarioSolucion a)M= Hombres con escolaridad secundaria = 28S= total de personas con escolaridad secundaria= 78Entonses:

Solucion b)M= Mujeres con escolaridad no universitaria = 95C= total de mujeres = 112Entonses:

1. Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de lascuales 5 estn defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran dela caja, uno despus del otro, sin reemplazar el primero, cul es la probabilidadde que ambos fusibles estn defectuosos?

Solucin: para ello manejamos A el evento de que el primer fusible est defectuoso y Bel evento de que el segundo est defectuoso; entonces, interpretamos AB como elevento de que ocurra A, y entonces B ocurre despus de que haya ocurrido A. Laprobabilidad de separar primero un fusible defectuoso es 1/4; entonces, la probabilidadde separar un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por lo tanto,

14 419 1192. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y una segunda bolsa contiene 3

blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se coloca sin verlaen la segunda bolsa. Cul es la probabilidad de que ahora se saque una bolanegra de la segunda bolsa?

Solucin: Se necesita los eventos B1, B2 y W1, respectivamente, la extraccin de unabola negra de la bolsa 1, una bola negra de la bolsa 2 y una bola blanca de la bolsa 1.Nos interesa la unin de los eventos mutuamente excluyentes B1 B2 1 y W1 B2.B1 B2 W1 B2 B1 B2 W1 B2B1 B2 B1 W1 B2 W137 69 47 59 38633. Una pequea ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para

emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos est disponible

cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia estdisponible cuando se le requiera es 0.92. En el evento de un herido en unincendio, calcule la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro debomberos estn disponibles, suponiendo que operan de forma independiente.

Solucin:Sea A el evento de estar disponible el carro de bomberos A = 0.98Sea B el evento de estar disponible la ambulancia B = 0.92 = = 0.98 0.92 = 0.90164. Un sistema elctrico consta de cuatro componentes Figura. El sistema funciona

si los componentes A y B funcionan, y si funciona cualquiera de loscomponentes C o D. La confiabilidad (probabilidad de que funcionen) de cadauno de los componentes tambin se muestra en la fi gura 2.9. Calcule laprobabilidad de a) que el sistema completo funcione y de b) que el componenteC no funcione, dado que el sistema completo funciona. Suponga que los cuatrocomponentes funcionan de manera independiente.

Solucin:

Para esto el sistema funcionara si:A y B funcionan y (C o D) funcionan: = = + = + ( ) ( ) = 0.9 0.9 0.9 + 0.9 ( 0.9)(0.9 ) = 0.81 1.8 0.81 =0.80195. Un grupo de estudiantes de fsica avanzada se compone de 10 alumnos de

primer ao, 30 del ltimo ao y 10 graduados. Las calificaciones finalesmuestran que 3 estudiantes de primer ao, 10 del ltimo ao y 5 de losgraduados obtuvieron 10 en el curso. Si se elige un estudiante al azar de estegrupo y se descubre que es uno de los que obtuvieron 10 de calificacin, cules la probabilidad de que sea un estudiante de ltimo ao?

Podemos percibir que 10 alumnos de ultimo ao obtuvieron A, y en total de alumnos queobtuvieron A es de 18 y como se pretende calcular la probabilidad elegir un estudianteal azar que aiga obtenido A, y que este sea de ultimo ao entonses obtenemos:/ = 1018 = 596. Si R es el evento de que un convicto cometa un robo a mano armada y D es el

evento de que el convicto venda drogas, exprese en palabras lo que enprobabilidades se indica como:

a) P (R|D); b) P (D|R); c) P (R|D).

(a) La probabilidad de que un convicto que vendi droga, tambin cometi robo a manoarmada.(b) La probabilidad de que un convicto que cometi robo a mano armada, no vendidroga.(c) La probabilidad de que un convicto que no vendi droga y que tambin no cometirobo a mano armada