Fact.y frac. II-1

$Page 1: Fact.y frac. II-1$
37

2.1 Operaciones Algebraicas Multiplicación de polinomios: Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada termino del primer polinomio por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio y luego reducimos a términos semejantes.

Ejemplo 1: 125)(52)( 232 xxxQxxxPSi

hallemos P(x)XQ(x) Solución:

51025252410

125.52

2334245

232

xxxxxxxx

xxxx

582310 2345 xxxxx

Ejemplo2: yaaaxPSi mmm 22212 35)(

352515515

251535

5151515525

23133322212

231333

32354630

24183

4030586

)86(.)35(:

)(.)(;86)(

mmmmm

mmm

mmmmmm

mmmmmm

mmm

aaaaa

aaa

aaaaaa

aaaaaaSolución

xQxPHallaraaaxQ

CAPITULO 2 Factorización y fracciones

38

Ejemplo3:

5

1

20

4

20

15

20

1

4

1

120

45

120

124510

10

1

8

3

12

1

60

19

60

910

20

3

6

1

8

1

5

1

120

47

60

19

4

1

20

1

10

1

20

3

8

1

4

1

8

3

12

1

6

1

4

1

4

1

2

1

4

3.

5

1

2

1

3

1:

)(.)(4

1

2

1

4

3)(

5

1

2

1

3

1)(

322

33

4322343223

43222234

2222

2222

abba

ba

babbabaaabbaba

babbababaa

babaabbaSolución

xQxPHallarbabaxQabbaxPSi

12 8 10 2 6 4 5 2 m.c.m.= 120 3 2 2 1 3 1 1 5

Ejemplo 4:

12232212

1112

4102

43

xaxaxa

xaxaxa

yxyxyxpor

yxyxyxrMultiplica

Solución_:

39

12332231213

2231213223

12132233213

321222121112

304010

12164

682

1042.34

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyxyxyxyx

12332232233213 302842 xaxaxaxa yxyxyxyx

Ejemplo 5: 2222

3

2

2

3

2

3

2

1

3

1aaxxporaxaxrMultiplica

Solución: )

3

2

2

3).(

2

3

3

1

2

1( 2222 aaxxaaxx

432232232234

6

6

9

2

6

2

2

3

3

1

2

1

4

9

6

3

4

3axaxaxaxaaxxaaxx

432234432234

432234

18

23

12

19

4

3

6

6

18

23

12

19

6

6

4

3

6

6

18

427

12

4427

6

33

4

3

axaxaaxxaxaxaaxx

axaxaaxx

Ejemplo 6: 22223

6

5

3

2

4

1

5

1

2

1

7

2yxyxporyxxyxrMultiplica

Solución: 2

34522223

8

1

20

1

28

2)

6

5

3

2

4

1).(

5

1

2

1

7

2(

yxyxxyxyxyxxyx

40

yxxxyyxyxyxyxyx 454322332234

420

8021

28

2

12

5

30

5

42

10

6

2

15

2

21

4

32234543223

30

15

840

417

420

101

28

2

12

5

30

510

840

200112105yxyxyxxxyyxyx

43223454

12

5

2

1

280

139

420

101

14

1

12

5xyyxyxyxxxy

División de polinomios: Para efectuar la división

0, xQxQ

xp escribimos el

dividendo y divisor en orden decreciente de potencias; ó crecientes, cuando las potencias son literales (si se quiere). Si faltan términos en el dividendo los insertamos colocándoles cero (0) como coeficiente. El proceso de la división termina cuando el grado del residuo es menor que el grado del divisor. Recordemos que: Dividendo = Divisor * Cociente + residuo

Divisor

siduocociente

Divisor

Dividendo Re

Ejemplo7:

xQxHallarPaaxQ

aaaaaxp xxxxx

53

5810193

2

12435

Solución:

Estudiar taller 3

41

0

53

53

53

584

31593

535819103

123

123

234

1234

123345

212345

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxxxxx

xxxxx

aaa

aaa

aaa

aaaa

aaaaaa

aaaaaaa

Ejemplo 8: Si )(

)(:63)(1315)( 23

xQ

xPHallarxxxQxxxP

Solución:

63

113

94

3

55/11

3

94

103

55

1335

3

5530515

631315

2

2

2

23

23

xx

x

xRmixtococienteloExpresándox

xx

xx

xxxx

xxxx

Ejemplo:9:

452343810953 2323456 aaaentreaaaaaaDividir

Solución:

42

0

4523

4523

81046

3126

4523

8643

124523

452343810953

23

23

234

234

2345

2345

233456

2323456

aaa

aaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaaaaa

aaaaaaaaa

Ejemplo:10:

yyyyentre

yyyyyyyyDividir

2435

24317111135

234

2345678

Solución:

0

2435

2435

612915

317915

132435

243524317111135

234

234

3456

3456

245678

2342345678

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

yyyyyy

yyyyyyyyyyyy

Ejemplo:11:

21

421232222 2254

xxx

xxxxx

aaaentre

aaaaaDividir

Solución:

43

0

222

222

333

553

23

2542

423222

423222

322212

322212

2122122

21423222122

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

xxxxxxxx

aaa

aaa

aaa

aaa

aaaaaa

aaaaaaaa

Ejemplo:12:

231333

155152535

86

30465233

mmm

mmmmm

aaaentre

aaaaaDividir

Solución:

0

30405

30405

68

4613

5318243

6830465233

15515

15515

51525

51525

22122152535

132333155152535

mmm

mmm

mmm

mmm

mmmmmm

mmmmmmmm

aaa

aaa

aaa

aaa

aaaaaa

aaaaaaaa

Ejemplo:13: Hallar el cociente mixto de yxentreyxyx 22 6

Solución:

44

2222 bababa

102546253

22

81180100)910(

412923

yxyxxxyx

xxx

421222221

222

96)3(

2

aaaaa

nnmmnm

xxxxx

yyxxyx

2

2

22

2

22

8

77

87/7

7

6

y

yxy

yx

yyxRyxy

yxxyx

yxyxyx

Ejemplo:14: Hallar el cociente mixto de 12854 223 xxentrexxx

Solución:

26

6126

12

266/866

62

12854

2

2

2

23

223

x

xx

xx

xxRxx

xxxx

xxxxx

2.2. Productos notables y Factorización 2.2.1 productos notables: Estos productos presentan reglas fijas que nos permiten calcular el resultado directamente. 1. BINOMIO AL CUADRADO

Ejemplo 15: Efectuar los siguientes binomios al cuadrado:

a.

b.

c.

d.

Estudiar taller 4

45

2. SUMA POR LA DIFERENCIA DE

DOS CANTIDADES IGUALES

Ejemplo 16: Efectuar los siguientes productos:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

2263362233

33333333

9255025355

355355535535

zyyyxxyzyx

yzyxyzyxyyzxyyzx

22))(( bababa

( )( )

( )( )

( )( )

x y x y x y

x x x

x x x x x x

2 2

2

2 2 4 2

2 2 2

22222

2

2)(

)()()()())((

34

)32

)(32

(

cbabacba

cbacbacbacba

xxx

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

a b c a b c a b c a b c

a b c a b bc c a b bc c

2 2 2 2 2 2 2 22 2

22222 162494)43(4

)43(2)43(2)432)(432(

zyzyxzyx

zyxzyxzyxzyx

3

22 2

3

24

3 12

2

23

22

3

24

9

44

9

4

2

2

2 3

( )( ) ( )

( )( ) ( )

x x xx

x x x x x x x

46

3. BINOMIO AL CUBO

Ejemplo 17: Efectuar los siguientes binomios al cubo:

a.

b.

c. 12530024064)54( 233 xxxx

d. 3224632 27279)3( yyxyxxyx

4. PRODUCTO DE DOS

BINOMIOS DE LA FORMA

Ejemplo18: Efectuar los siguientes productos aplicando la formula:

a) 145)2)(7( 2 xxxx

b) 4213)6)(7( 2 xxxx

c) 992)9)(11( 2 aaaa

d) 2110)3)(7( 2422 xxxx

e) 3615)3)(12( 3633 xxxx

f) 3011)5)(6( 12211 xxxx aaaa

5. POLINOMIO AL CUADRADO

El cuadrado de cada uno, mas el doble producto de todas las combinaciones.

Ejemplo 19: Efectuar los siguientes polinomios al cuadrado:

a. xxxxxxx 2486169)43( 232422

1624176 234 xxxx

a b a a b ab b 3 3 2 2 33 3

8126)2(

133)1(

233

233

xxxx

aaaa

babaxbaxbxax nnnn ;.)())(( 2

( ...) ... ... ...)a b c a b c ab ac bc 2 2 2 2 2 2 2

47

b. 23546223 70423049259)753( xxxxxxx

aaaaaa

aaaaaac

8624286

1169)143(.

23345

246223

182226176 23456 aaaaaa

2.2.2 Factorizaciòn:

Es el proceso de escribir un polinomio como el producto de polinomios (factores)

irreducibles.

Para factorizar polinomios no existe un método especial; sino que se depende de

la capacidad de cada cual para organizar y agrupar los términos de la mejor

manera. Sin embargo, podemos tener en cuenta el siguiente derrotero:

Estudiar taller 5

48

DERROTERO PARA FACTORIZAR

I. Factor comun a. Monomio

b. Polinomio

II. Si es un Binomio

a. Diferencia de cuadrados

b. Suma o diferencia de cubos

c. Suma o diferencia de potencias impares iguales

n = impar

d. Trinomio cuadrado perfecto por adicion o sustraccion (2 cantidades con )

III. Si es un Trinomio:

a. Trinomio cuadrado perfecto

a b a b a a b a b bn n n n n n ( )( ... )1 2 1 3 2 1

a bn 105

89

90

a b a b a bn n n n n n2 2 ( )( )

an nb93 94

a b a b a ab b3 3 2 2 ( )( )

a b3

103 104

ES UNA CONDICION NECESARIA MAS NO SUFICIENTE. (Suma de cuadrados)

97

a b2ab

92

a ab b a b2 2 22 ( )

49

b. Trinomio de la forma

2#s

c. Trinomio de la forma

2#s Luego sacamos factor común

d. Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción (2 cantidades con )

IV. si es un cuatrinomio:

a. Para convertir a

binomio al cubo

b. Combinacion de trinomio cuadrado perfecto con diferencia de cuadrados

(3 cantidades con )

c. Factor común por agrupación

x bx c x E x Fn n n n2 ( )( )

:

:

b

x c98

99

91(1-23)

100

101

ax bx cax E ax F

an n

n n

2 ( )( )

:

: .

b

x a ca 1

ES UNA CONDICION NECESARIA MAS NO SUFICIENTE. 96

102

a b3

3

2

2

a b

ab

33

a a b ab b a b3 2 2 3 33 3 ( )

ES UNA CONDICION NECESARIA MAS NO SUFICIENTE. 95(1-24)

50

v. Si es un polinomio de seis terminos

a. Combinación de trinomio cuadrado perfecto con diferencia de cuadrados.

(4 cantidades con )

b. Factor comun por agrupacion

NOTA: Los números encerrados son ejercicios del álgebra de Baldor donde

pueden practicar cada caso.

Ejemplo 20: Donde se aplica cada caso: Factorizar

Ia) )23(18365418 2222222 mxxmymyyxmmxy

Cuando se saca factor común, se está hallando es el m.c.d. (Máximo cómún divisor); es decir: el más grande que cabe en todos exactamente; o sea, los comúnes con su menor exponente: 18=2x3

2; 54=2x33, 36=22

x32; entonces

los comúmes con su menor exponente son 2x32=18

En cambio, cuando se saca denominador común, se está hallando es el m.c.m. (Mínimo cómún múltiplo); es decir: el más pequeño que los contiene a todos exactamente; o sea, los comúnes y no comúnes con su mayor exponente: 18=2x3

2; 54=2x33, 36=22

x32; entonces

los comúnes y no comunes con su mayor exponente son 22x3

3=108; si tenemos:

mcmyxmmyyxmmxy ..10836

11

54

7

18

522222222

Ia)

322334233323 432(331296 xnnxnxxyyxnynxynxxy

Ib) ))(2()2()2)(( baxyybyax

Ib) )1(5)32)(1()3)(1()1)(2( xxxxxxxx

Ib)

11)1()1()1(1)1()1( yxaaayaxaayax

IIa) )54)(54(2516 2242 yxyxyx

254 yx

91(24-30)

ES UNA CONDICION NECESARIA MAS NO SUFICIENTE. 95(25-38)

#

51

IIa)

323294

2242 bababa

IIa) )2)(2()2()( 22 xxaxxaxxa

)2)(22(2

axaxxa

IIb) )16129)(43(6427 63243296 nnmmnmnm

332 43 nm

IIb) 23 )()(24)(2)(8 yxyxyxyx

)2224)(2(2 223 yxyxyxyxyx

IIb)

2233 )())(()()()()()( babababababababa

)3(2)22(

)(

22222222

3

babbababababa

babababa

IIc) )22.2.2.)(2(32 4322345 xxxxxx

)16842)(22 2345

xxxxxx

)(

)()

665544233322456

7777

xaxmaxamxamxamaxmm

raicesTienenaxmxamIIc

52

IId) 22422444 4)44(4 babbaaba

abbaba

bababa

224

4)2(2

2222

2222222

)22)(22( 2222 abbaabba

IId) 4848 100)6251004(6254 xxxx

244

4244

10252100

100)252(252

xxx

xxx

)10252)(10252( 2424 xxxx

II d )

33

3233

363262

3053

305353

30)25309(259

baab

baabab

baababab

Observemos que no es el caso IIId, ya que 30ba3 no tiene raiz cuadrada exacta

IIIa) 222 )52(20254 yxxyyx

xy

yx

20

52

53

IIIa)

:2336

14129

36

1

36

4129

934

1 2222

tambiénóbbbbbbb

22

32

1

934

1

bbb

332

12

32

1

bb

b

IIIa) 22 )())((2)( xaxayxyx

))((2 xayx

xayx

222)()()()( ayxayxxayx

IIIb) )1)(12(12112 mmmm

IIIb) )12)(18(21662 xxxx

IIIb) )5)(10(505 2224 xxxx

IIIb) )4)(9(365 22 axaxaaxx

236:

5:2

ax

anúmeros

IIIb) )4)(7()283(328 22 xxxxxx

)4)(7( xx

IIIc) 6

)13(2)32(3

6

)26)(96(376 2

xxxx

xx

)13)(32(18:

7:2

xx

xnúmeros

54

IIIc) 9

)129)(159()2039(9320

333663

xx

xxxx

)53)(34(9

)43(3)53(3 3333

xxxx

IIId) 2242244224 )2( yxyyxxyyxx

))((

2

)(

2222

22

22

2222222

xyyxxyyx

xyyx

yx

yxyxyx

IIId) 2242244224 4)9124(984 babbaabbaa

)232)(232(

232

12

4)32(32

2222

22

22

2222222

abbaabba

abba

ba

bababa

IIId) 2242244224 4)3612(3616 babbaabbaa

)26)(26(

26

12

4)6(6

2222

22

22

2222222

abbaabba

abba

ba

bababa

55

IIId)4284248424 25)8112649(8115149 nmnnmmnnmm

)597)(597(

597126

97

25)97(

242242

24242

42

42242

mnnmmnnm

mnnmnm

nm

nmnm

IVa) 332349626 )32(3627548 yxyxyyxx

62232

34322

332

54)3)(2(3

36)3()2(3

32

yxyx

yxyx

yx

IVb) )1)(1(1)(12 222 bababababa

ab

baba

2

11

IVb)

)2)(2(4)(

422422

222222

bmabmabma

bmamaambma

am

bmama

2

2

IVb) 222222 )1(9)12(9129 xaxxaxxa

)13)(13(

)1(3)1(3

2

1313

xaxa

xaxa

x

xaxa

56

IVc) )43)(2()2(4)2(38463 2 mnmnmnmmnmmnm

IVc)

22 22 azaxzx )21)(()(2)( 222 azxzxazx

Va) )2()44(244 22222222 babayxyxbabxyyax

)2)(2()()2()()2(

2

2,4

)()2(2 22

bayxbayxbayxbayx

bayx

productosdobleslosSonabxy

bayxbyax

Va)

)69()2510(251069 22222222 mmnnbabambabmnna

)35)(35(

35

6,10

)3()5(53 22

mnbamnba

mnba

productosdobleslosSonnmab

mnbambna

Vb) xnxbaxnxbanba 43224232432 33

))(31()31()31( 432224232 nbaxxxxnxxba

Vb) yxxaxyyaaxxa 23222 222

)2)(()(2)( 222222 yxxaxaxaxayxaxax

Ejemplo 21: Factorizar hasta donde sea posible:

1) )1)(1(5)1(555 22 aaaa

2) )4(2)2(2)4)(4(2)16(2322 22244 xxxxxxx

3) 222223 )3(3)96(327183 yxxyxyxxxyyxx

57

4) ))()()(()()( 2222333366 babababababababab

3333 bababa

5) )81)(1()1(81)1(8181 43334347 xxxxxxxx

)9)(3)(3)(1)(1()9)(9)(1)(1( 22222 xxxxxxxxxxx

6) )1)(1)(1()1)(1()1( 844881617 xxxxxxxxxxx

)1)(1)(1)(1)(1()1)(1)(1)(1( 8428422 xxxxxxxxxxx

7) ))()(())(( 22222244 yxyxyxyxyxyx

8) )2)(2)(3)(3()4)(9(3613 2224 xxxxxxxx

9) )3)(5(6)152(690126 22 xxaxxaaaxax

10) 223222 2)2(4 axxaaxaxaax

)12)(12()()14()(

)4)(2()2()2(4

222

22222222

xxxaaxaxa

aaxxaxaxaxaaxaxaax

11))4001625(3120048753 246246

xxxxxx

)4)(2)(2)(5)(5(3)4)(4)(5)(5(3

)16)(25(3)25(16)25(3

222

42224

xxxxxxxxx

xxxxx

12) 3

)13)(9(3

3

)13)(273(9263

222224

xxxx

xx

)13)(3)(3( 2 xxx

13) )1)(1(8)1(888 233 xxxxx

14) 222242 )31()31()91(81181 xxxxx

15) )2)(27()5425(5425 332362258 xxxxxxxxx

)2)(93)(3( 322 xxxxx

58

16) )405815(405815 45256

xxxxxxxx

)9)(3)(3)(5(

)9)(9)(5()81)(5()5(81)5(

2

2244

xxxxx

xxxxxxxxxxx

17) )1()1()1( 66666226 aaxxaxxaxxxaxxa

)1)(1)(1)(1)(1(

)1)(1)(1()1)(1(

22

336

xaaaaaax

xaaxxax

18)

)1)(2)(2()1)(4()4()4(44 22223 xxxxxxxxxxx

19)

)1)(42)(2()1)(8()8()8(88 233334 aaaaaaaaaaaa

20)

)8)(14()14(8)14(8324 32223235 xxxxxxxx

)42)(2)(12)(12( 2 xxxxx

21)

22222342222234 22(2422422 babbaaaababbaaaa

))()(1)(2(2

))(2(2)2()2(2 2222222

babaaa

baaaaabaaa

22) )1)(81)(()8182)(( 22242 xxxaaxxaxa

)1)(1)(9)(9)(( xxxxxaa

Ejemplo 22: Factorizar completamente:

23) 22 4)4( yxx

)2)(2()2()44( 2222 yyyxyxyxx

24)

)4)(2)(2)(1)(1()4)(4)(1)(1(

)16(1)1()1(161616

22222

433433443

nnnxxxnnxxx

nxxnxxnnx

59

25)

)22)(22(

)2(4)44(4444 222222

yxyx

yxyyxyyx

26)

))(()()(

)( 2222

bacabcabcaab

abacbcabababccbba

27)

))(()()( 22222322 axbabaabaxbxabaax

))()(( axaxba

28) 9182 23 xxx

)3)(3)(12()9)(12()12(9)12( 22 xxxxxxxx

29) 223223 nmnnmmnm

mnmnmnnmm ()()()( 222222 )1)(22 nmn

)1)()(( nmnmnm

30) 222221 cbabca

22222 )()1()2()21( cbacbcbaa

)1)(1( cbacba

31) 22233 )()( yxyyxxyx

222 )())(())(( yxyyxyxxyxyxyx

))()()(( 22 yxyyxxyxyxyx

)())(( 2222 yxxyyyxxyxyxyxyx

32) 32 824 xxx )8()24( 32 xxx

)21)(24()24)(2()24( 222 xxxxxxxx

)1)(42()1)(24( 22 xxxxxx

33) 244266 yxyxyx

))(())(()()( 22222244442442 yxyxyxyxyxyyxx

)()()()()()( 22222222222 yxyxyxyxyxyx

60

34) 223322 xyyxyx

2)(3)(2)33()2( 222 yxyxyxyxyx

)1)(2( yxyx


35) 24a 4232 xx 232 xx .. AAqquuíí 234 2 xx eess uunn ffaaccttoorr

ccoommúúnn,, lluueeggoo 1234 22 axx

ppeerroo 21232 xxxx .. NNuueessttrroo rreessuullttaaddoo ssee ccoonnvviieerrttee eenn::

11214234234 222 aaxxxxxxa

3366))..

634534 222 xxxx 1342 xx 6342 xx

3444 22 xxxx ;; ppeerroo 22 244 xxx

lluueeggoo:: 342 22 xxx

3377))

27

3a 333

271 xax

127127

333 axa

331127 xa

22

11139

13

xxxaaa

óó ttaammbbiiéénn::

27127

1

27

1271

27

2727 333333333

axxxaxaxa

9331127

1 22 aaaxxx

3388)) )5(2252105222 axbaxbaxbaxaxbaxabxxa

61


39) 1 - a8 = (1+ a4) (1 - a4 ) 40) 3326262 3434 xxxxxx

=(1+a4) (1+a2) (1 - a2) 132332 33 xxxxx

= (1+a4) (1+a2) (1+ a) (1 - a) 1132 2 xxxx

41) a6 - 1 = (a3 +1 ) ( a3 - 1 ) 42) 3 x4 - 243 = 3 (x4 - 81 ) =

(a+1) (a2- a+1) (a - 1) (a2+a+1) = 3 ( x2 +9 ) ( x2 - 9 )

= 3 (x2 +9 ) (x+3) (x-3)

43) x4 - 41x2 + 400

400 4 44) 16x4 - 8x2y2 + y4

100 5 42 = 16 = ( 4x2 - y2 )2

20 5 52 = 25 = [( 2x +y ) ( 2x - y )]2 4 4 = 25+16 = 41

222.2 yxyx

1 = (x2 - 25 ) ( x2 -16 )

= (x+5) (x-5) (x+4) (x-4) 45) 9x4 + 9x3y - x2 - xy

yxyxxx 23 99

46) a4 - 2a2b2 + b4 199 22 xyxxyxyxxx

= ( a2 - b2 )2 1313 xxyxx

= [ (a+b) (a - b) ]2 = (a+b)2(a- b)2

48) 12ax4 + 33ax2 - 9a

47) x5 + x3 - 2x = 3a (4x4 +11x2 - 3)

= x (x4 + x2 -2) 4/14.1243 22 xxa

= x ( x2 +2 ) (x2 - 1) 4/14.3.43 22 xxa

= x (x2+2) (x+1) (x - 1) 12.12.3.3 2 xxxa

51) a4 - 25a2 + 144 144 4

49) x8 - y8 = (x4 + y4) (x4 - y4) 36 4 42 = 16

= (x4 + y4) (x2 + y2) (x2 - y2) 9 3 32 = 9

= (x4 +y4) (x2 + y2) (x+y) (x - y) 3 3

1 16 + 9 = 25

50) x6 - 7x3 - 8 = (x3 - 8) (x3 + 1)

= = (a2 - 16) (a2 - 9)

62

(x - 2) (x2+2x+4) (x+1) (x2 - x+1) = (a + 4) (a - 4) (a + 3) (a - 3)

52) 64 - x6 = (8 + x3) (8 - x3)

=

(2+x)(4 - 2x+x2)(2 - x)(4 +2x+x2)

54) a2x3 - a2y3 +2ax3 – 2ay3=

53) a5 - a3b2 - a2b3 + b5 3333 22. yxayaxa

= (a5 - a3b2) - (a2b3 - b5) 3333 .2.. yxyxaa

= a3(a2 - b2) - b3(a2 - b2) 2.. 33 ayxa

= (a2 - b2) (a3 - b3) 2.. 22 ayxyxyxa

= (a+b) (a - b) (a - b) (a2+ab+b2)

56) a4 + 2a3 - a2 - 2a

55) 8x4 + 6x2 - 2 = 2 (4x4 + 3x2 - 1) 22. 23 aaaa

4/14.44.2 22 xx 1.21.. 22 aaaa

4/14.1.42 22 xx 2.1.1.2.1. 2 aaaaaaa

12.12.1.2 2 xxx

58) a4b - a3b2 - a2b3 + ab4

57) 1 - 2a3 + a6 = (a3 - 1)2 3223. babbaaab

= [ (a - 1) (a2 + a +1) ]2 babbaaab ... 22

= (a - 1)2 (a2 +a +1)2 bababaabbabaab .... 22

59) m6 - 729 = 27.27 33 mm 60) 5a4 - 3125 = 5 (a4 - 625)

93.3.93.3 22 mmmmmm = 5 (a2 + 25) (a2 - 25)

= 5 (a2 + 25) (a + 5) (a - 5)

62) x5 - x = x (x4 - 1)

= x (x2+1) (x2 - 1) 61) ( a2 + 2a )2 - 2 ( a2 + 2a ) - 3

= x (x2+1) ( x +1) ( x - 1) 1)2(.3)2( 22 aaaa

12.32 22 aaaa

21.1.3 aaa

63) x5 - x3y2 + x2y3 - y5 64) a2x3 +2ax3 - 8a2 - 16a

= (x5 - x3y2) + (x2y3 - y5) 1682. 33 axaxa

= x3 (x2 - y2) + y3 (x2 - y2) 2.82.. 3 aaxa

63

= (x3 + y3) (x2 - y2) 42.2.2.8.2. 23 xxxaaxaa

= (x + y)

(x2 - xy + y2)(x+y)(x - y)

65) 1 - a6b6 = (1 - a3b3) (1 + a3b3)

66) 5ax3 + 10ax2 - 5ax - 10a = (1- ab)

(1+ab+a2b2)(1+ab)(1-ab+a2b2)

22.5 23 xxxa

22..5 2 xxxa

67) a2x2 + a2x - 6a2 - x2 - x + 6

1.1.2.51.2.5 2 xxxaxxa = (a2x2+a2x - 6a2) - (x2+x - 6)

= a2 (x2 + x - 6) - (x2+ x - 6)

68) 16m4 - 25m2 + 9 = (a2 - 1) (x2 + x - 6) 144 4 = (a + 1) (a - 1) (x + 3) (x - 2)

36 4 42 = 16

9 3 32 = 9 69) a2x2 + b2y2 - b2x2 - a2y2 3 3 = (a2x2 - b2x2) + (b2y2 - a2y2) 1 16 + 9 = 25 = x2(a2 - b2) + y2(b2 - a2) = x2(a2 - b2) - y2(a2 - b2)

=(16m2 - 16) (16m2 - 9)

16

= (a2 - b2) (x2 - y2) = (a + b) (a - b) (x + y) (x - y)

16

916.1.16 22

mm

70) x8 + x4 - 2 = (x4+2) (x4 - 1)

= (m2 - 1) (16m2 - 9) = (x4+2) (x2+1) (x2 - 1) = (m + 1)(m - 1)(4m + 3)(4m - 3) = (x4+2) (x2+1) (x+1)(x - 1)

71) 3abx2 - 12ab + 3bx2 - 12b 72) a4 + a3 - 9a2 - 9a

44.3 22 xaaxb 99. 23 aaaa

44..3 22 xxab 1.91.. 2 aaaa

1.2.2.31.4.3 2 axxbaxb 3.3.1.9.1. 2 aaaaaaa

73) a(x3+1) + 3ax (x +1) 74) 3a2m+9am-30m+3a2+9a-30 = a (x+1)

(x2 - x +1) +3ax (x+1) 103103.3 22 aamamma

= (x+1)[a (x2 - x +1) +3ax ] 103103..3 22 aaaam

= (x + 1) (ax2 - ax + a +3ax) 1.2.5.31.103.3 2 maamaa

= (x + 1) (ax2 + 2ax + a)

= a (x + 1) (x2 + 2x+ 1) 75) a3x2 - 5a3x+6a3+x2 -5x+6

64

= a (x + 1) (x + 1)2 = (a3x2 - 5a3x+6a3)+(x2-5x+6)

= a ( x + 1)3 = a3(x2 - 5x+6) + (x2 - 5x+6) = (a3 + 1) (x2 - 5x +6) = (a + 1) (a2 - a + 1) (x - 3) (x - 2)

76) x2(x2 - y2 ) - (2x - 1) (x2 - y2) 77) x9 - xy8 = x (x8 - y8)

= (x2 - y2) [ x2 - (2x - 1) ] = x (x4 - y4) (x4 + y4)

= (x + y) (x - y) (x2 - 2x +1) = x(x2+y2)(x2 - y2)(x4 + y4)

= (x + y) (x - y) ( x - 1)2 = x(x2+y2)(x+y)(x - y)(x4 + y4)

78) x5 - 40x3 + 144 x 79) 4x4 - 8x2 + 4 = 4 (x4 - 2x2 + 1)

= x(x4 - 40x2 + 144) = 4 (x2 - 1) (x2 - 1) = 4 (x + 1)2 (x - 1)2

= x (x2 - 36) (x2 - 4)

= x (x - 6) (x + 6) (x + 2) (x - 2) 81) a7 - ab6 = a (a6 - b6) = a (a3 + b3) (a3 - b3)

80) a6 + a3b3 - a4 - ab3 = a ( a+ b) (a2 - ab+b2)(a - b)(a2+ab+b2)

33325. babaaa

33332.. babaaa 82) a6x2 - x2 + a6x - x =

1.. 233 abaa 1. 66 axxax

1.1... 22 aabababaa 11.. 66 aaxx

1.1.1.1.1. 336 xaaxxax

83)

2a4- 2a3- 4a2 - 2a2b2+2ab2+4b2 1.1.1.1.1. 22 xaaaaaax

=

(2a4-2a3-4a2)-(2a2b2-2ab2-4b2)

= 2a2(a2 - a- 2) - 2b2(a2 - a - 2) 84) 3 - 3a6 = 3 (1 - a6)

= 2 (a2 - a - 2) (a2 - b2) = 3 (1 - a3) (1 + a3) = 2 (a - 2) (a + 1) (a + b) (a - b) = 3 (1-a) (1+a+a2) (1+a) (1-a+a2)

86) (a2 - ax) (x4 - 82x2 + 81)

= a (a - x) (x2 - 81) (x2 - 1)

= a (a - x) (x+9) (x - 9) (x+1) (x - 1)

Estudiar taller 6

65

2.2.3 Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación

Muchos de los polinomios en una sola variable sólo son factorizables mediante el método de evaluación. Pero debemos conocer primero el teorema del residuo y la regla de Ruffini o división sintética. Ejemplo 25: Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir

467)( 2 xentrexxxP

Solución:

resíduoelHallarxxxxxfEjemplo

resíduoxPxx

)12()11262)((:26

66474)4(404

23

2

Solución:

4

331

2

112

2

16

2

12

2

12/1012

23

fxx

Ejemplo 27: Hallar por división sintética el cociente y el residuo de dividir

1435)( 23 xxxxP entre 3x

Solución: Coeficientes de P(x) 1 -5 3 14

x-3 = 0 x=3 3 3 -6 -9

1 -2 -3 +5 residuo Coeficientes del residuo

5)(

32)(/ 22

xR

xxxxCR


)2()4845)(( 34 nnnnnf

Solución: 1 -5 0 4 -48

n=-2 -2 14 -28 48 1 -7 14 -24 0

0)(

24147)(/ 23

nR

nnnnCR

66


)12()6732)(( 34 xxxxxH

Solución: 2 -3 0 -7 -6

X=-1/2 -1 2 -1 4

2 -4 2 -8 -2 Resíduo

42)(41212 23 xxxxC

Ejemplo 30: Descomponer por el método de evaluación:

22)( 23 xxxxf

Solución: Hallemos los factores del término independiente

2

12

Comenzamos a tantear con cada factor, aplicando el teorema del residuo hasta que algún residuo de cero. Luego aplicamos división sintética para obtener el cociente; el cuál tratamos de seguir descomponiendo de la misma forma.

)(102121)1( xfdefactoresxf

Aplicando división sintética 1 2 -1 -2

x=1 1 3 +2

1 3 2 0 Lógicamente el residuo

23)( 2

xxxC tiene que dar cero

Nótese que el grado de C(x) va disminuyendo en 1 con respecto al de f(x).

Cuando el grado de C(x) ya es 2; tratamos de factorizar por el derrotero:

)1)(2(232 xxxx R/ )1)(2)(1()( xxxxf


242277)( 2345 xxxxxxh

Solución:

24,12

8,6,4

3,2,1

24 )(10)1(

0)1(

xhdefactoresxh

h

1 -1 -7 -7 22 24

x=-1 -1 2 5 2 -24

1 -2 -5 -2 24 0 R(x)

67

24252)( 234 xxxxxC y lo seguimos tanteando a partir del

último factor que hizo h(x)=0; en este caso x =-1 C(-1)0

C(2)=0 x-2 es factor de C(x); y por lo tanto también de h(x)

1 -2 -5 -2 +24

x=2 2 0 -10 -24

1 0 -5 -12 0 R(x)

)(30)3(

0)2(

0)2(

125)( 3

xcdefactoresxc

c

c

xxxc

1 0 -5 -12

x=3 3 9 12

1 3 4 0R(x)

?)?)((

43)( 2

xx

xxxc

)43)(3)(2)(1()(/ 2 xxxxxxhR


81811)( 24 xxxxg

Solución:

)(10)1(8,4

0)1(2,18

xgdefactoresxg

g

1 0 -11 -18 -8 1 -1 -10 -8

x=-1 -1 1 10 8 x = -1 -1 2 8

1 -1 -10 -8 0 R(x) 1 -2 -8 0 R(x)

)2)(4()1()(/

)(10)1(

810)(

2

23

xxxxgR

xcdefactoresxc

xxxxc

)2)(4(

82)( 2

xx

xxxc

68


48416059196)( 2345 xxxxxxf

Solución: 48,2412,8,6,4,3,2,148

)(20)2(;0)2(;0)1(;0)1( xfdefactoresxffff

6 19 -59 -160 -4 48

-2 -12 -14 146 28 -48

6 7 -73 -14 24 0 R(x)

24147376)( 234

xxxxxc

)(30)3(;0)2( xcdefactoresxcc

6 7 -73 -14 24

x=3 18 75 6 -24

6 25 2 -8 0 R(x)

82256)( 23

xxxxc

)(40)4(;0)4( xcdefactoresxcc

6 25 2 -8

x=-4 -24 -4 8

6 1 -2 0 R(x)

6

)12(3)23(2)(;

6

)36)(46(26)( 2

xx

xcxx

xxxc

)12)(23)(4)(3)(2(/ xxxxxR


6016459415)( 234 xxxxxf

69

Solucion: f(1) = 0 f(x)(x-1)

06010410915

60104109151

6016459415

x

= 16010410915)(

)(

23

xxxxxf

xc

c(1)0; c(2)0;

c(3)0; c(4)0; c(5)0

c(6)=0 x-6 es factor de c(x), c(x) x-6: 15 109 104 -60

x=-6 -90 -114 60 15 19 -10 0

35

616152515.61.101915)( 2

xxxxxxxxxf

612553)( xxxxxf


1441081621)( 235 xxxxxg

Solución: 1 0 -21 16 108 -144

x=2 2 4 -34 -36 144 1 2 -17 -18 72 0

27218172 234

xxxxx

c(x) = 2 c(x) x-2

1 2 -17 -18 72

x=2 2 8 -18 -72 1 4 -9 -36 0

223 )2).(3694()( xxxxxg

70

1 4 -9 -36

X=-3 -3 -3 36

1 1 -12 0 3.2.12)(22 xxxxxg

22334)( xxxxxg


96112623)( 235 aaaaah

Solución: 1 0 -23 -6 112 96

a=-1 -1 1 22 -16 -96 1 -1 -22 16 96 0

1961622 234

aaaaa

1 -1 -22 16 96

a=-2 -2 6 32 -96 1 -3 -16 48 0

2148163 23

aaaaa

1 -3 -16 48

a=3 3 0 -48 1 0 -16 0

32144321162 aaaaaaaaa


3605222510834)( 2345 xxxxxxf

Solución: 4 3 -108 -25 522 360

x=-2 -8 10 196 -342 -360 4 -5 -98 171 180 0

71

21801719854 234

xxxxx

4 -5 -98 171 180

x=3 12 21 -231 -180 4 7 -77 -60 0

32607774 23

xxxxx

4 7 -77 -60

x=4 16 92 60 4 23 15 0

43215234 2

xxxxx

443234204 xxxxx

432345 xxxxx


180362530)( 235 nnnnnk

Solución: 1 0 -30 -25 -36 -180

n=-2 -2 4 52 -54 180 1 -2 -26 27 -90 0

29027262 234

nnnnn

1 -2 -26 27 -90

n=-5 -5 35 -45 90 1 -7 9 -18 0

5.2.1897)( 23 nnnnnnk

72

1 -7 9 -18

n=-6 6 -6 18 1 -1 3 0

)(nk 65232

nnnnn

2.3. Simplificación de fracciones Ejemplo 39: Simplificar las siguientes fracciones:

x

x

xx

xh

xy

xa

xyx

xxa

yxxyx

a

xyyx

ag

aaa

aaaa

aa

af

a

a

aaa

aaa

aa

a

a

ae

yxyd

ba

a

baaabc

babmm

a

xx

x

xx

x

xx

x

x

x

ax

aa

aa

a

a

aa

a

yx

yx

yxyx

yx

a

a

a

yxyx

yx

ba

ba

2

2

224

44)

3

3

33

3

9

33

9)

1131

1311

3412

321)

12

5

152

55

542

25

10

25)

)32(3

1

32)

)(2)(44)

1)

3)

22

2

22

2

42

2

2

2

2

222

22

2

2

23

3

33

32

4333

32

2

2

2

3265

33

33

22

22

4

82

12

4

3624

4

2

4

2

436

92

6

4

Estudiar taller 7

73

44

...3,2,1

22

533522

22

22

NaturalnNota abbann

0321

321

3511

1)(10)1(

...

..

99

35)

2234

23

xxfdefactoresxf

evaluaciondemetodo

elporamosDescompong

xg

xf

x

xi

xxx

xx

)(10)1(

:;

)(,.3.).1.()(...

1332)( 2

xgdefactoresxg

fraccionlarsimplificapoderparafactoresmismoslostiene

xgsiVeamosxyxsonxfdefactoresLos

xxxxxc

1 1 -2 9 -9

x=1 1 2 0 9 1 2 0 9 0

)(30)3(,0)1(;92)( 23 xgdefactoresxccxxxc

1 2 0 9

x=-3 -3 3 -9 1 -1 3 0

74

3

1

331

31

:;3

22

2

2

xx

x

xxxx

xx

asiquedandovafracciónlaentoncesxx

1

1

132

322

01240281616)2(:

,

)(122072

128)

2

2

234

23

xxxx

xxfactoresx

gtienese

evaluaciónpor

endoDescomponixgxxxx

xxxj

2.4 Suma y Resta de fracciones:

Ejemplo 40: Simplificar 33

22

2

11

abba

ba

ababa

Solución:

babaab

baabbaa

abba

ba

ababa

22

33

22

2

11

babaab

babababab 22

babaab

bababab 22222

babaab

bab

baa

1

75

Ejemplo 41: Simplificar 234

2

22 43

1612

43

32

xxx

xx

xx

x

xx

x

142

4322

234

2

14

2

1

2 43

1612

43

32

xxx

xxxxxxx

xxx

xx

xx

x

xx

x

41

16123242

22

xxx

xxxxxxx

41

16123822

2232

xxx

xxxxxxx

41

16123822

22323

xxx

xxxxxxx

41

1642 xxx

x

41

442 xxx

x 1

42 xx

xx

x

xxx

xxx

x

xxx

x

13

2

2

1

23

13

2

2

1

652

Solucion

rSimplifica:24Ejemplo

xxxxx

x

xxxxxxx

xxx

xxxxxx

12

1

123

3

4233

123

22131 222

2.5 Multiplicación y División de Fracciones:

76

)4)(3(2

)5(

)4)(4(

)1(2

3

)4)(5(

)1(4

322

16

96

209

44

3

2

2

2

2

2

aa

aa

aa

aa

a

aa

a

aaa

a

aa

aa

a

a

:Solucion


2.6 Fracciones Complejas: Cuando se tiene un entero sobre una fracción, ó

una fracción sobre un entero; se le coloca al entero denominador “uno” (1),

para que quede fracción sobre fracción, y poder así aplicar la ley de la oreja

(multiplicar extremos y colocar el resultado como numerador, y multiplicar

medios y colocar el resultado como denominador); pero antes de aplicar la

ley de la oreja, debo observar si puedo simplificar entre sí numeradores y/ó

entre sí denominadores; además si puedo simplificar entre sí la fracción de

arriba, o entre sí la fracción de

abajo:

;12323 acd

b

ad

cda

ba

da

cda

ab

33

2323

1

cda

b

adcda

ba

da

cda

ab

1

7

75

5

7

1145

61

7

)2(

)2(114

5

)2(

)2(61

7

2

22114

5

2

1261

x

xx

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

xx

x

x

xx


77

11

1

12

1

1

12

11

2

1

2

2

1

1

2

22

1

1

2

22

1:45

2

2

2

22

xx

xx

x

xx

xx

x

x

x

x

x

xxx

xx

x

x

xx

xx

xrSimplificaEjemplo

Más ejercicios resueltos:

)1(4

5

)1)(1(8

)1(10

1)1(8

1010

1)1(8

4221212

1)1(8

4)1(2)1(121)1(8

)1(8

4

)1(4

1

)1(2

3

88

4

44

1

22

3:47

123

64

123

3292

123

1333)2(

)1)(2)(3(2

1

)2)(1(

3

)1)(3(

2

1

)2)(1(

3

32:46

11

22

2

222

2

aaa

a

aa

a

aa

aa

aa

aaaamcm

aaaaaarSimplificaEjemplo

xxx

xx

xxx

xxxxx

xxx

xxxxxx

xxxmcmxxx

x

xx

x

xxx

x

xx

xrSimplificaEjemplo

aa

78

1

13

)1)(1(

122222

)1)(1(

)1(22)1(2

11

1

1

22

1

2

1

1

1

22

1

2:48

32

2323

2

232

121

3

2

121

3

23

2

211

3

23

x

x

xxx

xxxxxx

xxx

xxxxxx

xmcmxxx

xx

x

x

xxx

xx

x

xSimplificaEjemplo

xxx

xxx

xxx

x

x

xa

x

xx

xxa

x

xx

xx

xx

xaxaxx

axa

xx

x

xx

x

rSimplifica

Ejemplo

412

123

44

3

3

34

33

12

372

16

3

3

12

9.:49

22

2

2222

222

22

2

32

2

)13)(32(

132

)13)(32(

253

)13)(32(

3641336432

1332

364131322

1332;1332

364

32

1

13

2

3116

364

23

1

13

2::50

2

222

2

2

2

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xxxxxxxx

xx

xxxxxx

xxmcmxx

xx

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

xSimplificaEjemplo

79

))((

24

))((

2222

))((

)(2))(()(

211:51

33

23

22

23322333

22

2222

22

baba

baa

babababa

abababbaaba

babababa

babaababababababa

baba

a

babarSimplificaEjemplo

22

2

22

2

2

332

22

442

2

32

22

422

2

3

2121

4

4

2

2

1

11

)1)(1(

1

)1)(1(

11

)1)(1(

1

11

11:52

aa

a

aa

a

a

aaa

aa

aaa

a

aaa

aa

aaa

a

aa

a

a

a

arSimplificaEjemplo

aa

38

49

3894

9494

3849

9494

7227723272

9494

12572

8116.:53

7238.9.49.8

2

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xrSimplificaEjemplo

xx

80

xxxx

xx

xxxx

xx

xxx

xxxxxx

xx

xxxx

xxx

xxxxxx

xxx

x

x

x

xxxrSimplificaEjemplo

xx

1

652

1652

623

2.3

2.3.

636265

2.3

6)2()3(

2.3.

)2(3)3(265

65

6

323

3

2

21.:54

2

2

22

222

2

2.3

2

22

2

22

2

22

2

2222

2

22

2

2 32232

1

1

ba

a

ba

a

ba

abaab

baba

baaab

ba

a

ba

ab

ba

baba

a

ba

ab

ba

bababa

bba

a

ba

a

b

ba

baba

b

a

b

a

b

baba

r.Simplifica:55Ejemplo

22

22

2

44

10143

2

1

5

5

2

3

.

baba

baba

bababa

a


81

babababa

baba

bababa

baba

bababa

babababaaba

ba

baba

baba

babababaa

5

3

101435

101433

101435

30429

)10143)(5(

10720205153

2

10143

)5.(2

)5)(2(25)5(3

22

22

22

22

22

22222

2

22

2

2

2

1

4

1

)1(2

4

4

1

1212

1212

2)(2

1

1

1

2

22

1

1

1

1

11

1

1

1

.

2

2

2

22

22

2

2

2

2

22

2

22

22

2

11

11

x

x

x

x

x

x

xxxx

xxxx

x

ba

ba

x

ba

x

ba

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xx


82

3

1

)2)(2)(6)(6(3

)2)(2)(6)(6(436

22

3

66

4

1

36

12266

3

1

4

1

36

1

4

36

3

1.

2

2

22

22

2

2

xxxxx

xxxxxx

x

x

x

x

xx

x

xxx

x

x

xx

xx

x

xxx

xx

xx

x

x

xrSimplifica:58Ejemplo

12

.)(

)(*

)(

)(2

2

1

)(2

2

1**

21

1

2.:60

)2.(36

2713712663961222

)2.(36

).2(6)2(33)2)(3(2

9632

1

)2(6

1

)3(3

1

96

1

32

1

126

1

93

1.:59

2

2

2

22

2222

2222

2

22

22

2

2222

2

2

23

22

2

2

a

b

baa

bab

bab

baa

b

aba

a

bab

ba

b

ba

a

b

babba

a

bab

ba

ba

b

baba

a

bb

ba

baba

ba

baba

rSimplificaEjemplo

xx

xxxxxxxxx

xx

xxxxxx

xx

x

xxx

xxxxx

rSimplificaEjemplo

baba

baba

x

83

EEjjeemmpplloo 6611:: SSiimmpplliiffiiccaarr

11

1

11

2

11

2

1

332

xxxxxxxA

SSoolluucciióónn::

131

1

121

224222

212

1

3

xxxx

xxx

x

xA

1

11

11

263

3

xx

xx

x 1

26

x 26 x

EEjjeemmpplloo 6622:: SSiimmpplliiffiiccaarr x

xxx

xx

36

1

3

1

2

3

3

4

3

2

SSoolluucciióónn:: 3

2

3

4

3

2

3

4

3

2

xxxxx

6

7

6

1233

3

1

2

3

xxxxx

x

xx

xA

36

1

6

7

3

2

13

372

1

36

36

72

xx

xx

x

x

x

x

13

372

xx

xx 1

72

x

x


x

x

x

xxx

1

3

1

4

24

84


xx

xxxx

xx

x

x

x

xx 1.1

334424

1

3

1

424 22

xx

xx

x 11

72 2 xx

xx

x

7

112 xx

xx

7

1122


aa

a

aa

1

1

1

1


aa

aa

a1

1

1

1

a

aa

a

aa

1

1

1

12

2

11

12

2

a

aa

a

aa

11

12

32

a

a

a

aa

3

22 1

1

1

a

a

a

aa

1

113

22

aa

aaa

Estudiar taller 8

85

32221221222

2134321

224/

2.1

:

aaaaaa

aaaaaaa

mmmmmmR

mmmpormmmm

rMultiplica

85274252241232

422433221

2/

2.2

bababababaR

babaporbabababa

nnnnn

nnnnnn

432234

2222

6

7

60

17

10

1

5

3/

22

3

2

1

3

1

5

2.3

nmnnmnmmR

mnnmpornmnm

5

4

30

19

3

2

40

37

2

1

4

3/

23

12

5

2

4

1

8

3.4

2345

32

xxxxxR

xxporxx

54322345

223223

8

5

6

7

60

101

40

99

6

5

2

1/

3

2

2

5

3

2

4

1

5

2

2

1

4

3.5

nmnnmnmnmmR

mnnmpornmnnmm

TALLER 3

TALLER 4

86

223223

54322345

423/6128

42633385224.1

yxyxRyxyyxx

entreyxyyxyxyxxDividir

6422464235

108365472911

3/32

35685.2

yyxyxxRxyyxx

entrexyyxyxyxyxxDividir

zyxRyzxzxyzyx

entrexyzzyxDividir

/

3.3

222

333

4321213

32221221222

2/

224.4

aaaaaaa

aaaaaa

mmmmRmmmentre

mmmmmmDividir

4321213

72423222

2/

4.5

aaaaaaa

aaaa

xxxxRxxx

entrexxxxDividir

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxaxa

yxyxyxR

yxyxyxentre

yxyxyxyxDividir

32122212

1112

12332232233213

1042/

43

302842.6

Hallar el cociente mixto de:

yx

yyxyyxyxxRyxentreyx

543223455 2

/.7

ba

bbabaR

baentrebabbaa

32

12734/

329568.83

22

3223

23

102032/

234793.9

2

3

2245

xx

xxxR

xxentrexxxx

TALLER 5

87

Escribir por simple inspección el resultado de:

221221 2/.1 xxxxxx bbaaRba

422122221 2/.2 xxaaxa yyxxRyx

421222221 96/3.3 aaaaa xxxRxx

maamma yxRxyyx 22 259/3553.4

22221111 4/22.5 xxxxxx baRabba

222 2/.6 zyxyxRzyxzyx

222 2/.7 zyzyxRzyxzyx

144/1212.8 2422 nnnRnnnn

92/3232.9 2422 aaRaaaa

222 44/22.10 cbabaRcbacba

3224632 8126/2.11 bbabaaRba

322332754368/32.12 yxyyxxRyx

76/71.13 22442222 babaRbaba

482/8614 33663333 yxyxRyxyx

245/8315 2 xxxx aaRaa

3011/5616 12211 xxxx aaRaa

422422 2/17 bbaaRbababa

23/21118 242 xxRxxx

81/93319 42 aRaaa

2524/15520 242 xxRxxx

88

45/221121 24 aaRaaaa

3613/233222 24 aaRaaaa

65432

232

2131842369/

6323

aaaaaaR

aaa

25

16

5

4

20

29

4

3

16

9/

5

4

2

1

4

324 234

2

2

aaaaRaa

4

1

4

3

48

59

2

3

36

43

3

2

4

1/

2

1

4

3

3

2

2

125

23456

2

23

aaaaaaR

aaa

Factorice completamente:

11/112.2

383/1311110.1

2

22222

aaxxRxxxa

xxRxx

babababaRbaba 222233 /.3

TALLER 6

89

111/.10

32/33*44.9

4353/2033.8

/2.7

/2.6

133/39.5

1/.4

4446810

22

2

223322

22

22

2233

aaaaRaaaa

R

R

babababaRbababa

zyxyxRyzxzyxyx

babaRbaba

bababaRbaba

nnn

nnnn

nmnmnm

nnnn

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22222

22

222323

2236

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2/2.13

3933/279.12

1241211/178.11

2222 1236168.15 babayxyx

R/ bayxbayx 6464

16. baba 43169 22 R/ 14343 baba

17. 33 644 yxyx R/ 22 16414 yxyxyx

18. 123 yx R/ 124412 22 yxyxyxyx

19. 164 y R/ 2242 yyy

20. 18 x R/ 1111 24 xxxx

21. 12 36 aa R/ 22211 aaa

22. 178 36 xx R/ 1124112 22 xxxxxx

23. 426 1 ttt R/ 11 42 tt

24. 6664 yx R/ 2222 242422 yxyxyxyxyxyx

90

25. acybcxabybcyacxabx R/ bcacabyx

26. nn ba 6664

R/ nnnnnnnnnnnn bbaabbaababa 2222 242422

Descomponer por evaluación:

5432/1201427.1 24 nnnnRnnnnf

7354/140362 234 xxxxRxxxxg

543242/

1204675188.3 234

aaaaR

aaaaah

355/75224 224 xxxRxxxl

SSiimmpplliiffiiccaarr oo rreedduucciirr aa ssuu mmaass ssiimmppllee eexxpprreessiióónn::

18

22/

44

3

88

7

22

2.1

2

2

2

a

aaR

a

a

a

a

a

a

1260

14/

3060

14

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52

1020

3.2

a

aR

a

a

a

a

a

a

3221

47/

2

3

62

1

352

2.3

222

xxx

xR

xxxxxx

TALLER 7

TALLER 8

91

9

5/

9

2

3

3

3

2.4

2

2

2

a

aaR

a

a

a

a

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22

2

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33.5

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x

yx

y

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3

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aaaa

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2

222

2

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2

x

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2

22

33

22

22

322

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4/

816

27

28

4

372

96.8

nmnnm

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nm

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nm

nmnnm

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xaxa

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2

1)(.9

23

22

22

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22

23

22

24

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3

2

22

3/)3(

9

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27

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22

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bababa

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yx

yx

x

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22

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2

2

22

2

2

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1

1/

1

1

1

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ba

ba

ba

ba

1/2

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a

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33

33

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1/

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b

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33

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2

33

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2

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2

2

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a

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yx

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x

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a

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22

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aR

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11

11

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x

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1/1

.37

/12

1.36

3/

62.35

1/

1

11

1

1.34

2

2

33

2233

22

22

33

22

2

2

2

33

3

223322

23

4

Documents

Fact.y frac. II-1