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1. GEOMETRÍA ANALÍTICA

¡ FELICIDADES BIENVENIDO AL MUNDO DEL ANALISIS MATEMATICO !

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ANTECEDENTE HISTÓRICOS. La idea básica de geometría analítica y de coordenadas es muy antigua, ya Arquímedes

(250 A C) , Apolunio de Perga (210 años A. C) en sus estudios de las secciones cónicas

usaron para sus representaciones, las coordenadas. Transcurrieron muchos años para

que los estudios de los griegos y otros filósofos y matemáticos llegaran a crear las

herramientas que sirven para la representación de las propiedades de las figuras y su

análisis. Ideas que culminan con las aportaciones de Descartes (1506-1650). Análisis de

las figuras basado en el sistema de los números reales y el uso de un enfoque algebraico

sistemático para el estudio de estas figuras y sus propiedades. Con las investigaciones

realizadas por el grupo se podrá hacer una ampliación más detallada sobre el desarrollo

de la Geometría Analítica. Completa estos antecedentes.

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Personaje Periodo de

Vida,

Nacionalidad y Aportaciones a la Geometría Analítica

Menaíemo Siglo IV ac

Se le atribuye la invención de la parábola, elipse, hipérbola equilátera (tíade de Menaíemo)

Apolunio de Perga

Siglo II ac

Usa números para representar puntos, considera las secciones cónicas originadas por la intersección del plano y el cono, definiendo las curvas originadas

Arquímedes de Siracusa

( 287 – 212 a.C.)

Fue el más grande matemático de la antigüedad inventor y científico practico, invento un tornillo para elevar el agua, estableció las propiedades de las poleas y palancas, construyo un modelo mecánico que reproducía el movimiento de la luna y los planetas;; aportó las formulas del área del circulo, el segmento de la parábola y de la elipse, el volumen y área de la esfera, del cono y de otros sólidos de revolución. Usa números para representar puntos,

F. Viète 1540-1603

En sus obras hay aplicaciones del álgebra a la geometría

Nicolás Oresme

1323-1382

Maneja como coordenadas la latitud y la longitud (coordenadas rectangulares) Determina que en la proximidad de una curva en la cual la ordenada es máxima o mínima, dicha ordenada varía más lentamente, no se considera creador, el atribuye a otras personas sus ieas

Johannes. Kepler

1571-1630

Alemania: estudio matemáticas y astronomía en la universidad de Tubingen. nombrado como asistente de tycho brahe. en el observatorio de Praga , adquirió datos exactos sobre las órbitas de los planetas. las máximas aportaciones de Kepler fueron sus tres leyes del movimiento planetario: 1) los planetas se mueven en el elipse ,con el sol en uno de

sus focos. 2) la recta que une al sol con un planeta barre áreas iguales

en tiempos iguales. 3) el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de sus

cuadrados. Hace la misma observación que Oresme. Usa números para representar puntos, emplea la palabra foco para determinar un elemento de la elipse

Personaje Periodo de

Vida,

Nacionalidad y Aportaciones a la Geometría Analítica

René 1596 - Mejor conocido como un gran filosofo moderno. También fue

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Descartes 1650 un fundador de la biología moderna, físico y matemático. Su trabajo matemático de mayor trascendencia fue la géometrie, publicado en 1637. En el, intento la unificación de la antigua y venerable geometría con el álgebra. En (1637 – 1665) tiene crédito por la unión que llamamos hoy geometría analítica o geometría coordenada. En su obra establece una relación entre el número y el espacio

F. Van Schooten

1615-1660

Sugirió el uso de de coordenadas en el espacio tridimensional

Blaise Pascal 1625 –1662

:Hizo aportaciones al calculo, a la edad de 19 años invento la primera maquina de sumar. Tiene el crédito de la iniciación de estudios serios sobre la teoría de la probabilidad. Se da el nombre del triángulo de Pascal al arreglo de números que contienen los coeficientes del teorema del binomio.

Pedro de Fermat

1601-1665

Determinó el área bajo algunas parábolas, Hace estudios sobre de lugares planos y sólidos interpretando ecuaciones sencillas geométricamente.

Isaac Newton 1642-1727

Inglaterra: Comparte con Gotfried Leibniz el crédito del descubrimiento del Cálculo, siendo el primero en concebir las principales ideas del Método de Fluxiones. Descubrió el teorema del Binomio que lleva su nombre, los elementos del cálculo integral y diferencial , la teoría del color y la ley universal de la gravitación Considera el signo de las coordenadas en los diferentes cuadrantes Considera la hipérbola como una curva con dos ramas

Gottfriel Wilhelm. Leibniz

1646-1716

Alemania: Comparte con Newton el crédito del descubrimiento del Cálculo, descubrió independientemente de Newton las ideas de éste, sobre el Cálculo, no recibe el mismo reconocimiento que Newton; pero fue uno de los más grandes inventores de los símbolos matemáticos a él se debe el nombre de Cálculo integral y Cálculo Diferencial y el uso de

dy/dx para la derivada y para la integral el término de

función y el uso de =, desarrollando con mayor rapidez el cálculo con el uso de estos símbolos

Jacobo Bernoulli

1654-1705

Inventa las coordenadas polares que se habían usado para el estudio de espirales

Guillaume F. A. de L ‘Hôpital

1661-1704

Francia: discípulo de Johann. Bernoulli de ahí que en sus trabajos hay disputas entre ambos, Publicó el libro de texto más importante de geometría analítica. Introdujo los dos ejes no por fuerza perpendiculares

A Parent 1666-1716

Representa por primera vez mediante una ecuación cartesiana la superficie de una esfera y otros sólidos, para ello no menciona ni ejes ni planos

J. E Herman 1678- Indicó la consideración de los tres ejes coordenados de un

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1733 sistema cartesiano, dando impulso a la geometría del espacio. Observa que un punto en cualquier eje tiene las otras coordenadas nulas. Demuestra que toda ecuación de primer grado con tres variables representa un plano, partiendo de esta ecuación deduce las coordenadas de la intersección del plano con cada uno de los ejes de los ejes coordenados.

Personaje Periodo de

Vida,

Nacionalidad y Aportaciones a la Geometría Analítica

Leonard Euler 1707-1783

Suiza: Escribió 75 libros de matemáticas, contribuye con sus estudios a la interpretación de las funciones trascendentes, introdujo al número “e” base de los logaritmos naturales, demostró que e y e2 son irracionales, Complementa dando fundamentos a la geometría analítica del espacio . Estudia las ecuaciones de segundo grado y las clasifica en 5 tipos

A. C. Clairaut 1713-1765

Amplia los trabajos de Herman y sus trabajos representan un tratado de geometría analítica del espacio

María Gaetana Agnesi

1718-1799)

Italia. comenzó su mas importante trabajo, en un libro de texto de calculo. su estudio de una curva conocida entonces como la versiera. Milán reconoció a Agnesi dándole en su honor su nombre a una calle.

Joseph-Louis. Lagrange

1736 – 1813

Turín Italia: Por la lectura de un ensayo sobre el calculo, dominó esta ciencia. Se cree que a los 19 años, comenzó su obra máxima “Mécanique Analytique”. La carrera de Langrage fue ilustre. En París, ayudo a perfeccionar el sistema métrico de pesas y medidas. Sus contribuciones, incluyen el método de multiplicadores de Langrage.

Carl Friedrich Gauss

1777 – 1855

Alemania: La matemática es la reina de las ciencias y la teoría de los números es la reina de la aritmética, expresión de este personaje, el más grande matemático después de Newton, Conocido como el príncipe de las matemáticas, propone estratagemas para el conteo, concibe la idea de geometría no euclidiana, inventa el método de mínimos cuadrados, resuelve el problema de construir con regla y compás el polígono de 17 lados. Hace la primera demostración del teorema fundamental del Álgebra. Su obra “Disquistiones Arithmeticae” ha influido notablemente sobre la teoría de los números. En Cálculo sus trabajos sobre

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superficies curvas incluye el teorema de la divergencia. Una unidad de los campos magnéticos lleva su nombre.

A: F: Möbius 1790-1868

Primero que Considera de manera sistemática el signo de los segmentos, ángulos y áreas

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Estas a punto de comenzar un interesante tema, el cual utilizaras en el

semestre, te invitamos a que comiences resolviendo el siguiente

acertijo.

Observa detenidamente el dibujo que se te presenta a continuación y

determina si son rectas o paralelas las figuras.

¿Qué lineas encontraste en figura?

¿Qué relación existe entre las lineas que observaste?

¿Qué aparente relación observas en las lineas?

¿Te costo trabajo encontrar las lineas?

Ahora comprueba tus respuestas auxiliandote de una regla o una hoja de

papel.

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Existen diferencias entre las primeras observaciones y la comprobación

realizada?

Cuales son estas diferencias.

Investiga en algunos de los mediaos que ya conoces lo siguiente:

Conceptos de punto

Concepto de segmento

Recta

Plano cartesiano

A continuación lee el contenido de tu antología sobre el tema que se

presenta a continuación en tu antología.

1.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

1.1.1 Sistema cartesiano Este sistema se denomina cartesiano en honor a René Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unión de álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica. El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas dirigidas XX’ y YY’ llamadas ejes de coordenadas y que son perpendiculares entre sí; la recta horizontal se llama eje X’, la recta vertical se llama eje Y’; su punto de intersección 0 es el origen del sistema

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Estos ejes coordenadas dividen en planos de cuatro regiones llamados cuadrantes, los cuales se ordenan en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj. Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha del origen son positivas, y a la izquierda del origen son negativas; las ordenadas medidas sobre el eje Y hacia arriba del origen son positivas y hacia abajo del origen son negativas. La localización de un punto por sus coordenadas se llama trazado del punto. Cuando nos encontramos en una gran ciudad, podemos localizar cualquier esquina si contamos con dos datos: el nombre de la calle y el nombre de la avenida que la cruza; si estamos en un salón de clases se puede localizar cualquier asiento, con tan sólo dos datos: el número de la fila y el número de la hilera, así mismo lo podemos hacer en un sistema de coordenadas, mediante la: 1.1.2 Localización de puntos en el plano En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x ,y) le corresponde un punto definido del plano y a cada punto del plano le corresponde un par de único de coordenadas (x, y). Ejemplo 1. Grafica los puntos B (2 , 5) y G (-3 , -4)

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Ejemplo 2. Grafica los puntos P (3 , -5) Q (-7/2 , 11/3) y R (1.75 , 0.5) A partir de los ejemplos anteriores realiza las siguientes: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Contesta las siguientes preguntas: 1. Nombre del fundador de la geometría analítica: 2. ¿Cuál fue el primer descubrimiento matemático de Descartes?. 3. ¿Quién ya había intentado unir el álgebra y la geometría?. 4. Explica de qué manera integró Descartes el álgebra y la geometría: 5. ¿Cuál es el concepto de geometría analítica?.

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6. ¿Cuál es la razón por la que el sistema de coordenadas rectangulares se denomina también cartesiano?

7. ¿Cómo se ordenan los cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares?. 8. Explica cuándo las abscisas y ordenadas son negativas: 9. ¿Cuál es la representación de las coordenadas de un punto de manera general?. II. ¿En qué cuadrante se localizan los siguiente puntos? a) N(3, 2) b) O(-4, -6) c) P(7, -8) d) R(-5, 6) III. Representa gráficamente los siguientes puntos: a) A(2, -1), B(-3, 6), C(-9, -2) b) C(1, 4), M(0 -7), R(-2, 3) IV. Representa gráficamente los siguientes triángulos, formados por las coordenadas de sus vértices. a) A(4, 5), B(-7, 0), C(-6, 4) b) A(-3, 6), B(6, 5), C(-4,-3) V. Grafica los siguientes polígonos cuyos vértices son: a) A(-4, 2), B(-1,-3), C(2, -6), D(0, 4) b) A(-3, -5), B(5, -2), C(5, 5), D(1, 5) E(-4, 2) ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. Grafica y di en qué cuadrantes se localizan los siguientes puntos:

1. S(-4.5,-2.5) 2. U(9/4,-4/2) 3. W(13/16,-7/3) 4. O(-8,10) 5. N(4,0) 6. A(5,-1) 7. A(0,8) II. Localiza en el plano cartesiano un triángulo isósceles, un rombo y un paralelogramo, cuyos vértices sean los que tú elijas y que queden en el primero, segundo y tercer cuadrante, respectivamente. ¿Te has imaginado cuál es la distancia que hay de tu casa a la escuela? Seguramente ya lo hiciste, lo cual te servirá para comprender el siguiente tema denominado: 1.1.3 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las que explicaremos a continuación.

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1. Sean P1 (x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y

que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigida entre los dos puntos es:

Fórmula de la distancia dirigida de P1 a P2 o de P2 a P1. P1 P2 = x2 - x1 P2 P1 = x1 – x2

La fórmula de la distancia no dirigida es:

P1 P2 = x2 - x1 = x1 – x2

Sean P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical (paralelas al eje y). La distancia dirigida entre los dos puntos es, conforme a las siguientes fórmulas:

P1 P2 = y2 - y1 P2 a P1 = y1 – y2

La fórmula de la distancia dirigida es:

P1 P2 = y2 - y1 = y1 – y2

20

Sean P1 (x1 , y1) y P2 = (x2 , y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P1 , paralela al eje “x”, otra recta que pasa por el punto P2 paralela al eje “y”; estas rectas se intersectarán en un punto Q(x2 , y1) formando así un triángulo P2 QP1 en el cual identificamos:

P1 P2 = hipotenusa = d (distancia) P1 Q = cateto adyacente = (x2 - x1) QP2 = cateto opuesto = (y2 - y1)

La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por:

d = y1)2- (y2 x1)2 - ((x2

Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos cuya coordenadas son: P1 (-7 , 2) y P2 (8 , 2) Si graficamos los puntos dados, tenemos: Observa que los dos puntos pertenecen a una misma recta horizontal, por lo que la distancia dirigida

21

entre los dos puntos es: d = P1 P2 = X2 - X1 d = P2 P1 = X1 - X2

d = P1 P2 = 8 - ( -7 ) d = P1 P2 = - 7 - 8 d = P1 P2 = 8 + 7 d = P1 P2 = - 15 d = P1 P2 = 15 Ejemplo 2: Gráfica los puntos: P1 ( -2, 4 ) y P2 ( -2, - 6 )

Observa que los dos puntos dados pertenecen a una misma recta vertical, por lo que la distancia no dirigida entre los dos puntos es:

Y´

X X

´

Y

0

P1(-7, 2) P2( 8, 2)

0

P1 ( -2, 4

)

P1 ( -2, 6

)

X X

´

Y

Y´

22

d = P1 P2 = Y2 - Y1 d = P2 P1 = Y1 - Y2

d = P1 P2 = - 6 - 4 d = P1 P2 = 4 - ( - 6 ) d = P1 P2 = - 10 d = P1 P2 = 4 + 6 d = P1 P2 = 10 Ejemplo 3: Calcula la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A ( - 6, 3 ) y B ( 2, - 3 ) Si graficamos los puntos dados, tenemos:

Observa que los puntos A y B no pertenecen a una distancia recta horizontal o vertival, por lo que su distancia se determina por la fórmula:

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Al sustituir los valores de las coordenadas en la ecuación, resulta:

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

X X

´

Y

0

A(-6,

3)

B( 2, -

3 )

Y´

23

d = ( 2 + 6 )2 + (- 3 - 3 )2

d = ( 8 )2 + ( - 6 )2

d = 64 + 36 = 100

d = 10

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

1. A ( 3, 5 ) y B ( 4, -1 ) 2. A ( -2, -3 ) y B (4, -2 )

II. Demuestra mediante la fórmula de la distancia, que los siguientes puntos son colineales. 1. A( -5, 6 ), B( 2, 4 ) y C( 16, 0 ) 2. A(-2, -5), B(2, -4) y C(10, -2) III. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles. 1. A( -2, 2 ), B( 3, 1 ) y C( -1, -2 ) 2. A( -6, -6 ), B( -2, 5 ) y C(2, -2) IV. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo. 1. A( 3, 2 ), B( -2, -3 ) y C( 0, -4 ) 2. K( 3, 5 ), L( 7, 2 ) y M( 4, -2 ) V. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un paralelogramo. 1. A( 4, 2 ), B( 2, 6 ), C( 6, 8 ) y D ( 8, 4 ) VI. Sean A(0, 0 ), B( 3, 0 ), C( 4, 2 ) y D (1, 2 ) los vértices de un paralelogramo, halla la longitud de sus dos diagonales. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

24

I. Grafica y encuentra la distancia entre los dos puntos que se indican. 1. C( 2, 3/4 ), y M( -2, -3/2 ) 2. U( 9/2, -3/4 ), y V( 17/5, -3/4 ) 3. A( 10, 1 ), B ( 6, 1 ) y C( 2, -3 ) 4. A( -4, 2 ), B ( 4, 6 ) y C( 8, 8 ) 5. A( -2, -4 ), B ( -5, 1 ) y C ( -6, -5 ) 6. A( -6, 4 ), B ( -5, -3 ) y C ( -1, -1 ) 7. A( 1, 4 ), B ( -2, -1 ), C ( -1, -5 ) y D (2, 1) 8. P( -2, -8 ), Q ( -6, -1 ) y C ( 0, -4 ) El área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. Área de una región triangular Sean P1 ( x1 - x1 ), P2 ( x2 - x2 ) y P3 ( x3 - x3 ) los vértices de un triángulo, su área “A” se puede obtener sumando las áreas de los trapecios Q1 Q3 P3 P1 y Q3 Q2 P2 P3 y resultando el área del trapecio Q1 Q2 P2 P1. Dichos trapecios se forman trazando perpendiculares de los vértices del triángulo al eje “x”.

El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases (lados paralelos); por lo tanto el área del triángulo P1 P2 P3 es: A = área del trapecio Q1 Q3 P3 P1 + área del trapecio Q3 Q2 P2 P3 - área del trapecio Q1 Q2 P2 P1

A = ( x3 - x1 ) ( ½ ) ( y1 + y3 ) + ( x2 - x3 ) ( ½ ) ( y3 + y2 ) - ( x2 - x1 ) ( ½ ) ( y1 + y2 ) A = ½ ( x3 y1 – x1 y3 + x2 y3 – x3 y2 + x1 y2 - x2 y1 ) El área resultante se expresa en una forma más fácil por: A = ½

0

X X

´

Y

Y´

P1(x1, x1)

P2(x2, x2)

P3(x3, x3)

Q1(x1, 0) Q2(x2, 0) Q3(x3, 0)

( - )

( - )

( - )

( + )

( + )

x1 y1

x2 y2

x3 y3

x1 y1

A = ½ ( x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 – x2 y1 - x3 y2 - x1 y3 )

25

Esta fórmula también se emplea para determinar el área de cualquier polígono. Se hace notar que el primer renglón se ha repetido al final con el fin de facilitar el cálculo. Si los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa. Ejemplo 1. Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: A ( 3, 2 ), B ( 7, 4 ) y C ( -2, 5 ) Al sustituir los datos dados en la fórmula, resulta: A = ½ = ½ A = ½ [(3)(4) + (7)(5) + (-2)(2) – (3)(5) – (-2)(4) – (7)(2)] A = ½ ( 12 + 35 – 4 – 15 + 8 – 14 ) = 22 / 2 A = 11 unidades cuadradas Perímetro. Es la suma de las longitudes de los lados de una figura plana; matemáticamente se representa por la letra P.

0

X X

´

Y

Y´

C(-2, 5)

B(7, 4)

A(3, 2)

x1 y1

x2 y2

x3 y3

x1 y1

3 2

7 4

-2 5

3 2

26

Semiperímetro. Es la mitad del perímetro; se representa por la letra “S” y matemáticamente se hace notar por S = P / 2 Ejemplo 2: Encuentra el área, perímetro y semiperímetro del polígono si las coordenadas de sus vértices son: A(-8, 2 ), B(-1, 5), C(7, -1) y D(-2, -6)

Con base en la gráfica, los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, es decir: A = ½ = ½ Al sustituir los datos dados en la fórmula, resulta: A = ½ [(-8)(-6) + (-2)(-1) + (7)(5) – (-1)(2) – (-8)(5) – (-1)(-1) – (7)(-6) – (-2)(2)] A = ½ ( 48 + 2 – 35 – 2 + 40 – 1 + 42 + 4 ) = 168 / 2 A = 84 unidades cuadradas Para determinar el perímetro, se calculan las longitudes de los lados del polígono dado:

dAB = (-1 + 8)2 + (5 - 2)2 dBC = (7 + 1)2 + (-1 - 5)2

0

Y´

C(7, -

1)

A(-8,

2)

Y

B(-1,

5)

X X

´

D(-2, -

6)

xA yA

xD yD

xC yC

xB yB

xA xA

-8 2

-2 -6

7 -1

-1 5 -8 2

27

= 49 + 9 = 7.615 dBC = 64 + 36 dAB = 10

dCD = (-2 - 7)2 + (-6 + 1)2 dAD = (-2 + 8)2 + (-6 – 2)2

dAB = 81 + 9 = 10.295 dAD = 36 + 64 = 10 El perímetro del polígono es: P = dAB + dBC + dCD + dAD

P = 7.615 + 10 + 10.285 + 10 P = 37.91 unidades de longitud El semiperímetro del polígono es: S = P / 2 = 37.91 / 2 = 18.995 unidades de longitud ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes triángulos cuyas coordenadas de los vértices son: 1. A (3, -3), B (-5, 2 ) y C ( 6, -4 ) 3. A (4, 9), B (-2, 1 ) y C ( -6, 2 ) 2. A (-4, -1), B (2, -6 ) y C ( 4, 2 ) 4. A (7, -3), B (-2, 2 ) y C ( 4, 4 ) II. Obtén el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes polígonos cuyas coordenadas de los vértices son: 1. A (-3, 3 ), B (6, 2 ), C ( 7, 7 ) y D ( -2, 5 ) 2. K (-3, 1 ), L (-7, 1 ), M ( -2, 8 ), P ( 1, -5 ) y Q ( 7, 4 )

Y

0 X´ X

Y´

R2 ( 0, y2 )

R ( 0, y )

R1 ( 0, y1 )

P ( x, y )

P1 ( x1, y1 )

Q1 ( x1, 0 )

Q ( x, 0 ) Q2 ( x2, 0 )

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3. R (-5, 1 ), X (-4, 7 ), Y ( 3, 5 ), Z ( 7, 2 ) y A ( -2, -4 ) 1.1.4 Localización de un punto que divide a un segmento de recta en una razón

dada. Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razón r = P1P / PP2 se aplica el siguiente procedimiento: Teorema. Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razón r = P1P / PP2 son: x = Ejemplo 1: Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por A( 8, 2 ) y B ( -5, 7 ) en la razón = 3 / 4 Al sustituir los datos dados en las fórmulas, resulta:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra las coordenadas de un punto P ( x, y ) que divide a un segmento de recta determinado por:

P2 ( x2, y2 )

x1 + rx2

1 + r

y1 + ry2

1 + r y =

Siendo r - 1

x1 + rx2

1 + r

y1 + ry2

1 + r

y =

8 + (3/4) (-5)

1 + (3/4)

2 + (¾)7

1 + (3/4)

y =

x =

x = = 17 /

7

= 29 /

7

29

1. P1 ( -2, 3 ) y P2 ( 3, -2 ) r = 2 / 5 2. P1 ( -2, 1 ) y P2 ( 3, -4 ) r = -8 / 3 ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. ¿Cuáles serán las coordenadas del punto de división a partir de los siguientes datos? 1. P1 ( 3, -1 ) y P2 ( 9, 7 ) r = 1 / 2 2. P1 ( 5, 3 ) y P2 ( -4, 3 ) r = -3 / 2 Hemos llegado a un punto en que debemos dar un giro a nuestro estado de la geometría

analítica. Hasta aquí hemos deducido algunas relaciones fundamentales y considerando

métodos generales para la construcción de curvas y la obtención de la ecuación de un

lugar geométrico. Pero todavía no hemos hecho ningún intento sistemático para identificar

las ecuaciones y sus lugares geométricos de una manera específica. Más aún, hasta este

momento, no hemos establecido ninguna de las propiedades particulares que puede

poseer una curva. En éste y en los siguientes capítulos, haremos un estudio detallado de

la línea recta y de algunas de las curvas que son de máxima importancia en la geometría

analítica y sus aplicaciones. Naturalmente comenzaremos con el estudio de la línea recta

debido a que su ecuación es la más sencilla.

30

1.2 LA LÍNEA RECTA

Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos

diferentes cualesquiera P1(χ1, y1) y P2(χ2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m

calculado por medio de la formula resulta siempre constante.

1.2.1 PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN

Sea “l” una recta en el plano y el ángulo que forma dicha recta con el eje x , esto es, el ángulo más pequeño cuyo lado movil gira en sentido positivo (contrario al del reloj) hasta coincidir con la recta dada (véase figura). Sí la recta está inclinada a la izquierda (o sea,

desciende al avanzar uno de izquierda a derecha), es claro entonces que 90° < <180° y

Tg es negativa. Si la recta está inclinada a la derecha (o bien, asciende), entonces 0° <

< 90° y Tg es positiva. Si la recta fuera horizontal, entonces no cortaría al eje x. En

este caso = 0°. Si la recta fuera vertical, entonces = 90° y Tg sería indefinida. Sin

embargo, no hay peligro alguno en emplear el símbolo Tg 90° = si se tiene presente que no es un número, y no se hace ningún intento de efectuar operaciones

algebraicas con él. Lo importante es que Tg es una medida conveniente para describir

la situación angular de la recta: Tg es positiva para una recta ascendente, negativa para una descendente y nula en el caso de una recta horizontal; valores grandes del |Tg

| indican que la recta esta muy inclinada.

m (-) m () m (+)

0 m (0) l

y1 - y2 χ1 - χ2

m = , χ1 x2 ,

y

31

La pendiente de una recta se representa con m y se define por:

m = tg ,

Donde es el menor ángulo positivo desde el eje x hasta la recta. Si la línea fuera

horizontal, m = 0, y si fuera vertical entonces su pendiente seria indefinida. El ángulo

se denomina ángulo de inclinación de la recta.

Es fácil calcular la pendiente de una recta si se conocen las coordenadas de los puntos de

la misma. Ciertamente, sean P1(x 1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos de l . Se pueden

escoger los subíndices de modo que P2 quede a la derecha de P1 y, por lo tanto, x2 >

x1.

Se traza un triángulo rectángulo P1 Q P2 (como se indica en las figuras) trazando rectas

por P1 y P2 paralelas a los ejes x e y respectivamente.

L L L

y

0

L = 0

χ

P1(χ1, y1)

P2(χ2, y2)

P2Q = y2 – y1

Q (χ2 , y1 )

P1Q =χ2–χ1

y

P1Q = χ2 -χ1

Q (χ2,y1

)

P2Q = y2 – y1

P1(x1, y1)

y

P2 (x2 , y2)

32

En el caso de una recta ascendente, como se ve en la primera figura, es obvio que el

ángulo = K Q P1P2 del triangulo rectángulo, de modo

tg = QP2 P1Q y, por consiguiente.

En el caso de una línea descendente, la fórmula anterior es aún válida, pero es necesario

extender un poco la demostración para tomar en cuenta el signo negativo. En este caso

(segunda figura)

Teorema:-

Si P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2) son dos puntos de una recta ( no vertical), su pendiente m

esta dada entonces por la ecuación

Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (13, 3) y (-5

, 7)

Sea (13,3) el punto P2 y ( -5,7) .el punto P1,entonces.

Puesto que la pendiente es negativa se sabe la recta inclinada a la izquierda.

m = P2Q P1Q

y2 - y1 x 2 - x1

=

l

0

χ χ

l

P2 Q P1 Q

= m

Tg

=

m = y2 - y1 x2 - x1

m =

y2 - y1 x2 - x1

=

3 - 7 13 – (-5)

- 4 13 + 5

=

=

- 4 18

=

- 2 9

33

Ejemplo 2. Encontrar la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos (2,-

3) y (4,6).

4.5 = tg = tg-1 4.5 = 77° 28’ 16”

Para que no te quede nada pendiente en tus conocimientos, realiza las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I.- Dados los puntos en cada problema siguientes, encuentre las pendientes y la

inclinación de la recta que pase por dichos puntos.

1. P ( 2, -1 ) y Q ( 6, 5 )

2. A ( 13 – 3 ) y B ( -5, -5 )

3. M ( -5, 7 ) y N ( 1, -11 )

4. R ( -1, -2 ) y S ( 5, -5 )

5. K ( 2, 4 ) y L ( -4, 6 )

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. Encontrar la pendiente y la inclinación de cada recta que pasa por los puntos que se

indican.

1. A ( 3, -5 ) y B ( 2, 6 )

2. C ( -2 , -8 ) y D ( 5, -2 )

3. E ( 3, 2 ) y F ( 9, 6 )

4. G (8, -5 ) y H ( -1 , -1 )

5. I ( 3, 7 ) y J ( -5, -4 )

y2 – y1 x2 – x1

m = = 6 – (-3) 4 – 2 =

6 + 3 2

= 9 2 = 4.5

m = Tg

34

Las rectas para su estudio en relación a sus pendientes pueden ser:

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.

Vamos a observar que pasa con las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares.

l 1 l 2

m1 m2

0

Ejemplo: Determinar las pendientes de l1, que contiene a (1 , 5) y a (3 , 8), y l2 que

contiene a (-4 , 1) y a (0 , 7), determinar si l1 y l2 son paralelas, perpendiculares o si no

estan dentro de estos casos.

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

l 1 y l 2 son paralelas, si m1 = m2

y

x

35

m1 = =

m2 = = =

m2 m1

l1 l2

Ejemplo: Determine si la recta l1 que pasa por los puntos (1,-3) y (3,1) es perpendicular a

la recta l2 que pasa por los puntos (1,-3) y (-1, -2).

m1 = = = 2 Como las pendientes son recíprocas y de signo

contrario, entonces, las rectas son perpendiculares

m2 = =

A partir de los siguientes ejemplos, analizados y comprendidos podrás realizar las

siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Determina las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos que se

citan en cada problema. A continuación determina si las rectas son paralelas,

perpendiculares o no caen bajo ninguna de estas clasificaciones.

8 – 5 3 - 1

3 2

7 - 1 0 + 4

6 4

3 2

Como m1 = m2 entonces l1 y l2 son

paralelas. Dos o más rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario o el producto de sus pendientes

es igual a –1, l1 y l2 son perpendiculares

si m1 = -1 que es lo m2

mismo que m1 . m2 = -1

1 + 3 3 - 1

4 2

-2 +3 -1 - 1 4

1 -2

y

x

36

1. (1 , -2) (-2 , -11) y (2 , 8) (0 , 2)

2. (1 , 5) (-1 , -1) y (0 , 3) (2 , 7)

3. (1 , 1) (4 , -1) y (-2 , 3) (7 , -3)

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN.

. Demuestra si los siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares:

1. (1 , 2) (3 , 2) y (4 , 1) (4 , -2)

2. (2 , 1) (5 , -1) y (3 , 3) (12 , -3)

3. (1 , 5) (-2 , -7) y (7 , -1) (3 , 0)

Basado en lo anterior podemos concluir diciendo que los elementos básicos de una recta

son dos puntos cualesquiera sobre ella, su pendiente, su ángulo de inclinación y sus

intercepciones, de la manera en que se usen o combinen esos elementos, la ecuación

adopta distintas formas, que estudiaremos a continuación:

1.2.2 ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE

DADA.

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y

su dirección. Analíticamente, la ecuación de una recta puede estar perfectamente

determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de

inclinación o su pendiente.

37

Teorema 1.- La recta que pasa por el punto P1 ( x1, y1 ) y tiene la pendiente dada m,

tiene por ecuación.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 4,-1 ) y tiene un ángulo de

inclinación de 135°.

La recta cuya ecuación se busca es la trazada

en la figura.

La pendiente de esta recta es

m= tg 135° = -1

Por lo tanto, por el Teorema 1, la ecuación de la

recta es:

y – (-1) = - 1 (x – 4)

O sea x + y – 3 = 0

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos cualquiera de sus

puntos. Analíticamente, la ecuación de la recta también queda perfectamente

determinado conociendo las coordenadas de sus dos puntos.

Teorema: 2.- La recta que pasa por dos puntos dados P1 (x1, y1 ) y P2(x2, y2) tiene por

ecuación.

P ( x, y )

P1 ( x1, y1 )

y – y1 = m ( x – x1 )

y

0 x

P ( x, y )

P1 (4,-1 )

y

0 x

135°

y2 - y1

x2 - x1

( x -x1 ) x1 x2

y

0 x

38

5 – (-3)

- 4 - 1

y-y1 =

Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, - 3) y (-4, 5)

ean los puntos P1 y P2, respectivamente. La ecuación da:

y – ( -3 ) = ( x – 1 )

Al simplificarla nos da: 8x + 5y + 7 = 0

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

Sean a 0 y b 0 los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y, es

decir, sus intercecciones. Entonces (a, 0) y (0, b) son dos puntos de la recta. Por tanto, el

problema de obtener la ecuación de una recta cuando se conocen los segmentos que

determina sobre los ejes se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por dos

puntos y tenemos, por el Teorema 2,

Y – 0 = ( x – a),

De donde

ay = - bx + ab

Trasponiendo - bx al primer miembro y dividiendo por ab, obtenemos:

P1 (x 1 y1 )

0 – b a - 0

x a

y b

+ = 1

39

A esta igualdad se le llama ecuación simétrica de la recta. De aquí el siguiente:

Teorema 3.- La recta cuyas intersecciones con los ejes x y y, son

a 0 y b 0, respectivamente, tiene por ecuación:

Ejemplo: Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y, son 5 y –2,

respectivamente; hallar la ecuación:

x y

a b

x y

5 -2

x y

5 2

2x – 5y = 10

2x – 5y – 10 = 0

ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN.

Consideremos una recta l cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su

interseccion con el eje Y , es b . Como se conoce b, el punto cuyas coordenadas son (0 ,

b) está sobre la recta. Por tanto, el problema se reduce a hallar la ecuación de la recta

que pasa por un punto (0 , b) y tiene una pendiente dada. Según el teorema, la ecuación

buscada es:

x a

y b

+ = 1

= 1

+

= 1

= 1

+

-

40

y – b = m (x-0)

o sea,

y = mx+b

Podemos enunciar este resultado como el :

Teorema 4.- La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por

ecuación y = mx+b.

Ejemplo. Determina una ecuación para la recta de pendiente 3 que corta al eje y a -5

unidades de distancia del origen.

Si m =3 y b = -5 la ecuación buscada es y – (-5) =3 (x-0) o sea y = 3x-5

Si ya comprendiste y entendiste las distintas formas de la ecuación de la recta, podrás

realizar las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

I. Haz una gráfica para cada ejercicio:

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, -3) y tiene de pendiente 2. 2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto B (-4, -2) y tiene un ángulo de

inclinación de 45° 3. Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje y

es –5.

( o, b )

( x, y )

x

y

0

41

4. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (6, 4) y B (-5, 7).

5. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son 2 y –4 respectivamente, halla su ecuación.

6. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7) y D(6, 0), halla las ecuaciones de sus lados.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. Encuentra y grafica la ecuación de la recta para cada ejercicio que se te propone.

a) Pasa por el punto M (3 , 5) y tiene un ángulo de inclinación de 60°.

b) Pasa por el punto N(-4 , 6) y tiene de pendiente 3.

c) Tiene pendiente –2 y su intersección con el eje y es 5.

d) Pasa por los puntos E(-3 , 5) y L(4 , -2).

e) Si los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son –4 y 6

respectivamente.

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.

En los artículos precedentes hemos visto que la ecuación de una recta cualquiera, en el

plano coordenado, es de la forma lineal.

Ax + By + C = 0

en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. La

ecuación (1) se llama la forma general de la ecuación de una recta.

Teorema 5.- Una ecuación lineal en las variables x y y representan una recta y

recíprocamente.

(1)

42

Ejemplo: Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuación general Ax +

Bx + C = 0 de una recta, para que pase por los puntos ( -1, 4 ) y ( 3, -2 ).

De ahí hallar la ecuación de la recta.

Como los dos puntos estan sobre la recta, sus coordenadas deben satisfaser la ecuacion

de dicha recta. Por tanto, para el punto ( -1, 4 ), tenemos :

-A + 4B + C = 0 (1)

y para el punto ( 3 – 2 ) Tenemos

3 A – 2B +C = 0 (2)

Resolviendo la ecuacion (1) y (2) para A y B en terminos de C, obtenemos.

A = -3/5 C B = -2/5C

Si sustituimos estos valores de A y B en la forma general. Obtenemos.

-3/5Cx - 2/5 Cy + C = 0

Dividiendo todas la ecuaciones por C y simplificando, obtenemos como ecuación de la

recta:

3x + 2y – 5 = 0

cuyos coeficientes son: A = 3, B = 2, C = -5.

Posiciones relativas de dos rectas (paralelas y perpendiculares). Ahora consideramos las

posiciones relativas de la recta, cuyas ecuaciones pueden ponerse en las formas

generales:

Ax + By + C = 0 (1)

A´x + By´ + C´ = 0 (2)

En particular, determinamos las condiciones analiticas bajo las cuales estas dos rectas

son: a) paralelas y b) perpendiculares.

a) La pendiente de (1) es –A/B si B ≠ 0, y la pendiente de (2) es –A´/B´ si B´ ≠ 0. Por un teorema de un artículo anterior, una condicion necesaria y suficiente para que la recta (1) y (2) sean paralelas en que:

-A/B = -A´/B´,

43

o sea,

A/A´ = B/B´,

Es decir , los coeficientes de x y y deben ser proporcionales.

b) Por un teorema de un articulo anterior, una condición necesaria y suficiente para que las rectas ( 1 ) y ( 2 ) sean perpendiculares es que.

(B/ -A) (-A´/B´ ) = -1,

o sea,

AA´ + BB´ = 0

Podemos hacer el resumen de los resultados anteriores en el:

Teorema 6. Si las ecuaciones de dos rectas son: Ax + By + C = 0 y

A´x + B´y + C´ = 0, las relaciones siguientes son condiciones necesarias y suficientes para:

a) Paralelismo, A/A´ = B/B´, o sea AB´ – A´B = 0;

b) Perpendicularidad, AA´ + BB´ = 0

Ejemplo: Hallar una ecuacion de la recta que pasa por el punto ( 5,1 ) y sea: a ) es

paralela a la recta y = 3x +7 y b ) es perpendicular a tal recta.

a) Puesto que la linea ha de ser paralela a la dada debe tener una pendiente m = -1/3, y como pasa por el punto ( 5,1 ) la ecuación sera:

y – 1 = 3 (x – 5 )

y – 1 = 3x – 15

O sea

y = 3x –14

b) Puesto que la línea ha de ser perpendicular a la dada debe tener una pendiente m = -1/3, y como pasa por el punto ( 5, 1 ) la ecuación sera:

44

y – 1 = - 1/3 (x – 5 )

3y –3 = - x + 5

O sea,

- x 8

3 3

A partir de los anteriores argumentos ahora podrás realizar:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I.- En los siguientes problemas se da un punto P y una recta l. Determine una

ecuación para la recta que pasa por P y sea a) paralela a l y b) perpendicular a l.

1. P (6, -2), y = x + 10 4. P (-1,-1) 5y- 2 x = 9

2. P(0, 5) 2y = x - 7 5. P(100,200), x –3y = 0

3. P(-3, 0) 3y + x = 11

II.-Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general;

1.-Que pasa por el punto (-2,4) y tiene una pendiente igual a –2.

2.-Si los segmentos que determinan sobre los ejes x y y es decir sus intersecciones,

son 3 y –5 respectivamente.

3.- Que es perpendicular a la recta 3x –4y+11=0 y pasa por el punto

(-1,-3).

Otra de las formas de la ecuación de la recta es:

FORMA NORMAL DE LA ECUACION DE LA RECTA

Consideramos una recta 0P1 de longitud P y con uno de sus extremos 0 siempre en el

origen, tal como pueden verse en la figura. La posición exacta de este segmento de recta

sobre el punto coordenado, está determinada por el angulo w, que , como en

y =

+

45

cos w

sen w

trigonometría, en el ángulo positivo engendrado por el radio vector OP al girar alrededor

del origen. De acuerdo con esto, la longitud p se considera siempre positivo, y la variación

de los valores del ángulo w viene dada por

0° ≤ w < 360°

Es evidente que, para un par cualquiera de valores dados de p y w la recta L trazada por P1 (x1 y y1 ) perpendicular a OP1 queda perfectamente determinada. Ahora obtendremos la ecuación de L por medio de la fórmula de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.

Por trigonometría, para cualquier posición de la recta L ,

x1 = p cos w, y1 = p sen w.

por tanto, las coordenadas del punto P1 son (p cos, p sen w)

Para las posiciones (a) y (b) en la figura; el ángulo de inclinación del segmento OP1 es w, y por lo tanto, su pendiente es tgw.

Para las posiciones (c) y (d) de la figura: en donde es el ángulo de inclinación de OP1, tenemos

tg w = tg (180° + ) = tg De aquí que para todas las posiciones del segmento OP1, su pendiente está dada por tg w. Como la recta L es perpendicular a OP1 su pendiente para todas las posiciones es

m = - ctg w = -

según esto, de ( 2 ) y ( 3 ), la ecuación de L es

y – p sen w = - (x – p cos w),

de donde

y sen w – p sen2 w = - x cos w + p cos2 w

o sea

x cos w + y sen w – p (sen2 w + cos2 w) = 0

(1)

(2)

(3)

cos w

sen w

46

Como

sen2 w + cos2 w = 1, esta última ecuación se reduce a

x cos w + y sen w – p = 0

Este resultado conduce al siguiente:

Teorema 7.- La forma normal de la ecuación de una recta es

x Cos w + y Sen w- p = 0

En donde p es un número positivo, muméricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta, y w es el ángulo positivo < 360° medido a partir de la parte positiva del eje x a la normal

Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma normal.

x

l y

w p

0o

P1(x1 , y1)

x

(a)

P1(x1 , y1)

y l

(b)

w

p

0o

l

x

y l

p

o

w

x

P1(x1 , y1)

α

(c)

y

α

o p P1(x1 , y1)

w

(d)

47

Usualmente, la ecuación de una recta se da en la forma general:

Ax + By + C = 0

Sin embargo, la forma normal:

xcos w + y sen w – p = 0,

es útil para ciertos tipos de problemas. Por esto consideramos en este artículo el método

de obtener la forma normal a partir de la forma general de la ecuación.

Si las ecuaciones (1) y (2) representan la misma recta, sus coeficientes correspondientes

deben ser proporcionales. Por tanto:

cos w = KA

sen w = KB

- p = KC

si elevamos al cuadrado ambos miembros de (3) y (4), y sumamos, obtenemos:

Cos2 w + Sen2 w = K2 (A2 + B2 )

Pero como Cos2 w + Sen2 w = 1, esta última relación nos da;

Si se sustituye este valor de K en cada una de las ecuaciones (3) , (4) y (5), obtenemos las relaciones buscadas entre los coeficientes correspondientes de las dos formas (1) y (2), estas son:

(1)

(2)

(5)

(4)

(3)

± A2 + B2

1 K =

,

A2 + B2 ≠ 0

(6)

± A2 + B2

A Cos w =

,

± A2 + B2

B Sen w =

,

± A2 + B2

C p = -

,

48

y la recta definida por la forma general (1) tiene por ecuación en la forma normal:

Teorema 8.- La forma general de la ecuación de una recta;

Ax+ By + C = 0,

puede reducirse a la forma normal:

x cos w + y sen w – p = 0,

dividiendo cada término de (1) por , en donde el signo que precede al

radical r se escoje como sigue:

a).- Si C ≠ O, r es de signo contrario a C.

b).- Si C ≠ O y B ≠ O, r y B tienen el mismo signo.

c).- Si C = B = O, r y A tienen el mismo signo.

Ejemplo 1: En un círculo de centro en el origen y rádio igual a 5, hallar la forma normal de la ecuación de su tangente en el punto ( - 3, 4 ).

Por geometría elemental sabemos que el rádio que va al punto de tangencia es perpendicular a la tangente. Por tanto p = 5, y sen w = 4/5 y cos w = - 3/5. Luego la ecuación de L en la forma normal es:

- 3/5x + 4/5 y - 5 = O

o también

3x – 4y + 25 = O

± A2 + B2

A χ

± A2 + B2

B + y

± A2 + B2

C + = 0

± A2 + B2

r =

49

Ejemplo 2: La ecuación de una recta es 5x – 7y – 11 = O. Reducirla a la forma normal, y

hallar los valores de p y w.

Para la ecuación dada A = 5 B = -7 y C = -11. por tanto

como C es negativo, damos al radical el signo positivo dividiendo la

ecuación dada por obtenemos su forma normal:

¡Normalízate en tus estudios, realizando!

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Dibujar una figura para cada ejercicio.

1. Hallar la ecuación de una recta en la forma normal, siendo w = 60 y p = 5.

2. La ecuacion de una recta en la forma normal es x cos w + y sen w – 5 = 0. Hallar el

valor de w para que la recta pase por el punto (4, -3).

3. Hallar la distancia * del origen a la recta 2x – 3y + 9 = 0.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN. 1. Hallar la ecuación de la recta en forma normal, siendo w = 45° y p = 5

2. La ecuación de la recta en la forma normal es x cos w + y sen w-p = 0, hallar el valor de w para que la recta pase por el punto M (3, 4)

± A2 + B2 ± 74 =

± 52+(-7)2 =

± 74

74 74 74

5 χ + y -

-7 11 = O

50

3. Hallar la distancia el origen a la recta 6x – 4y – 5 = 0 4. Las rectas pueden chocar en un punto y formar ángulos opuestos por el vértice, cuándo eso sucede se le llama: 1.2.3 INTERSECCIÓN DE RECTAS Sean A1 X + B1 Y + C1 = 0 y A2 X + B2 Y + C2 = 0 dos rectas cualesquiera, razonaremos así: Si P (x , y) es el punto de intersección y pertenece a los dos rectas, sus coordenadas satisfacen simultaneamente a ambas ecuaciones. Luego la coordenadas del punto P son las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de las rectas. Ejemplo: calcular el punto de intersección de las rectas 3x – y – 10 = 0 y 2x + y – 10 =0 resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenemos: 3x – y = 10 Sustituyendo este valor de x en cualquiera de las 2x + y = 10 dos ecuaciones, tenemos: 5x = 20 2x + y – 10 = 0 2(4) + y – 10 = 0 x = y = -8 + 10 y = 2 x = 4 Luego el punto de intersección de las rectas es P(4 , 2) Graficamente nos queda:

3x – y – 10 = 0

20 5

2x + y – 10 = 0

P(4 , 2)

x

y

0

51

¡Interséctate realizando!

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Encuentra el punto de intersección de las siguientes rectas y compruébalo

graficamente.

1. 3x – 2y = 1 2. 3x – 4y = 5 3. 2x + 3y = 4

6x – 4y = 5 x + 2y = 5 -3x + y = 5

4. 4x – 5y = 8 5. 5x – 2y = 5

2x + y = -10 2x + 3y = 6

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. Localiza el punto donde se intersectan los siguientes pares de rectas.

1. 3x – 6y – 13 = 0 2. 5x + 4y – 50 = 0

4x + 3y + 1 = 0 5x – 4y – 50 = 0

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Dos rectas al cruzarse forman cuatro ángulos, siendo iguales los ángulos opuestos por el vértice y se define como el ángulo que forman dichas rectas. Al ángulo positivo mas pequeño que tiene su lado inicial en R1 el lado final en R2 . Este ángulo lo identificaremos con

Y R2 R1

1 2

52

x’ x Y’ Como la inclinación de R1 puede ser mayor o menor que la inclinación de R2

En el caso donde Tan 1 > Tan 2 se tiene que = 2 - 1

Y R2 R1

R1 2 1 x’ x Y’ En este caso se observa que la inclinación de R1 es menor que la inclinación de R2

En este caso Tan 1 < Tan 2 se tiene que = 180o +( 2 - 1)

En los dos casos se tiene una diferencia de ángulos y como una suma o una diferencia de ángulos es :

Tan (ATanATanB

TanBAB

1

tan)

Por lo tanto Tan = tan ( 2 -- 1) = 12

12

1

TanTan

TanTan

por lo tanto Tan =

12

12

1 mm

mm

for

(10) En estos problemas m1 es la pendiente del lado inicial y m2 es la pendiente del lado final, el ángulo positivo (giro contrario alas manecillas del reloj ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Actividad: hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: A(-2,1), B(3,4), C(5,-2)

1. Se recomienda graficar el problema par ubicar los ángulos

53

B

m = 5

3

m = -3 A

m = -7

3 C

2. Obtener las pendientes de los lados del triángulo utilizando m = 12

12

xx

yy

mAB = )2(3

14

=

5

3 m BC = 3

2

6

35

42

mAC =

7

3

)2(5

12

3. Hallar los ángulos aplicando for (10) Tan =12

12

1 mm

mm

Tan A =13

18

)7

3(

5

31

7

3

5

3

2

Arc Tan A =13

18 < A = 54o 10’

Tan B = Tan B= 4.5 < B = 77o 28’ comprobar Tan C = Tan C = 1.125 < C = 48o 22’

A + B + C = 180o 2. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135o, sabiendo que la recta final tiene una pendiente de - 3 calcular la pendiente de la recta final 3 El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos A(-4,5) y B(3,y) con la recta que pasa por C(-2,-4) y D(9,1) es de 1352, hallar el valor de “y” 4. Hallar el ángulo agudo del paralelogramo cuyos vértices son: A(-2,1), B(1,5), C(10,7) y

D(7,3) ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 5. Encontrar los ángulos interiores de los siguientes triángulos

a) A(2,5), B(8,-1) , C(.2,1). b) A(-3.-2), B(2,5), C(4,2) c) A(-2,1), B(3,4), C(5,2) d) A(1,-2), B(3,2), C(5,-4) e) A(0,-1), B(7,2), C(9,3)

54

LA EXPRESION Ax + By + C

En cada punto P de un plano, una expresión de primer grado, como Ax + By + C, tienen un valor definido que se obtiene poniendo las coordenadas de P en lugar de x e y. Así, en el punto (1, 2) la expresión tiene el valor A + 2B + C. Los puntos cuyas coordenadas satisfacen dicha expresión igualada a cero, constituyen la recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0. Si el punto P se mueve lentamente, el valor de la expresión cambia continuamente, solamente puede cambiar de signo pasando por cero. Si el punto P no cruza la recta, la expresión no se anula y por lo tanto no cambia de signo. De esto se deduce que para todos los puntos situados a un lado de la recta Ax + By + C = 0, la expresión Ax + By + C tiene el mismo signo. Ejemplo 1. Determínese la región en la cual x + y -1 > 0. La ecuación x + y -1 = 0 representa la recta LK (fig. 1). Luego en todos los puntos situados a un lado de LK, la expresión tiene el mismo signo. En (1, 1) resulta x + y - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 que es un valor positivo. En la figura puede verse que (1, 1) queda encima de LK. De esto resulta que todos los puntos situados por encima de LK, x + y - 1 es positiva. En el origen de coordenadas resulta x + y - 1 = 0 + 0 - 1 = -1 que es un valor negativo. El origen queda debajo de la recta, y por consiguiente, en todos los puntos situados por debajo de LK, la expresión x + y - 1 es negativa, de modo que la región en la que x + y + 1 > 0, es parte del plano por encima de la recta LK. Ejemplo 2. Determínese la región en que x + y > 0, x + 2y - 2 < 0 y x - y - 1 < 0.

En la figura 2 las rectas x + y = 0, x + 2y - 2 = 0 y x - y - 1 = 0 están señaladas (1), (2) y (3) respectivamente. Procediendo como en el ejemplo anterior se encontrará que x + y > 0 queda encima de (1), x + 2 y - 2 < 0 queda debajo de (2), y x - y - 1 < 0 queda a la izquierda de (3). Por consiguiente las tres desigualdades subsisten en el interior del triángulo sombreado, que es la parte común de las tres regiones. 1.2.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

X

Y

+ + + + + + + + +

+ +

- + + + + + + + + +

+

- + + + + + + + +

+ +

- - - + + + + + + + +

+

- - - + + + + + + +

+

- - - - + + + + + + +

+

- - - - + + + + + +

+

- - - - - - + + + + +

+

- - - o - - - + + + +

+ +

- - - - - - - + + + +

+

- - - - - - - + + +

+ +

L

K

Fig. 1

X

( 1

)

( -1 -

1 )

( 2

)

( 1, 1

)

( 3

)

Y

Fig. 2

o

55

A2+B2

Cos = B

±

13

2x - 3y - 6.

±

Se desea encontrar la distancia de un punto P1(x1, y1) a la recta LK cuya ecuación es Ax + By + C = 0. En la figura 3, sea MP1 perpendicular al eje de las x, y DP1 perpendicular a la

recta LK. Sea el ángulo formado por OX y LK. Se verifica

(a) DP1 =Q P1 cos = ( MP1 -MQ) cos En la figura se ve que (b) MP1 = y1 Como Q está sobre la recta LK, sus coordenadas, x1 y MQ tienen que satisfacer la ecuación de LK. Por lo tanto A x1 + B . MQ + C = 0 , y por consiguiente (c) MQ = - A x1 + C . B

La pendiente de LK es tg = - A / B, luego (d) Sustituyendo los valores de (b), (c) y (d) en (a), resulta (1) La ecuación (1) nos da la distancia del punto (x1 , y1 ) a la recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0. Puesto que la distancia es positiva, el signo del denominador debe ser de tal naturaleza que el resultado sea positivo. Ejemplo 1. Búsquese la distancia del punto (1, 2) a la recta 2x - 3y = 6. La distancia de cualquier punto (x1 , y1 ) a la recta es, de acuerdo con (1) DP = Luego la distancia de (1, 2) es DP =

A2+B2

DP1 = Ax1 + By1 + C = 0

±

13 13 13 13 13 13

2(1) - 3(2) - 6 = 10

±

)

L

Y

D

Q

B

X

K

M

O

Fig. 3

X

Y

( 1 )

( 3 ) A

B

C

( 2 )

O

Fig. 4

56

2 2

Ejemplo 2. Las rectas (1) y - x - 1 = 0, (2)x + y - 2 = 0 y (3)x + 2y + 2 = 0 determinan un triángulo ABC. Determínese la bisectriz del ángulo A formado por los lados (1) y (2) (fig. 4). La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las rectas (1) y (2). Si (x, y) es un punto de la bisectriz, x e y tienen que satisfacer la ecuación Deben elegirse los signos de modo que estas expresiones resulten positivas para los puntos interiores del triángulo. En el origen de coordenadas, estas expresiones son -1 / (± ), -2 / (± ). Por lo tanto, tiene que adoptarse el signo negativo en ambos denominadores, y la bisectriz que se busca será.

Simplificando esta expresión, resulta x = ½

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Resuelve y grafica cada ejercicio.

1) Hallar la distancia de la recta 4x – 5y + 10 = 0 al punto P(3, 2).

2) Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2 y + 7 = 0 al punto P (-1, 4)

3) Hallar la distancia de la recta 5x + 12 y – 12 = 0 al punto P (3, -2)

4) Hallar la distancia dirigida de la recta 12x- 5 y + 3 = 0 al punto P(6, 4)

Ahora, mide muy bien tu distancia y ubícate en un punto de tu salón de clases para

realizar:

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. Hallar la distancia de la recta al punto que se indica.

1. 3x – y + 6 = 0 , B(2 , -1)

2. 2x + y – 10 = 0 , C(-3 , 5)

3. x + 2y – 5 = 0 , D(6 , 8)

4. 2x + 3y – 6 = 0 , E(3 , 4)

2 2 2 2

y - x - 1 = x + y -

2

± ±

2 2

y - x - 1 = x + y -

2

57

A continuación estudiaremos la línea recta y algunas curvas que son de gran importancia

en matemáticas y que te servirán de apoyo para otras materias.

Iniciaremos con la línea recta.

58

TALLER No. 2. LA LINEA RECTA Temas a cubrir:

a) Pendiente y ángulo de inclinación (Definición, Pendiente y Angulo de inclinación) b) Paralelismo y perpendicularidad (líneas que forman rectas paralelas,

demostración a través de pendientes, líneas que son perpendiculares o cruzadas)

c) Ecuación de una recta - Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen - Caso 2: Punto-Pendiente

Metodología: Lectura en grupo del material bibliográfico aportado por los alumnos Sesión de preguntas y respuestas Planteo de situaciones problemáticas ideales o reales Algoritmos de solución Repaso de conceptos anteriores

a) Pendiente y ángulo de inclinación Se le denomina pendiente ( m ) de una línea recta a la relación que existe entre la elevación (el cambio en la variable dependiente y ) y el avance ( el cambio en la variable independiente x ) A partir de los datos podemos hacer los siguientes cálculos: e = y2 – y1 = 5 - 2 = 3 a = x2 – x1 = 6 – 2 = 4 Según la definición anterior sería entonces:

12

12

xx

yy

avance

elevaciónm

En el ejemplo anterior, la pendiente será entonces: m = ¾ = 0.75 Esto se puede leer así: “Por cada unidad que se avance de x, se eleva tres unidades de y “ Ejercicios: Calcula la pendiente de los puntos del ejercicio anterior:

1. (5, 4), (6, 14)

e

P2(x2 , y2

)

P1(x1 , y1

)

a

59

2. (3, 1), (1, -6) 3. (-1, -2), (-4, -7)

A partir de lo anterior, podemos construir otra definición: “Se le llama ángulo de inclinación a la pendiente convertida a unidades trigonométricas de la tangente” Si estamos utilizando una calculadora científica, el proceso para calcular el ángulo de inclinación, puede realizarse de la siguiente forma suponiendo que cada par de corchetes representa la secuencia de teclas que deberán de oprimirse: Nota: En algunas calculadoras la tecla [Shift] es lo mismo que [2nd] y la tecla [º ' "] (grados, minutos y segundos) equivale a la tecla [DMS] (degree, minutes and seconds) b) Paralelismo y perpendicularidad

Definiciones:

Paralelas: Son dos rectas cuyas pendientes son iguales Perpediculares: Son dos rectas cuyas pendientes son inversas y con signo contrario. Dicho de otro modo, al cruzarse forman 4 angulos rectos de 90º. Con base en dichas definiciones podemos escribir con símbolos dichas condiciones: Paralelas: m1 = m2

Perpendiculares: 2

1

1

mm ó m1 • m2 = -1

Ejercicios: Utilizando las fórmulas anteriores determina si las rectas formadas por los pares de puntos son paralelas o perpendiculares:

,, , 4 3 ShiftTanShift

60

a) L1 (-5 , 0) (0 , 5) y L2 (-2,2) (0, 0) b) L1 (0, 10) (0, -10) y L2 (1, 2) (10, 2) c) L1 (0, 3), (2 , 0) y L2 (-2, 0) (0, -3) Repaso de conceptos utilizados en esta sesión: 1. Pendiente 2. Angulo de inclinación 3. Paralelismo: condiciones para que dos rectas sean paralelas 4. Perpendicularidad: condiciones para que dos rectas sean perpendiculares TALLER No. 3. LA LINEA RECTA Temas a cubrir:

a) Ecuación de una recta - Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen - Caso 2: Punto-Pendiente

Metodología: Lectura en grupo del material bibliográfico aportado por los alumnos Sesión de preguntas y respuestas Planteo de situaciones problemáticas ideales o reales Algoritmos de solución

Definición: a) Ecuación de una recta Se dice así de una expresión algebraica que muestra la correspondencia o relación entre una variable dependiente “y” (la ordenada) y una variable independiente o “x” (la absisa), de tal forma que esta expresión permite describir toda la recta y cada uno de sus puntos. Algebraicamente esto es: y = f(x) que se lee: “Ye es una función de equis” También, y según sea el caso, se puede presentar la misma ecuación igualada a cero colocando primero a las equis, luego a las yes, y por último el valor de la constante como por ejemplo: 3x +4y -5 = 0 Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen Se puede definir la ecuación de una recta disponiendo simplemente de su pendiente y la ordenada (b) en el origen (el valor de y por donde pasa la línea recta al cortar el eje de las ordenadas).

61

Ejemplo1: Definir la ecuación de una línea recta dados: m= 0.75 b= 3 En este caso, convertimos la fracción decimal (0.75) en una fracción común y simplificamos hasta donde sea posible:

Esta pendiente nos indica que por cada 4 unidades de avance, hay una elevación de 3 unidades

Por otra parte el valor de b=3 nos indica que la línea recta corta al eje de las ordenadas en 3. Gráficamente esto sería así:

Matemáticamente, la pendiente nos indica que por cada unidad que cambie el valor de y la x lo hace en 0.75 +3, es decir:

34

3 xy

Para comprobar lo anterior, simplemente damos valores a la x y los cotejamos con los de y:

Por ejemplo:

X=0 Tal como se puede comprobar en la gráfica anterior

X=4

Ejemplo 2: Determine la ecuación de la recta dados m=3 , b=0.5

4

3

20

15

100

75

4 Unidades

de avance

Intersecció

n

3 Unidades

de elevación

33)0(4

3y

6333)4(4

3y

62

x

y

Este caso es más fácil si retomamos el esquema anterior. Observa de dicho ejemplo que la pendiente transformada en fracción común multiplicaba a la x, y el valor de y simplemente se colocaba al final de la ecuación respetando su signo. Si asignamos el valor de la ordenada a la variable b, la ecuación pendiente-ordenada al origen se simboliza así:

Y = mx +b

Por tanto, nuestro problema ya resuelto sería: y = 3x + 0.5

Ejercicio: Sustituye algunos valores de x para que obtengas los valores de la y . En el espacio que se dá a continuación grafica dichos puntos y comprueba si la formulación es correcta:

Caso 2: Ecuación Punto-pendiente:

Similar al caso anterior, podemos definir este tipo de ecuaciones a partir de dos datos que son un punto P1 (x1 ,y1) y la pendiente. Si utilizamos como referencia un punto cualquiera P(x,y), la pendiente entre estos dos puntos estaría dada por:

63

1

11

xx

yym

Puesto que esta pendiente es igual que la otra que es dada como dato, al

igualar dichas pendientes tendríamos:

1

1

1xx

yymm

Despejando dicha ecuación se tiene entonces:

)( 11 xxmyy

que es la fórmula Punto-pendiente

Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta dados P(3,3) y m=5

Utilizando la fórmula obtenida anteriormente, esto sería así:

y-3=5(x-3)

y-3=5x-15 Ordenando términos e igualando a cero:

5x-y-12=0 que es la ecuación de la recta que se busca

Ejercicios: Encuentra la ecuación de la recta para cada caso:

A)

1. m=3 , b = -6

2. m= -5 , b= 2 3. m=0 , b= 3 4. m=7 , b= 2/3 5. m= -3/5 , b = -8

64

B)

1. (0, 3) , m=1 2. (-3, -5), m=0 3. (0, -4), m= -2/3 4. (-1, -1), m= -5/7 5. (-5, -5), m= -1/2

Revisión de conceptos:

Escribe una definción propia de los siguientes conceptos:

a) Punto-Pendiente b) Pendiente-Ordenada en el origen c) Variable independiente d) Variable dependiente e) Función de una variable

Ejercicio: Grafica las ecuaciones obtenidas en los incisos anteriores este espacio:

x

y

Aplicaciones:

65

1. El gerente de un negocio, ha determinado que los costos de su empresa en el nivel de producción 0 Unidades, es de $200.00 (Costos Fijos). Si al vender 300 unidades los costos se incrementan en $280.00 (Costos variables), determine la ecuación que define la línea de costos variables y calcule el costo de producción de la empresa cuando se produzcan 1000 unidades

2. Si el punto de equilibrio operativo de una empresa se alcanza cuando se producen 500 unidades a $480.00, y por cada 100 unidades más de venta los costos aumentan en 60 unidades, ¿Cuál sería el nivel de costo cuando se alcance un nivel de producción de 1000 unidades?

TALLER No. 4. LA LINEA RECTA Temas a cubrir:

Ecuación de una recta - Caso 3: Ecuación Cartesiana - Caso 4: Reducida a absisa y ordenada en el origen

Metodología: b) Lectura en grupo del material bibliográfico aportado por los alumnos c) Sesión de preguntas y respuestas d) Planteo de situaciones problemáticas ideales o reales e) Algoritmos de solución Conceptos nuevos: Reducida a absisa: Se trata de una forma de expresar que un punto de referencia solo contiene dentro del paréntesis el valor de la absisa ( x ) y en la mayoría de los textos se le representa con una letra a, en el caso análogo, cuando solo hay un valor de y, se le conoce como ordenada al origen y se representa con una letra b. De esta forma, un par de puntos con estas características no requiere expresarse en la forma normal entre paréntesis, simplemente indicando el valor de a y de b. Caso 3: Ecuación Cartesiana Se le llama así a esta forma de la recta porque se utiliza como base de cálculo dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Basados en el esquema anterior, la forma punto pendiente, bastará con igualar las dos pendientes, m1 y m2 para obtener dicha ecuación, es decir:

66

● P(x,y)

●

P(x1 , y1)

●

P(x2 , y2)

m2

m1

Caso 4. Reducida a absisa, ordenada al origen (Simétrica) Este caso se presenta cuando una línea recta corta a ambos ejes x e y, por lo que sus coordenadas contendrán al menos un valor que sea cero. Ejemplo: Utilizando la fórmula anterior:

; ay b Si 1

entre Dividiendo

)()0(

0

00

21

21

12

21

12

1

12

2

12

2112

212

2

1

2

1

2

xyx

x

y

y

yx

xy

yx

xy

yx

yx

yx

xyxyyx

xxyyx

x

y

x

y

xx

y

1a

x

b

y

Que es la fórmula para una ecuación reducida a absisa y ordenada al origen.

12

12

1

1

21

21

1

1

21

21

21

2

1

1

1

ó xx

yy

xx

yy

xx

yy

xx

yy

mm

xx

yym

xx

yym

P1(0,y1)

P2(x2,0)

67

Revisión de conceptos:

a) Reducida a absisa-ordenada en el origen b) Cartesiana

Ejercicios: Determina y grafica la ecuación de la recta dados: a) a = 4, b=-8 b) a= -3 , b= -9 c) a= 3/8 , b= -9/10 d) a= 36/6 , b= 48/6 e) P1(-2, -6), P2(-3, -3) f) P1(1, 1100), P2(5, 1700) g) Suponiendo que los datos anteriores son la gráfica de poblacion de Pantanal, y el 5

representa el año 2003, Calcule la población estimada para el 2004 y el 2005. Aplicaciones: h) Un consumidor está dispuesto a pagar $5.00 por 2 Unidades de producto. Si el costo

aumenta a $6.00, el consumidor reduce a 1 Unidad su consumo. Determine la ecuación que define la línea de indiferencia de dicho consumidor.

i) Teóricamente, ¿cúanto pagaría al nivel cero de producto?¿Cuál sería el nivel máximo de consumo si el precio fuese cero?

TALLER No. 5. LA LINEA RECTA

Temas a cubrir:

j) Ecuación de una recta

Caso 5: Ecuación General

Caso 6: Ecuación normal

Metodología:

f) Lectura en grupo del material bibliográfico aportado por los alumnos g) Sesión de preguntas y respuestas h) Planteo de situaciones problemáticas ideales o reales i) Algoritmos de solución Conceptos nuevos:

Ecuación general de la recta: Se le denomina así a la expresión matemática de una

recta en donde se presentan de manera ordenada los tres elementos de una recta,

representados por tres coeficientes que son A, B y C. Ecuación normal de la recta: De

forma similar, los coeficientes aparecen ahora, como una expresión trigonométrica

calculados a partir de un segmento OP, que sale desde el orígen hasta el punto P y el

ángulo que forma está dado por la expresión 0° w < 360°

68

Caso 5: Ecuación General Se le llama así a esta forma de la recta porque se obtiene de las formas anteriores. Es

decir, se generaliza partiendo de una ecuación que ha sido igualada a cero, donde se

pueden observar que existen tres tipos de coeficientes: el primero para un valor de la x, el

cual se representa por una letra A, el segundo para un valor de la y, representado por una

letra B, así como un valor que representa la ordenada cuando el valor de x=0, que se

simboliza con una letra C.

Esto es: Ax + By + C = 0

Si despejamos el valor de y podemos deducir dos fórmulas más: una para la pendiente (m)

y otra para el valor de la ordenada (b) :

B

Cb

B

Am y

Ejercicio:

1. De los problemas planteados para los talleres 3 y 4, expresa las respectivas ecuaciones en su forma general indicando el valor de sus coeficientes, sus pendientes y sus ordenadas. Grafica ahora, en función de m y de b

2. ¿Qué ventajas le ves a esta forma de expresar una línea recta?

a. Para graficar

b. Para expresar una relación elevación-avance y posición respecto al eje y

Caso 6. Ecuación normal Si tomamos el segmento dado por los puntos OP de la recta que gira en sentido contrario

a las manecillas del reloj, los valores de x e y están dados por:

69

P(x,Y

)

X1= p(Cos w) Y1= p(Sen w)

Senw

Coswm

o Si ahora utilizamos la expresión para la forma Punto-Pendiente la expresión cambia a: y-y1=m(x-x1)

1 :que Puesto

0)(

:dofactorizany cero a Igualando

)(

22

22

22

wCoswSen

wCoswSenpySenwxCosw

wpCosxCoswwpSenySenw

pCoswxSenw

CoswpSenwy

0 pySenwxCosw

Que es la fórmula para una ecuación normal. Nota: Conviene para este caso, recordar la identidad fundamental Sen2x + Cos2x = 1 obtenida a partir de un triángulo rectángulo donde a es el cateto adyacente, b el cateto opuesto y c la hipotenusa, así:

222

2

22

22

; 1

1

)(y )(

cabc

ab

c

a

c

b

c

axCos

c

bxSen

Que es el teorema de Pitágoras

70

Ejercicios: 1. Hallar la ecuación y graficar la recta en la forma normal siendo:

a. W=-130° , p = -4 b. W=135° , p = -1 c. W=-15° , p= 0

2. Transforma las ecuaciones encontradas a la forma general y encuentra las pendientes

de dichas ecuaciones y el valor de su ordenada. Grafica.

x

y

71

CÓNICAS

Las cónicas son curvas que surgen al cortar un cono con planos de distinta inclinación. Es

importante tener en cuenta que son líneas curvas y no superficies.

Las cónicas son:

Circunferencia. Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano paralelo a la base.

Elipse. Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano oblicuo.

Parábola.- Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano paralelo a una generatriz.

72

Hipérbola.- Es la línea que se observa al cortar un cono recto con un plano perpendicular a la base del mismo.

Si el plano que intersecta al cono perpendicularmente a la base contiene al vértice, se

obtienen dos semirrectas que se cortan, también llamadas hipérbola degenerada.

73

En estos momentos vas a iniciar un nuevo tema en tu transitar por esta

asignatura, tema que tiene aplicación en diversos problemas de

construcción. distancias, etc. te invitamos a que comiences observando

la siguiente figura.

Observa detenidamente el dibujo que se te presenta a continuación y

determina si las líneas curvas son circunferencias o espirales.

¿Qué curva identificaste en el dibujo?

¿Cuál es tu concepto de circunferencia?

¿Qué es lo que ves?

74

¿Cuál es tu concepto de círculo?

¿Qué relación encuentras en estos conceptos?

El tema que estudiarás ahora es la circunferencia, con los materiales

que tienes a la mano traza una circunfería y de acuerdo a lo realizado

rectifica o ratifica tu concepto de circunferencia. Ahora consulta tu guía

de trabajo y analiza los contenidos expuestos sobre la circunferencia

A partir de este ejemplo, analizaremos una de estas curvas, la circunferencia:

1.3 LA CIRCUNFERENCIA 1.3.1 Análisis de la circunferencia. Circunferencia.- Se llama circunferencia de centro O y radio r, al conjunto de puntos del plano que están a una distancia igual a r del centro O

C (O, r) se lee: circunferencia de centro O y radio r.

Círculo.- Se llama círculo al conjunto de puntos de una circunferencia,

más los puntos interiores a la misma.

o r

O

75

Aunque a veces se confunden ambos conceptos, observa que geométricamente, la circunferencia es una línea; en cambio el círculo es una superficie. Posiciones relativas de un punto con respecto a una circunferencia. A pertenece a la circunferencia B interior a la circunferencia C exterior a la circunferencia A

O

B

C Para determinar la gráfica y la ecuación algebraica que representa a una circunferencia,

es suficiente conocer su centro y su radio. La representación geométrica y su definición,

nos conducen a la expresión algebraica que le corresponde.

x 1. Con la ayuda de un compás traza una circunferencia, llamando centro al punto fijo y

asignándole las coordenadas C(h,k). 2. Toma un punto cualquiera de la circunferencia y llámale P(x,y)

P(x,

y)

y

C(h,

k)

0

76

3. Traza un segmento que una al centro C(h,k) con el punto P(x,y), llamándole radio a la distancia que los separa.

4. Definidas las coordenadas del centro y del punto, sustitúyelas en la fórmula de la

distancia entre dos puntos.

P(x, y); C(h, k)

d PC = y1)2- (y2 x1)2 - (x2

r = k)2 -(y h)2 -(x

r =

de donde

r2 = ( x - h)2 + (y - k)2

Al observar esta ecuación notarás que es de segundo grado con dos variables, en la cual

se requiere conocer el centro y el radio para determinar la ecuación de cualquier

circunferencia.

Esta ecuación es conocida como forma ordinaria de la circunferencia. Ejemplo 1: Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en C(1,2) y radio r=3 Sustituyendo los valores conocidos C(1, 2) y r = 3 en:

r2 = (x - h)2 + (y - k)2

r = 3

y

x

0

r = 3

C(1,

2)

77

Tenemos: 32 = (x - 1)2 + (y - 2)2

9 = ( x2 –2x + 1) +( y2 – 4y + 4 ) desarrollando binomios:

9 = x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 al pasar todo a un solo lado y ordenando, nos queda:

x2 + y2 – 2x – 4y – 4 =0

cuando el centro de cualquier circunferencia es el origen, h=0 y k=0, se obtiene una forma

más sencilla:

r2 = (x - h)2 + (y - k)2

r2 = (x - 0)2 + (y - 0)2

r2 = x2 + y2

A esta forma se le conoce como forma canónica de la circunferencia. Ejemplo 2:

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro C(0, 0) y radio r = 2

Sustituyendo los datos C(0, 0) y radio r=2.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

(x - 0)2 + (y - 0)2 = 22

desarrollando los binomios:

x2 + y2 = 4 o bien:

x

y

C(0, 0)

r=2

78

x2 + y2 – 4 = 0

Observa que al conocer el centro y el radio de la circunferencia, es muy sencillo obtener la

ecuación que la representa. En cualquier otra situación donde se desconozcan esos

valores, se deben analizar las condiciones planteadas para obtenerlos.

Ejemplo 2:

Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento formado por

los puntos:

M(1, 2) y N(-5, 4) 0 Como el segmento MN es el diámetro, su punto medio es el centro C(h, k) de la

circunferencia; al usar la fórmula de punto medio, obtenemos:

h = x1 + x2 2 h = (1 - 5)/2 = -4/2 = -2 k = y1 + y2 2 k = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 El radio “r” es la mitad de la distancia MN, r = d MN = (1+5)2 + (2-4)2 = 36+4 = 40 = 4 x 10 = 2 10 = 10 2 2 2 2 2 2 por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

(x + 2)2 + (y - 3)2 = 10 Forma general de la ecuación de la circunferencia

Al desarrollar los binomios de la forma ordinaria, para la circunferencia (x-h)2 + (y-k)2 = r2 se obtiene:

n(-5, 4)

m(1, 2) •

•

y

x

79

x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0

Si se hacen las sustituciones de –2h por D, -2k por E y h2 + k2 – r2 por F; la ecuación

queda:

x2 + y2 + Dx + Ey + F =0

Cualquier circunferencia puede ser expresada por medio de esta ecuación a la que se

llama forma general de la ecuación de la circunferencia.

Para conocer los elementos de una circunferencia dada su ecuación general, necesitamos

pasar de la forma general a la forma ordinaria, desarrollando los siguientes pasos:

1.- Ordenar los términos de la forma general, agrupando a las variables iguales: (x2 + Dx) + (y2 + Ey) = -F

2.- Completar los trinomios cuadrados perfectos, agregando:

D2 + E2 4 4 a ambos lados de la igualdad:

(x2 + Dx + (D2 / 4)) + (y2 + Ey + (E2 / 4)) = D2 + E2 – 4F 4

3.- Transformar los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

(x + D/2)2 + (y + E/2)2 = D2 + E2 – 4F 4

quedando así expresada en la forma ordinaria, donde el centro y el radio son en este caso:

C ( -D/2 , – E/2) Y r = D2 + E2 – 4F

4 Recuerda que todo número real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual que cero,

por lo que la forma ordinaria expresada como (x-h)2 + (y-k)2 = r2 o bien como:

(x- D/2)2 + (y – E/2)2 = D2 + E2 – 4F

4

80

x

C C = = C(-2,3)

Representa a la ecuación de una circunferencia sólo si el miembro del lado derecho, que

representa al radio, es mayor que cero.

En el caso en que el radio sea igual a cero, la ecuación representa a un punto de

coordenadas (h,k).

Cuando el radio es menor que cero, la ecuación no representa ningún punto real. Ejemplo. Determina el centro y radio de la circunferencia que tiene por ecuación a:

x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 Aplicando las fórmulas anteriores: r 0 D E 4 (-6) 2 , 2 2 , 2 r = D2 + E2 – 4F = 42 + (6)2 – 4 (-3) = 16 = 4

4 4 Por otro lado, si seguimos los pasos empleados para transformar la forma general a la forma ordinaria, tenemos:

1. (x2 + 4x) + (y2 – 6y) = 3

2. x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 3 + 4 + 9

3. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16

y

C(-2,3)

r

81

De donde el centro es el punto C(-2,3) y el radio es r = 4, obteniendo los mismos resultados que por el método anterior.

1.3.2 Relación entre circunferencia y recta

La geometría plana define la tangente a una circunferencia como la recta que tiene un solo punto en común con dicha curva. En general, la definición anterior no es aplicable para todas las curvas planas, ya que existen curvas en las cuales la recta tangente en un punto corta a la curva en uno o más puntos distintos.

Sea la ecuación de una curva plana cualquiera f (x, y ) = 0. Sean P1(x1, y1), P2 (x2, y2), dos puntos distintos cualesquiera de la curva, de tal manera que el arco de curva que los une sea continuo, es decir, el P2 se puede aproximar a P1 permaneciendo siempre sobre la curva.

tg Sec Sec Sec Sec

p2 p2 P2(x2,y2)

p2

0

Sea una recta secante que pasa por P1 y P2 de la curva, en donde P2 es el punto que se mueve sobre la curva hacia P1 y a medida que el punto móvil se acerca al punto fijo, la recta secante gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj con respecto al punto fijo; en general, tiende a una posición límite representada por la recta P1T que se define como la tangente a la curva en el punto P1, que particularmente se denomina punto de tangencia. La pendiente de la curva f(x, y) = 0 en el punto P1 se define como la pendiente de la tangente a la curva en P1.

(x,y)=0

P1(x1,y

1)

x

y

82

Tangente a una circunferencia La tangente a una circunferencia es la perpendicular al radio trazado al punto de tangencia. La ecuación de la tangente a una circunferencia queda perfectamente determinada si se conocen su pendiente y el punto de tangencia o algún otro de sus puntos. Cuando se conoce cualquiera de dichos datos, el otro se determinará a partir de las condiciones dadas en el problema. Por lo anterior, consideramos los siguientes casos. 1. Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada en un punto dado de

tangencia. 2. Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que tiene una

pendiente dada. 3. Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que pasa por un

punto exterior dado. El método de solución para cada uno de estos casos es muy semejante, en cada problema se presenta una condición y con base en ello, se escribe la ecuación de la familia de rectas que cumplan con dicha condición; la ecuación resultante contiene un parámetro que se calcula por medio de la condición de tangencia.

Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la recta tangente trazada del punto A (11, 4) a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0 (doble solución).

Al aplicar la ecuación punto y pendiente de la recta, se tiene que la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto dado A (11, 4), es:

y – y1 = m (x – x1) y – 4 = m (x – 11) En la ecuación, m representa la pendiente de la recta tangente por determinar; al despejar con respecto a y, tenemos: y – 4 = m (x – 11) y – 4 = m x – 11m

y = mx – 11m + 4 Al sustituir esta igualdad en la ecuación de la circunferencia, resulta:

x2 + y2 – 8x – 6y = 0 x2 + (mx – 11m + 4)2 – 8x – 6 (mx – 11m + 4) = 0

x2 + m2x2 + 121m2 + 16 – 22m2x + 8mx – 88m – 8x –6mx +66 m – 24 = 0 x2 + m2x2 – 22m2x + 2mx – 8x +121m2 – 22m – 8 = 0

83

(1 + m2) x2 – (22m2 – 2m + 8) x + (121m2 – 22m – 8) = 0 Esta última ecuación está escrita en la forma ax2 + bx + c = 0; si se aplica la condición de tangencia, debemos comprobar que b2 – 4ac = 0, es decir:

- (22m2 – 2m + 8)2 – 4 (1 + m2 ) (121m2 – 22m – 8) = 0 484m4 + 4m2 + 64 – 88m3 + 352m2 – 32m – 484m2 + 88m + 32 – 484m4

+ 88m3 + 32m2 = 0 -96m2 + 56m + 96 = 0

Al simplificar tenemos:

-12m2 + 7m + 12 = 0 Al multiplicar por (-1), tenemos: 12m2 – 7m – 12 = 0 Al factorizar: (4m + 3) (3m – 4) = 0 4m + 3 = 0 3m – 4 = 0

m1 = - 3 m2 = 4 4 3

Las ecuaciones de las tangentes son: Para m1 = - 3 4 y – 4 = m1 (x – 11) y – 4 = - 3 (x – 11) 4

3x + 4y – 49 = 0 Para m2 = 4 3 y – 4 = m2 (x – 11) y – 4 = 4 (x – 11) 3

4x – 3y – 32 = 0

Las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto A(11, 4) a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0, son: 3x + 4y – 49 = 0 y 4x – 3y – 32 = 0. Ejemplo 2:

84

Determinar las ecuaciones de la tangente a la circunferencia x2 + y2 – 14x – 10y + 49 = 0 en el punto A (4, 1). Al aplicar la ecuación punto y pendiente de la recta, se tiene que la ecuación de la familia

de rectas que pasan por el punto dado A (4, 1), es:

y – y1 = m (x – x1 ) y – 1 = m (x – 4 ) Si se despeja para y, tenemos: y = mx – 4m + 1 Al sustituir esta igualdad en la ecuación de la circunferencia, resulta:

x2 + y2 – 14x – 10y + 49 = 0

x2 + (mx –4m + 1)2 – 14x – 10 (mx – 4m + 1) + 49 = 0 x2 + m2x2 + 16m2 + 1 - 8m2x + 2mx – 8m – 14x - 10 mx + 40m – 10 + 49 = 0

x2 + m2x2 – 8m2x - 8mx – 14x +16m2 + 32m + 40 = 0 (1 + m2) x2 – (8m2 + 8m + 14) x + (16m2 + 32m + 40) = 0

Esta última ecuación está escrita en la forma ax2 + bx + c = 0; al aplicar la condición de tangencia, debemos comprobar que b2 – 4ac = 0, es decir:

- (8m2 – 8m + 14)2 – 4 (1 + m2 ) (16m2 + 32m + 40) = 0 4m4 + 64m2 + 196 + 128m3 + 224m2 + 224m – 64m2 - 128m - 160

- 64m4 - 128m3 – 160 m2 = 0 64m2 + 96m + 36 = 0

Al simplificar:

16m2 + 24m + 9 = 0

Al factorizar: (4m + 3) (4m + 3) = 0 4m + 3 = 0 4m + 3 = 0

m1 = - 3 m2 = - 3 4 4

La ecuación de la tangente es: y – 1 = m (x – 4) y – 1 = - 3 ( x – 4) 4 4y – 4 = -3x + 12

3x +4y – 16 = 0

85

1.3.3 Ecuación de la circunferencia a partir de tres condiciones. Analizando las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia, notarán que hay tres valores independientes: “h”, “k” y “r” en la primera y D, E, F en la segunda. Significa que, como toda circunferencia, puede plantearse analíticamente con cualquiera de las formas mencionadas, sólo se requiere encontrar el valor de tres constantes. Esto se logra con tres ecuaciones que pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes. Geométricamente, el trazo de la circunferencia requiere también de tres condiciones independientes para quedar perfectamente determinada. Estas pueden ser tres puntos, dos puntos y una recta que contenga al centro, tres rectas que formen un triángulo inscrito o circunscrito a una circunferencia, etc. El objetivo será plantear adecuadamente las condiciones dadas en sistemas de ecuaciones. Ejemplo 1: Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, - 3), B(4, - 1) y C(2, 1). Solución: como la circunferencia pasa por estos puntos, cada uno de ellos debe satisfacer a la fórmula general, por lo cual se sustituyen “x” y “y” en la ecuación por los valores de las coordenadas de los puntos. Para A(2, -3) queda 22 + (-3)2 + 2D - 3E + F = 0 para B(4, -1) queda 42 + (-1)2 + 4D – 1E + F = 0 para C(2, 1) queda 22 + 12 + 2D + 1E + F = 0 Formándose un sistema 3x3 que ya reducido se expresa: 2D – 3E + F = - 13 4D – E + F = - 17 2D + E + F = -5 Al resolver este sistema con uno de los métodos ya estudiados, en cursos anteriores, nos quedan los siguientes resultados. D = -4 E = 2 F = 1 sustituyendo estos valores en la forma general:

x2 + y2 + Dx + Ey +F = 0

obtenemos:

86

• • C (2,-1)

r = 2

X2+ y2 –4x + 2y + 1 = 0

que es la ecuación de la circunferencia buscada. Su centro y su radio están dados por:

h = - D k = - E y r = D2 + E2 – 4F

2 2 4

h = - (-4) = 2 k = - 2 = -1 y r = 16 + 4 – 4 = 2

2 2 4

de modo que, la gráfica correspondiente es:

(Ver figura ). Y | | 0 x ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

1. Encuentra la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria y redúcela a la forma

general.

a) Centro en (-6,4), radio 8. b) Centro en (-2, -5), radio 4.

2. Encuentra el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a) (x – 6)2 + (y + 4)2 = 25 b) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 100 c) x2 + y2 – 20x + 40y + 379 = 0 d) 3x2 + 3y2 + 36x – 12y = 0

• C (2,-1)

r =2

87

3. Encuentra las ecuaciones de las circunferencias que cumplen las siguientes

condiciones:

a) Tiene su centro en (-4, -2) y pasa por (2, 5). b) Tiene su centro en (-5,6) y es tangente al eje x. c) Tiene su centro en (3,4) y es tangente a la recta cuya ecuación es 4x – 2y + 10 = 0.

4. Graficar las circunferencias que se dan en los incisos a, b, c del problema 3

5. Describir el lugar geométrico que representa cada una de las siguientes ecuaciones:

a) x2 + y2 – 10x + 8y + 5 = 0 b) 4x2 + 4y2 + 28x – 8y + 53 = 0 c) 16x2 + 16y2 – 64x + 8y + 177 = 0

6. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

a) A(0, 0), B(3, 6) y C(7, 0). 7. Encuentra la ecuación de la circunferencia con radio = 5 y tangente a la recta

3x + 4y - 16 = 0 en (4, 1).

8. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por A (3, 2) y B (-1, 6) y su centro

está sobre la recta 6x + 15y + 3 = 0.

9. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia al orígen es

siempre el triple de su distancia al punto (8,0).

10. Determina la ecuación de la tangente a cada una de las circunferencias dadas en el

punto indicado.

1. x2 + y2 – 8x – 2y + 7 = 0 en A (1,2) 2. x2 + y2 – 2x – 6y - 3 = 0 en A (-1,6) 3. x2 + y2 – 100 = 0 en A (6, -8)

88

11. Determina la ecuación de la tangente a cada una de las circunferencias dadas y que

tengan la pendiente que se indica (todos los problemas tienen doble solución).

1. x2 + y2 – 4x – 16y + 43 = 0 para m = 3 / 4

2. x2 + y2 + 8x – 12y + 34 = 0 para m = -1

3. x2 + y2 – 10x + 2y + 18 = 0 para m = 1

4. x2 + y2 – 8x – 6y + 20 = 0 para m = - 2 / 3

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. Encuentra la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias.

a) Centro en (0, -5), radio 8.

b) Tiene su centro sobre la recta y = x, es tangente a ambos ejes y radio igual a 4

c) Tiene su centro en el origen y es tangente a la recta x + y = 6

d) Circunscrita al triángulo de vértices: A(6, 2), B(7, 1) y C(8, -2)

II. Encuentra el centro y el radio de la siguiente circunferencia.

9x2 + 9y2 + 72x – 12y – 103 = 0

III. Encuentra el área del círculo y el perímetro de la circunferencia.

7x2 + 7y2 + 4x – 82y + 55 = 0

IV. Demuestra que los puntos (5,0), (5,-8), (4,1) y (5, 2) están sobre una misma

circunferencia.

V. Determina la ecuación de la tangente a la siguiente circunferencia en el punto indicado.

x2 + y2 – 8x +3 = 0 en A (6,3)

89

Sin duda alguna conoces este dibujo: ¿Qué representa? ¿En que se utiliza? ¿Cómo funciona? ¿Quieres aprender más sobre la forma de esta antena? Analiza los contenidos que a continuación se presentan y descubre nuevos conocimientos sobre la: 1.4 LA PARÁBOLA La parábola es una trayectoria común en nuestra vida cotidiana. Es el recorrido que sigue cualquier objeto cuando lo lanzamos con cierta velocidad e inclinación respecto a la horizontal. Este movimiento queda dibujado en el recorrido de las partículas de agua que salen de una manguera. También forman parte de nuestro mundo las antenas parabólicas, en éstas cualquiera de las curvas contenidas, que pasan por el vértice de la antena es una parábola. El propósito de esta disposición es dejar las señales electromagnéticas (de televisión o de radio) de manera que todas ellas se concentren en un solo punto. Un propósito similar cumplen los espejos parabólicos de los grandes telescopios, tales como el que posee México en San Pedro Mártir, o el de Monte Palomar, en Estados Unidos.

90

Como puede apreciarse existe una gran diversidad de aplicaciones que se generan al estudiar las propiedades de una curva, en esta ocasión la trayectoria parabólica, cuya definición es: PARÁBOLA. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Se compone de los siguientes elementos como se observa en la gráfica: ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

Un aspecto de gran importancia para la parábola es la distancia que existe entre su vértice y su foco. Sabemos por definición que ésta es equivalente a la distancia entre la directriz y el vértice, por lo general esta distancia suele representarse mediante la letra "a", es decir:

VF = VD = a La importancia de "a" radica en que determina la forma de la parábola. 1.4.1 Ecuación de la parábola con vértice en el origen La parábola a diferencia de la circunferencia, presenta posiciones distinguibles respecto a los ejes coordenados. Será necesario por esto, establecer una ecuación para cada posición; para su estudio dividiremos en cuatro casos en cuanto a su posición en los ejes coordenados. Analicemos la forma que presenta su ecuación si su vértice es en el origen y eje de simetría se encuentra sobre el eje de las abscisas.

VÉRTICE (V)

FOCO (F)

LADO RECTO (LR)

DIRECTRIZ (DD)

EJE DE SIMETRIÁ

DISTANCIA FOCAL (VF)

v F

L

R

D

D´

91

El punto D se localiza sobre la directriz, por lo cual su abscisa es -a, además se encuentra colocado a la misma altura que P, por lo que la ordenada de ambos es la misma, entonces las coordenadas de D son:

D ( -a , y ) Una vez determinadas las coordenadas de P, D y F , recordemos la definición de parábola:

PF = PD = a Que es equivalente a:

2 ) 0 - y ( a)2-(x = 2 ) y - y ( 2 )a (x

Elevando ambos miembros De la igualdad al cuadrado (x -a)2 + y 2 = (x + a ) 2 Desarrollando los binomios x2 - 2ax + a2 + y 2 = x 2 + 2ax + a2

La figura ilustra el caso, en donde la parábola se extiende hacia la derecha. Observe que las coordenadas del foco son F(a,0), P (x,y) un punto cualquiera de la parábola; la directriz corresponde al lugar geométrico cuyas abscisas son -a, su ecuación es:

x = - a

X

Y

P(x,y)

D ( -a,0) y )

F ( a,o ) V

92

Despejamos y2 : y2 = x2+ 2ax + a2 - x2 + 2ax - a2 Reduciendo términos semejantes: y2 = 4ax Esta es la forma más simple como puede expresarse la ecuación de la parábola sujeta a las condiciones iniciales . Para determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje de simetría coincidente con x que se extiende hacia la izquierda, la única modificación que existe es la ubicación de F, ahora con abscisa negativa y D cuya abscisa es positiva; para distinguir lo anterior basta con dar signo a "a" : Si a > 0 ( positivo) la parábola se extiende a la derecha Si a < 0 (negativo ) la parábola se extiende a la izquierda Resumiendo lo anterior quedaría de la siguiente manera:

Caso I Parábola con vértice en el origen y eje de simetría en las "x"

Ecuación de la parábola y2 = 4ax y2 = - 4ax

V ( 0 , 0 ) F ( a, o ) LR = 4a V ( 0 , 0 ) F (- a, o ) LR = 4a Ecuación de la directriz x = -a x = a Posición de la curva

a > 0 a < 0

X

93

La parábola también puede orientarse de manera que su vértice esté en el origen y su eje de simetría coincida con el eje de las ordenadas, como aparece en la figura:

Ahora de acuerdo a la definición de parábola:

2 )a - y ( 2 ) 0 -x ( = 2 )a y ( 2 )x -x (

Si utilizamos el camino semejante al del primer caso, quedaría así:

x 2 = 4ay

Esto mismo puede ajustarse a una parábola cuya ubicación de los ejes coordenados en las ordenadas y se extiende hacia abajo. Para ello es necesario solamente proporcionar signo a "a" : a > 0 ( positivo ) la parábola se extiende hacia arriba a < 0 ( negativo ) la parábola se extiende hacia abajo

Si P (x, y) es un punto cualquiera de la parábola, entonces las coordenadas de D son D(x, a) ya que comparte la abscisa con P; además la directriz es el lugar geométrico de los puntos cuya ordenada es a , es decir: y = - a

D ( x, -a)

V

P(x,y) F(0,a

)

Y

94

Resumiendo lo anterior esto quedaría así: Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto F (0, 3 ) . Hallar además la ecuación de la directriz. Por las coordenadas del foco podemos deducir que se trata de una parábola que se extiende hacia arriba. F ( 0, 3 ) F ( 0, a ) entonces a = 3 y su ecuación sería x 2 = 4ay, o bien x 2 = 4 (3)y

Caso II Parábola con vértice en el origen y eje de simetría en las "y" Ecuación de la parábola x2 = 4ay x2 = - 4ay

V( 0 , 0 ) F( o, a ) LR = 4a V( 0 , 0 ) F( o, - a ) LR = 4a Ecuación de la directriz y = -a y = a Posición de la curva a > 0 a < 0

X

Y

X

Y

95

x2 = 12y que también puede expresarse como x 2 - 12y = 0 y la ecuación de la directriz puede obtenerse así: y = -3

o bien y + 3 = 0 Su gráfica sería:

Ejemplo 2. Encontrar la ecuación de la parábola cuyo foco es F ( -2, 0 ) si su directriz es la recta x = 2. Calcular además la longitud de su lado recto. Por las coordenadas del foco, sabemos que se trata de una parábola que se extiende hacia la izquierda y que tiene su eje de simetría en las "x" F ( -2 , 0 ) y la directriz x = 2 F ( a , 0 ) o bien x = a Ecuación de la parábola y = 4ax Sustituyendo y = 4 (-2 ) x y = - 8x O bien y + 8x = 0 Además 4p = -8

Entonces el lado recto es LR = 4a

Sustituyendo LR = -8 LR = 8

Y

D´

R L

V

F

X

D

96

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en el origen, si el valor de " a" y el

eje de simetría es el que se indica:

1. a = 4 eje en las " x " 2. a = -3 / 4 eje en las " x "

3. a = 6 eje en las "y" 4. a = -5 eje en las "y" II. Determina la ecuación de la parábola, si sabemos que su vértice está en el origen.

La longitud de su lado recto es el que se indica y la parábola se extiende como se señala.

1. LR = 10 abre hacia arriba 2. LR = 16 abre hacia abajo 3. LR = 4 abre hacia abajo 4. LR = 8 abre hacia la derecha III. Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en el origen, las coordenadas del

foco son las que se indican, además determine la ecuación de la directriz.

1. F ( -4, 0 ) 2. F (0, -8 )

3. F ( 3, 0 ) 4. F (0, 6 ) IV. Cuáles serán las coordenadas del foco, si la parábola tiene su vértice en el origen y

la directriz es la siguiente:

1. y = -3 2. x = - 4

3. y = -7 4. x = 3 / 2

V. A partir de la ecuación de la parábola, encuentra todos sus elementos y graficar.

1. y2 = 16x 2. x 2 = 8y

3. y 2 = -12x 4. x2 = - 20y ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. A partir de los siguientes datos encuentra y grafica los elementos de la parábola. 1. a = 6 eje X 2. a = -10 eje Y

97

Caso III Parábola con vértice en V(h,k) y eje de simetría paralelo a las "X" Ecuación de la parábola (y-k)2 = 4 a(x-h) (y-k)2 = - 4a (x-h)

V( h , k ) F( h + a , k ) LR = 4a V( h , k ) F( h - a, k) LR = 4a Ecuación de la directriz x = h – a x = h + a Posición de la parábola a > 0 a < 0

3. LR = 24 abre hacia la izquierda 4. LR= 24,abre hacia la derecha

5. F(0, -6) 6. F(-5, 0)

7. V (0, 0) y = 3 8. V(0, 0) x = -4/3

Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen Existen dos casos: a) Parábola con eje paralelo a las "x" b) Parábola con eje paralelo a las "y" Ambos casos tienen vértice (h, k) En la siguiente gráfica encontrarás una parábola con vértice (h, k) y cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las "x" , de acuerdo al sistema de coordenadas.

Resumiendo lo anterior quedaría así:

d

P(X,Y)

F v

X

Y Y´

X´ k

Al mismo tiempo, la parábola tiene vértice en el origen si nos referimos al sistema X´Y´, por lo cual la ecuación toma la forma del primer caso. y´2 = 4ax´ Para referir la curva al sistema XY , recordemos que: x´= x - h y´= y - k

h

k

X

Y Y

h

k

X

98

Una argumentación semejante se aplica para la determinación de la ecuación de la parábola, cuyo eje de simetría es paralelo a las Y, cuyo resumen aparece en la siguiente tabla:

Caso IV Parábola con vértice en V ( h,k ) y eje simétrico paralelo a las Y

Ecuación de la parábola ( x - h )2 = 4a ( y - k ) ( x - h )2 = - 4a ( y - k ) V ( h, k ) F ( h , k + a ) LR = l 4a l V ( h, k ) F ( h , k - a ) LR = l 4a l Directriz y = k – a Directriz y = k + a Posición de la parábola a > 0 a < 0 Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola con vértice en V (-2, 5) y foco en F (3, 5) Si graficamos al vértice y foco podemos saber que el eje de simetría es paralelo a las "x" y que la parábola se extiende hacia la derecha, debido a que a > 0

h

Y

k

X h

k

X

Y

-2 3

V(-2,

5)

F(3,

5)

X

Y

99

Con la gráfica anterior podemos recordar que la magnitud de "a" es VF , por lo tanto podemos concluir que a = 5, y su ecuación sería: ( y - 5 )2 = 4 (5) (x + 2) (y - 5) 2 = 20 (x + 2)

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Determina la ecuación de la parábola dado el vértice y el foco:

1. V (3, -5) F(-4, -5) 2. V (5, 3 ) F (3, 3) 3. V (5, -6) F (5, 2) 4. V (4, -1) F (4, 6) 5. V (3, 6) F (-2, 6) 6. V (-6, 3 ) F(4, 3)

II. Encuentra la ecuación de la parábola y las coordenadas del foco, si el vértice y la

directriz son las siguientes: 7. V ( 8, 5) y = 7 8. V (3, 5) y = - 6 9. V (-3, 6) x = - 5 10. V (2, -4) x = -7 11. V (-7, -2) y = 10 11. V (5, -3) y - 5 = 0

III. Dadas las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz, encontrar la ecuación

de la parábola.

13. F (-9, 6) x = -5 14. F (7, -4) x + 1 = 0 15. F (3, -3) y = 4 16. F (6, 2) y = -16 17. F (8, -4) x + 12 = 0 18. F (7, -5) y + 5 = 0

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. A partir de los siguientes elementos, encuentra y grafica la ecuación de la parábola.

1. V (-3, 4) F(-2, 6) 2. V (10, 9) F(13, 11) 3. V (7, 2) F (6, 5) 4. V (1, 3) F (-4, 0) 5. V (4, 7) el eje y 6. V (0, 3) Y - 16 = 0 7. F (1, 4) Y + 8 = 0 8. F (-8, 0) X = - 9

100

1.4.2 Forma general de la ecuación de la parábola Si partimos de la forma de una parábola con vértice V (h, k) y eje de simetría paralelo al eje "x", tendremos:

( y - k )2 = 4a ( x - h ) si desarrollamos el binomio: y2- 2ky + k2 = 4ax - 4ah trasladando todos los términos y2 - 2ky + k2 - 4ax + 4ah = 0 al primer miembro: Acomodando términos: y + (-2k)y + (-4a)x + (k + 4ah) = 0 Si: D = - 2k E = - 4a F = k2 + 4ah Entonces la ecuación general sería: y2 + Dy + Ex + F = 0 Esta forma de la ecuación nos puede representar a cualquier parábola. De manera semejante la forma general para una parábola con v (h, k) y eje de simetría en las "x" sería: (x - h) 2 = 4a (y - k) se transforma en: x2 + (-2h)x + (-4 a)y + (h2 + 4ak) = 0 por lo que: D = - 2h E = - 4a F = h2 + 4ah la ecuación se expresa así : x2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplo: La forma estándar de la ecuación de la parábola es ( x - 3)2 = 20 (y - 1), transformarla a su forma general: ( x - 3) 2 = 20 ( y - 1 ) x2 -6x + 9 = 20y - 20 x2 - 6x + 9 - 20y + 20 = 0 x - 6x - 20y + 29 = 0 Si dada una ecuación general se desea conocer el vértice, foco, directriz, etc. además graficar el lugar geométrico, es necesario la: Determinación de los elementos de una parábola a partir de la ecuación general:

101

-

1

1

1

-1

Ejemplo 1: Encuentre el vértice, foco, ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola 6y2 - x = 0 ¿Hacia dónde se extiende? Si analizamos la ecuación podemos decir que se trata de una parábola con vértice en el origen del plano y que tiene su eje simétrico en las "x" . Realizando operaciones quedaría: 6y2 = x

y2 = 1 x 6 comparando con la forma canónica y2 = 4ax 4 a = 1 / 6 O bien a = 1 / 24 entonces : V (0, 0) F (1 / 24, 0 ) Directriz x = - a LR = 1 / 6 x = - 1/24 Finalmente la parábola quedaría: Ejemplo 2. A partir de la ecuación 4x2 - 4x + 16y + 49 = 0 de la parábola encuentra y grafica los elementos: Despejemos a los términos en "x" 4x2 - 4x = -16y - 49

102

Puesto que el coeficiente de "x" debe ser 1, dividiremos entre 4: x2 - x = -4y - 49/4 Completando el trinomio: x2 - x + 1/4 = -4y - 49/4 + 1/4 Factorizando: ( x - 1/2 ) 2 = -4y - 48/4 ( x - 1/2 ) 2 = -4y - 12 Transformando: ( x - 1/2) 2 = -4 ( y + 3 ) Entonces: h = 1/2 k = -3 4 a = - 4 Se desprende que: a = -1 V (1/2, -3) F (1/2, - 4) y = -2 LR = 4 La gráfica quedaría así: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. A partir de la ecuación de la parábola encuentra sus elementos y grafica. 1. x2 - 32y = 0 2. y2 + 4x = 0 3. x 2 - 64y + 20 = 0 4. x2 - 8x - 16y - 32 = 0 5. x2 + 12x - y + 6 = 0 6. y2 - 16y - 40x – 36 = 0

x

Y

103

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. A partir de la ecuación general de la parábola, determina: Vértice, Foco, Ecuación de la directriz, longitud del lado recto y grafica.

1. x2 - 16y = 0 2. y2 + 32y =0 3. x2 + 24x + 16y + 54 = 0 4. y2 – 16y – 40x – 64 = 0

II. Un jugador de basquetbol hace un lanzamiento logrando la anotación, siendo su distancia al aro, en ese momento 5 m. La salida del balón se efectuó a 2m. Sobre el piso, la altura de la canasta es de 3 m. Si un espectador estima que el máximo alcance vertical de la pelota fue el doble de la altura del aro, ¿a qué distancia del jugador la pelota tocó el piso?. Considera que nada infirió con el movimiento hasta entonces.

104

En este apartado recorrerás otros espacios que son comunes en el entorno

donde habitas, esta es una fuente que se encuentra en la capital del estado de

Zacatecas. Observa:

¿Qué forma tiene la fuente?

¿Escribe otros espacios o construcciones donde has identificado estas formas?

Para conocer más sobre esta nueva curva analiza los conceptos que se enuncian en

la guía del curso relacionados con esta curva: ¡adelante!

105

LA ELIPSE

Hasta este momento se han analizado algunas formas geométricas,

entre ellas la recta, la circunferencia y la parábola; ahora iniciaremos el

estudio de otra figura formada por un conjunto de puntos que cumplen, al

igual que en las anteriores figuras, con propiedades específicas que son

diferentes a las anteriores figuras ya estudiadas. De cualquier forma la

elipse es una cónica que resulta por el corte que se hace de un cono por

un plano oblicuó a la base del cono.

¿has observado esta figura? Enumera ejemplos:

Definición: Elipse es el lugar geométrico determinado por la trayectoria

de un punto que se mueve de tal manera que las sumas de las distancias

del punto a dos puntos fijos llamados focos es una constante. Esa

constante se llama eje mayor.

P(x,y)

O’

F(-c,0) F(c,0)

Trazo: Para comprender este concepto y familiarizarnos con los

elementos de esta curva, realicemos el trazo, para ello seguiremos los

siguientes pasos.

a. Sobre una recta determinar los puntos A y A’ que

formarán el eje mayor = 2ª

106

b. Localizar el punto medio de A’A, que será el centro de la

elipse O’

c. Localizar en A’A, F y F’ que serán los focos de le elipse,

considerar que O’F = O’F’ y O’F < O’A

d. Con distancia O’A y haciendo centro en F y F’ se marcan

los puntos B y B’ , extremos del eje menor B’B = 2b

e. trazar entre O’F los puntos: S, T, U, etc.

f. Con distancias SA y SA’ y haciendo centro en F y F´ ,

trazar y cortar arcos para determinar los puntos M, M’, N,

N’, que cumplirán con la definición y por lo tanto

pertenecerán a la curva

g. repetir el proceso con los puntos T, U, etc.

h. Unir a mano alzada los puntos pasando por A y A’ para

cerrar la curva

B

*P(x,y)

A’ F’ O’ F A

S T U

B’

107

NOMENCLATURA:

A’A y B’B: son los diámetros principales o ejes de simetría, eje mayor y

eje menor respectivamente

A, A’ vértices de la elipse

A’A : es eje focal, eje mayor, se representa con 2a

B’B: es eje no focal, eje menor, se representa con 2b

F y F’ son los focos, F¨F es la distancia focal se representa con 2c

PF y PF’ se llaman radios vectores y PF + PF’ = 2 a = eje mayor

las cuerdas perpendiculares a los focos se llaman lado recto Lr = 2b2

/a

Cualquier cuerda que pase por el centro se le llama diámetro

Las curdas que pasen por el foco y no por el centro se llaman cuerdas

focales

O’ : centro de simetría

La relación entre la distancia focal y el eje mayor se llama excentricidad

e = c/a, si e se acerca a 1 la curva se acerca a una recta , si e se acerca

a cero la curva se aproxima la circunferencia por lo que 0 < e < 1

Actividad: trazar las siguientes elipses:

a) A(5,0) F(4,0)

b) 2 a = 12, B(3,0), O’(0,0)

c) O’(3,2) A(3, 7) B(7, 2)

d) Con una cuerda y dos clavos traza una elipse, coloca los clavos en el

lugar que ocuparán los focos, amarra los extremos de la cuerda en los

clavos, la medida de la cuerda representa el eje mayor, debe ser mayor

que la distancia focal; con un lápiz tensa la cuerda y desliza el lápiz

sobre la cuerda teniéndola siempre tensa hasta completar el trazo de la

108

curva. Observa que en este caso, la suma de los radios vectores que se

forman al tensar la cuerda son igual al eje mayor.

Como habrás observado la elipse presenta diversas formas si se

considera la posición del centro en el plano o la posición del eje mayor,

éste puede ser vertical horizontal o inclinado, el centro puede estar en el

origen o fuera del origen.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE:

Por definición:

PF + PF’ = A’A = 2 a

Propiedad importante de la elipse:

En el triángulo BO’F que es rectángulo se tiene:

O’B = b y O’F = c son los catetos, BF = hipotenusa = a semieje mayor

Por Pitágoras: a2 = b2 + c2 propiedad importante de la elipse porque nos da la relación

entre los

semiejes y la semidistancia focal

Casos: y

x’ x eje mayor horizontal O’(0,0)

y

x’ x eje mayor vertical O’(0,0)

y’

y

eje horizontal O’(h,k)

x’ x

109

y’

y

eje vertical O’(h,k)

x’ x

y’

y

eje inclinado O’(h,k)

x’ x

y’

Caso 1: O’(0,0) , F(3,0) , A (5,0) centro de simetría en el origen , eje mayor en x’x

Por definición: FP + F’P = A’A …………… (1)

Por distancia entre dos puntos:

FP = 2222 )()0()( ycxycx ……..(2)

F’P = 2222 )()0()( ycxycx ………(3)

22)( ycx + 22)( ycx = 2 a………………(4) sustituyendo en (1) con (2) y (3)

22)( ycx = 2 a- 22)( ycx (5) despejar un radical y elevar al

cuadrado

(x-c)2 + y2 = 4 a2 – 4 a( 22)( ycx )+ (x+c)2 +y2 desarrollando

x2-2cx +c2 + y2 = 4 a2 -4a 22)( ycx + x2 + 2cx + c2 + y2 reduciendo términos

semejantes

-4cx – 4 a2 = 4a 22)( ycx dividiendo entre -4

110

cx +a2 =a 22)( ycx elevando al cuadrado

c2x2 + 2cxa 2 + a4 = a2(x2 + 2cx + c2 + y2) =

c2x2 +2cxa 2 + a4 = a2x2 +2 a2 c x + a 2c2 + a 2y2) pasar variables comunes a la izquierda

c2x2 2 - a2x2 - a 2y2 = a 2c2 – a4 ordenando y factorizando y multiplicando por (-1)

a2x2 – c2x2 +a2y2 = a2(a2- c2)

(a2 –c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) como: a2 – c2 = b2

b2x2 + a2y2 = a2b2 …………………….. (6) por propiedad importante

dividiendo por a2b2

12

2

2

2

b

y

a

x forma ordinaria de la ecuación de la elipse con O’(0,0)

Has de observar que el semieje mayor al cuadrado se relaciona con x2, si el semieje

mayor se relaciona con la variable y la posición del eje mayor será vertical y la ecuación

tendrá la forma

12

2

2

2

b

x

a

y forma ordinaria de la ecuación de la elipse con O’(0,0) eje mayor vertical

Propiedad intrínseca de la elipse:

Si se baja una perpendicular de un punto cualquiera de la elipse al eje mayor se tiene que:

PQ es perpendicular A’A y P(x,y)

PQ = y , O’Q = x

PQ2 = y2 O’Q2 = x2 x’ O’ Q x

Y’

Como ya sabemos 12

2

2

2

b

y

a

xsustituyendo 1

'2

2

2

2

b

PQ

a

QO

Propiedad Intrínseca: “La distancia del centro al pie de la perpendicular bajada de un

punto de la elipse al eje mayor al cuadrado es al semieje mayor al cuadrado más la

longitud de la propia perpendicular al cuadrado es al semieje menor al cuadrado

como 1”

Problemas de aplicación:

1) Hallar la ecuación de la elipse que tiene como focos (0, ),4 y un vértice

en (0,6)

111

2)

a) Graficar la elipse: V

F

B O’ B

F?

V’

b) la gráfica nos indica que el eje mayor es vertical por lo que se requiere utilizar la

forma:

12

2

2

2

b

y

a

x por lo que se requiere conocer el valor de a y de b

como O’A = a = y2 – y1 = 6-0 = 6 a = 6

O’F = c = y2 – y1 = 4 – 0 = 4 c = 4

b2 = a2 – c2 , b2 = 62 – 42 = 36 – 16 = 20

Entonces: 12036

22

yx

de donde 20x2 + 36 y2 = 720 simplificando 5x2 + 9y2 – 180 = 0

ecuación pedida

Ecuación de la elipse con centro fuera del origen y ejes de simetría paralelos a los

ejes coordenados.

Sea P(x,y), Q(x,k) O’(h,k)

B P

V’ F’ O’ Q F V

B’

Como: O’Q = x, QP = y , x = (x – h), x2 = (x – h)2,

QP = y , y = y – k, y2 = (y – k)2 , sustituyendo estos valores en la propiedad

intrínseca

112

1'

2

2

2

2

b

PQ

a

QO ,

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx Ecuación de la elipse centro (h,k) eje mayor paralelo a x’x

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx Ecuación de la elipse centro en (h,k) eje mayor paralelo a y’y

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

2) Hallar la ecuación de la elipse con focos en (4,-2) y (10, -2) y un vértice en (12, -2)

a) Graficar

B

V’ F’ O’ F V

B’

b) Como se conocen los dos focos el punto medio entre ellos es el centro de simetría de la

elipse, ello lo determinamos con el punto medio:

x = 72

410

2

1

xx x y = 2

2

)2(2

2

12

yy

O’(7,-2)

c) Como O’V = a = distancia horizontal a = 12-7 = 5, a = 5

d) O’F = c = distancia horizontal, c = 10-7 = 3 c = 3

e) aplicando propiedad: b2 = a2 – c2 b2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 por lo tanto b = 4

f) Como el eje mayor es horizontal la fórmula a utilizar es 1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx por lo que:

14

)2(

5

)7(2

2

2

2

yx

, 116

)2(

25

)7( 22

yx

forma ordinaria.

16(x – 7)2 + 25(y+2)2 = 400 desarrollando esta expresión se tiene:

16 x2 – 224 x + 784 + 25 y2 + 100 y + 100 – 400 = 0

16 x2 + 25 y2 -224x + 100 y + 584 = 0

113

Aquí se puede observar que la ecuación general de la elipse presenta la forma: con centro

en (h,k) y ejes paralelos a los ejes coordenados es = Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 donde A

= C pero de signos iguales.

Actividades de evaluación : Analizados los ejemplos anteriores, habrás observado que

para hallar la ecuación de una elipse es necesario determinar los parámetros, h, k , a, b si

se utiliza la forma ordinaria. Teniendo en cuenta esta observación, determinar la ecuación

de las siguientes elipse, cuyos datos son:

a) O’(2,2), F(5,2) , A(6,2)

b) O’(-3,3), F(3,7) , A(-3,8)

c) A(8,2) A’(-2,2) , 2c = 8

d) F(2,3) F’(8,3), eje mayor = 10

e) F(5,1) F’(5,-3) eje menor = 16

f) B(3,5) ,, B’(3, -3) A(-2,1)

g) b = 3, lado recto = 3 eje mayor sobre y’y O’(0,0)

h) F(5,0), e = 2/3 eje mayor horizontal

i) e = 0.7 2 a = 20 O’(0,0) vertical

j) e = 4/5, O’(0,0) horizontal

k) Considerando la definición de elipse determinar la ecuación si se sabe

que la suma de las distancias de cada punto de la curva a los puntos

(5,3) y (4,-2) es 6

l) La suma de las distancias de cada punto de la curva a los puntos (2,3)

y (5,-1) es 7

m) El centro es el origen , el eje mayor mide 6 unidades, el lado recto mide

8/3 u y los focos están sobre x´x

n) Hallar la ecuación de la elipse con vértices (1,-4), (1,6) y cuyo foco está

sobre la recta: x - 2y + 7 = 0

Proceso inverso: si conocemos la ecuación de una elipse podremos determinar sus

elementos y elaborar la gráfica correspondiente:

Si consideramos las condiciones para que una ecuación de segundo grado

represente una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, estas condiciones son:

114

La ecuación general de segundo grado es: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

………..(1)

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx Ecuación de la elipse centro (h,k) eje mayor paralelo a

x’x……………(2)

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx Ecuación de la elipse centro en (h,k) eje mayor paralelo a y’y

………..(3)

Desarrollando 2 y 3 se tiene:

b2 x2 + a2 y2- 2b2 h x – 2 a2 k y + b2 h2 + a2 k2 - a2 b2 =

0……………………………………….(4)

a2 x2 + b2 y2 – 2 a2 h x – 2 b2 k y + a2 h2 + b2 k2 –a2 b2 =

0………………………………………(5)

Para que la ecuación (1) pertenezca a una elipse de ejes paralelos a los ejes

coordenados, sus coeficientes y los de las ecuaciones (4) y (5) deben ser proporcionales

1. Como (4) y (5) carecen de x y, B = 0

2. Los coeficientes de A y C deben ser del mismo signo pero de diferente valor ya que

A = b2 y C = a2 o A = a2 y C = b2 y a2 = b2 + c2 según la posición del eje mayor

Por lo tanto: para que una ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 represente

una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados los coeficientes A y C deben ser de

diferente valor ; pero del mismo signo..

Ejemplo: 4x2 + 9y2 – 8x + 36y + 4 = 0, -x2 – 4y2 -2x +8y -4 = 0

Considerando estos criterios podemos determinar si la ecuación representa una elipse y

una vez identificada podremos determinar sus elementos. Para ello procederemos como

en la circunferencia.

Ejemplo: dada la ecuación: 9x2 + 16y2 -54x +64y +1 = 0 determinar los elementos de la

curva:

1. Como A = 9, C= 16 A y C son positivos, B = 0, la ecuación representa una elipse.

2. Los elementos a determinar son: O’, a, b, c, V, V’, B, B’, F, F’, e, Lr, ecuación eje

mayor, ecuación eje menor y su gráfica.

3. Pasar la ecuación a la forma ordinaria:

115

(9x2 – 54x) + (16y2 + 64y) = -1 agrupando términos en x y términos en y

9(x2 - 6x) + 16(y2 + 4y) = -1 factorizando los términos agrupados

9(x2 – 6x + 9) + 16(y2 + 4y + 4) = -1 + 81 + 64 completando trinomios cuadrados

perfectos

9(x -3)2 + 16(y + 2)2 = 144 factorizando los trinomios

19

)2(

16

)3( 22

yx

dividiendo por 144 para igualar a 1 tenemos la forma ordinaria,

en ésta ecuación se puede observar que 16 valor de (a) se relaciona con (x –h)2 por lo que

el eje mayor de esta elipse es paralelo a x’x. Hecho este análisis se procede a determinar

los elementos:

O’ (3 , -2) se consideran las cantidades conocidas de los binomios con signo diferente

a2 = 16 a = 4, b2 = 9 , b = 3, c = 22 ba c = 22 34 = 7916

V(h + a, k), V(7,-2) V’(h-a, k), V’(-1,-2) puntos que están en una recta horizontal

B(h, k + b), B(3, 1) B’(h, k-b) B’(3, -5) puntos que están en una recta vertical

F(h + c, k) , F(3+ 7 , -2) F’(h-c, k) F’(3- 7 , -2) puntos que están en una horizontal

e = c/a e = 7 /4

Lr = 2

9

4

18

4

)3(22 22

a

b

Ecuación del eje mayor: y = k, y = -2 , y + 2 = 0 eje paralelo a x’x

Ecuación del eje menor: x = h, x = 3, x-3 = 0 eje paralelo a y’y

Gráfica:

Actividades de aprendizaje: hallar los elementos de las siguientes elipses y trazar la curva:

(O’, a, b, c, V, V’, B, B’, F, F’ e, Lr., ecuación de los ejes)

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

116

1. 125

)2(

16

)1(22

yx

2. 116

)1(

25

)4(22

yx

3. 4(x-1)2 + (y+3)2 = 4

4. x2 + 4y2 + 8x -16y +28 = 0

5. 4x2 + y2 = 4

6. 49 x2 + 4y2 = 196

7. 1128

22

yx

8. 1910

22

yx

1.6 LA HIPÉRBOLA

Definición :

La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera

que el valor absoluto de la diferencias de las distancias a dos puntos fijos, es una

constante.

Los dos puntos fijos se denominan focos y el punto medio del segmento que los une se llama

centro de la hipérbola.

1.6.1 ANÁLISIS DE LA HIPÉRBOLA

Si P es el punto móvil de la hipérbola,

cualquiera que sea su posición, se tiene : Y c

F´ P - FP = 2a B P ( x,y )

según la ( fig. 1 ) (-c, 0 ) b (c,0 )

x

F´ V´ O V F P´ B´ a Figura 1

117

1.6.1.1 CONSTRUCCIÓN DE UNA HIPÉRBOLA

De las propiedades de la hipérbola se deduce una construcción, punto por punto, que es similar a la de la elipse. Primero, localizamos los focos F´ y F y los vértices V´ y V sobre una recta ; luego fijamos un punto M sobre la recta y a la derecha de F , como en la figura 1. A continuación, con los focos como centros y con un radio igual a MV, describimos arcos por encima y por debajo del eje principal. Finalmente, con los mismos centros y con radio igual a MV´, trazamos arcos que corten los arcos anteriores.

Los cuatro puntos obtenidos así deben estar sobre la hipérbola. Se pueden hallar otros puntos variando la posición de M, haciendo que M coincida con F´ o con F o que esté a la izquierda de F´.

Podemos comprobar la validez de esta construcción por medio del siguiente argumento, donde P1 representa un punto típico o genérico localizado por nuestro método :

SI MV´ = F´P1 y MV = FP1 entonces F´P1 - FP1 = MV´ - MV = VV´ aquí, VV´ es la longitud del eje transverso y tiene un valor constante, ( fig. 2 )

P1

F´ V´ V F M

Figura 2

1.6.1.2 NOMENCLATURA Las rectas V´V y B B´ son los ejes de simetría de la curva, o diámetros principales. V´V es el eje focal, o eje transverso, o eje real y se designa por 2a B´B es el eje no focal, o eje conjugado o eje imaginario y se designa por 2b.

F´F es la distancia focal, y se designa por 2c.

V´ y V son los vértices de la hipérbola y las rectas F´ M y FM son vectores ( ver fig. 1 ).

La relación entre diámetros principales y la distancia focal está expresada por la igualdad :

c b Por el teorema de Pitágoras encontramos la igualdad c2 =a2 + b2 en que a puede ser mayor, igual o menor que b ; existirán por . a 0 v supuesto, tres semiejes : La longitud a será el eje transverso y la longitud b el eje semi- conjugado.

118

Una vez que has hecho el análisis de la hipérbola , estarás en condiciones de calcular y

complementar la hipérbola.

1.6.2 CÁLCULO DE LA HIPÉRBOLA

Con todos los elementos de la hipérbola ya podemos deducir las ecuaciones en

sus diferentes posiciones y verás que vas aplicar todos los conocimientos de

matemáticas que has estudiado en el modulo anterior ( 4 ).

1.6.2.1 ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA EN DIFERENTES POSICIONES.

1o. Los ejes de simetría coinciden con los ejes coordenados ,el eje focal está en X´X y es igual a 2a

Sea P (x, y ) un punto móvil de la hipérbola, F´( - c, 0 ) y Q P ( x,y ) F ( c,0 ) los focos ( fig. 3 ). La propiedad intrínseca de la curva es : X´ F´ V´ O V F P X PF´ - PF = 2a ; PF¨ = 2a + PF ; ( 1 )

PF´= ( x - c )2 + y2 ;

PF = ( x - c ) 2 + y2 ; Figura 3 valores que sustituimos en ( 1 ) dan :

( x + c ) 2+ y2 = 2a + ( x - c ) 2 + y2 .

Elévese al cuadrado y redúzcase :

4cx - 4a2 = 4a ( x - c ) 2 + y2 , cx - a2 = a ( x - c ) 2 + y2

Elévese al cuadrado, redúzcase y pásense las variables al primer miembro :

( c2 - a 2) x2 - a2 y2 = a2 ( c2 - a2 ).

Sustitúyase ( c2 - a2 ) por b2 ; se obtiene la ecuación buscada :

b2 x2 - a2 y2 = a2 b2

Dividiendo ambos miembros entre a2b2 , se obtiene la ecuación de la curva en forma simétrica :

12

2

2

2

b

y

y

x

Aplicando los conocimientos y con la ayuda de tu asesor trata de interpretar estos

ejemplos resueltos.

119

1. Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F ( 5, 0 ) y F´ ( - 5, 0 ), y tal que la diferencia de las distancias de los puntos de ella a los focos sea 8.Ver (fig. 4 )

Solución :

El punto medio entre los focos es C ( 0, 0 ) y los focos están sobre el eje X, así que su ecuación es de forma ( x2 - y2 ) 1 , la distancia entre los focos es 2c = 10 y la distancia a2 b2 entre vértices es 2a = 8, entonces b2 = 52 - 42 = 9 y la ecuación de la hipérbola es Y

x 2 y2 8 16 9

4 F´ F X - 8 - 4 C 4 8

- 4

- 8

x2 y2 1 16 9 Figura 4

Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V ( 0, 2 ) y V´ (

0, - 2 ) y sus focos son F ( 0, 10 ) y F´( 0, - 10 ). Ver la figura ( 5 ).

Solución :

Nuevamente el centro es C ( 0, 0 ) , los focos están ahora sobre el eje Y , la distancia focal es 2c = 20, la distancia entre vértices es 2a = 4, entonces b2 =102 -22 = 96 y la ecuación de la hiperbola es de forma

Y

y2 x2 1 12 F 4 96 8

4

-12 - 8 - 4 4 8 12 X

x2 y2 1 - 4 96 4

- 8 F´ - 12 Figura 5

2o. Los ejes de simetría coinciden con los ejes coordenados, el eje focal está en

Y´Y, y es igual a 2b.

1

120

Sea ( x, y ) un punto de la hipérbola, F´( 0, - c ) y F ( 0, c ) ( véase figura 6)

Y

PF´ - PF = 2b ; P F PF´= 2b + PF ; ( 1 ) V B

PF´= x2 + ( y + c ) 2 ;

PF = x2 + ( y - c ) 2 ; X´ O X B´ V’ valores que sustituidos en ( 1 ) dan : F´

x2 + ( y + c ) 2 = 2b + x2 + ( y - c ) 2 Elévese al cuadrado y redúzcase : Y´

4cy - 4b2 = 4b x 2+ ( y - c ) 2 ,

cy - b2 = b x2 + ( y - c ) 2 Figura 6

Elévese al cuadrado y redúzcase :

( c 2 - b 2 ) y 2 - b 2 x 2 = b 2 ( c 2 - b 2 )

Sustitúyase ( c 2 - b 2 ) por a 2 Dividiendo ambos miembros entre a 2 b 2 , se obtiene :

y2 x2 1 b2 a2

Multiplicando en ( 2 ) y ( 3 ) por - 1, resulta :

b2 x2 - a2 y2 = - a2 b2 ; x2 y2 - 1 a2 b2

3o. Los ejes de simetría son paralelos a los ejes coordenados.

Sea P ( x, y ) un punto móvil de la hipérbola, Y

C ( 3, 2 ) su centro, F´( - 1, 2 ) y F ( 7, 2 ) P ( x, y ) los focos, con 2a = 4 . Figura 7 , se tiene : PF´ - PF = 4 ; C PF´ = 4 + PF ; ( 1 ) F´ V´ V P F

PF´ = ( x + 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 X´ O X

PF = ( x - 7 ) 2 + ( y - 2 ) 2

Y´ Figura 7

121

de donde sustituyendo en ( 1 ) :

( x + 1 ) 2 + (y - 2 ) 2 = 4 + ( x - 7 ) 2 + ( y - 2 ) 2

Elévese al cuadrado y redúzcase :

16x - 64 = 8 ( x - 7 ) 2 + ( y - 2 ) 2 , 2x - 8 = ( x - 7 ) 2 + ( y - 2 ) 2

Elévese al cuadrado y redúzcase ; se obtiene, sucesivamente :

3x2 - 18x - ( y - 2 ) 2 = - 15 , 3 ( x2 - 6x ) - ( y - 2 ) 2 = - 15 Agréguese 9 al binomio x2 - 6x para convertirlo en trinomio cuadrado perfecto. Esto equivale a sumar ( 3 ) ( 9 ) = 27 al primer miembro. Añadiendo también 27 al segundo miembro, se obtiene :

3 (x - 3 ) 2 - ( y - 2 ) 2 = - 15 + 27 = 12 ;

dividiendo entre 12 : ( x - 3 ) 2 ( y - 2 )2 1. 4 12

Observaciones :

1a) Las hipérbolas consideradas en el primer y segundo casos se llaman

hipérbolas conjugadas. Dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje focal o real de la

primera es el eje no focal de la segunda, y viceversa.

Observando las ecuaciones de las dos curvas, se nota que los primeros miembros son

iguales, y los segundos son simétricos.

2a) Si los diámetros principales de una hipérbola son iguales, o sea, si b = a, la curva se

llama hipérbola equilátera, y su ecuación es :

x2 - y2 = a2 .

3a) En la ecuación obtenida en tercer caso, el segundo denominador es b2 . En efecto, b2

= c2 - a2 = 16 - 4 = 12. Además, los segundos términos de los binomios, - 3 y - 2, son las

coordenadas del centro, con signos cambiados. Si se conviene, para generalizar, en

designar por ( h, k ) las coordenadas del centro, la ecuación de toda hipérbola cuyo eje

focal es paralelo a X´X, es la de la forma :

( x - h ) 2 ( y - k ) 2 1 a2 b2

122

4a) En forma análoga se obtendría :

( y - k ) 2 (x -h ) 2 1 a2 b2

como ecuación de toda hipérbola de eje focal paralelo a Y´Y y centro en el punto C ( h,

k )

1.6.2.2 LAS VARIABLES EN LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

Por los resultados obtenidos, se ve que la ecuación de una hipérbola cuyos ejes de simetría coinciden con los ejes coordenados, o les son paralelos ; solo

figuran dos términos cuadráticos : los cuadrados de las variables x y y, con coeficientes desiguales y de signos contrarios.

1.6.2.3 ANCHO FOCAL Llámese ancho focal de una hipérbola la cuerda trazada por uno de los focos, perpendicularmente al eje focal.

Si el centro está en O y el eje focal coincide con X´X, el ancho focal es el duplo de la ordenada que pasa por el foco, y su valor es 2b2 . Este mismo valor el ancho focal de a una hipérbola cuyo eje real es paralelo a X´X.

Si el centro está en O y el eje focal coincide con Y´Y , el ancho focal es el duplo de la abscisa que pasa por el foco, y entonces su valor es 2a2 . Igual valor tiene el ancho focal b de una hipérbola de eje real paralelo a Y´Y.

1.6.2.4 EXCENTRICIDAD Como en la elipse la excentricidad de una hipérbola es el cociente de la distancia focal entre el eje focal, y se designa por e ; luego :

e 2c c ; o bien e 2c c , 2a a 2b b según que el eje focal coincida o sea paralelo a X´X o a YÝ.

123

12

2

2

2

b

Y

a

X

1.6.2.5 ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA Asíntota.- Si la distancia de un punto de una curva a una recta tiende a cero a medida que dicho punto se aleja indefinidamente de cierto punto fijo, esa recta se llama Asíntota de la Curva. Asíntotas de la Hipérbola.- Si la ecuación de una hipérbola es: las ecuaciones de las asíntotas serán:

Xa

bY

1.6.2.6 CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE UNA HIPÉRBOLA. Conocida la ecuación de una hipérbola, determinar a, b, c, e.

Ejemplos :

1o) Sea la ecuación 6x2 - 8y2 + 12x + 32y - 74 = 0

Agrúpense los términos en x y los términos en y :

6 ( x2 + 2x ) - 8 (y2 - 4y ) = 74

Agréguese, en cada paréntesis, el cuadrado de la mitad del coeficiente del primer grado de la variable, y restablézcase la igualdad :

6 ( x2 + 2x + 1 ) - 8 ( y2 - 4y + 4 ) = 74 + 6 - 32 = 48

6 ( x + 1 ) 2 - 8 ( y - 2 )2 = 48,

( x + 1 ) 2 ( y - 2 )2 1,

8 6 ecuación de una hipérbola cuyo eje focal es paralelo a X´X , porque el segundo miembro es positivo. De donde, los elementos de la hipérbola son :

semieje focal : a = 2 2 ;

124

1.130.866x- Yy 866.2866.0

)1(22

62y )1(

22

62

XY

XYXY

semieje no focal : b = 6 ;

semidistancia focal c = 8 + 6 = 14 ; ancho focal 2b 2 12 6

a 2 2 2

excentricidad : e = 14 7

8 2

C ( - 1, 2 ) , F ( -1 14, 2 )

Asíntotas:

GRAFICA: 2o) Sea la ecuación : 16x2 - 9y2 + 64x+ 54y+ 127 = 0. Procediendo en forma análoga a la del caso anterior, se obtiene sucesivamente : 16 (x2 + 4x + 4 ) - 9 ( y2 - 6y + 9 ) = - 127 + 64 - 81 = - 144, 16 ( x + 2 ) 2 - 9 ( y - 3 ) 2 = - 144,

( x + 2 ) 2 ( y - 3 ) 2 1, 9 16 hipérbola cuyo eje focal es paralelo a Y´Y porque el 2o miembro es negativo. Por tanto, se tiene : semieje focal : b = 4 ; ancho focal : 2a2 18 9 ; b 4 2

125

1/3(-4/3)X Y 17/3(4/3)X Y

2)(-4/3)(X3-Y y )2)(3/4(3

XY

semieje no focal : a = 3 ; excentricidad : e = 5 ; 4

semidistancia focal : c = 16 + 9 = 5 ; C ( - 2, 3 ), F ( - 2, 3 5 ) . Asíntotas: GRÁFICA:

126

12

2

2

2

b

Y

a

X

60

600,3

600,3

400,6000,10

)80()100(

100

80

1602

2

2

222

222

b

b

b

b

b

c

acb

a

a

5.15577.177,24

77.177,24)600,3

000,101(400,6

:

1600,3

000,10

6400

X :entonces 100,Y

1600,3400,6

2 1

)60()80(

}

2

2

22

2

2

X

X

Despejando

Si

YXYX

doSustituyen

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA. I) LOCALIZACIÓN DE UN BARCO Un barco navega por una ruta a 100 millas de la costa, en dirección paralela a ella. El barco manda una señal de auxilio, que reciben dos estaciones guardacostas A y B, a 200 millas de distancia entre si, como se ve en la figura siguiente. A partir de las diferencias entre tiempos de recepción de la señal, se calcula que la nave está 160 millas más cerca de B que de A. ¿Dónde está la embarcación? SOLUCIÓN: 100 millas A B 200 millas POR DEFINICIÓN DE LA HIPÉRBOLA

millasadd 160221 ( 1.6.2.1)

Utilizando la fórmula para la ecuación d Luego entonces, el barco se encuentra en: (155.5, 200) II) PARTICULAS SUBATÓMICAS En 1911, el físico Ernest Rutherford (1871 – 1937) descubrió que si se disparan partículas alfa hacia el núcleo del átomo, a veces son repelidas y se alejan del núcleo, siguiendo trayectorias hiperbólicas. La figura muestra la trayectoria de una partícula que va hacia el

127

XXa

bY

2

1

ordinaria) (forma 125.29

X decir es 1

5.13

22

2

2

2

2

YYX

general) (forma 094 22 YX

origen por la recta Y = (1/2)X, y llega a 3 unidades del núcleo. Deduce la ecuación de esa trayectoria.

SOLUCIÓN Si nos fijamos bien, lo que se pide es la ecuación de la hipérbola, pero como: Entonces: a=2 y b=1 Pero de acuerdo al problema visto en la gráfica a=3, entonces : a= (2)(1.5) =3, y b= (1)(1.5) = 1.5

entonces de acuerdo a la ecuación de la hipérbola, nos quedaría: o bien, si multiplicamos toda la ecuación por 9, nos quedaría: Una vez que ya has analizado todos los elementos y las distintas formas de la ecuación de una hipérbola, podrás realizar :

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelve los siguientes problemas, auxíliate en caso de duda con la bibliografía que se te dará después.

1. Dibuja la hipérbola cuyos focos son F´ ( - 2, 0 ) , F ( 2, 0 ) y el eje focal = 3. Obtén, sin aplicar fórmulas, las ecuaciones de las hipérbolas siguientes : 2. 2b = 4 F´( 0,- 3 ) ; F ( 0, 3 ) 3. 2b = 5 2c = 7, c ( 3, - 2 ) , focos en una paralela de Y´Y. 4. El semieje focal es 4 y la curva pasa por P ( 6, 4 ) 5. La hipérbola es equilátera y pasa por el punto P ( 3, - 1 ).

128

6. ¿ Hay puntos de la hipérbola b2x2 - a2 y2 = a2b2 que tengan abscisa y ordenada iguales. En las siguientes hipérbolas, halla el centro, los vértices principales, los focos, la excentricidad y el ancho focal. 7. x2 - 3y2 - 2x - 6y + 7 = 0 8. 4x2- 3y2- 8x + 12y+ 28 = 0 Una vez que has practicado los ejercicios anteriores, te invitamos a contestar la:

AUTOEVALUACIÓN. Resuelve los siguientes ejercicios y compáralos con las respuestas correctas que se te proporcionan..

Encuentra las coordenadas de los vértices y de los focos de las siguientes hipérbolas. 1. 25x 2- 9y2- 225 = 0 2. - 4x 2 + y 2 = 16 3. x2 - y2 = 1 81 9 4. y2 - x2 = 1 5 3 Estas a punto de terminar esta unidad, si aún no logras tu aprendizaje te invitamos a resolver : ACTIVIDADES REMEDIALES. Encuentra en cada caso la ecuación de la hipérbola con los datos dados. 1. Focos F´( - 5, 10 ) , F ( 5, 0 ) ; la distancia entre sus vértices es 4. 2. Vértices V´( - 4, 0 ) , V ( 4, 0 ) ; distancia focal 10 3. Focos F´( 0, - 6 ) , F ( 0, 6 ) ; vértices V´( 0, -3 ) , V ( 0, 3 ) 4. Vértice V ( 0, -1 ) , centro C ( 0, 0 ) ; excentricidad 5 . 5. Focos F´ 0, - 1 , F 0, 1 excentricidad 6 . 2 2 5 ¡ Muy bien ! te felicito ya aprendiste a analizar, estamos seguros que esto te servirá para la siguiente unidad, nos vemos adiós.

129

BIBLIOGRAFÍA 1. HARCOURT, B. Jovanovich Geometría Analítica Teoría y Práctica Ed. Sitera 1990 2. LEITHOLD Matemáticas previas al Cálculo Ed. Harla México 1990 3. OTEYSA, Osnaya, Gómez, Geometría Analítica Ortega, Ramirez Flores y Hernandez García. Ed. Mc. Graw Hill 1990 4. FULLER,G. Y TARWATER, D. Geometría Analítica Addison – Wesley Iberoamericana 1995 7ª. Edición. Edición en Español. U.S.A. 5. SWOKOWSKI, Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica COLE, Jeffery A. 1996 Grupo Editorial Iberoamérica S.A. de C.V. 8ª.Edición en Inglés, 3ª. Edición en Español. U.S.A. 6 SEP / SEMS / DGETA JOSE MARIA IBARRARAN No. 804 “Antología módulo 9 Analisis . . . Mátematico° COL. SAN JOSE INSURGENTES SUR. 06720, MÉXICO, D.F. TEL. 01 5 328 10 00 y 01 5 328 10 97