Laboratorio No 2: Vibraciones y Ondas 2015-1

Movimiento Armonico Simple en un penduloSimple harmonic motion in a pendulum

Diego Felipe Guzman a Daniela Garzon b, Karen Martınez c, Jhon Medina d, Laura Sarmiento e,Luis Leon f .a20111135047.b20121135102.c20111135044.d20111135045.e20101135074.f20121135010.

18 de marzo de 2015.

Resumen

El pendulo simple es un sistema fısico (con ciertas caracterısticas que lo hacen un sistema ideal) quepermite analizar y comprender diversidad de situaciones de mayor complejidad y con una gran presicion .A partir de su aparente simpleza, es posible aterrizar problemas que se puedan modelar y asemejar a estesistema, de ello la importancia de comprender y apropiarse de las herramientas y posibles soluciones quepueda brindar el pendulo simple.

Palabras Claves: Pendulo simple, perıodo de oscilacion, masa del objeto, longitud de la barra, angulo deinclinacion

Abstract

The simple pendulum is a physical system (with certain characteristics that make it an ideal system ) toanalyze and understand diverse situations of greater complexity and great presicion . From its apparentsimplicity , it is possible to land problems that can be modeled and resemble this system, it ’s importantto understand and appropriate the tools and solutions that can provide the simple pendulum .

Keywords: Simple pendulum , oscillation period , mass of the object , rod length , angle of inclination.

c©2009. Revista Colombiana de FAsica. Todos los derechos reservados.

1. Introduccion

En contraste a un pendulo simple, donde la masa delobjeto que oscila se encuentra concentrada en un pun-to. Un pendulo fısico puede no cumplir con esta carac-terıstica. Por tanto, se puede definir el pendulo fısicocomo un objeto de forma arbitraria que oscila alrededorde un eje fijo. A pesar de la diferencias que existe entre

un sistema ideal (pendulo simple) y uno ‘real‘, es posi-ble, como se dijo anteriormente, comprender el pendu-lo fısico a partir de la analogıa con el pendulo simple.Para este caso en particular se busca profundizar en larelacion que existe entre el periodo de oscilacion de unpendulo fısico, con tres cantidades fısicas. A partir deesta base, se generan los siguientes objetivos.

Determinar la relacion enbtre la masa del objeto que

Vibraciones y Ondas 2015-1.

cuelga de la barra, con el perıodo de oscilacion.Determinar la relacion entre el angulo de inclinaciony el perıodo.Determinar la relacion entre la longitud de la tablacon el perıodo

2. Marco Teorico

La figura muestra un cuerpo de forma irregular quepuede girar sin friccion alrededor de un eje que pasa porel punto O. En la posicion de equilibrio, el centro degravedad esta directamente abajo del pivote; en la po-sicion mostrada en la figura, el cuerpo esta desplazadodel equilibrio un angulo u que usamos como coordena-da para el sistema. La distancia de O al centro de gra-vedad es d, el momento de inercia del cuerpo alrededordel eje de rotacion es I y la masa total es m. Cuando elcuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causaun torque de restitucion.

Figura 1. Representacion grafica del pendulo fısico

Tz = −mg(dsen(x)) (1)

El signo negativo significa que el torque es en senti-do horario. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de suposicion de equilibrio. El movimien- to no es armonicosimple porque la torca Tz es proporcional a sen x, noa x. No obstante, si x es pequeno, podemos aproximarsen x con x en radianes, tal como se hizo al analizarel pendulo simple. De esta manera, el movimiento esaproximadamente ar- monico simple. Con esta aproxi-macion:

Tz = −mg(d(x)) (2)

−mgdx = Ia = Id2x

dt2(3)

d2x

dt2=

−mgdxI

(4)

De la ultima relacion se deduce que la frecuencia an-gular para un pendulo fısico es:

ω =

√mgd

I(5)

Conociendo la expresion de la frecuencia angular esposible hallar el periodo T del pendulo fisico

T = 2π

√I

mgd(6)

3. Desarrollo experimental

Paso 1. Recepcion del material:Para comenzar sepide el material, percatandose de que todo este en con-diciones optimas para el desarrollo del experimento, cu-yos materiales usados fueron:

Dos cronometros, con mınima medicion en msmilesimas de segundo.Tabla delgada con perforaciones.Un soporte universal.GoniometroUn set de cilindros (masas).Una regla, escalada en centımetros, con con mınimaunidad de 1.0 mm.Paso2. Montaje experimental: Para trabajar el

pendulo fısico, se opta por elegir una tabla de maderacon las siguientes dimensiones: 46 cm de largo, 5cm deancho y 1 cm de profundidad.La variacion de la longitud (para observar la relacionentre el perıodo de oscilacion respecto a una distanciadel eje de giro) se hace a partir de la perforacion deunos orifios equidistantes unos a otros. Luego de tenerel pendulo, se cuelga al soporte universal y se ubica elgoniometro de forma tal que sea sencillo medir el an-gulo desde el que se dejara oscilar el sistema. Como sedijo anteriormente, habran tres situaciones en las que seanalizara la dependencia del perıodo.

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Pendulo fısico

Figura 2. Representacion del montaje realizado en el laboratorio

Paso 3. Medicion primera situacion: Se tienen seislongitudes diferentes, con un angulo y una masa fijos. Apartir de estas condiciones se mide el tiempo que tardael pendulo en completar cierto numero de oscilaciones.

Para este caso particular la distancia entre el centro deun orificio al centro de otro es de 5 cm aproximada-mente. La cantidad de orificios depende de la cantidadde longitudes que se desee tomar, para este caso se co-mienza desde los 18 cm (distancia entre la masa y eleje de giro), incrementando cada 5 cm hasta alcanzar43 cm.

Tabla 1. Indicadores de la variacion de lalongitud de la tabla con una masa fija de 0,220

kg y un angulo de 20

Longitud (m) ±1x10−3 tpromedio (s) T (s)

0,18 4,47 0,89

0,23 4,67 0,93

0,28 4,96 0,99

0,33 5,22 1,04

0,38 5,38 1,13

0,43 5,64 1,13

Paso 4. Medicion segunda situacion:Se tienen seismasas diferentes, con angulo y longitud fijos. A par-tir de estas condiciones se mide el tiempo que tarda elpendulo en completar cierto numero de oscilaciones.Para este caso, la masa inicial es de 0,050 Kg, con in-crementos de 0,050 kg hasta llegar a 0,300 kg

Tabla 2.Indicadores de la variacıon de las masascon una longitud fija de 0,43 m y un angulo fijo

de 20

Masa (kg) tprom(s) T (s)

0,050 5,39 1,08

0,100 5,58 1,12

0,150 5,56 1,11

0,200 5,70 1,14

0,250 5,59 1,12

0,300 5,72 1,14

Paso 5. Medicion tercera situacion:Se tienen seisangulos, con masa y logitud fijas. Como en los casosanteriores, se mide el tiempo que tarda el pendulo encompletar un numero determinado de oscilaciones. Lamedida de los angulos inicia con 5◦, con incrementosde 10◦.

Tabla 3. Indicadores de la variacion del angulocon una longitud fija de 0,43 m y una masa fija

de 0,220 kg

Angulo tprom(s) T (s)

5 5,56 1,11

15 5,62 1,12

25 5,65 1,13

35 5,71 1,14

45 5,78 1,16

55 6,05 1,21

Figura 3. Grafica 1:Perıodo en funcion de la variacion de la longitud

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Vibraciones y Ondas 2015-1.

Figura 4. Grafica 2: Perıodo vs masa del cuerpo.

Figura 5. Grafica 3: Perıodo en funcion de la variacion del angulo.

4. Analisis de resultados

La grafica (1) refleja una relacion directa entre am-bas magnitudes: a medida que aumenta la longitud deun pendulo, el tiempo que tarda en hacer una oscilaciontambien aumenta.

Los picos que muestra la grafica (2) se presume soncausados por la inercia que gana la masa que cuelda del

pendulo, es decir, al realizar el experimento de colgardiferentes masas y poner el sistema a oscilar, cuando elcentro de masa llegaba a su maxima amplitud, la velo-cidad deberia ser cero pero la incercia que lleva el sis-tema hace que la masa que cuelga del pendulo siga unrecorrido mayor que la amplitud maxima.

El analisis matematico muestra que el perıodo de-berıa ser inverso a lsenθ, sin embargo, lo que refleja losdatos es una relacion proporcional entre el perıodo y elangulo de oscilacion.

5. Conclusiones

En vista de los resultados obtenidos se puede con-cluir que:

A medida que aumenta la longitud del pendulo, elperiodo tambien aumenta, esto se puede concluir de-bido a que el momento de inercia depende de la lon-gitud, como se puede ver en la ecuacion (6).Cuando se trabaja con la variacion de las masas enun pendulo fısico se debe tener en cuenta que si sepierde la proporcionalidad de las masas, este perderasu caracteritica principal que es la representacion deun movimiento armonico simple, por la fuerza gra-vitacional.Se cree haber tenido una falla en el montaje experi-mental ya que para el pendulo fısico la variacion dela masa debe ser homogenea, en este caso particular,no se garantizo dicha condicion.

6. Bibliografıa

SERWAY, Raymond A. Fısica: Tomo I, Mexico, Mc-Graw Hill Interamericana Editores, 2001, p.361-369.

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