FUNCIONES

Dados dos conjuntos A y B, llamaremos función de A en B, a toda relación que haga

corresponder a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B.

Al conjunto A lo llamaremos Dominio y al conjunto B lo llamaremos Codominio.

Dominio: Llamaremos dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la

variable independiente, comúnmente representada con la letra .

Codominio: Son los valores que puede tomar la función.

Recorrido o conjunto imagen: este conjunto está incluido dentro del codominio, pudiendo

coincidir incluso con él. Es el conjunto de valores que efectivamente toma la función.

Observa las siguientes relaciones entre los conjuntos.

es función No es función No es función es función

Cada valor del dominio tiene una única imagen en la función por lo tanto se puede

establecer esta relación como un conjunto de pares ordenados lo que

permite su representación gráfica mediante un sistema de ejes cartesianos.

Algunos ejemplos de funciones reales conocidas:

a

b c

1

2

a

b

1 2

3

a

b

c

1

2

a

b

c

1

2

3

Problemas de existencia de las funciones reales.

Algunas funciones presentan ciertos problemas de existencia, dada su propia

naturaleza o por las operaciones que estas involucran. Veremos a continuación

algunos casos conocidos.

Función racional:

La función racional se define como el cociente de dos polinomios por lo tanto la

existencia de esta función está acotada por la existencia de la división.

Por lo tanto

Función irracional:

Las raíces de índice par presentan restricciones para los números negativos, es decir:

Por lo tanto

Función logarítmica:

Consideremos la función logarítmica de base real positiva y diferente de 1.

Por lo tanto la función existe si . Entonces su dominio es:

Ejemplo:

Función inyectiva:

Diremos que es inyectiva si se cumple que: dados dos elementos

A elementos iguales, imágenes iguales

dicho de otra manera…

A elementos distintos, imágenes distintas

Gráficamente se puede observar si una función es inyectiva o no, si existe una recta paralela al

eje de abscisas que corte al gráfico de en más de un punto, la función no es inyectiva, ya que

existen más de un valor del dominio con la misma imagen.

-

Consideremos la función y dos puntos de

su dominio.

Por lo tanto a valores diferentes de tenemos el

mismo valor de , no es inyectiva.

Gráficamente se puede ver como la recta de

ecuación: corta al gráfico de la función en 2

puntos

Función sobreyectiva:

Una función es sobreyectiva cuando el recorrido de la misma coincide con el codominio. Es decir que:

Gráficamente se puede observar que siempre que se trace una recta horizontal por los valores del

codominio, esta cortará al gráfico de la función.

Función Biyectiva:

Si una función es inyectiva y sobreyectiva diremos que es biyectiva.

Esto quiere decir que todo elemento del codominio es imagen de uno y solamente un elemento del

dominio.

Las funciones biyectivas tienen inversa y lo veremos a continuación.

Función inversa:

Dada la función de modo que es biyectiva, tal que:

Se cumple que:

Gráficamente se puede observar que los bosquejos gráficos de son simétricos

respecto de la recta de ecuación .

Veamos un ejemplo:

Si consideramos la función

Primero debemos hallar la inversa de , teniendo en cuenta que:

entonces:

y=x

Límite de una función.

Idea intuitiva de límite:

Cuando decimos que el límite de , cuando (el valor de x tiende al valor de a), es un

número real ; hablamos de cercanía entre puntos. Como sabemos, el conjunto de los

números reales es denso y entre dos valores reales podemos encontrar infinitos valores más.

Esto permite que podamos “acercarnos” a un valor tanto como deseemos.

Veamos un ejemplo:

1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 2,8 2,98 2,998 2,9998 2,99998

Se lee, limite de f(x), cuando x tiende a 2 es igual a 3 y significa:

Cuando “tiende” a 2, “tiende” a 3

Definición:

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a será si y solo sí para todo ε > 0 existe un

δ > 0 ( son números reales, tan pequeños como se desee) tal que para todo número real x

tal que si se cumple que

Propiedades de los límites:

Existencia del límite:

Límites laterales

Cuando la variable se acerca al valor de por valores mayores, se lee

Cuando la variable se acerca al valor de por valores menores, se lee

Para que exista el límite en se debe cumplir que:

Es decir que deben existir los límites laterales y además coincidir.

Ejemplo:

Calcular, si es que existe, siendo

Como se puede observar los límites laterales coinciden, por lo tanto podemos afirmar que

existe el límite cuando x tiende a 1 y ese límite vale 2

Gráficamente se puede observar:

Límite infinito

Límites laterales infinitos

Esto quiere decir que cuando se acerca al valor de , por valores menores, la función toma

valores tan grandes como se desee.

1

2

x

y

Esto quiere decir que cuando se acerca al valor de , por valores mayores, la función toma

valores tan grandes como se desee.

En todos los casos anteriores, la recta de ecuación es asíntota vertical del gráfico de la

función. (Es decir que el bosquejo gráfico de “se va pegando” sin llegar a tocar a dicha

recta)

Límite de una función cuando

Es decir que cuando toma valores muy grandes, la función se acerca al valor de .

Es decir que cuando toma valores muy grandes (negativos), la función se acerca al valor de .

Límites infinitos

Es decir que cuando toma valores muy grandes, la función toma valores muy grandes

también. ( )

Operaciones con límites

Si:

Se cumple:

Si:

Se cumple:

Si:

Se cumple:

Si:

Se cumple:

Indeterminaciones

Hay ocasiones en las que con solo conocer los límites de las funciones involucradas en

ciertas operaciones no alcanza para poder asignar un resultado a simple observación.

En estos casos se entiende que el límite es indeterminado y requiere realizar una

investigación más profunda para llegar al valor del límite.

Estos casos de indeterminaciones son:

Ejemplos:

Dadas las funciones:

Cada indeterminación se levantará estudiando cada caso en forma particular. Veamos

un ejemplo de indeterminación de la forma en el cociente de dos polinomios.

El límite del cociente es indeterminado de la forma para levantar dicha

indeterminación vamos a factorizar dichas expresiones, buscando escribir el cociente

de otra manera.

Factorizando cada polinomio se puede eliminar el factor , que tienen en

común, de esta forma se levanta la indeterminación. Esto es posible dado que

por lo tanto .

Comparación de infinitos

Ordenes de infinitos

No todas las funciones tienden de la misma manera al infinito, cada una tiene una

“velocidad” de tendencia característica, esto permite comparar esa rapidez con la que

aumentan y establecer la siguiente relación que permitirá resolver los casos de

indeterminación .

Función: Logarítmica Potencial Exponencial Potencial-Exponencial Ejemplo:

Dadas dos funciones , de las cuales se sabe que:

Comportamiento de la función cuando

+n

Continuidad.

La idea de continuidad puede comprenderse intuitivamente en que se puede realizar el

trazado del gráfico de la función sin la necesidad de levantar el lápiz del papel, sin

embargo este es un comportamiento puntual y veremos su definición.

Esto quiere decir que para que la función sea continua en ,

Veamos algunos ejemplos…

Ejemplo:

Consideremos la función f, definida por intervalos.

En cada uno de sus intervalos la función es continua, debemos estudiar su continuidad

en el punto de cambio de intervalo, es decir en x=2

Para que f sea continua en x=2 se debe cumplir que:

Gráficamente se puede observar:

Investiga si la función

es continua en

Halla el valor de para que la función

sea continua en .

Continuidad en un intervalo

f es continua en un intervalo (finito o infinito) de numero reales, si es continua en todos

y cada uno de los puntos del intervalo.

Teorema de Weierstrass

Es decir que si f es continua en el intervalo [a, b], tiene máximo y mínimo absoluto en

dicho intervalo.

Teorema de Bolzano

Si f es continua en un intervalo cerrado, y en sus extremos toma valores de distinto

signo, entonces en al menos una oportunidad cortará al eje de abscisas.

Teorema de Darboux (valor intermedio)

Si f es continua en [a; b] entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b)

Derivada de una función en un punto

Tasa de variación media

Ejemplo:

Consideremos la función en el intervalo

Derivada

Llamaremos tasa de variación media al

cociente entre la variación de f y x en el

intervalo [a, b]

Este cociente es la pendiente de la recta

Si consideramos fijo el punto y

hacemos variar el valor de , veremos

que a medida que y

la recta será tangente al

gráfico de en el punto y su

pendiente será:

Una función para ser derivable en , necesariamente debe ser continua

Ejemplos:

Dada la función hallar la derivada en

La ecuación de la tangente al gráfico de en el punto es:

La ecuación de la tangente al gráfico de en el punto es:

Crecimiento de la función en un punto.

Como ya vimos anteriormente, la derivada de la función en un punto es la pendiente

de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto. Por lo tanto se puede relacionar al

valor de la pendiente con el crecimiento (o decrecimiento) de la función en dicho punto.

En conclusión:

Los puntos críticos

Clasificación de extremos relativos

Si se cumple que para valores de muy cercanos al valor de a, entonces f tiene en

un máximo relativo

Si se cumple que para valores de muy cercanos al valor de a, entonces f tiene en

un mínimo relativo

Función derivada

La función derivada es una función que asocia a cada número real del dominio de , su

derivada, y esta se escribe como

Se define como:

Veamos un ejemplo:

Operaciones con funciones derivables

´

´

´

Tabla de derivabas de algunas funciones elementales

0

1

Crecimiento y clasificación de extremos:

Veamos un ejemplo:

Consideremos la función

Hallamos primero la derivada de

Igualamos

Realizamos estudio de signo de

podemos concluir que f decrece para valores

menores a 2, crece para valores mayores a 2 y presenta en un mínimo relativo.

Las coordenadas del mínimo son

Veamos otro caso:

Hallamos

Resolvemos