FUNCIONES

FUNCIÓN Definición:

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como: f: A B x f(x) = y

Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

FUNCIÓN Conceptos:

Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f.

Rango : es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (Y), y se denota

Ran f. Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable

independiente, también aumenta la variable dependiente.

Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.

FUNCIÓN

Conceptos Fundamentales:

Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.

f(x)

A Bf

a

x

b = f(a)

f(x)

Conceptos Fundamentales: La variable x corresponde a la variable independiente y

la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.

A Bf

a

x

b = f(a)

f(x)

FUNCIÓN

o Conceptos Fundamentales

Se dirá: f : A B b € B es la imagen de a € A bajo la función f y se denota

por b= f(a)

Dom f =A Si (x, y) € f ^ (x, z) € f y = z (Unívoca)

Toda función es relación, pero no toda relación es función.

FUNCIÓN

Rango o Recorrido de f:Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f.

1234567

Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.

abcde

1234567

A Bf

FUNCIÓN

Luego para la función f denotada:

Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e} Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,

7} Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}

abcde

1234567

A Bf

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

CLASIFICACIÓN a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de

A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B.

Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B.

Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A

abcd

12345

A Bf

b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido.

abcd

1

2

A Bf

c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A.

abc

123

A Bf

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es B

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es D

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es E

I. FUNCIÓN LINEAL

Es de la forma f(x) = mx + n

con m : Pendiente

n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición).

Ejemplo:

La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.

I. FUNCIÓN LINEAL Análisis de la Pendiente

Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.

• Si m < 0, entonces la función es decreciente.• Si m = 0, entonces la función es constante.• Si m > 0, entonces la función es creciente.

I. FUNCIÓN LINEAL

I) II)

X

Y

n

m > 0n > 0

X

Y

n m < 0n > 0

X

Y

n

m > 0n < 0

X

Y

n

m < 0n < 0

III) IV)

I. FUNCIÓN LINEAL Tipos de funciones especiales:

a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es:

1

2

f(x)

x1 2-1

-1

I. FUNCIÓN LINEAL Tipos de funciones especiales:

b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es:

f(x)

x

●c

con c > 0

f(x)

x

●c

con c < 0

I. FUNCIÓN LINEAL Propiedades:

El dominio de la función lineal son todos los números IR.

Las rectas que tienen la misma m serán paralelas.

Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.

I. FUNCIÓN LINEAL Evaluación de una función lineal:

Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función.

Ejemplo

La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es:

f(x) = 0.8x + 250 con x: cantidad de metros recorridos

f(x): costo en pesos

3 km = 3000 m

Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es:

f(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650

Por 3 kilómetros se pagan $2650.

I. FUNCIÓN LINEAL

Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación:

2250 = 0.8x + 250 / -250

2000 = 0.8x / :0.8

2500 = x

Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.

I. FUNCIÓN LINEAL Construcción de una Función Lineal conocidos valores

de ella:

Para construir una función lineal se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la función, es decir:(x , f(x )) y (x , f(x ))O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan:(x , y ) y (x , y )

Donde la función buscada será:

1 1 2 2

1 1 2 2

1121 x2 -

x12 1

y – y 1= y2 - y 1 (x – x 1 )

I. FUNCIÓN LINEAL Ejemplo

Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a 212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF como función lineal de los ºC?

Solución:Se tiene la siguiente información:

y

Cº : variable independiente (x)ºF : variable dependiente (y)

(0, 32)

(100, 212)

x y1 1

x y

22

I. FUNCIÓN LINEAL

Reemplazando en:

Se tiene:

Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es.

1121

x - x2 1

y – y = y - y (x – x )

y – 32 = 212 – 32 (x – 0)100 – 0

y – 32 = 180 . x100

y = 1.8· x + 32

f(x) = 1.8· x + 32

I. FUNCIÓN LINEALSe le llama crecimiento aritmético a la progresión

cuyos términos aumentan en una misma cantidad constante llamada diferencia. Este crecimiento aritmético gráficamente está representado por una recta con pendiente positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un decrecimiento aritmético.

Ejemplo:f (x) = 2x + 1f (0) = 2· 0 + 1 = 1

f (1) = 2· 1 + 1 = 3

f (2) = 2· 2 + 1 = 5

f (3) = 2· 3 + 1 = 7

+2

+2

+2

I. FUNCIÓN LINEAL Gráficamente

1 2

3

5

1

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Son de la forma:

Gráfica:Siempre es una parábola, dependiendo

su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c.

f(x) = ax² + bx + c

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Concavidad:

El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.

x

y

0 x0

y

a > 0, Abierta hacia arriba

a < 0, Abierta hacia abajo

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Eje de simetría y vértice:

El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola.

El vértice está dado por:

Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 2a 2a 2a 4a

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría.-b 2a

_ b² - 4ac 4a

x

y

·

-b 2a

x0

y

·_ b² - 4ac 4a

-b 2a

a > 0 a < 0

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con los ejes

Intersección con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)

0

c·

y

x

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con el eje X

para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática.

Se define el discriminante como:

D = b² - 4ac

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.

0 ·

Y

X

a > 0

(x = x , 0)

1 2

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X

0 ·

Y

X

a > 0

·

(x ,0) y (x , 0)1 2

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.

0

Y

X

a > 0

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado

Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general.

Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:

x = -b ±√b²- 4ac 2a

x = -b ±√b²- 4ac 2a

1

x = -b ±√b²- 4ac 2a

2

Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f(x) = ax² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas (x ,0) y (x , 0)

1 2

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Tipos de soluciones

Dependen del valor del Discriminante

a) Si D = 0, 2 soluciones reales iguales

b) Si D > 0, 2 soluciones reales distintas (x y x € C, con x ≠ x )

c) Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas (x y x € C, con x ≠ x )

D = b² - 4ac

(x = y)1 1

1 12 2

1 12 2

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Ejemplo:

Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación?

Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por

En este caso a = 1 b = 2 c = -15Luego,

Luego,

x = 3 x = -5

x = -b ±√b²- 4ac 2a

x = -2 ±√2²- 4·1·(-15) 2·1x = -2 ±√4- 60 2x = -2 ±√64 2x = -2 ±8 2

x = -2 + 8 2

1x = -2 - 8 2

2

1 2

III. FUNCIÓN PARTE ENTERA Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y

se designa por [x]. Ésta se escribe:

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir:

Ejemplos:

[2,9] = 2 ;[-7/2] = -4 ;[5] = 5 ;[√2] = 1

f(x) = [x]

[x] ≤ x < [x+1]

Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.

III. FUNCIÓN PARTE ENTERA

Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[ con n € Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos

IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número x € IR, denotado por |x|, es

siempre un número real no negativo que se define:

Ejemplo:

|-3| = 3 |12| = 12 |-18| = 18 |-5,3| = 5,3

f(x) = |x| =

x si x ≥ 0

-x si x < 0

Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número |x| se llama distancia de x al origen.

IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO a indica el punto de traslación en el eje de las

coordenadas.

IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.

IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Propiedades:

a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ x a; con a ≥ 0

b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a

c. |xy| = |x| · |y|

d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues,

cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.

IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Ejercicios:

Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación:

a. |x – 3| ≤ 2

Aplicando la primera propiedad:

-2 ≤ x – 3 ≤ 2 -2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3

1 ≤ x ≤ 5 x € [1, 5]

IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La Respuesta correcta es B

IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La Respuesta correcta es D

V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Es la función inversa del logaritmo natural y se denota

equivalentemente como: x e^x o x exp(x)

La función exponencial f con base a se define como

f(x) = a Si a > 0 ^ a ≠ 1, x € IR

x

V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Propiedades:

El dominio de la función exponencial está dado por los números IR.

El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*.

El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1).

La función no intercepta el eje X.

V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial:

Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR.

Mientras más grande el número de la base, la línea estará más cerca del eje Y.

V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial:

Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR

V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio:

Determinar la función que representa en número de bacterias que hay en una población después de x horas si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias y que la población se triplica cada una hora.

Solución:

Cantidad inicial = 10.000Después de una hora = 10.000 · 3 = 30.000Después de dos horas = 10.000 · 3 · 3 = 90.000… Después de x horas = 10.000· 3

Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del estudio, la cantidad de bacterias se representa por la función:

f(x) = 10.000 · 3

x

x

V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA La inversa de una función exponencial de base a se llama

función logarítmica de base a y se representa por log .

Está dada por la siguiente ecuación:

a

y = log x si x = a

ya

V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Propiedades

El dominio de la función logarítmica está dado por los números IR, la función no está definida para x ≤ 0.

El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).

La función no intercepta el eje Y.

V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:

Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0.a

V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:

Si 0 < a < 1, f(x) = log x es decreciente para x > 0.a

V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Ejercicios:

Dado los valores: log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771. Entonces, en la función f(x) = log x, determine f(6).

Solución:f(6) = log (6)

Dondelog 6 = log (2 · 3)

Por Propiedadlog (2 · 3) = log 2 + log 3

= 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

Por lo tanto:Si f(x) = log x, entonces f(6) = 0.7781

V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La Respuesta correcta es D