FUNCIONES POLINÓMICAS II - ABCservicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/revistacomponents/re...Factorización de fórmulas de funciones polinómicas En el caso de la segunda función, g(x)

CONTENIDOS

❚ Gráficos de funciones

polinómicas

❚ Factorización de fórmulas de

funciones polinómicas

❚ Raíces y factores

❚ División de un polinomio por un

polinomio de grado 1. Regla de

Ruffini

❚ Gráfico de funciones

polinómicas, búsqueda de raíces

❚ Teorema de Bolzano

❚ Demostraciones numéricas

Problema 1Si se tuviera que elegir alguna de las siguientes funciones para analizar y graficar, ¿cuál

se elegiría y por qué?

f(x) = (x – 5)(x – 2)(x + 1)

g(x) = x 3 + x 2 – 2x

h(x) = x 4 – 81

i(x) = x 2 + 4x + 4

j(x) = x 3 – 9 x 2 + 27x – 27

k(x) = x 3 – 11 x 2 + 23x + 35

Si el primer objetivo es hallar las raíces de las funciones, es necesario, como se analizó

en los capítulos anteriores, igualar a cero cada fórmula.

Al comparar las fórmulas de las funciones dadas, es posible ver que f(x) es la única que

está expresada como un producto de expresiones polinómicas sencillas, lo cual facilita hallar

sus raíces. Debido a que para que un producto sea cero, alguno de sus factores deberá serlo.

f(x) = 0 ⇔ (x – 5)(x – 2)(x + 1) = 0 ⇔

x – 5 = 0 o x – 2 = 0 o x + 1 = 0 ⇔

x = 5 o x = 2 o x = –1

Las tres raíces de f(x) son x 1 = 5, x 2 = 2 y x 3 = –1.

No todas las funciones

polinómicas plantean el mismo

nivel de dificultad a la hora de

analizarlas para hacer su gráfica.

En el capítulo anterior se vio la

conveniencia de hallar entre otras

cosas los conjuntos de ceros y de

positividad y negatividad.

En este capítulo se desarrollarán

nuevas herramientas que

permitirán analizar más funciones

y facilitarán los análisis de otras.

FUNCIONES POLINÓMICAS II4

M: 10826 C1: 23288 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000 M

80 Capítulo 4. Funciones polinómicas II.

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Al estar la función expresada como un producto, resulta más fácil hallar sus conjuntos

de positividad y negatividad, usando la regla de los signos para el producto.

Para que el producto sea positivo, una posibilidad es que todos los factores sean positivos:

x – 5 > 0 y x – 2 > 0 y x + 1 > 0 ⇔ x > 5 y x > 2 y x > – 1 ⇒ x ∊ ( 5 ; +∞)

También es posible que dos factores sean negativos y uno positivo, lo cual plantea tres casos:

Si ya se halló el conjunto de ceros y de positividad, el conjunto de negatividad se

obtiene como los elementos del dominio que no están en Cº ni en C + .

Cuando una función está expresada como

un producto, las raíces pueden obtenerse como el número que anula cada uno de los factores. Muchas veces es posible hallarlas a simple vista, sin necesidad de resolver ecuaciones, como en este ejemplo.

Un producto de tres números es positivo si todos

los números son positivos o si dos de ellos son negativos y el tercero positivo. Un producto de tres números es negativo si todos los números son negativos o si uno de ellos es negativo y los otros dos son positivos.Por lo tanto

C + = (– 1 ; 2) U (5 ; +∞)

C – = (–∞ ; – 1) U (2 ; 5)

C 0 = {–1 ; 2 ; 5}

f(0) = (0 – 5)(0 – 2)(0 + 1) = 10

El gráfico aproximado es:

x – 5 > 0 ; x – 2 < 0 ; x + 1< 0 x – 5< 0 ; x – 2 <0 ; x + 1>0 x – 5 < 0 ; x – 2 >0 ; x + 1<0

x > 5 y x < 2 y x < – 1 x < 5 y x < 2 y x > – 1 x < 5 y x > 2 y x < – 1

ф x ∊ (– 1 ; 2) ф

–1 2 5 ///////)\\\\\\\\\\) //)

–1 2 5 ⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮)\\\\\\\\\\\\\\\\)//////////) ///////) \\\\\\\\)\\\\\\\\\\\\\\\)

–1 2 5

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Factorización de fórmulas de funciones polinómicas

En el caso de la segunda función, g(x) = x 3 + x 2 – 2x, al no estar factoreada, no es tan

simple hallar sus raíces ni sus conjuntos de positividad y negatividad. Sin embargo, es

posible expresar su fórmula como un producto usando técnicas algebraicas:

g(x) = x 3 + x 2 – 2x = x ( x 2 + x – 2) sacando factor común x.

Entonces, si se quiere buscar las raíces de g(x) hay que resolver la ecuación:

Luego: x = 0 o x = –1 –3 _____ 2 = –2 o x = –1 + 3 ______ 2 = 1

Por lo tanto Cº = {0 ; –2 ; 1}

En el capítulo 2 de este libro se desarrolló una manera de expresar una función cua-

drática en función de sus raíces.

x 2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1)

Usando esa idea, g(x) puede expresarse:

g(x) = x(x + 2)(x – 1)

Entonces, a partir de su expresión factoreada es posible determinar, de manera similar

a la función anterior, los conjuntos de positividad y negatividad de esta función.

Hasta ahora se ha mostrado que es conveniente que la fórmula de una función polinó-

mica esté factoreada, porque de esa manera es más fácil hallar sus conjuntos de positivi-

dad y negatividad. Por este motivo en esta sección se desarrollarán algunas técnicas que

permiten factorizar algunas fórmulas de funciones polinómicas.

Hasta ahora se han visto dos: extraer factor común y expresar la fórmula de una cua-

drática en función de sus raíces.

La fórmula de una función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c

puede expresarse también como f(x) = a.(x – x 1 ).(x – x 2 ), donde x 1 y x 2 son sus raíces.

Cº = {0 ; –2 ; 1}

C + = (–2 ; 0) U (1 ; +∞)

C – = (–∞ ; –2) U (0 ; 1)

g(x) = x 3 + x 2 – 2x

g(x) = x (x + 2)(x – 1)

Cuando las fórmulas de una función o una expresión

algebraica están expresadas como un producto se dice que están factoreadas o factorizadas. El nombre proviene de la palabra “factores”, que es cada uno de los elementos que intervienen en una multiplicación.

Sacar factor común y expresar la fórmula de una

función cuadrática a partir de sus raíces son dos herramientas que se usan para factorear expresiones algebraicas.

x 3 + x 2 – 2x = 0 Se plantea la ecuación.

x . ( x 2 + x – 2) = 0 Se saca factor común x.

x = 0 o x 2 + x – 2 = 0Para que un producto sea cero uno de los factores debe ser cero.

x = 0 o x = –1 ±

√___________

1 2 – 4 . 1 . (–2) _________________ 2 . 1 = –1 ± √

__ 9 _______ 2 = –1 ± 3 _____ 2

Se calculan los ceros de la ecua-ción cuadrática.

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La función h(x) = x 4 – 81 no presenta en realidad demasiadas dificultades, porque es un

desplazamiento, 81 unidades hacia abajo, de la función m(x) = x 4 . No es difícil hallar Cº:

x 4 – 81 = 0 ⇔ x 4 = 81 ⇔ |x| = 4 √___

81 ⇔ |x| = 3 ⇔ x = 3 o x = –3

Entonces, Cº = {3 ; –3}.

Para C + se plantea la inecuación:

x 4 – 81 > 0 ⇔ x 4 > 81 ⇔ |x| > 4 √___

81 ⇔ |x| > 3 ⇔ x > 3 o x < –3

Por lo tanto, C + = (–∞ ; –3)U(3 ; +∞). Los demás elementos del dominio que no perte-

necen al conjunto de ceros ni al de positividad, constituyen el conjunto de negatividad,

es decir que C – = (–3 ; 3).

Pero la fórmula de esta función también puede factorearse. Utilizando la técnica lla-

mada "diferencias de cuadrados", obtenemos:.

h(x) = x 4 – 81 = ( x 2 ) 2 – 9 2 = ( x 2 – 9) ( x 2 + 9)

El primer factor vuelve a ser una diferencia de cuadrados, con lo cual la fórmula puede

seguir factoreándose para simplificar su expresión aún más:

h(x) = ( x 2 – 9) ( x 2 + 9) = (x – 3) (x + 3) ( x 2 + 9)

No es posible seguir factoreando la expresión porque el factor cuadrático que quedó

no tiene raíces, ya que x 2 nunca puede ser igual a –9 ni a ningún otro número negativo.

Para el caso de las funciones i(x)= x 2 + 4x + 4 y j(x) = x 3 – 9x 2 + 27x – 27 es necesario

nuevamente recordar propiedades que se han desarrollado y estudiado en el marco de otros

capítulos, pero que aquí adquieren otro uso. Se trata ahora del binomio al cuadrado y al cubo.

Si se escriben las fórmulas de i(x) y j(x) de otra manera se podrá aplicar las propieda-

des recién mencionadas:

i(x) = x 2 + 4x + 4 = x 2 + 2 . 2 . x + 2 2 = (x + 2) 2

j(x) = x 3 – 9x 2 + 27x – 27 = x 3 + 3 . x 2 . (–3) + 3 . x . (–3) 2 + (–3) 3 = (x – 3) 3

Una vez expresadas ambas fórmulas de manera factoreada es más fácil el trabajo con ellas.

Para hallar los ceros de i(x) se plantea:

i(x) = 0 ⇔ (x + 2) 2 = 0 ⇔ |x + 2| = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = –2

Por lo tanto Cº = {–2}

Para calcular C + , como i(x) es una expresión elevada al cuadrado, su resultado será

siempre positivo, salvo en x = –2 que vale 0. Por lo tanto C + = ¡ – {–2} y C – = ø .

h(x) = x 4 – 81

C 0 = {3 ; –3}

C + = (–∞ ; –3) ∪ (3 ; +∞)

C – = (–3 ; 3)

Si una función cuadrática no tiene raíces, entonces

no puede expresarse de manera factoreada.

El cuadrado de un binomio, es decir de un polinomio

de dos términos, se calcula de la siguiente manera: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 La expresión de la derecha recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

El cubo de un binomio se calcula de la siguiente manera:

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3

La expresión de la derecha recibe el nombre de cuatrinomio cubo perfecto.

Una expresión algebraica es una diferencia de

cuadrados si se puede expresar como a 2 – b 2 . En ese caso, también es posible expresarla como a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)

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x

El gráfico de i(x) es un desplazamiento, 2 unidades a la izquierda de x 2 .

Para hallar los ceros de j(x) se plantea:

j(x) = 0 ⇔ (x – 3) 3 = 0 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

Por lo tanto Cº = { 3 }

Para calcular C + , como j(x) es una expresión al cubo, su resultado será positivo si x – 3 es

positivo, es decir, si x > 3. Por lo tanto C + = (3 ; +∞) y C – = (–∞ ; 3).

El gráfico de j(x) es un desplazamiento, 3 unidades a la derecha de x 3 .

Para hallar los ceros de k(x), hay que resolver la ecuación:

x 3 – 11x 2 + 23x + 35 = 0

No es posible hacerlo con los conocimientos desarrollados hasta el momento sobre ecua-

ciones. Tampoco es posible resolver, mediante despejes, las inecuaciones

x 3 – 11 x 2 + 23x + 35 > 0 y x 3 – 11 x 2 + 23x + 35 < 0 que permiten hallar los conjuntos de posi-

tividad y negatividad. No será sencillo analizar esta función a menos que esté factoreada.

¿Cómo se podrá entonces factorear la función k(x) = x 3 – 11x 2 + 23x + 35?

No hay ningún factor común que se pueda sacar. Tampoco es una diferencia de cuadra-

dos, ya que tiene más de dos términos. No es una expresión cuadrática ni el cuadrado de

un binomio, ya que tiene grado 3. Puede analizarse si es un cuatrinomio cubo perfecto, es

decir, el cubo de un binomio.

j(x) = x 3 – 9 x 2 + 27x – 27

Cº = { 3 }

C + = (3 ; +∞)

C – = (–∞ ; 3)

i(x) = x 2 + 4x + 4

Cº = {–2}

C + = ¡ – {–2}

C – = ø

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Para que esto sea cierto debe haber dos términos que sean cubos de alguna expresión,

uno de ellos es x 3 y el otro podría ser 35 que es ( 3 √___

35 ) 3 . Si este cuatrinomio fuera un bino-

mio al cubo debería ser igual a ( x + 3 √___

35 ) 3 . Al analizar este cubo queda:

( x + 3 √___

35 ) 3 = x 3 + 3 3 √___

35 x 2 + 3 . ( 3 √___

35 ) 2 x + ( 3 √___

35 ) 3 Como dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de cada

uno de los términos respectivos son iguales, resulta que k(x) no es igual a ( x + 3 √___

35 ) 3 .

Raíces y factores

En el siguiente cuadro están las expresiones factoreadas de cada una de las funciones

que se han analizado en este capítulo y sus respectivas raíces:

Si se observa con atención la tabla puede verse que las raíces aparecen en cada uno de

los factores de la expresión factoreada. Esto tiene sentido, ya que al ser raíces, sus imá-

genes deben valer 0, por lo cual al menos uno de los factores debe anularse al reemplazar

x por cada una de las raíces.

Por ejemplo, en el caso de la función f(x), 5 es una raíz y (x – 5) es un factor de f(x), 2 es

una raíz y (x – 2) es un factor de f(x), –1 es una raíz y (x – (–1)) = x + 1 es un factor de f(x).

Aparece entonces, una relación entre las raíces de un polinomio y los factores de su

expresión factoreada. Si x = a es una raíz de f(x) entonces (x – a) es un factor de f(x).

También es cierto que si (x – a) es un factor de f(x), entonces x = a es una raíz de f(x).

En el ejemplo anterior, es posible escribir la fórmula del polinomio f de diferentes

maneras, todas equivalentes entre sí. Algunas de ellas son:

Si se analiza la última expresión, es posible afirmar que al multiplicar (x – 5) por un polino-

mio de grado 2, el resultado será un polinomio de grado 3, que es justamente el grado de f(x). El

término en x 3 se obtiene al multiplicar x por x 2 . A partir de este hecho se puede decir que el grado

de un producto de dos polinomios es la suma de los grados de los polinomios factores.

También a partir de la segunda expresión, puede hacerse el siguiente razonamiento:

f(x) = (x – 5) . ( x 2 – x – 2) ⇒ f(x) ÷(x – 5) = x 2 – x – 2

Es decir que x 2 – x – 2 es el resultado de la división de f(x) por x – 5 y esta división

es exacta por que el resto es 0. Por lo tanto, este caso, f(x) es el dividendo, (x – 5) el

divisor, x 2 – x – 2 el cociente y 0 es el resto.

Entonces f(x) = (x – 5)(x – 2)(x + 1), f(x) es divisible por (x – 5), por (x – 2) y por

(x + 1). O sea, el resto de la división entre f(x) y cada uno de sus factores es 0.

Función Raíces

f(x) = (x – 5)(x – 2)(x + 1) x = 5 ; x = 2 ; x = –1

g(x) = x (x + 2)(x – 1) x = 0 ; x = –2 ; x = 1

h(x) = (x – 3)(x + 3)( x 2 + 9) x = 3 ; x = –3

i(x)= (x + 2) 2 x = –2

j(x) = (x – 3) 3 x = 3

f (x) = (x – 5) . (x – 2) . (x + 1) Forma factoreada de f (x).

f (x) = (x – 5) . ( x 2 – x – 2) Al aplicar la propiedad distributiva en los dos últimos factores.

f (x) = x 3 – 6x 2 + 3x + 10 Al aplicar propiedad distibutiva en los factores que quedan.

Si f(x) y g(x) son dos funciones polinómicas de

grados n y m, respectivamente, entonces el grado del polinomio que se obtiene al multiplicar f(x) por g(x) es n + m.

Si un polinomio f(x) puede escribirse como

f(x) = g(x) . h(x), entonces, f(x)÷g(x) = h(x) y f (x)÷h(x) = g(x). Los polinomios g y h deben tener grado menor o igual que el de f.

Si x = a es una raíz del polinomio f(x), entonces

(x – a) es un factor de f(x) y, por lo tanto, el resto de la división entre f(x) y (x – a) es 0.

x = a es una raíz del polinomio f(x), si y solo si

f(x) = (x – a) . g(x) donde g(x) es un polinomio.

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División de un polinomio por un polinomio de grado 1

De la lista del problema 1, la única función que no se ha podido factorear aún es

k(x) = x 3 – 11x 2 + 23x + 35.

Es posible encontrar una raíz probando con distintos valores para x. Por ejemplo:

Como la función cambia de signo entre x = 4 y x = 6, debe haber algún valor interme-

dio de x para el cual la imagen sea cero. Si se prueba con 5, se tiene:

k(5) = 5 3 – 11 . 5 2 + 23 . 5 + 35 = 0

Es decir x = 5 es una raíz de k(x), por lo tanto, a través del análisis que se hizo previa-

mente se puede afirmar que (x – 5) será un factor de k(x) o, dicho de otra manera, k(x) es

divisible por x – 5. Entonces:

k(x) = x 3 – 11 x 2 + 23x + 35 = (x – 5) . q(x)

donde q(x) debe ser un polinomio de grado 2, para que al hacer el producto entre q(x) y (x – 5)

dé como resultado un polinomio de grado 3.

Luego:

Para que los dos polinomios sean iguales, los coeficientes de las potencias de x de

igual grado deben serlo:

Los valores de a, b y c determinan, el polinomio q(x) por lo tanto:

x 3 – 11 x 2 + 23x + 35 = (x – 5) . (1 . x 2 + (–6)x +(–7)) = (x – 5) . ( x 2 – 6x – 7)

Al tener que x 3 – 11x 2 + 23x + 35 = (x – 5) . ( x 2 – 6x – 7), entonces el cociente de dividir

x 3 – 11 x 2 + 23x + 35 por (x – 5) es ( x 2 – 6x – 7).

Como (x – 5) es un factor del polinomio, la división tiene resto 0.

En el ejemplo anterior se ha hecho una división con resto 0 usando una multiplicación.

¿Cómo se hará si el resto no es 0?

Como k(2) = 2 3 – 11 . 2 2 + 23 . 2 + 35 = 45 ⇒ x = 2 no es raíz de k(x).

Esto quiere decir que x – 2 no es un factor de k(x). Por lo tanto, el resto de la división

entre k(x) y (x – 2) no va a ser 0. Al igual que en la división anterior, el cociente debe ser

un polinomio de grado 2, para que al multiplicarlo por (x – 2) dé un polinomio de grado 3.

El resto es entonces un número, o dicho de otra manera, un polinomio de grado 0.

Si x = 4 k(4) = 4 3 – 11. 4 2 + 23 . 4 + 35 = 15

Si x = 6 k(6) = 6 3 – 11. 6 2 + 23 . 6 + 35 = –7

x 3 – 11 x 2 + 23x + 35 = (x – 5) . ( ax 2 + bx + c)

x 3 – 11 x 2 + 23x + 35 = ax 3 + bx 2 + cx – 5 ax 2 – 5bx – 5c

x 3 – 11 x 2 + 23x + 35 = ax 3 + (b – 5a) x 2 + (c – 5b)x – 5c

a = 1

b – 5a = – 11 ⇔ b = – 11 + 5a ⇔ b = – 11 + 5 . 1 = – 6

c – 5b = 23 ⇔ c = 23 + 5b ⇔ c = 23 + 5 . (– 6) = – 7

–5c = 35 ⇔ c = – 7

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Si se igualan los coeficientes de igual potencia de x en cada polinomio:

Entonces, el cociente es 1 x 2 +(–9)x + 5 = x 2 – 9x + 5 y el resto es 45.

Al comparar los cálculos que hay que hacer en este caso y en el anterior para deter-

minar los valores de los coeficientes del cociente, es posible determinar que éstos invo-

lucran a los coeficientes del dividendo, el número que interviene en el divisor y que la

estructura del cálculo es siempre la misma.

Regla de Ruffini

Paolo Ruffini, un matemático y médico italiano que vivió entre 1765 y 1822, ideó una

manera práctica de escribir y calcular la división entre un polinomio y otro de la forma

(x – a). Llevado a los ejemplos anteriores, para calcular el cociente y el resto de la divi-

sión entre ( x 3 – 11 x 2 + 23x + 35) y (x – 5) se usa la siguiente disposición.

En la primera fila se ubican los coeficientes del dividendo ordenados según las poten-

cias de x, de mayor a menor. Si alguna potencia de x no aparece en el dividendo, de todas

maneras debe ponerse un 0 como coeficiente. El polinomio tiene que estar completo. A la

izquierda se ubica el opuesto del número que interviene en el divisor.

El procedimiento es el siguiente:

❚ El 1, baja directamente.

❚ Se multiplica 1 por 5 (el de la izquierda del cuadro), da 5 y se pone en la columna del –11.

❚ Se suma –11 + 5 = –6

❚ Se multiplica –6 por 5, da –30 y se pone en la siguiente columna.

❚ Se sigue hasta la última columna.

El último número a la derecha es el resto. Los demás números, considerados en el

orden en el que aparecen, son los coeficientes del cociente, ordenados de mayor a menor

según las potencias de x. En este caso, como el dividendo es un polinomio de grado 3 y el

divisor de grado 1, el cociente tiene grado 2 y es x 2 – 6x – 7. El resto es 0.

x 3 – 11x 2 + 23x + 35 = (x – 2) . ( dx 2 + ex + f ) + g

x 3 – 11x 2 + 23x + 35 = dx 3 + ex 2 + f x – 2dx 2 – 2ex – 2f + g

x 3 – 11x 2 + 23x + 35 = dx 3 + (e –2d) x 2 + (f – 2e)x + (–2f + g)

d = 1

e – 2d = –11 ⇔ e = –11 + 2d ⇔ e = – 11 + 2 . 1 = – 9

f – 2e = 23 ⇔ f = 23 + 2e ⇔ f = 23 + 2 . (–9) = 5

g – 2f = 35 ⇔ g = 35 + 2f ⇔ g = 35 + 2 . 5 = 45

Dados dos polinomios f(x) y d(x), donde el grado

de d(x) es menor o igual que el grado de f(x), existen dos únicos polinomios q(x) y r(x) tales que: f(x) = d(x) . q(x) + r(x) y el grado de r(x) es menor que el grado de d(x).f(x) es el dividendo, d(x) el divisor, q(x) el cociente y r(x) el resto.

Si el divisor es un polinomio de grado 1, el

resto debe tener grado 0 o ser el número 0 (que no tiene grado), es decir, el resto es un número.

Las columnas

se suman

Coeficientes del dividendo. 1 –11 23 35

5 5 –30 –35

1 –6 –7 0

5 = 1 . 5

–30 = –6 . 5

–35 = –7 . 5

– 11 + 5

23 + (–30)

35 + (–35)

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Para calcular el cociente y el resto de dividir x 3 – 11x 2 + 23x + 35 por x – 2, la disposición es:

❚ El 1, baja directamente.

❚ Se multiplica 1 por 2, da 2 y se pone en la columna del –11.

❚ Se suma –11 + 2 = –9

❚ Se multiplica –9 por 2, da –18 y se pone en la siguiente columna.

❚ Se sigue hasta la última columna.

Entonces, los coeficientes del cociente son 1, –9 y 5, mientras que el resto es 45. El

cociente es el polinomio 1 . x 2 + (–9) . x + 5 = x 2 – 9x +5 y el resto 45.

Anteriormente se había hallado la imagen de 2, que dio 45 y coincide con el resto. En ese

momento se planteó como pregunta si el resto de la división siempre coincide con la imagen del

número que interviene en el divisor. El siguiente análisis permitirá decidir acerca de este hecho.

Teorema del resto

Si se divide un polinomio f(x) por otro g(x) obteniendo un cociente q(x) y un resto

r(x), entonces f(x) se puede expresar como f(x) = g(x) . q(x) + r(x).

Si g(x) es un polinomio de grado 1, del tipo g(x) = x – a, entonces r(x) es el polinomio

nulo o un polinomio de grado 0, es decir que es un número, por ejemplo r.

Entonces,

f(x) = (x – a) q(x) + r

si se reemplaza x por a:

f(a) = (a – a) . q(a) + r

f(a) = 0 . q(a) + r

f(a) = r

Lo obtenido puede interpretarse diciendo que “el resto de dividir un polinomio f(x)

por (x – a) es f(a)”. Este enunciado se conoce con el nombre de Teorema del resto.

Si a es raíz del polinomio f(x) entonces f(a) = 0, luego el resto de la división de f(x)

por x – a es 0. f(x) es divisible por (x – a) y, por lo tanto, f(x) = (x – a) . q(x), que quiere

decir que (x – a) es un factor de f(x).

Esto último es muy útil para factorear polinomios si se conoce una de sus raíces.

En la función del problema 1, con este método se obtiene:

k(x) = x 3 – 11 x 2 + 23x + 35 = (x – 5) . (1 . x 2 + (–6)x +(–7)) = (x – 5) . ( x 2 – 6x – 7)

A partir de esta expresión para k(x), el procedimiento para encontrar todos los ceros

y los conjuntos de positividad y negatividad continúa como en todas las otras funciones

del problema 1 analizadas.

El Teorema del resto afirma que el resto de

dividir un polinomio f(x) por (x–a) es f(a).

1 –11 23 35

2 2 –18 10

1 –9 5 45

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M




NIP: 222503 - Pág.: 88 - MAT

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Gráfico de funciones polinómicas, búsqueda de raíces

Problema 2Hallar los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de la función f : ¡ → ¡ f(x) = x 3 + 7 x 2 + 14x + 8.

Para hallar el conjunto de ceros es necesario resolver la ecuación

x 3 + 7 x 2 + 14x + 8 = 0

Como no es posible resolverla a través de despejes, un recurso es intentar factorear la

expresión. Pero para ello es indispensable conocer alguna raíz del polinomio y buscarla

probando con números; no es siempre una tarea fácil. Por ejemplo:

Este proceso de búsqueda puede ser demasiado largo. Para estos casos hay un método que

desarrolló el matemático Karl Gauss (1777-1855), que permite disponer de la lista de las posibles

raíces racionales de un polinomio de coeficientes enteros. Este método se llama Lema de Gauss.

En el caso de f(x) = x 3 + 7 x 2 + 14x + 8, resulta que:

Divisores de 8: 8; –8; 4; –4; 2; –2; 1; –1

Divisores de 1: 1; –1

Entonces, las posibles raíces racionales de f(x) son todos los cocientes que se puedan

armar entre los divisores de 8 y los de 1:

Posibles raíces racionales:

Algunas se repiten, entonces las posibles raíces racionales de f(x) son 8; –8; 4; –4; 2;

–2; 1; –1.

El Lema de Gauss no permite hallar raíces irracionales, aunque sí proporciona todas las

raíces racionales.

Para analizar cuál o cuáles de las posibles raíces lo son efectivamente hay que hallar la

imagen de cada una. Si la imagen es 0, entonces será una raíz.

Una tabla muestra los cálculos de las imágenes:

f (1) = 1 3 + 7 . 1 2 +14 . 1 + 8 = 30 ⇒ x = 1 no es una raíz de f.

f (2) = 2 3 + 7 . 2 2 +14 . 2 + 8 = 72 ⇒ x = 2 no es una raíz de f.

x f (x) ¿Es raíz de f ?

8 8 3 + 7 . 8 2 +14 . 8 + 8 =1080 No

– 8 (– 8) 3 + 7. (– 8) 2 +14 . (– 8)+ 8 = – 168 No

4 4 3 + 7 . 4 2 +14 . 4 + 8 = 240 No

– 4 (– 4) 3 + 7 . (– 4) 2 +14 . (– 4)+ 8 = 0 Sí

El Lema de Gauss

afirma que si

f(x) = ax n + bx n–1 + ... + cx + d y sus coeficientes son números enteros, entonces las posibles raíces racionales de f(x) se obtienen a partir de todos los cocientes posibles entre los divisores de d y los divisores de a.

8 __ 1 = 8 8 ___ –1 = – 8 – 8 ___ 1 = – 8 – 8 ___ –1 = 8

4 __ 1 = 4 4 ___ –1 = – 4 – 4 ___ 1 = – 4 – 4 ___ –1 = 4

2 __ 1 = 2 2 ___ –1 = – 2 – 2 ___ 1 = – 2 – 2 ___ –1 = 2

1 __ 1 = 1 1 ___ –1 = – 1 – 1 ___ 1 = – 1 – 1 ___ –1 = 1

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 89 - MAT

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Es posible afirmar que esta función tiene tres raíces racionales, x = –4, x = –2 y x = –1.

Esto implica que x – (–4) = x + 4, x – (–2) = x + 2 y x – (–1) = x + 1 son factores de f(x).

Entonces, en este caso, f(x) = a . (x + 4)(x + 2)(x + 1). Para determinar el valor de a

basta con reemplazar x y f(x) por las coordenadas de un punto de la gráfica de la función

que no sea una raíz.

Como f(1) = 30:

30 = a . (1 + 4) . (1 + 2) . (1 + 1)

30 = a . 5 . 3 . 2

30 = 30 a

a = 1

Por lo tanto,

f(x) = 1 . (x + 4)(x + 2)(x + 1) = (x + 4)(x + 2)(x + 1)

Ya se han obtenido las raíces de f, con lo cual Cº = {– 4 ; – 2 ; – 1}.

Para obtener el conjunto de positividad es necesario resolver la inecuación

(x + 4) . (x + 2) . (x + 1) > 0

Hay varios casos para los cuales el producto es positivo:

Por lo tanto,

C + = (–4 ; –2) ∪ (–1 ; +∞)

El conjunto de negatividad puede obtenerse resolviendo la inecuación correspondien-

te, o bien utilizando los valores de x para los cuales la función no es 0 ni positiva, o sea,

C – = (–∞ ; –4) ∪ (–2 ; –1)

Si x 1 , x 2 y x 3 son las tres raíces de un polinomio f(x)

de grado 3, entonces la fórmula de f(x) puede expresarse como f(x) = a(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ), siendo a un número real distinto de cero.

x f (x) ¿Es raíz de f ?

2 2 3 + 7 . 2 2 +14 . 2 + 8 = 72 No

– 2 (– 2) 3 + 7 . (– 2) 2 +14 . (– 2) + 8 = 0 Sí

1 1 3 + 7 . 1 2 +14 . 1 + 8 = 30 No

– 1 (– 1) 3 + 7 . ( – 1) 2 + 14 . (– 1) + 8 = 0 Sí

x + 4 > 0 ; x + 2 > 0 ; x + 1 > 0 ⇔

x > –4 y x > –2 y x > –1

⇔ x > –1

x + 4 > 0 ; x + 2 < 0 ; x + 1< 0 ⇔

x > –4 y x < –2 y x < –1

⇔ –4 < x < –2

x + 4 < 0 ; x + 2 > 0 ; x + 1< 0 ⇔

x < –4 y x > –2 y x < –1

⇔ ø

x + 4 < 0 ; x + 2 < 0 ; x + 1 > 0 ⇔

x < –4 y x < –2 y x > –1

⇔ ø

(⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮–4 –2 –1

(\\\\\\\\\

–4 –2 –1/////)////////)(//

–4 –2 –1⎮⎮)///////////)(\\\\\\\\\

–4 –2 –1

(//////

////////)\\\\\\\\\\\)(⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M




NIP: 222503 - Pág.: 90 - MAT

*0000-222503-90-MAT-9*

El gráfico de esta función muestra los datos que se han obtenido:

La inecuación (x + 4)(x + 2)(x + 1) > 0 fue larga de resolver y cuanto más factores tenga

una función, más engorrosa resultará la resolución de la inecuación. Un teorema simplifica

considerablemente la resolución de este tipo de inecuaciones.

Teorema de Bolzano Todas las funciones polinómicas son continuas, entendiéndose por esto que su gráfica puede

trazarse “sin necesidad de levantar el lápiz”. Debido a esto, si en una función continua la imagen

de un valor tiene signo distinto que la imagen en otro valor, obligatoriamente el gráfico de esta

función pasará por el eje x, es decir valdrá 0. Esto se conoce como el Teorema de Bolzano.

Una consecuencia de este teorema permite afirmar que si en una función polinómica se

conocen todas sus raíces, la función no cambiará de signo entre ellas. Debido a esto, si se

conocen las raíces de f(x), alcanza con saber el signo de un solo elemento en cada intervalo

que ellas determinan para saber el signo de la función en dicho intervalo.

Con el corolario del teorema de Bolzano es más fácil obtener los conjuntos de positivi-

dad y negatividad. La siguiente tabla lo muestra:

Como un elemento del intervalo (–∞ ; –4) tiene imagen negativa y no hay raíces en él,

entonces todos los elementos de este intervalo tendrán imágenes negativas. Es decir,

(–∞ ; –4) está en el conjunto de negatividad. De la misma manera, como f(–3) = 2, el inter-

valo (–4 ; –2) está en C + , (–2 ; –1) está en C – y (–1 ; + ∞) en C + .

Al unir todos los resultados anteriores, queda que

C + = (–4 ; –2) ∪ (–1 ; +∞) y C – = (–∞ ; –4) ∪ (–2 ; –1)

x <–4 x = –4 –4 < x < –2 x = –2 –2 < x < –1 x = –1 x > –1

f (x) f (–5) = –12 0 f (–3) = 2 0 f (–1,5) = –0,625 0 f (0) = 8

- - - - - - ++++++ - - - - - - ++++++

x f (x)

0 8

1 30

–3 2

f(x) = x 3 + 7 x 2 + 14x + 8

Cº = {– 4; – 2; – 1}

C + = (–4 ; –2) ∪ (–1 ; +∞)

C – = (–∞ ; –4) ∪ (–2 ; –1)

El Teorema de Bolzano afirma que si f(x) es una

función continua tal que la imagen de x = a es negativa y la imagen de x = b es positiva (o viceversa), entonces existe un valor de x entre a y b para el cual la función vale 0.

En el gráfico se ve que si la función cambia de signo entre a y b, necesariamente tiene que haber una raíz entre esos valores.

a b

El corolario del Teorema de Bolzano, (otro teorema que

se desprende del anterior), afirma que si para una función continua, x 1 y x 2 son dos raíces consecutivas (no hay otras raíces entre ellas), entonces la función no cambia de signo entre x 1 y x 2 , es decir, f(x) es siempre positiva o siempre negativa para los valores de x entre x 1 y x 2 .

1. Para cada una de las siguientes funciones hallar Cº, C + y C – y hacer un

gráfico aproximado de ellas.

a. f (x) = (x + 4) 2 (x – 2)

b. g (x) = x 3 – 3x 2 – 10x

c. h (x) = x 5 – 16x

d. t (x) = x 4 – x 3

e. m (x) = x 3 + 6 x 2 – 7x

ACTIVIDADES

M: 10826 C1: 10803 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

91



NIP: 222503 - Pág.: 91 - MAT

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Inecuaciones polinómicas

Problema 3Hallar los valores de x para los cuales se cumple que x 3 + 3x 2 > 2x + 6.

Es posible pensar este problema desde dos perspectivas.

Una consiste en buscar los valores de x para los cuales la función f(x) = x 3 + 3x 2 es

mayor que la función g(x) = 2x + 6 utilizando el gráfico de las dos funciones.

Si se conocieran los puntos de intersección y con la ayuda del gráfico, sería posi-

ble responder al problema. Sin embargo, no es posible leerlos desde el gráfico. Hay que

hallarlos analíticamente.

Las funciones se intersecan cuando, a iguales valores de x les corresponden iguales

valores de las imágenes. Es decir, cuando para un mismo valor de x se obtiene la misma

imagen a través de ambas funciones:

f(x) = g(x) ⇔ x 3 + 3x 2 = 2x + 6 ⇔ x 3 + 3 x 2 – 2x – 6 = 0

Ahora bien, hallar las soluciones de la ecuación anterior equivale a hallar las raíces de

la función polinómica de fórmula h(x) = x 3 + 3 x 2 – 2x – 6. Como sus coeficientes son ente-

ros, es posible usar el Lema de Gauss para determinar si tiene raíces racionales.

Divisores de –6: 6; –6; 3; –3; 2; –2; 1; –1

Divisores de 1: 1; –1

Posibles raíces racionales:

Sacando las que repiten, las posibles raíces racionales son:

6; –6; 3; –3; 2; –2; 1; –1

f(x) = x 3 + 3 x 2

g(x) = 2x + 6

6 __ 1 = 6 6 ___ –1 = –6 – 6 ___ 1 = –6 – 6 ___ –1 = 6

3 ___ –1 = –3 – 3 ___ 1 = –3 – 3 ___ –1 = 3 2 __ 1 = 2

– 2 ___ 1 = –2 – 2 ___ –1 = 2 1 ___ –1 = –1 – 1 ___ 1 = –1

3 __ 1 = 3 2 ___ –1 = –2 – 1 ___ –1 = 1 1 __ 1 = 1

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M




NIP: 222503 - Pág.: 92 - MAT

*0000-222503-92-MAT-9*

Entonces:

La tabla indica que la única raíz racional de h(x) es x = –3, que era la única que podía

leerse directamente del gráfico. Sin embargo, a partir de la lectura del gráfico, puede

verse que hay dos puntos más de intersección entre estas funciones. ¿Por qué no se obtu-

vieron a través del Lema de Gauss? Porque seguro que sus abscisas son irracionales.

Luego, x –(–3) = x + 3 es un factor de h(x), es decir que h(x) = (x + 3) . j(x), donde j(x)

es el cociente de la división entre h(x) y (x + 3).

Para hallar el cociente es posible usar la regla de Ruffini:

Por lo tanto, el cociente es 1 . x 2 + 0 . x + (–2) = x 2 – 2. Luego,

h(x) = x 3 + 3 x 2 – 2x – 6 = (x + 3) ( x 2 – 2)

Para terminar de hallar las raíces de h(x) es necesario hallar los ceros del factor cuadrático:

x 2 – 2 = 0 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = √__

2 o x = – √__

2

Ya se dispone de las primeras coordenadas de los puntos de intersección. Al reemplazar-

las en una de las dos funciones se podrá calcular la segunda coordenada de cada punto.

Usando ahora el gráfico, puede decirse que la función f(x) es mayor que la función

g(x) cuando –3 < x < – √__

2 o x > √__

2 .

Sin embargo se sabe que hacer el gráfico de las funciones no siempre es simple y que la mayo-

ría de las veces requiere de un análisis exhaustivo. Sin el análisis no se podrá hacer un gráfico

confiable, del cual sea posible “leer” datos que permitan resolver una inecuación o ecuación.

x h(x) ¿Es raíz de h?

–6 (–6) 3 + 3 . (–6) 2 – 2 . (–6) – 6 = –102 No

6 6 3 + 3 . 6 2 – 2 . 6 – 6 = 306 No

–3 (–3) 3 + 3 . (–3) 2 – 2 . (–3) – 6 = 0 Sí

3 3 3 + 3 . 3 2 – 2 . 3 – 6 = 42 No

–2 ( –2) 3 + 3 . (–2) 2 – 2 . (–2) – 6 = 2 No

2 2 3 + 3 . 2 2 – 2 . 2 – 6 = 10 No

–1 (–1) 3 + 3 . (–1) 2 – 2 . (–1) – 6 = –2 No

1 1 3 + 3 . 1 2 – 2 . 1 – 6 = – 4 No

1 3 –2 –6

–3 –3 0 6

1 0 –2 0

Va –3 porque se está

dividiendo por x –(–3)

x = –3 f (–3) = (–3) 3 + 3 . (–3) 2 = 0 g(–3) = 2 . (–3) +6 = 0

x = – √__

2 f (– √__

2 ) = (– √__

2 ) 3 + 3 . (– √__

2 ) 2 = –2 √__

2 + 6 g(– √__

2 ) = 2 . (– √__

2 )+ 6 = –2 √__

2 + 6

x = √__

2 f ( √__

2 ) = ( √__

2 ) 3 + 3 . ( √__

2 ) 2 = 2 √__

2 + 6 g( √__

2 ) = 2 . √__

2 + 6 = 2 √__

2 + 6

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

93



NIP: 222503 - Pág.: 93 - MAT

*0000-222503-93-MAT-9*

Otro método permite resolver el problema planteado sin necesidad de recurrir a un gráfico.

Si x 3 + 3 x 2 > 2x + 6, entonces x 3 + 3 x 2 – 2x – 6 > 0.

La última inecuación plantea encontrar el conjunto de positividad de la función

h(x)= x 3 + 3 x 2 – 2x – 6

Como es una función polinómica, por lo tanto continua, y se conocen sus raíces, es

posible aplicar el corolario del Teorema de Bolzano para encontrar C + .

A partir de los datos de la tabla es posible decir que los intervalos en los que la función

es positiva son (–3 ; – √__

2 ) y ( √__

2 ; +∞), que coincide con lo que se halló con el anterior

método de resolución.

Problema 4Hallar el resto de dividir el polinomio 4x 3 – x 2 + 2x + 2 por 2x + 1.

El teorema del resto permite hallar el resto de una división sin necesidad de calcularla

en el caso en que el divisor sea de la forma (x – a). En este problema solo interesa hallar el

resto, pero el divisor no tiene la forma bajo la cual se puede aplicar el Teorema del resto.

Tampoco es posible hacer la división a través del método de Ruffini porque nuevamen-

te es necesario un divisor de la forma (x – a).

En este apartado se quiere analizar si es posible extender tanto la regla de Ruffini

como el Teorema del resto cuando el divisor es de la forma ax – b.

Al dividir el polinomio f(x) por 2x + 1, f(x) se podrá expresar de la forma:

f(x) = (2x+1) . g(x) + r

donde el cociente g(x) es un polinomio de grado 2 y el resto r es un número.

Si se reescribe el divisor, será posible usar lo ya desarrollado para hallar el cociente de

la división:

f(x) = (2x + 1) . g(x) + r = 2 . ( x + 1 __ 2 ) . g(x) + r

f(x) = ( x + 1 __ 2 ) . (2g (x)) + r

La última igualdad permite determinar que al dividir f(x) por ( x + 1 __ 2 ) , el cociente es el

doble del cociente que se está buscando y el resto es el mismo.

Por lo tanto, si se quiere dividir a f(x) por 2x + 1, es posible dividirlo por x + 1 __ 2 usando

la regla de Ruffini. Hay que tener en cuenta que se obtiene el doble del cociente y el mis-

mo resto.

x < –3 x = –3 –3 < x < – √__

2 x = – √__

2 – √__

2 < x < √__

2 x = √__

2 x > √__

2

x x = –4 x = –2 x = 0 x = 2

h(x) –14 0 2 0 – 6 0 10

––––– +++++ ––––– +++++

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M




NIP: 222503 - Pág.: 94 - MAT

*0000-222503-94-MAT-9*

4 –1 2 2

– 1 __ 2 –2 3 __ 2 – 7 __ 4

4 –3 7 __ 2 1 __ 4

Luego, en este caso en que solo nos interesa hallar el resto, como

x + 1 __ 2 = x – ( – 1 __ 2 ) , si se usa el Teorema del resto, se tiene:

r = f ( – 1 __ 2 ) = 4 . ( – 1 __ 2 ) 3 – ( – 1 __ 2 ) 2 + 2 . ( – 1 __ 2 ) + 2 = – 1 __ 2 – 1 __ 4 – 1 + 2 = 1 __ 4

El resto de dividir a f(x) por 2x + 1 es 1 __ 4 .

Si el problema hubiera pedido también hallar el cociente, era conveniente usar la

regla de Ruffini y resolver la siguiente división:

1 __ 4 es el resto, que ya se había calculado de otra manera, mientras que 4; – 3 y 7 __ 2 son los

coeficientes del doble del cociente:

2 . g(x) = 4 x 2 – 3x + 7 __ 2 ⇔ g(x) = 2 x 2 – 3 __ 2 . x + 7 __ 4

Puede verificarse que lo anterior es correcto calculando (2x + 1) . g(x) + r, el resultado

debe ser f(x).

(2x + 1)( 2x 2 – 3 __ 2 x + 7 __ 4 ) + 1 __ 4 = 4 x 3 + 2 x 2 – 3 x 2 – 3 __ 2 x + 7 __ 2 x + 7 __ 4 + 1 __ 4 = 4 x 3 – x 2 + 2x + 2 = f(x)

Demostraciones numéricas

Problema 5Si n es un número natural cualquiera, ¿es cierto que n 3 – n es múltiplo de 6? ¿Y que

n 3 – 4n es múltiplo de 24?

Para analizar ambas afirmaciones es conveniente factorear cada expresión, ya que no

resulta fácil decidir si son múltiplos o no de los números propuestos de la manera en que

están expresadas.

Si bien las expresiones tienen fórmulas que se corresponden con las de las funciones

polinómicas, lo que las diferencia de ellas es el dominio. En los dos casos n representa un

número natural y no un número real.

De esta expresión es posible analizar que n 3 – n es equivalente al producto entre n, el

número anterior a n y el número posterior a n.

Para dividir un polinomio f(x) por otro de la forma

ax – b con a ≠ 0, a través de la regla de Ruffini se puede proceder de la siguiente manera:

f(x) = (ax – b) . g(x) + r =

= a . ( x – b __ a ) . g(x) + r

Entonces, se aplica la regla considerando como divisor a x – b __ a . El cociente obtenido será a . g(x), es decir que será necesario dividirlo por a para obtener el cociente que se busca, mientras que el resto es el buscado.Como f ( b __ a ) = ( b __ a – b __ a ) . ( ag ( b __ a ) ) + r = r ,

el Teorema del resto también puede extenderse al caso en que el divisor sea de la forma ax – b:El resto de dividir al polinomio f(x)

por ax – b es f ( b __ a ) .Se puede notar que b __ a es el número que anula al divisor.

n 3 – n = n . ( n 2 – 1) Se saca factor común n.

n 3 – n = n . (n – 1) . (n + 1) n 2 – 1 es una diferencia de cuadrados.

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

95



NIP: 222503 - Pág.: 95 - MAT

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7

D

a

b

c

d

e

f

8

c

a

b

c

d

e

fgh

i

9

a

b

c

d

1

a

b

1

f

a

b

c

1

1

1

h

r

Como n – 1, n y n + 1 son tres números naturales consecutivos, entre ellos habrá uno o dos

que serán números pares. Si el primero es par, el segundo es impar y el tercero par. Si el primer

número es impar, el segundo es par y el tercero impar. Entonces, no importa cuáles sean los

números, el producto entre ellos siempre será par porque al menos uno de los tres números lo es.

Para terminar de decidir si n 3 – n es múltiplo de 6, falta determinar si es múltiplo de 3.

Ahora bien, como n – 1, n y n + 1 son tres números consecutivos, pueden darse las

algunas de las siguientes situaciones:

❚ Si n – 1 es múltiplo de 3, el producto de los tres números será múltiplo de 3.

❚ Si n – 1 tiene resto 1 al ser dividido por 3, n tendrá resto 2 y n + 1 resto 0, por lo cual

el mayor de los tres números y, por lo tanto el producto, será múltiplo de 3.

❚ Si n – 1 tiene resto 2 al ser dividido por 3, n tendrá resto 0 (es múltiplo de 3) y n + 1

tendrá resto 1. Entonces, el producto será múltiplo de 3.

Por lo tanto, dados tres números consecutivos, alguno de ellos tiene que ser múltiplo de 3.

Se ha demostrado que n 3 – n es múltiplo de 2 y de 3, por lo tanto es múltiplo de 6.

Para saber si n 3 – 4n es múltiplo de 24, se hará el análisis de la segunda expresión a

partir de su forma factoreada:

La tabla anterior indica que n 3 – 4n es equivalente a n . (n – 2).(n + 2).

Como la distancia entre n y los otros dos números es 2, todos serán pares o todos

impares. Si todos son pares, el producto será múltiplo de 8.

Si los tres números son impares, el producto será impar, aunque no se sabe si será

múltiplo de 3. Tampoco se sabe si el producto será múltiplo de 3 en el caso en que los

números sean pares. Es necesario completar el análisis.

El número n puede tener resto 0, 1 o 2 al dividirlo por 3.

Por todo lo anterior es posible afirmar que uno de los números es siempre múltiplo de 3.

En el caso en que los tres números sean pares, el producto será también múltiplo de 24 (de

3 y de 8).

n 3 – 4n = n . ( n 2 – 4) Se saca factor común n.

n 3 – 4n = n . (n – 2).(n + 2) n 2 – 4 es una diferencia de cuadrados.Los números pares son múltiplos de 2, es decir se

obtienen multiplicando a 2 por un número entero. Entonces, el producto de tres números pares será:a . b . c = 2n . 2m . 2p = 8 . (nmp)El resultado es un múltiplo de 8.

Si un número es múltiplo de 3 puede expresarse como el

producto entre 3 y un número entero, n = 3k.Si n = 3k, entonces n – 2 = 3k – 2 = 3k – 3 + 1= 3 . (k + 1) + 1, que es un múltiplo de 3 más 1, o sea un número con resto 1 al ser dividido por 3.

Además n + 2 = 3k + 2, que es un múltiplo de 3 más 2, es decir un número con resto 2 al ser dividido por 3.

A

2. Hallen el cociente y el resto de dividir p(x) = 2 x 4 – 3x + 5 por

q(x) = 4x + 2.

3. Encuentren el resto de la división de 3 x 3 – 6x + 2 por 3x – 1.

4. ¿Para qué valores de a el polinomio 3x 3 – 1 __ 4 x 2 + 6x – 35 es divisible por

2x – a?

5. Determinen para qué valores de x la función f(x) = 2x – 4 es mayor

que g(x) = 3x 3 – 6x – 12.

6. Para qué valores de x la función f(x) = x 2 – 4 es igual a la función

g(x) = 3 x 3 – 6.

ACTIVIDADES

Si n tiene resto 0 n es múltiplo de 3 n . (n – 2).(n + 2) es múltiplo de 3

Si n tiene resto 1 n + 2 es múltiplo de 3 n . (n – 2).(n + 2) es múltiplo de 3

Si n tiene resto 2 n – 2 es múltiplo de 3 n . (n – 2).(n + 2) es múltiplo de 3

M: 10826 C1: 23288 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000 M




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7. Encuentren, en cada caso, el cociente y el resto de dividir p(x) por x – 2.

Determinen si x – 2 es factor de p(x).

a. p(x) = 3 x 3 – 2 x 2 –16

b. p(x) = 2 x 2 – x 3 + x – 10

c. p(x) = x 4 – 16

d. p(x) = ( x 2 – 4) ( x 3 – 2x + x)

e. p(x) = 2 x 3 – 13 x 2 + 22x – 8

f. p(x) = x 4 + 2 x 3 – 4 x 2 – 8x

8. Para cada una de las siguientes funciones hallen sus conjuntos de

ceros, positividad y negatividad y realicen su gráfica:

a. f(x) = x 5 – 81x

b. g(x) = x 3 – 8 x 2 – 20x

c. h(x) = x 3 + 2 x 2 + 2x + 4

d. i(x) = 1 __ 4 x 2 – x __ 3 + 1 __ 9

e. j(x) = x 3 – x 2 + 1 __ 3 x – 1 ___ 27

f. k(x) = x 5 – 625xg. m(x) = ( x 2 – 4)( x 3 – 2 x 2 + x)h. n(x) = 2 x 3 – 13 x 2 + 22x – 8

i. i(x) = x 4 + 2 x 3 – 4 x 2– 8x

9. Hallen el cociente y el resto entre f(x) y g(x) en cada caso:

a. f(x) = x 2 – 5x + 3; g(x) = x + 4.

b. f(x) = 3x 3 – 5x 2 + 3x – 1; g(x) = x – 1

c. f(x) = – 2x 3 + 2x – 5; g(x) = x – 1 __ 2

d. f(x) = 2x 3 – 2x 2 + 3x – 4; g(x) = 3x – 2

10. Hallen el resto de dividir f(x) por g(x):

a. f(x) = 5 x 4 – 3x + 4 ; g(x) = –2x + 3

b. f(x) = – 3 __ 4 x 5 – 3 x 3 – 4x + 2 ; g(x) = 2x – 3

11. Hallen los conjuntos de positividad y negatividad de las siguientes

funciones polinómicas.

a. f : ¡ →¡ / f(x) = x 3 – 7 x 2 + 7x + 15

b. f : ¡ →¡ / f(x) = x 3 + 6 x 2 + 12x + 8

c. f : ¡ →¡ / f(x) = x 3 – 2 x 2 + 4x – 8

12. Hallen los valores de x para los cuáles se cumple que:

x 3 – 3 x 2 > 4x – 12.

13. Hallen los valores de x para los cuáles se cumple que:

2 – x < 7 x 2 – 6 x 3 .

14. Si (2x + 3) es un factor del polinomio f(x) = –2 x 3 + 7 x 2 + 3x – 18,

hallen los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de f(x) y

realicen un gráfico aproximado.

15. Hallen, si existen, el o los puntos para los cuáles el gráfico de la

función f(x) = 3 x 3 – 4 x 2 + x – 1 se interseca con el de la función

g(x) = –2x 2 + 8x +1.

16. Si –1 y –2 son raíces de la función polinómica

f(x) = x 4 + 10 x 3 + 35 x 2 + 50x + 24, realicen un análisis de la función f

y confeccionen su gráfico.

17. Encuentren, para cada caso, la fórmula de una función f(x) que es

polinómica de grado 3 y que cumple las siguientes condiciones:

a. f(2) = 0 y no existe otro valor de x que anule la función. Además,

f(x) < 0 cuando x → –∞.

b. f(1) = 0 ; f(3) = 0 ; f(–2) = 0 y f(x) > 0 cuando x → +∞.

c. f(–3) = 0 ; f(1) = 0 y para todo valor de x distinto de –3 y 1 la función es

distinta de cero. Además, f(x) > 0 cuando x → –∞.

¿Cómo pueden estar seguros de que la fórmula que propusieron en

cada caso cumple con los requisitos pedidos?

18. Determinen cuál de los gráficos dados puede corresponder a la

función f : ¡ →¡ / f (x) = (x – 3)(x + 3)(x +1). Expliquen cómo lo pensaron.

19. Determinen para qué valores de x la función

f : ¡ →¡ / f (x) = x 3 – 7 x 2 + 7x + 15 es mayor que la función

g : ¡ →¡ / g(x)= x + 15.

20. Hallen la fórmula de una función polinómica de grado 3 que

verifique las siguientes condiciones:

❚ Tiene una sola raíz y es positiva.

❚ Cuando x tiende a +∞, f (x) tiende a –∞.

❚ C – = (5 ; +∞)

¿Es la única función que cumple con lo pedido? ¿Por qué?

ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

97



NIP: 222503 - Pág.: 97 - MAT

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M: 10826 C1: 23288 C2: 10603 C3: 10830 C4: 10000 M

21. ¿Cuáles de los siguientes gráficos pueden corresponder a

funciones polinómicas de grado 3? Expliquen el motivo de su decisión.

a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

i. j.

22. ¿Para qué valor de a la función f (x) = 3x 3 + ax 2 + 5 tiene resto 68 al

dividirla por (x – 3)?

23. a. La función f (x) = – x 3 + kx 2 + x – 3 tiene el mismo resto al ser

dividida por (x – 2) y (x + 1). Hallen el valor de k.

b. ¿Qué sucede si la fórmula de la función es f (x) = – x 3 + 2 x 2 + x + k?

¿Cuánto vale k en este caso?

24. Si (x + 3) es un factor de la función f (x) = x 3 + bx 2 – 13x + 6, hallen el

resto de la división de f (x) por (2x – 5).

25. La función f (x) = 2 x 4 + ax 2 + x + b tiene resto 8 al ser dividida por (x + 2)

y resto – 21 ___ 8 cuando se la divide por (x + 1 __ 2 ). Hallen los valores de a y b.

26. Si ( x 2 + ax + b) . (x – 2) = x 3 – x 2 + x + c, hallen el valor de c y

resuelvan la ecuación x 3 – x 2 + x + c = 0.

27. Hallen los valores de x para los cuáles (2x – 3).(– x 2 + 5x + 1) ≤ 7.

28. Determinen si n3 – 4n es siempre múltiplo de 12 para cualquier

valor natural de n.

29. Analicen si es cierto que siendo n un número par n 3 – 9n es

múltiplo de 8.

30. Encuentren los valores de x para los que se cumple que

x 3 + 5x – 3 < x 2 + 2.

31. Hallen los valores de x para los que se cumple que (2 + x) 4 = 2 4 + x 4 .

32. Cuando se divide a la función polinómica f (x) = x 3 + 2x 2 + kx + 3 por

(x – 1) se obtiene el doble del resto que cuando se la divide por (x + 1).

Hallen el valor de k.

33. La función polinómica f (x) = x 3 – x 2 + ax + b tiene el mismo resto al

dividirla por (x + 2) y por (2x + 1). Hallen los valores de a y b.

34. Si –2 y 4 son dos raíces de la función h(x) = x 3 + ax 2 – 6x + b, hallen

el conjunto de negatividad de h.

ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN




NIP: 222503 - Pág.: 98 - MAT

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AUTOEVALUACIÓNMarquen la o las opciones que consideren correctas en cada caso.

1. Dada la función polinómica de fórmula f (x) = 3 . (x – 3).(x + 4) + x 3

x = 3 y x = –4 son raíces de f.

La fórmula de f (x) está factoreada.

El resto de dividir a f (x) por x – 1 es –29.

La ordenada al origen de f (x) es negativa.

2. Dada la función polinómica de fórmula g(x) = 2 x 3 + 5 x 2 + x – 2,

2x – 1 es un factor de g(x).

g(x) es divisible por x + 2.

g(x) solo tiene dos raíces.

x = 4 no pertenece al conjunto de negatividad de g(x).

3. Dada la función polinómica de fórmula h(x) = –3 x 3 – x 2 + 12x + 4,

2 __ 3 es una de las posibles raíces racionales de h.

h tiende a –∞ cuando x tiende a –∞.

x + 2 es un factor de h.

C – = (2 ; +∞)

4. Dadas las funciones de fórmulas f(x) = x 3 – x 2 + 2x + 1 y g(x) = x 2 + x + 3,

f y g se intersecan en un solo punto.

f (x) > g(x) cuando x < 2.

La función f siempre será mayor que la función g.

La función g no tiene raíces.

5. Para la función f (x) = 2 x 3 + x 2 – 8x – 4 se verifica que:

(2x + 1) es un factor de f.

El resto de dividir a f (x) por x + 2 es 0.

La ecuación f (x) = 0 tiene una sola solución.

El resto de dividir a f (x) por (2x – 1) es –9.

6. Para la función g(x) = x 4 – 3 x 2 – 4 vale que:

g tiene 4 raíces reales.

C – = (–2 ; 2).

g tiene resto 0 al ser dividido por ( x 2 – 4).

( x 2 – 4) es un factor de g(x).

7. La fórmula de una función polinómica de grado de 3 cuyas únicas

raíces son x = 2 y x = – 1 y su conjunto de negatividad es C – = (2 ; +∞) es:

f (x) = (x + 1) 2 . (x – 2)

f (x) = –1 . (x + 1) . (x – 2)

f (x) = –1 . ( x + 1) 2 . (x – 2)

Ninguna de las anteriores.

8. La función g (x) = –2 . (x – 1) 2 . ( x 2 + 1) verifica:

Tiene grado 3.

Tiene ordenada al origen y = – 2.

C – = ¡

C + = φ

a

c

b

d

a

c

b

d

a

c

b

d

a

c

b

d

a

c

b

d

a

c

b

d

a

c

b

d

a

c

b

d

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 99 - MAT

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Documents

FUNCIONES POLINÓMICAS II - ABCservicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/revistacomponents/re...Factorización de fórmulas de funciones polinómicas En el caso de la segunda función, g(x)