Funciones trigonométricas

Profesor Joel Amauris Gelabert S. Nagua, Rep. Dominicana.

Reflexiones Matemáticas. Joel Amauris Gelabert S.

Funciones Trigonométricas. Una función trigonométrica es una relación o cociente entre las longitudes de dos de los lados o catetos de un triangulo rectángulo. Estas funciones se clasifican en: • Seno. • Cotangente. • Coseno. • Secante. • Tangente. • Cosecante. Definición de las funciones Trigonométricas. Seno: Es la razón que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Coseno: Es la razón que existe entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Tangente: Es la razón que existe entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Cotangente: Es la razón que existe entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. Secante: Es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Cosecante: Es la razón que existe entre la hipotenusa el cateto opuesto.

Funciones trigonométricas de ángulos notables.

Funciones de 300.

B A

C

1 1

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

D 600 600

H

Para calcular los valores de las funciones de 300 hacemos referencia en el triangulo equilátero de la izquierda, teniendo en cuenta, que con el fin de conseguir nuestro propósito usaremos el triangulo rectángulo DBC.

30

o

D

C

B 600

300 1

𝟏

𝟐

Al tomar el triángulo rectángulo DBC podemos observar que no tenemos la longitud del lado CD. Por lo cual aplicaremos el Teorema de Pitágoras para calcularlo. Solución:

CD= BC2 − DB2

CD= 𝟏 𝟐 − 𝟏

𝟐 𝟐

CD= 𝟏−𝟏

𝟒 =

𝟒−𝟏

𝟒 =

𝟑

𝟒

CD= 𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

http://es.123rf.com/photo_16587676_3d-hombre-sentado-sobre-una-pila-de-libros-y-la-lectura-de-libros-sobre-fondo-blanco.html



Como ya conocemos las longitudes de los 3 lados del triángulo podemos proceder a calcular las funciones trigonométricas de 300 y 600. Funciones Trigonométricas de 300.

1. Sen 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 =

𝟏

𝟐

1 =

𝟏

𝟐

2. Cos 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞


𝟑

𝟐

𝟏 =

𝟑

𝟐

3. Tan 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 =

𝟏

𝟐

𝟑

𝟐

= 𝟏

𝟐 ÷

𝟑

𝟐 =

𝟐

𝟐 𝟑 ×

𝟑

𝟑 =

𝟐 𝟑

𝟐(𝟑) =

𝟑

𝟑

4. Cot 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨 =

𝟑

𝟐𝟏

𝟐

= 𝟑

𝟐 ÷

𝟏

𝟐 =

𝟐 𝟑

𝟐 = 𝟑

5. Sec 300 = 𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚


𝟏

𝟑

𝟐

= 𝟐

𝟑 ×

𝟑

𝟑 =

𝟐 𝟑

𝟗 =

𝟐 𝟑

𝟑

6. Cosc 300 = 𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨


𝟏𝟏

𝟐

= 𝟐

𝟏 = 2

Funciones Trigonométricas de 600.



𝟑

𝟐

1 =

𝟑

𝟐



𝟏

𝟐

1 =

𝟏

𝟐



𝟑

𝟐𝟏𝟐

= 𝟑

𝟐 ÷

𝟏

𝟐 =

𝟐 𝟑

𝟐 = 3



𝟏

𝟐

𝟑𝟐

= 𝟏

𝟐 ÷

𝟑

𝟐 =

𝟐

𝟐 𝟑 ×

𝟑

𝟑 =

𝟐 𝟑

𝟐(𝟑) =

𝟑

𝟑



1𝟏𝟐

= 𝟐

𝟏 =2



1

𝟑𝟐

= 𝟐

3 ×

𝟑

𝟑 =

𝟐 𝟑

9 =

𝟐 𝟑

𝟑

Se racionaliza el denominador para eliminar el radical.

Se racionaliza el denominador para eliminar el radical.

http://es.123rf.com/photo_10391654_cerebro-de-caricatura-dando-los-pulgares.html



Funciones de 450.

Consideremos el triangulo rectángulo:

Conocidos las longitudes de los 3 lados, procederemos a calcular el valor de las funciones de 450.



𝟐

𝟐 𝟐 =

𝟐

𝟐 𝟐 x

𝟐

𝟐 =

𝟐 𝟐

𝟐 𝟒 =

𝟐

𝟐



𝟐

𝟐 𝟐 =

𝟐

𝟐 𝟐 x

𝟐

𝟐 =

𝟐 𝟐

𝟐 𝟒 =

𝟐

𝟐



𝟐

𝟐 = 1



𝟐

𝟐 = 1



𝟐 𝟐

𝟐 = 𝟐



𝟐 𝟐

𝟐 = 𝟐

C

B A 450

450

900

2

2

Como se observa, en este triángulo no se conoce la longitud de la hipotenusa (BC). Procederemos entonces a aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el lado BC. Solución:

BC= AB2 + AC2

BC= 22 + 22

BC= 4 + 4 = 8

BC= 4x2 =2 2

BC=2 𝟐



Funciones Trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos.

Formulas:

1. Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k

2. Cos (w+k)=Cos w.Cos k−Sen w.Sen k

3. Tan (w+k)= Tang w+Tang k

1−Tang w.Tang k

4. Sen (w−k)=Sen w.Cos k−Cos w.Sen k

5. Cos (w−k)=Cos w.Cos k+Sen w.Sen k

6. Tan (w−k)= Tang w−Tang k

1+Tang w.Tang k

Funciones del ángulo duplo.

Si en Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k, hacemos k=w, entonces: Sen (w+w)=Sen w.Cos w+Cos w.Sen w. Lo cual nos indica que:

1. Sen 2w = 2Cos w.Sen w. De igual forma se procede con el coseno.

En Cos (w+k)=Cos w.Cos k−Sen w.Sen k, hacemos k= w, luego: Cos (w+w)=Cos w.Cos w−Sen w.Sen w

2. Cos 2w = Cos2 w−Sen2 w

Tan (w+k)= Tang w+Tang k

1−Tang w.Tang k

Tan (w+w)= Tang w+Tang w

1−Tang w.Tang w

3. Tan 2w = 𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰

𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠𝟐 𝐰

En resumen las formulas básicas del ángulo duplo son:

1. Sen 2w = 2Cos w.Sen w.

2. Cos 2w = Cos2 w−Sen2 w

3. Tan 2w = 𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰

𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠𝟐 𝐰

Pero: Cos2 w = 1−Sen2 w Sen2 w = 1−Cos2 w Por lo que: Cos 2w = 1−Sen2 w−Sen2 w Cos 2w = 1−2Sen2 w.

O también:

Cos 2w = 2Cos2 w −1




Funciones del ángulo triplo.

1. Sen 3w = Sen (w+2w) Sen 3w = Sen w.Cos 2w+Cos w.Sen 2w Sen 3w = Sen w. (1−2Sen2 w)+Cos w (2Sen w. Cos w)

Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w.Cos2 w

Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w (1−Sen2 w)

Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w −2Sen3 w

Sen 3w = 3 Sen w −4Sen3 w

2. Cos 3w = Cos (w+2w) Cos 3w =Cos w.Cos 2k−Sen w.Sen 2k Cos 3w =Cos w (2Cos2 w −1)−Sen w (2Sen w. Cos w)

Cos 3w =2Cos3 w –Cos w −2Sen2 w. Cos w

Cos 3w =2Cos3 w –Cos w − (1−Cos2 w) 2Cos w

Cos 3w =Cos w +2Cos3 w – (2Cos w−2Cos3 w)

Cos 3w =2Cos3 w –Cos w −2Cos w+2Cos3 w

Cos 3w = 4Cos3 w –3Cos w

3. Tang 3w = Tang (w+2w)

Tang 3w = Tang w+Tang 2w

1−Tang w.Tang 2w

Tang 3w = Tang w+

2Tang w

1−Tan g2w

1−Tang w.2Tang w

1−Tang 2w

Tang 3w = Tang w−Tang 3 w +2Tang w

1−Tan g2w

1− 2Tang 2 w

1−Tang 2w

Tang 3w = 3Tang w−Tang 3 w

1−Tan g2w

1−Tang 2 w−2Tang 2 w

1−Tang 2w

Tang 3w = 𝟑𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰−𝐓𝐚𝐧𝐠𝟑𝐰

𝟏−𝟑𝐓𝐚𝐧𝐠𝟐𝐰

Se eliminan los denominadores comunes 1−Tang2 w

Se sustituye Tang 2w por 𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰

𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠𝟐 𝐰 y

efectuamos las operaciones indicadas.

En este caso se sustituyen Cos 2w por 1−2Sen2 w y sen 2w por 2Sen w. Cos w y se efectúan las operaciones correspondientes.



Funciones del ángulo mitad.

Puesto que Cos 2w = 1−2Sen2 w y si w = k

2 entonces:

1−2Sen2 k

2 = Cos 2

𝐤

𝟐

−2Sen2 k

2 = Cos k−1

2Sen2 k

2 = 1−Cos k

Sen2 k

2 =

1−Cos k

2

1. Sen 𝐤

𝟐 = ±

𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤

𝟐

Para el Coseno del ángulo mitad, usamos:

2Cos2 w −1= Cos 2w y d igual forma w = k

2 entonces:

2Cos2 k

2 −1= Cos 2

𝐤

𝟐

2Cos2 k

2 = Cos k+1

2Cos2 k

2 = Cos k+1

cos2 k

2 =

Cos k+1

2

2. Cos 𝐤

𝟐 = ±

𝐂𝐨𝐬 𝐤+𝟏

𝟐

Tang k

2 =

± 𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤

𝟐

± 𝐂𝐨𝐬 𝐤+𝟏

𝟐

Tang k

2 = ±


𝟐𝟏+𝐂𝐨𝐬 𝐤

𝟐

3. Tang 𝐤

𝟐 = ±


𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝐤




Ejercicios Resueltos.

Si w =450 y k=600 halle:

1. Sen 1050 Solución: Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k

Sen (450+600)=Sen 450. Cos 600+Cos 450. Sen 600

Sen 1050 = 2

2

1

2 +

2

2

3

2

Sen 1050 = 2

4 +

6

4

Sen 1050 = 𝟐+ 𝟔

𝟒

2. Cos 150 Solución: Cos (w−k)=Cos w.Cos k+Sen w.Sen k

Cos (600−450)=Cos 600. Cos 450+Sen 600. Sen 450

Cos 150 = 1

2

2

2 +

3

2

2

2

Cos 150 = 2

4 +

6

4

Cos 150 = 𝟐+ 𝟔

𝟒

3. Tan 1050 Solución:

Tan (w+k)= Tang w+Tang k

1−Tang w.Tang k

Tan (600+450)= Tang 600+Tang 450

1−Tang 600 .Tang 450

Tan 1050 = 3+1

1− 3 (1)

Tan 1050 = 3+1

1− 3

Tan 1050 = 3+1

1− 3 x

3+1

1+ 3

Tan 1050 = 9+ 3+ 3+1

1 2− 3 2 =

4+2 3

1−3

Tan 1050 = 4+2 3

−2

Tang 1050 = −2− 𝟑

En este caso sustituimos Tang 600 y Tang 450 por sus respectivos valores y se realizan las operaciones correspondientes.

Se racionaliza el denominador para eliminar el radical y luego simplificamos.



4. Cos 1350. Solución: Cos 1350 = Cos 3(450)

Cos 1350 = 4Cos3 450 –3Cos 450

Cos 1350 = 4 2

2

3

− 3 2

2

Cos 1350 = 4 2 2 ( 2 )

2x2x2 −

3 2

2

Cos 1350 =4 4 2

8 −

3 2

2

Cos 1350 =8 2

8 −

3 2

2

Cos 1350 = 2 −3 2

2 =

2 2−3 2

2

Cos 1350 = − 𝟐

𝟐

5. Hale Tang 300 Solución:

Tan 300 = 600

2

Tang k

2 = ±

1−Cos k

1+cos k

Tang 600

2 =

1−Cos 600

1+cos 600

Tang 300 = 1−

1

2

1+12

= 2−1

22+1

2

= 𝟏

𝟐𝟑𝟐

= 𝟏

𝟑

Tang 300 = 1

3 x

3

3 =

3

9

Tang 300 = 𝟑

𝟑



6. Tan 1200 Solución: Tang 1200 = Tang 2(600)

Tan 2w = 2 Tang w

1−Tang 2 w

Tan 2(600) = 2 Tang 600

1−Tang 2 600

Tan 1200 = 2 3

1− 3 2

Tan 1200 = 2 3

1−3 =

2 3

−2

Tan 1200 = − 𝟑

Documents

Funciones trigonométricas