FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

El valor de una función trigonométrica de un ángulo depende del valor del ángulo, y,

recíprocamente, el valor de un ángulo depende del valor de la función.

Dado la función trigonométrica directa de un ángulo “x” y su valor “y” ( yx cos ),

entonces la función trigonométrica inversa de “y” es: yx 1cos . En donde a un valor de

“x” corresponderá uno y solamente uno de “y”, pero a un valor dado de “y” corresponderá

un número infinito de valores diferentes de “x”. Por lo tanto las funciones trigonométricas

directas son uniformes, y las funciones trigonométricas inversas son multiformes.

La expresión y1cos (inverso coseno y) también se simboliza con yarccos (arco coseno

y), y representa el valor de un ángulo cuyo coseno es y.

Propiedad fundamental: La función directa anula a la función inversa y viceversa

Ejemplo: 2

1

2

1coscos 1

o 001 6060coscos

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1) Hallar el valor de 2

2arcsen en radianes

Solución: Sea 2

2arcsenx Con el manejo de la calculadora, el ángulo x cuyo seno

es igual a 2

2es 450

Como: 0

0

45

180

x

rad

Por lo tanto radrad

x4180

450

0

Entonces: radarcsen42

2

2) Hallar el valor de

3

1tan

2

1tan 11sen

Solución:

Sea:

2

1tan

2

1tan 1 xx

3

1tan

3

1tan 1 yy

Reemplazando estos valores se obtiene que:

3

1tan

2

1tan 11sen = )( yxsen .

Pero como )( yxsen = xsenyysenx coscos , entonces:

3

1tan

2

1tan 11sen = xsenyysenx coscos

Para reemplazar valores en esta última ecuación es necesario calcular los valores

correspondientes de senx, cosx, seny y cosy a partir de los datos anteriores: 2

1tan x y

3

1tan y

Empleando 2

1tan x se obtiene:

521 22 a

5

11

asenx y racionalizando

5

5senx

5

22cos

ax y racionalizando

5

52cos x

Empleando 3

1tan x se obtiene:

1031 22b

10

11

bseny y racionalizando

10

10seny

10

33cos

by y racionalizando

10

103cos y

Por lo tanto reemplazando valores en

3

1tan

2

1tan 11sen = xsenyysenx coscos

se tiene:

3

1tan

2

1tan 11sen =

5

52

10

10

10

103

5

5

3

1tan

2

1tan 11sen =

2

2

50

255

50

505

50

502

50

503

3) Demostrar la igualdad ab

baba

1arctanarctanarctan

Sea:

xaax tanarctan byby tanarctan

Entonces:

ab

bayx

1arctan

Aplicando tan a ambos lados de la igualdad se tiene:

ab

bayx

1arctantan)tan(

Como yx

yxyx

tantan1

tantan)tan(

y aa )tan(arctan se obtiene:

yx

yx

tantan1

tantan

ab

ba

1

Reemplazando xa tan ; by tan

ab

ba

1=

ab

ba

1. Como son idénticas se ha demostrado que

ab

baba

1arctanarctanarctan

4) Resolver la ecuación )7arctan(1

arctan1

1arctan

x

x

x

x

Sea:

1

1tan

1

1arctan

x

xA

x

xA

x

xB

x

xB

1tan

1arctan

Y remplazando: )7arctan( BA

Aplicando tan a ambos lados de la igualdad:

)7arctan(tan)tan( BA . Como BA

BABA

tantan1

tantan)tan(

y aa )tan(arctan :

7tantan1

tantan

BA

BA. Reemplazando valores se obtiene:

71

1

11

1

1

1

x

x

x

xx

x

x

x

71

1

)1(

)1()1( 2

x

x

xx

xxx

71

)1(

)1()1( 2

x

xx

xx

xxx

71

)1(

)1()1( 2

x

xx

xx

xxx

7

1

11

1222

x

xxxx

71

12 2

x

xx

xxx 7712 2 07712 2 xxx 0882 2 xx

0442 xx

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

Hallar los valores de las siguientes funciones en radianes

1) 2

3arccos R: rad

6

2) 3

3cot 1 R: rad

3

Hallar los valores de las siguientes funciones en radianes

3)

3

1arctan

2

1arctansen R:

2

2

4) )cos2cos( 1 a R: 12 2 a

Demostrar las igualdades:

5) 21

2arctan2

a

aarcsena

6) radnm

nm

n

m

4arctanarctan

7) mn

nmnm

1tantantan 111

8) 9

2tan

13

1arctan

7

1tan 11

Resolver las siguientes ecuaciones:

9) 5

4arctan)1arctan(arctan xx

R: 2

1

10) 42

1arctan

2

1arctan

x

x

x

x R:

2

10