funcios de vàries variables

TEMA 6

FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES.

CALCUL DIFERENCIAL EN N

VARIABLES

6.1 Introduccio

En el capıtol anterior s’han estudiat les funcions reals de variable real; es a dir, funcions quecomencaven en el conjunt dels numeros reals, R, i acabaven en el mateix conjunt. Ara trebal-larem amb funcions que comencen a R

n i acaben a R, f :Rn −→ R. Val a dir que tambe espoden considerar funcions de Rn a Rm, pero el seu estudi es pot reduir sempre a l’estudi de mfuncions (funcions components) que acaben a R.

6.1.1 Continuıtat per a funcions reals de variable vectorial

Lımit d’una funcio f :Rn −→ R en un punt.

Si a es un punt d’acumulacio de Dom f , direm que f te lımit L quan en el punt a (i ho denotaremlimx→a

f(x) = L) si i sol si per tot ε > 0 existeix δ > 0 tal que si 0 < ‖x − a‖ < δ llavors

|f(x)− L| < ε .

Proposicio 12 El lımit d’una funcio en un punt, si existeix, es unic.

Continuıtat d’una funcio f :Rn −→ R en un punt.

Direm que una funcio f es contınua en el punt a si i sol si limx→a

f(x) = f(a) .

Teorema 13 Si, independentment del “camı” que escollim per “apropar-nos” al punt a, el lımitde f(x) (quan x recorre el camı esmentat) existeix i val f(a), llavors la funcio f es contınua enel punt a.

E. Bailo / J. Cecılia / J. Gelonch / J. Molins

66 Funcions de diverses variables. Calcul diferencial en n variables

Observacio. Podem destacar dues consequencies del teorema anterior:

La primera es que podem trobar el possible valor del lımit d’una funcio en un punt calculant elvalor del lımit quan ens apropem per un camı en particular.

La segona es que si el lımit d’una funcio depen del camı utilitzat, llavors la funcio no te lımit enaquest punt i, per tant, no es contınua en ell.

Camins habituals per assajar amb funcions de 2 variables

A continuacio comentarem una serie de camins de prova per a intentar analitzar si una funciode dues variables es contınua en el punt1 (0, 0).

a) y = mx c) x = qy2b) y = px2

a) Lımits per rectes. Trobarem limx→0

f(x,mx) .

b) Lımits per paraboles verticals. Trobarem el valor de limx→0

f(x, px2) .

c) Lımits per paraboles horitzontals. Hem de calcular limy→0

f(qy2, y) .

Exemple. Proveu que les funcions seguents no son contınues en el punt (0, 0).

a) f(x, y) =

{ xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) .b) f(x, y) =

xy2

x2 + y4si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) .

Solucio:

a) Busquem el lımit en el punt (0, 0) utilitzant rectes2:

limx→0

f(x,mx) = limx→0

mx2

x2 +m2x2=

m

1 +m2.

Com que aquest valor depen de la variable m, la funcio no te lımit en el punt. Per aixo ja nopot ser contınua en (0, 0).

1Si l’estudi s’ha de realitzar en un punt generic (x0, y0) les equacions corresponents a cada un dels casos son:

a) y = y0 +m(x− x0) ; y = y0 + p(x− x0)2 ; x = x0 + q(y − y0)

2.

2Ho fem per rectes perque tots els monomis que apareixen a la definicio de la funcio son del mateix grau.


6.1 Introduccio 67

b) Per tal d’igualar graus, farem el lımit per paraboles horitzontals:

limx→0

fqy2, y = limx→0

qy4

q2y4 + y4=

q

q2 + 1.

Igual que en el cas anterior, la funcio no te lımit en (0, 0).

Proposicio 13 Si f(x, y) → 0 i g(x, y) es fitada, llavors f(x, y) · g(x, y) → 0 .

Exemple. Comproveu que la funcio

f(x, y) =

x3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) ,

es una funcio contınua en tot R2.

Solucio:

L’unic punt on pot deixar de ser contınua es el (0, 0). Per tant, buscarem el lımit en aquestpunt. Si es busca per rectes o pels dos tipus de paraboles, el lımit ens dona zero. Amb aixopodem suspitar (no assegurar) que aquest es el valor del lımit de la funcio en (0, 0). Llavors femel seguent:

limx→0

∣

∣

∣

∣

x3

x2 + y2

∣

∣

∣

∣

= limx→0

|x| ·∣

∣

∣

∣

x2

x2 + y2

∣

∣

∣

∣

≤ limx→0

|x| = 0 .

Aquı s’ha utilitzat que

∣

∣

∣

∣

x2

x2 + y2

∣

∣

∣

∣

≤ 1 per tot valor de x i y (es tracta doncs d’una funcio fitada)

i el resultat de la proposicio anterior.

6.1.2 Continuıtat per a funcions vectorials de variable vectorial

Definim projeccio j-esima de Rm com la funcio πj :Rm −→ R tal que

πj(x1, x2, . . . , xm) = xj per j = 1, 2, . . . ,m .

Donada una funcio f :Rn −→ Rm, es defineixen les seves funcions components com

fj :Rn −→ R tal que fj(x) = πj ◦ f(x) = πj(f(x)) .

Observacio. La definicio anterior ens permet utilitzar la notacio f = (f1, f2, . . . , fm) .

Exercici. Calculeu les funcions components de f :R2 −→ R3 definida per

f(x, y) = (x+ y, ln(x2 + y2), sin(x− y)) .

Teorema 14 (Reduccio al cas de funcions reals) Donada una funcio f :Rn −→ Rm, de compo-

nents f = (f1, f2, . . . , fm), llavors la funcio f es contınua en el punt a si i sol si totes les sevesfuncions components son contınues en a . A mes a mes, si lim

x→afj(x) = Lj per a j = 1, 2, . . . ,m,

llavors

limx→a

f(x) = (L1, L2, . . . , Lm) .



6.2 Representacions grafiques per a f :R2 −→ R

6.2.1 Representacio en tres dimensions

Per a aconseguir representar aquest tipus de funcions neces-sitem ajudar-nos d’eines que ens faciliten la tasca. Aquesteseines solen ser programes informatics que representen en 3 di-mensions la superfıcie formada pels punts (x, y, f(x, y)) (pera valors (x, y) del domini de la funcio f). Per exemple, sirepresentem la funcio

f(x, y) =−4x

1 + x2 + y2,

utilitzant Mathematica c© obtenim el dibuix del costat.

-2

0

2

-2

0

2

-2

-1

0

1

2

-2

0

2

-2

0

2

S’ha dibuixat la superfıcie per a valors de x i y en l’interval [−2.5, 2.5]. Noteu que aquesta funcioes contınua per tot punt de R2 per ser quocient de polinomis amb denominador no nul. A mesa mes, si observem la funcio es clar que quant mes lluny de l’origen estan x o y mes propera azero es troba la funcio.

6.2.2 Corbes de nivell

Les corbes de nivell d’una funcio son una eina que ens permet tenir una idea de la grafica d’unafuncio de dues variables utilitzant solament dues dimensions. Consisteix en representar al plales corbes on la funcio pren el mateix valor3, es a dir, representar f(x, y) = k. Donant diferentsvalors a k tindrem una idea de com es la funcio f . Com a exemple, representem les corbes denivell de la funcio anterior, soles i amb un ombrejat que ens pot ajudar a interpretar-les (mesclaretat indica major altura).

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Corbes de nivell molt a prop ens indiquen molta variacio de la funcio i corbes de nivell moltallunyades entre sı ens indicaran que la funcio te poca variacio.

3Les isobares que surten als mapes meteorologics son un bon exemple de corbes de nivell


6.3 Calcul diferencial per a f :Rn −→ R 69

6.3 Calcul diferencial per a f :Rn −→ R

6.3.1 Introduccio

Pretenem trobar la generalitzacio del concepte de derivada d’una funcio (real de variable real)en un punt. Recordeu que per a funcions reals de variable real el valor Df(a) es el pendent dela recta tangent a la corba en el punt (a, f(a)). Aixı, per a funcions reals de varies variablesbuscarem un concepte que ens permeti construir un “pla” tangent a la grafica de f en el puntconsiderat.

6.3.2 Derivada direccional i derivada parcial

Donada una funcio f :Rn −→ R i un vector v 6= 0 es defineix la derivada direccional de f enel punt a segons la direccio v com el lımit

limh→0

f(a+ hv)− f(a)

h,

si existeix. La denotarem per Dvf(a).

Exemple. Calculeu la derivada direccional de f(x, y) = x2y en el punt a = (1, 1) segons ladireccio v = (2, 3).

Solucio: D’acord amb la definicio,

D(2,3)f(1, 1) = limh→0

f(1 + 2h, 1 + 3h)− f(1, 1)

h= lim

h→0

(1 + 2h)2(1 + 3h)− 1

h= lim

h→0(7 + 16h+ 12h2) = 7 .

Exercici. Calculeu la derivada direccional de la funcio f(x, y) = x/y en el punt a = (1,−1)segons la direccio del vector v = (−1, 1).

Solucio: 0 .

Quan v = ei, essent ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), amb l’1 a la i-esima component, escriurem Dif(a)en lloc de Deif(a) i l’anomenarem derivada parcial i-esima de la funcio f en el punt a.4

Exemple. Calculeu les derivades parcials de f(x, y) = x2y al punt a = (1, 1) .

4En notacio “classica”, la derivada parcial i-esima de la funcio f , tambe anomenada derivada parcial res-

pecte de la variable xi, es representa per∂f

∂xi

.



Solucio: D’acord amb la definicio,

D1f(1, 1) = limh→0

f(1 + h, 1)− f(1, 1)

h= lim

h→0

(1 + h)2 − 1

h= lim

h→0(2 + h) = 2 ;

D2f(1, 1) = limh→0

f(1, 1 + h)− f(1, 1)

h= lim

h→0

(1 + h)− 1

h= 1 .

Exercici. Trobeu les derivades parcials de la funcio f(x, y) = x2 + 3y3 al punt a = (1, 0) .

Solucio: D1f(1, 0) = 2 ; D2f(1, 0) = 0 .

6.3.3 Funcions derivada direccional i derivades parcials

De la mateixa manera que s’han definit les derivades direccionals i, en particular, les parcialsen un punt, tambe les podem definir en un punt arbitrari no definit, obtenint les funcionscorresponents.

Exemple. Donada la funcio f(x, y) = x2y, calculeu la seva derivada direccional respecte d’unvector (v1, v2) no nul.

Solucio: Segons la definicio donada,

D(v1,v2)f(x, y) = limh→0

f(x+ hv1, y + hv2)− f(x, y)

h= lim

h→0

(x+ v1)2(y + v2)− x2y

h= lim

h→0(x2v2 + 2xyv1 + 2hxv1v2 + hyv21 + h2v21v2) = 2xyv1 + x2v2 .

Exercici. Trobeu les derivades parcials de la funcio f(x, y) = x/y, en els punts on es pugui.

Solucio: D1f(x, y) = 1/y ; D2f(x, y) = −x/y2, sempre que y 6= 0 .

Calcul de derivades parcials utilitzant les regles de derivacio

La importancia de les derivades parcials es consequencia de dos fets. El primer es que, en la granmajoria de casos i tal com veurem posteriorment, hi ha una relacio molt forta entre elles i lesderivades direccionals; el segon es que, tambe en molts casos, es poden calcular sense utilitzarla seva definicio com a lımit.

Proposicio 14 Sigui f una funcio real de dues variables. Les seves derivades parcials, quanexisteixen, es poden calcular considerant la segona o la primera variable com a constant (percalcular D1f o D2f , respectivament) i aplicant les regles de derivacio conegudes del cas d’unasola variable.

Exemple. Calculeu les derivades parcials de la funcio f(x, y) = x · sin(xy).Solucio: Considerem la funcio g1(x) = f(x, k) = x · sin(kx). La seva derivada respecte a x es

g′1(x) = 1 · sin(kx) + x · cos(kx) · k = sin(kx) + kx · cos(kx) .

Amb aixo, D1f(x, y) = sin(xy) + xy cos(xy) .

Paral·lelament, sigui g2(y) = f(k, y) = k · sin(ky). La derivada d’aquesta funcio respecte de lavariable y es

g′2(y) = k · cos(ky) · k = k2 cos(ky) .



Per tant, D2f(x, y) = x2 cos(xy) .

Exercici. Calculeu les derivades parcials de les seguents funcions

(a) f(x, y) = x2+ y3+x2y3+1 ; (b) f(x, y) = ln(1+x2+ y4) ; (c) f(x, y, z) = sin(x2+2z+ y3) .

Solucio: (a) D1f(x, y) = 2x+ 2xy3 ; D2f(x, y) = 3y2 + 3x2y2 .

(b) D1f(x, y) =2x

1 + x2 + y4; D2f(x, y) =

4y3

1 + x2 + y4.

(c) D1f(x, y, z) = 2x cos(x2 + 2z + y3) ; D2f(x, y, z) = 2 cos(x2 + 2z + y3) ; D3f(x, y, z) =3y2 cos(x2 + 2z + y3) .

Algunes vegades, pero, no es possible utilitzar les regles de derivacio i no hi ha cap mes camıque aplicar la definicio. De fet, aixo tambe passava a les funcions reals de variable real.

Exemple. Trobeu les derivades parcials de la funcio f(x, y) en qualsevol punt, essent

f(x, y) =

−x2y − 2y3

x2 + y2, si (x, y) 6= (0, 0) ;

0 , si (x, y) = (0, 0) .

Solucio: Si apliquem les regles de derivacio ens quedara

D1f(x, y) =2xy3

(x2 + y2)2; D2f(x, y) =

−x4 − 5x2y2 − 2y4

(x2 + y2)2.

Aquestes funcions son les derivades parcials de la funcio f en qualsevol punt excepte en el (0, 0) .De fet, no tenen sentit en aquest punt. Vol dir aixo que f no es derivable a (0, 0)? Abans depoder fer aquesta afirmacio cal intentar trobar D1f(0, 0) i D2f(0, 0) utilitzant la definicio.

D1f(0, 0) = limh→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= lim

h→0

0− 0

h= 0 ;

D2f(0, 0) = limh→0

f(0, h)− f(0, 0)

h= lim

h→0

−2h− 0

h= −2 .

En definitiva,

D1f(x, y) =

2xy3

(x2 + y2)2, si (x, y) 6= (0, 0) ;

0 , si (x, y) = (0, 0) ;

D2f(x, y) =

−x4 − 5x2y2 − 2y4

(x2 + y2)2, si (x, y) 6= (0, 0) ;

−2 , si (x, y) = (0, 0) .

Exercici. Trobeu, si existeixen, les derivades parcials a l’origen de la funcio

f(x, y) =

{ y

x2 + y2, si (x, y) 6= (0, 0) ;

0 , si (x, y) = (0, 0) .

Solucio: D1f(0, 0) = 0 ; la D2f(0, 0) no existeix.



(a,b)

f(a,b)π

π

f(a,b)

(a,b)

6.3.4 Interpretacio geometrica de les derivades parcials

La derivada direccional d’una funcio de dues variables en el punt (a, b) es pot interpretar comel pendent de la corba que obtenim al tallar la superfıcie (x, y, f(x, y)) amb el pla π que passaper (a, b, 0), (a, b, f(a, b)) i segueix la direccio del vector v, sempre i quan aquest vector vsigui unitari. Per tant, les derivades parcials tambe representen pendents.

Observacio. L’existencia de les derivades parcials en un punt no ens garanteix l’existenciade pla tangent. (Si existeixen les derivades direccionals en qualsevol direccio tampoc tenimgarantida aquesta existencia.)

Per exemple, donada la funcio

f(x, y) =

{

|x|y√x2+y2

si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) ,

es pot comprovar que existeixen les derivades parcials en el punt (0, 0), i no podem construir unpla tangent a f en aquest punt, tal com es veu als dibuixos.

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

-1

0

1

-2

-1

0

1

-1

0

1

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

0

1

6.3.5 Funcio derivable. Funcio de classe C(1

Direm que una funcio real de n variables es derivable en un punt a si i sol si existeixen totesles derivades parcials en aquest punt.

Direm que una funcio real de n variables es de classe C(1 en un punt a si i sol si es derivable enun entorn5 del punt a i a mes a mes les derivades parcials son contınues en aquest punt.

Exercici. Demostreu que les funcions

a) f(x, y) = ln(1 + x2 + y4) b) g(x, y, z) = x2 + y3 + x2y3z

5Es a dir, en els punts x ∈Rntal que |x− a| < δ per algun valor δ > 0 .



son de classe C(1 en qualsevol punt del seu domini.

Observacio. En el cas de funcions de varies variables,derivable no implica contınua. Per exemple, la funcio

f(x, y) =

{

xy2

x2+y4si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0),

es una funcio que te totes les derivades parcials a l’origen(a mes a mes, te derivades direccionals en qualsevol direc-cio), pero no es contınua a l’origen de coordenades. Laseva representacio grafica (a l’esquerra) pot ajudar-nos aveure com falla la continuıtat.

6.3.6 Vector gradient de f en un punt a

Si f es una funcio de n variables, definim el vector gradient de f en el punt a com el vectorde Rn que te per component i-esima la derivada parcial i-esima de la funcio f en el punt a. Esa dir, ∇f(a) = (D1f(a), D2f(a), . . . , Dnf(a)) .

6.3.7 Interpretacio geometrica del vector ∇f(a).

- El vector (∇f(a),−1) es el vector normal del pla tangent (si existeix).

(∇f(a),−1)

- Ens indica la direccio de maxima variacio de la funcio en un entorn de a.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2



6.3.8 Funcio diferenciable en un punt a

Direm que una funcio f real de n variables es diferenciable en el punt a si

• f es derivable en el punt a , i

• limh→0

|f(a+ h)− f(a)−∇f(a) · h|‖h‖ = 0 .

Teorema 15 (Condicio suficient.) Si una funcio es de classe C(1 en un entorn del punt a,llavors la funcio es diferenciable en aquest punt.

Exercici. Demostreu que la funcio f(x, y) = 1 + x2 + x3y2 + y4 es diferenciable per tot(x, y) ∈ R

2.

Observacio. La condicio anterior es suficient pero no necessaria. Existeixen funcions diferen-ciables amb alguna de les seves derivades parcials discontınua. Per exemple, la funcio

f(x, y) =

(x2 + y2) sin

(

1√

x2 + y2

)

si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) ,

es una d’aquestes.

Teorema 16 Si una funcio f real de variable vectorial es diferenciable en el punt a, llavors:

i) f es derivable en el punt a ;

ii) f es contınua en el punt a ;

iii) la derivada direccional es pot trobar utilitzant la formula: Dvf(a) = ∇f(a) · v (producteescalar de vectors) ;

iv) per a funcions de dues variables, la diferenciabilitat garanteix l’existencia del pla π tangenta f en el punt a = (x0, y0), que te per equacio

z − f(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · (x− x0, y − y0) .

Exercici. Calculeu el pla tangent a la funcio f(x, y) = x2y en el punt a = (1, 2).

Observacio. (Esquema per a estudiar la diferenciabilitat d’una funcio en el punt a).


6.4 Diferenciabilitat per a f :Rn −→ Rm 75

Si volem estudiar la diferenciabilitat d’una funcio en un punt a, haurem de tenir en compte que:

- Si la funcio no es contınua en el punt, mai pot ser diferenciable en a.

- Si la funcio no posseeix totes les seves parcials en a, llavors no es diferenciable en a.

- Si la funcio es de classe C(1 en un entorn del punt, llavors es diferenciable en a.

- Si la funcio es contınua i derivable en el punt pero no sabem si es de classe C(1, llavors hemd’utilitzar la definicio.

6.4 Diferenciabilitat per a f :Rn −→ Rm

6.4.1 Matriu jacobiana de f en un punt a

La matriu jacobiana de f :Rn −→ Rm en el punt a, es una matriu que te m files i cada

una d’aquestes esta formada per el vector gradient de les funcions components fj (amb j =1, 2, . . . ,m) en el punt a. Es a dir,

Jf (a) =

∇f1(a)∇f2(a)· · ·

∇fm(a)

=

D1f1(a) D2f1(a) · · · Dnf1(a)D1f2(a) D2f2(a) · · · Dnf2(a)

......

...D1fm(a) D2fm(a) · · · Dnfm(a)

Direm que una funcio f :Rn −→ Rm es diferenciable en el punt a si

• fj es derivable en el punt a per tot j = 1, 2, . . . ,m, i

• limh→0

‖f(a+ h)− f(a)− Jf (a)h‖‖h‖ = 0.

Teorema 17 (Reduccio al cas real.) Una funcio vectorial de variable vectorial f es diferenciableen un punt a si i sol si ho son totes i cadascuna de les seves funcions components.

Exercici. Estudieu la diferenciabilitat de la funcio f :R2 −→ R2 definida per f(x, y) =

(x2y, ln(1 + x2 + y4)). Calcular tambe la matriu Jacobiana de f en el punt (1, 2).

6.5 Operacions amb funcions diferenciables

Proposicio 15 Donades f, g dues funcions diferenciables en un punt a i λ ∈ R, llavors

1.- f + g es diferenciable en el punt a; a mes a mes Jf+g(a) = Jf (a) + Jg(a).

2.- λf es diferenciable en el punt a i Jλf (a) = λJf (a).

3.- Per a funcions reals, tambe son diferenciables el producte i el quocient (si g(a) 6= 0) de f ig en el punt a. A mes a mes,

Jf ·g(a) = g(a)Jf (a) + f(a)Jg(a) i Jf/g(a) =1

(g(a))2(g(a)Jf (a)− f(a)Jg(a)) .

4.- (Regla de la cadena.) Si te sentit la composicio i f es diferenciable en a i g ho es en f(a),llavors la composicio g ◦ f es diferenciable en a i

Jg◦f (a) = Jg(f(a)) · Jf (a) .



Exercici. Donades les funcions f(x, y) = (x + y, x − y, x2 − y2) i g(u, v, w) = (u − v, w/u),trobeu la Jacobiana de g ◦ f en el punt (1, 2).

Exercici. Comproveu que la funcio F (x, y, z) = f(x2 + y2 + z2, xy + xz + yz), essent f unafuncio real de dues variables derivable, verifica l’equacio diferencial

(y − z)D1F + (z − x)D2F + (x− y)D3F = 0 .

Exercici. Comproveu que u(x, t) = (1/2)(f(x− ct) + f(x+ ct)) es solucio de l’equacio d’onesunidimensional

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2.

(Aquesta equacio descriu les petites vibracions transversals d’una corda elastica com les queutilitzen alguns instruments musicals.)

6.6 Polinomi de Taylor per a funcions de varies variables

6.6.1 Derivades parcials successives. Funcio de classe C(k

Si f :Rn −→ R, es defineix la derivada parcial d’ordre dos respecte de les variables i i j en elpunt a com la derivada parcial respecte de la variable i en el punt a de la funcio Djf(x), onj, i = 1, 2, . . . , n. Resumint6,

Dijf(a) = Di(Djf)(a) = limh→0

Djf(a+ h · ei)−Djf(a)

h.

Nota. Es clar que la definicio anterior es pot generalitzar per obtenir les derivades de l’ordreque vulguem.

Direm que una funcio f es de classe C(k si te totes les derivades fins a ordre k i son contınues.

Exemple. Tots els polinomis en varies variables son funcions de classe C(∞.

Exercici. Calculeu les derivades D12f(1, 2), D122f(1, 2) essent f(x, y) = 1 + x2 + x3y2 + y4.

Observacio. Hi ha funcions relativament senzilles que no tenen les derivades creuades igualsi per tant hem de tenir en compte l’ordre de derivacio. Com exemple, calculeu D12f(0, 0) i

D21f(0, 0) essent f(x, y) =

{

xy x2−y2

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) .

Proposicio 16 (Igualtat de les derivades creuades.) Si f es de classe C(2 al voltant del punta, llavors Dijf(a) = Djif(a) per tot i, j.

6En notacio classica si volem indicar la derivada parcial d’ordre dos de f respecte de x i y en el punt a, s’escriu

∂f

∂x∂y(a) .


6.7 Extrems relatius 77

6.6.2 Matriu hessiana d’una funcio f ∈ C(2 en el punt a

Es la matriu definida per

Hf (a) =

D11f(a) D12f(a) . . . D1nf(a)D21f(a) D22f(a) . . . D2nf(a)

......

. . ....

Dn1f(a) Dn2f(a) . . . Dnnf(a)

Noteu que la matriu Hf (a) es simetrica.

Exercici. Trobeu la matriu hessiana de f(x, y) = 1 + x2 + x3y2 + y4 en el punt a = (1, 2).

Exercici. Trobeu la matriu hessiana de f(x, y) =x

x2 + y2 + 1en el punt a = (0, 1).

6.6.3 Polinomi de Taylor

Quan f :R2 −→ R es una funcio de classe C(k el polinomi de Taylor de grau k per a f en el punta = (a1, a2) ve donat per

Pk(x, y) = f(a) +D1f(a)(x− a1) +D2f(a)(y − a2)

+1

2!

(

D11f(a)(x− a1)2 + 2D12f(a)(x− a1)(y − a2) +D22f(a)(y − a2)

2)

+1

3!

(

D111f(a)(x− a1)3 + 3D112f(a)(x− a1)

2(y − a2)

+ 3D122f(a)(x− a1)(y − a2)2 +D222f(a)(y − a2)

3)

+ · · ·

+1

k!

(

k∑

i=0

(

k

i

)

D1,

i⌣...,1,2,

k−i⌣... ,2

f(a)(x− a1)i(y − a2)

k−i

)

Exercici. Trobeu P3(x, y) de f(x, y) = x ln y + y sinx en el punt a = (0, 1).

Exercici. Trobeu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funcio f(x, y) =x

x2 + y2 + 1en el punt

a = (0, 1).

Exercici. Trobeu el polinomi de Taylor de grau 2 de f(x, y) =x

yex+y en el punt a = (1,−1).

6.7 Extrems relatius

6.7.1 Classificacio de matrius simetriques

Donada una matriu simetrica H d’ordre n direm que

• H es semidefinida negativa si xHxt ≤ 0 per tot x ∈ Rn.

• H es semidefinida positiva si xHxt ≥ 0 per tot x ∈ Rn.

• H es definida negativa si xHxt < 0 per tot x ∈ Rn amb x 6= 0.

• H es definida positiva si xHxt > 0 per tot x ∈ Rn amb x 6= 0.



• H es no definida en qualsevol altre cas.

Exercici. Classifiqueu la matriu

(

2 11 4

)

.

Donada una matriu A = (aij) quadrada d’ordre n el menor principal7 dominant d’ordre k (quedenotarem ∆k) es el determinant de la submatriu de A obtinguda amb els elements intersecciode les primeres k files i columnes de la matriu A.

Aixı, si A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

. . . . . .. . . . . .

an1 an2 · · · ann

, els menors principals dominants son

∆1 = a11 , ∆2 =

∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22

∣

∣

∣

∣

, . . . ,∆n =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

. . . . . .. . . . . .

an1 an2 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= detA .

Teorema 18 (Classificacio de la hessiana en funcio dels menors principals dominants.) Ambles notacions anteriors, es compleix:

• ∆k > 0 per a k = 1, 2, · · · , n si i sol si la matriu H es definida positiva.

• A(i1, i2, . . . , ik) ≥ 0 amb 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n; k = 1, 2, · · · , n⇐⇒ H es semidefinidapositiva.

• (−1)k∆k > 0 amb k = 1, 2, · · · , n si i sol si H es definida negativa.

• (−1)kA(i1, i2, . . . , ik) ≥ 0 amb 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n; k = 1, 2, · · · , n ⇐⇒ H es semidefini-da negativa.

• En qualsevol altre cas la matriu es no definida.

Nota. En cas de que algun dels menors principals dominants sigui nul i l’ordre de la matriusigui gran, es convenient utilitzar algun altre metode per a la classificacio.

Observacio. Noteu que si ∆2 < 0 la matriu sera no definida.

Teorema 19 (Classificacio de la hessiana en funcio dels vap’s.) Si λ1, λ2, . . . , λn son els VAP’sde H, es compleix 8

• La matriu H es definida positiva si i sol si λk > 0 per a k = 1, 2, . . . , n.

• La matriu H es definida negativa si i sol si λk < 0 per a k = 1, 2, . . . , n.

• La matriu H es semidefinida positiva si i sol si λk ≥ 0 per a k = 1, 2, . . . , n.

• La matriu H es semidefinida negativa si i sol si λk ≤ 0 per a k = 1, 2, . . . , n.

• H es no definida si i sol si te vap’s de diferent signe.

7Un menor principal d’una matriu A, A(i1, i2, . . . , ip), es el determinant de la submatriu de A obtinguda ambels elements “interseccio” de les files i columnes i1, i2, . . . , ip amb 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ip ≤ n on p = 1, 2, · · · , n .

8Recordeu que tota matriu simetrica te tots els seus VAP’s reals.


6.8 Extrems condicionats. Multiplicadors de Lagrange 79

Exercici. Classifiqueu les seguents matrius:

A =

(

2 11 2

)

, B =

(

1 22 1

)

, C =

−1 0 10 −1 31 3 −20

i D =

−1 0 10 0 31 3 −20

.

6.7.2 Calcul d’extrems

Un punt a es dira punt de sella si ∇f(a) = 0 i Hf (a) no esta definida.

Teorema 20 Una condicio necessaria perque una funcio f :Rn −→ R derivable tingui un ex-trem en un punt a ∈ R

n es que ∇f(a) = 0.

Teorema 21 Si f ∈ C(2 al voltant de a i te un mınim local en a, llavors Hf (a) es semidefinidapositiva.

Teorema 22 Sigui una funcio real de n variables, f ∈ C(2 en un entorn de a, tal que ∇f(a) = 0i Hf (a) es definida positiva. Llavors, f te un mınim local estricte en el punt a.

Quan Hf (a) sigui definida negativa podrem afirmar que f te un maxim local estricte en el punta.

Observacio. (Metodologia per a obtenir els extrems d’una funcio.)

1.- Trobeu els punts crıtics resolent el sistema ∇f(x) = 0.

2.- Trobeu Hf (x), particularitzant-la en els punts crıtics i classificar-la en aquests punts.

Exercici. Trobeu els extrems de la funcio f(x, y) =−x

x2 + y2 + 1.

6.8 Extrems condicionats. Multiplicadors de Lagrange

Observacio. (Plantejament del problema en termes matematics.) Pretenem resoldre el prob-lema de trobar els extrems d’una funcio real de varies variables, f(x1, x2, . . . , xn) (funcio ob-jectiu), quan les variables verifiquen una serie d’equacions (que nosaltres anomenarem restric-cions). Podem considerar que estan expressades per gi(x1, x2, . . . , xn) = 0 amb i = 1, 2, . . . ,m.Esquematicament:

Optimitzar f(x1, x2, . . . , xn)

sotmes ag1(x1, x2, . . . , xn) = 0

· · ·gm(x1, x2, . . . , xn) = 0

Si denotem x = (x1, x2, . . . , xn) i λ = (λ1, λ2, . . . , λm), definim la funcio lagrangiana de f(x)amb les restriccions g1(x), g2(x), . . . , gm(x) com

L(x, λ) = f(x) + λ1g1(x) + · · ·+ λmgm(x) .



Teorema 23 Siguin f, gi ∈ C2(A) funcions reals. Suposarem que coneixem a ∈ A ⊂ Rn i

λ ∈ Rm tal que ∇L(a, λ) = 0. Si per tot vector no nul z ∈ R

n tal que [∇gi(a)](z) = 0, i =1, 2, . . . ,m, es compleix que zH∗

L(a, λ)zt > 0 (on H∗

L(a, λ) es la hessiana de la funcio L calculadasolament derivant respecte de les variables xi), llavors f te un mınim estricte local en el punt aamb les restriccions gi(x) = 0.

Quan es compleix que zH∗L(a, λ)z

t < 0, tindrem un maxim local estricte.

Observacio. (Metodologia per a obtenir extrems condicionats.)

1.- Construıu la funcio Lagrangiana.

2.- Trobeu els punts crıtics resolent el sistema ∇L(x, λ) = 0.

3.- Calculeu H∗L(x, λ) i avalueu-la en els punts crıtics.

4.- En els punts on la hessiana estigui definida, ja s’acaba. En els punts on no ho estigui, hem desaber com es la hessiana restringida sobre els vectors perpendiculars a la restriccio en el punt.

Exemple. Volem construir un diposit paral·lelepıpede rectangular recte (com una “caixa desabates”!) sense tapa, amb un volum de 400m3, i tal que un dels costats de la base sigui quatrevegades l’altre. Busqueu, pel metode dels multiplicadors de Lagrange, les dimensions del que temınima superfıcie total.

Solucio: La funcio objectiu es f(x, y) = 4x2 + 10xy . Hi ha un sola restriccio, g(x, y) =4x2y − 400.

Funcio Lagrangiana:

L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) = 4x2 + 10xy + λ(4x2y − 400) .

Gradient de la funcio L.

∇L(x, y, λ) = (8x+ 10y + 8λxy, 10x+ 4λx2, 4x2y − 400) .

Solucions del sistema ∇L(x, y, λ) = (0, 0, 0).

P = (5, 4) , amb λ = −1

2.

Hessiana restringida de la funcio L en un punt qualsevol.

H∗L(x, y, λ) =

(

8 + 8λy 10 + 8λy10 + 8λy 0

)

.

Hessiana restringida de la funcio L en el punt P .

H∗L(P ) =

(

−8 −10−10 0

)

.

Es pot comprovar que aquesta matriu es no definida.

Vector gradient de la restriccio en el punt P .

∇g(x, y) = (8xy, 4x2) =⇒ ∇g(P ) = (160, 100) ‖ (8, 5) .


6.8 Extrems condicionats. Multiplicadors de Lagrange 81

Vectors perpendiculars al gradient de la restriccio en P .

v = (a, b) ⊥ ∇g(P ) ⇐⇒ 8a+ 5b = 0 ⇐⇒ v = (−5a, 8a) .

Hessiana actuant sobre els vectors perpendiculars al gradient de la restriccio.

v ·HL(P ) · vt = (−5a 8a ) ·(

−8 −10−10 0

)

·(

−5a8a

)

= 600a2 > 0 per tot a 6= 0 .

Llavors, P es un mınim relatiu de f condicionat a g = 0.

Exercici. Trobeu els extrems de f(x, y, z) = x+ y + z sotmes a la restriccio1

x+

1

y+

1

z= 1.




Documents

funcios de vàries variables