2 Fundamentos matemticos.Grupo.Sea V un conjunto de al menos dos elementos, y sea una operacin binaria. Se dice que la pareja es un grupo.Un grupo debe cumplir las siguientes propiedades: i) Propiedad de Cerraduraii) Propiedad Asociativaiii) Propiedad de Elemento Nuloiv) Propiedad Elemento Inversov) Propiedad de ConmutatividadLa pareja cumple las 5 propiedades entonces recibe el nombre de Grupo Conmutativo (Abeliano).Ejemplo 1Sea y llamadas operacin aditiva, definida como: Recordando que en un par ordenado.

Demuestre que tiene estructura de grupo .1.

Por asociatividad de la suma:

Clase #2 23-enero-2013GrupoPropiedades 1. Por simple inspeccin se cumple la propiedad de cerradura.

2. Desarrollando la parte izquierda de la igualdad:

Por lo anterior, Se cumple la propiedad asociativa.3. Si definimos

Conocemos el elemento nulo aditivo de la suma dentro de

Se cumple la propiedad del elemento nulo aditivo

4. Si definimos

Conocemos el elemento inverso aditivo de la suma dentro de . Se cumple lo mismo para .

Se cumple la propiedad del elemento inverso aditivo

5.

Por asociatividad de la suma:

Se cumplieron las cinco propiedades, por lo tanto la pareja es un grupo aditivo Abeliano.

Ejemplo 2Sea y llamada operacin multiplicacin, definida como:

Demuestre que tiene estructura de grupo multiplicativo . Demuestre que la pareja es un grupo multiplicativo Abeliano.

1. Por simple inspeccin se cumple la propiedad de cerradura.

2. Asociativa

Desarrollando el lado izquierdo de la igualdad de la ecuacin.

Desarrollando el lado izquierdo de la ecuacin. Metemos el par ordenado z dentro de los parntesis.

Desarrollando el lado derecho de la ecuacin, Extrayendo el par.

Obtenemos el mismo resultado en ambos lados de la ecuacin.Se cumple la propiedad asociativa.3. Nos habla de la existencia del nulo multiplicativo.Significa que ambos pares permanecen a V, si yo opero este valor por un par de la misma forma tiene que dar el mismo valor.

Este sistema de ecuaciones es no lineal donde las incgnitas a encontrar son y el sistema es compatible con una nica solucin. Resolviendo por el mtodo de sustitucin:De la ecuacin (1)

Sustituimos en (2).

Se cumple la propiedad del elemento nulo multiplicativo.Existe un par ordenado que pertenece al espacio V tal que al ser multiplicado por el nulo multiplicativo debe ser el mismo par ordenado.Comprobamos la existencia del nulo multiplicativo

Aplicando la definicin de producto

4.

Sustituimos en ecuacin (1)

Despejando

En la ecuacin (2) sustituimos (3) y nos queda la siguiente expresin para

Se cumple la propiedad del elemento inverso multiplicativo de .

El nulo aditivo de V no cumple con la propiedad del inverso aditivo. Si furamos rigurosos no es un grupo. Se dice que es un grupo solo por la excepcin del nulo aditivo (campo de los reales).Se cumple la propiedad del elemento inverso aditivo.

Comprobamos tomando Desarrollamos el lado izquierdo.

(1)(2)

Por simple observacin se ve que el nico para ordenado (0,0) que inverso multiplicativo.

5. Propiedad de conmutatividad

Desarrollamos ambos lados de la ecuacin.

Se cumple la propiedad conmutativaDe este ejercicio se concluye que: la pareja (V,*) es un grupo multiplicativo excepto por la existencia del inverso aditivo y el nulo multiplicativo.

Clase #3 24-enero-2013CampoEspacio VectorialCampo: Sea la terna , se dice que es un campo si cumple con las siguientes propiedades.i) es un grupo aditivo conmutativoii) es un grupo multiplicativo conmutativoiii) Nota: Excepto la existencia del inverso multiplicativo del nulo aditivo Propiedad distributiva de la operacin multiplicacin * bajo la operacin aditiva.

Espacio Vectorial Es un conjunto de al menos dos elementos y seauna operacin binaria, se dice que la pareja es un espacio vectorial sobre el campo si existe una operacin:

Llamada multiplicacin escalar y se cumplen las siguientes propiedades:I) , y , existe un nico .II) , siendo el elemento nulo multiplicativo de k y - el inverso aditivo de , se cumple que , donde es el elemento nulo aditivo de K.III) y , se cumple que , propiedad distributiva de la operacin, bajo la operacin aditiva.IV) y , se cumple que: , propiedad distributiva de la operacin , bajo la operacin aditiva .V) y , se cumple que: , propiedad asociativa.VI) , se cumple:

Plantearemos nuestro espacio vectorial:

k=Definida como y *:

Clase #4 29-enero-2013Transformacin linealSea y , dos espacios vectoriales sobre el mismo campo , se dice que la transformacin:

Conceptualmente

Figura 8 Esquema de espacios vectoriales y transformacin lineal TEs lineal, si cumple con las siguientes propiedades: I) , (Principio de Superposicin) II) (Homogeidad) Definamos a al conjunto de todas las transformaciones lineales de

Como mecatrnicos debemos de trabajar en la zona lineal Ejemplos

Rotacin.Una rotacin de cuerpo rgido es una transformacin lineal, ortogonal y de determinante positivo (+1). TDefinida como:

Punto de Rotacin

Parmetro de rotacin p= (p1, p2) esta fijo : todo el espacio vectorial.Comprobacin

Parmetro de Euler 1843 Funcin producto punto interno

Donde: =

Recordando:Rotacin: Es una transformacin lineal, ortogonal de determinante positivo.

a) Transformacin Lineal

i) ====ii) ====b) OrtogonalidadEl principio de Ortogonalidad preserva la norma de un vector rotado y el ngulo relativo en ellos. a) b) = =1

(((

(

Factorizando:==

Siendo

Clase #5 30-enero-2013Cinemtica de Mecanismos 2DNuestro marco terico.

La transformacin

Donde est fijo, llamado parmetro de rotacin.

(Parmetro de Euler)

Grficamente el vector nace de rotar (aplicar la trasformacin) del vector . Y est expresado en componentes cartesianas.

Ejemplo Encontrar el modelo cinemtico del mecanismo:

.

Metodologa de estudio Cinemtica DirectaPara encontrar el modelo cinemtico de cualquier mecanismo plantearemos una metodologa de estudio basada en 3 pasos.1) Definicin del problema:Dados como datos

2) Observar que las bases locales (mviles) son una rotacin de la base global fija.

Fijar Base inercial fija. Base local mvil 1 Base local mvil 2Nota: las bases son ortonormales.

Matemticamente:

donde: Rotacin Las bases mviles son una rotacin de la base global fija.

Para cada rotacin se necesita un parmetro.

3) Establecer la Ecuacin de lazo (1)

La ecuacin de lazo es una representacin matemtica de las restricciones fsicas del mecanismo, que limita el movimiento de los eslabones entre si y relaciona las variables cinemticas.Explicitando:

Separando en componentes:Modelo cinemtico del mecanismo (2)

Cinemtica inversaDados como datos encontrar

Definimos:

Representacin del movimiento del mecanismo, de un punto A al B.

Construyendo las bases:

Caso 1

Caso 2

Ecuacin de lazo:

Sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial. Un mtodo de solucin es el de Newton-Rhapson.

Clase #6 31-enero-2013Mtodos de Solucin NumricaSistemas de ecuaciones no lineales en trminos de sus incgnitas:P1, P2, Q1, Q2x2=y2=

Mtodo de Newton Expresin vectorial de un sistema de ecuacionesF(x)=0incgnitas

Vector residual Vector de incgnitas =1 -1