GEOMETRANDICE LECCIN Las Funciones como modelos descriptivos Dominio y Recorrido Modelos descriptivos FUNCIONES ELEMENTALES Funcin lineal Funcin cuadrtica Funcin exponencial Funcin logartmica TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA ngulos y sistemas de medicin angular Razones trigonomtricas en tringulos rectngulos Resolucin de tringulos rectngulos Resolucin de tringulos acutngulos y obtusngulos Teorema del seno Teorema del coseno Grfica de funciones trigonomtricas Identidades trigonomtricas Ecuaciones trigonomtricas GEOMETRA ANALTICA Sistema de coordenadas El punto en el plano Distancia entre puntos Punto medio La ecuacin de la recta La circunferencia La parbola La elipse La hiprbola 69 50 41 10 15 27 35 PAGINA 02

55 62 65

71 78 82 89 93

UNIDAD N 1 LAS FUNCIONES COMO MODELOS DESCRIPTIVOS CLASE 1 APRENDIZAJES ESPERADOS Calculan imgenes y co imgenes de funciones reales sencillas Determinan dominio y recorrido de funciones reales. Modelan situaciones sencillas utilizando funciones elementales CONTENIDOS Definicin de Funcin Real Evaluacin de funciones reales Dominio y recorrido Las funciones como modelos descriptivos Funciones elementales

FUNCIONES, CONCEPTOS ELEMENTALES IDEA PRELIMINAR: en el siguiente diagrama se muestran dos conjuntos, el conjunto O, de los oficios de la Construccin, y el conjunto H, de herramientas de construccin. Mediante una flecha conecta el oficio con su respectiva herramienta de trabajo.

Lo que acabas de hacer es establecer una relacin entre los elementos de dos conjuntos, el conjunto de salida O y el conjunto de llegada H. Una funcin es precisamente eso, una relacin entre los elementos de dos conjuntos.

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DEFINICIN: una funcin es una relacin entre los elementos de dos conjuntos A y B llamados conjunto de partida y conjunto de llegada respectivamente, tales que, a cada elemento del conjunto A le corresponde uno y solamente uno del conjunto B. Al conjunto de partida A, se le denomina Dominio de la funcin

Llamaremos: Imgenes: a todos los elementos del conjunto de partida que estn relacionados con algn elemento del conjunto de partida Preimgenes: a todos los elementos del conjunto de partida que tienen imagen. Dominio: al conjunto de todas las preimgenes. Recorrido: al conjunto de todas las imgenes Codominio: al conjunto de llegada Ejemplo: en el siguiente diagrama se representa una funcin

La imagen de 2 es 4 La preimagen de 9 es 3 El dominio es A = Domf = { ,2,3,4} 1

1 El recorrido es Re cf = { ,4,9,16}

1 El Codominio es B = Codomf = { ,4,9,16,25}

NOTACIN: denotaremos las funciones generalmente por las letras minsculas f, g, h,etc. As leeremos la expresin f (x) como f de x, donde x puede ser cualquier nmero real

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EVALUACIN DE FUNCIONES: evaluar una funcin consiste en reemplazar el valor de x dado en la frmula de la funcin, por un nmero real dado. Ejemplo1: Dada la funcin f ( x) = 2 x + 1 , calcular f (3) Solucin: en la frmula de la funcin reemplazamos x por 3 y obtenemos

f (3) = 2 3 + 1 = 7Ejemplo: Dada la funcin f ( x) = 3 x 2 2 , calcular f (2) Solucin: en la frmula de la funcin reemplazamos x por 2 y obtenemos

f (2) = 3 2 2 2 = 12 2 = 14

Ejemplo3: Dada la funcin f ( x) = a) calcular f (5) Solucin: f (5) =

3 , x2

3 3 = =1 52 3 b) calcular f (4)

Solucin: f (4) =

3 3 = = 0,5 42 6 c) Calcular f (2)

Solucin: Observemos que al reemplazar x por 2 en la funcin, esta no funciona, pues el denominador se hace cero (no est permitido dividir por cero)

f (2) =

3 3 = ??????? 22 0

El ejemplo anterior nos muestra que no siempre es posible evaluar una funcin en un valor dado. El que una funcin pueda ser evaluada en un nmero dado depender de si este nmero pertenece o no a su dominio

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DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIN DEFINICIN: llamaremos dominio de la funcin f y denotaremos Domf al conjunto de todos los nmeros reales a los cuales es factible aplicar la funcin (es decir el conjunto de todos los nmeros reales para los cuales la frmula dada por f, FUNCIONA!!) EJEMPLO: Calcular el dominio de las siguientes funciones: 1.

f ( x) = 2 x 3

Solucin Observamos que esta funcin est siempre definida, es decir, la variable x puede ser sustituida por cualquier nmero real y el resultado ser siempre un nmero real, por lo tanto Domf = IR 2.

f ( x) =

1 x

Solucin: Se observa que esta funcin est definida para cualquier nmero real excepto el cero (en x = 0 no funciona), por lo tanto Domf = IR {0} . 3.

f ( x) =

x x 42

Solucin: este tipo de funciones presenta problemas solamente en el denominador, ste nunca puede ser igual a cero. Entonces nos preguntamos cundo x 2 4 = 0 ?

x 2 4 = 0, entonces, ( x 2)( x + 2) = 0 esto es, cuando x = 2 y x = 2Por lo tanto

Domf = IR { 2,2} .

4.

f ( x) = x 1

Solucin: Esta frmula funciona slo si la cantidad subradical es mayor o igual que cero.

En lenguaje matemtico lo anterior se expresa

Domf = {x IR / x 1 0} = {x IR / x 1} ,Es decir todos los nmeros reales mayores iguales que 1 hacen que esta frmula funcione.

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EJERCICIOS: calcula el dominio de las siguientes funciones a) f ( x) = 3 x 7 b) f ( x) = 8 9 x c) f ( x) = 2 x 7 x + 12

x d) f ( x) = x +1 2 x e) f ( x) = 5 x

2x 7 x 2 25 2x 2 1 g) g ( x) = 2 x 64 3x 1 h) g ( x) = 1 x2 3 2x i) h( x) = 2 x + 100f) g ( x) =

j) h( x) = k) h( x) = l) h( x) = m) h( x) =

x x+3 2x + 4 7x

DEFINICIN: llamaremos Recorrido de una funcin f, y denotaremos Re cf , al conjunto de todos los elementos del conjunto de llegada que tienen pre-imagen.

CALCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIN: Para calcular el recorrido de una funcin realizaremos los siguientes pasos haremos y = f (x) En esta expresin despejaremos la variable x Luego nos preguntaremos Qu valores podemos asignar a la variable y? el conjunto de todos estos valores conformarn el recorrido de la funcin Ejemplos: i) Calcular el recorrido de la funcin f ( x) = 2 x + 3 Hacemos

Solucin:

y = 2x + 3Despejamos x, tendremos

y 3 =x 2Nos preguntamos qu valores pueden ser asignados a la variable y? La respuesta es Cualquier nmero real! Luego

Re cf = IR

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ii) Solucin:

f ( x) =

2+ x 3 x

Hacemos:

y=Despejamos x, tendremos:

2+ x 3 x

y (3 x ) = 2 + x 3 y yx = 2 + x 3 y 2 = yx + x 3 y 2 = ( y + 1)x 3y 2 =x y +1

Efectuar la multiplicacin en el miembro de la izquierda Agrupar trrminos en x Factorizar por x en el miembro de la derecha Despejar x Preguntarnos Qu valores no se le pueden asignar a y?

La respuesta es y debe ser distinto de -1! Luego

Re cf = IR { 1}

Observacin: deberemos entender este resultado de la siguiente forma: No existe un nmero real en el conjunto de partida, es decir en el dominio, que al ser reemplazado por x en la frmula de la funcin nos d como resultado -1 En efecto, comprobemos lo dicho en el prrafo anterior. Si existe un nmero que satisfaga la igualdad

2+ x = 1 3 xEntonces

2 + x = 1 (3 x ) 2 + x = 3 + x x x = 3 2 0 = 5

Pero este resultado es absurdo, luego, no existe un valor para x que reemplazado en la funcin de cmo resultado -1 iii)

f ( x) = x 2 + 1

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Solucin: Hacemos y = x 2 + 1 Despejamos x

y 1 = x2 x = y 1Nos preguntamos Qu valores pueden asignrsele a la variable y? Realizamos el anlisis: y 1 tiene sentido solamente cuando la expresin bajo el smbolo de la raz es mayor o igual a cero, en lenguaje matemtico:

y 1 0 y 1Luego la respuesta es Re cf = [1,+ )

EJERCICIOS: calcula el recorrido de las siguientes funciones 1) f ( x) = 3 x 7 2) f ( x) = 8 9 x 7) g ( x) = 2 x 2 + 1 8) g ( x) = 2 x 2 + 1 9) h( x) = 10) h( x) = 11) h( x) =

x x +1 2+ x 4) f ( x) = x3 2 5) g ( x) = 2x 3 6) g ( x) = x 2 23) f ( x) =

x+3 2x + 4 7x

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LAS FUNCIONES COMO MODELOS DESCRIPTIVOS: la importancia de las funciones es que a partir de ellas se pueden establecer modelos que permiten describir situaciones de la vida real. Estos modelos se presentan como una frmula que permite anticipar una respuesta a un problema dado Ejemplo: 1. Un jornal de la construccin gana $1500 por jornada diaria. Nos interesa establecer un modelo para determinar cul ser el salario del jornal al cabo de x das. Observa la siguiente tabla Das x 1 2 3 x Salario S 1500

1500 21500 3

1500 x

Luego el modelo que describe esta situacin es S ( x) = 1500 x 2. Se disponen de 200 metros de malla tipo gallinero para cercar un terreno rectangular de lado x. Establecer una funcin que nos permita calcular el rea de dicho terreno. Solucin: se dispone de 200 metros, luego, como el largo a cubrir es de x metros (por dos lados), sobran 200 2x metros de malla, los que se deben dividir en dos por qu? Luego los lados del rectngulo son como se muestran en la figura El rea la podemos expresar como:

A( x) = x (100 x ) = 100 x x 2

Ejercicio: el valor por concepto de arriendo de una mquina para construccin es de $8,000 por hora. Y el valor por concepto de operario de la mquina de $3,000 por hora. Escribir una funcin V(t) que exprese el valor a cancelar por t horas por una mquina y un operario.

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CLASE 2 APRENDIZAJES ESPERADOS Identifican la funcin Lineal y la caracterizan a travs de sus parmetros Operan con la funcin lineal en forma analtica y grfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral. Resuelven problemas de la especialidad aplicando la funcin lineal como modelo. CONTENIDOS Funcin Lineal: ecuacin, ceros y grfica. Aplicaciones de la funcin lineal.

FUNCIONES ELEMENTALES Ciertas funciones se nos presentan con frecuencia en el estudio de la matemtica y a partir de ellas se pueden modelar un sin nmero de fenmenos de la vida real, por lo que resulta sumamente necesario conocerlas y estudiarlas. Las funciones elementales que abordaremos son La funcin Lineal La funcin cuadrtica La funcin exponencial La funcin logartmica

FUNCIN LINEAL

PROPIEDADES El dominio de esta funcin es el conjunto de todos los nmeros reales IR El recorrido de toda funcin lineal es el conjunto de todos los nmeros reales IR La grfica de esta funcin es una lnea recta

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TRAZADO DE LA GRFICA: Dado que la grfica de una funcin lineal es una lnea recta, para trazarla se requieren conocer dos puntos cualesquiera de ella EJEMPLO: 1. Trazar la grfica de la funcin f ( x) = 2 x + 3 Solucin: todo punto que est sobre la grfica de esta funcin debe tener la forma buscamos dos puntos asignando valores a la variable x x 0 1

( x, f ( x ) ) ,

f (x) =20 + 3 = 3 2 1 + 3 = 5

( x, f ( x ) ) (0,3) (1,5)

Llevamos ahora estos puntos a un sistema de coordenadas cartesianas y por ellos hacemos pasar la recta pedida.

2. Trazar la grfica de la funcin f ( x) = 3 x + 1 Solucin: anlogamente, buscamos dos puntos asignando valores a la variable x x 0 1

f (x) = 30 +1 = 1

3 1 + 1 = 2

( x, f ( x ) ) (0,1) (1,2)

Llevamos ahora estos puntos a un sistema de coordenadas cartesianas y por ellos hacemos pasar la recta pedida.

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Observacin: en la expresin

f ( x ) = mx + n

m recibe el nombre de pendiente de la recta, este nmero est relacionado con el ngulo de inclinacin de la recta respecto de la horizontal. Al respecto Si m>0 la funcin es creciente (ejemplo 1) Si m 0 , la parbola abre sus ramas hacia arriba 2.2 Si a < 0 , la parbola abre sus ramas hacia abajo 3. Determinacin de las coordenadas del vrtice. Estas se encuentran en el punto

b 4ac b 2 V 2a , 4a

4. Determinar las coordenadas del punto donde la parbola corta al eje Y. Este punto se encuentra en

(0, c )

5. Determinar las coordenadas donde la parbola corta al eje X. Esto se consigue resolviendo la ecuacin de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 Esta ecuacin puede ser resuelta por cualquiera de los mtodos estudiados en Matemtica Pueden suceder los siguientes casos: 5.1 La parbola corta al eje X en 2 puntos P ( x1 ,0 ) , Q (x 2 ,0 ) (La ecuacin cuadrtica tiene dos soluciones reales y distintas 5.2 La ecuacin cuadrtica tiene solamente una solucin real. La parbola corta en un solo punto al eje X 5.3 La ecuacin cuadrtica no tiene soluciones reales. La parbola no corta al eje X

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EJEMPLOS: Trazar la grfica de las siguientes parbolas Caso 1: la parbola corta al eje X en 2 puntos

f ( x) = 2 x 2 + 4 x 6

Solucin: 1. Reconocemos a = 2, b = 4, c = 6 , como a > 0 , la parbola abrir sus ramas hacia arriba. 2. Determinamos las coordenadas del vrtice

b 4 = = 1 2a 2 2 4ac b 2 (4 2 6) 4 2 64 = = = 8 4a 42 8 Luego, las coordenadas del vrtice son V ( 1,8)3. Interseccin con el eje Y. Como c = -6 la parbola cortar al eje Y en el punto (0,6 ) 4. Buscamos ahora los puntos donde f corta al eje X, resolviendo la ecuacin 2 x 2 + 4 x 6 = 0

5. Trazamos la grfica

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Caso 2: La parbola toca al eje X en un solo punto.

f ( x) = 4 x 2 + 12 x 9Solucin: 1. Reconocemos a = 4, b = 12, c = 9 , como a < 0 , la parbola abrir sus ramas hacia abajo. 2. Determinamos las coordenadas del vrtice

b 12 3 = = 2a 2 4 2 2 4ac b 2 (4 4 9 ) (12 ) = =0 4a 4 4 3 Luego, las coordenadas del vrtice son V ,0 2 3. Interseccin con el eje Y. Como c = -9 la parbola cortar al eje Y en el punto (0,9 ) 4. Buscamos ahora los puntos donde f corta al eje X, resolviendo la ecuacin

4 x 2 + 12 x 9 = 0 Utilizando la frmula cuadrtica se obtiene x= 12 12 2 4 4 9 12 3 = = , que es la nica solucin real, luego la parbola toca 2 4 8 2 3 al eje x en el punto ,0 2

5. Trazamos la grfica

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Caso 3: La parbola no corta al eje X Trazar la grfica de la funcin f ( x) = 2 x 2 + 3 x + 2 Solucin: 1. Reconocemos a = 2, b = 3, c = 2 , como a > 0 , la parbola abrir sus ramas hacia arriba. 2. Determinamos las coordenadas del vrtice

b 3 3 = = = 0,75 2a 2 2 4 2 (4 2 2) 32 = 7 = 4ac b = 4a 42 8 3 7 Luego, las coordenadas del vrtice son V , 4 8

3. Interseccin con el eje Y. Como c = 2 la parbola cortar al eje Y en el punto (0,2 ) 4. Verifiquemos que la grfica no corta al eje X. Esto se logra apreciar al tratar de resolver la ecuacin 2 x 2 + 3 x + 2 = 0 . Verifique que esta ecuacin NO TIENE RACES REALES 5. Trazamos la grfica

OBSERVACIN: recordar usted que la ecuacin cuadrtica

ax 2 + bx + c = 0Puede tener: Dos soluciones reales, esto sucede cuando el discriminante

= b 2 4ac > 019

Geomtricamente esto indica que la grfica de la cuadrtica corta al eje X en dos puntos x1 y x 2

Una solucin real: esto ocurre cuando el discriminante

= b 2 4ac = 0Geomtricamente esto indica que la grfica de la cuadrtica toca al eje X en un solo punto

Ninguna solucin real: esto sucede cuando el discriminante

= b 2 4ac < 0Geomtricamente esto indica que la grfica de la cuadrtica no corta ni toca al eje X

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UN CASO PARTICULAR: hasta el momento hemos analizado la grfica de una funcin cuadrtica dada su frmula un caso interesante se presenta cuando queremos conocer la forma de la cuadrtica cuando se conocen las coordenadas de su vrtice y un punto cualquiera sobre ella Si en la expresin f ( x) = ax 2 + bx + c hacemos y = f (x) La ecuacin de la parbola cuyo vrtice est en el punto (h, k ) tiene la forma

( x h )2

= 4 p( y k )

Donde x e y son variables y p es una constante real. Cabe sealar que: Si p>0 la parbola abre sus ramas hacia arriba Si p 1 . Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial. CONTENIDOS Funcin exponencial: Ecuacin Grficos Aplicaciones

FUNCIN EXPONENCIAL

GRAFICA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL La grfica de f ( x) = b x , puede ser obtenida a partir de una tabla donde se incluyan algunos valores para la variable x y sus correspondientes valores para f. los siguientes ejemplos Ejemplo 1: Trazar la grfica de las siguientes funcin exponencial.

y = 2xSolucin: con ayuda de una calculadora cientfica completamos la siguiente tabla x -3 -2 -1 0 1 2

f ( x) =0,125 0,25 0,5 1 2 4

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Ahora traslada estos puntos a un sistema de coordenadas, obtendrs la siguiente grfica

Ejemplo 2: Trazar la grfica de las siguientes funcin exponencial

1 f ( x) = 3x -3 -2 -1 0 1 2

x

Solucin: con ayuda de una calculadora cientfica completamos la siguiente tabla

f ( x) =27 9 3 1 0,333 0,111

Ahora traslada estos puntos a un sistema de coordenadas, obtendrs la siguiente grfica

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PROPIEDADES DE LA FUNCIN EXPONENCIAL: De las grficas obtenidas en los ejemplos anteriores podemos deducir las siguientes propiedades para la funcin exponencial El dominio de la funcin es el conjunto de todos los nmeros reales IR El recorrido de la funcin es el conjunto de todos los nmeros reales positivos IR + La grfica de f no intersecta al eje X La grfica de f intersecta al eje Y en el punto (0,1) La funcin f es creciente si b > 1 y decreciente si 0 < b < 1

LA FUNCIN EXPONENCIAL Y EL NMERO

ex

1 Consideremos la siguiente funcin f ( x) = 1 + , con ayuda de una calculadora cientfica completa la x siguiente tabla x 1 10 100 1000 10000 100.000 1.000.000 En cursos superiores se demuestra que a medida que x se hace cada vez ms grande, el valor de f se aproxima al nmero irracional e = 2,728281828459....... Este nmero juega un papel importante en matemtica y es la base ms importante de entre todas las funciones exponenciales. En tu calculadora cientfica realiza la siguiente operacin:

f (x)

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Aparecer el nmero

e = 2,728281....

MODELANDO CON LA FUNCIN EXPONENCIAL: En los siguientes ejemplos se muestra un modelamiento en la que interfiere la funcin exponencial. 1. Supongamos que el valor de un bien raz se incrementa en un 2.5% anual. Si inicialmente el valor del bien raz es de $ 20 millones. i) Hallar una expresin que permita calcular el valor V del bien raz en un tiempo t cualquiera, donde t se mide en aos.

Solucin: Analicemos la siguiente tabla, en ella se observa el nmero de aos trascurridos y el clculo del correspondiente valor del bien raz. Recuerda que una cantidad P incrementada en un 2,5%, equivale a calcular P 1.025 Por qu?

t (aos) 0 1 2 3 4 20

V (t)=, (en millones de pesos)

20 1,02520 1,025 1,025 = 20 1,025 2 20 1,025 2 1,025 = 20 1,025 3 20 1,025 3 1,025 = 20 1,025 4

Podemos observar que hay una relacin directa entre el nmero de aos transcurridos y el valor del bien raz la que puede ser expresada como:

V (t ) = 20 1,025tEl modelamiento de esta situacin mediante una funcin exponencial nos permite anticipar el valor del bien raz al cabo de un tiempo dado, por ejemplo Cul ser el valor del bien raz al cabo de 9 aos? Solucin: evaluando la funcin para t = 9 se tiene

V (9) = 20 1,0259 25millones30

2. El valor de una retroexcavadora es de $40 millones, suponiendo que la mquina se deprecia en un 8% anualmente. i) Escribir una funcin que permita calcular el valor V de la mquina al cabo de t aos

Solucin: Observemos que inicialmente la mquina tiene un valor

V (0) = 40Al cabo de un ao la mquina costar el 92% de su valor inicial (Por qu?), es decir :

V (1) = 40 0,92Al cabo del segundo ao este valor se reducir nuevamente al 92%, es decir

V (2) = 40 0,92 0,92 = 40 0,92 2De modo que al cabo de t aos el valor de la mquina ser de

V (t ) = 40 0,92 t

ii)

Cul ser el valor de la mquina al cabo de 20 aos?

Solucin: en el modelo hacemos t = 20 para obtener

V (20) = 40 0,92 20 = 7,5millones (Un precio muy conveniente)

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LA FUNCIN EXPONENCIAL Y LA CONSTRUCCIN En cursos superiores se puede demostrar que la forma que adopta un cable que cuelga de dos soportes puede ser modelada mediante la funcin

f ( x) = c

e x / c + ex / c 2

Donde c es una constante que depende de las caractersticas fsicas del cable, entre otras: su constante de elasticidad La grfica de sta funcin recibe el nombre de catenaria. La fotografa adjunta muestra una catenaria invertida

ECUACIONES EXPONENCIALES: Son aquellas que contienen incgnitas en el exponente de alguno de sus trminos. Se distinguen dos casos: Caso 1, se pueden igualar las bases Caso 2: no se pueden igualar bases CASO 1: las bases pueden ser igualadas Estas ecuaciones se resuelve utilizando el siguiente principio: dados los nmeros a, b, c entonces si

EJEMPLOS: las siguientes ecuaciones son exponenciales, iguala las bases para hallar su solucin a)

2 x +1 = 16

Solucin: escribimos todo en base 2

2 x +1 = 2 4 x + 1 = 4 x =3

b)

3 2 x + 3 = 9 3 x 132

Solucin: comenzamos por expresar todo en base 3

32 x+3 = 32 (3 x1) 2 x + 3 = 6 x 2 4 x = 5 5 x= 4c) 4 x 5 = 8 3 2 x Solucin: Observemos que 8 no puede escribirse en base 4, sin embargo ambos nmeros se pueden expresar en base 2

2 2( x 5 ) = 2 3(3 2 x ) 2( x 5) = 3(3 2 x ) 2x - 10 = 9 - 6x 8 x = 19 x = 19 / 8

d)

3 x +1 + 3 x + 2 + 3 x +1 = 27 2 x

Solucin: escribimos

3 3 x +1 = 3 3(2 x ) 3 =3 x + 2 = 6 3x 4x = 4 x =1x+2 6 3 x

Por qu?

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Traza la grfica de las siguientes funciones exponenciales a) f ( x) = 5 x b) f ( x) = 0,2 x c) f ( x) = 1,2 d) f ( x) = ex +1 x2 x

e) f ( x) = 2 2 f) f ( x) = 2 x g) f ( x) = 2 x

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2. Con ayuda de una calculadora cientfica construye una tabla de valores y traza la grfica de las siguientes catenarias. 2.1 f ( x) =

e x + ex 2

e x /3 + ex / 3 2.1 f ( x) = 3 2

3. En los siguientes problemas iguala bases y resuelve para x a) 5 x 2 = 1 b) 4 3 x 2 = 32 x

1 = 2 3 x 5 2 1 d) 35 x 1 = 9 1 = 7 5 x e) 49 f) 3 x + 3 x + 3 x = 815 x 3c)

2 2 x +1 + 2 2 x +1 g) =1 4 3 x 1 h) 5 x + 2 + 5 x + 2 + 5 x + 2 + 5 x + 2 = 4

4. Calcula el rea de la regin sombreada en la figura

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CLASE 5: FUNCIN LOGARTMICA APRENDIZAJES ESPERADOS Identifican la funcin logartmica de la forma y = a + b log x , y la caracterizan a travs de sus parmetros, ceros y grfica. Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo logartmico. FUNCIN LOGARTMICA Antes de definirlas procederemos a recordar la definicin de logaritmo as como sus propiedades CONTENIDOS Funcin logartmica: Grficos Aplicaciones

EJEMPLOS: En cada uno de los siguientes problemas hallar el valor de x, para ello utiliza la definicin de logaritmo a) log 2 8 = x Solucin: de acuerdo a la definicin

2x = 8Escribamos 8 como una potencia de 2

2 x = 2 3 , luego x = 3 ..Por qu?b) log 3 x = 4 Solucin: de acuerdo a la definicin

3 4 = x , luego x = 81..Por qu?c) log x 125 = 3 Solucin: de acuerdo a la definicin

x 3 = 125

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Para despejar x aplicamos raz cbica..Por qu?

x = 3 125 = 5

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: Sean X e Y nmeros reales positivos, entonces se cumple siempre que

LOGARITMOS DECIMALES Y NATURALES Si observas tu calculadora cientfica, encontrars dos teclas que se relacionan con los logaritmos estas son

La primera de ellas trabaja con los logaritmos decimales o en base 10, mientra que la segunda con logaritmos naturales o en base el nmero e, estudiado en el captulo anterior.

LOGARITMOS DECIMALES: son aquellos cuya base es el nmero 10. Por economa, cuando se expresa un logaritmo decimal, la base no se escribe. En adelante

log10 a , se escribir simplemente log a

EJEMPLOS: 1. log1 = 0 2. log 10 = 1 3. log 100 = log 10 2 = 2 log 10 = 2 1 = 2 4. log 1000 = log 10 3 = 3 log 10 = 3 1 = 3 5. Con ayuda de la calculadora cientfica se obtiene que log 17 = 1.23044

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LOGARITMOS NATURALES: son aquellos que tienen por base el nmero e. En adelante denotaremos simplemente log e a = ln a EJEMPLOS: 1. ln 1 = 0 2. ln e = 1 3. Con la ayuda de la calculadora cientfica se obtiene que ln 2 = 0,6931...

GRAFICA DE LA FUNCIN LOGARTMICA Se construye una tabla de valores asignando valores a la variable x y con la ayuda de una calculadora cientfica se obtienen los correspondientes valores de f EJEMPLO: Trazar la grfica de la siguiente funcin logartmica

f ( x ) = log xSolucin: con ayuda de una calculadora cientfica completamos la siguiente tabla x 0.5 1 2 4 8 16 36 0 0,301 0,602 0,903 1,204 1,556

f ( x) = log x-0,3

Traslademos ahora estos puntos a un sistema de coordenadas, obtendrs una grfica similar a

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PROPIEDADES DE LA FUNCIN LOGARTMICA El dominio de esta funcin es el conjunto de los nmeros reales positivos, es decir, f est definida slo si x > 0 El recorrido de f es el conjunto de todos los nmeros reales La grfica de f intersecta al eje X en x = 1 La grfica de f no intersecta al eje Y, es decir, el eje Y es una asuntota para la grfica de f

MODELOS MATEMTICOS EN LOS QUE INTERVIENE LA FUNCIN LOGARTMICA 1) Charles Richter, sismlogo estadounidense, propuso una escala para comparar la fuerza de los diferentes terremotos. Esta escala hoy se conoce como Escala Richter u en ella la magnitud R de un terremoto viene dada por la expresin

R = log

A B

En esta expresin A = mayor amplitud de la onda ssmica B = amplitud de referencia correspondiente a la magnitud R = 0

La magnitud del famoso terremoto de Valdivia el 22 de mayo de 1960 se ha calculado en 9.5 en la escala Richter. En 1985 un terremoto de magnitud 7.7 tuvo su epicentro al sur de la quinta regin. Cuntas veces ms intenso fue el de 1960?

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Solucin: de acuerdo a nuestro modelo

9,5 = log

A A y 7,7 = log B B

EJERCICIOS PROPUESTOS 3. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. a) log 9 243 =

e) log16 8 = f) log 32

1 = 36 c) log 2 128 =b) log 6 d) log 8 16 =

9 = 4

5. En cada una de las siguientes expresiones, determina el valor de x c) log 2 16 = x a) log 2 x = 6 b) log 3 x = 2 6. Con ayuda de la calculadora cientfica calcula log 5 = b) log 7 = c) ln 2 = d) ln 7 = d) log 5 125 = x

7. Sabiendo que log 6 2 = a, log 6 3 = b, log 6 5 = c expresar en trminos de a, b y c a) log 6 10 = b) log 6 30 = c) log 6

5 = 2

2 = 3 e) log 6 25 =d) log 6 f) log 6 36 =

8. Aplica logaritmos para resolver las siguientes ecuaciones a) 3 x = 7 b) 2 3 x 1 = 5 c) 5 x +1 = 3 x APLICACIONES: 1. Debido a una depresin, cierta regin econmica tiene una poblacin que decrece. En el ao 2000, su poblacin fue de 500.000 habitantes y de ah en adelante su poblacin se rigi por la frmula: d) 7 2 x +3 = 5 e) 10 3 2 x = 100

P = 50.000 e 0,02tEn donde t es el tiempo en aos.

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i) ii)

Calcule la poblacin para el ao 2.010. Despus de cuantos aos la poblacin ser de 52.000 habitantes?

2. Si cierta marca de retroexcavadora se compra por C pesos, su valor comercial v(t ) al final de t aos, est dado por v( t ) = 0,78 C 0,85 t 1 . Si el costo original es de $45.500.000, calcule el valor del automvil despus de tres aos. Despus de cuantos aos el valor ser de $40.000.000? 3. Si el valor de los bienes races se incrementan a razn del 10% por ao, entonces despus de t aos, el valor de una casa comprada en P pesos, est dada por: v(t ) = P 1,1t . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el ao 2001. Cul ser su precio en el ao 2008? 4. El valor de una mquina adquirida hace 8 aos por 10.000 dlares viene dado por la expresin: V(t) = 10.000 e-0,3 t , donde t mide los aos despus de su adquisicin.En cuanto tiempo la mquina tendr un valor de 2.231,30 dlares ? 5. El nmero de bacterias presentes en un cultivo despus de t minutos se da por N(t) = (200)4t/2. Encuentre la cantidad inicial de bacterias. Luego, encuentre la cantidad existente despus de 2 minutos, 4 minutos y 10 minutos. Con ayuda de una calculadora estime la cantidad existente despus de una hora.

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UNIDAD N 2 TRIGONOMETRA PLANA Y GEOMETRA ANALTICA CLASE 6: TRIGONOMETRA DEL TRIANGULO RECTNGULO APRENDIZAJES ESPERADOS Expresan medidas angulares en grados sexagesimales, radianes y grados centesimales. Resuelven tringulos rectngulos aplicando las razones trigonomtricas seno, coseno y tangente, incluyendo clculo de lados y de ngulos medidos en distintas unidades. Resuelven, contextualizados en la especialidad, problemas reducibles a la trigonometra de tringulos rectngulos, operando con razones trigonomtricas seno, coseno y tangente y sus inversas, utilizando distintas medidas lineales y angulares. CONTENIDOS Sistemas de medicin de ngulos. Razones trigonomtricas de ngulos agudos en tringulos rectngulos. Resolucin de problemas reducibles a trigonometra plana en el tringulo rectngulo.

NGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIN DE NGULOS

Por convencin, un ngulo se considerar positivo si es medida en el sentido contrario al de las manecillas del reloj.

SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR: Los sistemas comnmente utilizados son: SISTEMA SEXAGESIMAL: considera una vuelta completa de circunferencia equivalente a 360. En el sistema sexagesimal los ngulos se pueden medir en grados, minutos y segundos.

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Ejemplo: 203055=20 + 30 + 55, se lee 20 grados 30 minutos 55 segundos

CONVERSIN DE GRADOS MINUTOS Y SEGUNDOS: El siguiente esquema muestra la relacin que permite transformar grados, minutos y segundos

EJEMPLO: 3. Transformar a grados el ngulo 54 4627" Solucin: escribiremos 54 4627" = 54 +

46 27 + = 60 3600

4. Transformar a minutos el ngulo 12 4517"

45917 765,28333" Solucin: escribimos 124517"12 60 + 45 + 17 / 60 = 60

"

5. Trasformar a segundos el ngulo 233243" Solucin: escribimos 233243" = 23 3600 + 32 60 + 43 = 84763"

SISTEMA RADIAL Este sistema considera una vuelta completa de circunferencia equivalente a 2 radianes . La unidad en este sistema es el radian. Un radian es el ngulo central en una circunferencia que marca sobre sta un arco de longitud igual al radio de la circunferencia

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EQUIVALENCIA ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y RADIAL Puesto que una vuelta completa de circunferencia es 360 2 rad podemos establecer la siguiente equivalencia

EJEMPLOS: 1. Transformar a radianes el ngulo = 150 Solucin: establecemos la proporcin

x rad rad = 150 180 150 5 Entonces x = = rad 180 62. Transformar a grados sexagesimales el ngulo = Solucin: establecemos la proporcin

4 rad 3

43

x 180 = 4 3 Entonces x = 4 180 = 240 3

SISTEMA CENTESIMAL Este sistema considera una vuelta completa de circunferencia equivalente a sistema es el grado centesimal.

400 c

y la unidad en este

El Taqumetro, es un instrumento topogrfico que utiliza este sistema de medicin angular. TRANSFORMACIN DEL SISTEMA CENTESIMAL A SEXAGESIMAL Y RADIAL Para transformar ngulos del sistema centesimal a sexagesimal y a radial (y viceversa) utilizamos las siguientes expresiones

EJERCICIOS: Expresar en grados los siguientes ngulos a) 233045 Expresar en minutos los siguientes ngulos d) 333015 e) 713346 f) 371519 b) 563326 c) 711559

Expresar en segundos los siguientes ngulos g) 631645 h) 163328 i) 211552

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Expresar en radianes cada uno de los siguientes ngulos: a) 30 b) 135 c) 4536 d) 542737

Expresar en grados, minutos y segundos cada uno de los siguientes ngulos a)

3 5 rad b) 6Expresar en grados centesimales los siguientes ngulos a) b) c) d) e) f) 45 60 150 135 225

rad

c)

7 rad 6 4 rad d) 3

g) h) i)

3

rad

5 rad 6 7 rad 6 4 rad 3

RAZONES TRIGONOMTRICAS EN TRINGULOS RECTNGULOS En esta seccin se definen seis relaciones trigonomtricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente como una razn entre las longitudes de los lados de un tringulo rectngulo

DEFINICIN: dado el tringulo rectngulo ABC, se definen las siguientes funciones trigonomtricas

sen =

cateto opuesto hipotenusa

=

a c

sec =

hipotenusa c = cat. opuesto a hipotenusa c = cat. adyacente b cat. adyac b = cat. opuesto a

cos =

cateto adyacente b = hipotenusa c cateto opuesto a = cateto adyacento b

cos ec =

tan =

cosec =

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En este apartado veremos la aplicacin de la trigonometra a la resolucin de tringulos rectngulos. Indicaremos cmo calcular los elementos desconocidos cuando se conoce uno de los lados y cualquier otro elemento. Lo anterior es fundamental cuando se desarrollan ciertos temas relacionados con la topografa y construccin. Un triangulo rectngulo puede ser resuelto si se conocen: Las longitudes de dos de sus lados, o bien La longitud de un lado y la medida de un ngulo agudo

APLICACIONES: En cursos superiores, como Fsica aplicada a la Construccin y Comportamiento Estructural, las relaciones trigonomtricas juegan un rol fundamental. Como ejemplo veamos una aplicacin a la descomposicin de una fuerza en sus componentes horizontal y vertical. Dada una fuerza F hallar sus componentes horizontal y vertical Solucin: En la figura 1 se muestra una fuerza F la que forma un ngulo con la horizontal Esta fuerza, junto a sus componentes forma un tringulo de fuerzas

sen =

y , de donde se obtiene , y = F sen F

cos =

x , de donde se obtiene, x = F cos F

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Ejemplo 2: Descomponer la fuerza dada en sus componentes horizontal y vertical

Solucin: dibujamos el tringulo de fuerzas y buscamos el suplemento de 145, este es 35

y = 100 cos 35 = 81,91En este caso .. Por qu?

x = 100 sen35 = 57,35

NGULOS DE ELEVACIN Y DEPRESIN Llamaremos: Angulo de Elevacin: es el ngulo formado por la lnea de visibilidad y la horizontal, por sobre sta. Angulo de Depresin: es el ngulo formado por la lnea de visibilidad y la horizontal, por debajo de sta.

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Ejemplo 1 En un punto situado a 452 metros de la base de un edificio se encuentra que el ngulo de elevacin a la parte ms alta de ste es 3210. Cual es la altura del edificio? Solucin: La siguiente figura nos muestra la situacin planteada Observamos que los elementos dados se relacionan mediante la tangente.

h 452 Entonces h = 452 tan 3210` 284metrosPor definicin tan 3210`=

Ejemplo 2: Un tubo de desage se instala con un ngulo de depresin de 210`respecto de la horizontal en un terreno nivelado. En un punto, la excavacin mide 0.68 metros de profundidad. Qu profundidad tendr la zanja a 76.2 metros de este punto? Solucin: El siguiente diagrama muestra la situacin

Nuevamente, la tangente!!!

H 76.2 Entonces H = 76.2 tan 210 tan 210=

Ejercicios: 1. Un muro vertical de 6,35 metros de alto sirve como represa de un control de un canal cuya pendiente es constante. Cuando el agua ha alcanzado la altura mxima del muro; el espejo de agua tiene una longitud de 14.3 metros de largo. Calcula el ngulo de elevacin del canal. 2. Se desea construir una rampa para dar acceso a un puente; el desnivel que se tiene que lograr con dicha rampa es de 10 metros con un ngulo de elevacin constante de 330' A qu distancia de la orilla del puente debe empezarse la rampa?

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3. Un estadio de ftbol se planea con un ngulo ascendente en las gradas de 1820 con la horizontal; si cada 0.76 metros horizontalmente puede haber una fila de asientos y se desean 24 filas Qu altura debe tener el estadio? 4. Un tubo de desage se instala con un ngulo de 210 con la horizontal en un terreno nivelado. En un punto, la excavacin mide 0.68 metros de profundidad. Se desea saber, qu profundidad tendr la zanja a 76.2 metros de este punto? 5. En un camino que tiene un ngulo de elevacin de 540 se coloca un instrumento de observacin nivelado sobre un trpode de 1.5 metros de alto. A que distancia sobre la carretera podr observarse a travs de dicho instrumento? 6. Una playa tiene un ngulo de elevacin de 1310. La diferencia de alturas entre la marea baja y la marea alta es de 1,9 metros. Qu distancia se extiende el agua sobre la playa entre la marea alta y la baja? 7. Una tubera de 286 metros de largo se extiende desde el fondo de un estanque situado en lo alto de una colina a un valle, con un ngulo de pendiente constante de 22 33' Qu altura tiene el fondo del tanque respecto del valle? 8. La pluma de una torre gra tiene 26.8 metros de largo. El manual de operacin nos indica que la torre no puede formar un ngulo menor que 4550' Cul ser la mxima distancia a la que podr trabajar la gra? 9. Una cabaa tipo A tiene 7.83 metros de altura mxima en el centro 12.35 metros de ancho en la base. Calcular el ngulo que forma el techo con el piso. 10. El terreno en un lado de una carretera tiene un ngulo de depresin de 748. Se planea construir un lote de estacionamiento nivelado junto a dicho camino. Qu altura tendr el terrapln a 7.87 metros de la orilla del camino medidos sobre el terreno inclinado? 11. Un pintor tiene que pintar el exterior de una ventana que est a 4.78 metros de altura sobre el suelo de un jardn. Al pie de la ventana hay un macizo de arbustos que impiden colocar el pie de la escalera a menos de 1.93 metros de la fachada. Qu largo mnimo de escalera tendr que emplear el pintor para realizar este trabajo? 12. Los planes de una nueva carretera especifican que tiene que pasar sobre un canal artificial (alcantarilla) en un punto donde la direccin de la carretera es de este a oeste, la direccin del canal es de N6530O. si la carretera tiene 9.4 metros de ancho encuentre la longitud de la alcantarilla. 13. Las paredes de una zanja profunda se excavaron a una pendiente de 3 unidades horizontales por una vertical. Se midi despus la distancia de la parte superior al fondo de la zanja sobre la pared inclinada y se encontr que era de 53 metros. Cul es la profundidad de la excavacin?

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CLASE 7: TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO APRENDIZAJES ESPERADOS Identifican y operan con el teorema del seno, calculando lados y ngulos en tringulos. Resuelven problemas de la especialidad aplicando el teorema del seno, operando con distintas unidades lineales y angulares. Identifican y operan con el teorema del coseno, calculando lados y ngulos en tringulos. Resuelven problemas de la especialidad aplicando el teorema del coseno, operando con distintas unidades lineales y angulares. CONTENIDOS Teorema del seno Resolucin de problemas con el teorema del seno. Teorema del coseno Resolucin de problemas con coseno

el teorema del

RESOLUCIN DE TRINGULOS ACUTNGULOS Y OBTUSNGULOS Dado el tringulo ABC de la figura. Si se conocen las longitudes de uno de los lados y dos de sus otros elementos, entonces, podemos determinar sus dems elementos aplicando el teorema del seno o bien el teorema del coseno. Pasamos a continuacin a desarrollar cada uno de estos temas. TEOREMA DEL SENO: Dado el tringulo ABC con ngulos internos , , y lados opuestos a, b y c entonces se cumplen siempre las siguientes relaciones

Ejemplo: Resolver el tringulo dados a = 12,3, = 4810' , = 8417' Solucin: aplicando la segunda forma del teorema de los senos escribimos

50

c 12,3 = sen 8417' sen 4810' entonces; c = 12,3 sen 8417' = 16,43 sen 4810'

Para obtener el ngulo hacemos cuenta de que:

+ + = 180 Entonces

= 180 4810`84 17`= 47 33`

Anlogamente obtenemos el lado b escribiendo

b 12,3 = sen 47 33` sen 4810` 12,3 sen4733` = 12,18 entonces b = sen 4810`

APLICACIN: Una masa cuelga desde dos tensores sujetos a dos apoyos fijos en el techo como indica la figura. Hallar la longitud de los tensores

Solucin: El ngulo formado por los tensores T1 y T2 se obtiene por diferencia: 180-37-50 = 93

T1 1.5 = sen50 sen93 1.5 sen50 entonces T 1 = 1.15m sen93De igual forma se determina T2

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EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Resolver los tringulos cuyos elementos se dan a continuacin: 1.1 = 3214, = 6134, a = 48.63 1.2 = 8322, = 4428, b = 88.35 1.3 = 7746, = 518, c = 446.2 1.4 = 3746.1, = 11241.3, c = 0.72250 2. La pendiente del terreno de una calle es de 610 ascendente. Un constructor desea nivelar un terreno de 50 metros sobre dicha pendiente. Por razones de seguridad el corte posterior del terreno debe tener un ngulo de elevacin de 2640. A que distancia de la calle se extender la excavacin, medida sta sobre la pendiente actual? 3. Una ladera natural tiene un ngulo de elevacin de 340. El ngulo de depresin del borde de una presa es de 2150. La distancia medida segn la pendiente del borde, desde el piso del canal a la parte superior es de 34,9 metros. Cual es la altura de la pared superior de la presa sobre el piso del canal?

4. Una rampa de 15.9 metros de largo con un ngulo de elevacin de 3110 se construy desde el nivel del piso de una plataforma de embarque. Se necesitar reemplazar la rampa con una nueva que tenga un ngulo de elevacin de 2240. Cul ser la longitud de la nueva rampa?

TEOREMA DEL COSENO: Este teorema es una generalizacin del Teorema de Pitgoras y plantea lo siguiente: Dado un tringulo ABC cualquiera entonces el cuadrado de la longitud de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos veces el producto de estas longitudes y el coseno del ngulo comprendido entre ellos El siguiente recuadro resume lo dicho anteriormente

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EJEMPLO: Resolver el tringulo dado en la figura Solucin: Mediante el teorema del coseno se tiene.

c 2 = a 2 + b 2 2ab cos = 20 2 + 30 2 2 20 30 cos 35 = 400 + 900 982.98 = 317 Luego c = 17.8

APLICACIN: Las piernas de una cercha forman un ngulo de 105. Si la longitud de la pierna de la cercha es de 4 metros, hallar la longitud del tirante. Solucin: Por el teorema del coseno tenemos que.

T 2 = 4 2 + 4 2 2 4 4 cos105 = 40.28 Luego T = 6.34 metros

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver el tringulo dado los siguientes datos 1. a = 56, c = 40, = 22 2. a = 44, b = 62, = 27 3. b = 100, c = 60, = 65

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2 rad 9 7 rad 5. a = 20, b = 20, = 64. a = 20, c = 10, = En los siguientes problemas determinar los tres ngulos del tringulo 6. a = 45, b = 48, c = 51 7. a = 300, b = 150, c = 200 8. a = 600, b = 550, c = 625 9. a = 100, b = 150, c = 200 10. Un viejo canal corre hacia el norte 500 metros, luego se desva N 16 30 E, 400 metros. Qu longitud de tubera ser necesaria para reemplazar el canal? 11. La ciudad A est a una distancia de 100 kilmetros de la ciudad B y a una distancia de 150 kilmetros de la ciudad C. Si las rectas que unen AB y AC forman un ngulo de 55 Cul es la distancia que separa a la ciudad C de la ciudad B? 12. De un depsito de agua salen dos tuberas, una de 100 metros y la otra de 150 metros que abastecen de agua a dos viviendas. Si las tuberas forman un ngulo de 110 hallar la distancia entre las viviendas. 13. Se pretende construir un puente entre dos puntos A y B para cruzar el estanque que los separa y queremos conocer la distancia entre ambos. Para ello nos situamos en un punto C que dista 30 metros de A y 45 metros de B. Un taqumetro indica que ngulo ACB = 80. Calcular la distancia entre A y B.

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CLASE 8: VARIACIONES GRFICAS DE SENO Y COSENO APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS de una funcin

Reconocen los elementos caractersticos de una Elementos caractersticos funcin trigonomtrica. trigonomtrica. Identifican, grafican y caracterizan funciones seno, Funciones seno, coseno. coseno y tangente.

Amplitud, perodo, ciclo, desplazamiento y direccin Determinan amplitud, perodo, ciclo, desplazamiento de funciones trigonomtricas sencillas. y direccin de funciones trigonomtricas sencillas.

GRAFICA DE UNA FUNCIN TRIGONOMTRICA Un anlisis exhaustivo de las funciones seno y coseno permite observar que ellas van variando dependiendo del intervalo en que se encuentre el ngulo al cual se le aplica la funcin VARIACIN DE Grados 0 a 90 90 a 180 180 a 270 270 a 360 Radianes Variacin de Variacin de

y = sen21a0 0 a -1 -1 a 0 0a1

y = cos 1a0 0 a -1 -1 a 0 0a1

0 a

2

a 3 2

a

3 a 2 2

Se observa en la tabla que tanto seno como coseno estn comprendidos entre -1 y 1, es decir:

1 sen 1 1 cos 1

para todo ngulo para todo ngulo

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FUNCIONES PERIDICAS Si en la figura adjunta, aumentamos el ngulo en 360 o bien 2rad , el rayo OP realiza una vuelta completa alrededor del origen y el punto P vuelve a su posicin original, por lo tanto

cos( + 360) = cos

sen( + 360) = sen

Esta propiedad se conoce como Periodicidad

TRAZADO DE LAS GRAFICAS DE SENO Y COSENO: Las funciones trigonomtricas tienen aplicabilidad en las ciencias naturales. En ellas se analizan fenmenos peridicos como el movimiento ondulatorio, la corriente elctrica alterna etc. En las aplicaciones de funciones trigonomtricas asociadas a fenmenos que se repiten peridicamente se requiere que sus dominios sean conjuntos de nmeros reales DEFINICIN: se define y denota la funcin seno y como caractersticas: Su dominio es IR Su recorrido es [ 1,1] El periodo de f ( x) = senx es 2 La grfica de f ( x) = senx intersecta al eje X en los puntos (n ,0 ) para todo nmero entero n El valor mximo de senx es 1 El valor mnimo de senx es -1 Para trazar la grfica de y = sen , hacemos uso de la variacin, periodicidad y cotas de sen Con ayuda de una calculadora cientfica completamos la siguiente tabla y ubicamos los puntos sobre un sistema de coordenadas. Posteriormente trazamos la grfica

f ( x ) = sen

la que tiene las siguientes

(en grados)

0 0 0

45

90

135

180

225

270

315

360

(en radianes)

40,7

21

3 40,7

0

5 4-0,7

6 4-1

7 4-0,7

20

f ( )

56

FUNCIN COSENO Definimos y denotamos la funcin coseno caractersticas: Su dominio es IR Su recorrido es [ 1,1] El periodo de y = cos x es 2

y = cos x

como aquella que tiene las siguientes

La funcin coseno es una funcin par, esto quiere decir que f ( x) = f ( x) La grfica de f ( x) = cos x intersecta al eje X en los puntos n El valor mximo de cos x es 1 y El l valor mnimo de cos x es -1 Para trazar la grfica de f ( x) = cos , hacemos uso de la variacin, periodicidad y cotas de cos Con ayuda de una calculadora cientfica (en modalidad deg) completamos la siguiente tabla y ubicamos los puntos sobre un sistema de coordenadas y traza la grfica

+ n , para todo nmero entero 2

(en grados)

0 0 1

45

90

135

180

225

270

315

360

(en radianes)

40,7

20

3 4-0,7

-1

5 4-0,7

6 40

7 40,7

21

f ( )

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FUNCIONES SINUSOIDALES Tienen alguna de las siguientes formas

Un factor importante en el trazado de las grficas de estas funciones es la periocidad GRAFICAS: Las grficas de estas funciones se obtiene a partir de las grficas de senx y cos x Y poseen las siguientes caractersticas. AMPLITUD, A : Es el promedio entre la diferencia del mximo y el mnimo valor.

PERIODO

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DESFASE, d: Corresponde a un desplazamiento horizontal de

C unidades: B

C unidades hacia la izquierda B C unidades hacia la derecha Si C0 la grfica se desplaza DESPLAZAMIENTO VERTICAL: Viene dado por un corrimiento en sentido vertical en D unidades. Si D>0, la grafica se desplaza D unidades hacia arriba Si D