B

C

D

A

1. (Nro. 13 Pág. 62)

La figura que es la reunión de todos los segmentos cuyos extremos son cuatro puntos no coplanarios, se llama pirámide triangular, o tetraedro. Los cuatro puntos son los vértices del tetraedro.

a) Redacte una definición de una arista de un tetraedro.

Resp.

La arista de un tetraedro son todos aquellos segmentos que en sus extremos tienen puntos no coplanarios y que su reunión determinan al tetraedro.

b) ¿Cuántas aristas tiene el tetraedro?¿Cuáles son?

Resp.

Tiene 6 aristas. Y las aristas son:

, , , , y .

c) ¿Habrá algunos pares de aristas que no se intersequen?

Resp.

Sí. Las aristas que no se intersecan son:

y ; y ; y

d) Una cara es la región triangular determinadas por tres vértices cualesquiera. Nómbrese las cuatro caras. ¿Habrá algunos pares de caras que no se intersequen?

Resp.

Las cuatro caras son:

, , , .

No hay pares de caras que no se intersecan, porque las tres caras superiores todas tienen un vértice común en A. Así mismo en las tres caras superiores, sus segmentos , y forman la cara inferior, es decir la cara .

2. (Nro. 1 Pág. 66)

a) ¿Es una recta un conjunto convexo? Explíquese.

Resp.

La recta sí es un conjunto convexo, porque se pueden unir todos los puntos de ella sin salirse del mismo conjunto para tomar atajos.

b) ¿Es convexo un conjunto que consiste solamente en dos puntos? ¿Por qué?

Resp.

Sí es convexo porque todos los puntos que están entre los dos puntos se pueden unir sin salirse de ése segmento.

c) Si le quitamos un punto a una recta, ¿formarán los puntos restantes un conjunto convexo?

Resp.

Se crean inmediatamente dos nuevos conjuntos y cada uno de ellos es convexo.

d) ¿Es una circunferencia un conjunto convexo?

Resp.

P

Q

La circunferencia no es un conjunto convexo porque la circunferencia es una línea curva cerrada, luego hay puntos que tomarían atajos para unirse a otros.

e) ¿Es el interior de una circunferencia un conjunto convexo?

Resp.

El interior de la circunferencia es un círculo. El círculo es un conjunto convexo.

f) ¿Es una superficie esférica un conjunto convexo?

Resp.

Una superficie esférica sí es un conjunto convexo.

P

Q

g) ¿Es convexo el espacio encerrado en una por una superficie esférica?

Resp.

Sí es convexo.

h) ¿Separa un punto al plano?; ¿al espacio? y ¿a una recta?

Resp.

Un punto no separa al plano, no separa al espacio pero sí a una recta. Una recta puede separar al plano y el plano puede separar al espacio.

i) ¿Separa un rayo a un plano? Y una recta ¿lo separa? ¿y un segmento?

Resp.

Un rayo no separa a un plano, porque el rayo es una parte de la recta. Una recta sí separa al plano y lo separa en dos semiplano. Un segmento al igual que el rayo forma parte de una recta y por lo tanto no puede separar al plano.

j) ¿Pueden dos rectas en un plano separarlo en dos regiones? ¿En tres regiones? ¿En cuatro regiones? ¿En cinco regiones?

Resp.

Las dos rectas únicamente pueden separar al plano en cuatro regiones, bien sea intersecándose o siendo paralelas o ubicándose en cualquier formas siempre y cuando las rectas sean diferentes. Porque la recta separa al plano en dos

A

B

regiones, luego dos rectas separan al plano en cuatro regiones.

3. (Nro. 21 Pág. 67)

Dibujar cualquier cuerpo geométrico limitado por superficies planas, tal que el conjunto de puntos del interior de la figura no sea convexo.

Una corona circular: Una circunferencia circunscrita en un cuadrado:

4. (Nro. 13 Pág. 85)

Determine la medida del suplemento del ángulo cuya medida es:

Definición: Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180, entonces decimos que los son suplementarios y cada uno es suplemento del otro.

a) 80

Resp.

b) 48

Resp.

P

Q

S

R

c) 144

Resp.

d) 25,5

Resp.

e)

Resp.

f)

Resp.

g)

Resp.

h)

Resp.

5. (Nro. 18 Pág. 86)

Dos veces la medida de un ángulo es 30 menos que cinco veces la medida de su suplemento. ¿Cuál es la medida del ángulo?

Resp.

Es la medida de un ángulo Es la medida de un ángulo suplementario

Pero según los datos suministrados, tenemos que:

Como los ángulos son suplementarios tenemos que:

Si queremos establecer la medida de , tomamos el valor de que acabamos de hallar y reemplazamos en la ecuación

Luego:

6. (Nro. 6 Pág. 99)

Sea , y , se cortan en . Con . Demostrar que

Hipótesis: , y , se cortan en y Tesis:

aºcº

bºK

AD

BC

E

F

Demostración:

1) , y , se cortan en el punto

Hipótesis

2) y son ángulos opuestos por el vértice

1) y teorema de opuestos por el vértice.

3) , luego 2)4) 1)5) 3),4) y transitividad.

(Nro. 7 Pág. 99)

Sea la figura con , demostrar .

Hipótesis: Tesis:

Demostración:

1) Hipótesis2) opuestos por el vértice

Teorema de opuestos por el vértice

3) opuestos por el vértice

Teorema de opuestos por el vértice

4) 1),2),3)y transitividad

(Nro. 8 Pág. 99)

A

B CD

F

E

G

!!

Sea y . Demostrar

Hipótesis: y Tesis:

Demostración:

1) y Hipótesis

2) forma un par lineal 1) y definición de par lineal

3)1),2) y definición de ángulos complementarios

4)3) y despeje

5) 1),4) e igualación

7. (Nro. 26 Pág. 101)

La medida de un ángulo es cinco veces la medida de su complemento. Hallar la medida de cada ángulo.

Resp.

Es la medida de un ángulo Es la medida del complemento

Por definición sabemos que:

F

E

D

C

BA!

!

Ahora reemplazamos el valor de y en la ecuación

(Nro. 27 Pág. 101)

La medida del suplemento de un ángulo es cinco veces la medida del complemento del mismo ángulo. Hallar la medida del ángulo.

Resp.

Es la medida de un ángulo suplementario para Es la medida de un ángulo complementario para

Si tenemos que:

Como tenemos que entonces

Luego la medida del ángulo es 75º8. (Nro. 35 Pág. 102)

En el plano , , y se intersecan en y .

Completar la demostración de que .

Hipótesis: , , y se intersecan en y

Tesis:

Demostración:

1) , , y se

intersecan en y

Hipótesis

2) 1) y Teorema 4-83) 1) y Postulado de la adición

de 4) por ser opuestos por el vértice

1) y Teorema 4-7

5)

2),3) e igualación

6)

9. (Nro. 41 Pág. 103)

E

A

B

C

D

P

Q

S

R

aº

bº

cº

Oeº

dº

fº

gº

hº

Jaime y Jorge deseaban escribir el siguiente enunciado en la forma

“Dos rectas que se intersecan se cortan exactamente en un punto”

Jorge escribió: “Si es un punto, entonces y se

cortan exactamente en ”. Jaime escribió: “ y se cortan exactamente en un punto, si se intersecan y son diferentes”. ¿Lo hizo bien Jaime? ¿Y Jorge?

Resp.

La afirmación de Jorge no es correcta porque el no define que pertenezca a una de las dos rectas y que ellas se

intersecten, simplemente se refiere al evento que lo harán en un punto determinado.Jaime aunque no determina tampoco la pertenencia de en las rectas, si ha escrito de forma acertada su enunciado, ya que el define que las rectas si se intersecan y son diferentes lo harán exactamente en un punto .

10. (Nro. 7 Pág. 116) Se realizan en hoja cuadriculada.

Construir el , en el cual cm, cm y

(Nro. 8 Pág. 116)

Construir el , el cual pulgadas, y . Si se construyen varios triángulos con las medidas dadas, ¿qué característica común tendrán todos éstos triángulos?

Si se construyen varios triángulos con éstas mismas medidas la característica común es que todos estos triángulos son congruentes. Porque tenemos que aplicar el Postulado ALA ya que conocemos un lado y dos ángulos. Luego por partes correspondientes de los todos las partes de los varias triángulos que se construyan serán congruentes.

11. (Nro. 16 Pág. 118)

Se da con . Los puntos y están en el mismo lado de que , pero y están en lados opuestos

de . está en el mismo lado de que . . Demostrar que .

Hipótesis: y Tesis:

Demostración:

1) y Hipótesis

2) forma un par lineal 1) y definición de par lineal

3) 2) y definición de recto

4)1),2),3) y Postulado de la adición de

5)4) y despeje.

6) 5) e igualación7)

12. (Nro. 12 Pág. 127)

Se da el , con . Los puntos están en los lados del de tal manera que y . y

se intersecan en . . Demostrar que

K P M

A B

C

! !

R

Hipótesis:

Tesis:

Demostración:

1) y . Hipótesis

2) 1) y Teorema del Isósceles3) 1)4) 3) y partes correspondientes

de 5) 2),4) y Postulado de la

adición de 6) 2),4) y Postulado de la

adición de 7) forman un par lineal

Definición de par lineal

8) forman un par lineal

Definición de par lineal

9) Definición de suplemento

M K

T

H Ex xy y

! !

10) Definición de suplemento11) 9) y despeje

12) 10) y despeje13) 12 e igualación14) opuestos por el vértice

Teorema de ángulos opuestos por el vértice

15) 1),13) y Postulado ALA

13. (Nro. 15 Pág. 131)

En la figura, si , y . ¿Se podrá demostrar que ? Si la respuesta es afirmativa, desarrollar una demostración.

Sí podemos demostrar que .

Hipótesis:

Tesis:

Demostración:

1) , y Hipótesis

2) y forman par lineal Definición de par lineal

M A B C N

E D

! !

3)1) y Postulado del suplemento

4)1),2),3) y despeje

5) 1),3),sustitución,igualación6) y forman par lineal Definición de par lineal

7)1) Y Postulado del suplemento

8)1),7) y despeje

9) 8) e igualación10) 1),5),9) y Postulado ALA11) 10) y partes correspondientes

de

14. (Nro. 13 Pág. 137)

En un plano, los puntos y están en lados opuestos de de modo tal que el es un triángulo equilátero y el

es un triángulo equiángulo. Demostrar que .

Hipótesis: es equilátero y es equiánguloTesis:

Demostración:

1) es equilátero y Hipótesis

C

A B

D

!

!

es equiángulo2) 1)

3)1),2) y Teorema 5-4

3) 1) 4) es equilátero 3) y Corolario 5-4.15) 4)6) 5) y partes correspondientes

de

15. (Nro. 11 Pág. 168)

Demostrar que si la mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es perpendicular a la hipotenusa, entonces el triángulo es isósceles.

Hipótesis: Es rectángulo

Es la mediana de

Tesis: Es isósceles

Demostración:

1) Es rectángulo Es la mediana de

Hipótesis

A BD

C

2) 1) y Definición de mediana

3) 1) y definición de perpendicularidad

4)3)

5) 4) e igualación6) 2),3),4),5) y Postulado LAL

7)6) y partes correspondientes de

8) es Isósceles

(Nro. 12 Pág. 168)

Se nos da el , con . Las bisectrices de los ángulos en la base, se cortan en el punto . Demostrar que es perpendicular a (No es necesario utilizar triángulos congruentes en la demostración).

Hipótesis:

Las bisectrices de los ángulos en la base, se cortan en el punto .

Tesis:

Demostración:

A B

E DF

!

C

1) Hipótesis

2) 1) y Teorema Isósceles3) es la bisectriz de es la bisectriz de

1) y Definición de bisectriz

4) 3)5) es Isósceles 2),3),4) y Teorema del

Isósceles6) es mediatriz de 5) y Teorema de la mediatriz

7)

(Nro. 13 Pág. 168)

Una de las diagonales de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero. Demostrar que biseca a la otra diagonal.

Hipótesis: y biseca a los y , con punto de

intersección. .

Tesis: biseca a

Demostración:

1) y biseca a los y , con punto de

intersección. .

Hipótesis

B

C

DE

A

2) 1) y Definición de

3) 2) y Teorema del Isósceles4) 1),2) y Postulado ALA5) es mediatriz de 4) y Definición de mediatriz

6) 4),5)

7) biseca a

16. Trazar las medianas de un con regla y compás describiendo cada uno de los pasos. Si es posible justifique.

La mediana de un triángulo es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto del vértice.El punto medio del lado lo podemos encontrar trazando con el compás un arco de diámetro igual a la longitud del lado opuesto desde cada uno de los extremos del segmento que define ese lado opuesto. El punto de corte de los arcos determina el segmento mediana del lado.Luego de haber encontrado el punto medio del lado opuesto al vértice trazamos un segmento desde éste último al punto encontrado.

En las páginas cuadriculadas, observaremos este procedimiento.

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADORINSTITUTO PEDAGOGICO DE MATURIN

Alumno: Profesora:

Agosto de 2007