GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y … · GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y POSICIONES Prof: F. López-D. Legal: M-007076/2009 7 10. SEGMENTARIA Esta forma se obtiene a partir de

GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y POSICIONES

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 7

10. SEGMENTARIA

Esta forma se obtiene a partir de la forma general.

1

1

0

B

CY

A

Cx

C

By

C

Ax

CByAx

CByAx

Ejemplo:

1

3

7

1

71

7

3

7

73

073

yxyx

yx

yx

Los denominadores son los cortes con los ejes.



1. Recta que pasa por A y B en todas las formas

A = (-3, 2) B = (5, 1) AB = (5, 1) – (-3, 2) = (8, -1)

Continua: 1

2

8

)3(

yx

Punto pendiente)3(

8

12 xy

Explícita: 1683 yx yx 813 8

13

8

1

8

13

x

xy

General: 0138 yx

Segmentaria: 138 yx 138 yx 1

13

8

13

yx

1

81313

yx

Paramétrica:

tx

8

3

38 tx

ty

1

2

2 ty

Vectorial: (x, y) = (8t – 3, -t + 2) = (8t, -t) + (-3, 2) = t (8, – 1) + (-3, 2)



2. Hallar la recta que pasa por A y por B en todas sus formas.

2,2

5,1

3,1

ABABAB

B

A

Vectorial: 2,23,1, yx Paramétrica:

23

21

y

x

Continua:2

3

2

1

yx

Punto pendiente: 12

23 xy Explícita: 4

2

2

xy

General: 0822 yx Segmentaria: 144

1

2

8

2

8

yxyx

3. -Calcular la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por 3,5

y lleva la dirección )2,1(2 jiu .

tttutayxx 23,52,13,5, Es la ecuación vectorial.

Las ecuaciones paramétricas:

ty

tx

23

5



4. Obtener la forma general y explícita de la recta que pasa por A= (3, 4) con vector director (-1, 3):

01339340 yxxyCByAy (Forma general)

133 xy (Forma explícita)

5. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, conA (5,-2) y B (3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por P (2,1) y Q (-5, -3):

Punto: 4,442

62,4

2

35

yx

4,713,25 v

4

7

7

4m 4

4

74 xy

01247 yx



6. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área deltriángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 3 unidades cuadradas:

La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de catetos a y b.

Siendo (a, 0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.

En nuestro caso b=3, entonces 232

·3 a

a.Entonces el vector es:(2, 0)-(0, 3)=(2,-3)

6233

3

2

0

yx

yx

La ecuación sería: 0623 yx

7. Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendoque la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0:

GEOMETRÍA-EJERCICIOS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA


1. Hallar la recta que pasa por A y B en todas las formas A = (-3, 2) B = (5, 1)

PRIMERO CALCULAMOS EL VECTOR, RESTANDO LOS PUNTOS AB = (5, 1) – (-3, 2) = (8, -1) NO IMPORTA EL ORDEN, NOS DARÍA LA MISMA DIRECCIÓN Podemos empezar por cualquier forma, pero una forma bastante buena es empezar por la continua y

seguir con las demás a partir de ella.:

Continua: 1

2

8

)3(

yx

Punto pendiente)3(

8

12

xy

Explícita: 1683 yx yx 813 8

13

8

1

8

13

x

xy

General: 0138 yx

Segmentaria: 138 yx 138 yx 1

13

8

13

yx

1

81313

yx

Paramétrica:t

x

8

3 38 tx

ty

1

2 2 ty

Vectorial: (x, y) = (8t – 3, -t + 2) = (8t, -t) + (-3, 2) = t (8, – 1) + (-3, 2)



2. Hallar la recta que pasa por A y por B en todas sus formas. Representar

2,2

5,1

3,1

ABABAB

B

A

Vectorial: 2,23,1, yx Paramétrica:

23

21

y

x

Continua: 2

3

2

1

yx

Punto pendiente: 1

2

23

xy

Explícita:4

2

2

xy

General: 0822 yx Segmentaria:

144

1

2

8

2

8

yxyx

3. Hallar la recta que pasa por A=(2,1) y por B=(-2,3) en todas sus formas.

4. Hallar la recta que pasa por A=(1, -3) y por )2,1(u en todas sus formas.



5. Calcular la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasapor 3,5 y lleva la dirección jiu 2 .

tttutayxx 23,52,13,5, Ecuación vectorial.

Igualando coordenadas se obtienen las ecuaciones paramétricas:

ty

tx

23

5

La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la parte positiva del eje de abscisascon la recta.

6. Obtener la forma general y explícita de la recta que pasa por A= (3, 4) con vectordirector (-1, 3):

0133

934

0

yx

xy

CByAy

(Forma general)

133 xy (Forma explícita)



7. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmentoAB, con A (5,-2) y B (3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por:

P (2,1) y Q (-5, -3):

Punto: 4,4,42

62,4

2

32

yx

4,713,2,5 v

4

7

7

4m 4

4

74 xy

01247 yx

8. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

El punto medio es

2

,22

2121 yyxxBA



9. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área deltriángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 3 unidades cuadradas:

La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de catetos a y b.Siendo (a, 0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.

En nuestro caso b=3, entonces 232

·3 a

a

La ecuación sería: 0123 yx

10. Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0:

El vector de s es (2, 3), y su pendiente2

3sm El vector director de r es (5B, 2), y su pendiente

Bmr 5

2

Si r y s son perpendicularesr

s mm

1 , entonces:

2

3

2

5

B 5

3B

La recta queda: 032 Cyx Como el punto (3,-2) pertenece a la recta se cumpleque: 002332 CC Y la recta incógnita será: 032 yx

GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y EN EL PLANO DEL ESPACIO


EJERCICIOS

1. Hallar en todas las formas la recta que pasa por 2,1,3 P y cuyo vector es 1,2,1 v

:

E. VECTORIAL: 1,2,12,1,3,, tzyx

E. PARAMÉTRICA:

tz

ty

tx

2

21

3

E. CONTINUA: 1

2

2

1

1

3

ZYX

E. REDUCIDA:

032421

072162

yzzy

yxyx



2. Hallar en todas las formas la recta que pasa por 3,2,1 P y cuyo vector es 4,2,3v

E. VECTORIAL: 4,2,33,2,1,, tzyx

E. PARAMÉTRICA:

tz

ty

tx

43

22

31

E. CONTINUA: 4

3

2

2

3

1

zyx

E. REDUCIDA:

014246284

08326322

zyzy

yxyx



3.DISTINTAS ENUNCIADOS PARA CALCULAR UNA RECTA

En vez de dar un punto y un vector, nos dan dos puntos.Lo primero que tenemos hacer es calcular el vector director, podemos restar indistintamente los puntos A yB porque darían dos vectores opuestos, pero de la misma dirección.También tenemos la misma ecuación si ponemos el punto A o el B.

4. Recta que pasa por dos puntos .A (1, 2, 1) y B (-1, 0,2).

Con los dos puntos formamos un vector, escribiendo la recta en cualquier forma.

AB= B-A = (-2, -2, 1)

1 2 1

2 2 1

x y z



5. Hallar una recta que pasa por A=(1,2,1) y es paralela a la recta reducida:

232

12

zyx

zyx.

Pasarlo a paramétrica.

Si son paralelas, tienen el mismo vector, para esto se halla la paramétrica.

z

yx

yx

232

22

Por Cramer.

15

55

32

1132

122

x

5

5

32

1122

221

x

Forma paramétrica

z

y

x 1

Tomamos ahora el punto A= (1, 2, 1) y el vector el mismo (-1, -1, 1) para que sean paralelas.

En forma continua1 2 1

1 1 1

x y z

. En forma paramétrica

1

2

1

x

y

z



6. Hallar la recta paralela a dos planos:

33

22

zyx

zyxque pasa por un punto P = (2, 1,3).

Hallamos la recta en la que se cortan los dos planos y tomamos el vector para hallar la recta que nos piden.

Dos planos se cortan en una recta si no son proporcionales. La recta en paramétrica, para sacar el vector, queserá el será el de la recta pedida. Lo resolvemos por Cramer.

tz

tt

t

y

tt

t

x

3

12

3

331

21

3

78

11

21133

22

tz

ty

tx

3

123

87

Vector = (-7, 2, 3) =>2 1 3

7 2 3

x y z

Documents

GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y … · GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y POSICIONES Prof: F. López-D. Legal: M-007076/2009 7 10. SEGMENTARIA Esta forma se obtiene a partir de