Tema desarrollado por Augusto Montes B.

GRAVITACIÓN

2.1 INTRODUCCION.

Según la leyenda Newton descubrió la ley de la gravitación universal sentado en su jardín y contemplando la caída de una manzana. En realidad este descubrimiento se desarrolló durante un período de 20 años, y es un ejemplo característico de cómo avanza la ciencia. Durante esas dos décadas, Newton refinó y desarrolló las ideas heredadas, combatió el error y finalmente logró resultados poderosos. Su éxito ha tenido un impacto enorme en nuestra ciencia y en nuestra cultura general.En 1632 Galileo había establecido las bases de la mecánica, y Kepler había descrito con exactitud el movimiento planetario: Ambos legaron un desafío: Explicar las causas físicas del comportamiento planetario. Muchas personas trataron de resolver ese problema, pero avanzaron muy poco. Entre las piezas claves del rompecabezas, que se empezaba a armar, estaba el cálculo de la aceleración de un objeto en movimiento circular uniforme, por Christiaan Huygens (1629-1695). Pero de allí en adelante no se sabía como avanzar más.Newton que había inventado el cálculo infinitesimal, descubrió su tercera ley al estudiar con cuidado los choques, y encontró una forma para volver a deducir el resultado de Huygens. Pero no sabía qué causa podría producir la relación del inverso del cuadrado de la distancia y las aceleraciones de los planetas. Todavía no había captado que la fuerza es un proceso entre dos cuerpos. Primero pensaba que la fuerza es una propiedad del objeto que la siente o experimenta. También, de acuerdo con Huygens, consideraba que la aceleración de un objeto en movimiento circular tenía una tendencia a huir del centro, del objeto mismo.Para avanzar en su investigación del mundo natural, Newton tuvo que reconocer primero estas diferencias. Irónicamente, el catalizador fue una carta de su rival, Robert Hooke. Newton se dio cuenta que no había una tendencia a huir del centro. En lugar de ello, cada planeta acelera directamente hacia el sol, porque una fuerza actúa sobre él en esa dirección. Es el sol, al ejercer una fuerza de atracción, el que mantiene al planeta en órbita. Esa atracción no existía en los conceptos físicos de aquella época.El siguiente paso de Newton fue proponer una analogía con la física en la tierra. Sabía que las fuerzas en la tierra siempre se dan en pares, y supuso que su tercera ley debería ser una regla general acerca de las fuerzas en cualquier lugar. ¡Si el sol tira de la tierra, la tierra también tira del sol!.Como el sol y cada planeta ejercen fuerzas de atracción mutua, Newton dedujo que también los planetas se atraen entre sí. Sabia por las observaciones telescópicas de Júpiter y de Saturno que estos se desviaban ligeramente de sus órbitas elípticas. Newton pudo demostrar que las desviaciones eran las que resultaban de una atracción entre planetas. Esta línea de razonamiento fue la que lo condujo a la idea de una atracción universal.

El paso final fue comprobar si la atracción universal es lo mismo que la gravedad en la tierra. Si ambas eran causadas por la atracción de la tierra, la caída de una manzana debería relacionarse con la aceleración de la luna en su órbita. Las aceleraciones de los dos objetos hacia la tierra deberían estar en relación inversa con los cuadrados de sus distancias al centro de la tierra. Al hacerse la comparación, se encontró que las dos relaciones concordaban casi exactamente.El descubrimiento por parte de Newton, de la gravitación universal y las tres leyes del movimiento, transformaron a la ciencia. Esas leyes ofrecen una explicación de los movimientos planetarios en términos de una sola ley de atracción, y al mismo tiempo un lineamiento completo para hacer física en la tierra. Así, la física cesó de ser una disputa acerca de principios básicos y se transformó en un programa de aplicación de las leyes de Newton, en investigaciones y en la ingeniería. 2.2 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

La ley de gravitación universal de Newton fue publicada por Sir Isaac Newton en 1687 en sus Mathematical Principles of Natural Philosophy. Generalmente esta ley se enuncia así: (Cambiar)

La interacción gravitacional entre dos cuerpos de masas m1 y m2 es una fuerza de atracción proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa y dirigida a lo largo de la línea que los une.

Tiene un valor en magnitud de

2.1

Donde G es una constante universal que tiene el mismo valor para todos los pares de partículas.En la figura 2.1 se muestra como es la interacción entre dos partículas y su representación vectorial.

Figura 2.1

Donde es la fuerza ejercida sobre la partícula 1 debida a la partícula 2 y es la fuerza sobre la partícula 2 debida a la partícula 1, entonces,

2.2

Que indica que la fuerza esta dirigida hacia 1 y es antiparalela al vector unitario el cual esta dirigido de la partícula 1 hacia la partícula 2. El signo menos en la ecuación 2.2 representa una fuerza de atracción. Además, y forman un par de fuerzas de acción-reacción o sea .Es importante notar que la ecuación 2.2 se aplica solo a masas puntuales (partículas), pero en algunos casos la fuerza gravitacional ejercida por una distribución de masa, de tamaño finito y de simetría esférica, sobre una partícula afuera de la esfera es la misma que se tiene si se considera toda la masa concentrada en el centro de la esfera. También merece atención el hecho de que la fuerza gravitacional es de acción a distancia y que siempre existe entre dos partículas, sin importar el medio que exista entre ellas.

La ley representada por la ecuación 2.1 se ha verificado experimentalmente y en esos procesos se ha determinado el valor de G. La primera determinación en el laboratorio del valor de G, a partir de la fuerza entre masas esféricas situadas entre sí a corta distancia, la realizó Sir Henry Cavendish en 1798. Para ello usó un equipo parecido a la versión moderna que aparece en la figura 2.2.

Figura 2.2

El experimento original de Cavendish dio un valor para G de 6.75x10 -11N-m2-kg-2. En los casi 200 años desde los tiempos de Cavendish, se ha usado la misma técnica básica de la balanza de torsión para repetir esta medición muchas veces, conduciendo al valor de G aceptado actualmente,

G = 6.67259 x 10-11 N.m2.kg-2

2.3 FUERZA GRAVITACIONAL CERCA DE LA TIERRA.

Si se considera la tierra como una esfera en el sentido de la ecuación 2.1, la fuerza ejercida sobre un punto de masa m que se encuentre sobre su superficie es:

donde ME es la masa de la tierra y RE es el radio de la tierra. También esta fuerza se puede indicar como se hacia en el curso de Física I, o sea como

,

Donde g es la aceleración de m debida a la gravedad. Como las dos ecuaciones anteriores son iguales se tiene:

, 2.3

así, en general, que g no es constante y se dirige hacia el centro de la tierra.La ecuación 2.3 se puede usar para determinar la masa de la tierra suponiendo que en la superficie g = 9.8 m-s-2.Para otras posiciones se define r = RE+h, donde h es una posición de m respecto a la superficie de la tierra. Entonces g para cualquier altura respecto a la superficie de la tierra es

2.4

La ecuación 2.4 se usa también para determinar las variaciones de g debidas a distancias pequeñas comparadas con el radio terrestre. En general,

Por ello,

2.5

La ecuación 2.5 puede emplearse como una aproximación para cambios finitos en g, debido a cambios finitos en r, estipulando que, r r . En la forma siguiente:

Ejemplo 1 Estimar la masa de la tierra y la densidad promedio.

El valor medio del radio de la tierra es de 6.37x106m y el valor de g es de 9.8m-s-2. Así,

y

.

Puesto que este valor es casi el doble de la mayor parte de las rocas en la superficie terrestre, se concluye que el núcleo interior de la tierra tiene una densidad mucho más elevada que el valor promedio.

Ejemplo 2. Determinar aproximadamente el cambio relativo en la aceleración de la gravedad desde la superficie de la tierra al que se presenta a una elevación de 2500m.

2.4 LAS LEYES DE KEPLER.

Uno de los triunfos más convincentes de Newton fue la deducción de las tres leyes de Kepler del movimiento planetario, a partir de la ley de la gravitación universal. Por ser consecuencia de la ley de gravitación universal, las leyes de Kepler no sólo se aplican a los planetas del sistema solar, sino también a satélites de la tierra o de otros planetas, o a cuerpos celestes que giran uno alrededor del otro. Las leyes de Kepler son:

1. Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos.

2. Un radio vector que una a un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3. El cuadrado del período del movimiento de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.

La primera y la tercera son propiedades de una ley particular de la fuerza; su validez depende de la proporcionalidad a 1/r2. La segunda es una presentación de

la conservación del momento angular que será válida para cualquier ley de la gravitación considerando que es una fuerza central.

2.5 LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y EL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS.

En la formulación de su ley universal de la gravitación, Newton usó la siguiente observación, la misma fuerza que hace caer la manzana se extiende hasta la órbita de la luna y que su fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia (figura 2.3). El radio de la tierra es de 6.37x106 m, lo cual significa que Newton y su legendaria manzana estaban situados a 6.370 Km. de un punto del centro de la tierra del cual ( y esta fue una de la ideas fundamentales de Newton) emana la fuerza gravitatoria. La distancia de la luna al centro de la tierra es de 3.84x108 m, 60 veces mayor que la de la manzana al mismo centro. Si es válida la ley del inverso del cuadrado de la distancia, la manzana que cae debe experimentar una fuerza gravitacional 602, o 3600, veces mayor que la luna. Newton supuso basándose en el principio de inercia, que la luna escaparía en línea recta si no fuese constantemente apartada de ese camino por la fuerza de gravedad terrestre.

Figura 2.3

Del razonamiento de Newton se puede decir que . Usando los valores rM=3.84x108 m y RE=6.37x106 m, la razón de la aceleración de la luna aM, a la aceleración de la manzana, g, es

Por lo que

aM =(2.77x10-4)(9.8 m-s-2)=2.71x10-3 m-s-2

La aceleración centrípeta de la luna se calcula teniendo en cuenta la distancia media desde la tierra rM y su período orbital T = 27.32 días =2.36x106 s. Esta es:

Este acuerdo entre las dos aceleraciones confirma la hipótesis de Newton de que la misma fuerza gravitacional que atrae la manzana atrae también a la luna. Para este análisis Newton supuso que la tierra se comportaba como una partícula, es decir toda la masa estaba concentrada en su centro, suposición que lo preocupo por mucho tiempo hasta que pudo demostrarlo años después. Para ello desarrollo el cálculo simultáneamente con Leibniz.

La tercera ley de Kepler.

La tercera ley resulta de la primera y de la ecuación 2.1 para órbitas circulares (las órbitas de todos los planetas salvo las de Marte, Mercurio y Plutón, son casi circulares). Al utilizar la ecuación 2.1 se considera que ambos, el sol y el planeta se pueden tratar como partículas. Como se muestra en la figura 2.4, MS y mp giran a velocidad angular constante alrededor de su centro de masa común, por lo que se cumple la condición que M R m rS p .

Figura 2.4

La aceleración centrípeta de mp es y por ello la magnitud de la fuerza gravitacional entre el sol y el planeta indica que

Si a la condición de CM se le suma a ambos lados M rS se tiene M R r m Ms rS p( ) ( ) entonces

reemplazando r en la ecuación anterior, se tiene

o

Por lo que

2.6

donde d = R+r es la distancia del centro del sol, MS, al del planeta, mp.

Si la masa del planeta es pequeña comparada con la del sol se puede hacer la siguiente aproximación,

donde

2.7

esto debido a que

En el caso particular de la tierra y el sol, el error cometido al despreciar el factor del centro de masa y aplicar la ley de los períodos es menor de 0.001%.Sin embargo, la masa mp no siempre es totalmente despreciable frente a la del sol; por ejemplo, Júpiter tiene una masa que es aproximadamente igual al 0.1%

de la del sol. Además, es una constante

independiente del planeta. Por lo que, la ecuación 2.7 es “válida” para cualquier planeta teniendo en cuenta la aproximación. En el caso de los satélites alrededor de la tierra la constante cambia, simplemente cambiando la masa del sol por la de la tierra.

La segunda ley de Kepler y la conservación del momento angular.

La segunda de las leyes de Kepler se puede encontrar fácilmente para órbitas elípticas. En la figura 2.5 a) y 2.5 b) se indica una órbita de estas junto con un incremento del área. Esta área sombreada aproximadamente es un triangulo de base r y altura .Así,

dividiendo por a ambos lados se tiene

Figura 2.5

que en el límite instantáneo resulta ser

2.8

Ahora bien, la cantidad de movimiento angular es:

como es perpendicular al plano de la órbita y se encuentra en el plano de ella,

Así,

y por ello, la ecuación 2.8 queda como:

2.9

como la fuerza gravitacional, , es paralela a , el torque de es:

por lo tanto es un vector constante. De lo que se deduce que dA/dt = constante.Es importante recalcar que este resultado, el cual es la segunda ley de Kepler, es una consecuencia del hecho de que la fuerza gravitacional es una fuerza central, la cual, a su vez, implica conservación del momento angular. Por lo tanto, la ley se aplica a cualquier situación que involucre fuerzas centrales, sean o no 1/r2 .

2.6 CAMPO GRAVITACIONAL.

La fuerza gravitacional es un ejemplo de acción a distancia, lo que significa que dos partículas interaccionan entre sí aunque no lleguen a encontrarse en contacto. Frecuentemente este concepto se reemplaza con la noción de campo. La idea es que una partícula modifica el espacio o las vecindades que lo rodean, produciendo un campo que a su vez, influye sobre cualquiera otra partícula colocada en él. El campo actúa con un papel intermediario y el problema tiene dos partes separadas a saber:Encontrar el campo a partir de sus fuentes.Hallar el efecto del campo sobre una partícula colocada en él.El campo se hace más útil cuando las fuentes son muy masivas comparadas con la partícula, de tal manera que el movimiento de la partícula esencialmente no altere a las fuentes. Entonces el campo de una sola fuente es constante en el tiempo (en el marco de referencia de la fuente en reposo) y esencialmente independiente del movimiento de la partícula.La intensidad del campo gravitacional de una partícula de masa M se define como la fuerza por unidad de masa que se ejerce sobre una masa de prueba pequeña m colocada en una posición relativa a la fuente. Así,

2.10

Donde es un vector unitario a partir de la posición de M. Luego el campo gravitacional apunta en un punto p en dirección opuesta al vector unitario. En otras palabras, el campo gravitacional siempre apunta hacia la masa que lo produce.Como , y teniendo en cuenta la ley de Newton, es la aceleración de la gravedad en el lugar que se trate y sus unidades en el sistema SI son m-s -2.

Si existen varias masas m1, m2, m3, ..... (figura 2.6), cada una de ellas produce su propio campo gravitacional.

Figura 2.6

El campo gravitacional resultante en el punto p es por lo tanto

. 2.11

Si la distribución de masa es continua la sumatoria se reemplaza por una integral y la masa se puede expresar en términos de la geometría de la distribución y de la densidad de masa.

Ejemplo 3. Hallar el campo gravitacional de un anillo de masa uniforme M en un punto P que está sobre su eje tal como en la figura 2.7. Si se coloca una masa m en el punto P cual es la fuerza que esta siente y además, mostrar que si x<<a el movimiento resultante es armónico simple.

Figura 2.7

Se considera un elemento diferencial del anillo de longitud ds, localizado en la parte superior del anillo de la figura. Su elemento de masa se expresa como:

Siendo la circunferencia del anillo. Este elemento produce un campo gravitacional diferencial en el punto P.El campo resultante en P se encuentra integrando los efectos de todos los elementos que constituyen el anillo. Por simetría, este campo resultante debe estar sobre el eje del anillo. Así pues, solo la componente de paralela a este eje contribuye al resultado final. La componente perpendicular al eje se anula por una componente igual y opuesta que produce el elemento de masa en el lado opuesto del anillo.Así, la integral del vector

Se transforma en una integral escalar debido a las consideraciones de simetría, o sea,

La integral es simplemente la circunferencia del anillo , de modo que

.

Una masa m colocada en P siente una fuerza gravitacional dirigida hacia el centro del anillo, y es:

En el caso especial en que x<<a, la ecuación anterior se puede transformar como

donde

Ecuación diferencial que corresponde a un movimiento armónico simple con una frecuencia

Ejemplo 4. Hallar el campo gravitacional fuera y dentro de un cascarón esférico de densidad uniforme de masa, espesor t y radio a.

Figura 2.8

En la figura 2.8 un elemento de cascarón produce un campo gravitacional dirigido hacia el centro a lo largo de x. Por simetría las componentes perpendiculares se anulan.

El elemento de masa de este cascarón es .El campo gravitacional producido por dM en el punto P es:

Las variables r, y están relacionadas entre sí. En la figura se ve que

.

Por la ley de los cosenos,

de donde

Derivando la anterior ecuación,

Reemplazando todo lo que tenga y en términos de r, x y a en las ecuaciones anteriores se obtiene:

Este es el campo producido por el elemento de masa dM en el punto P.Ahora se deben considerar todos los elementos de masa del cascarón y efectuar la integración con respecto a la variable r, que varia desde x-a hasta x+a.

en donde es la masa total del cascarón.Este campo es el mismo que el de una partícula de masa M colocada en el centro del cascarón. Una esfera sólida entonces se puede considerar como constituida por un gran número de cascarones concéntricos. Si cada cascarón esférico tiene una densidad uniforme de masa, aun cuando los diferentes cascarones puedan tener diferentes densidades de masa, se aplica el mismo resultado a la esfera

sólida. Por consiguiente, cuerpos como la tierra, el sol, etc se pueden considerar gravitacionalmente como partículas.Para calcular el campo gravitacional dentro del cascaron de la figura 2.8 simplemente se cambian los limites de integración desde a-x hasta a+x, lo que da un campo gravitacional dentro del cascaron.

Ejemplo 5. Hallar el campo gravitacional fuera y dentro de una esfera homogénea de radio a.

Para calcular el campo fuera de la esfera se considera a esta como si estuviera construida como una cebolla, es decir, como la superposición de una serie de capas esféricas delgadas. Cada capa produce un campo dado por la ecuación 2.10. Como la distancia r del centro a P es la misma para todas las capas en la figura 2.9 a) , las masas se suman, y por lo tanto el campo es:

Figura 2.9

Dando nuevamente el mismo resultado de la ecuación 2.10. Por lo tanto una esfera sólida homogénea produce, en puntos externos a ella, un campo gravitacional idéntico a la de una partícula de masa colocada en el centro.Para obtener el campo en el punto P situado en r<a se dibuja una esfera de radio r que pase por allí, como en la figura 2.9 b). Las capas con r>a no contribuyen al campo de acuerdo con el ejemplo 4. Si a la masa para r<a se le llama M int., el campo en P es:

Como se considera a la esfera como homogénea,

Se obtiene que el campo en el punto interior es:

2.11

El campo gravitacional en un punto interior es proporcional a r. Estos resultados se cumplen aun cuando la esfera en lugar de ser homogénea, tenga su masa distribuida con simetría esférica; esto es, cuando su densidad es función de la distancia al centro solamente. Entonces, la integración se toma sobre el volumen contenido en la superficie interior.

Ejemplo 6. Una partícula de masa m se mueve en un túnel como se muestra en la figura 2.10. Demostrar que la partícula se mueve con movimiento armónico simple. Se desprecian todas las fuerzas de fricción y se supone que la densidad de la tierra es uniforme. ¿Qué tiempo transcurre para ir de un extremo al otro?.

Figura 2.10

La atracción gravitacional de la tierra sobre la partícula de masa m situada a una distancia r como lo muestra la figura 2.10 proviene enteramente de la porción de materia de la tierra situada en cascarones internos a la posición de la partícula. Los cascarones externos no ejercen ninguna fuerza sobre la partícula. La fuerza gravitacional cuando el objeto se encuentra en el túnel está dirigida hacia el centro de la tierra y está dada por la ecuación 2.11 multiplicada por m y con a= Re .

La componente y de esta fuerza se equilibra con la fuerza normal que ejerce la pared del túnel, y la componente x de la fuerza está dada por

donde , y aplicando la segunda ley de Newton a lo largo de x se obtiene

que corresponde a un M.A.S con frecuencia angular , donde

por lo tanto el período de este movimiento es:

El tiempo para ir de un extremo al otro es de medio período, o unos 42 min. Este tiempo es independiente de la masa de la partícula y de la longitud del túnel. El período es aproximadamente el mismo que el de un satélite colocado en una órbita circular justo arriba de la superficie terrestre.

2.7 ENERGIA POTENCIAL Y POTENCIAL GRAVITACIONAL.

La diferencia de energía potencial gravitacional entre los puntos a y b es el trabajo realizado por la fuerza gravitacional que actúa sobre una partícula de masa m, con signo contrario, cuando la partícula se mueve de la configuración a a la configuración b como en la figura 2.11. La fuerza gravitacional es central y conservativa y está dirigida a lo largo de alguno de los segmentos radiales; por lo tanto, el trabajo realizado por es la suma de todas las contribuciones a lo largo de los segmentos radiales:

Figura 2.11

W F r drr

r

a

b

( ) 2.12

donde ra y rb son las posiciones inicial en a y final en b. Debido a que es una función de r, la integral depende solamente de los valores iniciales y finales de r. Entonces, el trabajo es el mismo para cualquier trayectoria entre a y b. Una vez que la fuerza es especificada, se obtiene la energía potencial asociada con el desplazamiento dado. El trabajo para una fuerza del inverso del cuadrado de la distancia es:

U U U F r dr GMm

rdrb a r

r

r

r

a

b

a

b

( ) 2 2.13

U U GMmrb ar

r

a

b

1

U U GMmr rb ab a

1 1 2.14

La escogencia de un nivel de referencia para la energía potencial es completamente arbitraria. Se acostumbra escoger el nivel de referencia donde la fuerza es cero. Poniendo Ua=0 en ra y rb=r, se obtiene el importante resultado

UGMm

r 2.15

Es importante recordar que U es una propiedad tanto de M como de m, es decir, es característica del sistema. Sin embargo, en el caso en que M>>m, habitualmente se habla de la energía potencial de m en el campo de M. Esta licencia del lenguaje se justifica en este caso por el hecho de que cuando esta energía potencial se convierte en energía cinética, el cuerpo menos masivo m adquiere la mayor parte de ellaPara un sistema formado por más de dos partículas, sometidas a su interacción gravitatoria, la energía potencial es:

U Gm m

ri j

i jj i

N

i

N

1 2.16

Si se quiere separar del sistema por ejemplo la partícula 4 y llevarla al infinito, se necesitaría ejecutar el trabajo

U Gmm

ri

iii

N

441

4

que es positivo.

Ejemplo 7. Demostrar que en la vecindad cercana a la superficie de la tierra se justifica usar la expresión U=mgh para la energía potencial gravitacional de una partícula de masa m.

Usando la expresión 2.14 con ME=M, ra=RE y rb=RE+h, donde h<<RE se tiene:

U U R h U RGM

RmhE E

E

E

( ) ( ) 2

de acuerdo con la ecuación 2.4 g GM RE E / 2 que es la aceleración de la gravedad

en la superficie de la tierra y redefiniendo U R h U h y U R UE E( ) ( ) ( ) ( ) 0 se tiene:

U U h U mgh ( ) ( )0 .

Es conveniente que la energía potencial cero corresponda a la superficie, por lo que U ( )0 0 , por lo tanto

U U h mgh ( ) .

Otro concepto importante es el de potencial gravitacional, que corresponde a un campo escalar, que es la energía potencial gravitacional por unidad de masa. Así, de la ecuación 2.15 dividiéndola por m, se tiene el potencial gravitacional a una distancia r de una masa M como

VU

mGM

r . 2.17

El potencial gravitacional se expresa en las unidades J-Kg-1 o m2-s-2.Si en lugar de tener una partícula, se tiene una distribución discreta como en la Figura 2.6, el potencial gravitacional en el punto P no es más que la suma escalar

de los potenciales producidos en ese punto por cada una de las masas m i que se puede expresar como

V Gm

ri

ii

2.18

La ecuación 2.18 puede ser transformada para obtener el potencial creado por una distribución continua de masa. Para ello se divide la distribución continua en un número infinito de masas pequeñas mi 0 , tratando este elemento como una masa puntual (Figura 2.12), el potencial V es:

V G limm

rGdm

rNm

i

i

N

i

01

2.19

Figura 2.12

Ejemplo 8. Determinar el potencial creado por un disco delgado de radio a, con densidad superficial de masa , en los puntos de su eje como en la figura 2.13.¿ Cual es el potencial si el disco se convierte en un plano infinito?.

Se divide el disco en anillos de ancho dy, de forma que el área de cada uno de ellos es 2 ydy , y su masa dm ydy ( )2 . Por lo tanto el potencial producido por el anillo es

Figura 2.13

dV Gdm

rG

ydy

x y

22 2

V Gydy

x y

a

2

2 20

haciendo u x y 2 2 se tiene quedu ydy2 y la integral queda

V Gdu

uG u

x

x a

x

x a

2

2 2

2

2 2

2 .

De esto resulta V G x a x 2 2 2

Para a se obtiene una contribución infinita pero constante dada por V G x 2

Definiendo, a V G( ) ( )0 2 que corresponde al potencial evaluado en x=0.Como se esta interesado solamente en la diferencia de potencial, se define la diferencia de potencial entre el punto P y el plano como

V V G x G Gx ( ) ( )0 2 2 2

Este proceso se conoce como renormalización, en el cual se asigna al plano el nivel de referencia cero. Por lo tanto V(0)=0. Entonces

V x Gx( ) 2

Si a la ecuación 2.17 se le saca la derivada con respecto a r se obtiene

dV

dr

d

dr

GM

r

GM

r

2 . 2.20

Comparando 2.20 con la ecuación 2.10 se nota que la magnitud del campo gravitacional es

gdV

dr 2.21

y en general, se obtiene

g V 2.22

donde significa gradiente. Por consiguiente, el campo gravitacional es el

gradiente con signo negativo del potencial gravitacional. Un campo vectorial, como el campo gravitacional

g , asigna un vector a cada punto. Un campo escalar

como V, asigna un número a cada punto. En matemáticas, el gradiente de un campo escalar, tal como el potencial gravitacional, es un vector que apunta en dirección en la que el campo escalar varía con mayor rapidez. Su magnitud es la rapidez máxima de cambio del campo escalar. Este (el campo escalar) es perpendicular al gradiente y no cambia. La relación entre el vector campo gravitacional y el potencial gravitacional es la dada por la ecuación 2.22. Que en coordenadas cartesianas es:

g

V

xu

V

yu

V

zux y z

Ejemplo 9. Obtener el campo gravitacional para los potenciales hallados en el ejemplo 8.

El campo en un punto P cualquiera a lo largo del eje x se obtiene aplicando la ecuación 2.22 en coordenadas cartesianas. El potencial gravitacional es una función únicamente de la coordenada x, por lo tanto la derivada a lo largo de x es total. Por consiguiente

gdV

d x

d

d xG x a xx 2 2 2 ( )

g Gx

x ax

2 1

2 2 (

Para obtener el campo del plano infinito se puede hallar directamente de la anterior ecuación simplemente haciendo tender a ó aplicando la ecuación 2.22 al resultado obtenido para el potencial de un plano infinito en el ejemplo 8.

gdV

d x

d

d xGx Gx 2 2

El signo menos indica que el campo gravitacional que es constante en magnitud, apunta perpendicularmente hacia el plano.

2.8 LA ENERGIA EN EL MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATELITES.

Si un satélite de masa ms se mueve en una órbita alrededor de un planeta por ejemplo la tierra, la energía potencial gravitacional viene dada por la ecuación

U r Gm M

rs E( )

sobre el satélite la fuerza gravitacional debida a la presencia de la tierra es conservativa, por lo tanto la energía del sistema para ME>>ms se conserva, y esta dada por

E m v Gm M

rss E

1

22 2.23

La ecuación 2.23 es válida para cualquier órbita. En el caso particular de una órbita circular, como la de la Figura 2.14. La fuerza

Fg en magnitud está dada

por

F m a mv

rGm M

rg s c ss E ,

2

2 2.24

Multiplicando la última igualdad por r/2, se tiene

1

2

1

22m v G

m M

rss E 2.25

que al ramplazarse en la ecuación 2.24, se obtiene

EGm M

rs E2 2.26

El signo menos se debe a la convención de hacer cero la energía potencial en el infinito. Así pues, un satélite en órbita circular esta ligado al planeta. Este resultado es más general que el que la demostración pueda

sugerir; todas las órbita elípticas (o cerradas) tienen una energía total negativa como la ecuación 2.26. Una órbita cerrada significa que la energía cinética no es suficiente en ningún punto de la órbita para llevar la partícula al infinito. Para desligar al satélite de la órbita, se le debe agregar como mínimo una energía positiva igual a la de la 2.26. De la ecuación 2.23 se puede encontrar la velocidad mínima necesaria para que un objeto “escape” del campo gravitacional de un planeta. Para que un satélite escape de la gravedad terrestre la velocidad mínima que se necesita para que llegue a infinito es la que se obtiene al hacer la energía total E=0 o E>0.

Obviamente la mínima velocidad se obtiene de

2.27

por consiguiente la velocidad de escape desde la tierra es

. 2.28

Nótese, que la velocidad de escape es independiente de la masa del objeto proyectado desde la tierra. Además, el resultado es independiente de la dirección de la velocidad, siempre y cuando la trayectoria no se intercepte con la tierra. Un proyectil lanzado de la tierra con una velocidad de escape dada por 2.28 tendrá velocidad cero cuando llegue a infinito. Si la velocidad es mayor que la velocidad de escape el objeto llegara al infinito con una velocidad remanente y si es menor que la velocidad de escape, el objeto regresara a la tierra.