Grupoides y fórmulas de Faà di Bruno para funciones de Green

Grupoidesy

formulas de Faa di Brunopara

funciones de Green

Imma Galvez Joachim Kock Andrew Tonks

UPC UAB London Metropolitan U.

Higher Homotopy in Seville 2011Sevilla, 24 de octubre de 2011

MTM2010-15831 Homotopıa de orden superior en algebra ygeometrıa

Imma Galvez Joachim Kock Andrew Tonks Grupoides, FdB, Green

La formula de Faa di Bruno para Diff(C, 0)

◮ La formula de Faa di Bruno clasica permite calcular lasderivadas superiores de la composicion de dos funciones deuna variable en funcion de las diversas derivadas de estas.

◮ Consideremos una serie de potencias formal en una variable

f (z) =

∞∑

n=1

an(f ) zn ∈ C[[z ]]

donde f (0) = 0 cuyos coeficientes vienen dados por lasderivadas de orden superior

an(f ) =f (n)(0)

n!.





f (z) =

∞∑

n=1

an(f ) zn ∈ C[[z ]]


an(f ) =f (n)(0)

n!.





f (z) =

∞∑

n=1

an(f ) zn ∈ C[[z ]]


an(f ) =f (n)(0)

n!.

◮ Es costumbre considerar f (z) como germen de una funcionC∞ tal que f (0) = 0. Sera un difeomorfismo si a1(f ) 6= 0 quepreservara la orientacion si a1(f ) > 0 y que sera tangente a laidentidad si a1(f ) = 1.


La formula clasica de Faa di Bruno (continuacion)

◮ C[[z ]] forma un monoide no conmutativo con respecto a lacomposicion de funciones

(g ◦ f )(z) =∞∑

n=1

an(g)

( ∞∑

m=1

am(f ) zm

)n

. (1)

con unidad dada por la funcion identidad 1(z) = z .




(g ◦ f )(z) =∞∑

n=1

an(g)

( ∞∑

m=1

am(f ) zm

)n

. (1)

con unidad dada por la funcion identidad 1(z) = z .◮ Las funciones coordenadas son elementos del dual lineal de

este monoide.

〈an, f 〉 = an(f ), an ∈ C[[z ]]∗.




(g ◦ f )(z) =∞∑

n=1

an(g)

( ∞∑

m=1

am(f ) zm

)n

. (1)

con unidad dada por la funcion identidad 1(z) = z .◮ Las funciones coordenadas son elementos del dual lineal de

este monoide.

〈an, f 〉 = an(f ), an ∈ C[[z ]]∗.

◮ El anillo de polinomios en los an tiene una estructura decoalgebra, con counidad ε(an) = 〈an,1〉 y comultiplicaciondada por

〈∆an, f ⊗ g〉 = 〈an, g ◦ f 〉que es posible determinar explıcitamente expandiendo (??).


La bialgebra de Faa di Bruno

◮ La bialgebra de Faa di Bruno

F = C[a1, a2, . . .]

es el algebra libre conmutativa en los sımbolos an, n ≥ 1, conla counidad y la comultiplicacion que acabamos de dar.

◮ Es solo una bialgebra. Es graduada, pero no conexa: F0

esta generada por las potencias de a1, que son group-like.




F = C[a1, a2, . . .]


◮ Es solo una bialgebra. Es graduada, pero no conexa: F0

esta generada por las potencias de a1, que son group-like.

◮ Podemos imponer la relacion a1 = 1, que genera un ideal, yobtener el algebra de Hopf clasica

H = C[a2, a3, . . .].




F = C[a1, a2, . . .]


◮ Podemos imponer la relacion a1 = 1, que genera un ideal, yobtener el algebra de Hopf clasica

H = C[a2, a3, . . .].

◮ La antıpoda viene dada por la formula de inversion deLagrange clasica.




F = C[a1, a2, . . .]


◮ La antıpoda viene dada por la formula de inversion deLagrange clasica.

◮ A nosotros nos interesa considerar la bialgebra F , sin larestriccion a1 = 1.


La funcion de Green para Diff(C, 0)

◮ La formula para ∆ se puede sintetizar en una sola ecuacion,Consideremos primero la serie formal (la funcion de Green)

A =∑

k≥1

Ak

k!=

∑

k≥1

ak ∈ C[[a1, a2, a3, . . .]]



◮◮ La formula para ∆ se puede sintetizar en una sola ecuacion,Consideremos primero la serie formal (la funcion de Green)

A =∑

k≥1

Ak

k!=

∑

k≥1

ak ∈ C[[a1, a2, a3, . . .]]

◮ La forma resultante de la formula de Faa di Bruno es el hiloconductor de este trabajo:

∆(A) =∑

k≥1

Ak ⊗ ak .




A =∑

k≥1

Ak

k!=

∑

k≥1

ak ∈ C[[a1, a2, a3, . . .]]


∆(A) =∑

k≥1

Ak ⊗ ak .

◮ Los valores de ∆ en los generadores individuales ak se puedenextraer de esta formula.




A =∑

k≥1

Ak

k!=

∑

k≥1

ak ∈ C[[a1, a2, a3, . . .]]


∆(A) =∑

k≥1

Ak ⊗ ak .

◮ Los valores de ∆ en los generadores individuales ak se puedenextraer de esta formula.


El algebra de Connes–Kreimer Hopf de los grafos de

Feynman

◮◮ El algebra de Hopf de Connes–Kreimer de los grafos deFeynman esta generada por el conjunto de las clases deisomorfia de 1PI-grafos de Feynman (para una determinadaQFT).



Feynman

◮ El algebra de Hopf de Connes–Kreimer de los grafos deFeynman esta generada por el conjunto de las clases deisomorfia de 1PI-grafos de Feynman (para una determinadaQFT).

◮ La comultiplicacion viene dada en los generadores por

∆ : H −→ H⊗HΓ 7−→ 1⊗ Γ + Γ⊗ 1 +

∑

γ$Γ

γ ⊗ Γ/γ.



Feynman



∆ : H −→ H⊗HΓ 7−→ 1⊗ Γ + Γ⊗ 1 +

∑

γ$Γ

γ ⊗ Γ/γ.

◮ Aquı la suma se indexa sobre todos los subgrafos 1PI propiosγ de Γ (si γ no es conexo se interpreta como un monomio enlos elementos de la base);



Feynman



∆ : H −→ H⊗HΓ 7−→ 1⊗ Γ + Γ⊗ 1 +

∑

γ$Γ

γ ⊗ Γ/γ.

◮ Aquı la suma se indexa sobre todos los subgrafos 1PI propiosγ de Γ (si γ no es conexo se interpreta como un monomio enlos elementos de la base);

◮ Γ/γ denota el grafo obtenido contrayendo cada componenteconexa de γ a un solo vertice.


Motivacion a partir del trabajo de van Suijlekom

◮ Walter D. van Suijlekom.‘The structure of renormalization Hopf algebras for gaugetheories. I. Representing Feynman graphs on BV-algebras’.Comm. Math. Phys., 290(1):291—319, 2009




◮ Allı, se considera el algebra de Hopf de grafos de Feynman deConnes–Kreimer.





◮ Los grafos individuales no son relevantes desde el punto devista fısico.





◮ Los grafos individuales no son relevantes desde el punto devista fısico.

◮ La funcion de Green asociada a ellos sı que lo es; es decir,para un tipo de vertice fijo v

Gv = 1 +∑

res(Γ)=v

Γ/Aut(Γ)


Motivacion a partir del trabajo de van Suijlekom’s (cont.)

◮ En el trabajo de van Suijlekom, aparece una formula de Faa diBruno

∆(Yv ) =∑

n1,...,nk

YvYn1v1

. . .Y nkvk⊗ pn1,...,nk (Yv )

siendo pn1,...,nk la proyeccion sobre los grafos que contienen nivertices de tipo vi , con

Yv =Gv

∏

e∈v

√Ge

donde el producto varıa sobre las aristas e del vertice v .




∆(Yv ) =∑

n1,...,nk

YvYn1v1

. . .Y nkvk⊗ pn1,...,nk (Yv )


Yv =Gv

∏

e∈v

√Ge

donde el producto varıa sobre las aristas e del vertice v .◮ Observemos que para cada tipo de arista, se tiene

Ge = 1−∑

res(Γ)=e

Γ/Aut(Γ)

para un tipo fijo de arista.




∆(Yv ) =∑

n1,...,nk

YvYn1v1

. . .Y nkvk⊗ pn1,...,nk (Yv )


Yv =Gv

∏

e∈v

√Ge

donde el producto varıa sobre las aristas e del vertice v .◮ Observemos que para cada tipo de arista, se tiene

Ge = 1−∑

res(Γ)=e

Γ/Aut(Γ)

para un tipo fijo de arista.◮ Nuestro objetivo es demostrar una formula de este tipo para

arboles. Para conseguirlo, necesitamos arboles operadicos.Imma Galvez Joachim Kock Andrew Tonks Grupoides, FdB, Green

Arboles operadicos

◮ En teorıa de operadas, los nodos representan operaciones, ylos arboles son combinaciones formales de operaciones.


Arboles operadicos


◮ Se admiten cabos sueltos (hojas).


Arboles operadicos


◮ Se admiten cabos sueltos (hojas).◮ La definicion formal de arboles operadicos se encuentra en

[Kock 2011,IMRN].◮ He aquı algunos ejemplos (ignorese el aspecto planar)


Arboles operadicos




◮ Las hojas son las aristas que no empiezan en ningun nodo.◮ La arista raız no acaba en ningun nodo.


Arboles operadicos




◮ Las hojas son las aristas que no empiezan en ningun nodo.◮ La arista raız no acaba en ningun nodo.◮ Un nodo sin arista entrante es una operacion nularia.


Arboles operadicos




◮ Las hojas son las aristas que no empiezan en ningun nodo.◮ La arista raız no acaba en ningun nodo.◮ Un nodo sin arista entrante es una operacion nularia.◮ Las aristas entrantes que se dibujan en cada nodo sirven para

registrar las aridades de las operaciones.


Arboles operadicos en pQFT

◮ Los arboles que aparecen en pQFT son naturalmenteoperadicos.




◮ Codifican los anidamientos de diagramas de Feynman 1PI.





◮ Por lo tanto, poseen decoraciones por grafos 1PI primitivos enlos nodos y por etiquetas de interaccion en las aristas.











◮ Ası, se puede recuperar el grafo a partir del arbol operadicodecorado.







◮ Los arboles operadicos permiten tener en cuenta las simetrıasdel grafo de Feynman original.







◮ Los arboles operadicos permiten tener en cuenta las simetrıasdel grafo de Feynman original.

◮ Esto es importante para las funciones de Green.


Correspondencia entre grafos de Feynman y arboles

◮ Un grafo de Feynman se puede reconstruir a partir de un arboldecorado.




◮ La decoracion implica biyecciones que codifican la maneraexacta como un grafo pequeno se inserta en uno grande.

3

3

3 33

33 3 3

3

3 3

2

2 :

3 :




◮ La decoracion implica biyecciones que codifican la maneraexacta como un grafo pequeno se inserta en uno grande.

3

3

3 33

33 3 3

3

3 3

2

2 :

3 :

◮ Todo esto se considera utilizando la teorıa de funtorespolinomiales (vease [Kock2011]).


La bialgebra de arboles operadicos

Consideraremos

◮ la categorıa de arboles operadicos y sus morfismos.



Consideraremos


◮ la categorıa de bosques y los morfismos entre ellos.



Consideraremos



◮ Una poda de un arbol operadico es un subarbol que contienela raız

c : S ⊂ T



Consideraremos




c : S ⊂ T

◮ Si un nodo esta en un subarbol, tambien lo estan sus aristasincidentes.



Consideraremos




c : S ⊂ T


◮ Para cada arista e de T , existe un arbol-ideal formado por e(como la nueva raız) y todas sus aristas y nodosdescendientes.



Consideraremos




c : S ⊂ T


◮ Para cada arista e de T , existe un arbol-ideal formado por e(como la nueva raız) y todas sus aristas y nodosdescendientes.

◮ Pc es el bosque formado por todos los arboles-idealesgenerados por las hojas de S .


La bialgebra de arboles operadicos (continuacion)

◮ B es la C-algebra libre generada por el conjunto de las clasesde isomorfıa de arboles operadicos.




◮ Se define una comultiplicacion en sus generadores

∆ : B −→ B ⊗ BT 7−→

∑

c:S⊂T

Pc ⊗ S ,




◮ Se define una comultiplicacion en sus generadores

∆ : B −→ B ⊗ BT 7−→

∑

c:S⊂T

Pc ⊗ S ,

◮ B se convierte ası en una bialgebra graduada.


La bialgebra de arboles operadicos (final)

◮ B no es conexa.



◮ B no es conexa.

◮ B0 esta generada por el arbol trivial y todas sus potencias.



◮ B no es conexa.

◮ B0 esta generada por el arbol trivial y todas sus potencias.

◮ Estos son todos elementos group-like, de manera que unabialgebra conexa se puede obtener a partir de ellosimponiendo que se cumpla la condicion 1 = .


La funcion de Green de la bialgebra de arboles operadicos

◮ Consideremos el anillo completado de series de potencias de B.



◮ Consideremos el anillo completado de series de potencias de B.◮ La funcion de Green correspondiente a este anillo es la serie

G :=∑

T

T/ |Aut(T )|

donde la suma recorre todas las clases de isomorfıa de arbolesoperadicos .




G :=∑

T

T/ |Aut(T )|


◮ Es analoga a la funcion de Green combinatoria de grafos deFeynman.




G :=∑

T

T/ |Aut(T )|



◮ Si consideramos arboles decorados, habra una funcion deGreen para cada decoracion posible del vertice raız.




G :=∑

T

T/ |Aut(T )|



◮ Si consideramos arboles decorados, habra una funcion deGreen para cada decoracion posible del vertice raız.

◮ Lo mismo sucede con la funcion de Green en QFT, donde hayuna funcion de Green para cada posible tipo de residuo en lateorıa.


La formula de Faa di Bruno para la funcion de Green de B

TeoremaSea gn la funcion de Green de arboles con n hojas en B, de maneraque

G =∑

n∈N

gn.

Entonces se satisface la formula de Faa di Bruno siguiente:

∆(G ) =∑

n∈N

G n ⊗ gn

◮ Para demostrar este teorema necesitaremos grupoides.




G =∑

n∈N

gn.


∆(G ) =∑

n∈N

G n ⊗ gn

◮ Para demostrar este teorema necesitaremos grupoides.◮ Aquı n es una clase de isomorfıa del grupoide de conjuntos

finitos (de hojas ).




G =∑

n∈N

gn.


∆(G ) =∑

n∈N

G n ⊗ gn


finitos (de hojas ).




G =∑

n∈N

gn.


∆(G ) =∑

n∈N

G n ⊗ gn


finitos (de hojas ). Esto funciona en general para arbolesdecorados, considerando funtores polinomiales mas generales.El grupoide FinSet es sustituido entonces por FinSet/Idonde I es el conjunto (o grupoide) de colores o decoraciones.


Grupoide fibra homotopica

◮ Necesitaremos algunas construcciones homotopicasuniversales.


Grupoide fibra homotopica

◮ Necesitaremos algunas construcciones homotopicasuniversales.

◮ La fibra (homotopica) de un morfismo

Ep−→ B

sobre b ∈ B es el grupoide Eb con objetos

(e, φ), e ∈ E , φ : pe∼=→ b

y flechas(ǫ, Id) : (e, φ)→ (e′, φ′)

donde ǫ : e → e′ tal que φ′ ◦ pǫ = φ

pe

∼=φ

∼=pǫ

pe′

∼=φ′

bId= b


Grupoide cociente debil

◮ Sea G un grupo que actua sobre un conjunto o un grupoide X

G × X → X

Entonces, el cociente debil X/G es el grupoide obtenidoanadiendo un morfismo entre x e y por cada g ∈ G tal quegx = y .




G × X → X


◮ Con frecuencia, el cociente debil se denota por X//G paradistinguirlo del cociente usual, pero no necesitamos esteaquı. . .




G × X → X



◮ Si G actua sobre el conjunto {x}, entonces el cociente debil{x}/G es el grupoide con un objeto y con grupo de vertice G .




G × X → X



◮ Si G actua sobre el conjunto {x}, entonces el cociente debil{x}/G es el grupoide con un objeto y con grupo de vertice G .

◮ Dado un grupoide X , consideraremos el grupoide {x}/Aut(x)para cada objeto x ∈ X .


El esqueleto equivalente de un grupoide

◮ Todo grupoide es equivalente a su esqueleto:

X ≃∑

x∈π0X

{x}/Aut(x)

donde la suma denota la union disjunta de grupoides.


Formula integral

◮ Sea f : X → B un morfismo de grupoides.


Formula integral


◮ Consideremos la fibra sobre b para cada b ∈ π0B .


Formula integral



◮ El cociente debil

Xb/Aut(b)

origina una equivalencia de grupoides

X ≃∑

b∈π0B

Xb/Aut(b)


Formula integral



◮ El cociente debil

Xb/Aut(b)

origina una equivalencia de grupoides

X ≃∑

b∈π0B

Xb/Aut(b)

◮ Denotaremos∫

b∈BXb :=

∑

b∈π0B

Xb/Aut(b)


Principio de Fubini

◮ Dados morfismos de grupoides

Xf→ B

t→ I

se cumple que

∑

b∈π0B

Xb/Aut(b) ≃∑

i∈π0I

∑

b∈π0Bi

Xb/Auti (b)

/Aut(i)


Principio de Fubini

◮◮ Dados morfismos de grupoides

Xf→ B

t→ I

se cumple que

∑

b∈π0B

Xb/Aut(b) ≃∑

i∈π0I

∑

b∈π0Bi

Xb/Auti (b)

/Aut(i)

◮ En notacion integral,

∫

b∈BXb ≃

∫

i∈I

(∫

b∈Bi

Xb

)

.


Lema de los dos recuentos

◮◮ Sean A,B ,U grupoides, sean dados morfismos

U

B A

y denotemos por TU, US ⊆ U las respectivas fibras sobreT ∈ B , S ∈ A.


Lema de los dos recuentos

◮ Sean A,B ,U grupoides, sean dados morfismos

U

B A

y denotemos por TU, US ⊆ U las respectivas fibras sobreT ∈ B , S ∈ A.

◮ Entonces hay una equivalencia de grupoides

∫

T∈BTU ≃ U ≃

∫

S∈AUS .


Cardinalidad

◮ Un grupoide X se llama compacto si π0X es un conjuntofinito, y para cada objeto x ∈ X el grupo fundamental Aut(x)es un grupo finito.


Cardinalidad

◮ Un grupoide X se llama compacto si π0X es un conjuntofinito, y para cada objeto x ∈ X el grupo fundamental Aut(x)es un grupo finito.

◮ La cardinalidad (o cardinalidad grupoidal, o cardinalidadhomotopica) de un grupoide compacto es el numero racional

|X | :=∑

x∈π0X

1

|Aut(x)|

donde |Aut(x)| denota el orden del grupo de vertice en x .


Cardinalidad-continuacion

◮ Si X es un conjunto finito considerado como grupoide,entonces la cardinalidad del grupoide coincide con lacardinalidad del conjunto.




◮ If G es un grupo considerado como grupoide con un soloobjeto, entonces la cardinalidad del grupoide es la inversa delorden del grupo.




◮ If G es un grupo considerado como grupoide con un soloobjeto, entonces la cardinalidad del grupoide es la inversa delorden del grupo.

◮ La cardinalidad grupoidal es compatible con la suma, elproducto y las potencias de grupoides.

|X + Y | = |X |+ |Y ||X × Y | = |X | × |Y |

|Grpd(S ,X )| = |X ||S| (S ∈ FinSet)

tal y como sucede con los conjuntos finitos.


Cardinalidad y acciones

◮ Sea S un grupoide compacto y G un grupo finito. Dada unaaccion de G en S , se cumple

|S/G | = |S |/|G |.


Cardinalidad formal

◮ Sea B un grupoide tal que Aut(b) sea finito para todo b ∈ B .


Cardinalidad formal


◮ Sea X → B un morfismo de grupoides con fibras compactas.


Cardinalidad formal



◮ Consideremos el espacio vectorial generado por los sımbolosδb para b ∈ π0(B).


Cardinalidad formal




◮ La cardinalidad formal de X sobre B es el elemento de esteespacio dado por

|X |B :=∑

b∈π0B

|Xb| / |Aut(b)| · δb.


Cardinalidad formal




◮ La cardinalidad formal de X sobre B es el elemento de esteespacio dado por

|X |B :=∑

b∈π0B

|Xb| / |Aut(b)| · δb.

◮ Si B = B1 × B2 es un grupoide producto, usaremos lossımbolos

δ(b1,b2) as b1 ⊗ b2


Los grupoides de bosques y arboles con podas

◮ Sean T y F los grupoides de arboles y bosquesrespectivamente.




◮ Tomando los conjuntos de hojas o de raıces da los morfismos

F

L R

T

L R

FinSet FinSet ∗





F

L R

T

L R

FinSet FinSet ∗◮ Las fibras (de los tres primeros) se llaman nF, Fn, nT.





F

L R

T

L R

FinSet FinSet ∗◮ Las fibras (de los tres primeros) se llaman nF, Fn, nT.◮ Sea C el grupoide de arboles y podas, con





F

L R

T

L R


◮ Objetos: inclusiones de arboles que preservan la raız, S T





F

L R

T

L R


◮ Objetos: inclusiones de arboles que preservan la raız, S T◮ Morfismos: isomorfismos entre dichas inclusiones

Tτ

∼=T ′

Sρ

∼=S ′


Lema del doble recuento para arboles y podas

◮ Existen dos proyecciones Tm←− C

r−→ T

(

T∼=

T ′

)

m←− [

T∼=

T ′

S ∼=S ′

r7−→(

S∼=

S ′

)




r−→ T

(

T∼=

T ′

)

m←− [

T∼=

T ′

S ∼=S ′

r7−→(

S∼=

S ′

)

◮ Por lo tanto, hay dos equivalencias de grupoides∫

T∈TTC ≃ C ≃

∫

S∈TCS

where TC, CS are the fibres of m, r over T ,S ∈ T.




r−→ T

(

T∼=

T ′

)

m←− [

T∼=

T ′

S ∼=S ′

r7−→(

S∼=

S ′

)

◮ Por lo tanto, hay dos equivalencias de grupoides∫

T∈TTC ≃ C ≃

∫

S∈TCS

where TC, CS are the fibres of m, r over T ,S ∈ T.

◮ Para cualquier arbol T la fibra TC es un grupoide discreto:es equivalente al conjunto cut(T ) de podas de T .


El grupoide pullback homotopico F×FinSet T

◮ Recordemos los morfismos de grupoides

R : F→ FinSet, L : T→ FinSet

R(P)=conjunto de raıces de un bosque P ,L(S)=conjunto de hojas de un arbol S .






◮ Consideremos el grupoide pullback homotopico

F×FinSet T T

L

FR

FinSet







F×FinSet T T

L

FR

FinSet

◮ Objetos: (P , S , R(P)λ∼= L(S) ) con P bosque y S arbol,







F×FinSet T T

L

FR

FinSet


◮ Morfismos (P ,S , λ)→ (P ′,S ′, λ′): pares (Pπ∼= P ′,S

σ∼= S ′)compatibles con las biyecciones λ, λ′, es decir,L(σ) ◦ λ = λ′ ◦ R(π).







F×FinSet T T

L

FR

FinSet




◮ Necesitamos tambien la fibra sobre un arbol S .







(F×FinSet T)S F×FinSet T T

L

FR

FinSet




◮ Necesitamos tambien la fibra sobre un arbol S .







(F×FinSet T)S

∼=

F×FinSet T T

L

FLS FR

FinSet




◮ Necesitamos tambien la fibra sobre un arbol S .Imma Galvez Joachim Kock Andrew Tonks Grupoides, FdB, Green

El lema clave

LemaExiste una equivalencia de grupoides

C≃

F×FinSet T

(S T )podar

(P = (Pρ)ρ∈RP , S , λ : RP ∼= LS)injertar


El lema clave


C≃

F×FinSet T

(S T )podar


Idea de la demostracion


El lema clave


C≃

F×FinSet T

(S T )podar


Idea de la demostracion

S T S P = (Pρ) : ρiλ←→ ℓi

•• • •• •

• ••

•• • •

• • • ••ℓ1 ℓ2

ℓ3 ℓ4 ℓ5

ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5

podar

injertar


Las fibras sobre un subarbol fijado S

◮ Hemos identificado las fibras del pullback homotopico

(F×FinSet T)S ≃ FLS





◮ Por lo tanto, por el lema clave,

CS ≃ FLS





◮ Por lo tanto, por el lema clave,

CS ≃ FLS

◮ Por el lema de recuento doble,∫

T

cut(T ) ≃∫

TTC ≃ C ≃

∫

S∈TCS ≃

∫

S∈TFLS


Aplicacion del principio de Fubini

◮ Ahora podemos considerar las diversas fibras segun lacomposicion

C→ TL−→ FinSet





◮ Por lo tanto, se tiene∫

T

cut(T ) ≃ C ≃∫

S

CS doble recuento






T

cut(T ) ≃ C ≃∫

S

CS doble recuento

≃∫

S

FLS lema clave






T

cut(T ) ≃ C ≃∫

S

CS doble recuento

≃∫

S

FLS lema clave

≃∫

n

∫

S∈nT

Fn Fubini






T

cut(T ) ≃ C ≃∫

S

CS doble recuento

≃∫

S

FLS lema clave

≃∫

n

∫

S∈nT

Fn Fubini

≃∫

n

Fn × nT integral de una constante

◮ Esta es la version para grupoides del teorema de Faa di Bruno.






T

cut(T ) ≃ C ≃∫

S

CS doble recuento

≃∫

S

FLS lema clave

≃∫

n

∫

S∈nT

Fn Fubini

≃∫

n

Fn × nT integral de una constante

◮ Esta es la version para grupoides del teorema de Faa di Bruno.

◮ Es una equivalencia de grupoides sobre F× T.


Hacia la formula de Faa di Bruno

Por lo tanto, hemos demostrado

Teorema∫

T∈Tcut(T ) ≃

∫

n∈FinSetFn × nT

◮ Ambos lados son grupoides sobre F× T.




Teorema∫

T∈Tcut(T ) ≃

∫

n∈FinSetFn × nT

◮ Ambos lados son grupoides sobre F× T.◮ La cardinalidad formal del conjunto cut(T ) es

|cut(T )| =∑

c∈cut(T )

Pc ⊗ Sc




Teorema∫

T∈Tcut(T ) ≃

∫

n∈FinSetFn × nT

◮ Ambos lados son grupoides sobre F× T.◮ La cardinalidad formal del conjunto cut(T ) es

|cut(T )| =∑

c∈cut(T )

Pc ⊗ Sc

◮ Por otra parte, la cardinalidad formal de Fn × nT es

|Fn × nT| = |T|n ⊗ |nT| = G n ⊗ Gn


Teorema: La formula de Faa di Bruno

Por lo tanto

∑

T∈π0T

∑

c∈cut(T )

Pc ⊗ Sc/|Aut(T )| =∑

n∈π0FinSet

G n ⊗ Gn/|Aut(n)|

Es decir,∑

T∈π0T

∆(T )/|Aut(T )| =∑

n

G n ⊗ gn


Teorema: La formula de Faa di Bruno

∆(G ) =∑

n

G n ⊗ gn


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Grupoides y fórmulas de Faà di Bruno para funciones de Green