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TEORÍA COMBINATORIA o TÉCNICAS DE CONTEO

Conocimiento previo a. ¿De cuántas maneras se pueden alinear tres libros (física, química y matemáticas) en un estante? b. En Colombia las placas de los vehículos tienen tres letras y tres números. ¿Cuántos vehículos se pueden identificar,

suponiendo que las letras y números se pueden repetir?

El objetivo de los problemas de la teoría combinatoria es el recuento y la clasificación de los elementos de un conjunto finito que posea determinadas propiedades, a través de una serie de reglas y procedimientos que se han desarrollado para contar sin tener que listar o enumerar. Los razonamientos y resultados de la teoría combinatoria son fundamentales para el estudio de las probabilidades.

Árboles para contar y listar: Los diagramas de árbol. Los llamados diagramas de árbol constituyen un instrumento eficiente para listar, contar y analizar los posibles resultados en una sucesión de eventos.

Ejemplo 1. “El Corrientazo” El menú del restaurante de comidas corrientes “El Corrientazo” ofrece la posibilidad de elegir como plato de entrada sopa o arroz; como plato principal se puede elegir carne, pollo o pescado y de postre pastel o helado.

Comida Corriente Posible

Ternas

Arroz, Carne, Pastel → (A, C, Pa) Arroz, Carne, Helado → (A, C, H) Arroz, Pollo, Pastel → (A, Po, Pa) Arroz, Pollo, Helado → (A, Po, H) Arroz, Pescado, Pastel → (A, Pe, Pa) Arroz, Pescado, Helado → (A, Pe, H) Sopa, Carne, Pastel → (S, C, Pa) Sopa, Carne, Helado → (S, C, H) Sopa, Pollo, Pastel → (S, Po, Pa) Sopa, Pollo, Helado → (S, Po, H) Sopa, Pescado, Pastel → (S, Pe, Pa) Sopa, Pescado, Helado → (S, Pe, H)

Figura 1

El árbol de la figura 1 muestra todas las posibilidades de comidas corrientes que ofrece el restaurante. En este caso, el árbol inicia en un vértice (extrema izquierda). Las trayectorias que inician en él y que terminan en cada uno de los vértices a la derecha se llaman ramas y al recorrer cada una de ellas de izquierda a derecha obtenemos todas las posibles comidas corrientes que ofrece el restaurante. El árbol muestra que hay doce comidas corrientes distintas.

Ejemplo 2. Acomodando libros. ¿De cuántas maneras se pueden alinear tres libros (física, química y matemáticas) en un estante? El número de maneras como pueden alinearse tres libros, física, química y matemáticas, se establece fácilmente con ayuda de un diagrama de árbol.

Figura 2

En total se pueden formar seis ternas, la última de ellas, por ejemplo, significa que en el estante los libros quedan alineados como muestra la figura 3.

Figura 3

El Principio Fundamental de Conteo

El principio fundamental de conteo, también conocido como regla del producto o principio multiplicativo, es tan simple que de hecho lo usamos implícitamente en cada uno de los ejemplos que hemos considerado. La regla del producto se deriva del uso de árboles para contar posibilidades. Ahora procedemos a enunciar de manera formal el principio fundamental de conteo.

Regla del producto (dos pasos) Supongamos que un proceso consiste de dos pasos. Si hay m maneras de hacer el primer paso y n maneras de hacer el segundo paso, entonces hay m n maneras de hacer el proceso completo.

Regla del producto (k pasos) Supongamos que un proceso consiste de k pasos. Si hay n1 maneras de hacer el primer paso, n2 maneras de hacer el segundo paso, ... , y nk maneras de hacer el último paso, entonces hay n1 × n2 × … × nk maneras de hacer el proceso completo.

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La regla del producto es sin lugar a dudas la herramienta más importante que se usa para resolver problemas de conteo (es decir, problemas que se preguntan de cuántas maneras puede suceder un evento). Este es exactamente el tipo de preguntas que surgen todo el tiempo en el ámbito de las matemáticas discretas y en el de la teoría de probabilidad.

Planteada de una manera informal, la regla del producto dice que cuando un evento ocurre en varias etapas, para encontrar el número total de maneras en que ocurre, se multiplican los números de maneras en que cada etapa individual ocurre.

Ejemplo 3. De nuevo, “El Corrientazo”. A partir del ejemplo 1, y usando la regla del producto, ¿Cuántas comidas corrientes distintas, ofrece el restaurante?

Tal y como se mencionaba en la definición del principio fundamental de conteo, nuestro evento ocurre en tres etapas (plato de entrada, plato principal y postre), tal y como se muestra en un casillero de conteo, el cual nos permite condensar al diagrama de árbol.

P.E P.P. P

2 3 2

Finalmente, 2 3 2 = 12 comidas corrientes distintas.

Ejemplo 5. Vamos otra vez pa’l Corrientazo. Si en dicho restaurante nos ofrecen 4 posibles bebidas; jugo, gaseosa, limonada y guarapo, ¿A Cuántas posibilidades distintas ascienden las comidas corrientes que éste ofrece?

P.E P.P. P B

2 3 2 4

Finalmente, 2 3 2 4 = 48 comidas corrientes distintas.

Ejemplo 5. Acomodando libros (Continuación). Volviendo al ejemplo 2, donde buscábamos conocer todas las formas posibles de alinear tres libros, el diagrama de árbol se puede condensar en un casillero de conteo.

1er puesto 2do puesto 3er puesto

3 2 1

en el que se sobreentiende que el puesto de la izquierda (1er puesto) se puede llenar de tres maneras, el puesto del centro (2do puesto) se puede llenar de dos maneras, mientras que el puesto de la derecha (3er puesto) sólo se puede llenar de una forma, de tal manera que el número de ternas que se pueden formar es

3 2 1 = 6, que corresponde al número de maneras diferentes como se pueden alinear los libros.

Ejemplo 6. ¡Qué poco e’ carros! ¿Cuántos vehículos se pueden identificar usando placas que consten de tres letras y tres números? Considerando que tanto letras ( * ) como números se pueden repetir, un casillero de conteo será:

1era Letra 2da Letra 3era Letra 1er Nº 2do Nº 3er Nº

26 26 26 10 10 10

El número de placas posibles corresponde al producto 26 26 26 10 10 10 = 17'576,000, número gigante como para describir todas las posibilidades con un diagrama de árbol. ( * ) Se ha tomado el alfabeto de 26 letras.

Ejemplo 7. El carterito… Un cartero distribuye cinco cartas en tres casilleros, ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

El primer casillero puede ser llenado de cinco maneras, el segundo casillero puede ser ocupado de cuatro maneras y el tercer casillero puede ser llenado de tres maneras.

1er casillero 2do casillero 3er casillero

5 4 3

El número de formas en que se pueden llenar los tres casilleros corresponde a la multiplicación del total de arreglos, es decir, a: 5 4 3 = 60. Principio aditivo

Ejemplo 8. ¿Cuántos número de dos cifras, o de tres cifras, pueden ser formados con los dígitos del 1 al 9, si ningún dígito puede ser repetido?

El problema consta de dos partes: los números formados por dos dígitos cuyo casillero de conteo sería

1ra cifra 2da cifra

9 8

que presentaría 9 8 = 72 números posibles, ya que la primera cifra podría construirse con 9 dígitos, quedando 8 para escoger en la segunda cifra.

Por otra parte, los números de tres cifras podrían construirse escogiendo nueve números para la primera cifra, ocho para la segunda y siete para la tercera.

1ra cifra 2da cifra 3ra cifra

9 8 7

siendo 9 8 7 = 504 la cantidad de números de tres cifras. La cantidad total de números de dos o de tres cifras será, entonces:

72 + 504 = 576.

En este caso la cantidad de números de dos cifras es independiente de la cantidad de números de tres cifras, es decir, se puede obtener una clase de números o la otra en forma independiente. Esto es una ilustración de lo que se llama el principio aditivo, es decir:

Principio Aditivo Si dos procesos son mutuamente excluyentes, el primer proceso puede ser realizado de m formas diferentes y el segundo en n formas diferentes, entonces la realización de un proceso o el otro puede hacerse de m + n formas.

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El símbolo n!

En matemáticas es frecuente realizar el producto de los números enteros positivos desde 1 hasta n; el resultado se acostumbra llamar fi factorial y se simboliza n!

Ejemplo 9 Cálculo de algunos factoriales.

2! = 2 1 = 2 5! = 5 4 3 2 1 = 120 9! = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 =

362880

Con las calculadoras, es muy fácil determinar el valor de cualquier factorial; lo que facilita la ejecución de

una operación que de otra manera sería muy engorrosa.

Además se acepta que por definición 0! = 1. APLICA

El Principio Fundamental de Conteo y Principio aditivo

Resuelve los siguientes problemas, realizando el diagrama y/o casillero de conteo según cada caso.

1. El menú de un restaurante consta de tres clases de sopa, cuatro clases de carnes y dos clases de arroz. ¿Cuántos diferentes almuerzos que consten de sopa, carne y arroz se pueden pedir en dicho restaurante?

2. Poseo cuatro pantalones, seis camisas y tres corbatas. ¿Cuántos conjuntos de pantalón, camisa y corbata puedo formar?

3. Las placas para automóvil en el país de Nunca Jamás tienen una, dos o tres letras seguidas de uno, dos o tres dígitos. ¿Cuántas placas son posibles? (El abecedario en Nunca Jamás tiene 26 letras).

4. Una lotería consta de cuatro dígitos y dos series señaladas A, y B. ¿Cuántos billetes de lotería diferentes se pueden emitir?

5. La lotería navideña consta de cuatro dígitos y una serie numerada del 1 al 20. ¿Cuántos billetes de lotería diferentes se pueden poner en juego?

6. En Colombia, las placas de los vehículos tienen tres letras y tres dígitos. Suponiendo alfabeto de 26 letras: a. ¿Cuántas placas diferentes pueden hacerse? b. ¿Cuántas placas comienzan con la letra A? c. ¿Cuántas placas terminan en 3?

6. Tres compañías diferentes de aviones y cuatro compañías diferentes de buses viajar entre Santafé de Bogotá y Caracas (en ambos sentidos). ¿De cuántas maneras puede viajar una persona a. Entre Santafé de Bogotá y Caracas? b. Entre Santafé de Bogotá y Caracas, regresando a Santafé de Bogotá?

7. En un estuche de instrumentos de óptica hay seis lentes, cuatro espejos y tres prismas. Si un estudiante desea realizar un experimento donde emplea una lente, un espejo y un prisma, ¿de cuántas maneras puede escogerlos de dicho estuche?

8. Un examen tiene 10 preguntas. Si solamente puedes contestar cada pregunta como verdadero o falso y debes contestar todas las preguntas, ¿de cuántas maneras puedes contestar el examen?

9. Una encuesta consiste de 7 preguntas. Cuatro de las preguntas tienen 2 posibles respuestas y las otras tres tienen 4 posibles respuestas. ¿De cuántas maneras distintas puedes responder la encuesta?

10. Pasajeros de avión. a. Si seis personas abordan un avión en el que hay diez asientos vacantes, ¿de cuántas maneras pueden ocupar los diez asientos? b. Si solamente hay seis asientos vacantes en el avión, ¿de cuántas maneras pueden las seis personas ocupar los seis asientos?

11. Un estudiante debe tomar un curso de matemáticas, un curso de español, un curso de historia y un curso de inglés. SÍ en su escuela se ofrecen dos cursos de matemáticas, cuatro cursos de español, tres cursos de historia y tres cursos de inglés, ¿cuántos programas de estudio distintos hay?

12. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden terminar una carrera cinco caballos?

13. En el consejo de administración de una compañía hay veinte miembros igualmente talentosos. ¿De cuántas maneras se puede elegir un presidente y un vicepresidente del consejo?

14. En un país en el que se usa la cédula de identificación personal, una cédula típica es 576-38-4459; ¿cuántas cédulas de identificación personal son posibles si a. el primer dígito no puede ser cero?; b. ninguno de los primeros dos dígitos puede ser cero?

15. Tres estudiantes de matemáticas y tres estudiantes de español tienen examen final. Deben ser sentados en seis escritorios de tal manera que no haya dos estudiantes de matemáticas sentados uno al lado del otro y que no haya dos estudiantes de español sentados uno al lado del otro. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto si los escritorios están en una sola fila?

16. En una baraja ordinaria hay 52 cartas. a. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 2 cartas de la baraja si se regresa la primera carta a la baraja? b. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 2 cartas de la baraja si no se regresa la primera carta a la baraja?

17. La computadora de tu escuela está conectada a una red de diez computadoras en la que cualesquiera dos computadoras están conectadas. Encuentra el número de trayectorias que inician en la computadora de tu escuela, pasan por alguna otra computadora, y terminan en una tercera computadora.

18. Hay tres carreteras de Bogotá a Medellín y dos carreteras de Medellín a Barranquilla. a. ¿De cuántas maneras puede un chofer elegir una ruta de Bogotá a Barranquilla? b. ¿De cuántas maneras puede un chofer planear un viaje redondo Bogotá - Medellín?

19. Los códigos de barras de algunos productos consisten de dos bloques de cinco dígitos cada uno. Un bloque representa al fabricante y el otro bloque representa los productos de ese fabricante. a. ¿Cuántos fabricantes distintos pueden ser codificados? b. ¿Cuántos productos puede codificar cada fabricante?

20. ¿De cuántas maneras pueden seis hombres y seis mujeres sentarse en una fila si a. cualquier persona puede sentarse en seguida de cualquier otra?; b. los hombres y las mujeres deben ocupar asientos alternados?

REFLEXIONA: Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar en forma errónea es mejor que no pensar.

Hipatia

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