Guia Capitulo I

www.unicesar.edu.coPreparado por: Ing. Rodrigo R. CuelloAguachica- Cesar

Programa de Ingeniería Agroindustrial

Contigo es posible

“La Universidad un espacio de desarrollo integral”

GUÍA DE FENÓMENOS DE TRANSPORTEVI SEMESTRE

CAPÍTULO I

Los fenómenos de transporte es el estudio sistemático y unificado de la transferencia de momento, energía y materia. El transporte de estas cantidades guardan fuertes analogías tanto físicas como matemáticas. De tal forma que el análisis matemático empleado es prácticamente el mismo.

Los fenómenos de transporte pueden dividirse en dos tipos: transporte molecular y transporte convectivo. Estos a su vez pueden estudiarse en tres niveles distintos: nivel macroscópico, nivel microscópico y nivel molecular.

El estudio y la aplicación de los fenómenos de transporte es esencial para la ingeniería contemporánea.

FLUIDO

Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de un esfuerzo cortante sin importar la magnitud de este. También se puede definir un fluido como aquella sustancia que debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene.

ESTADO ESTACIONARIO

Se entiende por estado estacionario, que las condiciones en cada uno de los puntos de la corriente no varían con el tiempo.

1. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

Consideremos un fluido (líquido o gas) contenido entre dos grandes laminas planas y paralelas, de área A, separadas entre sí por una distancia muy pequeña Y (véase Fig. 1). Supongamos que el sistema está inicialmente en reposo, pero que al cabo del tiempo t = 0, la lamina inferior se pone en movimiento en la dirección del eje X, con una velocidad constante V. A medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento, y, finalmente se establece el perfil de velocidad en régimen estacionario, que se indica en la Fig. 1. Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F para conservar el movimiento de la lámina inferior. Esta fuerza viene dada por la siguiente expresión (suponiendo que el flujo es laminar):

Ecuación (1):

FA

=μ∗ vY



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Es decir, que la fuerza por unidad de área es proporcional a la disminución de la velocidad con la distancia Y. La constante de proporcionalidad μ se denomina viscosidad del fluido.

La viscosidad “es la oposición que muestra un fluido a las deformaciones tangenciales”, “es la resistencia a fluir”.

Figura 1. Formación del perfil de velocidad en estado estacionario para un fluido contenido entre dos láminas.

Fluido inicialmente en reposo

Lámina inferior puesta en movimiento

Formación de la velocidad en flujo no

estacionario

Distribución final de velocidad para flujo

estacionario

Figura 2. Deformación de un sólido por la aplicación de una fuerza tangencial.

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:S%C3%B3lido_deformaci%C3%B3n_tangencial.png



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Para la posterior utilización de la Ec. 1 es conveniente expresarla en una forma más explícita. El esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido, situada a una distancia constante y, por el fluido existente en la región donde y es menor, se designa por yx y el componente x del vector de velocidad del fluido, por vx,. Téngase en cuenta que vx no es igual a Əv/Əx. De acuerdo con estos símbolos, la Ec. 1 queda de la siguiente forma:

Ecuación (2):

τ yx=−μ∗dvx

dy

Es decir, que la fuerza de cizalla por unidad de área es proporcional al gradiente negativo de la velocidad local. Ésta es la ley de Newton de la viscosidad, y los fluidos que la cumplen se denominan fluidos newtonianos (en honor a Isaac Newton, quien lo expresó por primera vez en 1687). Todos los gases y la mayor parte de los líquidos sencillos, se comportan de acuerdo con la Ec. 2. Los fluidos que no obedecen a esta ley sencilla (esencialmente pastas, suspensiones y polímeros de elevado peso molecular) se denominan fluidos no newtonianos.

Resulta también conveniente interpretar la Ec. 2 en esta otra forma. En las inmediaciones de la superficie que se mueve, donde Y = 0, el fluido adquiere una determinada cantidad de movimiento (en la dirección del eje X. Este fluido comunica, a su vez, parte de su cantidad de movimiento a la «capa» adyacente de líquido, dando lugar a que se mantenga en movimiento en la dirección X. Por lo tanto, tiene lugar una transmisión de cantidad de movimiento X a través del fluido en la dirección Y, y por consiguiente, yx puede interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento X en la dirección Y. Esta interpretación está en íntima relación con la naturaleza de los procesos de transporte de cantidad de movimiento, y se corresponde con el tratamiento que se da para el transporte de materia y energía. Por otra parte, la densidad de flujo de cantidad de movimiento resulta más conveniente para considerar el signo de yx.

En algunas fórmulas, resulta conveniente disponer de un símbolo para representar la viscosidad del fluido dividida por su densidad ρ (masa por unidad de volumen), con este fin

vamos a definir ν que es la denominada viscosidad cinemática.

Ecuación (3):

ν=μρ

Considerando las unidades de algunas magnitudes definidas, donde el símbolo [ = ] debe leerse “tiene las unidades de”:

yx [ = ] dina * cm–2 vx [ = ] cm * s–1 Y [ = ] cm

Puesto que los dos miembros de la ecuación (2) han de corresponderse, tanto en sus unidades como en el valor numérico, se pueden deducir las unidades de μ en el sistema cgs, de la siguiente forma:



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μ=−τ yx( dvx

dy )−1

[ = ] (g * cm–1 * s–2) (cm * s–1 * cm–1) –1

μ [ = ] g * cm–1 * s–1 [ = ] 10-1 Pa·s 1 Poise (P) = 10-1 Pa·s = [10-1 kg·s-1·m-1]

Análogamente,

ν=μρ [ = ] cm2 * s–1

La unidad g cm–1 seg–1, en el sistema cgs, se denomina poise; la mayor parte de los datos de viscosidad están expresados en esta unidad o en centipoises (1 cp = 0.01poise). La serie análoga de unidades en el sistema internacional es:

yx [ = ] Newton * m-2 vx [ = ] m * s–1 Y [ = ] m

μ [ = ] kg * m–1 * s–1

ν [ = ] m2 * s–1

La consistencia de estas unidades viene dada por la Ec. 2. Pero, como habitualmente no se utiliza el newton como unidad de fuerza, es preferible expresar la Ec. 2 en esta otra forma:

Ecuación (4):gc τ y

x=−μ

dv x

dy

En la que

yx [ = ] kgf * m–2 vx [ = ] m * s–1 Y [ = ] m

μ [ = ] kg * m–1 * s–1

gc [ = ] (kg / kgf) (m * s–2) o Newton / kgf

El valor numérico de g (el factor gravitacional de conversión), expresado en estas unidades vale 9.8067. Obsérvese que en la Ec. 4, gc * yx, tiene las unidades de newton m–2, y que al dividir por gc, se obtiene yx expresado en kgf * m–2.



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Ejemplo 1. Cálculo de la densidad de flujo de cantidad de movimiento

Teniendo en cuenta la Fig. 1, calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario, yx, expresada en kgf/m-2, cuando la velocidad V de la lámina inferior, en la dirección positiva del eje X, es 0,3 m/seg, la distancia entre las láminas Y=0.0003 m, y la viscosidad del fluido es μ = 0,7 cp.

μ= (0.7⋅cp )⋅(1 . 0194×10-4 )=7 .14×10-5⋅kgf⋅s⋅m-2

Como el perfil de velocidad es lineal,

dv x

dy=

ΔV x

Δy=−0 .3⋅m /s

0 .0003⋅m=−1000⋅s−1

Sustituyendo en la ecuación 2, queda:

τ yx=−μ∗dvx

dy=−(7 .14×10−5) (−1000 )=7 .14×10−2⋅kgf⋅m−2

Si se utiliza la ecuación 4, se convierte μ de la siguiente forma:

μ= (0.7⋅cp )⋅(10-3 )=7×10-4⋅kg⋅m-1⋅s-1

Sustituyendo en la ecuación 4,

τ yx=−μ∗dv x

gC dy=−7×10−4

9 .81(−1000 )=7 .14×10−2⋅kgf⋅m−2

Ejemplo 2. Cálculo del esfuerzo cortante en un líquido.

Con respecto a la figura 1, la distancia entre las placas es Δy = 0.5 cm, Δv = 10 cm/s y el fluido es alcohol etílico a 273 K, cuya viscosidad es 1.77 cp (0.0177 g/cm . s).

a) Calcule el esfuerzo cortante yx y el gradiente de velocidad o velocidad cortante dvx/dy en unidades cgs.b) Repita en Ib fuerza, s y pies (unidades del sistema inglés).c ) Repita esto en unidades SI.

Al sustituir los valores conocidos



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τ yx=μ∗V 1−V 2

Y 2−Y 1

=(0 .0177g

cm⋅s ) (10−0 )cm / s(0 .5−0 )cm

τ yx=0 . 354g⋅cm / s2

cm2=0. 354

dinacm2

Para calcular la velocidad cortante dVX/dy, y puesto que el cambio de velocidad es lineal con respecto a Y,

Velocidad⋅cor tan te=dV X

dy=

ΔV X

Δy=

(10−0 )cm / s(0 .5−0 )cm

=20⋅s−1

Para el enciso (b) usando lb fuerza como unidades y el respectivo factor de conversión de la viscosidad,

μ=1 .77⋅cp⋅(6 . 7197×10-4⋅lbm /( pie∗s )) /cp=1.19×10−3⋅lbm /( pie∗s )

Convirtiendo ΔVX a pie/s, ΔY a pie y teniendo en cuenta el siguiente factor de conversión, se obtiene:

1⋅lbf / pie2=lbm/( pie∗s2 )

32 .174

τ yx=7 . 39×10−4 lbf

pie2

Para el enciso (c) ΔY=0.5/100 = 0.005 m; ΔVX=10/100 = 0.1 m/s y μ = 1.77 X 10-3 kg/(m*s) = 1.77 X 10-3 Pa * s. Al sustituir en la ecuación principal,

τ yx=(1 . 77×10−3) (0 .1 ) /0.005=0 . 0354⋅N /m2

REOLOGÍA DE LOS FLUIDOS

Reología es la ciencia del flujo y de la deformación que estudia las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, sustancias asfálticas y materiales cristalinos.

Los fluidos que obedecen la ley de viscosidad de Newton, ecuaciones 1 y 2 se llaman fluidos newtonianos. En los fluidos newtonianos existe una relación lineal entre el esfuerzo cortante yx y el gradiente de velocidad dvx/dy (velocidad cortante). Esto significa que la viscosidad μ es constante e independiente de la velocidad cortante. En fluidos no newtonianos, la relación entre yx y dvx/dy no es lineal, es decir, la viscosidad μ no permanece constante sino que está en función de la velocidad cortante. Algunos líquidos no obedecen esta ley simple de Newton, como pastas, lechadas, altos polímeros y emulsiones.



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La viscosidad de los gases, que son fluidos newtonianos, aumenta con la temperatura y es aproximadamente independiente de la presión hasta unos 1000 kPa. A presiones más elevadas, la viscosidad de los gases aumenta al incrementarse la presión. Por ejemplo, la viscosidad del N2 gaseoso a 298 K casi se duplica al subir de 100 kPa a 5 x 104 kPa (R1 en la tabla 1). En los líquidos, la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura. Puesto que los líquidos son esencialmente incompresibles, la presión no afecta su viscosidad.

Figura 3. Razón de deformación Vs Esfuerzo cortante para el aire, agua y aceite.

Tabla 1. Viscosidades del agua y el aire a una atmósfera de presión

Tabla 2. Viscosidades de algunos gases y líquidos a 101.32 kPa de presión.

GRÁFICO RAZÓN DE DEFORMACIÓN VS ESFUERZO CORTANTE

RAZÓN DE DEFORMACIÓN

ES

FU

ER

ZO

CO

RTA

NT

E

ACEITE

AGUA

AIRE



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En la tabla anterior se incluyen datos experimentales de algunos fluidos puros típicos a 101.32 kPa. Las viscosidades de los gases son las más bajas y no difieren mucho entre un gas y otro, siendo de más o menos 5 x 10-6 a 3 x 10-5 Pa * s. Las viscosidades de los líquidos son mucho más elevadas. El valor para el agua a 293 K es de 1 x 10-3 y para la glicerina es de 1.069 Pa * s; por consiguiente, existen grandes diferencias entre las viscosidades de los líquidos.

TIPOS DE FLUJO DE FLUIDOS Y EL NÚMERO DE REYNOLDS

Cuando un fluido fluye a través de un canal cerrado, esto es, una tubería o entre dos placas planas, se representan dos tipos de flujo, dependiendo de la velocidad de dicho fluido. A velocidades bajas, el fluido tiende a fluir sin mezclado lateral y las capas adyacentes se resbalan unas sobre las otras como los naipes de una baraja. En este caso no hay corrientes cruzadas perpendiculares a la dirección del flujo, ni tampoco remolinos de fluido. A este régimen o tipo de flujo se le llama flujo laminar.

Se llama flujo laminar o corriente laminar, al tipo de movimiento de un fluido cuando este es perfectamente ordenado, estratificado, de manera que el fluido se mueve en láminas paralelas, si la corriente tiene lugar entre dos planos paralelos, o en capas cilíndricas coaxiales, como por ejemplo la glicerina en un tubo de sección circular, sin mezclarse entre sí.

(a) (b)

Figura 4. (a) Flujo laminar de un fluido perfecto en torno al perfil de un objeto. (b) Distribución de velocidades en un tubo con flujo laminar.

A velocidades más altas se forman remolinos, lo que conduce a un mezclado lateral. Esto se llama flujo turbulento.



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Por definición se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimiento de un fluido que se da en forma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos, como por ejemplo el agua en un canal de gran pendiente.

El tipo de flujo que se presenta en el desplazamiento de un fluido por un canal es muy importante en los problemas de dinámica de fluidos. Cuando los fluidos se mueven por un canal cerrado de cualquier área de corte transversal, se puede presentar cualquiera de dos tipos diferentes de flujo, dependiendo de las condiciones existentes. Estos dos tipos de flujo pueden verse con frecuencia en un río o en cualquier corriente abierta. Cuando la velocidad del flujo es baja, su desplazamiento es uniforme y terso. Sin embargo, cuando la velocidad es bastante alta, se observa una corriente inestable en la que se forman remolinos o pequeños paquetes de partículas de fluido que se mueven en todas direcciones y con gran diversidad de ángulos con respecto a la dirección normal del flujo.

El primer tipo de flujo a velocidades bajas, donde las capas de fluido parecen desplazarse unas sobre otras sin remolinos o turbulencias, se llama flujo luminar y obedece la ley de viscosidad de Newton. El segundo tipo de flujo a velocidades más altas, donde se forman remolinos que imparten al fluido una naturaleza fluctuante, se llama flujo turbulento.

La existencia de flujo laminar y turbulento puede visualizarse con facilidad por medio de los experimentos de Reynolds, que se muestran en la figura 5. Se hace fluir agua de manera uniforme a través de una tubería transparente, controlando la velocidad por medio de una válvula situada al final del tubo. Se introduce una corriente muy fina y uniforme de agua con un colorante, a través de una boquilla de inyección, para observar su flujo. Cuando la velocidad de flujo del agua es baja, la coloración es regular y forma una sola línea, esto es, una corriente similar a un cordel, tal como lo muestra la figura (a). En este caso no hay mezclado lateral del fluido y éste se desplaza en una línea recta por el tubo. Al colocar varios inyectores en otros puntos de la tubería se demuestra que no hay mezclado en ninguna parte del mismo y que el fluido fluye en líneas rectas paralelas, A este tipo de flujo se le llama laminar o viscoso.Figura 5. Experimento de Reynolds para diferentes tipos de flujo: a) laminar, b) turbulento



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Al aumentar la velocidad, se ve que al llegar a cierto límite, la línea de colorante se dispersa y su movimiento se vuelve errático, tal como lo muestra la figura (b). A este tipo de flujo se le llama turbulento. La velocidad a la que se presenta el cambio de tipo de flujo se llama velocidad critica.

El número de Reynolds

El número de Reynolds es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido.

Con diversos estudios se ha podido demostrar que la transición del flujo laminar al turbulento en tuberías no está sólo en una función de la velocidad, sino también de la densidad y viscosidad del fluido y D el diámetro del tubo. Estas variables se combinan en la expresión del numero de Reynolds:

NRe=D νρ

μDonde NRe es el número de Reynolds, D es el diámetro en m, ρ es la densidad del fluido en kg/m3, μ es la viscosidad del fluido en Pa * s, y v es la velocidad promedio del fluido en m/s (definiendo la velocidad promedio como la velocidad volumétrica del flujo dividida entre el área de corte transversal de la tubería). Las unidades en el sistema CGS son cm para D; g/cm3 para ρ; g/cm * s para μ y cm/s para v. En el sistema inglés, D se da en pies; ρ en lb,/pie3; μ en lb,/pie * s y v en pie/s. La inestabilidad del flujo que conduce a un régimen perturbado o turbulento está determinada por la relación de las fuerzas de inercia o cinéticas y las fuerzas viscosas de la corriente fluida. Las fuerzas de inercia son proporcionales a ρv2 y las viscosas a μv / D, y la relación ρv2 / μv/D es el número de Reynolds Dvρ/μ.

Cuando el número de Reynolds es menor de 2100 para una tubería circular recta, el flujo siempre es laminar. Cuando el valor es superior a 4000, el flujo será turbulento excepto en algunos casos especiales. Entre estos dos valores, o región de transición, el flujo puede ser viscoso o turbulento, dependiendo de los detalles del sistema, que no se pueden predecir.

Ejemplo 1. Número de Reynolds en una tubería

Por una tubería con un diámetro interior (DI) de 2,067 pulg fluye agua a 303 K con una velocidad de 10 gal/min. Calcule el número de Reynolds usando unidades del sistema inglés y SI.

7.481 gal = 1 pie3.

Velocidad⋅de⋅flujo=(10galmin )( 1⋅pie3

7 .481⋅gal )( 1⋅min60⋅sl )=0 .0223⋅pie3/ s

Diámetro de la tubería, D = 2.067 / 12 = 0.172 pie



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Área de corte Transversal = π*D2 / 4 = π*(0.172)2 / 4 = 0.0233 pie2

Velocidad⋅de⋅la⋅tubería ,⋅v=(0 . 0223pie3

s )( 10 .0233⋅pie2 )=0 .957⋅pie /s

Densidad, ρ = 0.996 g/ml (62.43) lbm /pie3

Viscosidad μ = (0.8007 cp)(6 . 7197×10−4 lbm /( pie∗s )

cp )=5 .38×10−4⋅lbm /( pie∗s )

NRe=Dv ρ

μ=

(0 . 172⋅pie ) (0 .0223⋅pie / s) (0 . 996×62. 43⋅lbm/ pie3 )5. 38×10−4⋅lbm/ ( pie∗s )

NRe = 1.905 x 104

Por tanto, el flujo es turbulento. Al usar unidades en el SI,

Densidad, ρ = 0.996 g / ml (1000 kg / m3) = 996 kg / m3

D = (2.067 pulg) (1 pie / 12 pulg) (1 m / 3.2808 pie) = 0.0525 m

v = (0.957 pie / s) (1 m / 3.2808 pie) = 0.2917 m / s

μ = (0.8007 cp)(10−3 kg/(m∗s )

1⋅cp )=8 . 007×10−4⋅kg /(m∗s )

NRe=Dv ρ

μ=

(0 . 0525⋅m) (0 .29173⋅m /s ) (996⋅kg/m3 )8 . 007×10−4⋅kg /(m∗s )

=1. 9051×104

FLUIDOS NO-NEWTONIANOS

De acuerdo con la ley de la viscosidad de Newton (.Ec, 2), al representar gráficamente yx frente a –(dvx/dy) para un fluido determinado, debe de obtenerse una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente es la viscosidad del fluido a una cierta temperatura y presión. En efecto, la experiencia demuestra que para todos los gases y ciertos líquidos homogéneos no polimerizados yx es directamente proporcional a –(dvx/dy) Sin embargo, existen algunos materiales industrialmente importantes que no se comportan de acuerdo con la Ec. 2. Se conoce a estas sustancias con el nombre de fluidos no-newtonianos.



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Dentro de los principales tipos de fluidos no newtonianos se incluyen los siguientes:Tabla 3. Principales tipos de fluidos no newtonianos

Tipo de fluido Comportamiento Características Ejemplos

Plásticos

Plástico perfecto

La aplicación de una deformación no conlleva un esfuerzo de resistencia en sentido contrario

Metales dúctiles una vez superado el límite elástico

Plástico de Bingham

Relación lineal entre el esfuerzo cortante y el gradiente de deformación una vez se ha superado un determinado valor del esfuerzo cortante Barro o lodo, algunos coloides,

margarinas, las grasas, los jabones, las suspensiones de granos en agua, las pastas dentífricas, la pulpa de madera y los lodos de desecho

Yield pseudo-plastico

Fluidos que se comportan como pseudo-plásticos a partir de un determinado valor del esfuerzo cortante

Yield dilatante

Fluidos que se comportan como dilatantes a partir de un determinado valor del esfuerzo cortante

Power-law fluids

Pseudo-plástico

La viscosidad aparente se reduce con el gradiente del esfuerzo cortante

Algunos coloides, arcilla, leche, gelatina, sangre, las soluciones o fusiones de polímeros, las grasas, las suspensiones de almidón, la mayonesa, las suspensiones de detergentes, los medios de dispersión de algunos productos farmacéuticos y las pinturas.

Dilatante

La viscosidad aparente se incrementa con el gradiente del esfuerzo cortante

Soluciones concentradas de azúcar en agua, suspensiones de almidón de maíz o de arroz, arena de playa húmeda, silicato de potasio en agua y varias soluciones que contengan concentraciones elevadas de polvos en agua.



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Tipo de fluido Comportamiento Características Ejemplos

Fluidos Viscoelásticos

Material de Maxwell

Combinación linear "serie" de efectos elásticos y viscosos

Metales, Materiales compuestos

Fluido Oldroyd-B

Combinación linear de comportamiento como fluido Newtoniano y como material de Maxwel

Betún, Masa panadera, nailon, Plastilina

Material de Kelvin

Combinación linear "paralela" de efectos elásticos y viscosos

Anelástico

Estos materiales siempre vuelven a un estado de reposo predefinido

Fluidos cuya viscosidad depende del tiempo

Reopéctico

La viscosidad aparente se incrementa con la duración del esfuerzo aplicado

Algunos lubricantes

TixotrópicoLa viscosidad aparente decrece con la duración de esfuerzo aplicado

Algunas variedades de mieles, salsa de tomate, algunas pinturas antigoteo.

El tema del flujo no-newtoniano constituye actualmente una parte de otra ciencia más amplia que es la reología, es decir, “la ciencia del flujo y la deformación”, que estudia las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, substancias asfálticas y materiales cristalinos. Por lo tanto, el campo de la reología se extiende, desde la mecánica de fluidos newtonianos por una parte, hasta la elasticidad de Hooke por otra. La región comprendida entre ellas corresponde a la deformación y flujo de todos los tipos de materiales pastosos y suspensiones, El comportamiento reológico, en estado estacionario, de la mayor parte de los fluidos que se indican en las figuras 6 y 7, puede establecerse mediante una forma generalizada de la Ec. 2

τ yx=−η∗dv x

dyEn la que η puede expresarse a su vez en función de dvx/dy o de yx indistintamente.

En las regiones en que η disminuye al aumentar el gradiente de velocidad (-dvx/dy), el comportamiento se denomina pseudoplástico o adelgazantes al corte; y dilatante o espesantes al corte en las que η aumenta con dicho gradiente. Si η resulta independiente del



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gradiente de velocidad, el fluido se comporta como newtoniano, y entonces η = μ (véase Ec. 2).

Figura 6. Resumen de modelos no-newtonianos en estado estacionario (con fines comparativos se indica también el modelo newtoniano).



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Figura 7. Diagrama de esfuerzo cortante para fluidos newtonianos y no newtonianos independientes del tiempo.

INFLUENCIA DE LA PRESIÓN Y LA TEMPERATURA SOBRE LA VISCOSIDAD

Existen numerosos datos de viscosidad de gases y líquidos puros reseñados en la bibliografía. Cuando se carece de datos experimentales y no se dispone de tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede estimarse por métodos empíricos, utilizando otros datos de la sustancia en cuestión.

Existen dos correlaciones que permiten efectuar dicha estimación, y que a su vez proporcionan información sobre la variación de la viscosidad de los fluidos ordinarios con la temperatura y la presión.

Estas correlaciones se basan en el análisis de un gran número de datos experimentales de diferentes fluidos, mediante la aplicación del principio de los estados correspondientes.

La Figura 8 es una representación gráfica de la viscosidad reducida μr = μ / μc, que es la viscosidad a una determinada temperatura y presión, dividida por la viscosidad correspondiente al punto crítico. En la figura se ha representado la viscosidad reducida frente a la temperatura Tr = T / Tc y la presión Pr = P / Pc, reducidas.

Se observa que la viscosidad de un gas tiende hacia un valor límite definido (el límite de baja densidad en la figura 8), cuando la presión tiende hacia cero a una determinada temperatura; para la mayor parte de los gases este límite se alcanza ya prácticamente a la presión de 1 atm. La viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que la de un líquido disminuye al aumentar ésta.



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Generalmente no se dispone de valores experimentales de μc pero pueden estimarse siguiendo uno de estos dos procedimientos: (i) si se conoce el valor de la viscosidad para una cierta temperatura y presión reducidas, a ser posible en las condiciones más próximas a las que se desean, puede calcularse μc, mediante la expresión μc = μ / μr; (ii) si sólo se conocen los valores críticos de P-V-T, μc puede estimarse a partir de las ecuaciones:

μC=61 . 6 (MT C )1

2(~V C )−2

3 O

μC=7 . 70 M1

2 P

C

23

T

C

−16

En las que μc está expresado en micropoises, Pc en atmósferas, Tc en “K y Vc en cm3 por gramo-mol.

En la figura 9 se da una- representación gráfica de, μ# = μ / μ0, que es la viscosidad a una determinada temperatura y presión, dividida por la viscosidad a la misma temperatura y a la presión atmosférica. Esta variable se ha representado también en función de la temperatura y presión reducidas. A partir de las constantes críticas se pueden determinar Pr y Tr y utilizar estos valores para obtener en la gráfica μ / μ0. El valor así obtenido se multiplica por μ0, que puede ser un dato experimental o un valor calculado a partir de la teoría de los gases diluidos. Los gráficos de las figuras. 8 y 9 concuerdan satisfactoriamente en el intervalo de Pr y Tr, que es común a ambos.



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Figura 8. Viscosidad reducida μr = μ / μC, en función de la temperatura reducida, para distintos valores de la presión reducida Pr = P / Pc.



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Figura 9. Viscosidad reducida μ# = μ / μ0 en función de la presión reducida Pr = P / Pc, y la temperatura reducida Tr = T / Tc



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Ejemplo 1. Estimación de la viscosidad a partir de las propiedades criticas.Calcular la viscosidad del N2 a 50 ºC y 854 atm, siendo M = 28,0 g/ mol, Pc= 33,5 atm y Tc = 126,2 K.

μc = 7.70 (28.0)1/2 (33.5)2/3 (126.2)-1/6

μc = 189 micropoises = 189 X 10-6 g * cm-1 * seg-1

Los valores de la temperatura y presión reducidas son:

Tr = (273.2 + 50) / 126.2 = 2.56Pr = (854 / 33.5) = 25.5En la figura 8 se lee μ / μc = 2.39. Por tanto, el valor estimado de la viscosidad es:

μ = μc (μ / μc) = 189 X 10-6 * 2.39 = 452 X 10-6 g * cm-1 * seg-1

Donde el dato experimental es 455 X 10-6 g * cm-1 * seg-1, siendo de alta concordancia con el dato teórico.

Ejemplo 2. Efecto de la presión sobre la viscosidad de los gases.

La viscosidad del CO, a 45,3 atm y 40,3 ºC es 1800 X 10-7 poise. Estimar el valor de la viscosidad a 214,6 atm y 40,3 ºC.

Tr = (273.2 + 40.3) / 304.2 = 1.03

Pr = 45.3 / 72.9 = 0.622

En la figura 9 se encuentra que μ# = 1.12 en estas condiciones; por tanto μ0 = μ / μ# = 1610 X 10-7 g * cm-1 * seg-1

La presión reducida en las condiciones deseadas es:

Pr = 114.6 / 72.9 = 1.57 y T es la misma de antes. En la figura 9 se lee μ# 3.7; por tanto, el valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3 ºC es μ = 3.7 * 1610 X 10-7 = 6000 X 10 -

7 g * cm-1 * seg-1. El valor experimental es 5800 X 10-7 g * cm-1 * seg-1.

CÁLCULO DE LA VISCOSIDAD PARA GASES Y LÍQUIDOS

Teoría de la viscosidad de los gases a baja densidad

El coeficiente de viscosidad de un gas monoatómico puro de peso molecular M; a la temperatura T, viene dado en función de los parámetros σ y Є por la siguiente ecuación:

μ=2,6693 X 10−8 √ MTσ 2Ωμ



Contigo es posible


Esta ecuación es válida para gases no polares. Donde μ está en Pa * s; T en K; σ en nanómetros y Ωμ es la integral de colisión.

También puede expresarse:

μ=2,6693 X 10−5 √ MTσ 2Ωμ

En la que μ [=] g cm-1 seg-1, T [=] K, σ[=] Å, y Ωμ es una función ligeramente decreciente del número adimensional kT/Є, cuyos valores se dan en la Tabla B-2 en el apéndice del libro de Bird.

Y donde σ es un diámetro característico de la molécula (el diámetro de colisión) y Є una energía característica de interacción entre las moléculas (la energía de atracción máxima entre dos moléculas). La Ecuación anterior resulta muy satisfactoria para numerosas moléculas no polares. Los valores de σ y Є se conocen para muchas sustancias; en la Tabla B-l del apéndice de Bird, se presenta una relación parcial, pero pueden encontrarse más datos en la bibliografía. Si no se conocen los valores de σ y Є, pueden calcularse a partir de las propiedades del fluido en el punto crítico (c), de la temperatura normal de ebullición del líquido (b), o del punto de fusión del sólido (m), mediante las siguientes ecuaciones empíricas:

Є / k = 0.77 Tc σ = 0.841 Vc1/3 o 2.44 (Tc / Pc)1/3

Є / k = 1.15 Tb σ = 1.166 Vb1/3, líq

Є / k = 1.92 Tm σ = 1.222 Vm1/3, sol

En las que Є / k y T están en K, σ en unidades Ángstrom, V en cm3 g-mol-1 y Pc en atm.

Aunque esta fórmula se ha deducido para los gases monoatómicos, se ha encontrado que resulta también muy adecuada para los gases poliatómicos. La variación de μ con la temperatura que predice esta ecuación concuerda satisfactoriamente con la línea de baja densidad en la gráfica de viscosidad reducida de la Figura 8. Obsérvese de nuevo que la viscosidad de los gases a baja densidad aumenta con la temperatura, aproximadamente con la potencia 0,6 a 1,0 de dicha variable. Recuérdese también que para el intervalo de baja densidad, la viscosidad es independiente de la presión.

Ejemplo 1. Cálculo de la viscosidad de M gas a baja densidad.

Calcular la viscosidad del CO, a 1 atm y 200, 300, y 800 K.

Se utiliza la ecuación:

μ=2,6693 X 10−5 √ MTσ 2Ωμ



Contigo es posible


De Lennard – Jones para el CO, valen Є / k = 190 K y σ = 3.996 Å. El peso molecular del CO es 44.01. Sustituyendo los factores constantes M y σ en la ecuación anterior, se obtiene:

μ=2,6693 X 10−5 √44 .01⋅T(3 .996 )2Ωμ

=1 .109 X 10−5 √TΩμ

En la que En la que μ [=] g cm-1 seg-1 y T [=] K. Los demás cálculos se indican en la siguiente tabla:

En la última columna se indican los datos experimentales con fines comparativos. Era de esperar la buena concordancia que se aprecia, ya que las constantes de Lennard – Jones de la Tabla B- 1 del apéndice B del libro de Bird, se han deducido a partir de datos de viscosidad.

ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE MOLECULAR PARA TRANSFERENCIA DE MOMENTO LINEAL, CALOR Y MASA

En los procesos de transporte molecular, lo que nos ocupa en general es la transferencia o desplazamiento de una propiedad o entidad dada mediante el movimiento molecular a través de un sistema o medio que puede ser un fluido (gas o líquido) o un sólido. Esta propiedad que se transfiere puede ser masa, energía térmica (calor) o momento lineal.

Cada molécula de un sistema tiene una cantidad determinada de la masa, energía térmica o momento lineal asociada a ella, Cuando existe una diferencia de concentración de cualquiera de esas propiedades de una región a otra adyacente, ocurre un transporte neto de esa propiedad. En los fluidos diluidos, como los gases, donde las moléculas están relativamente alejadas entre sí, la velocidad de transporte de la propiedad será relativamente alta puesto que hay pocas moléculas presentes para bloquear el transporte o para interactuar. En fluidos densos, como los líquidos, las moléculas están próximas entre sí y el transporte o la difusión se realiza con mas lentitud. En los sólidos, las moléculas están empacadas mas estrechamente que en los líquidos y la migración molecular es aun más restringida.

Ecuación general de transporte molecular.

El transporte molecular es comúnmente estudiado a través del concepto de densidad de flujo (flux). La densidad de flujo (Ψ) es la cantidad de la propiedad que se mueve a través de una unidad de área por unidad de tiempo, sus unidades están dadas en cantidad de propiedad / m2:



Contigo es posible


Ecuación 2.1:

ψ X=−δdΓdX

Donde:

δ es una constante de proporcionalidad llamada difusividad en m2/s.dΓ/dX se le conoce genéricamente como fuerza impulsora.X es la distancia dada en m en la dirección del transporte.

Si el proceso ocurre en estado estacionario, el flujo Ψx es constante. Reordenando la ecuación (2.1) e integrando,

ψ X=∫X 2

X 1dX=−δ∫Γ 2

Γ 1dΓ

ψ X=δ (Γ1−Γ2 )

X1−X2

En la figura siguiente se muestra una gráfica de la concentración Γ en función de Z (para tal efecto tomamos Z = X), y es una línea recta.

Como el flujo va en la dirección de 1 a 2 de concentración decreciente, la pendiente dΓ / dX es negativa, y el signo negativo de la ecuación (2.1) da un flujo positivo en la dirección 1 a 2.

Balance general de propiedad para estado estacionario.

Al calcular las velocidades de transporte en un sistema usando la ecuación de transporte molecular (2.1), es necesario tomar en cuenta la cantidad de esta propiedad que se transporta



Contigo es posible


en todo el sistema. Esto se hace escribiendo una ecuación general de balance o conservación para la propiedad (momento lineal, energía térmica o masa) en estado no estacionario. Se empieza por escribir una ecuación sólo para la dirección X, que indica toda la propiedad que entra por transporte molecular, la que sale, la que se genera y la que se acumula en un sistema como el que se muestra en la figura anterior, que es un elemento de volumen ΔX (1) m3 fijo en el espacio.

Ecuación 2.2:

Introducción al transporte molecular

El transporte molecular o la difusión molecular de una propiedad como el momento lineal, el calor, o la masa, se lleva a cabo en un fluido gracias a esos movimientos aleatorios de las moléculas individuales. Cada molécula individual que contiene la propiedad que se transfiere se mueve al azar en todas direcciones, y se producen flujos en todas direcciones.

1. Transporte de momento lineal y la ley de Newton. Cuando un fluido fluye en la dirección X en forma paralela a una superficie sólida, existe un gradiente de velocidad donde la velocidad Vx, en la dirección X disminuye al acercarse a la superficie en la dirección Y. El fluido tiene un momento lineal con dirección X y su concentración es Vx * ρ (momento lineal / m3), donde el momento lineal tiene unidades de (kg * m / s). Así, las unidades de Vx * ρ son (kg * m / s) / m3. Debido a la difusión aleatoria de las moléculas, existe un intercambio de moléculas en la dirección Y, moviéndose igual número de ellas en cada dirección (direcciones +Y y -Y) entre la capa de moléculas que se mueve más rápido y la capa adyacente más lenta. Por lo tanto, el momento lineal con dirección X se ha transferido en la dirección Y desde la capa que se mueve más rápido hacia la que lo hace más lentamente. La ecuación para este transporte de momento lineal es similar a la ecuación (2.1) y es la ley de Newton de la viscosidad escrita como sigue para una densidad ρ constante:

Ecuación 2.3:

τ yx=−ν∗d ( vx∗ρ )

dyDonde yx es el flujo de momento lineal con dirección X en la dirección Y (kg*m / s2) * m2; ٧ es μ * ρ, la difusividad de momento lineal en (m2 / s); X es la dirección de transporte o difusión en m; ρ es la densidad en (kg / m3), y μ es la viscosidad en (kg l m * s).

2. Transporte de calor y ley de Fourier. La ley de Fourier para el transporte molecular de calor o la conducción de calor en un fluido o sólido puede escribirse como sigue para una densidad ρ constante y una capacidad calorífica Cp.

Ecuación 2.4:

Tasa de propiedadque entra

Tasa de generaciónde propiedad+ =

Tasa de propiedadque sale

Tasa de acumulaciónde propiedad+



Tasa de generaciónde propiedad

Tasa de generaciónde propiedad+ =



Tasa de acumulaciónde propiedad

Tasa de acumulaciónde propiedad+



Contigo es posible


qX

A=−α∗

d ( ρ∗C P∗T )dy

Donde qX / A es el flujo de calor en (J / s * m2), α es la difusividad térmica en (m2 / s) y ρCpT es la concentración de calor o energía térmica en (J / m3). Cuando hay un gradiente de temperatura en un fluido, se difunden igual número de moléculas en todas direcciones entre la región caliente y la más fría. De esta manera se transfiere la energía en la dirección X.

3. Transporte de masa y la ley de Fick. La ley de Fick para el transporte molecular de masa en un fluido o en un sólido para una concentración total constante del fluido es:

Ecuación 2.5:

J Ax=−D AB∗dC A

dy

Donde JAX, es el flujo de A en (kg mol A / s) * m2, DAB es la difusividad molecular de la molécula A en B en (m2/s), y CA es la concentración de A en (kg mol A / m3). Del mismo modo que con el transporte de momento lineal y de calor, donde existe un gradiente de concentración en un fluido, se difundirán igual número de moléculas en todas direcciones entre las regiones de alta y de baja concentración, y ocurrirá un flujo neto de masa.

Por consiguiente, las ecuaciones (2.3), (2.4) y (2.5) para la transferencia de momento lineal, de calor y de masa son similares entre sí y a la ecuación general de transporte molecular (2.1). Todas estas ecuaciones tienen un flujo en el lado izquierdo, una difusividad en (m2/s) y la derivada de la concentración con respecto a la distancia. Las tres ecuaciones de transporte molecular son matemáticamente idénticas, por lo que se dice que tienen analogía o similitud entre sí. Pero debe resaltarse que, aunque existe una analogía matemática, los mecanismos físicos reales que ocurren pueden ser completamente diferentes. Por ejemplo, en la transferencia de masa con frecuencia se transportan dos componentes mediante un movimiento relativo entre uno y otro. En el transporte de calor en un sólido, las moléculas están relativamente estacionarias y el transporte es realizado principalmente por los electrones. El transporte de momento lineal puede ocurrir por varios tipos de mecanismos.

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Guia Capitulo I