Guía de Calculo 3

UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables

Lic. Dayana Elizabeth Villegas Perez Página 1

Capítulo 1: Geometría Analítica

1.- Distancia entre dos puntos:

Sean ),,,(),,,(/, nnn bbbByaaaABA �� entonces:

� � � � � �2 2 2, 1 1 2 2A B n nd a b a b a b � � � ��

2.- Punto medio: Sean ),,,(),,,(/, 2121 nnn bbbByaaaABA �� entonces:

ABmp el punto medio del segmento AB = ¸¹·

¨©§ ��

2,,

2,

22211 nn bababa�

3.- Sistema coordenado tridimensional: Es el sistema donde representamos los

puntos en el espacio, está conformado por el origen y tres rectas dirigidas a

través del origen que sean perpendiculares entre sí, a los cuales se les denomina

ejes coordenados, y que se les nombra como eje x, eje y, eje z.

� �^ `3 , , / , ,x y z x y z� �u�u� ��



4.- Tres puntos 3, ,A B C�� son colineales (que están en la misma línea) ver figura

si AB BC ACd d d�

x x x

A B C

Ejercicios Resueltos:

1.- Dibuje en el sistema coordenado tridimensional los siguientes puntos:

a.- ),,( ��A b.- ),,( ��B c.- ),,( ��C

Solución:

2.- Verifique gráfica y analíticamente que los puntos A, B y C son o no colineales:

a.- ),,( ��A b.- ),,( ��B c.- ),,( ��C

Solución:



Analíticamente: Debemos ver que AB BC ACd d d�

� � � �� 22 21 1 4 2 3 3ABd � � � � � � = 4 2

� � � � � �2 2 21 1 2 2 3 3BCd � � � � � � = 16 4

� � � � � �2 2 21 1 4 2 3 3ACd � � � � � � = 36 6

Nótese Que 2 4 , ,AB BC ACd d d A B C� � � son colineales

3.- Pruebe por dos formas que los siguientes puntos no son colineales:

),,(),,(),,( �� CyBA

Solución:

FORMA 1: Analíticamente � � � � � �2 2 21 0 2 3 3 7ABd � � � � � = 18



� � � � � �2 2 20 3 3 5 7 1BCd � � � � � = 29

� � � � � �2 2 21 3 2 5 3 11ACd � � � � � = 79

18 29 79AB BC ACd d d� � z � A, B y C no son colineales

FORMA 2: Graficamente



Ejercicios propuestos:

1.- Dibuje en el sistema coordenado tridimensional los siguientes puntos:

a.- ),,( ��A b.- ),,( ��B c.- ),,( ��C

d.- ),,( ��D e.- ),,( ��E f.- ),,( ��F

g.- ),,( ��G h.- ),,( ��H i.- ),,( ��I

2.- Verifique analíticamente si los siguientes puntos son colineales:

a.- ),,( ��A ),,( ��B ),,( ��C

b.- ),,( ��A ),,( ��B ),,( ��C

c.- ),,( ��A ),,( ��B ),,( ��C

d.- ),,( ��A ),,( ��B ),,( ��C

3.- Demuestre la fórmula de punto medio de un segmento.



Capítulo 2: Vectores en el Espacio

1.- Un vector de n-componentes (o n-dimensional) es un conjunto ordenado de “n”

elementos escrito de la forma:

),,,( 21 nxxxx �

2.- Decimos que nx �� es un vector de n-componentes, donde cada componente es

real. Esto se escribe así: /nx �� ),,,( nxxxx �� donde cada nixi �� ,

En particular estudiaremos los vectores bidimensionales y tridimensionales:

Un vector bidimensional en �� es un conjunto de la forma ),( �� xxx donde

�� xx , .

Un vector tridimensional en �� es un conjunto de la forma ),,( �� xxxx donde

�� xxx ,, .

3.- Un vector dado dos puntos:

(En �� ) Sean PyQ dos puntos en �� / ),( �� ppP y ),( �� qqQ entonces el vector

),( �� pqpqPQ .

(En �� ) Sean PyQ dos puntos en �� / ),,( �� pppP y ),,( �� qqqQ entonces

el vector ),,( �� pqpqpqPQ .

4.- Norma de un vector. Es el tamaño o longitud de un vector y se calcula:

En :��

�� xxx

En ��

��

�� xxxx



5.- Vector Nulo. En �� es un vector de la forma ),( �� y en �� es ),,( �� .

6.- Propiedades de la norma: Sean nyx ��, donde �� ón y “α ” un

escalar real entonces se cumple:

a.- xαxα ..

b.- �z��! xx

c.- 00 � xx

d.- yxyx �d� (desigualdad triangular)

7.- Vector unitario. Decimos que el vector x es unitario si su norma es “1”. En

caso de que el vector x no sea unitario pero lo queramos hacer unitario quedaría:

x

xxu

OBS: A partir de aquí a veces aplicaremos las definiciones solo a �� , se deja al

estudiante aplicarlas en �� que es igual solo que con una coordenada menos.

8.- Operaciones con Vectores: Sean los vectores

),,();,,(/, �� yyyyxxxxyx y “α ” un escalar real.

a.- Suma entre Vectores:

),,( �� yxyxyxyx

b.- Multiplicación de un escalar por un vector:

),,( �� xαxαxαxα



c.- Producto Escalar (o punto) entre vectores:

�� yxyxyxyx

9.- Propiedades de la suma y el producto escalar de un escalar por un vector:

Sean los vectores nyx ��, ; donde �� ón y βα, escalares reales.

Entonces se cumple:

a.- xyyx � � (propiedad conmutativa)

b.- xxx �� (el vector nulo es el elemento neutro de la suma)

c.- yxyx DDD � � )( (primera ley distributiva)

d.- xxx EDED � � )( (segunda ley distributiva)

e.- � �� x

f.- )()( xx EDDE

g.- xx �. (el escalar “1” es el neutro multiplicativo)

10.- Propiedades del producto escalar entre vectores: Sean los vectores nyx ��, ;

donde �� ón . Entonces se cumple:

a.- 2

xxx �

b.- xyyx � � Propiedad conmutativa

c.- zxyxzyx �� )( Ley distributiva

d.- � �� x



11.- Teorema: Sean los vectores nyx ��, ; donde �� ón , T es el ángulo

formado por los dos vectores no nulos yx, , entonces: Tcos.yxyx � .

OBSERVACIÓN: Este teorema 11 nos sirve para encontrar el ángulo entre

dos vectores. ¿Cómo? Despejando cos T de la fórmula nos queda

yxyx �

Tcos ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§�

�yxyxarccosT .

12.- Corolario 1 (desigualdad Cauchy-Schawrz): Sean nyx ��, , todo producto

escalar satisface la desigualdad yxyx d� .

OBSERVACIÓN: Denotaremos la Desigualdad de Cauchy-Schwarz con el

acróstico C-Sh.

13.- Corolario 2 (Perpendicularidad de Vectores): x es perpendicular a

� �� yxy .

14.- Base Canónica: En 2� la base canónica es el conjunto formado por los

vectores ^ `ˆ ˆ,i j donde i = (1,0); j = (0,1). Ambos son unitarios y perpendiculares

entre si. Además cualquier vector en 2� puede escribirse como una

combinación lineal de los vectores i , j , es decir

jxixxxxx ˆˆ),(: �� .

En 3� la base canónica es el conjunto formado por los vectores ^ `ˆˆ ˆ, ,i j k donde

i = (1,0,0); j (0,1,0) y ),,(ˆ �� k . Estos tres vectores son unitarios y

perpendiculares entre si. Además cualquier vector en 3� puede escribirse como



una combinación lineal de los vectores ˆˆ ˆ, ,i j k , es decir

kxjxixxxxxx ˆˆˆ),,(: �� .

15.- Vectores Paralelos. x es paralelo a y yαxα �� / .

16.- Igualdad de Vectores. niyxyyxyx iin �� ,

17.- Combinación Lineal. Decimos que el vector x n�� es combinación lineal de

los vectores 1 2, ,..., my y yo o o

si existen escalares 1 2, ,..., /mD D D

mm yαyαyαx .�� .

18.- Producto Cruz: Sean /, ��yx ),,( �� xxxx ; ),,( �� yyyy , entonces el

producto cruz de yx, es el vector:

)..,..,..(___________________________________

.ˆ.ˆ.ˆ.

ˆ.ˆ.ˆ.ˆˆˆ

��

��

��

��

��

��

��

u

yxyxyxyxxyyx

kyxjyxixykyxjyxiyx

yyyxxxkji

yx

19.- Teorema: El vector yxu es perpendicular tanto x como y .

20.- Teorema: Si es θ el ángulo entre yx, donde > @ST ,0� entonces

Tsenyxyx . u

Corolario: � u� yxyx //

21.- La ley asociativa para la multiplicación no siempre se cumple; es decir, en

general: )()( zyxzyx uuzuu



22.- Teorema: Si zyx ,, son vectores en �� y α es un escalar, entonces algunas

propiedades del producto cruz son:

a) xyyx u� u

b) )()()( yxyxyx DDD u u u

c) zxyxzyx u�u �u )(

d) zyzxzyx u�u �u )(

e) > @zyxzyxzyx ,,)()( �u u� (Triple producto escalar o Producto mixto)

f) zyxyzxzyx )()()( �� uu (Triple producto vectorial)

g) � u xx

23.- Otra Notación Del Producto Mixto y cómo calcularlo de manera rápida:

> @��

��

��

u� zzzyyyxxx

zyxzyx )(,,

Aplicaciones del Producto Cruz…

24.- “El área de un paralelogramo cuyos lados adyacentes son x e y es yxu ”.

25.- “El área de un triángulo cuyos lados adyacentes son x e y es yxu21

”.

26.- “El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores zyx ,, es la

magnitud de su triple producto escalar, V = )( zyx u� ”.



27.- Tres vectores son coplanares si están en el mismo plano. En otras palabras su

producto mixto es � u� )( zyx . (Su volumen es cero).

Proyecciones…

28.- La proyección vectorial del vector x sobre y es: yy

yx

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§��

.

29.- La proyección escalar del x sobre y es: y

yx �.

Ejercicios Resueltos

1.- Sean ),,(ˆˆˆ),(),,( �� yjikxQP hallar:

a) ��PQ

b) PQyx ��

c) Hallar el unitario del vector QP .

Solución:

a) Por la Def. 3 tenemos que

PQ = � �2 ( 1),3 2, 4 3� � � � � � = � �1,1, 7� �

Por la Def. 4, PQ 2 2( 1) (1) ( 7)� � � � = 51

��|�� ,PQ

b) El vector �� ),,(ˆˆˆ jikx Aplicando la operación 8b

tenemos que: ),,()).(,.,.(),,.( �� x .



Luego ),,(),,( �� y

PQyx �� = (9,6-3) + (0,24,28) – (-1,1,-7)

= ))(,),(( ��

),,( ��

c) El vector PQQP � además se puede probar que �� PQQP

entonces ),,( ��

QPQPQPu

.

2.- Encuentre el valor de “D ” para que el vector ¸¹

·¨©

§ ��

,,αA sea unitario.

Solución:

Si A es unitario entonces � A � ��¸¹

·¨©

§��

� � ��

�αA

��

�� α elevo al cuadrado a ambos lados �

��

r ��

��

��

�� αααα

3.- Pruebe que �

��

��yxyx

yx

Solución:

Desarrollemos el lado derecho:



(*)

��

� �

� ��

yyxxyyxyyxxx

vadistributiopiedad

yxyxyx

abba

aaaaPr

)()(

Aplicando la misma idea hacemos:

�� yyxxyyxyyxxxyxyxyx )()(

�

¸¹·

¨©§ ��

�

�� yyxxyyxxyxyx

yxyxyyxxyyxx�

��

�

��

��

4.- Demuestre la desigualdad triangular:

Solución:

Dado los vectores nyx ��, queremos probar que: yxyx �d�

Para ello desarrollemos �

� yx (ya se hizo en el ejercicio anterior, ver (*))

��

�� yyxxyx

2 22x x y y� � � 2 2 2 22 2x x y y x x y yd � � � d � � � = � �2x y�

Propiedades Usadas

aa d

Desigualdad Cauchy-Schwarz

Al final producto notable



Por transitividad hemos llegado a que 2x y� d � �2x y� , sacando la raíz

cuadrada nos queda:

2x y� d � �2x y�

x y� d � �x y�

(como las normas son positivas, podemos quitar las barras de valor absoluto)

x y� d � �x y� L.q.q.d

OBSERVACIÓN: L.q.q.d quiere decir “lo que queríamos demostrar”.

5.- Encuentre el ángulo entre los vectores a = (2,2,-1) y b (5,-3,2).

Solución:

Recordemos que por el teorema 11 en la observación llegamos a baba �

Tcos

Calculemos: �� ),,(),,(ba 2.5+2.(-3)+(-1).(2) = 10-6-2 = 2

a = 2 2 22 2 ( 1)� � � = 9 = 3

b = 2 2 25 ( 3) (2)� � � = 38

q|¸¹

·¨©

§ � � 79,83

3832arccos

3832cos TT

6.- Sabiendo que x = 3 ; y = 4 y yx � = 3 encuentre yx � .

Solución:

Podemos encontrar �

� yx y luego sacar la raíz cuadrada de este número para

así hallar yx �



Por el ejercicio 3 vimos que ��

�� yyxxyx (*)

Nos falta saber cuanto vale “2 yx � ” para ello utilicemos la hipótesis de que

3 � yx . Sabemos que ��

�� yyxxyx

Luego de aquí podemos despejar “2 yx � ” y nos queda:

��

yxyxyxyx

Luego sustituyendo en (*) nos queda que:

�� yyxxyx = ��

�� yx)(

� �� yx 7.- En cada caso diga si el vector dado es o no combinación lineal (C.L.) del

conjunto presentado.

a.- )1,3,5( A ^ `(1,0,3);(0, 2,4);(0,0,9)�

b.- )5,3,1( � A ^ `),,();,,( ��

Solución:

a.- Aplicando la definición 17 tenemos que si A es C.L. de los vectores

^ `(1,0,3);(0, 2,4);(0,0,9)� quiere decir que existen escalares /,, γβα

),,(),,(),,( �� γβαA

),,(),,(),,(),,( �� γβα

),,(),,(),,(),,( γαββαα ��

),,(),,( γβαβα �� Por igualdad de Vectores se tiene:



°¯

°®

� ��

�

γβαiiiβii

αi

)()(

)(��

�� βiilade )( sustituimos

�� )(235 iiino

usadalaen

y ED

��

� �� ¸¹·

¨©§��

�� γγ..

Como el sistema tiene solución � el vector A es C.L. de

^ `(1,0,3);(0, 2,4);(0,0,9)� .

b.- Nuevamente aplicando la definición 17 tenemos que si A es C.L. de los

vectores ^ `),,();,,( �� quiere decir que existen escalares

),,(),,(/, �� βαAβα .

),,(),,(),,( �� βα

),,(),,( βαβαβα ��

Por igualdad de Vectores se tiene:

°¯

°®

� ��

� ��

βαiiiβαiiβαi

)()(

)( Este es un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas,

para resolverlo, tomaremos dos ecuaciones cualesquiera y hallaremos βα,

Tomemos la (i) y (ii) ¯®

��

βαiiβαi

)()(

multiplicamos la (ii) por “-1” y la



sumamos a la segunda: � �

¯®

� ��

β

βαiiβαi

__________________)(

)(

��

� β sustituimos en (i) y

nos queda: ��

�� ¸¹·

¨©§��

�� αα . Cuidado todavía NO podemos afirmar

que el sistema tiene solución y que por lo tanto son C.L. Pues primero debemos

verificar que los resultados dados satisfagan la ecuación “no usada”. Para ellos

sustituimos ��

��

βyα en la ecuación (iii).

5?

5412

1021.6 ¸

¹·

¨©§�¸

¹·

¨©§

��z� ¸¹·

¨©§��

��¸¹·

¨©§��

�. no se satisface la (iii) ecuación por lo tanto el Sistema

NO tiene solución lo que quiere decir que A NO es C.L. de.

^ `),,();,,( �� .

OBSERVACIÓN: Si cuando se sustituye los valores de βα, en la ecuación no

usada se satisface, la conclusión sería que el sistema SI tiene solución (es decir

es compatible) y por lo tanto SI sería el vector combinación lineal del

conjunto dado.

8.- Pruebe la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

Solución:

Por el teorema 11 tenemos: Tcos.yxyx �

Aplicamos valor absoluto a ambos miembros



θyxyx cos.� � propiedaddelvalorabsoluto

= θyx cos.� d cos 1TT

d�

yx .

Por transitividad

yxyxyx � �d� L.q.q.d.

9.- Sea ijkv 376 �� . Encuentre el valor de w tal que sea paralelo a v y de

longitud “2”.

Solución:

Como vαwαvw �� /// (definición 15)

),,( αααw ��

Como la longitud es “2”

� �� )()()(),,( ααααααw

Elevando al cuadrado ambos lados nos queda � �� ααα

��

r ��

�� ααα

� existen dos vectores ¸¹

·¨©

§

��

��

��

� ,,w y ¸¹

·¨©

§

��

��

��

� � ,,w .

10.- Hallar la proyección vectorial y escalar del vector ),,( �� x sobre ),,( �� y .

Solución:

Sea el vector u la proyección vectorial de x sobre y / yy

yxu¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§�

�

� �� ),,(),,(yx



��

�� yy )(

La proyección vectorial será ¸¹·

¨©§

��

��

��

��

,,),(u

Y la proyección escalar es: ��

�

y

yxu

OBSERVACIÓN: Nótese que para la proyección escalar si tenemos el vector

proyección basta con calcular su módulo pero quisimos usar la fórmula para

practicar su uso.



Ejercicios Propuestos:

1.- Sean los puntos ),,(;),,( �� QP y los vectores

.ˆˆ;ˆˆ;ˆˆˆ;),,(;),,( ikEikDikjCBA �� Calcular:

a) ��BPQ b) El ángulo entre AQP,

c) PQBA �� d) > @CED ,,

e) El área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son C y E .

f) El unitario de los vectores A y D .

g) El valor de “D ” para que el vector ( 2,3, )D D� sea perpendicular a E

h) )( EDC �

2.- Encuentre el valor de “ E ” tal que los vectores (8,6)x y (3, )z E sean

ortogonales:

3.- Se sabe que � �� yx ; y � � yx encuentre yx � .

4.- Se sabe que � � yx ; y ;cos��

θ donde θ es el ángulo entre los

vectores yx, .

Calcular: a) yx � b) yx �

5.- Sean los vectores )4,1,0()1,4,2();2,3,1( � zyyx . Hallar un

vector zzyxw � ��/ .



6.- Determine si el vector A es o no combinación lineal de los vectores dados en

cada caso:

a) ),( �� A ^ `(3,1);(4,5)

b) ),,( �� A ^ `(1,0,3);(0, 2,4);(0,0,9)�

c) ),( �� A ^ `(2,4);(1,2)

d) ),( �� A ^ `(3,2);(5,6);( 3,1)�

e) kjA ˆˆ �� ^ `ˆ(1,0,1);k

7.- Sean ,x y vectores ortogonales en � � �� yyx/ . Hallar

.yxyyx ��

8.- Los vectores ��yx, forman un ángulo de 3S . Suponiendo que la

� � yx ; .

Calcular: a) yx � b) .yx � c) �� .yx

9.- Sean ��yx, perpendiculares cuyas magnitudes respectivas son “4” y “2”.

Hallar la magnitud del vector )3()2( yxyx �u� .

10.- Sean ),,( �� x ; ),,( �� y Hallar:

a) yx � b) � � yyx �� c) )2()2( yxyx �u�

11.- Si ��yx, � � yyx/ ; encuentre “D ” para que los vectores

� � � �yαxyyαx �� sean ortogonales.



12.- Sean ��vu, vu A/ pruebe que ��

� � vuvu .

13.- Si yx // entonces � u yx .

14.- Sean vuvu �� /, . Pruebe que � � � �vuvu �A�

15.- Sean ��vu, vectores no nulos / vuvu � . Demuestre que el ángulo

entre u y v es 3S . ¿Cuál es el ángulo entre u ; ?u v� .

16.- Sean ��vu, vectores no nulos. Hallar dos vectores ByA en función de

vyu / vByvABAu A� //; .

17.- Sea � vw� �

2

.

u

vuu �. Demuestre que uw A .

18.- Si � � � �vuyvu �� son colineales entonces u y v son colineales.

19.- Sean ��vu, / el ángulo entre ellos es 4S . Pruebe que vuvu u � .

20.- Demuestre las siguientes propiedades:

a.- 2222

22 bababa � ��

b.- ).(2)()( bababa u �u�

c.- )()( bababa �A��

d.- � � �� bababxa .



21.- Dado los vectores )3,2,1( � a y )2,1,3( b encontrar un tercer vector c que

sea combinación lineal de ellos, de magnitud 4 y además perpendicular al vector

b .

22.- Sea el vector BBAC �u )( ; el vector B es unitario y 3 u BA . Hallar el

ángulo entre el vector B y C .

23.- Hallar un vector v de módulo 10 paralelo al vector BA 43 � sabiendo que

ikA ˆ22ˆ32

�� ; ¸¹·

¨©§ � 0,

21,2B .

24.- Dados los vectores )1,1,3(� x y )0,4,1( b . Hallar los vectores c y 3��d

/ dcb � ; c es paralelo a x y d es perpendicular al vector x .

25.- Sean los vectores A&

y B&

ortogonales en 3� ; 23;3 BA , calcular:

a.- )()( BABA*&&

��u��

b.- � � � �BABA&&&&

42 ��

c.- El ángulo entre los vectores � �BAA&&*

�; .

26.- Si ByA son vectores unitarios y perpendiculares pruebe que:

a.- 2 � BA .

b.- BAu es unitario.

27.- Se sabe que .119

u yx Hallar )43()2( yxyx �u� .



28.- El ángulo entre los vectores ";" yx es: 3S . Se sabe que

43 yyx . Hallar:

a.- )3()2( yxyx �u� b.- 6

yx � .

29.- Sean 3, ��vu . Suponga que u es ortogonal a v ; 5 � vu ; 4 u . Hallar:

a.- 5

vu �

b.- El ángulo entre los vectores � �vu � y � �vu � .

30.- Determinar la primera componente del vector ),,( �� xa sabiendo que forma

un ángulo de 4S con el vector ),,( �� b .

31.- Encuentre en cada caso las proyecciones escalar y vectorial de b sobre a :

a.- ),(;),( �� ba .

b.- ),,(;),,( �� ba

c.- kjibkjia ˆˆˆ;ˆˆˆ ��

32.- Hallar el vector proyección de a sobre b donde ),,( �� b , sabiendo que el

vector a es perpendicular a )( ab �� y � a .



Capítulo 3: Rectas , Planos y Esferas…

1.- Ecuaciones de la Recta: Sea ),,( �� zyxP un punto por donde pasa la recta L

de la y ),,( cbaVD un vector paralelo a L llamado “vector director” entonces

tenemos:

a.- ),,(),,(),,( cbatzyxzyx � �� Esta es la “Ecuación Vectorial de la

Recta” lo abreviaremos como E. V. R.

Aplicando las operaciones de vectores en la parte (a) nos queda:

),,(),,( ctzbtyatxzyx ��

b.- Por igualdad de vectores °¯

°®

� � �

�

�

�

ctzzbtyyatxx

Esta ecuación es la:

“Ecuación Paramétrica de la Recta”. La abreviaremos E.P.R.

c.- Despejemos “t” de cada ecuación en (b) nos queda:

°°°

¯

°°°

®

�

�

�

�

�

�

tc

zz

tb

yy

ta

xx

Igualando nos queda: 0 0 0x x y y z za b c� � �

. Esta ecuación es la:

“Ecuación Simétrica de la Recta”. Que denotaremos con el acróstico

E.S.R.



Conclusión.

Para hallar la ecuación de una recta en 3� , necesito un punto por donde pase la

recta y un vector paralelo a la misma.

2.- Posición relativa de las rectas: Sean 1 2,L L dos rectas en 3� cuyos vectores

directores respectivamente son 21 DD VyV . Las rectas pueden ser:

PARALELAS o NO PARALELAS.

a.- Rectas Paralelas: � u�� DDDD VVVVLL ////

b.- No Paralelas °¯

°®

OblicuasssoncruzansecorseNoó

puntounencorSe

,tan

tan

OBS1: Dentro de las NO paralelas pueden estar las perpendiculares,

0212121 ��A�A DDDD VVVVLL .

OBS2: Para probar que dos rectas son “oblicuas” debemos ver que no son

paralelas y que no se cortan.

3.- Ecuación de un Plano: Sea ),,( �� zyxP un punto dado del plano S y

),,( zyxP un punto arbitrario, además sea ),,( cban un vector perpendicular al

plano S llamado “Vector Normal” del plano. Puede observarse en la figura que

se cumple que:

nPP A�

),,( �� zzyyxxPP

� ��A �� ),,(),,( cbazzyyxxnPP (a)



Esta última ecuación es la “Ecuación Vectorial del Plano” (E. V. P.)

Si efectuamos el producto escalar en (a) nos queda:

(b) � �� )()()( zzcyybxxa

nos queda La Ecuación Escalar del Plano (E.E.P.)

Si aplicamos distributiva y simplificamos en (b):

0 0 0 0ax ax by by cz cz� � � � �

0 0 0ax by cz ax by cz� � � �

Llamemos 000 czbyaxd ��

(c) ax by cz� � d “Ecuación Lineal del Plano” (E.L.P)

Conclusión:

Para hallar la ecuación de un plano se necesita un punto por donde pase el plano

y un vector perpendicular al mismo.

4.- Recta Intersección: La intersección de dos planos da una RECTA. ¿Cómo se

halla dicha RECTA?

La recta intersección está en ambos planos 1S y 2S , quiere decir que está recta

es perpendicular al mismo tiempo a los vectores normales de dichos planos

significa RIDV vector director de la recta intersección = �� unn donde

�� nyn son los vectores normales respectivos de los planos 1 2yS S . Luego se

halla un punto común de los dos planos y se construye la recta deseada.

5.- Dos planos son paralelos, si los vectores normales son paralelos.



6.- El ángulo entre dos planos no paralelos, es el ángulo agudo entre sus vectores

normales, es decir, si �n es el vector normal del plano �π , �n es el vector normal

del plano �π y θ es el ángulo comprendido entre los vectores �� nyn entonces

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§ �

21

21arccos

nn

nnT .

7.- El ángulo entre dos rectas 1 2L yL es el ángulo entre sus vectores directores. Es

decir si �DV es el vector director de la recta �L , �DV es el vector director de la

recta �L y θ es el ángulo comprendido entre los vectores �� DD VyV entonces

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§�

21

21arccosDD

DD

VV

VVT .

8.- La distancia del punto ),,( �� zyxP al plano dczbyaxπ �� es:

0,

0 0 0

2 2 2p

ax by cz dd

a b cS

� � �

� �

9.- La distancia entre dos planos paralelos: �� dczbyaxπ � y

�� dczbyaxπ � es:

222

21, 21 cba

ddd

��

� SS

10.- Distancia de un punto P a una recta L es:

D

D

LPV

QPVd

u ,



OBS: DV vector director de la recta L y Q es un punto cualquiera de la recta

L.

11.- La distancia de dos rectas oblicuas 21 yLL es: “si pensamos que las rectas están

en planos paralelos 21 SS y es la distancia entre dichos planos paralelos”.

12.- Familia de Planos: an los planos 1S y 2S / 11111 dzcybxa ��S y

22222 dzcybxa ��S . Si aplicamos haz de planos 1S + 2 0DS nos

queda:

� �� )( dzcybxaαdycybxa

Haciendo distributiva nos queda:

� �� dαzcαybαxaαdycybxa

Asociando los términos comunes:

�� dαdycαcybαbxaαa )()()( Nos queda la

familia de planos que pasan por la intersección de los planos 1S y 2S .

Además, su recta común, se llama EJE o ARISTA DEL HAZ.

13.- Esfera: La ecuación cartesiana de una esfera es

� �� EDzCyBxAzAyAx . Al completar cuadrados en esta

última ecuación, nos queda la ecuación canónica de la esfera, la cual es

� � � � � �2 2 2 20 0 0x x y y z z R� � � � � donde “R” es el radio y � �0 0 0, ,x y z es el

centro de dicha esfera.

14.- El volumen de una esfera de radio “R” es: �

�� Rπ .



51 43 2

x ty tz t

�° �®° �¯


1.- Encuentre La ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por el punto ),,( ��A y es paralela al vector jikM ˆˆˆ �� y luego halle otros dos puntos de dicha recta.

Solución:

DVtzyxzyx � �� ),,(),,(

),,(),,(),,( �� tzyx

� � � �, , 5 ,1 4 ,3 2x y z t t t � � � E. V. R.

E. P. R.

Por igualdad

de vectores

en E.V.R.

Despejando “t” de cada ecuación nos queda

5x t� 14

y t� 3

2z t�

�

Igualando: 1 354 2

y zx � ��

� E S. R.

Para hallar puntos de la recta, lo ideal es escoger la “Ecuación Paramétrica” de la

misma dándole cualquier valor a “t”. Por ejemplo si hacemos:

0t �513

xyz

este es el punto A, no nos sirve.



1t �5 11 43 2

xyz

� � �

)1,5,6(B�

2t �5 21 4.23 2.2

xyz

� � �

),,( ��C

2.- Conteste las siguientes preguntas:

a.- Encuentre la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos

),,( ��A y ),,( ��B .

b.- ¿En qué puntos esta recta intersecta al plano xy?

Solución:

a.- Podemos dibujar la situación, para hallar la recta necesitamos un

vector paralelo a la misma para ello podemos construir el vector AB o BA .

Usaremos ),,())(,,( �� DVAB

Tomemos cualquiera de los puntos, en nuestro caso tomaremos “A”

°¯

°®

��

��

tzty

tx E.P.R.

b.- Para intersectar superficies con rectas lo ideal es tener la recta en forma

paramétrica.



24 53 4

x tL y t

z t

�° �®° � �¯

Plano xy (z = 0)

Donde aparece “z” coloco “0”

0 = - 3 + 4t despejo t / 34

t

Sustituyo en la Recta L, para hallar el punto de intersección

04343

41

4354

411

432

��

��

�

z

y

x

� ¸¹·

¨©§ �

��

�� ,,IP

Esto último no hacía falta, es una comprobación

3.- Verifique la posición relativa de las rectas 1L y 2L , donde:

°¯

°®

��

�

tztytx

L � ��

��zyxL �

Solución:

Veamos si son paralelas

1

3 52 1.2 1.

x tL y t

z t

� �° �®° � �¯

Nótese que!LDV son los números que acompañan a la “t” con sus respectivos

signos.

)1,1,5(!

� LDV

�



2LDV

La Recta 2L está casi simétrica, hay que arreglarla para que sea de la forma

Debemos convertirlos en un “1” invisible

525 222 3

zx y

§ ·�¨ ¸§ · © ¹� � ¨ ¸© ¹

5 52 2

1 32 2

x zy

§ ·� �¨ ¸© ¹ �

OBS: no confundir creyendo que es “0” la “y” está dividida entre un “1”

invisible.

A nosotros nos interesa la dirección de 2LDV , y no el tamaño, así que

multipliquemos por “2”: 2LDV = (-1, 2, 3) . Para ver si 1 2//L L basta ver que

1 2//

L LD DV V , es decir, probar que 1 2

0L LD DV Vu

0 0 0x x y y z za b c� � �



)0,0,0()9,16,5(___________ˆˆ15ˆ2

ˆ10ˆˆ3

321115

ˆˆˆ

21

z��

��

�

� u kjikjikji

VVLL DD � 1L no es paralela a 2L

Veamos si son perpendiculares: 1 21 2 0

L LD DL L V VA � �

(5, -1, 1) (-1, 2, 3) = -5 – 2 + 3 = - 4 0 1L� A 2L

Falta ver si se cortan o son oblicuas. Para ello interceptamos 1L y 2L , para

intersectar rectas lo ideal es pasarlas a paramétricas

°¯

°®

��

��

�

tzty

txL � ya está en forma paramétrica

Pasemos 2L a E.P.R.:

52

12

xs

§ ·�¨ ¸© ¹ �

y s

52

32

zs

�

No lo llamamos “t” porque 1 2L Lz

°°

¯

°°

®

��

��

�

��

�

sz

sy

sx

L �

Igualamos 1L con 2L :

53 52 2

25 32

2 2

st

t s

t s

� � �°°

� ®° �°� � �¯

6 10 52

4 2 5 3

t st s

t s

� � �° � ®°� � � �¯

)))

abc

10 112

2 3 1

t st s

t s

� ° � ®° � �¯

Para resolver un sistema como éste elijo dos de las tres ecuaciones:

� z

Sistema de 3 ecuaciones con 2

incógnitas



( 2)�

55____________

132422

1322

)))2(

� �

��

�¯®

� ��

s

stst

stst

ba

1s

de la (b) t = 2 – s = 2 – 1 = t

Sustituyo s = 1 y t = 1 en la que no utilicé (a) 10 + s = 1

10.1+1 = 11

? 11 = 11

Como satisface la ecuación no usada entonces el Sistema tiene una única

solución, es decir, las rectas se cortan. Si la última ecuación no se hubiese

satisfecho con los valores de “s” y “t” hallados con las dos ecuaciones

utilizadas, entonces el Sistema sería incongruente, es decir no tendría solución

por ende no habría punto de corte y entonces las rectas serían oblicuas.

Conclusión: 1L y 2L son no paralelas que se cortan. Como información extra

buscaremos el punto de corte entre 1L y 2L . Para ello sustituimos s = 1 en 2L o

t = 1 en 1L . ),,( ��CP

4.- Pruebe que 1L y 2L son OBLICUAS donde:

°¯

°®

��

��

�

tzty

txL �

��

��

zyxL �

Solución:

Para probar que dos Rectas son oblicuas, basta ver que no sean paralelas y

no se corten.

),,(),,( �� DD VyV



)0,0,0()5,6,13(ˆ6ˆ4ˆˆˆ2ˆ12412131

ˆˆˆ

21 z�� u kjikjikji

VV DD

�� L no es paralela a �L

Ahora falta ver que no se cortan, para ello interceptamos las rectas y

comprobamos que el sistema no tiene solución.

Pasemos �L a forma paramétrica:

°¯

°®

��

�

�

szsy

sxL � �

°¯

°®

��

��

�

tzty

txL �

tsctsb

tsa

��

��

)()()(

� ��

�tsc

tsbtsa

)()()(

Sumemos (a) y (c)

86

7412

��

� �

s

tsts

��

��

� s sustituyendo en (a)

hallamos “t” ��

� ��

��

�� ¸¹·

¨©§��

�� ttttts . .

Ahora sustituimos ��

��

syt en la ecuación no usada �� tsb)(

��

¸¹·

¨©§��

��

�?

.

��z��

� ��

¸¹·

¨©§��

��

� .

Esto quiere decir que 1L y 2L no se cortan.



Entonces como 1 //L 2L y no se cortan, hemos probado que 1L y 2L son

oblicuas.

5.- Hallar la intersección de las Rectas dadas con las superficies respectivas:

a.- 2z x y �

b.- °¯

°®

� � ��

tzty

tx 1x y z� �

Solución:

a.- Para intersectar Rectas en �� con superficies es necesario pasar la recta a

su forma paramétrica.

�1 3

1

x ty tz t

�° ®° �¯

Ahora podemos intersectar:

1 3

1

x ty tz t

�° ®° �¯

� 2z x y � (Igualamos “z”)

21 1 3t t t� � � � 2 2 0t t� � � �2 0t t � �

0t o 2t �

Como hay dos valores para “t”, hay dos puntos de intersección

Para � t , sustituyo en la recta en forma paramétrica y tenemos ),,( ��

Para 2� t , nos queda el punto ),,( ��

b.- 1 �� zyx � 1

23

x ty tz t

�° ®° ¯

�sustituimos los valores de

tztytx � � �� en el plano y nos queda:



� �� ttttt para hallar el punto de intersección,

sustituyo � t en la recta y nos queda ),,( �� .

6.- Hallar los puntos de cruce de las rectas :

°¯

°®

��

�

tztytx

L � y °¯

°®

��

�

kzkykx

L �

Solución:

Los puntos de cruce son los puntos de corte de la recta perpendicular común

�� LyL con las rectas �� LyL . (Ver figura a continuación).

Busquemos el vector director de la recta perpendicular común el cual

llamaremos A . Donde kjikji

VVA DDˆ12ˆ24ˆ18

1142122

ˆˆˆ

21 ��

u . (Este



vector lo podemos simplificar porque necesitamos solo la dirección y no su

tamaño). ),,(),,( ��

A .

La recta perpendicular común pasa por el punto de cruce 1 el cual llamaremos:

).,,( �� zyxPC Por lo tanto la ecuación paramétrica de la recta perpendicular

común es:

(*)°¯

°®

��

�

�

�

szzsyysxx

CPR �...

Ahora nótese en la gráfica que la recta �L pasa por dicho punto ).,,( �� zyxPC

Quiere decir, que éste punto satisface la ecuación de la recta �L .

°¯

°®

��

�

�

�

tztytx

� sustituimos en la Ecuación paramétrica de la R.P.C. (*) y nos

queda:

°¯

°®

��

stzstystx

CPR �... e intersectamos con la recta °¯

°®

��

�

kzkykx

L � para hallar los

puntos de cruce. Igualamos y nos queda:

°¯

°®

��

�°¯

°®

��

kstiiikstii

ksti

stkstk

stk

)()(

)(

°¯

°®

��

�kstiii

kstiiksti

)()(

)(

Para resolver este sistema apliquemos Kramer:



8711212221231

871121221232

��

�� '

�

�� ' tS

871221121132

� ��

� 'k ��

��

� ��

�Skky

Stt

ΔΔ

ΔΔ

Para saber cuáles son los puntos de cruce, basta con sustituir:

�� LenkyLent y nos queda:

),,( �� CPLent y ),,( �� CPLenk

7.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos

),,(),,(;),,( �� RyQP .

Solución:

Para hallar la ecuación de un plano necesitamos dos datos, un vector

perpendicular al plano y un punto por donde pase el mismo. Para hallar el vector

perpendicular, basta con crear dos vectores con los puntos dados por ejemplo

QRyPQ y hacer su producto cruz.

),,(),,( �� PQ

),,()),(,( �� QR

),,(

ˆˆˆ

�� u kji

QRPQn puesto que sólo necesitamos sólo la

posición y no el tamaño tomaremos como vector normal a

)7,10,6()14,20,12(21

n .



Ahora elegimos cualquiera de los tres puntos dados, en particular tomemos

),,( ��P y nos queda:

La ecuación vectorial del planos es: � �� ),,(),,( zyx , si hacemos

distributiva nos queda la ecuación escalar del plano:

� �� )()()( zyx , y si ahora desarrollamos y simplificamos nos

queda la ecuación lineal del plano:

�� zyxzyx .

8.- Determine la ecuación simétrica de la recta intersección de los planos

¯®

� ��

�

�

zyxπzyxπ

�

� y luego calcule el ángulo entre los planos:

Solución:

Si revisamos el punto (6) de la teoría, veremos que el vector director de la recta

intersección es el producto cruz de los vectores normales de los planos dados

es decir ),,(

ˆˆˆ

�� u ��

kjinnVD . Ahora debemos buscar un punto

de la recta intersección, para ello resolveremos el sistema:

¯®

� �� zyx

zyx(*) .

Este sistema es de 2 ecuaciones por 3 incógnitas, para resolverlo, fijamos una de

las tres variables con un valor cualquiera y luego resolvemos el sistema que nos

quede.



Por ejemplo fijamos ¯®

� ��

�� yxii

yxiz

)()(

multiplicando la primera por

“-3” nos queda: 007

___________________643)(

633)(

� �

¯®

��

yy

yxiiyxi

Sustituimos 2202)(0 � �� xxyxieny

Esto quiere decir, que un punto de la recta intersección es ),,( ��RIP .

OBS: Nótese que si los planos se intersectan, quiere decir que el sistema (*) tiene

infinitas soluciones porque en una recta hay infinitos puntos, por ello no se extrañe

que a sus compañeros les den resultados distintos.

También tome en cuenta que si asigna un valor cualquiera a una variable puede

pasar que el sistema resultante NO tenga solución, esto no significa que los planos

no se intersectan sino que la recta intersección NO pasa por ningún punto donde la

variable que usted eligió de ese número, por lo tanto cambie de valor hasta que el

sistema de 2x2 resultante, sea compatible.

Falta hallar el ángulo entre los dos planos, para ello busquemos el ángulo agudo

entre sus vectores normales, es decir sea θ el ángulo comprendido entre los

vectores �� nyn entonces ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§ �

21

21arccos

nn

nnT

�� ),,(),,(nn

� �� )(n

�� )(n



� � q|¸¹

·¨©

§ ¸

¸¹

·¨¨©

§ � � 6661,60

56arccos

2536arccosT

9.- Hallar la distancia del punto )1,8,3( �P a la recta °¯

°®

��

tztytx

.

Solución:

Por la fórmula (10) de la parte teórica tenemos D

D

LPV

QPVd

u , . Sea Q un

punto cualquiera de la recta L, para ello démosle el valor de � t a la

ecuación paramétrica de L y tenemos que ),,( �� Q . Luego

),,())(),(,( �� PQ

),,( �� DLV

),,(

ˆˆ

�� ukji

QPVDL

�� )(DLV

94)3()9(2 222 �� uQPVDL

��|��

u

,,

D

D

LPV

QPVd

10.- Hallar la ecuación del plano paralelo a � �� zyx tal que el punto

),,( ��P equidiste de ambos.



Solución:

Sea el plano buscado (*) αzyxπ �� entonces debe ocurrir que

�� πdPπdP ,, . Hallemos ambas distancias:

� ��

��

��

��)(

)(..,πdP

�

��

��

��

��

ααπdP

)(

)(.., igualando ambas distancias nos

queda

�� °¯

°®

��

��

�

��αoα

αo

αα

α

� α ya lo tenemos, lo que indica que �� α si sustituimos en (*) nos queda

que el plano buscado, es �� zyxπ � .

11.- Hallar la distancia entre las rectas oblicuas �� LyL donde:

°¯

°®

��

��

�

tzty

txL � y

��

��

zyxL �

Solución: Según la parte (11) de nuestra teoría, dice que la distancia

de dos rectas oblicuas 21 yLL es: “si pensamos que las rectas están en planos

paralelos 21 SS y es la distancia entre dichos planos paralelos”.

Construyamos dichos planos:

El vector normal n , común para ambos planos debe ser perpendicular a los

vectores directores de la recta es decir: �� u DD VVn .



),,(

ˆˆ

�� u ��

kjiVVn DD .

Para construir el plano �π que contiene a la recta �L , necesito un punto de dicha,

recta por ejemplo ),,(... �� PRPElaent .

� �� ),,(),,( zyx � La ecuación lineal del plano �π es:

556131 �� zyx�S .

Para construir el plano �π que contiene a la recta �L , necesito un punto de

dicha recta, por ejemplo ),,( ��Q .

� �� ),,(),,( zyx � La ecuación lineal del plano �π es:

356132 � �� zyx�S .

��

��

��

��

� �

��

�� )()(

)(,

cba

dddLDL ππ

12.- Encuentre la ecuación de la esfera con centro C y radio R en cada caso:

a.- 4)1,1,2( � RC b.- 32)2,1,6( � RC

Solución:

a.- � � � � � �2 2 2 22 1 1 4x y z� � � � � �� )()()( zyx

b.- � � � � � � � �22 2 26 1 2 2 3x y z� � � � � � � ª º ª º¬ ¼ ¬ ¼

� � � � � � � �� .zyx � � � � � � �� zyx

13.- Encuentre el centro, radio y volumen en la esfera

2 2 2 4 6 2 6 0x y z x y z� � � � � �



Solución:

2 2 2 4 6 2 6 0x y z x y z� � � � � �

( 2 4x x� ) + ( 2 6y y� � ) + ( 2 2z z� ) = -6

Completamos cuadrado

2( 4x x� ) + 2( 6y y� ) + 2( 2z z� + ) = 6� + + +

Lo dividimos entre 2

Factorizamos

(x + 2) 2 + ( y - 3) 2 + ( z + 1 ) 2 = 8 . Ecuación canónica de la esfera

� �2,3 1C � �

R = 8 2 2

� � 32

333 2348

34

34

¸¹·¨

©§ SSSRVE

9 8 424 4 4.2 2 2 .2 2

3 3 3S S S

��

�πVE

14.- Encuentre la ecuación cartesiana de la esfera si se sabe que su diámetro es el

segmento AB donde ),,(),,( �� BA .

Solución:

El centro de la esfera = P medio � �2 4 1 3 4 10, , 3,2,72 2 2AB

� � �§ · ¨ ¸© ¹

Radio = � � � � � �2 2 2, 3 2 2 1 7 4C Ad � � � � � = 11

� . . :E C E � � � � � �2 2 23 2 7 11x y z� � � � � (canónica)



� �� yzyyxx

� � �� zyxzyx (cartesiana)

15.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos

¯®

� ��

�

�

zyxπzyxπ

�

� y pasa por el punto ),,( ��P .

Solución:

El plano buscado (aplicando Haz de Planos) es: � � �� αππ . Pero para aplicar

dicho concepto ambos planos deben estar igualados a “0”. Para ello arreglemos el

plano � �� zyxπ � .

Ahora si

� �� )( zyxαzyxαππ

� �� αzαyαxαzyx )()()( (*)

Asociando las variables comunes tenemos:

DDDD 111)65()72()23( � �� zyx esta es la familia de planos

que pasan por la intersección de los planos 21 SS y . Pero no los queremos

todos, en particular deseamos aquel que pasa por el punto ),,( ��P lo que

hacemos es sustituir � �� zyx en (*) y nos queda:

DDDD 1115)65()3)(72(2)23( � ��

103636 � � DD sustituimos en (*) y el plano buscado es:

�� zyx




1.- Hallar la posición relativa de las siguientes rectas en cada caso:

a.- ��

��

��

zyxL � y 4

332

32

� �

� zyxL �

b.- 22

421 � �

� zyxL � y 1;12

52

�

� zyxL �

c.- 1;12

51

�

� zyxL � y °¯

°®

� �

�

tzty

txL

102

0

2 �

d.- Pruebe que las siguientes rectas son oblicuas:

°¯

°®

��

��

�

tzty

txL � y

433

22�

� zyxL �

Sug: Vea que no son paralelas y no se intersectan.

2.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos

)3,1,1()1,2,0();1,0,2( �� CyBA .

3.- Hallar la distancia del punto ),,( �� a la recta � ��

� zyxL ;� .

4.- Hallar la ecuación del plano en cada caso:

a.- Que pase por los puntos ),,(),,();,,( �� CyBA .



b.- Que pase por el punto ),,( ��A y es paralelo a la recta

��

��

��zyxL � .

c.- Que pase por el punto ),,( ��C y es paralelo al plano de ecuación

93 �� zyx .

d.- Pasa por el punto ),,( ��A y es perpendicular al plano

8853 �� zyx .

e.- Pasa por el punto de intersección de las rectas L1 y L2.

��

��

��

zyxL � y 4

332

32

� �

� zyxL �

Además dicho plano es perpendicular al vector ji ˆ��

.

5.- Encuentre dos puntos de los siguientes planos. (Aquí se procede asignando a

dos variables el valor que se quiera y se despeja la tercera variable).

a.- � �� zyx b.- � �� zyx

c.- � �� zyx d.- � �� zx

6.- Encuentre el (o los) punto(s) en que las rectas dadas intersecan a las superficies

dadas:

a.- °¯

°®

� ��

�

tzty

txL � y el plano 12873 �� zyx



b.- ��

� zyxL � y la superficie 2yxz � .

c.- 4

131zyxL � �� y la esfera 72)2()2()10( 222 �� zyx

7.- Determine la recta intersección de cada uno los siguientes pares de planos:

a.- � �� zxzyx

b.- � �� zyzyx

c.- � �� zyxzx

8.- Calcule el ángulo en cada uno de los pares de planos del ejercicio 7.

9.- Calcule la distancia entre los siguientes pares de planos paralelos:

a.- 3x –6y + 7z = 2 6x – 12y + 14z = 3

b.- 3x – 4y + 5z = 9 3x – 4y + 5z = 4

10.- Hallar el volumen de las siguientes esferas:

a.- �� )()( zyx

b.- � �� zyxzyx

c.- � �� zyxzyx

Problemas de desarrollo:

11.- Hallar la ecuación del plano paralelo a � �� zyxπ � tal que el

punto )10,5,2( �P equidiste de ambos.



12.- Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano 23 �� zyx ,

además dicha recta pasa por el centro de la esfera

62204222 �� zyxzyx .

13.- Sean las rectas ¯®

� ��

� zxyx

L � y 4;52

32 �

� yzxL � .

13.1.- Pruebe que las rectas 21 yLL son oblicuas y halle la distancia entre

ellas.

13.2.- Pruebe que la recta 1L es una recta tangente a la esfera

01614222 �� zzyx . Sugerencia: “demuestre que la distancia del

centro de la esfera a la recta que decimos que es tangente es igual al radio”.

14.- Hallar la ecuación de la esfera cuyo centro está en la recta

�

��

��

�zyxL � . Dicha esfera pasa por la intersección de la recta

°¯

°®

��

�

kzyx

L � con la superficie

051446222 �� zyxzyx . Además se sabe que el

volumen de la esfera buscada es “ S36 ”.

15.- Hallar el ángulo entre las rectas L y M. Donde L es la intersección de los

planos ¯®

��

6420

zyxzyx

y ��

�� zyxM � .



16.- Hallar la ecuación del plano que contiene al punto )1,3,2( � y a la recta

��

��

�� zyxL� .

17.- Hallar la ecuación del plano que contiene la recta ¯®

� ��

� zyyx

L � y

además dicho plano pasa por el punto ),,( ��A .

18.- El vértice de un triángulo equilátero está en ),( ��P . Su lado opuesto está

sobre la recta intersección de los planos ¯®

�� 63

10117zyx

zyx . Hallar los

vértices y el área del triángulo.

19.- Hallar vectorialmente el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes

son los vectores vu, y w , sabiendo que ABu ; ACv y

ADw . Donde CBA ,, y D satisfacen las siguientes condiciones:

19.1) A es el origen de coordenadas.

19.2) B es el punto de intersección entre las rectas

�� zyxL � y la recta ¯®

�� 04

0222 yz

yxL .

19.3.- C y D están en la recta ;��

� zxL � 4 y ; y equidistan del

punto )4,4,5( � Q una distancia de 5 unidades.



20.- Hallar el área del rectángulo, cuya diagonal es el segmento formado por los

puntos de cruces de las rectas 2

23

22

2:1�

�

� zyxL y

52

3:2 � � zxL ; 4 y . Sabiendo que uno de sus lados mide 5 unidades.

21.- Hallar la ecuación del plano que dista 5 unidades del punto A =(4,4,3) y además

que contenga la recta ¯®

� � 3

3:

yxz

L .

22.- Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto de intersección de la recta

°¯

°®

��

kzyx

L� con la superficie 051446222 �� zyxzyx .

Además se sabe que la recta buscada es paralela a la recta intersección de los

planos:¯®

��

6420

2

1

zyxzyx

�

�

SS

23.- Sean los planos 021 �� zyx�S y � �� bzyaxπ � .

23.1.- Para 2;2 � ba obtenga las ecuación simétrica de la recta

intersección de 21 SS y .

23.2.- Obtenga los valores de a y b para que los planos 21 SS y sean

paralelos.

23.3.- Obtenga los valores de a y b para que 2S contenga el punto

)2,1,1(Q y sea perpendicular al plano 1S .



24.- Sean las rectas ��

�� zyxL : ;

��

��

��

�zyxL : ;

¯®

� ��

� yzyx

L � y el plano yxzπ � � . Responda las siguientes preguntas:

a.- Dibuje el triángulo cuyo primer vértice es el punto de corte de la recta

�L con el planoπ . Y los otros dos vértices son los puntos de cruce de las rectas

��yLL .

b.- Hallar el área de dicho triángulo vectorialmente.



Capítulo 4: Superficies Cuádricas

1.- Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres

variables zyx ,, . La forma general es

� �� JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx .

2.- A fin de dibujar una “superficie cuádrica” resulta útil determinar las curvas de

intersección de la superficie con los planos paralelos a los planos coordenados.

Esas curvas se llaman trazas (o secciones transversales) de la superficie.

Tipos de Cuádricas…

3.- ELIPSOIDE: Supongamos que el centro es ),,( ��C entonces la ecuación

canónica del “elipsoide” será: � ��

�

�

�

�

�

cz

by

ax

, veamos los cortes con los

planos:

Plano � ��

�

�

�

by

axzxy )(

Plano � ��

�

�

�

cz

byxyz )(

Plano � ��

�

�

�

cz

axyxz )(

Se llama Elipsoide porque todas sus trazas

son “elipses”.

Su gráfica será:



-Si el centro es ),,( �� zyxC entonces la ecuación canónica del “elipsoide” será:

� �

��

��

�

��

�

��

�

��

czz

byy

axx )()()(

4.- HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA: Supongamos que el centro es ),,( ��C y

el eje de rotación es el eje z entonces la ecuación canónica del “hiperboloide de

una hoja” será: � ��

�

�

�

�

�

cz

by

ax

, veamos los cortes con los planos:

Plano � ��

�

�

�

by

axzxy )( es una elipse (donde se encuentra la sección

central)

Plano � ��

�

�

�

cz

byxyz )( es una hipérbola con eje real en el eje y y

eje imaginario el eje z .

Plano 1)0( 2

2

2

2

�� cz

axyxz es una hipérbola con eje real en el eje x y eje

imaginario el eje z .

Su gráfica será:



-Si el centro es ),,( ��C y el eje de rotación es el eje y entonces la ecuación

canónica del “hiperboloide de una hoja” será: � ��

�

�

�

�

�

cz

by

ax

.

-Si el centro es ),,( ��C y el eje de rotación es el eje x entonces la ecuación

canónica del “hiperboloide de una hoja” será: � ��

�

�

�

�

�

cz

by

ax

.

-Si el centro es ),,( �� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje z entonces la

ecuación canónica del “hiperboloide de una hoja” será:

� �

��

��

�

��

�

��

�

��

czz

byy

axx )()()(

.

-Si el centro es ),,( �� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje y entonces la


� �

��

��

�

��

�

��

�

��

czz

byy

axx )()()(

.

-Si el centro es ),,( �� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje x entonces la


� �

��

��

� �

��

�

��

�

��

czz

byy

axx )()()(

.

OBSERVACIÓN: Nótese que la variable del eje de rotación es negativa y las

otras son positivas.



5.- HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS: Supongamos que el centro es ),,( ��C y

el eje de rotación es el eje z entonces la ecuación canónica del “hiperboloide de

dos hojas” será: � ��

�

�

�

�

�

cz

by

ax

, veamos los cortes con los planos:

Plano � ��

�

�

�

by

axzxy )( esto es una contradicción quiere decir

que en el plano xy no hay gráfica.

Plano � ��

�

�

�

cz

byxyz )( es una hipérbola con eje imaginario en el

eje y y eje real el eje z .

Plano � ��

�

�

�

cz

bxyxz )( es una hipérbola con eje imaginario en el

eje x y eje real el eje z .

Su gráfica será:


canónica del “hiperboloide de dos hojas” será: � ��

�

�

�

�

�

cz

by

ax

.




canónica del “hiperboloide de dos hojas” será: � ��

�

�

�

�

�

cz

by

ax

.



� �

��

��

� �

��

�

��

�

��

czz

byy

axx )()()(

.


ecuación canónica del “hiperboloide de dos hojas” será:

� �

��

��

� �

��

�

��

�

��

czz

byy

axx )()()(

.


ecuación canónica del “hiperboloide de dos hojas” será:

� �

��

��

�

��

�

��

�

��

czz

byy

axx )()()(

.

OBSERVACIÓN: Nótese que la variable del eje de rotación es positiva y las

otras son negativas.

6.- CONO: Supongamos que el vértice es ),,( ��V y el eje de rotación es el eje z

entonces la ecuación canónica del “cono” será: �

�

�

�

�

�

� by

ax

cz

, veamos los

cortes con los planos:

Plano ),(),()( ��

�

�

�

yxby

axzxy esto quiere decir que en

el plano xy solo encontraremos el vértice del cono ),,( ��V .



Plano ybcz

by

czxyz r � ��

�

�

�

)( es una par de rectas.

Plano xacz

ax

czyxz r � ��

�

�

�

)( es una par de rectas.

Su gráfica será:


canónica del “cono” será: �

�

�

�

�

�

� cz

ax

by

.


canónica del “cono” será: �

�

�

�

�

�

� cz

by

ax

.


ecuación canónica del “cono” será: �

��

�

��

�

��

��

�

byy

axx

czz )()()(

.



��

�

��

�

��

��

�

czz

axx

byy )()()(

.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Doppelkegel.png





��

�

��

�

��

��

�

czz

ayy

axx )()()(

.

7.- PARABOLOIDE: Supongamos que el vértice es y el eje de rotación es el eje

z entonces la ecuación canónica del “paraboloide” será: 2

2

2

2

by

ax

cz

� , veamos

los cortes con los planos:

OBS: Si 0!c entonces el paraboloide será cóncavo hacia arriba. Pero si 0�c

entonces el paraboloide será cóncavo hacia abajo.

Plano ),(),()( ��

�

�

�

yxby

axzxy esto quiere decir que en

el plano xy solo encontraremos el vértice del paraboloide ),,( ��V .

Plano 222

2

)0( ybcz

by

czxyz � � es una parábola.

Plano 222

2

)0( xacz

ax

czyxz � � es una parábola.

Su gráfica será:



-Si el vértice es )0,0,0(V y el eje de rotación es el eje y entonces la ecuación

canónica del “paraboloide” será: 2

2

2

2

cz

ax

by

� .

Si 0!b entonces el paraboloide abrirá hacia la derecha. Pero si 0�b entonces

el paraboloide abrirá hacia la izquierda.

-Si el centro es )0,0,0(V y el eje de rotación es el eje x entonces la ecuación

canónica del “paraboloide” será: 2

2

2

2

cz

by

ax

� .

Si 0!a entonces el paraboloide abrirá hacia el eje +x. Pero si 0�a entonces el

paraboloide abrirá hacia el eje –x.

-Si el vértice es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es paralelo al eje z entonces la

ecuación canónica de la “parábola” será: 2

20

2

200 )()()(

byy

axx

czz �

��

�

.

Si 0!c entonces el paraboloide será cóncavo hacia arriba. Pero si 0�c

entonces el paraboloide será cóncavo hacia abajo.

-Si el centro es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es paraelo al eje y entonces la

ecuación canónica del “paraboloide” será: 2

20

2

200 )()()(

czz

axx

byy �

��

�

.

Si 0!b entonces el paraboloide abrirá hacia la derecha. Pero si 0�b entonces

el paraboloide abrirá hacia la izquierda.

-Si el centro es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es paralelo al eje x entonces la

ecuación canónica del “paraboloide” será: 2

20

2

200 )()()(

czz

ayy

axx �

��

�

.



Si 0!a entonces el paraboloide abrirá hacia el eje +x. Pero si 0�a entonces el

paraboloide abrirá hacia el eje –x.

8.- PARABOLOIDE HIPÉRBOLICO (o La Silla de Montar): Su ecuación será

2

2

2

2

by

ax

cz

�

9.- CILINDROS CUADRÁTICOS: Cuando “x, y ó z” faltan en la ecuación de la

superficie entonces es un cilindro. Por ejemplo “un cilindro elíptico”

12

2

2

2

�by

ax

. Su gráfica será:

http://www.google.co.ve/imgres?q=cilindro+eliptico&hl=es&biw=1024&bih=563&tbm=isch&tbnid=kQKImlU2qeHkTM:&imgrefurl=http://www.biologia.edu.ar/matematica/cuadricas_archivos/slide0055.htm&docid=2E4xI2UQmqMX3M&imgurl=http://www.biologia.edu.ar/matematica/cuadricas_archivos/slide0055_image206.jpg&w=250&h=223&ei=njrMTrzqHeXe0QHN0JQs&zoom=1&iact=rc&dur=0&sig=109501092267848704463&page=3&tbnh=155&tbnw=174&start=17&ndsp=10&ved=1t:429,r:1,s:17&tx=89&ty=58





10.- CILINDROS EN GENERAL: Es una curva que está contenida en el plano

horizontal y se llama directriz.

Los datos para hallar la ecuación cartesiana de un cilindro son: “un vector

paralelo a las generatrices y la ecuación de la directriz”.

Su pongamos que la directriz es 0),( yxF .

Sea )0,,( oo yxP un punto de la directriz y ),,( cbaA un vector paralelo a las

generatrices.

Entonces el vector director de la recta generatriz será ),,( cbaAVRGD , la

generatriz pasará por el punto )0,,( oo yxP entonces la ecuación simétrica de la

recta generatriz será: )(icz

byy

axx oo

�

� .

El punto )0,,( oo yxP satisface la ecuación de la directriz es decir

)(0),( iiyxF oo .

La intersección de (i) y (ii) nos dará la ecuación cartesiana del cilindro.

°

°®

�

�

0),()(

)(

oo

oo

yxFiicz

byy

axxi

¿Cómo debemos intersectar? De (i)

hacemos una doble igualdad tal que:

� �

�

cz

byyy

cz

axx oo despejamos oo yyx y nos queda:



cbzcyyiv

cazcxxiii

o

o

�

�

)(

)( sustituimos (iii) y (iv) en (ii) y nos da la ecuación cartesiana

del cilindro.

OBS: Dejamos la búsqueda del cilindro cuando la directriz es 0),( zxF y

0),( zyF para el estudiante.


1.- Clasifique y dibuje la superficie cuádrica 01062 22 �� yxzx :

Solución:

Completaremos cuadrado.

102)6( 22 � �� yzxx

2222 3102)36( �� yzxx

12)3( 22 � �� yzx

12

1)3(

22 � �� yzx Es un paraboloide con vértice )0,1,3(V que gira en un eje

paralelo al eje y.

12

12111 22 � � byccaa

como �! 01b abre hacia la

derecha. A continuación su gráfica:



2.- Para la siguiente figura:

a.- Defina las ecuaciones de las superficies

cuádricas, eligiendo de manera adecuada los

ejes coordenados e indicando sus dominios

respectivo.

b.- Calcular el área de las figuras definidas

por las trazas de cada una de las superficies

dadas con el plano xy.

Solución:

a.- Primero montaremos

la gráfica en los ejes

coordenados y nos queda:

Es importante notar que

desde el origen de

coordenadas hasta la traza

deben haber “12” unidades.



Comenzamos con el “cono”, si el vértice es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es

el eje z entonces la ecuación canónica del “cono” será:

�

��

�

��

�

��

��

�

byy

axx

czz )()()(

.

El vértice es )14,0,0( �V , 6 alturac , ba radio de la tapa. Debemos buscarlo

por semejanza de triángulos:

182

3626

6 � � aaa

La ecuación del cono será:

2

2

2

2

2

2

18186)14( yxz

� �

¸¹

·¨©

§ � �� 2

2222

186)14( yxz

Finalmente la ecuación del cono es: > @8,149

)14(22

2 ��

� zyxz

Paraboloide: Si el vértice es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es el eje z

entonces la ecuación canónica de la “parábola” será:

2

20

2

200 )()()(

byy

axx

czz �

��

�

.

Su vértice será )20,0,0(V , 8 alturac , 18ba radio de la tapa. Como es

cóncavo hacia abajo la ecuación del paraboloide será:



��

��

�� )(

18820

188)20( 22

22

22

yxzyxz

> @20,12)(81

220 22 ��

� zyxz

Hiperbolide de una hoja: Si el centro es ),,( �� zyxC y el eje de rotación es el

eje z entonces la ecuación canónica del “hiperboloide de una hoja” será:

� �

��

��

�

��

�

��

�

��

czz

byy

axx )()()(

.

El centro es )2,0,0(C . Como es de revolución 6 ba = el radio de la sección

central.

Pero cuidado zc altura del hiperbolide de una hoja. ""c debemos buscarlo por

la traza.

La ecuación canónica hasta el momento será: (*)1)2(6 2

2

2

22

�

��

czyx

Para 222 1812 �� yxz sustituimos en (*) y nos queda:

225

8100100811091)212(

618 2

22

2

2

2

2

2

� � ��

� cccc

Finalmente sustituimos este último valor en (*)

> @12,812

25)2(

36

222

��

�� zzyx

b.- La única superficie con traza 0 z es el hiperboloide, es decir

sustituimos 0 z en su ecuación canónica y nos queda:

¸¹·

¨©§ � ��

��

��

�2581.361

258

361

225

)20(36

2222222

yxyxyx



� �25

118822 yx el área es SS25

1188. 2 r

3.- Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio cuya

distancia el punto )1,2,1( � es el doble de su distancia al plano 4 x . Identifique

la superficie y todos sus datos.

Solución:

Sean ),,( zyx los puntos del espacio:

222)1,2,1(),,( )1()2()1()( �� zyxdi azyx

4001

400)(

2224),,( � ��

�� x

zyxdii xplanozyx

Se debe cumplir que (i) =2(ii), entonces:

�� 42)1()2()1( 222 xzyx � � 22222 44)1()2()1( � �� xzyx

2222 )4(4)1()2()1( � �� xzyx

Desarrollemos solo las “x”

)168(4)1()2(12 2222 �� xxzyxx

64324)1()2(12 2222 �� xxzyxx

0)1()2(6432412 2222 �� zyxxxx

� �� 0)1()2(63303 222 zyxx 63)1()2()10(3 222 �� zyxx

25363)1()2()2510(3 222 �� zyxx

12)1()2()5(3 222 � �� zyx ahora dividimos entre “-12”

� ��

��

�� 1

12)1(

12)2()5(

123 22

2 zyx 112

)1(12

)2(4

)5( 222

�

��

�� zyx



Es un hiperboloide de dos hojas, con centro en )1,2,5( ��C ; 322 cba

es de revolución.

3.- Calcular el cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector )1,4,2( � V y su

directriz es yx 42 .

Solución:

Sea el punto �)0,,( oo yxP directriz � )(42 iyx oo

Por otro lado la ecuación simétrica de la recta generatriz será:

)(142

iizyyxx oo

�

�

�

La intersección de (i) y (ii) nos dará la ecuación cartesiana del cilindro.

°

°®

�

�

�

oo

oo

yxi

zyyxxii

4)(142

)(

2

De (ii) hacemos una doble igualdad tal que:

��

�

�

�1412

zyyyzxx oo despejamos oo yyx y nos queda:

xzxiiizxx oo � � �� 2)(2

yzyivzyy oo � � �� 4)(4

Sustituyendo (iii) y (iv) en (i) nos queda:

yzxzxzyzxz 41644)4(4)2( 222 � ��

Finalmente la ecuación cartesiana del cilindro será:

041644 22 �� yzzxxz




1.- Para la figura al lado presentada,

hallar las ecuaciones de las superficies

cuádricas de revolución y su respectivo

dominio. Donde “C” es el cono, “P” el

paraboloide y el “V” señalado es el

centro de la esfera y a su vez vértice del

parabolice “P”.

2.- Para la figura mostrada determine las

ecuación de cada superficie cuádrica

indicando su respectivo dominio. Donde

“H2” es un hiperboloide de dos hojas,

“H1” es un hiperboloide de una hoja.

3.- Para la figura a continuación, se sabe que

T es la traza en y=2 de la superficie cónica

de revolución C y del parabolice P. Se pide:

a) Hallar las ecuaciones y los dominios de C

y P.

b) ¿Qué otra traza común T’ tienen P y C?



4.- Dada las siguientes ecuaciones cartesianas de cuádricas. Para cada caso

Identifíquela y esboce su gráfica:

a) 0424 222 �� zyx

b) 01062 22 �� yxzx

c) 01002544 222 �� zyx

d) 0211210235 22 �� zyxzy

e) 03649 22 �� yzx

f) 018161044 222 �� zyxzyx

g) 01377218499 22 �� zxyzx

h) 024884 222 �� zxzyx

5.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia

al punto fijo )3,1,2( � es el doble de su distancia al eje x .

6.- Encuentre la ecuación de la cuádrica que consiste en todos los puntos que

equidistan del punto � �0,0,1� y del plano 1 x . Identifíquela y esboce su

gráfica.

7.- Hallar la ecuación cartesiana del cilindro cuyas generatrices son paralelas al

vector )14,2( � V&

y su directriz es: xz 42 .



8.- Sean los vectores jiCkBkjiA ˆˆ;ˆ;ˆˆ �� . Hallar la ecuación del

cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector � �CBA uu y su directriz está

dada por la intersección °

°®

�

� ��

��

��

x

xyz.

9.- Sean los planos ¯®

��

12681

2

1

zyxzx

�

�

SS

. Hallar la ecuación cartesiana del

cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta intersección de los planos 1S

y 2S . Donde su directriz es 22zy .

10.- Hallar la ecuación del cilindro oblicuo cuya directriz está dada por la

intersección de °

°®

��

0

11625

)1( 222

z

zyx y se sabe que el punto

)3,3,1(�P está sobre el eje del cilindro.



Capítulo 5: Sistemas de Coordenadas Polares…

1.- Un sistema de coordenadas polares viene definido por un punto fijo O, llamado

POLO y una semirrecta con el origen en O, que se llama SEMIEJE POLAR, y

que, habitualmente coincide con la parte positiva del ejex.

2.- Cada punto del plano se representa por un par ),( TRP .

Donde T es el ángulo orientado. Si es positivo es medido en contra de las agujas

y si es negativo a favor.

R es un número tal que R es la distancia del punto P al polo O. Si es positivo,

se toma P sobre la semirrecta Q y si es negativo sobre la opuesta.

El punto ),( TR� se obtiene mediante la

simetría del origen con respecto al punto

),( TR .

El punto ),( T�R se obtiene mediante la simetría

del ejex con el punto ),( TR .



3.- Representaciones principales de un punto: Por ejemplo los puntos ),( TR y

),( ST ��R son el mismo punto.

En general: Todo punto distinto del polo tiene dos representaciones

principales, a saber:

(i) ),( TR > @ST 2,00 �zR

(ii) ),( ST ��R SST 20 d�d .

4.- Relación entre las coordenadas polares y cartesianas:

a) Cambio de Polares a Cartesianas: TT coscos RyRx .

b) Cambio de Cartesianas a Polares: 22 yxR � y

xyarctg T donde para hallar T seguimos las siguientes fórmulas:

(i) Si TTT �� IC

(ii) Si TSTT � �� IIC

(iii) Si TSTT � �� IIIC

(iv) Si TSTT � �� 2IVC

5.- Curvas polares más importantes:

CARDIOIDES:



CARACOLES





APLICACIONES…

6.- Area limitada por curvas polares:

TEOREMA: Sea la curva )(TfR , f contínua, 0)( tTf con > @EDT ,� . El área

de la región )(Tf con las semirrectas DT y ET es:

7.- Pendiente de la curva: )(TfR es:

TTTTTTTT

T senfffsenf

dxdy

R )(cos)(cos)()(

),( �c�c

8.- Longitud de una curva polar:

TT

E

D

dddRRL ³ ¸

¹·

¨©§�

22

³ E

D

TT dfA )(21 2




1.- De la otra representación principal de los siguientes puntos:

a.- ¸¹·

¨©§

4,3 S

b.- ¸¹·

¨©§

45,5 S

Solución:

a.- Supongamos que ¸¹·

¨©§

4,3 S

es la principal entonces 3 R y 4ST por la

parte 3 de la teoría (ii) tenemos que � � ¸¹·

¨©§� ¸

¹·

¨©§ ��

45,3

4,3, SSSSTR nótese

que > @SS 2,02254

5�q .

b.- Si suponemos que ¸¹·

¨©§

45,5 S

es la principal donde 5 R y 4

5ST

entonces la otra representación sería � � ¸¹·

¨©§� ¸

¹·

¨©§ ��

49,5

45,5, SSSSTR pero

nótese que > @SS 2,04

9� , esto quiere decir que el punto ¸

¹·

¨©§

45,5 S

nos es la

representación (i) sino la (ii).

Quiere decir que 5 �R y 4

5SST � 5� � R y 44

5 SSST � entonces la

otra representación será ¸¹·

¨©§�

4,5 S

.



2.- Encuentre las coordenadas cartesianas en cada caso:

a.- ¸¹·

¨©§

6,4 S

b.- ¸¹·

¨©§�

45,3 S

Solución:

a.- Sea 4 R y 6ST , por la parte teórica 3 tenemos que TcosRx y

TRseny entonces:

32234

6cos4 ¸

¹·

¨©§ Sx

2214

64 ¸

¹·

¨©§ Sseny

� )2,32(6

,4 ¸¹·

¨©§ S

.

b.- Sea 3� R y 4

5ST

2

234

cos34

5cos3 ¸¹·

¨©§�� ¸

¹·

¨©§�

SSx

2

234

34

53 ¸¹·

¨©§�� ¸

¹·

¨©§�

SS senseny

� ¸¹

·¨©

§ ¸

¹·

¨©§�

223,

223

45,3 S

.



3.- Halle la representación principal en polares de los siguientes puntos en

cartesianas:

a.- )3,3(�

b.- ¸¹

·¨©

§�

25,

235

Solución:

a.- 33 � yyx)(4 b

� 3212)3()3( 22 �� R

63

3 ST ¸¹

·¨©

§

��

arctg como la “y” es positiva que corresponde al seno y la “x”

es negativa que corresponde al coseno quiere decir que: �T IIC)(4 iib

�

6

56

SSSTST � � el punto buscado en polares es ¸¹·

¨©§

65,32 S .

b.- 25

235 �

yyx)(4 b

� 525

235 22

¸¹·

¨©§ ��¸

¹

·¨©

§ R

631

235

25

ST

�

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§ �

arctgarctg como la “y” es negativa que corresponde al

seno y la “x” es positiva que corresponde al coseno quiere decir que:



�T IVC)(4 ivb

�6

116

22 SSSTST � � . El punto buscado en polares es

¸¹·

¨©§

611,5 S .

4.- Graficar las siguientes curvas polares:

a.- R=6 b.- 06

t RST

c.- �� R6ST

Solución:

a. R=6 es el conjunto de los puntos

),6( T esto representa una

circunferencia de radio 6 centrada en

el origen. Podemos comprobarlo

pasando a cartesianas, recordemos

que 62222 �� yxyxR

.3622 �� yx

b.- 06

t RST es la semirrecta

cerrada con origen en el polo y

ángulo con el semieje polar de

6ST .



c.- �� R6ST

es la recta cuyo

ángulo con el

semieje polar es

de 6ST .

5.- Identifique las siguientes curvas pasando a cartesianas:

a.- Tcos3 R

b.- 4cos TR

c.- TT cos2

6�

sen

R

d.- TT cosbasenR �

Solución:

a.- Multipliquemos la ecuación Tcos3 R por “R” Tcos32 RR �

xyx 322 �� ahora completamos cuadrado

49

23 2

2

�¸¹·

¨©§ �� yx circunferencia centrada en ¸

¹·

¨©§ 0,

23 y radio

23 .

b.- 44cos � xR T recta vertical.

c.- 6cos26)cos2(cos2

6 ��

� TTTT

TTRRsensenR

senR

32

62 ��

� ��xyxy una recta cuya pendiente es

21� .

d.- TT cosbasenR �

Rpormosmultiplica

� TT cos2 bRaRsenR �



byaxyx � �� 22

Completando cuadrados nos queda:

422

2222 abaybx � ¸

¹·

¨©§ ��¸

¹·

¨©§ � circunferencia centrada en ¸

¹·

¨©§

2,

2ab y de

radio 2

22 ba � .

6.- Hallar el área de la mitad superior ( ST dd0 ) de la cardioide Tcos1� R .

Solución:

Area

STTTT04

22

221

»¼º

«¬ª ��

sensen =

430

42

22

21

0

SSSSSS

»¼º

«¬ª ��

sensen

7.- Encontrar los puntos de intersección y el área de la región que se encuentra

dentro del círculo 1 R y fuera de la cardioide Tcos1� R .

Solución:

Dibujemos la región para determinar sus fronteras y encontrar los límites de

integración (Ver figura en la siguiente página).

³ ³ ³ �� E

D

S S

TTTTTTT0 0

222 )coscos21(21)cos1(

21)(

21 dddfA



Busquemos los límites de integración.

Para ellos igualemos las curvas:

22

0coscos11STST

TT

� �

��

o

Los puntos de intersección serán:

¸¹·

¨©§ �¸

¹·

¨©§

2,1

2,1 SS y .

El área será:

42)2(

41

22)coscos2(

2

0

2

0

2 STTTTTT

SS

� »¼º

«¬ª �� ³ sensend .

8.- Hallar la pendiente de la cardioide Tcos1�� R en 2ST � .

Solución:

TTTT senff � c�� )(cos1)(

TTTTTTTT

TTTTTTTT

TT sensen

sensensenff

fsenfdxdym

R )1(coscoscos)1(cos

)(cos)(cos)()()(

),( ��

�c�c

TTTTT

TTTTTTTTTTT

sensensensen

sensensensen

��

��

coscos

coscos)1(coscoscos)1(cos 22

> @³ ³ ³�

�� E

D

S

S

S

TTTTTTT2

2

2

0

2222 )coscos211(212)cos1(1

21)(

21 d

simetríapor

ddfA



TTTT

Tsensen

m��

�)2(

cos)2cos()(

1

222

2cos

22cos

2

¸¹·

¨©§��¸

¹·

¨©§��

¸¹·

¨©§��¸

¹·

¨©§�

¸¹·

¨©§��

SS

SSS

sensenm

9.- Encontrar la longitud de la cardioide Tcos1� R .

Solución:

TT

T senddRR �� cos1

¸¹·

¨©§ �

22cos1 2 TT sen

TTTTS S

dsendsenLo

³ ³ ¸¹·

¨©§ ¸

¹

·¨©

§¸¹·

¨©§

2

0

22

22

222

Como > @STT 2,002

�t¸¹·

¨©§sen

82

cos222

22

0

2

0

»¼

º«¬

ª¸¹·

¨©§� ¸

¹·

¨©§ ³

SS TTT dsenL

TTTTT

SE

D

dsendddRRL ³³ �� ¸

¹·

¨©§� �

2

0

222

2 )cos1(

TTTTTTSS

ddsen ³³ � ��2

0

2

0

22 cos22coscos21




1.- Dibuje los puntos:

a) � �6,3 S b) � �6,3 S��

c) � �32,4 S� d) � �S,0

e) � �S,1� f) � �S2,9 �

2.- Dé la otra representación de los puntos:

a) � �4,3 S� b) � �45,5 S�

c) � �32,6 S d) � �S,1�

3.- Encuentre las coordenadas cartesianas:

a) � �6,3 S� b) � �4,3 S

c) � �65,2 S d) � �32,5 S��

4.- Encuentre las coordenadas polares:

a) � �2,2� b) � �2,32

c) ¸¹·

¨©§ ��

223,2

23 d) � �3,3�

e) ¸¹·

¨©§�

23,2

33

5.- Graficar las siguientes curvas polares:

a) 9 R

b) 2ST ; R <0



c) 3ST ; ��R

d) 1� TRsen

e) Tcsc2 R

f) TT sen

R�

�

cos24

6.- Hallar el área de una rosa de 4 pétalos )2cos( T R .

7.- Dadas las curvas )1(21 TsenR � y 22 R . Hallar:

a) Las gráficas de las curvas.

b) Determinar los puntos de intersección de las curvas.

c) El área de la región dentro de 2R y fuera de 1R .

8.- Hallar la pendiente de )2cos( T R para cualquierT .

9.- Hallar la longitud de la espiral 2

TeR > @ST ,0� .

10.- Hallar la pendiente de la curva Tcos1� R en 2ST y luego calcule la

longitud de arco con > @ST 2,0� .

11.- Sea R la región limitada por la proyección en el plano 0 x , de la intersección

de las superficies:

°°®

d��

t��

3216

222

222

zyxzyx

Determine el área de la región R utilizando coordenadas polares.



12.- Calcular el área mediante polares de la región del plano determinada por:

¯®

td�

1422

xyx

13.- Sea la expresión > @³�

��2

2

2)cos1(121

S

S

TT d .

a) ¿Qué representa dicha integral?

b) Representar gráficamente dicha expresión y encuentre los puntos de

intersección.

14.- Sean las curvas 49

23 2

2

�¸¹·

¨©§ � yx y Tcos1� R .

a) Graficar ambas curvas.

b) Encuentre los puntos de intersección de las curvas en coordenadas

polares.

c) Dibuje el área de la región dentro de 49

23 2

2

�¸¹·

¨©§ � yx y fuera de

Tcos1� R . Luego calcule dicha área usando polares.

15.- Encuentre la ecuación cartesiana de las gráficas en cada caso y dibuje las

mismas:

a.- 09)(cos62 �� TT senRR

b.- 9)2cos(2 TR

16.- Determinar el área de la región que yace dentro del círculo TsenR 3 y fuera

de la cardioide TsenR � 1 .



17.- Sean las curvas 1)1( 22 �� yx y 1 R .

a.- Dibuje la región dentro de la primera curva y fuera de la segunda.

b.- Halle los puntos de intersección en polares.

c.- Halle el área de la región dibujada en la parte (a) en polares.

18.- Sean la región ¯®

t

d

2

1xy

yR .

a.- Dibuje la región R

b.- Halle los puntos de intersección en polares.

c.- Halle el área de la región R dibujada en la parte (a) en polares.



Capítulo 6: Funciones Vectoriales…

1.- Una función vectorial es una función de la forma nR �o�: /

> @)(,),(),()( 21 tRtRtRtR n� . Nosotros estudiaremos en 2� y

principalmente en 3� .

2.- Si > @)(),(),()( 321 tRtRtRtR entonces el Límite de una función vectorial es:

> @)(),(),()( 321tRlímtRlímtRlímtRlím atatatat oooo

3.- La función )(tR es contínua en at sí y sólo si )()( aRtRlím at o .

4.- Definimos una curva en el espacio como una función de la forma:

Itthztgytfx

C �°¯

°®

)()()(

� .

5.- La Derivada de una función vectorial es: »¼º

«¬ª ccc c )(),(),()( 321 tRtRtRtR

6.- El vector tangente unitario se define como “un vector paralelo a )(tRc

unitario”, esto es: )(

)()(tR

tRtTc

c

7.- La recta tangente: La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva

)(tRC { en el punto ),,()( 0000 zyxtR es: )(.)(),,( 00 tRttRzyx c� .



8.- Teorema: Sean )(tR y )(tS funciones vectoriales derivables, ��D y )(tf

una función real / ).(: tfyf �o�

(i) > @ )()()()( tStRtStRDt c�c �

(ii) > @ )()( tRtRDt c DD

(iii) > @ )()()()()()( tRtftRtftRtfDt c�c esto devuelve una función vectorial

(iv) > @ )()()()()()( tStRtStRtStRDt c��c � esto devuelve una función escalar

(v) > @ )()()()()()( tStRtStRtStRDt cu�uc u esto devuelve una función vectorial.

(vi) > @ )())(())(( tftfRtfRDt cc

9.- La integral definida de una función vectorial es:

»¼

º«¬

ª ³ ³³³

b

a

b

a

b

a

b

a

dttRdttRdttRdttR )(,)(,)()( 321

Teorema fundamental para funciones vectoriales:

@ )()()()( aSbStSdttRb

a

b

a

� ³ donde ³ � KtSdttR )()(

10.- Longitud de arco: dttRLb

a³ c )(

11.- Diferencial de longitud de arco: )(tRdtdS c este concepto será útil

en las demostraciones posteriores.



12.- La curvatura dela curva )(tRC { en un punto dado es una medida de que tan

rápido cambia la curva de dirección en ese punto. Específicamente, se define

como la magnitud de la tasa de cambio del vector unitario tangente con respecto

a la longitud de arco.

13.- Definición de curvatura: En 32 �� o : )(

)()(

tR

tTtK

c

c

Teorema: La curvatura de la curva dada por la función vectorial en 3� es:

3

)(

)()()(

tR

tRtRtK

c

ccuc

14.- En el caso especial de una curva plana cuya ecuación es )(xfy la curvatura

será:

� �> @ 232)(1

)()(

xf

xfx

c�

cc N .

15.- Vectores Normal y Binormal unitarios: El vector )()( tTtT Ac entonces

definimos el vector normal unitario como: )(

)()(tT

tTtNc

c . Luego el vector

Binormal unitario será: )()()( tNtTtB u

OBS: Los vectores tangente, normal y binormal unitarios son tres vectores

ortogonales entre sí con norma “1” en un punto dado de la curva. Ellos forman

el “triedo de frenet”. (Ver figura anexa).



Además podemos agregar que )(tN = )()( tTtB u .

16.- El plano determinado por los vectores )(tN y )(tB en el punto P sobre la curva

C se llama plano normal de la curva C en el punto P. (Consiste en todas las

rectas que son ortogonales al vector tangente unitario).

El plano normal es aquel que tiene como vector normal el tangente unitario o

)(tRc .

OBS: )(//)( tRtT c .

La ecuación del plano normal a la curva C en el punto ),,( 000 zyxP es

0)(),,( 0000 c�� tRzzyyxx donde ),,()( 0000 zyxtR .

17.- El plano determinado por )(tT y )(tN se llama plano osculante de C en el

punto P.

Osculum es una palabra latina que quiere decir “beso”.

Este plano es el plano que está tan cerca que contiene la parte de la curva que

está cerca de P. (Para una curva plana, el plano osculante es simplemente el

plano que contiene la curva).



El plano osculante es aquel que tiene como vector normal el binormal unitario o

)()( tRtR ccuc .

OBS: )(tB // )()( tRtR ccuc

La ecuación del plano osculante a la curva C en el punto ),,( 000 zyxP es

0)()(),,( 00000 ccuc�� tRtRzzyyxx . Donde ),,()( 0000 zyxtR .

18.- El plano rectificante es aquel que tiene como vector normal el normal

unitario o )())()(( tRtRtR cuccuc .

OBS: )(tN // )())()(( tRtRtR cuccuc

La ecuación del plano rectificante a la curva C en el punto ),,( 000 zyxP es

�� ),,( 000 zzyyxx )())()(( 000 tRtRtR cuccuc =0.

Donde ),,()( 0000 zyxtR .

19.- El círculo que está en el plano osculante de la curva C en el punto P (que tiene la

misma tangente que la curva C en el punto P) está en el lado cóncavo de C

(hacia donde apunta )(tN ), y tiene como radio N

U 1 se llama CIRCULO

OSCULADOR o CÍRCULO DE LA CURVATURA de C en P. Este es el

círculo que mejor describe la forma en que C se comporta cerca de P, comparte

la misma tangente, normal y curvatura de P.

El círculo osculante de una curva )(tR en el punto P es:

°¯

°®

�

Penosculadoraesfera

Penosculanteplano



El radio de la esfera osculadora )(

1)(tK

t U y el centro es:

)().()( tNttR U� .

20.- Movimiento en el Espacio: Si )(tR representa el vector posición entonces

ocurre:

)(')( tRtV (velocidad) y la rapidez = )(tRc

)('')(')( tRtVta (aceleración)

Ahora si tenemos la aceleración entonces ocurre: ³� t

t

duuatVtV0

)()()( 0

³� t

t

duuVtRtR0

)()()( 0 .

21.- Componente tangencial de la aceleración: )(

)()()(tR

tRtRtaTc

cc�c

Componente normal de la aceleración: )(

)()()(

tR

tRtRtaN

c

ccuc

El vector aceleración puede escribirse en función de las componentes anteriores

de la siguiente forma:

NaTata NT ..)( �

22.- Sea C la curva suave. La torsión de C mide el “grado de torcedura” de la curva,

mide el desvío de la curva respecto al plano osculante. Su fórmula será:



� �� 2

)('')(

)(''')('')(')(tRtR

tRtRtRtuc

u� W

23.- Se denomina curva plana al recorrido de una función vectorial tal que todos sus

puntos se encuentra en un mismo plano.

OSB: Para probar que una partícula se mueve en un plano basta ver que su

torsión sea “0”.

24.- Fórmulas de Frenet: NkdsdT .

BTkdsdN .. W��

NdsdB .W�


1.- Sean la funciones vectoriales: ¸¹

·¨©

§�

�� t

ttt

tttR 9,2,cos1)(

2

2 ;

¸¹·

¨©§ �

��

ttt

tttS 9,ln,

2591)( 2 . Hallar:

a.- )(0 tRlím to .

b.-- Dominio de )(tS .

Solución:

a.- ¸¹

·¨©

§�

�� oooo tlím

tttlím

ttlímtRlím tttt 9,2,cos1)( 0

2

0200



21

2cos

'00

2

'00cos1

0

0

20

�

o

o

o

tlím

HopitalLt

sentlím

HopitalLt

tlím

t

t

t

2

122

'002

0

2

0

�

�

o

o

tlím

hopitalLt

ttlím

t

t

30990 � �o tlímt

¸¹·

¨©§ � o 3,2,

21)(0 tRlímt

b.- tdomttdom

ttdomtSDom ��¸

¹·

¨©§�¸

¹·

¨©§

��

9ln2591)(

2

^ ` � � � @ � @ ^59,09,,05,5)( � f��f�� tSDom

2.- Sea la función vectorial � �422 ,,43)( tsenttetttR t �� hallar el tangente

unitario en .0 t

Solución:

)0(

)0()0(R

RTc

c

� �32 4cos,2,46)( tttetettR tt �� c

� � � �1,0,40.40cos,0.20,40.6)0( 3020 �� c eeR

17104)( 222 �� tR

� �1,0,4171)0( T



3.- Muestre que si D )(tR entonces )()( tRtR Ac .

Solución:

Como D )(tR elevemos al cuadrado ambos lados y nos queda que

222

)()()( DD �� tRtRtR derivando a ambos lados nos queda que:

> @ 0)()()()()(8

)()()( 2 c��c� � tRtRtRtRiv

dtdtRtR

dtd D

)()(0)()(0)()(2 tRtRtRtRtRtR Ac� �c� �c

4.- Sea )2,,cos2()( tsentttR calcular dttR )(2

0³S

.

Solución:

),,(),cos,2()2,,cos2()( 3212 kkkttsentdttsenttdttR �� ³³

@ )0,0cos,02(2

,2

cos,2

2),cos,2()( 22

20

22

0

��¸¸¹

·¨¨©

§¸¹·

¨©§� � ³ sensenttsentdttR SSSS

S

¸¹

·¨©

§ ��¸

¹

·¨©

§

4,1,2)0,1,0(

4,0,2

22 SS

5.- Sea la curva °°®

2

2

xzzy

C � Hallar:

a.- El punto de la curva C donde el plano osculante es paralelo a la recta

22;4 � yzx .



b.- El binormal unitario en el punto ¸¹·

¨©§�

41,

161,

21

.

c.- El normal unitario en el punto )1,1,1( .

Solución:

a.- Primero debemos buscar la función vectorial que representa la curva C:

� � 4222 ttytztx la función vectorial será ),,()( 24 ttttR

En la figura podemos ver que el vector normal del plano osculante es

perpendicular al vector director de la recta.

)(.. tBn OP // )()( tRtR ccuc

)2,12,0()()2,4,1()( 23 ttRytttR cc c

)12,2,16(

2120241

ˆˆˆ

)()( 23

2

3 ttt

ttkji

tRtR �� ccuc

012160)1,0,1()12,2,16()1,0,1( 2323.. �� A ttttn OP

4300)1216(2 � �� tottt



Los puntos serán: para )0,0,0()0(0 � Rt

¸¹·

¨©§ ¸

¹·

¨©§�

169,

25681,

43

43

43 Rty

b.- Queremos saber de que “t” viene el punto ¸¹·

¨©§�

41,

161,

21

21

4116121

2

4 � �

°°°

¯

°°°

®

�

t

t

t

t

¸¹·

¨©§�

21B // � �3,2,2

21

21

� ¸¹·

¨©§�ccu¸

¹·

¨©§�c RR

Como el Binormal debe ser un vector unitario dividimos entre su norma.

)3,2,2(171

)3,2,2()3,2,2(

21

� ��

¸¹·

¨©§�B

c.- Queremos saber de que “t” viene el punto )1,1,1(

1

11

1

2

4 �°¯

°®

tttt

)1(N // > @ )1()1()1( RRR cuccuc

)12,2,16()1()1( �� ccuc RR // )6,1,8( ��

)31,22,26(241618

ˆˆˆ

)1()6,1,8( �� cu��kji

R

)31,22,26(21211

)31,22,26()31,22,26()1( ��

��

N



6.- Sea la curva )2,,cos()( SSS �� tsentttR hallar la ecuación del círculo

osculador en el punto de intersección de la curva )(tR con el plano S� z .

Solución: Primero hallaremos el punto de intersección.

SS

SS

� �°¯

°®

� � ��

ztz

sentytx

2

cos

SSSSS � �� 22 tt

El punto de intersección será sustituir S t en la curva )(tR así tendremos:

),,1()2,,cos()( SSSSSSSSSS �� senR

El círculo osculante de una curva )(tR en el punto ),,1( SSS ��P es:

°¯

°®

�

Penosculadoraesfera

Penosculanteplano

)(

)()(

S

SSN

R

T

c

c

)1,cos,()( tsenttR � c

)1,1,0()1,cos,()( � SSS senR

21)(cos)()( 222 �� tsenttR

2)( SR

� �0,,cos2

1)()1,cos,(2

1

)(

)()( sentttTtsenttR

tRtT �� c�� c

c

2

10012

1)()0,0,1(2

1)( 222 �� c� c SS TT



21

22

1

)(

)()(

c

c

S

SSN

R

T

El radio de la esfera osculadora 2)(

1)( SN

SU y el centro es:

)().()( SSUS NR � .

)0,0,1()0,0,1(2

1.

211

)(

)()(

c

c

S

SS

T

TN

El centro será ),,1()0,0,1(2),,1()()()()( SSSSSSSSUSS �� NRC

La esfera osculadora es: 4)()()1( 222 �� SSS zyx

Hallemos el vector binormal unitario en S t :

)1,1,0(2

1

0012

12

10

ˆˆ

)()()( � u kji

NTB SSS

El plano osculante en S t será:

00)(2

1)(2

10)1,1,0(2

1),,1( �� zyzyzyx SSSSS

¯®

� ��

01)()()1( 222

zyzyx

OsculadorCírculoSSS

.

7.- Pruebe usando las fórmulas de Frenet que > @ )()()()()()( 2 tNtSttTtStR c�cc cc N .

Solución:



En la parte 11 de la teoría vimos que el Diferencial de longitud de arco es:

)(tRdtdS c

sustituyendo en

)(

)()(tR

tRtTc

c nos queda que

dtdS

tRtT )()(c

dtdStTtR )()( c ahora podemos derivar para hallar la segunda derivada:

2

2

)()()(dt

SdtTdtdStTtR �c cc

como

dtdTtT c )( , sustituimos en la anterior y nos queda:

2

2

)()(dt

SdtTdtdS

dtdTtR � cc (*)

Por regla de la cadena tenemos que

dtdS

dSdT

dtdT

, sustituimos en (*)

Tdt

SddtdSN

NdSdTFrenetdt

SdtTdtdS

dtdS

dSdTtR 2

22

2

2

)()( �¸¹·

¨©§

� cc N

N

> @ )()()()()()( 2 tNtSttTtStR c�cc cc� N (esto es lo que queríamos probar).

8.- Determine el círculo osculante de 2xy en )0,0( .

Solución:

Como es una curva plana utilizaremos la fórmula � �> @ 2

32)(1

)()(

xf

xfx

c�

cc N

� �> @ 232)0(1

)0()0(

f

f

c�

cc N



2)0(2)(0)0(2)(

cc� cc c� c

fxffxxf

> @2

01

2)0(

232

�

�N

El centro del círculo osculador es ¸¹·

¨©§

21,0

y el radio es 211

N

U por lo tanto

el círculo osculador será: 41

21 2

2 ¸¹·

¨©§ �� yx .

9.- Hallar la velocidad y posición en un tiempo t. Si se sabe que una partícula tiene

posición inicial )0,0,1()0( R con una velocidad inicial )1,1,1()0( � V donde

la aceleración viene dada )1,6,4()( ttta .

Solución:

> @ttt

uuuduuuduuaVtV00

22

0

),3,2()1,1,1()1,6,4()1,1,1()()0()( ³³ ��

)0,0,0(),3,2()1,1,1()( 22 �� ttttV

)1,13,12()( 22 �� ttttV

³³ �� tt

duuuuduuVRtR0

22

0

)1,13,12()0,0,1()()0()(

t

uuuuuutR0

23

3

2,,

32)0,0,1()( »

¼

º«¬

ª¸¹

·¨©

§��

¸¹

·¨©

§�� ¸

¹

·¨©

§�� tttttttttttttR

2,,1

32)0,0,0(

2,,

32)0,0,1()(

23

323

3

10.- Dada la función vectorial ),,(cos)( tsentttR con > @S2,0�t determinar la

recta tangente en 2

3S t .



Solución:

Hallemos el punto en 2

3S t ¸

¹

·¨©

§¸¹·

¨©§

¸¹·

¨©§ ¸

¹·

¨©§�

23,

23,

23cos

23 SSSS senR

¸¹·

¨©§ � ¸

¹·

¨©§

23,1,0

23 SSR

La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva )(tRC { en el punto

¸¹·

¨©§ � ¸

¹·

¨©§

23,1,0

23 SSR es: ¸

¹·

¨©§c�¸

¹·

¨©§

23.

23),,( SS RtRzyx .

� �1,0,12

3)1,cos,()( ¸¹·

¨©§c�� c SRtsenttR

La ecuación vectorial de la recta tangente será:

� �1,0,12

31,0),,( tzyx �¸¹·

¨©§ �

S




1.- Hallar el dominio para cada función vectorial:

a.- jtit

tR ˆ4ˆ2

1)( ��

b.- ¸¹·

¨©§

��

59,1,1)( 2

tt

ttR

c.- »¼

º«¬

ª��

¸¹·

¨©§

ttttR 2,

61,

21ln)( d.- � �82 ),1ln(,)( ttarctgttR �

2.- Hallar los siguientes límites:

a.- )(2 tRlímto donde ¸¹

·¨©

§�

��

��

2,2

6,42)(

2

2 tt

tttttR

b.- )(0 tRlímto donde ¸¹

·¨©

§ ��

ttt

tt

ttsentR 9,1cos,)4()(

2

2

3.- Dada la curva kttjtitttR ˆ)3(ˆ3ˆ)3()( 323 �� :

a.- Hallar la velocidad, rapidez y aceleración en 1 t .

b.- El plano normal a la curva en 1 t .

4.- Una partícula se mueve sobre la curva

kttjttitttR ˆ)38(ˆ)4(ˆ)4()( 3223 �� . Hallar las componentes

tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2.

5.- Hallar las ecuaciones del plano oscilador, y de los vectores normal y

binormal a la curva °°®

zxxy

2

2

en el punto (1,1,1).



6.- Dada la curva ktjtittR ˆ2

ˆ3

ˆ4

)(234

�� encuentre los puntos de la curva

donde la tangente es paralela al plano 1023 �� zyx .

7.- Sea ktjsentittR ˆˆ)(ˆ)(cos)( �� donde > @S2,0�t determine:

a.- Los puntos de )(tR en los cuales el plano oscilador es

perpendicular al plano 5 � zx .

b.- Una función vectorial que represente a la recta tangente a )(tR en

los puntos hallados en la parte (a).

c.- La curvatura para cualquier “t”.

8.- Dada la curva � � � �ktjsentittR ˆ2ˆ)(ˆcos)( SSS �� hallar el

vector aceleración en términos de los vectores tangente unitario y normal

unitario en el punto de intersección de la curva )(tR con el plano S� z

9.- Demuestre usando las fórmulas de Frenet:

a.- b.- > @ BtsktRtR .)(.)()( 3c ccuc

c.- > @ > @ BskNsksskTskstR .)(..).(..3.).()( 3232 c�cc�ccc�c�ccc ccc W

10.- Hallar la curvatura de > @tsenttR 33 8,cos8)( en 12S

t .

11.- Demuestre la fórmula de la curvatura 3)(R

RRtk

c

ccuc

> @ NtskTtstR .)(.).()( 2c�cc cc



12.- ¿En qué punto de la curva ),3,()( 43 ttttR el plano normal es

paralelo al plano 6x+6y-8z=1?

13.- Sea el vector posición )2.2,ln,()( ttttR para > @2,1�t . Encontrar:

a) La longitud de arco.

b) ¿En qué punto(s) de la curva )(tR el plano normal es paralelo al plano

9.2 �� zyx ? c) La recta tangente en el punto(s) encontrado en la parte (b).

14.- Dada la curva ktjtittR ˆ32ˆˆ)( 32 ¸

¹·

¨©§�� hallar la relación entre la curvatura

y la torsión.

15.- Sea la curva °°®

�

�

yzyxz

1

22

. Determinar la recta tangente en el punto

(1,0,1).

16.- Dada la curva ktgttjtittR ˆ)ln(secˆ)ln(secˆ)( �� ¿en qué punto la

curvatura es máxima?

17.- Sea la curva ¯®

�� 04

0222

zxyx

C� .

a) Parametrice C . b) Determine la ecuación paramétrica de la recta tangente a la curva C

en el punto )3,1,1( . c) Halle la curvatura en el punto )3,1,1( .



18.- Una mosca camina a lo largo de un alambre en forma de hélice de tal manera

que su posición es � � � � 0ˆ2ˆ6ˆcos6)( t�� tparaktjtsenittR SS .

Hallar:

a.- ¿En qué punto chocaría la mosca con la esfera 100222 �� zyx ?

b.- ¿Qué tanto viajó desde el inicio (t=0) hasta que choca con la esfera?

c.- Curvatura en t=2.

19.- Dada la curva ktjtittR ˆ32ˆˆ)( 32 ¸

¹·

¨©§�� hallar:

a.- Suponga que un móvil se desplaza a lo largo de la curva )(tR .

Determine la longitud recorrida por dicho móvil en el intervalo > @2,0

y luego encuentre las coordenadas de los puntos inicial y final del

recorrido.

b.- Torsión en el punto ¸¹·

¨©§ ��

32,1,1

.

20.- Sea ktjtittR ˆ2

ˆ3

ˆ4

)(234

�� . Hallar:

a.- Los puntos de la curva )(tR donde el plano oscilador es paralelo a

la recta 1;32

2 �

� zyx.

b.- El vector binormal unitario en el punto ¸¹·

¨©§ �

21,

31,

41

.



21.- Sea la curva � �sentetetR tt .,cos.)( »¼º

«¬ª�

2,0 St . Hallar:

a.- Punto inicial y final de la trayectoria.

b.- Longitud de la trayectoria.

c.- Curvatura t� .

22.- ¿En qué puntos de la recta tangente a la curva

),,()( �� ttttttR es paralela al plano � �� zyx ?

23.- Sea el arco definido por > @��¸¹·

¨©§

��

��

� �� ,,)( t

tt

ttr , hallar la

longitud de arco.

24.- Dada la curva definida por ),,()( �� ttttttR calcule los puntos

donde la torsión es “0”.

25.- La posición de una partícula es de )cos,cos,()( sentttsenttR ��

pruebe que:

a.- La partícula se mueve en un plano. (Sug: Pruebe que � )(tτ ).

b.- Encuentre la ecuación del plano.



Capítulo 7: Funciones de Varias Variables.

Dominio, Conjunto de Nivel y Gráficas

1) Sea �o�nf : / ),,,( 21 nxxxfw � esta función es una función de varias

variables la cual tiene una variable dependiente "" w y n-variables independientes

",,," 21 nxxx � en particular estudiaremos el caso de n=2 o 3. Es decir las

funciones �o�2:f / ),( yxfz donde “z” es la variable dependiente y “x,y”

son las variables independientes y �o�3:f / ),,( zyxfw donde “w” es la

variable dependiente y “x,y,z” son las variables independientes.

2) Dominio de funciones de varias variables: Sea �o�2:f / ),( yxfz

decimos que el 2��Domf y se cumplen las siguientes reglas de dominio:

a.- 2),( � yxDomP donde ),( yxP es un polinomio en 2� .

b.- 2)( � KDom donde K es una constante real.

c.- ^ `0),(),(),( 2 �� ¸¹

·¨©

§yxQ

yxQyxPDom donde ),(),( yxQyyxP son

polinomios en 2� .

d.- � � � �¯®

t

),(

0),(),(

yxfDomDomimparesnsiyxfparesnsi

yxfDom n

e.- � � ),(),(),(),( yxDomgyxDomfyxgyxfDom � r

f.- ),(),(),(),( yxDomgyxDomfyxgyxDomf � �



g.- ^ `0),(),(),(),(),(

�� ¸¹

·¨©

§yxgyxDomgyxDomf

yxgyxfDom

3.- Conjunto de Nivel: Si �o�nf : / ),,,( 21 nxxxfw � definimos el conjunto

de nivel como ^ `cxxxfxfN nn

c �� ),,,(/ 21 � .

Para 2� el conjunto de nivel como ^ `cyxfyxfNc �� ),(/),( 2 es llamado

“curvas de nivel”.

Para 3� el conjunto de nivel como ^ `kzyxfzyxfNk �� ),,(/),,( 3 es

llamado “superficies de nivel”.

4.- Grafica de una superficie: El conjunto de todos los puntos )),(,,( yxfyx en el

espacio, para ),( yx en el dominio de f , se llama la gráfica de f . A la gráfica de

f también se le llama superficie ),( yxfz .

OBS: Para graficar una superficie utilizamos las curvas de nivel y las trazas.


1.- En cada caso escriba el conjunto dominio y la gráfica del mismo.

a.- 101),( 2 �� yxxyyxf

b.- x

xyyx

xyxf�

��

�

293),(

2

c.- yxyxf � ),(

Solución:

a.- ^ ` 222 0/),()101()( ��t� �� yxyxDomyxxyDomDomf

^ `0/),( 2 t� yxyxDomf



Para dibujar el conjunto primero dibujamos la frontera 22 0 xyyx � � � ,

tomo un punto cualquiera dentro o fuera de la parábola por ejemplo )0,2( que

está fuera, lo meto dentro de la inecuación 02 t� yx y nos queda

040022 t�t� es verdadero por lo tanto son los puntos fuera de la parábola.

(Ver figura)

OBS: Si nos hubiese dado falsa la inecuación entonces el resultado serían los

puntos internos.

b.- ^ ` ^ `02/),(02

93 22

!� �� ¸¹

·¨©

§

�

��¸¹

·¨©

§�

xyxyxx

xyDomyx

xDomDomf �

^ `2/),( ��z xxyyxDomf



c.- ^ `00/),( t�t yxyxDomf esto corresponde al primer cuadrante

2.- Supongamos que la temperatura T en cualquier punto (x,y) del plano viene dada

por )ln(),( 22 yxyxT � responda:

a.- Identifique para todo “c” posible y luego dibuje solo para

4ln0 cyc las curvas de nivel de la función temperatura.

b.- Hallar el dominio de la función 3

),(22

3 ),(

��

yx

eyxfyxT

.

Solución:

a.- ^ `cyxyxTNc � )ln(/),( 22

1)ln(22

22)ln(22 22

�� cc

ccyx

ey

exeyxeecyx esto es una

familia de hipérbolas con centro )0,0( donde ceba donde ��c .

Dibujemos para 144

14ln22

4ln

2

4ln

2

�� yx

ey

exc



Para 110 220

2

0

2

�� yxey

exc otra hipérbola donde 1 ba ; a

continuación sus gráficas respectivas:

b.- ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

��

� ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

�� ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

��

�

333 22

3 22

22

3 )ln(

22

3 ),( 22

yx

yxDom

yx

eDomyx

eDomDomfyxyxT

^ `03/),( 22 !�� yxyxDomf



3.- Supongamos que la temperatura T en cualquier punto � �zyx ,, del espacio

viene dada por: 3

60),,( 222 ��

zyxzyxT . Identifique para todo “k”

posible y luego dibuje solo para 20,15,5 k las superficies de nivel de la

función temperatura.

Solución:

3603

60/),,( 222222

�� ¿¾½

¯®

��

zyxk

kzyx

zyxTN k

222360 zyxk

�� Familia de esferas centradas en el origen con radio 360�

k

donde 03600360t

��t�

kk

k aplicando tabla de signos nos queda que

� @20,0�k .

Para )0,0,0(03206020 222222 � �� zyxzyxk

Para 13156015 222222 �� zyxzyxk una circunferencia centrada

en el origen de radio 1.

Para 935605 222222 �� zyxzyxk una circunferencia centrada

en el origen de radio 3. El dibujo será:



4.- Dibuje el gráfico de la función 224),( yxyxf � .

Solución:

Para ello haremos dos pasos:

Paso1) Curvas de nivel: ^ ` 14

4/),(22

22 �� cy

cxcyxyxfN c esta es

una familia de elipses centradas en el origen donde

� �f� ,04

cdondecbyca .



Paso2) Trazas

Plano xy (z=0) 004 22 � � yxyx en este plano solo vemos el origen de

coordenadas.

Plano yz (x=0)

zy 24 en este plano veremos una parábola centrada en (0,0)

cóncava hacia arriba.

Plano xz (y=0)

2xz en este plano veremos también una parábola centrada en

(0,0) cóncava hacia arriba.

La gráfica será:




1.- En cada caso escriba el conjunto dominio y la gráfica del mismo.

a.- )ln(),( 2 xyxyxf �

b.- 1

1),(

��

x

yxyxf

c.- 16

1),(xy

yxf

d.- 22

22 4),(

yxyxyxf�

��

e.- )ln(

14),(

22

22

yxyx

yxxyxf

��

�

��

f.- 42

22

2)4ln(),(

yyxyxg�

��

g..- 12

31 22

24

),(x

yxyxf

��

h. )639ln(),( 22 yxyxf ��

i.- 1

1),(

22

��

x

yxyxf

2.- Identifique las superficies de Nivel para todo “k” y luego dibuje solo para

4,1,1,0 �� k , donde zyxzyxF �� 22 )1(),,( .

3.- ),( yxV es el voltaje o potencial en un punto ),( yx del plano xy, las curvas de

nivel de V se llaman curvas equipotenciales. A lo largo de una curva tal, el



voltaje permanece constante. Para un potencial de 22168),(

yxyxV

��.

Identifique las curvas equipotenciales de manera general y luego dibuje solo

para 5

42 yc .

4.- Sea las funciones 8

)2(16

)1(16

)2(),,(222 �

��

��

yzxzyxF ;

4),( � xyxm ; )1.ln(),( � yxyxg .

a.- Identifique para todo “k” y luego dibuje solo para k 1, 41 las

superficies de nivel de la función ),,( zyxF .

b.- Encuentre y dibuje el dominio de ),(),(),(

yxmyxgyxP .

5.- Grafique las siguientes superficies:

a.- 22 )1(),( �� yxyxF

b.- 422 �� yxz

c.- 222 �� yxz

d.- 22 yxez ��



Capítulo 8: Funciones de Varias Variables:

Límite, Derivadas Parciales y sus aplicaciones…

1.- Límite de una función de dos variables:

H�� o Lyxflímoo yxyx ),(),(),( > HGG ��!� Lyxfyxyx oo ),(),(),(/0,0 .

2.- Definición: Sea la función ),( yxf una función de dos variables, los siguientes

límites son llamados límites iterados:

� � � �),(,),( yxflímlímyxflímlímoooo xxyyyyxx oooo

3.- Teorema: Si existen � � � �),(),( yxflímlímyyxflímlímoooo xxyyyyxx oooo pero

son diferentes, entonces ),(),(),( yxflímoo yxyx o no existe.

4.- Si una función ),( yxf tiene distintos límites a lo largo de dos trayectorias

distintas cuando ),( yx tiende ),( oo yx , entonces ),(),(),( yxflímoo yxyx o no existe.

5.- En el cálculo de un límite se puede pasar de coordenadas cartesianas a polares,

técnica que a veces tiene éxito.

Teorema: Si )(TM es una función acotada (en alguna bola con centro en el

origen) y )(R\ es una función que tiende a cero cuando R tiende a 0, entonces:

0)()(),( 00 oo RlímRflím RR \TMT .

6.- Continuidad de una función de dos variables: ),( yxf es contínua en ),( oo yx

si:

a.- ),( oo yxf existe

b.- ),(),(),( ooyxyx yxflímooo existe



c.- ),(),(),(),( ooyxyx yxfyxflímoo

o

OBSERVACIÓN: Si una de las tres condiciones no se cumple decimos que

),( yxf no es contínua en ),( oo yx .

Sea �o�2:f , supongamos que es discontínua en ),( 00 yx , si el

Lyxflím yxyx o ),(),(),( 00 entonces ),( 00 yx es una discontinuidad evitable y

podemos redefinir la función ),( yxf para que sea contínua en ),( 00 yx , ¿cómo

hacemos esto?

¯®

z

),(),(),(),(),(

),(00

00

yxyxLyxyxyxf

yxg

En caso de que ),(),(),( 00yxflím yxyx o no exista decimos que la discontinuidad es

no evitable o esencial y no podemos redefinir la función de forma tal que sea

contínua en dicho punto.

7.- Derivadas Parciales: La derivada parcial de ),( yxf con respecto a “x” es:

h

yxfyhxflímx

yxfh

),(),(),(0

��

ww

o y la derivada parcial de ),( yxf con

respecto a “y” es: h

yxfhyxflímy

yxfh

),(),(),(0

��

ww

o .

¿Cómo calculamos las derivadas parciales?

ww

xf

Derivamos ),( yxf con respecto a “x” pensando “y” constante.

ww

yf

Derivamos ),( yxf con respecto a “y” pensando ”x” constante.

OBSERVACIÓN: Todas las reglas de derivación se cumplen.



8.- Notación de las derivadas parciales:

xx zfxz

xf

ww

ww

y yy zfyz

yf

ww

ww

9 .- Derivadas de orden superior: Si ),( yxf es una función de dos variables,

entonces sus derivadas parciales yx fyf son también funciones de dos

variables, de modo que pueden volver a derivarse con respecto a “x” o “y”.

Ejemplo: ¸¹·

¨©§ww

ww

ww

xf

xxffxx 2

2

esto es derivar con respecto a “x” la primera

derivada respecto a “x”.

OBS: La notación subíndice se lee de izquierda a derecha y la notación de

parciales se lee de derecha a izquierda.

Así por ejemplo xyxyf que se lee de “izquierda a derecha”, primero derivamos

respecto a “x” luego respecto a “y” luego respecto a “x” y de último respecto a

“y”.

10.- Teorema de Clairaut: Sea �o�� 2: Df donde Dba �),( , si tanto la función

xyf como yxf son contínuas en D entonces ),(),( bafbaf yxxy .

11.- Regla de la Cadena:

CASO 1) Sea ),( yxfz una función de “x,y” diferenciable, donde

)(tgx y )(thy son funciones también diferenciables pero en “t”, entonces

“z” es una función de “t” diferenciable y su árbol será:



De aquí podemos deducir su derivada respectiva:

dtdy

yf

dtdx

xf

dtdf

ww

�ww

CASO 2) Sea ),( yxfz es una función de “x,y” diferenciable, donde

),( tsgx y ),( tshy son funciones también diferenciables pero en “s,t”,

entonces “z” es una función de “s,t” diferenciable y su árbol será:

De aquí podemos deducir sus derivadas respectivas:

sy

yf

sx

xf

sf

ww

ww

�ww

ww

ww

ty

yf

tx

xf

tf

ww

ww

�ww

ww

ww

12.- Aproximación lineal: En 2� , sea ),( yxfz su aproximación lineal será:

dzbafbaf �| ),(),( ** donde ybayfxba

xfdz '

ww

�'ww

),(),(

aax � ' * bby � ' *

En 3� , sea ),,( zyxfw su aproximación lineal será:

dwcbafcbaf �| ),,(),,( ***

donde zcbazfycba

yfxcba

xfdw '

ww

�'ww

�'ww

),,(),,(),,(

aax � ' * bby � ' * ccz � ' *



13.- Gradiente de una función: Si ),( yxf es una función de dos variables,

entonces su gradiente es la función vectorial f� definida por:

¸¹

·¨©

§ww

ww

�yf

xfyxf ,),(

Si ),,( zyxf es una función de tres variables, entonces su gradiente será:

¸¹

·¨©

§ww

ww

ww

�zf

yf

xfzyxf ,,),,( .

14.- Plano Tangente a una superficie: Sea kzyxf ),,( y ),,( 000 zyx un punto de

tangencia de la misma entonces el ),,( 000 zyxf� es perpendicular al plano

tangente a dicha superficie en dicho punto. Esto nos lleva a ver que el vector

normal del plano tangente a la superficie kzyxf ),,( en el punto ),,( 000 zyx es

),,( 000 zyxfnPT � .

La ecuación vectorial del plano tangente a la superficie kzyxf ),,( en el punto

),,( 000 zyx es:

0),,(),,( 00000 �� ozzyyxxzyxf

15.- Recta Normal a una superficie: La recta normal a la superficie kzyxf ),,( en

el punto ),,( 000 zyx es la recta que pasa por el punto de tangencia ),,( 000 zyx y es

perpendicular al plano tangente a dicha superficie en dicho punto por ello su

vector director es ),,( 000 zyxfVDT � y por lo tanto su ecuación simétrica será:

),,(),,(),,( 000

0

000

0

000

0

zyxzf

zz

zyxyf

yy

zyxxf

xx

ww

�

ww

�

ww

�



16.- Derivación implícita: Supongamos que “z” está dada en forma implícita como

una función ),( yxfz mediante una ecuación de la forma 0),,( zyxF . Esto

quiere decir que 0)),(,,( yxfyxF domfyx �� ),( . Si F y f son diferenciables,

entonces aplica la regla de la cadena para derivar la ecuación 0),,( zyxF y si

0zww

zF

entonces tendremos la siguiente fórmula:

zF

yF

yz

zF

xF

xz

wwww

�

ww

wwww

�

ww

.

17.- Derivada Direccional:

Teorema: Si f es una función diferenciable en 0x , entonces f tiene una

derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario

),,,( 21 nuuuu � y

uxfxfDu

�� )()( 00

Para n=2 será: � �21000000 ,),(),,(),( uuyxyfyx

xfyxfD

u�¸¹

·¨©

§ww

ww

Para n=3 será:

� �321000000000000 ,,),,(),,,(),,,(),,( uuuzyxzfzyx

yfzyx

xfzyxfD

u�¸¹

·¨©

§ww

ww

ww



18.- Teorema: Supongamos que f es una función diferenciable 0x , el valor máximo

de la derivada direccional llamada “tasa máxima de crecimiento o razón de

cambio máxima” es )( 0xf� y su dirección será la dirección del gradiente es

decir )( 0xfu � . El valor mínimo de la derivada direccional llamada “tasa

mínima de crecimiento o razón de cambio mínima” es )( 0xf�� y su

dirección será la dirección del menos gradiente es decir )( 0xfu �� .


1.- Calcule los siguientes límites:

a.- yxyxlím yx �

�o

22

)0,0(),(

Al evaluar tenemos 0022

)0,0(),( ��

o yxyxlím yx

Veamos si podemos factorizar para eliminar la indeterminación:

000))(()0,0(),()0,0(),(

22

)0,0(),( � � �

��

��

ooo yxlímyx

yxyxlímyxyxlím yxyxyx

b.- 22)0,0(),( yxxylím yx �o


22)0,0(),( �o yxxylím yx

Busquemos los límites iterados 00202200 ¸¹·

¨©§ ¸

¹

·¨©

§� ooo x

límyx

xylímlím xyx



00202200 ¸¹

·¨©

§ ¸

¹

·¨©

§

� ooo ylím

yxxylímlím yxy

parece ser que el límite vale “0”. Pero

busquemos una ruta que pase por )0,0( .

f �

� oo 0

2

0220xlím

xxxxlímxy xx

por lo tanto el 22)0,0(),( yx

xylím yx �o no

existe.

c.- 22

22

)0,0(),( yxyxlím yx �

�o

Al evaluar tenemos

00

22

22

)0,0(),( ��

o yxyxlím yx

Busquemos los límites iterados 1

2

2

022

22

00 ¸¹

·¨©

§ ¸

¹

·¨©

§

��

ooo xxlím

yxyxlímlím xyx

1

2

2

022

22

00 � ¸¹

·¨©

§ � ¸

¹

·¨©

§

��

ooo yylím

yxyxlímlím xxy

como los límites iterados son

diferentes quiere decir que 22

22

)0,0(),( yxyxlím yx �

�o no existe.

d.- 22)0,0(),(

yxxylím yx�

o


22)0,0(),( �

oyx

xylím yx

Apliquemos polares y tenemos

TT

TT2222022)0,0(),(

cos

cos

senRR

RsenRlímyx

xylím Ryx�

�

�oo



)(cos

cos2220TT

TTsenR

RsenRlímR�

�o 20

cosR

RsenRlímRTT �

o

0coscos

0

2

0 � �

oo TTTT senRlímR

senRlím RR

2.- Sea 22

23),(

yxyxyxf

�

, vea si la función es contínua en (0,0) en caso de no serlo

¿puede redefinirse la función para que sea contínua en todo 2� ?

Solución:

^ `)0,0()),(( 2 �� yxfCont

003

22

2

)0,0(),( �o yx

yxlím yx

veamos los límites iterados

0032022

2

00 ¸¹·

¨©§ ¸

¹

·¨©

§� ooo x

límyxyxlímlím xyx

0032022

2

00 ¸¹

·¨©

§

� ¸

¹

·¨©

§

� ooo ylím

yxyxlímlím yxy como los límites iterados son iguales

parece ser que el límite vale “0”.

Apliquemos coordenadas polares al límite.

)(cos

cos3cos

cos3222

23

02222

22

)0,0(),( TTTT

TTTT

senRsenRlím

senRRRsenRlím Ryx �

�

��

oo

02cos

cos3 2

0 �

o TTT senRlímR por lo tanto el límite existe y vale “0”.

Esto significa que podemos redefinir la función f(x,y) para que sea contínua en

todo 2� ¿cómo lo hacemos?



°¯

°®

z

z�

)0,0(),(0

)0,0(),(3),( 22

2

yx

yxyxyx

yxg

3.- Calcule por definición la derivada parcial de yxyxf 23),( .

Solución:

h

yxfyhxflímx

yxfh

),(),(),(0

��

ww

o

22222 363)2(3)(3),( yhxyhyxhxhxyyhxyhxf ��

hyhxyhlím

hyxyhxyhyxlím

xyxf

hh

2

0

222

0363363),( �

��

w

woo

xyyhxylím

hyhxyhlím hh 636)36(

00 � �

oo

4.- En cada caso hallar y

fyxf

ww

ww

.

a.- )ln(3),( 322 yxxyxf �

b.- )(4),( 32 yxtagyxf x �

c.- )sec(),( 2 yexyxf �

Solución:

a.-

32

232 23)ln(6yx

xxyxxxf

��

ww

32

22

32

22 93

3yx

yxyx

yxyf

�

�

ww

b-

xyxyxtgxf xx 2)(sec4)(4ln4 32232 �� ww



2322 3)(sec4 yyxyf x � ww

c- )sec(

)()sec()sec(2

2)()sec(2

22

2

22

y

yy

y

yy

exxextgex

exxextgex

xf

�

��

�

��

ww

)sec(2)()sec(

2

22

y

yyy

exeextagex

yf

�

��

ww

5.- En cada caso hallar xyfy

xf

www

ww 2

2

2

a.- yetgxxxyxf �� ln3),( 2

b.-

2252),( yxeyxyxf ��

Solución:

a.- xe

xx

xf y 2sec16 �� ww

xtgxxex

xex

xxx

fxx

f yy secsec216sec162

22

2

�� ¸¹·

¨©§ ��

ww

¸¹·

¨©§ww

ww

ww

xtgxexx

f y 222

2

sec216 �� ww

xexex

xyx

fyxy

f yy 222

secsec16 ¸¹·

¨©§ ��

ww

¸¹·

¨©§ww

ww

ww

w

b.- )2(2

225 xexyxf yx �� ww

> @ 2)2)(2(2)2(2222222 55

2

2yxyxyx exxeyxexy

xxf ��

ww

ww

)24(2 252

222

�� ww � xey

xf yx



> @ yxexyxexyyxy

f yxyx 2210)2(22222 45

2��

ww

ww

w

22

410 42

yxxyexyxyf �� ww

w

6.- En cada caso aplicar la regla de la cadena para hallar las derivadas indicadas.

a.- ¯®

� � 3

2 13),(

tytx

yxyxf )2(tfy

tf

ww

ww

b.- °¯

°®

�� uwewvuz

vwvuyvuwvux

zyxyxf),,(),,(),,(

),( 2

2

23

ufww

a.-

23116 txdtdy

yf

dtdx

xf

dtdf

�� ww

�ww

Sustituimos ¯®

� 3

1tytx

en la ecuación anterior:

23)1(6)( tttdtdf

��

30121823)12(6)2( 2 � ��

dtdf



b.-

El dibujo anterior es el árbol asociado a ),,( zyxf

uz

zf

uy

yf

ux

xf

uf

ww

ww

�ww

ww

�ww

ww

ww

uwweyuvxuf �� ww 0223 2

uwuw wevuweuvvuuf �� ww 3522 6)(6

7.- Demostrar que la función definida por )ln( 22 yxyz �� satisface la ecuación

0112 �

ww��

ww�

yz

yz

yxz

x. Sugerencia: Tome yvyxu � ;22 y aplique

regla de la cadena.

Solución:

Como yvyxu � ;22 uvz ln� � ; el

árbol asociado a la función es:

22

20)(ln2yx

xyuxuv

xv

vz

xu

uz

xz

� ��

ww

ww

�ww

ww

ww



)ln(21)(ln)2( 22

22

2

yxyx

yuyuv

yv

vz

yu

uz

yz

��

� ��

ww

ww

�ww

ww

ww

Ahora, 2

2222

2

222)ln(

212111yzyx

yxy

yyxxy

xyz

yz

yxz

x�¸¹

·¨©

§��

��

��¸¹

·¨©

§

��

ww��

ww�

2

2222

2222

)ln()ln(122y

yxyyxyyx

yyx

y ��

��

�

0)ln()ln(122 2222

2222 �

��

��

y

yxyxyyx

yyx

y

8.- Utilice diferenciales para aproximar 223 )97,3()01,3()98,1( � .

Solución:

Sea 223),,( zyxzyxf � queremos calcular )97,3;01,3;98,1(f

Sabemos por el punto (12) de la teoría que dwcbafcbaf �| ),,(),,( ***

donde 97,301,398,1 *** cba

Donde a,b,c son los enteros más cercanos por la izquierda o derecha según sea el

caso: 432 cba

100202,0298,1* �

� � � ' aax

100

101,0301,3* � � ' bby

100

303,0497,3* � � � � ' ccz

dwff �| )4,3,2()97,3;01,3;98,1(

)4,3,2(f 40432 223 �



zzfy

yfx

xfdw '

ww

�'ww

�'ww

)4,3,2()4,3,2()4,3,2(

22

3

22

32223

zyzx

zf

zy

yxyfzyx

xf

�

ww

�

ww

� ww

532

2542;

524

2532)4,3,2(;604323)4,3,2(

33222

�

ww

�

ww

�� ww

zf

yf

xf

125168

1003

532

1001

524

100260 �

¸¹·

¨©§ ��¸

¹·

¨©§ �� dw

65,38

1254832

12516840)4,3,2()97,3;01,3;98,1( | � �| dwff

9.- Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide

18222 �� zyx en el punto )45,3( � .

Solución:

Sea )2,2,2(18),,( 222 zyxFzyxzyxF � ��

)8,10,6()4,5,3( �� fnTangentePlanoNormal

PT

La ecuación vectorial del plano será: 0)8,10,6()4,5,3( �� zyx

Desarrollando tenemos 0)4(8)5(10)3(6 �� zyx

Haciendo distributiva 36810603285010186 �� zyxzyx

Simplificando nos queda que la ecuación lineal del plano tangente es:

18453 �� zyx

Ahora )8,10,6()4,5,3( �� fVDnormalrecta

DirectorVector

RN



La ecuación simétrica de la recta normal será: 8

410

56

3 �

�

� zyx

10.- Hallar la ecuación la recta normal a la superficie 0164 22 �� zyx que es

perpendicular al plano 422 �� zyx .

Solución:

Sea zyxzyxF 164),,( 22 ��

Sea el punto ),,( 00 ozyx el punto de tangencia por donde pasa la recta normal

buscada entonces:

),,( 00 oRN zyxFVDnormalrecta

DirectorVector

�

)16,2,8(),,()16,2,8(),,( 0000 � �� yxzyxFyxzyxF o

)2,1,2(422

� ��

nzyxplano

delnormalVector

Una recta es perpendicular a un plano cuando el vector director de la recta es

paralelo al vector normal del plano, es decir )21,2(),,( 00 � � DozyxF

4;28216

228

)21,2()16,2,8( 000

0

00 � �°¯

°®

� �

�� yxyx

yx DD

DD

D

Nos falta saber el valor de 0z , para ello recordemos que el punto de tangencia

siempre satisface la ecuación de la superficie es decir ocurre que:

201616160164240164 00022

02

02

0 � �� zzzzyx .



Ya tenemos el punto de tangencia )2,4,2(TP ;como la recta que queremos es

paralela al vector normal del plano quiere decir que podemos usar como vector

director de la recta normal el normal del plano es decir )2,1,2( � RNVD .

La ecuación simétrica de la recta buscada es:

224

22

��

� � zyx

11.- Sea la siguiente ecuación 232 333 �� xyzzyx que define a “z”

implícitamente hallar las derivadas parciales yzy

xz

ww

ww

.

Solución:

FORMA 1: Según el teorema del punto (16) la ecuación la igualamos a “0”

0232 333 �� xyzzyx el lado izquierdo lo llamamos “F(x,y,z)”

232),,( 333 �� xyzzyxzyxF por lo tanto se cumple que

� � � �

� ��

xyzyzx

xyzyzx

xyzyzx

zFxF

xz

��

��

��

wwww

�

ww

2

2

2

2

2

2 23

233336

FORMA 2: Al igual que en el cálculo de una variable, en funciones de varias

variables se pueden obtener las derivadas de manera implícita cuando se tiene

una ecuación que contiene todas las variables. La técnica es esencialmente la

misma: se derivan los términos en forma sucesiva, aplicando las reglas de

derivación correspondientes.



Para hallar xzww

se debe mantener “y” como constante y derivar implícitamente

respecto a la variable independiente “x”, tomando en cuenta que “z” es una

función que depende de “x,y”. Entonces, se tiene:

� �xx

xyzzyxww

w

��w )2(32 333

033306 22 ¸

¹·

¨©§

ww

��ww

��xzxyyz

xzzx

De aquí � � � �yzxxyz

xz 3633 22 �� ww

Luego,

� � � ��

� �xyz

yzxxyz

yzxxyzyzx

xz

��

��

��

ww

2

2

2

2

2

2 23

233336

Ahora para hallar

yzww

utilicemos la forma 2, se debe mantener “x” como

constante y derivar implícitamente respecto a la variable independiente “y”,

tomando en cuenta que “z” es una función que depende de “x,y”. Entonces, se

tiene:

� �

yyxyzzyx

ww

w

��w )2(32 333

033330 22 ¸

¹

·¨©

§ww

��ww

��yzxyxz

yzzy

Luego, � � � �xzyxyzyz 3333 22 �� ww

Por lo tanto,

� � � �xyzxzy

xzzxzy

yz

��

��

ww

2

2

2

2

3333



12.- Sea la función yxyxf 2cos),( y el punto ¸¹·

¨©§

4,2 SP con el vector )1,5( v

hallar )(PfDv

.

Solución:

Lo que nos piden es la derivada direccional de la función yxyxf 2cos),( en el

punto P y dirección v .

Por el teorema de la parte (17) de la teoría tenemos uxfxfDu

�� )()( 00 es

decir: uvvffD �¸

¹·

¨©§� ¸

¹·

¨©§

4,2

4,2 SS

� �senyyxyyxf �� cos2,cos),( 2

¸¹·

¨©§ � ¸

¹

·¨©

§¸¹·

¨©§

¸¹·

¨©§��¸

¹·

¨©§ ¸

¹·

¨©§� 2,

21

44cos22,

4cos

4,2 2 SSSS senf

2615 22 � v )1,5(261

�v

vvu

)1,5(2,

21

261)1,5(

2612,

21

4,2

4,2 �¸

¹·

¨©§ � �¸

¹·

¨©§ � �¸

¹·

¨©§� ¸

¹·

¨©§

uvvffD SS

2621

21

2612

25

2611)2(5

21

261

4,2 � ¸

¹·

¨©§ � ¸

¹·

¨©§ �� ¸

¹·

¨©§ SfD

v

13.- Sea xyyxyxf 22 2),( � encuentre en el punto )3,1( :

a.- La dirección de mayor y menor crecimiento.

b.- La Tasa máxima y mínima de crecimiento.

Solución:

a.- La dirección de mayor crecimiento de ),( yxf en el punto )3,1( es:

)3,1(f�



� �xyxyxyyxf 4,22),( 22 ��

� � � � � �13,24121,1863141,32312)3,1( 22 �� f

La dirección de menor crecimiento de ),( yxf en el punto )3,1( es:

)13,24()3,1( �� f

b.- La tasa máxima de crecimiento es 7451324)3,1( 22 � �f

La tasa mínima de crecimiento es 7451324)3,1( 22 � �� f




1.- Hallar los siguientes límites:

a.- 22

32

)0,0(),( yxyxlím yx �o

b.- 22

2

)0,0(),(5

yxyxlím yx�

o

c.- 22

2

)0,0(),(7

yxylím yx �o

d.- yx

yxyxlím yx ��

o

22

)0,0(),(2

e.- 22

22

)0,0(),()(

yxyxsenlím yx �

�o

f.- 22)0,0(),( yxyxlím yx �

�o

g.- 26

3

)0,0(),( yxxylím yx �o

h.- 22

22

)0,0(),( 3312

yxyxlím yx �o

2.- Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

a.- °¯

°®

z�

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 42

2

yx

yxyx

yxyxf



b.- °¯

°®

z�

)0,0(),(0

)0,0(),(3),( 22

2

yx

yxyxyx

yxf

3.- Calcular en cada caso yfy

xf

ww

ww

por definición:

a.- yxyxf 3),(

b.- ysenxyxf 3),(

4.- Calcular usando reglas de derivación en cada caso yfy

xf

ww

ww

:

a.- 243 )ln(),( xyxyxf ��

b.- 22),(yx

xyyxf�

c.- yxxyarctgyxf 74)(),( ��

d.- yxyxf ln2

9),( �

e.- ³ 3

),(y

x

sentdteyxf

5.- Dada ¸¹·

¨©§

xyz ln pruebe que 0

ww

�ww

yzy

xzx .

6.- Dada )ln( 22 yxyxz �� pruebe que 2 ww

�ww

yzy

xzx .

7.- Hallar en cada caso xyfww

w2

:



a.- 22),( yxyxf �

b.- yxyxf ),(

c.- 22

),( yxexyyxf ��

8.- Dada 22ln yxz � pruebe que 02

2

2

2

ww

�ww

yf

xf

.

9.- En cada caso hallar la derivada direccional de la función en el punto y vector

dados:

a.- 22 4),( xyyxyxf � )2,1(P )1,2( � v

b.- )ln(),( yxyxf � )3,1(P )3,4( � v

c.- 222 2),,( zxzyxyxzyxf �� )1,1,2(P )2,2,1( � v

10.- La temperatura en cualquier punto está dada por xyxyxT �� 22 2),( .

a) ¿Cuál es la razón de cambio máximo en el punto � �2,1� .

b) ¿En qué dirección cambia con menor temperatura en el punto anterior?

11.- Suponga que sobre una cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está

dada por xyzxyxzyxV �� 35),,( 2 . Determinar:

a.- La razón de cambio del potencial eléctrico en el punto � �3,3,3 �P en la

dirección del vector � �1,2,2 w .

b.- ¿En qué dirección cambia con menor velocidad de V en P .

c.- ¿Cuál es la razón máxima de cambio en el punto P ?



12.- Sea )1.ln(),( � yxyxg . ¿Cuál es la tasa mínima de crecimiento de la

función ),( yxg en el punto ¸¹·

¨©§

41,8 ?

13.- En cada caso utilice diferenciales para aproximar

a.- 81,3)02,1(

b.- 22 )04,4()98,2().04,4).(98,2( �

c.- 1)7,2()09,1().01,3( 22 ��

d.- 22 )97,2()03,2(2 �

14.- La ecuación zzzxy ln. 32 �� define a "" z implícitamente hallar: xzww

y yzww

15.- La siguiente ecuación define a la ""z implícitamente:

0)..(..2 �� zyxsenezy yx . Calcular yzww

.

16.- La siguiente ecuación define a la “z” implícitamente: zxzxy yx ln..2 � .

Calcular yz

xzww

ww ; .

17.- La siguiente ecuación define a la ""z implícitamente:

)(2222 zyxzyx � �� . Calcular yzy

xz

ww

ww

.

18.- Dada la ecuación 0,ln »¼

º«¬

ª¸¹

·¨©

§xz

yxF ; siendo F una función derivable donde z

es función implícita de yx, . Pruebe que yzy

xzxz

ww

�ww

.



19.- Sea �o�2:G diferenciable y �o�2:f / )(.),( 22 yxGyyxf � .

Verificar que se cumple la siguiente igualdad: 2.1.1yf

yf

yxf

x

ww

�ww

(Sug: Llame 22 yxu � ).

20.- Sea la función senyxyxf .cos),( y � �°°®

�

2

2

1ln),(

).cos(),(

stsy

sttsx .Calcular

)0,1(sfww .

21.- Sea ),( yxfu , donde tetsx s cos.),( y sentetsy s .),( .

Muestre que: »»¼

º

««¬

ª¸¹·

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¸¹

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§ww

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¨©§ww �

222

22

.tu

sue

yu

xu s .

22.- Sea 222),,( zyxzyxw �� pruebe que � �2

.2,r

rrrw

ww T

Donde °¯

°®

rrzrsenryrrx

),(),(

cos),(

TTTTT

23.- Sea f derivable y sea )(ufw donde zyxu 32 �� . Pruebe que se

cumple:uw

zw

yw

xw

ww

ww

�ww

�ww 6

24.- Sea f derivable y sea )(Ufw donde U = 222 zyx �� . Pruebe que se

cumple:

2222

¸¹

·¨©

§ww

¸¹·

¨©§ww

�¸¹

·¨©

§ww

�¸¹·

¨©§ww

Uw

zw

yw

xw

25.- Sea ),( yxfz , donde TT cos.),( rrx y TT senrry .),( .



a.- Calcule rzww y

Twwz

b.- Muestre que: 2

2

222

.1¸¹·

¨©§ww

�¸¹·

¨©§ww

¸¹

·¨©

§ww

�¸¹·

¨©§ww

Tz

rrz

yz

xz .

26.- Muestre que toda recta normal a la esfera 2222 azyx �� pasa por el centro

de dicha esfera.

27.- Sea la superficie 1. zyx . Hallar la ecuación simétrica de la recta normal a

dicha superficie en el punto ¸¹·

¨©§

21,2,1 .

28.- Sea la superficie 194

22

2

��zyx

. Hallar la ecuación simétrica de la recta

normal a dicha superficie, sabiendo que dicha recta es perpendicular al plano

101 �� zyx .

29.- Hallar el plano tangente a la superficie 22 3 yxyxz �� que sea perpendicular

a la recta zyx � 132 .

30.- Hallar la recta normal al hiperboloide 12 222 �� zyx la cual es paralela a la

recta que une los puntos � �0,1,3 �A y � �6,3,5B .

31.- Muestre que la ecuación del plano tangente al paraboloide elíptico

2

2

2

2

by

ax

cz

� en el punto � �ooo zyx ,, puede escribirse como:

czz

byy

axx ooo �

� 22

.2.2 .



32.- ¿En qué punto de la gráfica del paraboloide 22 zxy � el plano tangente es

perpendicular a la recta zyx

��

��

15

12

?

33.- Hallar los puntos de la superficie 02 �� zxzxyzxy en los que el

plano tangente es paralelo al plano xy .

34.- Sea la función zyxzyxf 164),,( 22 �� .

a.- Hallar la razón de cambio en el punto � �5,4,3P en la dirección

kjiv ˆˆˆ ��

b.- Hallar la tasa mínima de crecimiento en el punto � �2,0,1P .

c.- Hallar el plano tangente a la superficie 0),,( zyxf que es paralelo al

plano 422 �� zyx .

35.- Sea la función 222 2),,( zyxzyxf �� , encuentre la razón de cambio de

),,( zyxf en el punto )1,0,1( � en la dirección del vector normal del plano

13 �� zyx .

36.- Pruebe en 2� , que ),(),( 0000ˆ yxxfyxfDi ww

),(),( 0000ˆ yxyfyxfD j ww

37.- Pruebe en 3� , que ),,(),,( 000000ˆ zyxxfzyxfDi ww

),,(),,( 000000ˆ zyxyfzyxfDj ww



),,(),,( 000000ˆ zyxzfzyxfD

k ww

38.- Si ),( yxfz , donde tsytsx � � pruebe que:

tz

sz

yz

xz

ww�

ww

¸¹

·¨©

§ww

�¸¹·

¨©§ww

22

39.- Sea ),( atxatxfz �� , pruebe que:

2

2

2

2

xza

tz

ww

ww

Sug: Haga atxvyatxu � �



Capítulo 9: Funciones de Varias Variables:

Máximos y Mínimos…

Máximos y Mínimos Relativos…

1.- Sea �o�2:f . Decimos que f alcanza un “mínimo relativo” en el punto

),( oo yx si existe un entorno V de ),(),(:/),( oooo yxfyxfVxyx t�� .

2.- Sea �o�2:f . Decimos que f alcanza un “máximo relativo” en el punto

),( oo yx si existe un entorno V de ),(),(:/),( oooo yxfyxfVxyx d�� .

3.- Llamamos a ),( oo yx punto crítico (candidato a ser máximo, mínimo o punto

silla) de la función f si ocurre que:

°°¯

°°®

ww

ww

� �0),(

0),()0,0(),(

oo

oo

oo

yxyf

yxxf

yxf .

Criterio de la Segunda Derivada…

4.- Sea �o�2:f , ),( oo yx un punto crítico de la función y 2Cf � es decir

las mixtas son iguales. Definamos la matriz Hesiana como:

¸¹

·¨©

§

yyyx

xyxx

ffff

yxH ),( . Definimos el ),(det),( oooo yxHyx ' .

a.- Si 0),(0),( !!' ooxxoo yxfyyx entonces en ),( oo yx hay un

mínimo relativo.



b.- Si 0),(0),( �!' ooxxoo yxfyyx entonces en ),( oo yx hay un

máximo relativo.

c.- Si 0),( �' oo yx entonces en ),( oo yx es un punto silla (punto donde hay

cambio de concavidad).

d.- Si 0),( ' oo yx no hay decisión acerca del punto ),( oo yx , y debemos usar la

definición (ver puntos 1 y 2).

Máximos y Mínimos Absolutos…

5.- Para calcular los valores máximos y mínimos absolutos de una función continua

f sobre un conjunto cerrado y acotado D se realizan los siguientes pasos:

PASO 1: Determinar los puntos críticos de f en el interior de D .

PASO 2: Calcular los extremos de f en la frontera de D .

PASO 3: Elaborar una tabla con los puntos hallados en el paso 1 y 2 con

sus respectivos valores de f en dichos puntos. El valor más grande es el valor

máximo absoluto y el más pequeño será el valor mínimo absoluto.

OBS: Recordemos de Cálculo I,

Sea f una función definida en el intervalo > @ba, los puntos críticos (o

candidatos a ser máximos o mínimos) son:

1.- Puntos fronteras: ax y bx (esto es en el caso de que el

intervalo sea cerrado, si es semiabierto habrá un punto frontera y si el

intervalo es abierto no habrán puntos fronteras).

2.- Puntos estacionarios = > @^ `0)(/, c� cfbac

3.- Puntos singulares = > @^ �c� nodfbad )(/,



Lagrange… (Método para calcular máximos y mínimos de f sobre fronteras).

6.- CON 1-RESTRICCIÓN:

En 2� . Si queremos calcular valores máximos y mínimos de ),( yxf sujeta a la

restricción cyxg ),( se procede así:

PASO1: Determinar todos los valores de O,, yx tales que:

°°®

� �

cyxggf

),(O

(Donde gf � � O se lee: El gradiente de la función a optimizar es igual a

landa veces el gradiente de la función restricción)

PASO2: Evaluar f en todos los puntos ),( yx que surjan del PASO 1. El más

grande de esos valores es el máximo valor de f y el más pequeño es el mínimo valor

de f .

En 3� . Si queremos calcular valores máximos y mínimos de ),,( zyxf sujeta a la

restricción czyxg ),,( se procede así:

PASO1: Determinar todos los valores de O,,, zyx tales que:

°°®

� �

czyxggf

),,(O

PASO2: Evaluar f en todos los puntos ),,( zyx que surjan del PASO 1. El más


de f .



7.- CON 2-RESTRICCIONES:

En 2� . Si queremos calcular valores máximos y mínimos de ),( yxf sujeta a las

restricciones cyxg ),( y kyxh ),( se procede así:

PASO1: Determinar todos los valores de 21,,, OOyx tales que:

°¯

°®

��

kyxhcyxg

hgf

),(),(

21 OO

PASO2: Evaluar f en todos los puntos ),( yx que surjan del PASO 1. El más


de f .

En 3� . Si queremos calcular valores máximos y mínimos de ),,( zyxf sujeta a las

restricciones czyxg ),,( y kzyxh ),,( se procede así:

PASO1: Determinar todos los valores de 21,,,, OOzyx tales que:

°¯

°®

��

kzyxhczyxg

hgf

),,(),,(

21 OO

PASO2: Evaluar f en todos los puntos ),,( zyx que surjan del PASO 1. El más

grande de esos valores es el máximo valor de f , y el más pequeño es el mínimo

valor de f .




1.- Hallar los extremos de la función 3),( 22 �� yxyxf por definición.

Solución: Para resolver este estilo de problemas realizamos dos pasos:

Paso 1) Hallar los puntos críticos ),( yxf . Para ello hacemos el gradiente igual

al vector nulo.

)0,0()2,2(),( � yxyxf

¯®

0202

yx

)0,0(),( � yx

Paso 2) Clasificar los puntos críticos, en el problema nos dice que se haga por

definición.

3300)0,0( 22 �� f

Nótese que la primera parte de la función 022 t� yx (*) ¿Qué le falta a 22 yx �

para que sea igual a 3),( 22 �� yxyxf ? Le falta un “3”. Sumemos 3 a ambos

lados de la desigualdad (*) nos queda:

��t�� 30322 yx 3322 t�� yx )0,0()0,0(),( �t� fyxf es mínimo.

2.- Hallar y clasificar los puntos críticos de la función xyyxyxf �� 22),( .

Solución: Para resolver este estilo de problemas realizamos dos pasos:

Paso1) Hallar los puntos críticos ),( yxf

)0,0()2,2(),( �� xyyxyxf

¯®

� �

0202

xyyx

)0,0(),( � yx

Paso 2) Clasificar los puntos críticos. Usemos el criterio de la segunda derivada.



Construyamos las matriz Hesiana. ¸¹

·¨©

§

yyyx

xyxx

ffff

yxH ),(

yxf x � 2 21 � � xxxy fyf

xyf x � 2 21 � � yyyx fyf ¸¹

·¨©

§�

� �

2112

),( yxH

3142112

)0,0(det)0,0( � �

� '� H .

Como 02)0,0(03)0,0( ! ! ' xxfy entonces en )0,0( hay un

mínimo.

3.- Hallar los extremos absolutos de:

33 8248),( yxyxyxf �� en °¯

°®

d�tt

2

00

yxyx

D .

Solución: Este ejercicio necesita

tres pasos para su

resolución. Nótese que la región

D es el triángulo dentro de las

fronteras x=0;y=0; y=2-x, (ver

figura).

Paso1) Hallamos los puntos críticos en el interior ¨ del conjunto D.

)0,0()2424,2424(),( 22 �� xyyxyxf



°°®

�

�

0242402424

2

2

xyyx

°°®

�

��

0)(0)(

2

2

xyiiyxi

d e s p e j a n d o� de la (i) “y” 2xy �

sustituimos en (ii)

0100)1(00)( 33422 � � �� xoxxxxxxx

podemos ver por Rufini que 013 �x solo tiene una solución 1 x .

Estudiemos los dos casos:

Caso 1) 0 x sustituimos en (i) y nos queda 02 xy el primer punto es

)0,0( pero este punto no pertenece al interior de D.

Caso 2) 1 x sustituimos en (i) y nos queda 1122 xy el segundo punto

es )1,1( pero este punto tampoco pertenece al interior de D (de hecho se

encuentra en la mitad de la hipotenusa del triángulo D).

Conclusión: No hemos encontrado puntos críticos en el interior del conjunto D

Paso 2) Buscar extremos en la frontera de D.

^ ` ^ ` ^ `xyyxFrontD � � � 200 . Para cada frontera buscamos los

extremos.

0 x está restringida en el intervalo > @2,0�y , sustituimos en la función

original y nos queda )(88.0.240.8),0( 333 yhyyyyf �� . Ahora el

problema se reduce a buscar extremos en la función > @2,08)( 3 � yyyh .

Puntos fronteras 2;0 yy

Puntos estacionarios

= > @^ `0)(/2,0 c� yhy > @2,00024)( 2 � � c yyyh

Puntos singulares no existen porque la primera derivada es un polinomio.



¯®

� �

� )2,0(2)0,0(0

02

1

PyPy

x

0 y está restringida en el intervalo > @2,0�x , sustituimos en la función

original y nos queda )(80.80..248)0,( 333 xgxxxxf �� . Ahora el

problema se reduce a buscar extremos en la función > @2,08)( 3 � xxxg

Puntos fronteras 2;0 xx


= > @^ `0)(/2,0 c� xgx > @2,00024)( 2 � � c xxxg


¯®

� �

� )0,2(2

)0,0(00

3PxyaPx

y

xy � 2 esta restringida en el intervalo > @2,0�x , sustituimos en la función

original y nos queda

)(6414472)2.(8)2.(.248)2,( 233 xSxxxxxxxxf �� . Ahora

el problema se reduce a buscar extremos en la función

> @2,06414472)( 2 �� xxxxS

Puntos fronteras 2;0 xx


= > @^ `0)(/2,0 c� xSx > @2,010144144)( � � � c xxxS


°¯

°®

� � � � � � � � �

�� )1,1(1121)0,2(0222)2,0(2020

2

4PyxyaPyxyaPyx

xy



Paso 3) Tabla de valores.

P(x,y) 33 8248),( yxyxyxf ��

(0,0) 0

(0,2) 64 Valor máximo absoluto

(2,0) 64 Valor máximo absoluto

(1,1) -8 Valor mínimo absoluto

4.- (Lagrange) Calcular los extremos de la función 22 2),( yxyxf � sobre el

círculo 122 � yx .

Solución: Cuando tengamos que optimizar una función sujeta a UNA

FRONTERA lo ideal es utilizar Lagrange.

¿Qué hacemos? Identificamos la función a optimizar (maximizar o minimizar

según sea el caso) e identificamos la función restricción. En este problema es

sencillo porque nos dicen los extremos de 22 2),( yxyxf �

indicándonos que esta es la función a optimizar y cuando nos dice sobre el

círculo 122 � yx quiere decir que esta es la restricción.

Llamemos el lado izquierdo de 122 � yx como la función ),( yxg es decir,

22),( yxyxg � .

Aplicando Lagrange tenemos: gf � � O )2,2()4,2( yxyx O �¯®

�yyxxOO

2422

a este último sistema le agregamos la restricción y nos queda:



°¯

°®

�

�

1)(24)(

22)(

22 yxiiiyyii

xxiOO

simplificando las dos primeras ecuaciones nos queda

°¯

°®

�

�

1)(2)(

)(

22 yxiiiyyii

xxiO

O de la (i) obtenemos que 0 � xx O

)1(0100)1( � � �� OOO oxx

Caso 1) )1,0()1,0(11)(0 212 ��r � � PyPyyiiix

Caso 2)

)0,1()0,1(11)(02)(1 432 ��r � � � � PyPxxiiiyyyiiO

Hacemos la tabla con los puntos hallados:

P(x,y) 22 2),( yxyxf �

(0,1) 2Valor máximo absoluto

(0,-1) 2Valor máximo absoluto

(1,0) 1 Valor mínimo absoluto

(-1,0) 1 Valor mínimo absoluto

5.- (Aplicación con Lagrange) Determine los puntos de la esfera

4222 �� zyx que estén más cercano y más alejados del punto )1,1,3( � .

Solución: La función a optimizar es distancia del un punto cualquiera ),,( zyx al

punto )1,1,3( � , esto es:

222 )1()1()3(),,(:. �� zyxzyxdOF



Pero trabajar con esta función puede volverse tedioso por las derivadas parciales

que involucran raíces en el denominador. Así que usaremos el truco de utilizar

como función a optimizar:

� � 2222

2222 )1()1()3()1()1()3(),,(:. �� zyxzyxdzyxFOF y

luego en la tabla cuando busquemos la verdadera distancia sacaremos la raíz

cuadrada.

La restricción es que los puntos deben estar en la esfera 4222 �� zyx por

ello llamemos 222),,( zyxzyxg �� . Entonces aplicando Lagrange

tenemos:

> @°¯

°®

� � �

� �� zzyyxx

zyxzyxgFOOO

OO2)1(22)1(22)3(2

)2,2,2()1(2),1(2),3(2 a

este sistema agregamos la restricción y simplificamos las primeras tres

ecuaciones:

O

O

O

OOO

��

�

�

�

°°¯

°°®

��

� � �

11

11

13

4)(1)(1)(

3)(

222 z

y

x

zyxivzziiiyyiixxi

41

11

11

3)(222

¸¹·

¨©§��

�¸¹·

¨©§�

�¸¹·

¨©§�

�OOO

ivenssustituímo

4)1(

1)1(

1)1(

9222

��

��

��

OOO

OOOO

�r �� 2

1112111)1(

4114

)1(11 2

2 #



112;

112;

116

2111

�

� �� zyxPara O

112;

112;

116

2111 �

�� zyxPara O

P(x,y) 222 )1()1()3(),,( �� zyxzyxF Fd

Punto más alejado

¸¹

·¨©

§ ��112,

112,

116

28,26 31,526,28

Punto más cerca

¸¹

·¨©

§ �112,

112,

116

1,73 31,173,1



Ejercicios propuestos:

Máximos y Mínimos relativos…

1.- Hallar y clasificar los puntos críticos en:

a.- 22 2),( yxyxyxf ��

b.- xyyxyxf 722),( 22 ��

c.- 222),( xyeyxf ��

d.- 2323 4164),( yyxxxyxf ��

e.- )1ln(),( 22 �� yxyxf

f.- 13),( 2323 �� xyxyxyxf

g.- 33 8248),( yxyxyxf ��

Valores máximos y mínimos absolutos…

2.- Hallar los extremos absolutos de la función ),( yxf en la región D.

a.- 22 32),( yxyxyxf �� en ^ `20;2/),( dddd� xyxyxD

b.- 22222),( yxyxyxf �� en °¯

°®

d�tt

9

00

yxyx

D

c.- 23 32),( yxyxyxf �� en ^ 31;42/),( dd�dd� yxyxD

d.- 1442),( 22 �� yyxxyxf en °¯

°®

tdt

xy

yx

D220

Multiplicadores de Lagrange....



Con una restricción…

3.- Hallar los extremos de xyyxf ),( sujeto a la restricción

^ 1/),( 22 � yxyxS .

4.- Minimizar 22),( yxyxf sujeta a ^ 1/),( � yxyxS .

5.- Hallar los máximos y mínimos de zyxzyxf 52),,( �� sobre la esfera

.30222 �� zyx

Aplicaciones…

6.- Hallar el punto más cercano al punto )4,1( que está sobre la parábola xy 22 .

7.- Halle dos números no negativos cuya suma sea igual a “1” y que hagan que la

suma de sus cuadrados sea mínima.

8.- Hallar tres números reales cuya suma es “9” y que la suma de sus cuadrados sea

lo más pequeña posible.

9.- Sobre la superficie 196

222

�� zyx determine el punto más cercano y más

alejado al plano 2881243 �� zyx .

10.- Entre todos los triángulos con área dada “A”, hallar aquel que su hipotenusa

tenga el valor mínimo.

11.- En los siguientes ejemplos hallar los valores máximos y mínimos absolutos de

las siguientes funciones sobre los siguientes conjuntos cerrados y acotados.

a.- 22),( yxyxf � en ^ `10)3()3(),( 22 d�� yxyxD .

b.- yyxyxf 23),( 22 �� en ^ 1),( 22 d� yxyxD



SUG: Halle los puntos críticos en el interior del conjunto D. Luego calcule los extremos a

través de lagrange por último elabore una tabla con todos los valores el más grande será el

máximo absoluto y el más pequeño el mínimo absoluto.

12.- Determine el punto más alejado del plano 02 �� zyx sobre la gráfica

2210 yxz �� .

13.- Una placa circular tiene forma 122 d� yx ; se calienta de modo que la

temperatura en cualquier punto ),( yx es xyxyxT �� 22 2),( . Determine los

puntos más caliente y más frío de la placa. (Siga la sugerencia del ejercicio 11).

14.- ¿Qué puntos de la superficie de ecuación 14 222 �� zyx están más cercanos

al eje z?

15.- Encuentre los puntos sobre el cono 222 yxz � mas cercanos al punto )0,2,4( .

Con dos restricciones…

16.- Hallar los máximos y mínimos absolutos de la función zxzyxf � 2),,( en la

intersección del cilindro dado por 122 � yx con el plano 0 � zx .

17.- Aplicación…

Encontrar usando los Multiplicadores de Lagrange, los puntos sobre la curva

intersección de las superficies ¯®

��

1122

zyxyx

que están más cerca y más lejos

del origen de coordenadas.



Respuestas del Capítulo 1:

2) a.- Si son colineales

b.- No son colineales

c.- Si son colineales

d.- Si son colineales

Respuestas del Capítulo 2:

1.- a) 4

b) 151,26°

c) 65

d) 27

e) 53

f) � � � ��

�� ,,;,, uu DA

g) 4� D

h) � � ),,(,, ��

2.- 4� E ;

3.- 68

4.- a) �� yx b) �� yx

5.- ¸¹·

¨©§ �

313,

32,

34

6.- a) SI ES C.L. b) SI ES C.L c) NO ES C.L.

d) SI ES C.L. e) NO ES C.L.



7.- Ambas son iguales a 58 .

8.- a) 6 b) 37 c) 1313

9.- 56.

10.- a) -5 b) -4 c) 594

11.- 53

r D

15.- El ángulo entre )(; vuu � es 3S .

16.- vv

vuA .2¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§�

y vv

vuuB .2¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§�

�

21.- � �4,5,1424

1 � c y � �4,5,1424

2 �� c

22.- 3S

23.- � �1,1,251 � v y � �1,1,252 �� v

24.- ¸¹·

¨©§�

111,

111,

113c y ¸

¹·

¨©§

��

��

��

,,d

25.- a) 281 b) 9 c) 26,56°

27.- 9

28.- a) 342 b) 2.197

29.- a) 3.125 b) 73,79°

30.- ��r��



31.- a.- 3, ¸¹·

¨©§

��

�� , b.- ¸

¹·

¨©§ �

49222,

49111,

4974;

737

c.- kji ˆ3

1ˆ3

1ˆ3

1,3

1��

32.- )2,4,2(

Respuestas del Capítulo 3

1.- a.- Se cortan en el punto (3,3,-3) y son perpendiculares.

b.- Son perpendiculares. Se cortan en el punto (1,2,1)

c.- Son rectas perpendiculares y oblicuas, es decir, se cruzan.

d.- Sugerencia: Vea que no son paralelas y que no se intersectan.

2.- 423 �� zyx

3.- 5

3

4.- a.- �� zyx b.- Tiene infinitas soluciones

c.- �� zyx d.- Se procede igual al ejercicio (b)

e.- � � yx

6.- a.- ),,( �� b.- ),,(),,( �� y

c.- ),,(),,( �� y



7.- a.- 1;1

.. �

yzxRISE �

b.- 12

825

23

.. �

� zyxRISE �

c.- 4

413

102

.. �

�

zyxRISE �

8.- 6a) º26,35 T ,

6b) º97,61 T

6c) º78,56 T ,

9.- a.- 942

1 b.-

21

10.- a.- S972 b.- 3

32S

c.- 221378 S

Problemas de desarrollo:

11.- �� zyxπ �

12.- 1012

32

1.. �

��

�

zyxLSE �

13.1- 7

14.- 9)2()3()1(.. 2221 �� zyxECE �

y 932

311

37..

222

1 ¸¹·

¨©§ ��¸

¹·

¨©§ ��¸

¹·

¨©§ � zyxECE �



15.- ¸¹·

¨©§ �

65arccos

16.- �� zyx

17.- �� zyx

18.- Los otros vértices son ),,(,),,( �� y el área es 318 .

19.- Volumen 68

20.- 610

21.- 336176 � �� zyx y 922 �� zyx

22.- 12

26

11:1 �

�

�

�� zyxL

23.- 23.1) ;2

213

1 zyx

�

�

23.2) � ba

23.3) .5;9 � ba

24.- Los vértices son ),,(),,(),,( �� y y el área es �� .


1.- Cono: � � 106)6(4 222 dd�� zzyx

Paraboloide: � � 1021021 22 dd� �� zzyx

Esfera: 181064)10( 222 dd �� zzyx

2.- Cono: 62)2(41 222 dd� � xxzy ;



Hiperboloide de una hoja: 1463

64)6(

4

222

dd�

�� xxzy

;

Hiperboloide de dos hojas:

1412136

)6(144

)(7 222

dd �

��

� xxzy

3.- Cono: � � �dd�� yyzx )(

Paraboloide: � � �dd�� yyzx

4.- En las siguientes respuestas sólo aparecen las ecuaciones canónicas de las

cuádricas y su identificación, usted debe esbozar la gráfica, hallar los valores de

“a,b,c” el centro, vértices según sea el caso, el eje donde está girando etc. Como

se hizo en clase.

4a) Hiperboloide de dos hojas: 142

222 ��

yzx

(Elíptico)

4b) Paraboloide Elíptico: 2

12

)3( 22 �

�� yzx

4c) Hiperboloide de dos hojas: 142525

222

��zyx

(Circular)

4d) Paraboloide Elíptico: 23

2)2(

52

)1( 22

� �

�� xzy

4e) Paraboloide Elíptico: yzx �

94

22

4f) Hiperboloide de dos hojas circular:



1)1()2(4

)5( 222

�� zyx

4g) Paraboloide Circular: 49

4)4(

94

)1( 22

� �

��

� yzx

4h) Hiperboloide de dos hojas: 14

)4(4

)1(22

2 �

��zyx

(Elíptico)

5.- Un hiperboloide de una hoja con centro en ¸¹·

¨©§ �1,

31,2 y ecuación canónica:

13

40)2(

940

)31(

940

)1( 222

�

��

�� xyz .

Obs: Recuerde buscar los valores de “a,b,c”, dibujar y colocar los vértices.

6.- Paraboloide circular: 224 zyx � �

7.- 03264816 22 �� yxyzzy

8.- 0640010040040064256256 2222 �� xyxyxzxz

9.- 0531266 22 �� xyzxxz

10.- 3842550253216 222 �� zzyyxx


2.- a.- ¸¹·

¨©§

45,3 S

b.- ¸¹·

¨©§

4,5 S

c.- ¸¹·

¨©§�

35,6 S

d.- � �S2,1

3.- a.- ¸¹

·¨©

§ ��23,

233

b.- ¸¹

·¨©

§

223,

223



c.- � �1,3� d.- ¸¹

·¨©

§

235,

25

4.- a.- � �)2(,6 arctg�S b.- ¸¹·

¨©§

6,4 S

c.- ¸¹·

¨©§

45,3 S

d.- ¸¹·

¨©§

43,23 S

e.- ¸¹·

¨©§

65,3 S

5.- a.- Circunferencia de radio 9. b.- recta x=o para y<0

c.- la recta xy 3 d.- la recta 1� y

e.- la recta 2 y f.- la recta 42 � � yx

6.- 2S

7.- b.- ),2()0,2( S c.- S�8

9.- 1�Se }

10.- m=1 y L=8.

11.- 3

32)32ln(16 S��

12.- 33

4�

S

13.- a.- El área dentro del círculo R=1 y fuera de la cardioide.

b.- ¸¹·

¨©§ �

¸¹·

¨©§

2,1

2,1 SS

14 . b.- ¸¹·

¨©§

¸¹·

¨©§

35,

23

3,

23 SS

c.- S



15.- a.- 9)3()3( 22 �� yx

b. 199

22

�yx

16.- S

17.- a.-

b. ¸¹·

¨©§ �

¸¹·

¨©§

¸¹·

¨©§

3,1

35,1

3,1 SSS

c.- 23

3�

S

18.- b.- ¸¹·

¨©§

¸¹·

¨©§

43,2

4,2 SS

c.- 34


1.- a.- > � ^ `2,4 �f�

b.- ^ `5,0��

c.- � � ^ `6,0 �f



d.- �

2.- a.- ¸¹·

¨©§ 2,5,

41

b.- ¸¹·

¨©§ � 9,

21,4

3.- a.- )6,6,6()1(26)6,6,0()1( � aRapidezV

b.- 7 � zy

4.- tang “16” y la normal “ 732 ”.

5.- El plano oscilador es 386 � �� zyx . )22,26,31(21211

� N ;

)1,8,6(1011

� B

6.- ¸¹·

¨©§ �

21,

31,

41)0,0,0( y ¸

¹·

¨©§ � 2,

38,4

7.- a.- ¸¹·

¨©§ �

23,1,0 S

.

b.- ¸¹·

¨©§ �� tttF

23,1,)( S

.

c.- 21

.

8.- Nta )( .

10.- 61 .

12.- )1,3,1()1( �� R

13.- a.- 2ln1�

b.- � �22,0,1



c.- 2

221 � �

zyx

14.- 22 )12(2)()(�

t

ttk W .

15.- ),,(),,(),,( �� kzyx

16.- � �0,0,2)2( SS kkR con k entero.

17.- a.- Una posible parametrización es )4,2,()( 2 ttttR ��r pero la misma

se vuelve tediosa para el cálculo de las derivadas necesarias, por ello recomendamos la

siguiente parametrización:

txzsentytx cos2442cos2 � �

� �tsentttR cos24,2,cos2)( � � esta parametrización resulta mejor

para todas las operaciones requeridas.

b.- Tomo la rama positiva de la parametrización °¯

°®

� � �

tztytx

RPE T

311

.. �

c. - 9

62)1( k .

18.- a.- )8,0,6( b.- 198 2 �S

c.- )19(2

32

2

�SS

19.- a.- ¸¹·

¨©§

316,4,2)0,0,0(

322 PFPI b.-

92

20.- a.- ¸¹·

¨©§

21,

31,

41)0,0,0( y b.- � �1,2,1

61)1( �� B .



21.- a.- ¸¹·¨

©§ 2,0)0,1(

Sey

b.- )1.(2 2 �S

e

c.- tetk �

21)(

22.- ��

��

�� tyt

23.- �π

24.- No hay valor posible.

25.- b.- � �� zyx


1.- a.- ^ `0/),( 2 !� xyyx

b.- ^ 101/),( z�t�� xyxyx

c.- ^ `0/),( !xyyx

d.- ^ `)0,0(),(04/),( 22 z�t�� yxyxyx

e.- ^ 1004)2/(),( 222222 z��!��!��d�� yxyxyxyxyx

f.- ^ `24/),( 22 ��!� yyxyx

g.- ^ `2/),( �xyx

h.- °¿

°¾½

°

°®

�� 12

33/),(

22 yxyx

i.- ^ 11/),( 22 z�!� xyxyx



2.- Familia de paraboloides circulares cóncavos hacia arriba con vértice

),1,0( kV

3.- Familia de circunferencias centradas en el origen y radio 16642 �c

donde > @ ^ `02,2 ��c .

4.- a.- Si K>0 es una familia de hiperboloides de una hoja centrados en

)1,2,2(C donde kbkca 224 .

Si K<0 es una familia de hiperboloides de dos hojas centrados en

)1,2,2(C donde kbkca 224

b.- ^ `4;1/),(),( !! xxyyxyxDomP

5.- a.- Paraboloide cóncavo hacia abajo corrido una unida a la derecha del eje y.



b.- Paraboloide cóncavo hacia arriba centrado en el origen corrido 4 espacios hacia arriba.

c.- Rama positiva de un cono centrado en el origen subido 2 espacios hacia arriba.



d.-


1.- a.- 0

b.- 0

c.- �no

d.- 0

e.- 1

f.- �no

g.- �no

h.- 0

2.- a.- no es contínua en )0,0(

b.- si es contínua en )0,0(



3.- a.- 323 xyfyx

xf

ww

ww

b.- senx

yfxy

xf 3cos3

ww

ww

4.- a.- 43

3

43

442 4223yx

yyf

yxxyxx

xf

�

ww

��

ww

b.-

� � � �222

22

222

22 )()(yx

xyxyf

yxxyy

xf

�

�

ww

�

�

ww

c.- 7ln7

)(14ln4

)(1 22xx

xyx

yf

xyy

xf

��

ww

��

ww

d.-

yyfx

xf yx

yxln

ln2

2 99ln)2(9ln9�

� �

ww

� ww

e.- 2)( 3

3

yeyfe

xf ysensenx �

ww

� ww

7.- a.- � � 2

322

2

yx

xyxyf

�

�

www

b.- )ln1(12

xyxxyf y � ww

w �

c.-

222

)21)(21( 22 yxeyxxyf �� ww

w

9.- a.- 5

523

b.-

201

c.-

311

10.- a.- 65 b.- � �8,1�

11.- a.- 17 b.- )9,0,30(�



c.- 1093

12.- 4415

13.- a.- 08,1 b.- 44,60

c.- 22,8

d.- 13,4

17100317 |�

14.-

zzx

zxyxz

y

y

13

)2(22

3

��

�

ww

�

�

y

zzx

xzxyz

y

y

13

ln22

2

��

�

ww

�

�

15.- )cos(

2)cos(2

2

xyzyxeyezyyzexyzxz

yz

yx

yxyx

��

ww

�

��

16.-

zxx

zyxxzyyxz

y

yx

�

��

ww �

2

1 ln2ln y

zxx

xyzxxxz

y

xy

�

�

ww �

2

1lnln

17.- zx

zyxxz

��

ww y

zxxy

xz

��

ww

20.- 2

)2cos(ln)1cos(

27.-

°°

¯

°°

®

�

2121

z

ytx

28.- 7229

722

722

� � � zyx

29.- 1361218 � �� zyx

30.- 3

3223

2322

32

�

� �

zyx



32.- ¸¹·

¨©§�

21,

21,

21

33.- ¸¹·

¨©§�

21,

21,

21 )0,1,0(y .

34.- 3

48.�a

58. ��b

c.- 422 �� zyx

35.- 5

8


1.- a.- Todos los puntos de la forma ),( aa son mínimo local.

b.- )0,0( punto silla.

c.- )0,0( punto silla.

d.- )0,4( punto silla, ¸¹·

¨©§

38,4 mínimo local. ¸

¹·

¨©§� 0,

34 máximo local y ¸

¹·

¨©§�

38,

34

punto silla.

e.- )0,0( mínimo local.

f.- ¸¹·

¨©§�¸

¹·

¨©§ 0,

32

94,

92)0,0( son puntos sillas.

g.- )0,0( punto silla y )1,1( mínimo.

2.- a.- En )2,2( se alcanza el valor máximo que es 24. Y en )0,0( el mínimo

absoluto que es 0.



d.- En )0,0( se alcanza el valor máximo absoluto que es 1. Y en )2,1( se

alcanza el valor mínimo absoluto que es 5� .

5.- Máximo valor “30” en el punto )5,21( � y el mínimo valor es “-30” alcanzado

en el punto )5,2,1( �� .

6.- )2,2( . Nótese que en la respuesta solo habrá un punto. ¿Cómo sabrá usted si es

máximo o mínimo? Debe recurrir al criterio de la segunda derivada para

clasificarlo.

7.- 21

yx . Como es el único resultado no olvide comprobar por medio del

criterio de la segunda derivada que es un mínimo.

8.- )3,3,3( .

9.- El más cercano es ¸¹·

¨©§

83,

81,9 y el más alejado es ¸

¹·

¨©§ ��

83,

81,9 .

10.- La hipotenusa tendrá su valor mínimo cuando los catetos sean iguales a A2 .

(Por ende es un triángulo iso-rectángulo).

11.- a.- Alcanza su máximo global en . � �

15355�

yx donde su valor es

“ � �215552

� ” y su mínimo global será en )0,0( tomando el valor de “0”.

b.- En ¸¹·

¨©§ �

31,0 se alcanza el valor mínimo absoluto que es

31

� . En )1,0( se

alcanza el valor máximo absoluto que es 5 .

12.- ¸¹·

¨©§

445,1,

21



13.- El punto ¸¹·

¨©§� 0,

21 es el más frío y los puntos

¸¹

·¨©

§

23,

21 y

¸¹

·¨©

§�

23,

21 son los más

calientes.

14.- Están más cerca del eje z los puntos ¸¹·

¨©§�¸

¹·

¨©§ 0,0,

210,0,

21 y

15.- Los puntos más cercanos son � � � �5,1,25,1,2 �y .

16.- En el punto ),01,1(� se alcanza el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la

función se alcanza en los puntos ¸¹

·¨©

§��¸

¹

·¨©

§�

21,

23,

21

21,

23,

21 y .

17.- Lo más cercanos son )0,0,1();0,1,0( y el más lejano es ¸¹

·¨©

§�

�� 21,2

2,2

2 .



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