Guia Unidad 1

Estadística I. Informática/I. en Tecnologías de laInformación

Guía para el estudio de la Unidad 1febrero de 2015

Dr. Víctor HernándezDr. Jorge Martín

Dr. José Antonio Carrillo

Departamento de Estadística e Investigación operativaUniversidad Nacional de Educación a distancia

Índice general

Índice general I

0 Organización del curso 10.1. Desarrollo de los contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3. Contacto con el Equipo docente . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.4. Correcciones y revisiones de los exámenes . . . . . . . . . . . 4

1 Guía para el estudio de la Unidad 1 51.1. George Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Cuatro principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Recomendaciones para el estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Ejercicios de la primera unidad didáctica . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Manejo del formalismo de los sucesos . . . . . . . . . 91.3.2. Propiedades de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . 101.3.3. Modelos probabilísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4. Ejemplo de modelo probabilístico . . . . . . . . . . . . 121.3.5. Ejemplo de modelo probabilístico . . . . . . . . . . . . 121.3.6. Dígitos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.7. Probabilidades condicionadas . . . . . . . . . . . . . . 131.3.8. Ejemplo de modelo dinámico . . . . . . . . . . . . . . 131.3.9. Ejemplos de modelos dinámicos . . . . . . . . . . . . . 131.3.10. Aplicación de la fórmula de Bayes . . . . . . . . . . . . 141.3.11. Independencia de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.12. Cálculo con sucesos independientes . . . . . . . . . . 151.3.13. Cálculo con sucesos independientes . . . . . . . . . . 161.3.14. Cálculo con variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . 161.3.15. Cálculo con variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . 161.3.16. Cálculo con variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . 161.3.17. Cálculo con variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . 171.3.18. Cálculo con variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . 171.3.19. Cálculo con vectores aleatorios . . . . . . . . . . . . . 171.3.20. Cálculo con vectores aleatorios . . . . . . . . . . . . . 181.3.21. Cálculo de valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.22. Cálculo con vectores aleatorios . . . . . . . . . . . . . 18

I

Capítulo

1Guía para el estudio de la Unidad1

1.1. George Pólya

Si un problema te resulta muy difícil, trata de resolver primero otro si-milar más sencillo. G. PÓLYA.

PÓLYA, nació en Budapest en 1887 y murió en Palo Alto, California, en1985. En 1905 se matriculó en la universidad de Budapest para estudiar le-yes, pero lo encontró muy aburrido y, después de un semestre, abandonólos estudios. Entonces, estudió Literatura y Lengua durante dos años, ma-terias que habían sido sus asignaturas favoritas en el bachillerato, y llegó aobtener un certificado que le permitía ser profesor de Latín y Húngaro en laenseñanza secundaria. Como le interesaba mucho por la Filosofía, uno desus profesores le recomendó que hiciera algunos cursos de Física y Mate-máticas para entender mejor esta materia. Así comenzó a asistir a clase conel célebre matemático FEJÉR e inició su camino como matemático.

En 1940 se trasladó a los Estados Unidos, donde fue profesor de las uni-versidades Brown y Stanford.

Ha sido uno de los grandes matemáticos del siglo XX. Ha investigado enanálisis complejo, física matemática, teoría de la probabilidad, geometría ycombinatoria. Además, fue un gran profesor y pedagogo de las matemáticas.No sólo le interesaba lograr resultados, sino entender cómo se descubren lasmatemáticas.

Yo empecé tarde a estudiar matemáticas. . . cuando aprendía algo deellas pensaba: bien, así es, la demostración parece concluyente, pe-ro ¿cómo puede la gente encontrar tales resultados? Mi dificultad conlas matemáticas no estaba en entender sus resultados, estaba en com-prender cómo se descubrían.

5

6 Máster en Formación del profesorado. UNED

Figura 1.1: Dos fotografías de Pólya a lo largo de su vida

Sus ideas acerca de las reglas del descubrimiento en matemáticas estánrecogidas en dos de sus libros How to solve it? (¿Cómo resolverlo?) y Mate-máticas y razonamiento plausible, que suponen un hito en la enseñanza delas matemáticas. Su libro How to solve it está traducido a diecisiete idiomasy de él se han vendido más de un millón de ejemplares. En sus libros no selimita a dar consejos generales para resolver problemas matemáticos, sinoque los pone en práctica, aplicándolos a diversos problemas. Sus consejosconstituyen un decálogo para aquéllos que tratan de resolver formalmenteun problema, sea o no de Matemáticas.

. . . para resolver un problema, lo primero es entenderlo: Quién entien-de mal, responde mal. Debemos ver claramente el fin que queremosalcanzar: piensa en el final antes que en el principio. Este es un anti-guo consejo, en latín se decía “respice finem”.

Desafortunadamente, muchas personas comienzan por especular, ha-blar, e incluso obrar meticulosamente, sin haber entendido el fin porel que deben trabajar. El tonto se preocupa de los comienzos, el sabiopresta atención al final. Si el fin del problema no está claro en nues-tra mente, fácilmente nos extraviaremos y lo abandonaremos. El sabiocomienza por el final, el tonto por el principio. G. PÓLYA.

Por su interés en averiguar las reglas del descubrimiento, es decir, el me-dio de adquirir conocimiento, PÓLYA es un pionero de la Inteligencia artifi-cial. Uno de los sus importantes métodos es el denominado heurístico:

La esencia de la heurística es estudiar los métodos y las reglas del des-cubrimiento y la invención. . . . Heurístico es un adjetivo que significa“sirve para descubrir” . . . ¿En qué consiste una buena educación? Endar los estudiantes la oportunidad de descubrir por sí mismos, siste-máticamente. (G. PÓLYA)

1.1. George Pólya 7

Sus ideas de adquisición del conocimiento por especialización y gene-ralización son hoy de uso común en Inteligencia artificial. También fue elprimero en plantearse la necesidad de crear una lógica del razonamientoplausible y estudiar sus reglas de cálculo. Una lógica que trate de las propo-siciones sobre las que no estamos seguros de su verdad; fue el primero enseñalar la probabilidad como una medida apropiada para expresar y calcu-lar con nuestra creencia en que de una proposición es verdadera.

1.1.1. Cuatro principios

Las enseñanzas de PÓLYA se pueden resumir en cuatro principios gene-rales que, si bien no recogen toda sus enseñanza, son una buena guía paraenfrentarse con cualquier problema.

1.1.1.1. Primer principio: entender el problema

Parece obvio, pero con mucha frecuencia no se resuelve un problemasencillamente porque no se entiende su enunciado. Lo primero que PÓLYA

nos aconseja es a hacernos preguntas como: ¿entiendo todas las palabrasque aparecen en la formulación?, ¿qué tengo que hacer?, ¿puedo formularel problema con mis propias palabras?, ¿puedo encontrar un gráfico o dia-grama que me ayude a entenderlo?, ¿hay suficiente información para resol-verlo?

1.1.1.2. Segundo principio: trazar un plan

PÓLYA opina que hay diversas estrategias razonables de enfrentarse conun problema. La elección de una u otra depende de nuestra experiencia.Algunas de las estrategias que propone y que en sus libros muestra cómoaplicarlas a problemas concretos son:

1. Conjetura y comprueba. 2. Haz una lista ordenada de casos y eliminaposibilidades. 3. Emplea la simetría. 4. Considera casos especiales. 5. Plan-tea y resuelve una ecuación. 6. Busca un patrón. 7. Haz un dibujo. 8. Re-suelve un problema más simple. 9. Plantea un modelo hacia atrás. 10. Séingenioso.

1.1.1.3. Tercer principio: lleva a cabo tu plan

Este paso requiere, cuidado, paciencia y, posiblemente, cálculo. Hay queser persistentes y no abandonar a la primera. Si a pesar de ello no da resul-tado, elegiremos otro plan.

1.1.1.4. Cuarto principio: mira hacia atrás

El mejor fruto de nuestro esfuerzo se logra cuando, una vez resuelto elproblema, nos tomamos el tiempo necesario para reflexionar sobre lo quehemos hecho. Esto nos permite, en el futuro, escoger bien la estrategia de


nuestro plan. Este paso de mirar atrás es uno de los que conducen a másdescubrimientos.

La mayoría, cuando consigue resolver un problema o intuir su solución,por el procedimiento que sea, se siente tan contenta que abandona con unsuspiro de alivio. Esa es una manera burocrática de estudiar que consideraque aprender es cubrir un expediente y marcharnos a casa en cuanto suenela hora de salida. Por el contrario, resolver un problema supone que hemosalcanzado una mejor compresión de éste, que ahora estamos en mejorescondiciones para comprenderlo aún mejor, y que debemos continuar la ex-ploración.

Nota: Todas las referencias al libro, páginas, apartados, ejemplos, etc.,lo son a la primera edición de Modelos probabilísticos y Optimización. Edi-ciones académicas. Madrid 2011. En cada ejercicio se señalan los apartadosque hay que estudiar previamente.

1.2. Recomendaciones para el estudio

Antes de pasar a las recomendaciones específicas para el estudio de estaprimera unidad, nos gustaría dar un consejo general que puede parecer ob-vio: estudia el libro; sólo el libro; no mires el correo electrónico, mejor aún,apaga el computador, el iphone o el teléfono móvil, el mpX y cualquier otrogadget que pueda distraerte; concentra tu atención en el libro, lee el textocon paciencia tratando de comprender la explicación, repite los cálculos delos ejemplos y del texto; durante el tiempo de estudio, sea mucho o poco,no hagas otra cosa más que estudiar. Más tarde, pon a prueba lo aprendidocon los ejercicios que proponemos. Recuerda a DONALD KNUTH, un hombreque es alguien en la Ciencia de los computadores, reconoce no tener correoelectrónico, porque le distrae de su estudio.

Estudiar los fundamentos de la Probabilidad, la Inferencia y la Optimi-zación que te proponemos exige asimilar ideas y hacerlas tuyas tras pasarpor el contraste de su experiencia y discusión, para ello debes dejar trabajarsin trabas al computador ideal: tu cerebro.

La primera Unidad didáctica trata el modelo matemático de la probabi-lidad discreta, esto es, cómo definir una probabilidad sobre un espacio decasos finito o numerable, y cuáles son los principales conceptos y sus pro-piedades asociadas. Además de los conocer los resultados y aprender técni-cas, es muy importante aprender el lenguaje característico de la materia; eluso correcto de la notación simplifica los cálculos y sirve de comprobaciónante los posibles errores. Un buen conocimiento de esta Unidad es crucialpara el desarrollo del estudio posterior, ya que en ella se establecen concep-tos fundamentales en su forma más simple.

Los contenidos de la Unidad fluyen siguiendo el esquema que se mues-tra en la figura 1.2. Este mismo esquema vale para la segunda unidad, dondese repite este mismo estudio en el modelo de la probabilidad continua. Losejercicios que te proponemos señalan los apartados que es imprescindible

1.3. Ejercicios de la primera unidad didáctica 9

Establecimientodel Modelo

Funciones aleatoriasnuméricas

Funciones aleatoriasvectoriales

Figura 1.2: Contenidos de la primera Unidad

estudiar con detalle, para los restantes apartados basta con una lectura ge-neral.

Los tres conceptos principales de esta unidad son: 1. Modelo probabi-lístico, con sus dos componentes, la Probabilidad y los sucesos; si dominasel lenguaje formal de los modelos probabilísticos, progresarás rápidamen-te, los sucesos son conjuntos y se operan como conjuntos, la probabilidades una función definida sobre los sucesos. 2. Funciones sobre un modeloprobabilístico, más conocidas como variables aleatorias a pesar de ser, con-ceptualmente, funciones; conviene leer con atención el inicio del apartado1.3. El concepto esencial aquí es el de distribución de una variable aleatoria.3. Vectores aleatorios, el concepto esencial es el de distribución conjunta,como descripción de la variación simultánea de dos o más variables alea-torias; el ejemplo 1.23 es crucial para comprenderlo. El tiempo aconsejadopara estudiar esta unidad es de cuatro semanas, donde contamos una primapor la puesta en marcha del curso. Recuerda que este capítulo muestra con-ceptos fundamentales y que las Matemáticas son una Ciencia acumulativa,cuánto mejor domines las ideas de esta unidad, más fácilmente te harás conlas presentadas en las unidades posteriores.

Es muy importante asimilar perfectamente los ejemplos siguientes: 1.5(por cierto, en este ejemplo hay un errata gráfica, el modelo Ω1 está formadopor una bola roja y una azul), 1.6, 1.7, 1.8, 1.10, 1.12, 1.14, 1.16, 1.18, 1.23,1.25, 1.27.

1.3. Ejercicios de la primera unidad didáctica

1.3.1. Manejo del formalismo de los sucesos

Este ejercicio requiere únicamente el estudio del apartado 1.1.1.

Parte A. La figura 1.3 muestra el diagrama de un circuito formado unaserie de dos conmutadores y un subcircuito de dos conmutadores en para-lelo. Los conmutadores pueden estar abiertos o cerrados, si están cerrados,puede pasar la corriente, mientras que si están abiertos, no puede pasar.Designemos por Ai al suceso “el conmutador ci está cerrado”, i = 1, . . ., 4.

Expresar en términos de los Ai , los sucesos definidos por:

1. La corriente puede pasar entre entre A y C .

2. La corriente no puede pasar entre entre C y D.

3. La corriente puede pasar entre entre A y D.


Ac1

B

c2

C

c3

c4

D

Figura 1.3:

4. La corriente no puede pasar entre entre B y D.

Parte B Si A, B y C son sucesos del álgebra A de un modelo probabilís-tico, expresar en términos de A, B y C , y de las operaciones con conjuntos,los siguientes sucesos definidos por:

a. Alguno de los sucesos A ó B , ocurre.

b. Al menos dos de los sucesos A, B ó C , ocurren.

c. Ninguno de los sucesos A ó B ocurre.

d. Exactamente uno de los sucesos A, B , C , ocurre.

e. A y B ocurren, pero C no.

f. Exactamente dos de los sucesos A, B ó C ocurren.

1.3.2. Propiedades de la probabilidad

Este ejercicio trata de las ideas y métodos expuestos en el apartado 1.1.2.

Parte A. Si A y B son dos sucesos del álgebra A de un modelo probabi-lístico, expresar en términos de las probabilidades P (A), P (B), y P (A∩B), lasprobabilidades de los siguientes sucesos:

a. Al menos uno de los sucesos A o B ocurre.

b. Uno de los sucesos A o B ocurre.

c. Ninguno de los sucesos A o B ocurre.

Parte B. Si A y B son dos sucesos del álgebra A de un modelo probabi-lístico, expresar en términos de P (A), P (B), y P (A∩B), las probabilidades delos siguientes sucesos:

d. Ac ∪Bc


e. Ac ∩Bc

f. Ac ∪B

g. Ac ∩B

h. A∪ (Ac ∩B)

1.3.3. Modelos probabilísticos

Este ejercicio trata de las ideas y métodos expuestos en los apartados1.1.1, 1.1.2, y 1.1.3.

Plantear un modelo consiste en definir un espacio muestral Ω que con-tiene todos los casos que consideramos posibles y asignar una probabilidada cada caso de manera acorde con las características del experimento, deacuerdo con esa definición, resolver las cuestiones siguientes:

1. Plantear un modelo del experimento aleatorio que consiste en lanzaruna moneda hasta que han aparecido por primera vez o dos caras o doscruces.

2. Plantear un modelo para el experimento que consiste en elegir al azarun número de tres bits, x1x2x3, donde xi = 0 ó 1, entre todos los númerosposibles. ¿Cuántos sucesos tiene el modelo? ¿Cuál es la probabilidad de quese cumpla x1 + x2 + x3 ≡ 0 mod (2)?

3. Plantear un modelo para el experimento que consiste en elegir al azarun número de cuatro bits, x1x2x3x4, donde xi = 0 ó 1, entre todos los núme-ros posibles. ¿Cuántos sucesos tiene el modelo? ¿Cuál es la probabilidad deque se cumpla x1 + x2 + x3 + x4 ≡ 0 mod (2)?

4. Plantear un modelo para el experimento que consiste en elegir al azarun subconjunto de símbolos del alfabeto Σ = {a,b,c,d} (el subconjuntos sesortea entre todos los subconjuntos posibles, incluyendo a � y Σ). ¿Cuántossucesos contiene este modelo? Escribir los casos favorables al suceso

A = el subconjunto elegido contiene la letra a

y calcular su probabilidad.

5. Consideremos un sorteo de un subconjunto del alfabeto Σ= {a,b,c,d}que consiste en una selección secuencial de los símbolos que formarán elsubconjunto, esa selección se realiza de la manera siguiente: lanzamos cua-tro veces una moneda equilibrada, si en el primer lanzamiento sale cara,escogemos la letra a para formar parte del subconjunto; si sale cruz, la re-chazamos; si en el segundo lanzamiento sale cara, escogemos la letra b paraformar parte del subconjunto; si sale cruz, la rechazamos; así sucesivamen-te. Por ejemplo, si los cuatro resultados de lanzar la moneda son cruz, elsubconjunto elegido es �. Definir un modelo probabilístico a este procedi-miento de formar un subconjunto aleatorio y compararlo con los modelosde los apartados 4 y 3.


1.3.4. Ejemplo de modelo probabilístico

Este ejercicio trata de las ideas y métodos expuestos en los apartados1.1.1, 1.1.2 y 1.1.3.

Una urna contiene 6 bolas numeradas de 1 a 6. Establecer un modeloprobabilístico para el experimento aleatorio que consiste en extraer tres bo-las, sucesivamente, sin reemplazamiento.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la primera bola sea me-nor que el número de la segunda bola?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la segunda bola sea me-nor que el número de la tercera bola?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la primera bola sea me-nor que el de la segunda y el de la segunda menor que el número dela tercera bola?

Resolver estas mismas cuestiones en el caso general de una urna que con-tenga n bolas numeradas de 1 a n.

1.3.5. Ejemplo de modelo probabilístico

Este ejercicio trata de las ideas y métodos expuestos en los apartados1.1.1, 1.1.2, 1.1.3 y 1.1.4.

Plantear un modelo para el experimento aleatorio que consiste en orde-nar en fila, al azar, tres tarjetas numeradas de 1 a 3.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que las tarjetas 2 y 3 aparezcan antes

que la 1 ?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta 1 no esté en la primera po-sición?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta 1 no esté en la primera po-

sición ni la tarjeta 2 en la segunda posición?

4. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna tarjeta esté en la posición delnúmero que lleva escrito?

1.3.6. Dígitos aleatorios

Este ejercicio trata de las ideas y métodos expuestos en los apartados1.2.1, 1.2.2 y 1.2.3.

Resolver mediante un modelo dinámico el siguiente problema: de unaurna que contiene bolas numeradas de 1 a 9, extraemos bolas al azar. Sea Pk

la probabilidad de que el primer 7 aparezca en la k-ésima extracción.

1. Calcular Pk , suponiendo que las bolas se devuelven a la urna despuésde cada extracción.


2. Calcular Pk , suponiendo que las bolas no se devuelven a la urna des-pués de cada extracción.

1.3.7. Probabilidades condicionadas

Este ejercicio trata de las ideas y métodos expuestos en el apartado 1.2.1.

Parte A. Lanzamos un dado equilibrado tres veces; si el resultado deltercer lanzamiento ha sido 5, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor quelos dos anteriores?

Parte B. Lanzamos un dado equilibrado tres veces; si el segundo resul-tado es mayor que el primero, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero seamayor que el primero?

Parte C. De una urna que contiene tres bolas rojas y cuatro azules seextraen tres bolas. Si hay más bolas rojas que azules entre las extraídas, ¿cuáles la probabilidad de que haya tres bolas rojas?

Parte D. Lanzamos cinco veces una moneda que tiene probabilidad decara igual a p; si en total han salido tres caras, ¿cuál es la probabilidad de queel primer resultado de los cinco lanzamientos haya sido cara? Un emisorenvía un mensaje binario de longitud N bits a través de un canal binariosimétrico con ruido cuya probabilidad de error al transmitir un bit es p; sien total han ocurrido k errores, ¿cuál es la probabilidad de que haya un erroren el primer bit enviado?

Parte E. Lanzamos dos dados equilibrados dos veces cada uno; si las su-mas de los resultados de cada dado son iguales, ¿cuál es la probabilidad deque la suma común sea 7?

1.3.8. Ejemplo de modelo dinámico

Este ejercicio trata de las ideas y métodos expuestos en los apartados1.2.1 y 1.2.2.

Lanzamos un dado y, si el resultado es menor o igual que 3, lo volvemosa lanzar; ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obte-nidas sea mayor que 4?

1.3.9. Ejemplos de modelos dinámicos

Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en los apartados 1.2.1 y1.2.2.

Parte A. Lanzamos un dado y, si el resultado es menor o igual que 3, lolanzamos otra vez; ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuacio-nes obtenidas sea menor que 5?


Parte B. Una urna contiene a bolas azules y b bolas rojas, otra urna con-tiene c bolas azules y d bolas rojas. Elegimos una bola al azar de la primeraurna y, sin mirar su color, la pasamos a la segunda; a continuación sacamosuna bola al azar de la segunda urna; ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?

1.3.10. Aplicación de la fórmula de Bayes

Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en los apartados 1.2.1,1.2.2 y 1.2.3.

Parte A. Consideremos tres sucesos A1, A2 y A3, disjuntos y exhausti-vos (soon disjuntos y su unión es Ω), tienen probabilidades 0.25, 0.25 y 0.5,respectivamente. Un sistema de decisión automática actúa conforme a lasreglas siguientes:

1. Si ocurre A1, el sistema, con probabilidad 0.1, toma la decisión D1 y,con probabilidad 0.9, la decisión D2.



Se pregunta:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tome la decisión D1?

2. Si el sistema ha tomado la decisión D1, ¿cuál es la probabilidad de quehaya ocurrido A1?

3. Si el sistema no ha tomado la decisión D1, ¿cuál es la probabilidad deque no haya ocurrido A1?

4. Si el sistema no ha tomado la decisión D1, ¿cuál es la probabilidad deque haya tomado la decisión D2?

Parte B. Dos monedas tienen probabilidades p1 y p2, respectivamen-te, de que al lanzarlas aparezca cara. Elegimos una moneda por sorteo; conprobabilidad r se escoge la primera y con probabilidad 1− r la segunda. Lamoneda elegida se lanza repetidas veces hasta que aparece la primera ca-ra. Si la primera cara ha aparecido en el lanzamiento k-ésimo, ¿cuál es laprobabilidad de que estemos lanzando la primera moneda?


1.3.11. Independencia de sucesos

Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en el apartado 1.2.4.

Parte A. De una urna que contiene 6 bolas numeradas de 1 a 6. extrae-mos cuatro bolas, sucesivamente, sin reemplazamiento. Sea Ai , j el suceso“el número de la bola i -ésima es menor que el número de la bola j -ésima.

1. Estudiar si los sucesos A1,2 y A2,3 son independientes.

2. Estudiar si los sucesos A1,2 y A3,4 son independientes.

Resolver el caso general, en el que suponemos que la urna contiene n bolasnumeradas de 1 a n.

Parte B. Lanzamos dos veces una moneda equilibrada; sea A el suceso“sale cara en el primer lanzamiento”, B el suceso “sale cara en el segundolanzamiento” y C el suceso “aparece una cara y una cruz”. Estudiar si A, B yC son independientes dos a dos y si son independientes.

1.3.12. Cálculo con sucesos independientes

Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en el apartado 1.2.4.

La figura 1.4 muestra el diagrama de un circuito formado por cuatro con-mutadores dispuestos en una serie con un subcircuito intermedio de dos enparalelo. Los conmutadores pueden estar abiertos o cerrados, si están ce-

Ac1

B

c2

c3

Cc4

D

Figura 1.4:

rrados, puede pasar la corriente, mientras que si están abiertos, no puedepasar. Supongamos que cada conmutador está cerrado con probabilidad p,con independencia del estado de los restantes.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la corriente pueda pasar entre A y D?

2. Si la corriente puede pasar entre entre B y C , ¿cuál es la probabilidadde que pueda pasar entre A y D?.

3. Si la corriente puede pasar entre entre A y C , ¿cuál es la probabilidadde que el conmutador c2 esté cerrado?.


1.3.13. Cálculo con sucesos independientes

Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en los apartados 1.2.2 y1.2.4.

Parte A. Lanzamos tres veces una moneda que tiene probabilidad p decara; si sabemos que ha aparecido al menos una cara, ¿cuál es la probabili-dad de que hayan aparecido dos?

Parte B. Si lanzamos dos veces una moneda que tiene probabilidad x decara y luego otras dos veces, ¿cuál es la probabilidad P (x) de que aparez-can tantas caras en la primera serie de lanzamientos como en la segunda?Representar gráficamente P (x). ¿Cuál es el valor de x que hace mínima laprobabilidad P (x)?

Parte C. Lanza n veces una moneda que tiene probabilidad p de cara,si sabemos que han aparecido al menos k caras, ¿cuál es la probabilidad deque hayan aparecido k +1?

1.3.14. Cálculo con variables aleatorias

Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en los apartados 1.3 y1.3.1.

Una urna contiene 3 bolas azules y 3 rojas. Extraemos repetidas bolassin devolverlas a la urna, hasta que aparece una bola roja. Sea X el númerode bolas que hemos extraído. Hallar la función de probabilidad de X . Calcu-lar E{X }. Si A es el suceso A = {X > 1}, calcular P (X = k | A), comparar esteresultado con la propiedad de “falta de memoria” de la distribución geomé-trica, descrita en el apartado 1.4.3.


Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en los apartados 1.3,1.3.1, 1.3.2, 1.3.3 y 1.3.5.

De una urna que contiene tres bolas rojas y tres bolas azules, extraemosbolas sucesivamente, sin devolverlas a la urna, hasta haber extraído dos bo-las rojas; designemos por X el número de bolas extraídas (por ejemplo, si laprimera es roja, la segunda y tercera azules y la cuarta roja, entonces X = 4);hallar la función de probabilidad de X y calcular E{X }, σ2

X y H(X ).



Ana lanza una moneda que tiene probabilidad p de cara, observa el re-sultado y, a continuación, lanza otra moneda que tiene probabilidad r de


cara; si sale cara en el el segundo lanzamiento, Ana le dice a Belén el resulta-do del primero; si sale cruz en el segundo lanzamiento, Ana miente a Belény le dice lo contrario de lo que salió en el primer lanzamiento. Belén anota 1si Ana dice “cara” y anota 0 si Ana dice “cruz”; si X es el número anotado porBelén, hallar la función de probabilidad de X y calcular la entropía de X ,H(X ); comparar H(X ) con la entropía de la distribución de BERNOULLI deparámetro p, H(p). Indicación: repasar la definición y gráfica de H(p) (pág.65).



Lanzamos una moneda que tiene probabilidad de cara igual a p; si salecara, elegimos al azar un número del conjunto {1,2,3}; si sale cruz, elegimosal azar un número del conjunto {2,3,4}. Sea X el número elegido, se pide:

1. Hallar la función de probabilidad de X .

2. Calcular E{X } y H(X ).

3. Si X = 2, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido cara?



Lanzamos un dado dos veces. Designemos por X1 y X2 los resultadosdel primer y segundo lanzamiento, respectivamente. Sean U y V el mayor ymenor, respectivamente, de los resultados obtenidos

U = max(X1, X2), V = min(X1, X2)

1. Representar el histograma de la función de probabilidad de X =U −Vy calcular su valor esperado E{X }.

2. Si A = {X1 = 2}, hallar la distribución de la variable condicionada U | A.

1.3.19. Cálculo con vectores aleatorios


Lanzamos tres veces una moneda cargada de manera que la probabili-dad de salir cara es p. Sea X la variable aleatoria “número de caras en losdos primeros lanzamientos”, e Y la variable aleatoria “número de caras enlos dos últimos lanzamientos”.

1. Hallar la tabla de la distribución conjunta de (X ,Y ).

2. Calcular E{X | Y = i }.



Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en los apartados 1.5.1,1.6 y 1.6.1.

Lanzamos un dado tres veces. Sean X1, X2 y X3 los resultados obtenidosen cada lanzamiento. Consideremos las variables Y2,1 e Y3,1 que indican silos resultados del segundo y tercer lanzamiento han sido, o no, mayores queel resultado del primero.

Y2,1 ={

1 si X2 > X1

0 si X2 ≤ X1Y3,1 =

{1 si X3 > X1

0 si X3 ≤ X1(1.1)

Hallar la tabla de la distribución conjunta. Calcular E{Y2,1} y σ2Y2,1

. ¿Son in-

dependientes Y2,1 y Y3,1? Calcular H(Y3,1).

1.3.21. Cálculo de valores esperados

Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en los apartados 1.3.3,1.5.3, 1.5.4, 1.5.5, 1.5.6.

Sean X e Y dos variables tales que E{X } = 1, E{Y } = 0, σ2X = 2, σ2

Y = 3 yσX ,Y =−1; calcular

1. E{X 2 −Y 2}

2. E{(2X −Y )2}


Este ejercicio trata de los contenidos expuestos en los apartados 1.5 ,1.5.1, 1.5.2, 1.5.3 y 1.5.7.

Lanzamos un dado tres veces. Sean X1, X2 y X3 los resultados obtenidosen los lanzamientos. Consideremos las variables

X = max(X1, X2), Y = max(X2, X3)

Se pide

1. Hallar la tabla de la distribución conjunta de (X ,Y ).

2. Hallar la distribución marginal de X .

3. Calcular E{X } de dos maneras: a partir de la distribución conjunta y apartir de la marginal de X .

4. Calcular σX ,Y .

5. Calcular E{X | Y = j }.

6. Calcular P (X = k | X1 = i )

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Guia Unidad 1