GUIAS_DE_GEOMETRIA5TOBIM_I.doc

PROGRAMA DE COMPLEMENTACION ACADEMICA

5TODE SECUNDARIA

GEOMETRIA - GUIA N 1

NOMBRE Y APELLIDOS:.............................................................................BIMESTRE I

TEMA: RELACIONES MTRICAS

EN EL TRIANGULO RECTNGULO

(TEOREMA DE PITAGORAS)

a2 = c2 + b2

c2 = a.nb2 = a.m

h2 = m.nb.c = a.h

1 = 1 + 1 h2 c2 b2

1. En un tringulo rectngulo la hipotenusa mide 10 5 m. Halla la longitud del cateto menorsabiendo que un cateto es el doble del otro.

A) 20mB) 5mC) 7,5m

D) 10mE) 15m

2. En un tringulo rectngulo la hipotenusa mide 15 cm y la altura relativa a ella mide 4 cm.

Halla el producto de los catetos.

A) 45cmB) 15cmC) 20cm

D) 30cmE) 60cm

3. Un cateto mide 6 y su proyeccin sobre la hipotenusa mide 2. Halla la longitud de la

hipotenusa.

A) 24cmB) 15cmC) 16cm

D) 30cmE) 18cm

4. Halla la altura relativa a la hipotenusa en un tringulo rectngulo sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la

hipotenusa miden 2 y 18.

A) 16B) 12C) 4D) 6E) 8

5. Halla la altura relativa a la hipotenusa en un tringulo rectngulo de catetos iguales a 2 y 4 m.

A) 4 5 / 5m B) 5 / 5mC) 2cm

D) 3 5 / 2m E) 0,8 m

6. Una circunferencia de radio 3 inscrita en un tringulo rectngulo determina sobre la hipotenusa segmentos que miden x y 5. Halla x

A) 8B) 10C) 12D) 6E) 9

7. La altura relativa a la hipotenusa de un tringulo rectngulo divide a la hipotenusa en segmentos que se encuentran en la relacin de 1 a 3. Hallar la medida del menor ngulo del tringulo.

A) 15 B) 30 C) 37 D) 60 E) 5 3

8. En una semicircunferencia de radio R. Calcular el lado del cuadrado inscrito si uno de sus lados se encuentra sobre el dimetro.

A)R 5B)2R 5C)2R 5

553

R 5

D)E) R 5

3

9. En un cuadrado se inscribe una circunferencia que corta a la diagonal AC en el punto F. Hallar BF si AB=2

A) 4 B) 5 C) 3 D) 22E) 6

10. En los cuadrados de la figura se cumple: AB2+FG2=8. Hallar BF.

BC

EF

A DG

A) 16 B) 12 C) 4 D) 6 E) 8

11. En un tringulo rectngulo ABC (mB=90) se traza la altura BH, luego se trazan HE y HF perpendiculares a los lados AB y BC respectivamente. Hallar EB si AE=1 y FC=8.

A) 16 B) 12 C) 4 D) 6 E) 8

1

12.Hallar AB si BC=10, DC2+ED2+AE2=56.

B

A

E DC

A) 11 B) 2 11 C) 4 11 D) 11 /2 E) 3 1113. En el tringulo rectngulo donde la hipotenusa mide 30, halla la suma de los cuadrados de las distancias del baricentro a los catetos.

A) 80 B) 100 C) 120 D) 60E) 90

14. En el tringulo ABC, hallar la distancia de C a la mediana BM si: AB=10, BC=24 y AC=26.

A) 110/13B) 120/13 C) 135/13

D) 12E) 11

15.En la figura, hallar el lado del cuadrado.

R

R

16. Hallar h si los radios de las circunferencias iguales es 2.

h

EN LA CIRCUNFERENCIA

17.Halla x en la figura mostrada:

X12

3

4

18. Halla CD en la figura si CA = 20, CB = 15 y DE= 4:

ABC

D

E

19. En la figura mostrada, halla la longitud de la tangente AB.

5

4

AB

20. En la figura. Halla el valor de x si el radio de la circunferencia mide 10 y AB = 4

x

OAB

21. Halla x en el cuadrado mostrado si el radio del crculo mide 2

BC

x

AD

22. En la figura ABCD es un cuadrado. Halla r/R

AB

r

R

DC

23. Desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan la tangente PA y la secante PFB ( B en PF ). Sobre la cuerda BF se ubica el punto M. La prolongacin de AM corta al arco FB en C. Si: AM.MC =27 y FM = MB = BP. Halla PA.

2

24. En una circunferencia de centro O se trazan dos dimetros perpendiculares entre s AB y EF y se traza la cuerda BD que corta a OE en C. Si: OC = 6 y OB = 8: Halla CD.

25. En un cuadrado ABCD, la circunferencia inscrita es tangente a BC en F y a CD en H. BH corta a la circunferencia en el punto J. Halla BJ, si BF = 5EN EL TRIANGULO OBLICUANGULO

1. Los lados de un tringulo acutngulo miden 6, 5 y 7. Halla la proyeccin del lado que mide 6 sobre el lado que mide

7.

(A) 30/7(B) 25/3(C) 30/11

(D) 3(E) NInguna

TEOREMA DE HERN .- Para la altura del

tringulo relativa al lado b:

h b = 2( p)( p - a)( p - b)( p - c)

b

a c hb

b

= a + b + c

p = Semipermetrop

2

TEOREMA DE LA MEDIANA (Apolonio de

Perga)

B

2. Los lados de un tringulo miden 10, 17 y 21cm. Halla la longitud de la menor altura del tringulo.

(A) 3,5(B) 2,5(C) 5,12

(D) 4,2(E) NInguna

c

a

3. En un tringulo, los lados miden 30,40 y 60. Halla la medida de la mediana al lado menor.

(A) 587(B) 393(C) 50

(D) 715(E) NInguna4. Los lados de un tringulo ABC miden AB=13, BC=20 y AC=21. Halla la distancia del baricentro al lado AC.

(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(E) 20

5. Hallar la suma de los cuadrados de las medianas de un tringulo si la suma de

los cuadrados de los lados es 400.

AHMC

b

a 2 + c 2 = 2(BM ) 2 + b 2

2

a 2 - c 2 = 2b.(HM )BM = mediana

TEOREMA DE EUCLIDES:

(A) 203(B) 103(C) 20

(D) 30(E) Ninguna

B

c2 = a2 + b2 2bn

6.Los radios de dos circunferencias miden

7 y 5 y la distancia entre sus centros

mide 14. Si un punto exterior dista de las

dos circunferencias8. Halla la distancia

de dicho punto a la lnea que une los

c

a

centros.

(A) 92(B) 62(C) 18

(D) 12(E) Ninguna

mn

b

3


4TODE SECUNDARIA



TEMA: POLIGONOS REGULARES

Se denomina polgono regular a aqul queCUADRADO INSCRITO

tiene sus lados y sus ngulos interiores de

igual medida. Adems el polgono regular

puede ser inscrito o circunscrito en una

circunferencia, coincidiendo el centro de sta

con el del polgono.

ELEMENTOS

Centro de la circunferencia circunscrita: O

Longitud del radio o circunradio: R

Longitud del lado de un polgono de n lados:

Ln =AB

Longitud del apotema : an = OM

EXAGONO INSCRITO

O

RR

an

AMB

TRIANGULO EQUILATERO INSCRITO

PENTAGONO INSCRITO:

R=R(+ 1)

=10 - 2

L55a55

24

OCTOGONO INSCRITO:

L8 = R2 - 2 a8 = R 2 - 2 2

DECAGONO INSCRITO:

L10 = R (5 - 1) a10 = R 10 + 25 2 4

4

DODECGONO REGULAR

L12 = R 2 - 3 a12 = R 2 + 3 2

PROBLEMAS

1. En una circunferencia de radio 2 se encuentra inscrito un cuadrado. Halla el lado del cuadrado.

(A) 2(B) 1(C) 2

(D) 3(E) 22

(A) 2 3(B) 6(C) 2 6

(D) 3(E) Ninguna

7. AB es lado del dodecgono regular inscrito mAIB=3730. Luego CD es el

lado de un polgono regular de n lados.

Hallar n.DC

I

2.Hallarelpermetrodelcuadrado

A

B

circunscritoaunacircunferencia

circunscrita a un tringulo equiltero de

lado 6 3 .

(A) 6(B) 9(C) 3 2

(D) 12(E) Ninguna

3. El permetro de un exgono regular es

243 . Hallar el permetro del nuevo hexgono que se forma al unir los puntos medios de los lados del hexgono original.

(A) 24(B) 30(C) 60

(D) 36(E) Ninguna

4. El lado de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia mide 6. 3 Calcular el lado del cuadrado inscrito en la misma circunferencia.

(A) 6. 3(B) 6 2(C) 12

(D) 3(E) Ninguna

5. Cunto mide la altura de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de 12 cm de radio?

(A) 183(B) 9 3(C) 24

(D) 16(E) Ninguna

6.- El rea de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 16. Calcular el lado del triangulo equiltero inscrito en la misma circunferencia.

(A) 5(B) 6(C) 12

(D) 8(E) NInguna8. Calcular el lado de un dodecgono inscrito en una circunferencia, en la cual se encuentra inscrito un hexgono cuyo lado mide 2 + 3 .

(A) 1(B) 2(C) 1,5

(D) 3(E) Ninguna

9. Si el lado de un cuadrado inscrito en una

circunferencia es igual a4 + 22,

calcular el lado del octgono inscrito en la misma circunferencia.

(A) 1(B) 2(C) 1,5

(D) 3(E) Ninguna

10. En el exgono regular ABCDEF de rea

243 . Hallar el permetro del pentgono

ABCDE.

(A) (4 +3)(B) 4(4 +3)(C) 16

(D) 2(4 +

3)(E) Ninguna

5


5TODE SECUNDARIA



TEMA: AREAS

TRIANGULO

hA =b.h

ROMBO

= D.d

A

a2

b

= bcSena

A

2

Para el tringulo equiltero de lado L

A = L2 3 4

D

d

TRAPECIO

a

2

Frmula de Hern

A = p( p - a)( p - b)( p - c)

p = semipermetro

BA = p.rr = inradio

caA = abc / 4R

R = circunradio

AbC

PARALELOGRAMO

A = b.h

a h a

bA = abSena

a + b

hA = .h

2

b

AREA DEL CIRCULO.A = p R2

A = p R2 a

SECTOR CIRCULAR

360

R

a

TRAPEZOIDE

C

B

AC.BD.Sena

aA =

2

AD

6

PROPIEDADES

1. Si 2 tringulos son semejantes la relacin entre sus reas ser igual a la relacin entre los cuadrados de sus elementos homogneos. ( Cuadrado de la razn de semejanza)

2. Si BD es Ceviana

B

AABD = AD

ADBCDC

A DC

2. Si BM es Mediana

B

AABM = AMBC

A MC

3. Si G es baricentro las 6 reas son iguales

12

3G4

5 6

4. Si P es un punto cualquiera de BC

A1 + A3 = A2 + A4 = AABCD/ 2

7.

BC

M

AD

AMCD = AABCD / 2

8.

A1A2

A1 = A2

9.A1

AA

A2

A = A1.A2

BPC

AAPD=AABCD

AD2

10

A1

A1.A2 = A3. A4

5. SiendoP un punto interior al

paralelogramo ABCD, se cumple:

BC

A2

A1PA3

A4

AD

A3A4

A2

7

1. Un crculo disminuye en 36% su rea. En qu porcentaje disminuye su radio?

A) 20%B) 10%C) 12%

D) 15%E) 25%

2. Si la base de un tringulo aumenta en 10% y el rea no vara, es porque la altura

disminuye en:

A) 6%B) 5%C) 9%

D) 10%E) 8%

3. En el tringulo ABC las medianas AN, CM se interceptan en el punto P. Calcular el rea del tringulo MNP, si el rea del tringulo ABC mide 72.

A) 4B) 5C) 6D) 3E) 8

4. En un trapecio ABCD (AD = base mayor) las diagonales AC y BD se interceptan en O, el rea del tringulo BOC mide 16 y de AOD mide 25. Calcula el rea del trapecio

A) 81B) 72C) 64

D) 42E) 57

5. En un tringulo ABC, la altura BH mide 2. A qu distancia del vrtice B se debe trazar una paralela a su base AC para dividirlo en dos figuras equivalentes.

A) 2B) 3C) 2

D) 22E) Ninguna6. Calcula el rea del tringulo issceles, si sus lados iguales miden 20 y su ngulo desigual mide 30.

A) 100B) 110C) 115

D) 120E) 125

7. Exteriormente a un cuadrado ABCD de lado 4 se construye el tringulo equiltero CED. Halla el rea de la regin triangular

ADE.

A) 4B) 5C) 6

D) 7E) 8

8. En un rombo de lado 5m la diagonal mayor es el doble de la diagonal menor. Hallar el rea limitada por el rombo.

A)10 m2B) 20 m2C) 25 m2

D) 30 m2E) 15 m2

9. En tringulo ABC se traza la ceviana BD ( D sobre AC) de modo que AC = 7AD, si el rea del tringulo ABD mide 9. Halla el rea del tringulo ABC.

A) 72B) 81C) 63

D) 56E) 92

10. En un cuadriltero convexo ABCD, se trazan las diagonales AC y BD que se interceptan en O. Las reas de los tringulos AOB, BOC y COD miden 4, 3 y 9 respectivamente. Calcula el rea del cuadriltero ABCD.

A) 10B) 12C) 14

D) 11E) 15

11. Si los lados de un tringulo issceles miden 18m y 41m. Calcula el rea de dicho tringulo.

A) 240B) 360C) 120

D) 420E) 180

12. Se divide la altura h de un trapecio ABCD en 3 partes iguales y se trazan paralelas a las bases. Calcula el rea del trapecio intermedio que resulta si el rea

del trapecio ABCD mide 18.

A) 7B) 8C) 6

D) 5E) 2

13. Se tiene un tringulo rectngulo de catetos 7 y 24. Halla el rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa tomando como lado la longitud de sta.

A) 450 B) 625 C) 500 D) 725 E) 125

14. Halla el rea del tringulo GPC, si BP =3PC y el rea del tringulo ABC mide 300

B

GP

AC

Dato: G es baricentro.

A) 25B) 12,5C) 50D) 7,25E) Ninguna

8

15. En la figura el rea de la regin sombreada es 42. Halla el rea del tringulo ABC.

B

A268C

A) 112B) 72C) 84D) 120E) Ninguna

16. El rea del paralelogramo ABCD mide 16. Halla el rea sombreada. (M y N son puntos medios)

BC

MN

AD

A) 2B) 4C) 6D) 8E) 1

17. Si APQC = 4 y AAQD = 9. Halla el rea del cuadriltero ABPQ.

B PC

Q

AD

A) 15B) 12C) 7,5D) 11E) Ninguna

18. Se tiene un rectngulo ABCD. Exteriormente se construyen los tringulos equilteros AQD y CSD, AD = 4 y CD = 2. Halla el rea del polgono

ABCSDQ.

A) 8 + 53 B) 6 + 33 C) 4 + 43 D) 8 + 63 E) Ninguna

19. Si ABCD es un rectngulo. Qu porcentaje del rea total es el rea sombreada?

AB

DC

A) 25%B) 50%C) 40%D) 75%E) 60%

20. Calcular la suma de las reas de los semicrculos sombreados si BC = 8 cm.

A) 64p cmB) 32p cmC) 16p cm

D) 8p cmE) 4p cm

21. La base del rectngulo de la figura adjunta, es el doble de su altura. Halla el rea de la regin sombreada.( radio de la semicircunferencia = 4)

A) 32 B) 16 C) 15 D) 12 E) Ninguna

22. Si el lado cuadrado mide 6. Halla al rea de la regin MNPC.( P = punto medio)

AB

M

N

DPC

A) 6B) 3C) 36D) 12E) 4

23. Si el lado del cuadrado es 6u, calcular el rea de la regin sombreada:

A) 36 uB) 18 uC) 12 u

D) 24 uE) 9 u

9

24. Hallar el rea sombreada si ABCD es un cuadrado de lado 15 m.

A) 105 mB) 75 mC) 50 m

D) 45 mE) 25 m

25. En la figura hallar el rea de la superficie sombreada:

A) a(p-2)/2B) a(p-2)/8C)a(6-p)/4

D) a(4-p)/4E) a(p-2)/6

26. En la figura calcular el rea sombreada si la diagonal del cuadrado mide 42 m.

A) 8 mB) 8p mC) 16 m

D) 16p mE) 15p m

27. Hallar el rea del tringulo curvo PQR donde ABC es un tringulo equiltero P, Q y R son puntos medios y AC=2m.

B

P Q

ARC

A) B) /2C) /3D) 2E) Ninguna

28. El problema pide averiguar qu fraccin del rea del paralelogramo est sombreada s los hexgonos blancos son regulares.

A) B) 2/3C) 2/5D) 3/5E)

29. En la figura, P, Q, y O son centros de los semicrculos tangentes. Si el rectngulo ABCD tiene un permetro de 24cm. Halla

el rea de la regin sombreada.

PQ

AB

DOC

A) 32 - 6pB) 26 - 6pC) 9p - 23

D) 12p - 32 E) 32 - 9p

30. Se tiene un cuadrado de lado a. Se unen los puntos medios de los lados formando as otro cuadrado, si se repite esto 4 veces . Halla el rea del cuadrado ms pequeo.

A) a2/4B) a2/8C) a2/16

D) a2/32E) a2/64

31. Halla el rea sombreada:

16

A) 8(8-p)B) 4(4-p)C)16(8-p)

D) 8(4-p)E) 16(4-p)

32. Determinar el rea de la regin

sombreada4cm

A)16cm2

B)2cm2

C) 8cm24cm

D) pcm2E) 2pcm210

GEOMETRA - GUIA N 4

TEMA: REPASO - AREAS

1. Un gran terreno de la forma mostrada en la figura adjunta, tiene cuatro zonas bien definidas:

65 m

III20 m

II

I

IV20 m

70 m30 m

ZONACOSTO POR m2

I. JARDN$ 46

II. VIVIENDA$ 60

III. PLAYA DE$ 45

ESTACIONAMIENTO

IV. ARENAL$ 35

Cul es el costo de la zona II?.

.........................................................

2. Cul es el costo de todo el terreno, incluido el 18% por pago de IGV ( Impuesto general a las ventas)?

.................................................................

3. Un jardinero es encargado de arreglar un jardn que tiene la forma de un sector circular. El ingeniero que lo contrata, promete pagarle S/ 6 por metro cuadrado en la parte sombreada y S/ 4 el metro cuadrado de la parte no sombreada. Cunto se le debe pagar por la parte no sombreada? (el radio del crculo mide 7m y el radio del sector mide 21m)

7m

21m

4. Cunto se le debe pagar por la parte sombreada?.

........................................................

5. Cunto se le debe pagar en total?.

.............................................................

11

GEOMETRA - GUIA N5

TEMA: REPASO - ADMISION

1. En La figura ABCD es un trapecio issceles tal que AB = BC = a. Halla el rea del trapecio.

3a2

A)3BC

2

120

3a2

B)3

4

a2

C)3

4

D)9a2

4 AE) 5a2 3D4

2. La suma de las reas de 2 lotes cuadrados es de 1525. El rectngulo que tiene por ancho al lado del primer cuadrado y por largo al lado del segundo,

tiene un rea de 750. Halla la menor de las longitudes del rectngulo.

A) 15B) 30C) 25D) 20E) 10

3. Un rectngulo es dividido es cuatro rectngulos. Las reas de tres de los rectngulos as obtenidos, se muestran en la figura. Cul es el rea del 4to rectngulo?.

6 14

35

A) 10 B) 15 C) 20 D) 21 E) 25

4. Se tiene un hexgono regular de 2m de lado. Se construyen circunferencias de 1m de radio, tangentes exteriores cada lado en su punto medio. Cul es el rea en m2 del hexgono obtenido al unir los centros de cada circunferencia?.

A) 9 + 3 B) 9 + 33 C) 12 + 83 D) 12 + 4 3 E) 9 + 63

5. En la figura, el segmento AB es un dimetro y la longitud del segmento AC es 4m. El rea de la regin sombreada en m2 es:

C

30

AOB

A) 4p - 33 B) 2p - 33 C) 4p - 3 2 D) 2p - 3 2 E) 3p - 2 3

6. Dos tringulos equilteros de permetros p1 y p2 tienen reas A 1 y A2 respectivamente. Si la razn entre A1 y A2 es 4, entonces (p1 /p2 )2 es:

A) 2B) 4C) 8D) 16E) 3

7. En la figura, el tringulo ABC es

equiltero y MN // AC , hallar el rea de la regin sombreada.

B

MN

10m.

U.N.M.S.M. 2002

A) 43m2C) 63m2E) 93m2B) 33m2D) 83m28. En un cuadrado de lado 10 . Halla el

rea del cuadrado que se firma al unir los puntos medios de los lados.

A) 5 B) 8 C) 6 D) 7 E) 4

12

9. Halla el rea sombreada en la figura en m2.

12. El radio de un crculo aumenta en 100%.

En cuanto incrementa su rea?

A) (16+p/2)

B) (8-p/2)

C) (8+p/2)

D) (16-5p/2)

E) (8-5p/2)

2m

1m

A)100%C)200%E)300%

B)150%D)250%

13. Los cuadrados son iguales y el centro de

uno de ellos es 0. Calcular el rea del

cuadriltero sombreado.

A)a2/3a

B)a2/40

C)2a2/3

10. En la figura. Halla la relacin entre el

rea sombreada y el rea no sombreada.

A) 7/1224

B) 5/7

C) 3/4

D) 2/35

E) 1/2

12

11. Si el radio del cuadrado ABCD es a.

Determine el rea de la regin

sombreada.

A)a2/2

B)a2/3

C)a2/4

D)2a2/3

E)a2/5

D)a2/2a

E) Faltan datos

14. Calcular el rea del trapecio issceles ABCD, siendo: AB = BC = CD = a y:

A = D = 60

A)(a2BC

3) / 2

B)(3a2) / 4

3

C)a2

36060

D)(6a23) / 7AD

E) 2a2315. Halla la relacin de reas de un hexgono regular y un tringulo equiltero inscritos en una misma circunferencia.

A) 1: 2 B) 2 : 1 C) 3 : 2 D) 1 : 3 E) 4 : 3

13

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