i. Edo y Sus Aplicaciones (12 Pt)

2

Profesor Alejandro Hernndez Espino Universidad Tecnolgica de Panam

I. ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES

1.0. INTRODUCCIN. 1.1. DEFINICIN: Una Ecuacin Diferencial (ED) es cualquier ecuacin que contienen las

derivadas de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes.

Ejemplos:

1.

= 3 + 5 = 3 + 5

2. 2

2+ 3

+ 2 = 4 + + 3 + 2 = 4 +

3. 2

2+

2

2= 2 +

4. 3

3+ 2

2

2

= + 2 =

5. (2

2)

4

+ 3

3+ (

)

5

+ 3 =

6. 2

2 4

2

2= 0

7. (2

2)

3

+ 5

5+ (

)

4

7 =

8. 22

2=

9. 43

3+

2

2

+ 6 = 0

1.2. CLASIFICACIN DE LAS ED Las Ecuaciones Diferenciales se clasifican segn su tipo, orden y linealidad.

1.2.1. Clasificacin segn su tipo: se clasifican en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDP) Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): es una ED que contiene derivadas ordinarias de una

o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): es una ED que contiene derivadas parciales de una o

ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes. 1.2.2. Clasificacin segn su orden: el Orden de una Ecuacin Diferenciales Ordinaria o Parcial, es el que presenta la derivada mayor que aparece en la expresin. As pueden ser de 1er orden, 2do orden, 3er orden, etc. El Grado de una ED que se puede escribir como un polinomio respecto a sus derivadas, es la potencia a la que est elevada la de mayor orden en la ecuacin. As pueden ser de 1er grado, 2do grado, 3er grado, etc.

(4

4)

3

+ 3

3+ (

)

5

+ 3 =

4TO Orden 3er Grado

Funcin de entrada

3


1.2.3. Clasificacin segn su linealidad: una EDO de n-simo orden es lineal si se puede escribir de la forma:

()

+ 1()

1

1+ + 2()

2

2+ 1()

+ 0() = ()

La variable dependiente y y todas sus derivadas: , , , , () son de primer grado, es decir, el exponente de cada uno de los trminos que involucran a es 1.

No contiene funciones trascendentes de y/o sus derivadas. No hay productos de y/o con alguna de sus derivadas ni productos entre las derivadas. NOTACIN:

Notacin de Leibniz:

,

2

2,

3

3,

4

4, ,

Notacin de primas: , , , (4), , ()

Notacin de Newton: , , , 4

,

Notacin de subndices: , , , , ,,

ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER ORDEN Forma diferencial: (, ) + (, ) = 0

Forma derivada:

= (, )

Forma de Polinomio: 1()

+ 0() = ()

Forma Estndar:

+ () = ()

+ () = () ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2do ORDEN

2()2

2+ 1()

+ 0() = ()

+ () + () = () 2

2+ ()

+ () = ()

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN "":

(, , , , ());

= (, , , , , (1)

()

+ 1()

1

1+ + 2()

2

2+ 1()

+ 0() = ()

4


PROBLEMAS DE PRACTICA: Zill D.; Cullens M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Mxico Ejercicio 1.1 Paginas 10, Problemas del 1-10. (Libro de texto). PROBLEMAS DE PRACTICA: Facilitada por el Profesor: Prctica: Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales.

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1.3. ORGENES DE LAS EDO

1.3.1. Perspectiva Histrica Se origina en los albores del nacimiento del Clculo con Isaac Newton (16421727) y Gottfried

Wilhelm Leibniz (16461716) en el siglo XVII. Newton, publica en 1687 sus clebres Philosophiae naturalis principia mathematca. Los tres

libros de esta obra contienen los fundamentos de la fsica y la astronoma escritos en el lenguaje de la geometra pura. El libro I contiene el mtodo de las "primeras y ltimas razones" y, bajo la forma de notas o de escolios, se encuentra como anexo del libro III la teora de las fluxiones,

donde clasifica las ED de 1er orden, segn sus formas: = ();

= () y

= (, ),

encontrando una solucin en forma de serie infinita, cuando (, ) es un polinomio de y .

Leibniz, introdujo la notacin

y (). En 1691 Descubri el Mtodo de Separacin de

Variables y en 1694 desarroll los procedimientos para resolver las Ecuaciones Lineales de 1er Orden.

Los hermanos Jakob Bernoulli (1654-1705) y Joham Bernoulli (1667 1748), junto con Newton,

aportaron apara llegar a mtodos de resolucin de la ED y las aplicaciones de stas. En 1690,

Jakob resolvi la ecuacin diferencial = 3

2 3 y Joham

=

, cuando an no se conoca

el hecho de que ()

=

1

, como tambin resolvi el Problema de la Baquistrocona la cual da

origen a una ED no lineal de 1er Orden [1 + ()2] = . Daniel Bernoulli (1700-1782), hijo de Joham, es asociado con la famosa Ecuacin de Bernoull,

como tambin a las funciones de Bessel. Leonhard Euler (1707-1783), alumno de Joham, fue el matemtico ms prolfico de todos los

tiempos, sus trabajos reunidos llenan ms de 70 volmenes. Hizo planteamientos de problemas de mecnica en lenguaje matemtico y desarroll sus mtodos de resolucin. Entre 1734 y 1735), Identific las condiciones de las ED Exactas y desarroll la teora de los factores de integracin. En 1743, dio la solucin general de las ED Homogneas con Coeficientes Constantes. Entre 1750 y 1751, extendi su trabajo a las ED no Homogneas, como tambin la solucin de ED en Serie de Potencias; en 1768 y 1769 propuso el procedimiento numrico para la solucin de las ED; aport a la solucin de las EDP como para el tratamiento sistemtico al Clculo de Variaciones.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813), entre los aos 1762 y 1765 demostr la Solucin General

de una EDLH de orden n ; entre los aos 1774 y 1775 desarroll el Mtodo de Variacin de Parmetros .

Pierre Simn de Laplace (1749-1827), desarroll entre los aos 1799 y 1825 su obra maestra

Trait de Mcanique Cleste, publicada en 5 tomos, desarroll y solucin la Ecuacin de Potencial + + = 0

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1.3.2. Aplicaciones Fsicas

ECUACION DIFERENCIAL APLICACIN DE LA ECUACION DIFERENCIAL

2

2=

Famosa en el campo de la mecnica en conexin con el movimiento armnico simple, como en las oscilaciones pequeas de un pndulo simple. Ella podra, sin embargo surgir en muchas otras conexiones.

2

2+

+ = 0

Surge en mecnica, calor, electricidad, aerodinmica, anlisis de esfuerzos y en muchos otros campos mas

+

= 2 Surgi en un problema de vuelo de un cohete

() = () Ecuacin importante en la Ingeniera Civil en la teora de la deflexin o doblamiento de vigas

2

2+ 4

+ 5 = 100 20

Surge en la determinacin de la corriente I como una funcin del tiempo t en un circuito de corriente alterna, pero puede surgir tambin en Biologa, Economa y Mecnica.

=

1 + ()2 Sale en conexin con problemas de suspensin de cables

2

2+

2

2+

2

2= 0

Surge en problemas de calor, electricidad, aerodinmica, teora de potenciales y en muchos otros campos mas

= (

2

2+

2

2)

Sale en la teora de conduccin de calor, como tambin en la difusin de neutrones en la pila atmica para la produccin de energa nuclear, como en la teora del movimiento browniano

2

2= 2

2

2

Esta ecuacin surge en conexin con la vibracin de cuerdas, como tambin en la propagacin de seales elctricas

4

4+ 2

4

22+

4

4= (, ) Famosa en el anlisis de esfuerzos

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: SPIEGEL, M. (1983). Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. Mxico.

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1.3.3. Primitivas Una relacin que contiene "" constantes arbitrarias se llama Primitiva. Las "" constantes arbitrarias si no se pueden sustituir por un nmero menor de constantes se llaman Constantes Esenciales. En general, una primitiva que contiene "" constantes arbitrarias esenciales, dar origen a una ED de orden "", libre de constantes arbitrarias, que se obtiene eliminando las "" constantes, entre las ( + 1) ecuaciones: la primitiva y las "" ecuaciones obtenidas al derivar la primitiva "" veces, con respecto a la variable independiente.

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Los mtodos de eliminacin de las constantes arbitrarias varan de acuerdo con la forma en que aparecen las constantes en la relacin. El mtodo que resulta eficiente en un problema no lo es en otro. Un hecho que persiste en todos los casos, es que el nmero de derivadas que se necesita usar es el mismo que el nmero de constantes arbitrarias esenciales que aparecen, luego la ED obtenida ser: a. De igual orden al nmero de constantes arbitrarias esenciales que aparecen en la relacin. b. Consistente con la relacin c. Libre de constantes arbitrarias.

Ejemplos: Obtener la Ecuacin Diferencial a la que dan origen las siguientes primitivas: 1. 44 32 = 2. = ( + ); parametro que no debe eliminarse 3. = 1

+ 22

PROBLEMAS DE PRACTICA: Facilitada por el Profesor: Prctica: Primitivas.

1.3.4. Problemas Geomtricos

El problema de determinar las curvas que tienen ciertas propiedades geomtricas, nos originan una relacin que contiene parmetros (Constantes), con una o ambas coordenadas de un punto en un plano, representa una familia de curvas, a una curva correspondiente a cada valor del parmetro. Si se eliminan los parmetros o constantes de la relacin, esta relacin origina una Ecuacin Diferencial de la familia representada por la ecuacin dada Ejemplos: Obtener la Ecuacin Diferencial a la que dan origen las siguientes familias de curva dadas: 1. Familia de rectas que pasan por un punto fijo (, ); h y k no deben eliminarse. 2. Familia de circunferencias con centro en el origen de coordenadas. 3. Familia de circunferencias de radio fijo y que son tangentes al eje. 4. Familia de Parbolas que tienen su vrtice sobre el eje y eje paralelo al eje y la distancia

del foco al vrtice igual a . PROBLEMAS DE PRACTICA: Facilitada por el Profesor: Prctica: Familia de Curvas 1.4 Solucin de una Ecuacin Diferencial Toda funcin , definida sobre un intervalo I y que posea al menos derivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una EDO de orden reduzca la ecuacin diferencial a una identidad, se dice que es una solucin de la ED sobre el intervalo. 1.4.1. Solucin General Es una funcin () que contiene una o ms constantes arbitrarias o parmetros (que se obtienen por las integraciones sucesivas), que satisface la EDO y se define sobre un intervalo I. Al graficar la solucin general de la EDO, obtenemos una familia de curvas.

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1.4.2. Solucin Particular Es la solucin de una EDO en que las constantes de la solucin general toman un valor especfico, es decir, es una solucin de la EDO que se encuentra libre de parmetros arbitrarios y veremos se obtiene de la solucin general. Soluciones Explcitas Es una solucin de la EDO sobre un intervalo I en que la variable dependiente se expresa en trminos de la variable independiente y constantes. Notacin: y = () Soluciones Implcitas Se dice que una relacin del tipo (, ) = 0 es una solucin implcita de la EDO sobre un intervalo I siempre que exista al menos una funcin () que satisface la relacin as como tambin a la ecuacin diferencial sobre I. Intervalo de Definicin Es el intervalo I de existencia de la solucin de la ED. Puede ser un intervalo abierto, cerrado, semi-abierto a la izquierda o a la derecha o infinito. Se le llama Intervalo de definicin, Intervalo de existencia, Intervalo de validez y dominio de solucin. Curva Solucin La grfica de una solucin () de una EDO se le denomina curva solucin curva integral. Ya que () es una funcin diferenciable, ser continua sobre el intervalo de definicin I de esta forma puede presentarse una diferencia entre la grfica de la solucin () y la grfica de funcin (), es decir, no necesariamente el intervalo I de definicin de la solucin () es el mismo que el de la grfica (). Ejemplos: En los ejemplos siguientes: (a) Compruebe que la funcin () es solucin de la Ecuacin Diferencial dada (b) Determine el dominio de () considerndola simplemente como una funcin (c) Determine el dominio de () tomndola como funcin solucin de la ED (Intervalo de

definicin)

2 + 2 = , familia de circunferencias con centro en el origen de coordenadas

= 2 + , familia de parbolas con vrtice en el origen de coordenadas

2 + 2 = 1

= 2 + 2

10


1. = 11 + 2 + 3 ln + 4

2; Es solucin de 33

3+ 22

2

2

+ = 122

2. 3 62 = ; Es solucin de 2

4 = 0

3. = + 4 + 2; Es solucin de ( )

= + 8

4. 22 + 2 = 1; Es solucin de (2 )

+ 2 = 0

1.4.3. Solucin Singular En ocasiones una solucin de la EDO puede tener una solucin adicional que no es miembro de una familia de soluciones de la ED, es decir, no se obtiene de la solucin general y se le llama solucin singular. Esta es una funcin cuya tangente a su grfica en algn punto (0, 0) coincide con la tangente de otra solucin pero ya no coincide con esta ltima tangente en ninguna vecindad del punto (0, 0) por pequea que sea. Un mtodo para encontrar las soluciones singulares es derivar la ecuacin diferencial dada con respecto a con lo que formamos un sistema de ecuaciones:

{

(, , ) = 0

(, , )

= 0

Y eliminando se obtienen una o mas soluciones singulares. Ejemplo: 1. Obtener las soluciones singulares, si las hay de la ecuacin diferencial ()2 = 162

()2 = 162 2 = 0 = 0 Reemplazando en la ecuacin diferencial ()2 = 162 = 0, la cual es la solucin singular En efecto, las soluciones generales de dicha ecuacin son: = 22 + y = 22 + y para el punto (0, 0), es el punto de contacto de las pendientes y su grafica es = 22

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PROBLEMAS DE PRACTICA: Zill D.; Cullens M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Mxico Ejercicio 1.1 Paginas 10, Problemas del 10-32. (Libro de texto). 1.5. Problemas de valor inicial, problemas de valores en la frontera y existencia de

soluciones. En la mayora de las aplicaciones estamos interesados no en la solucin general de EDO, sino en una solucin particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera. 1.5.1. Problemas de valor inicial Un problema de valor inicial o de Cauchy, es un problema que busca determinar una solucin a una EDO sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida = () y a sus derivadas especficas en un valor de la variable independiente :

Problema de Valor Inicial (PVI) de 1er Orden

:

= (, ); : (0) = 0

Problema de Valor Inicial de 2do Orden

: 2

2= (, , );

: (0) = 0; (0) = 1 Problema de Valor Inicial de n-simo Orden

:

= (, , , , , (1));

: (0) = 0; (0) = 1; ,

(1)(0) = 1

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Ejemplo: (1) Dada la ED = 0;

(a) Verificar que = , es una solucin de la ED. (b) Resolver el problema de valor inicial:

= 0; (0) = 3

(c) Ahora, si se necesita una solucin que pase por el punto (1, 2), en lugar de (0,3),

escribimos:

= 0; (1) = 2 (2) Dada la ED + 16 = 0;

(a) Verificar que = 1 4 + 2 4, es una solucin de la ED. (b) Resolver el problema de valor inicial:

+ 16 = 0; (

2) = 2; (

2) = 1

1.5.2. Problema de valor de frontera Un problema de valor de frontera o problema de Dirichlet, es un problema que busca determinar una solucin a una ED sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida = () especificada en dos o ms valores de la variable independiente La solucin de un problema de valor de frontera puede ser que tenga: solucin nica, o puede tener infinitas soluciones o puede que no tenga solucin.

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Ejemplo: (1) Dada la ED + 16 = 0;

(a) Verificar que = 1 4 + 2 4, es una solucin de la ED.

(b) Resolver el problema de valor inicial:

+ 16 = 0; (

2) = 2; (

2) = 1

(c) Resolver el problema de valor de frontera:

(0) = 0; (

2) = 0

(d) Resolver el problema de valor de frontera:

(0) = 0; (

8) = 0

(e) Resolver el problema de valor de frontera:

(0) = 0; (

2) = 1

1.5.3. Existencia y Unicidad de las Soluciones Al resolver un PVI surgen dos preguntas: Existe una solucin al problema? Si existe una solucin es nica?

1.6. EXISTENCIA Y UNICIDAD. Teorema de Existencia y Unicidad: Dada una Ecuacin Diferencial

= (, ) Donde (, ) est definida en una regin rectangular R, que contiene al punto (0, 0). Si (, ) satisface las condiciones: i) (, ) es continua en R.

ii)

es continua en R.

La ED

= (, ) tiene soluciones?

Alguna de las curvas solucin pasa por el punto (0, 0)?

Cundo podemos estar seguros de que hay precisamente una curva solucin que pasa por el punto (0, 0)?

EXISTENCIA

UNICIDAD

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Entonces existe un intervalo I con centro en 0 y existe una y solo una funcin = () definida en el intervalo I que satisface la condicin inicial (0) = 0.

Condiciones de existencia de soluciones: (a) Continuidad de (, ) en R (b) Acotamiento de (, ) por R. Condiciones para la unicidad de las soluciones:

(a) Continuidad de (, ) y

en R

(b) Acotamiento de (, ) y

por R.

Estas condiciones son suficientes pero no necesarias, porque puede existir una solucin nica que satisface (0) = 0 pero no cumple la condicin i) o la condicin ii) o ninguna de las dos. Teorema de Existencia y Unicidad: Sea R, una regin rectangular definida: ; del

plano , la cual contiene al punto (0, 0). Si (, ) y

son continuas en R, entonces existe otro

cierto intervalo 0: 0 < < 0 + , con > 0, el cual est contenido en la regin R: ; y una funcin nica () definido en 0 que representa una solucin del problema de valor inicial Ejemplos: Hallar la regin del plano en el que la ED tiene solucin nica en un punto (0, 0) de esa regin.

1. = 1

2

(, ) = 12

=

1

2

12

=

212

Ambas son continuas en la mitad superior del plano . Es decir, > 0. Por el Teorema de existencia y unicidad podemos concluir que a travs de cualquier punto (0, 0) en la que > 0

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(mitad superior del plano ) existe cierto intervalo con centro en 0 sobre el cual la ED tiene solucin nica, por ejemplo 0 = 2 (la condicin inicial es (2) = 1). 2. =

(, ) =

=

Ambas son continuas en todos los puntos del plano y por cualquier punto (0, 0) en el plano

pasa una y sola una solucin = 2

2

0 = 0

2

2 =0

0

2

2

= 2

2 =0

0

2

2

2

2 = 02

2 0

2

2

= 02

2

02

2 = 020

2

2

PROBLEMAS DE PRACTICA: Zill D.; Cullens M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Mxico. Ejercicio 1.2 Paginas 17, Problemas del 1-16. (Libro de texto).

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