4800 c l c ul o d i f er e n o# a i ei n t e g r a lP A R A P R E P A R A T O R I AAgust nAn f o s s i M.A.F l o r e sM e y e r NovenaEdi ci n Revisadaymejoradapor M.A.FloresMeyer EDITORIALPROGRESO, S.A. NARANJO 2 4 8MEXI CO 4 ,D.F.TEL.5 4 7 - 7 3 - 0 4 1980:l a .Reimpresin 1 9 8 1 :2a.Reimpresin Derechosreservados conformeala ley porlosAut ores Hacel aedicin segnconvenioconlosAut ores E D I T O R I A LPROGRE SO,S.A. Naranj o248 Mxi co4,D. F. Mi emb r odela CmaraNaci onal delaI ndus t r i aE di t o r i al Regi st roNo.232 I a .edicin:1954 I S B N9 68 - 436- 1 23- 8 I MPRE SOE N * ME X I CO P R I N T E DI NME X I C O 2 AMODODEPROLOGO Estema n u a lnoti enel apretensindev en i racol maral gunal aguna enl al i t e r a t u r amatemti ca.Ex i s t e nt ext osdeClculoDi f eren ci a leI n -t e gr a lquesonexcel entes,t a n t oenl af o r macomoporelmododet r a t a r l ascuestionesqueabordan,yestoyaseaenpubl i caci onesprocedentesdel e x t r a n j e r o,comoenl asqueseha nescri toenMxi co. Apesardetodo,sedaal uzelpresentet r a ba j o,especi al mentededi -cadoalospri n ci pi a n t es ,puesnosaledeu npl anoque,ensuma t e r i a , puedel l amarsecompl etamenteel emental .Si nembargo,sea bri gal aes-peranzadequeconlsepuedanprepa ra rlosal umnosdelasdi versas Area saquieneslosprogramasexi genelClculoI n f i n i t e s i ma l . Comopuedeverse,yaseatravsdelndicedema t eri a s,yahoj eando ell i bro,steconstadetres,pa rt es :enl apr i me r aseexponenal gunasdef i -ni ci onesrel a t i v a saf unci ones,l mitesyseri es,pa raqueela l umnotenga si qui eraunai deadelosvari adosnombresquesepresent anamenudoal t r a t a r s edel aspr i me r a s ;seexponeal gorel a t i v oalosl mites,ideai n -di spensabl eenelCl cul o;porl timo,f i g u r aunabreveexposi ci nrel a -ci onadaconl asseriespa raqueelestudi antesepaquson,conozcal a seri econl acualsecal cul aelnmeroe,basedel osl oga ri t mosl l amados naturales,cuyousos i mpl i f i c at a n t ol asf rmul asdelClculoI n f i n i t e s i ma l . L asegundapa rt ei nt roducea lestudi odederi vadasydi f erenci al es, yl at erceraestdedi cadaa lClculoI n t e gr a l .Cadaunadel ass u bdi v i -sionesdel ama t e ri acorrespondi enteaesaspartes,v asegui daxleapl i ca-ciones,lasmsdendol egeomtri ca. Sedan,adems,l asgrf i cascorrespondi entesamsde100f u n -ciones. E ngeneral ,l aobtenci ndel asf rmul asvaacompaadadeej empl os expl i cat i v os,porqueelpasodel ateoraal aprcti casuelepresent arno pocasdi f i cul t a des,especi al menteal ospri n ci pi a n t es .Comof ci l mentese comprende,esi mposi bl eprepa ra ra la l umno,aunmu l t i pl i ca n dolosej em-pl os,avencertodosl osobstcul os;si nembargo,contri bui rnasuge-r i r l eideasquel ef a c i l i t e nl aresol ucindelosej erci ci osquesel epr o-ponen. E ncuanfcpal anotaci npa ral aderi v a dasehasegui dol adeG.G. L ei bni z. Sehacredoqueseradealgnintersunbrevebosquejohist-ri codelClculoDi f er enc i aleI nt e gr alparaqueelestudi antesef orme unaidea,aunqueseamuysuci nta,del acreacindeestar amadelas matemticasyaquinessedebe,r amaqueal gui enhadenomi nado" l a msal t aconcepcindelgeniohumano. "Porquecaber ep et i raquloque escribiJamesLeeGl ai sher:" Es t oysegurodequenohayasuntoque pi erdamsqueeldelasMatemticassisedesligadesuhi s t o r i a" . Ant esdet e r mi narestemall l amadoprlogo,vayanunaspal abras deagradeci mi ento alaspersonasquet uvi er onabi enhaceralaut oral gu-nasindicaciones,sugeridasporunacrticasanayporendeconst ruct i va, indicacionesque,porloati nadas,sehanteni domuyencuenta. Ojalqueelpresentelibrllegueaprest aral gunaayudaalos al umnosenestaclasedeestudios,hoymsquenuncaindispensables paracasitodaslascarreras,anp ar aaqullasqueparecentenerpoca oni ngunaaf i ni dadconl amatemtica. 4 I N D I C E P A R T E1 F U N C I O N E S ,L I M I T E S ,S E R I E S PAGS. Prlogo3 BosquejohistricodelClculo7 Smbolosmatemticosuti l i z adosenelt ex t o14 1Funciones* 1.Defi ni ci onesyclasificacin16 2.I nversas,trascendentes21 2Lmites* 1.Defi ni ci onesypropiedades27 2.C ont i nui dadydi sconti nui dad36 3Series 1.Defi ni ci onesyclasificaciones43 2.E lnmeroe56 P A R T E2 C A L C U L OD I F E R E N C I A L 1ClculoD i f erenci al" D eri vadadeunafuncin68 2DerivacinAl gebrai ca*.73 3FuncionesTrascendentes* 1.Derivacinexponencialylogartmica85 2.Funcionesci rcul aresdi rectas. . .92 4Funcionesinversaseimplcitas* 1.Deri vadasdefuncionesi nversas102 2.D eri vadadelasfuncionesimplcitas112 3.Deri vadassucesivas114 5 5Aplicacionesdelasderi vadas 1 .Variacindelasfunciones.Rapidez>. 118 2.Concavidad:127 3.Mximosymnimos.\.132 4.Direccindeunacurva.',144 5.TangentesyNormal es.146 6.Angul oent redoslneas148 6SeriesdeMacl auri nydeTayl or.. ..150 7Di f erenci al .Cur vat ur a 1 .Increment o ydi f erenci al. '157 2.Cur vat ur a165 PARTE3 CALCULOI NTEG RAL 1Clculoi nt egr al 1 .Def i ni ci ones:integracin172 2.L ai nt e g r a l :lmitedeunasuma178 2Procedi mi entosdeintegracin 1 .I nmedi at aymedi antef actor.*186 2.Otrost i posdei ntegral esi nmedi atas*1 91 3.Integral esdefracciones194 4.Integraci n:coeficientesi ndetermi nados. . .197 5.Integracinporpartes.*205 6.Integracintrigonomtrica'209 7.Integracinporsustitucin.217 8.Integracinporseries228 3AplicacionessimplesdelClculoi nt egr al 1 .Areasdesuperfi ci esplanas235 2.Rectificacindecurvasplanas*.241 3.Areasdesuperfi ci esderevolucin\ 5 4. Vol menesdesl i dosder evol uci n248 Respuest as253 Gr f i cas."285 6 BosquejoHistricodelClculo Fue r o n,comosueledecirse,IsaacNe wt o n(1642-1727)yGodofr edo Gu i l l e r moLe i bni zlosdescubridoresdelClculoI n t e g r al .Si nembarg o, ot rosmatemticoshabanhechot r ab aj o sdei mp o r t anci arelacionados conesasr amasdelasMat emt icas:Bl asPascal(1623-1662yPe dr ode F e r mat(1601-1665),ent r eot ros.Est eltimo,p r i nci p al me nt econsu mtodoDemaximisetminimis,casihaballeg adoalClculoDi f e r e nci al , t ant oqueLag r ang enot i ener epar oenconsi deraraF e r matcomo" e l IsaacNewtonGodofredoGuillermoLeibniz p r i me ri nv e nt o rdelnuevoclculo".L aopinindeLag r ang er e l at i v aa l ai nf l ue nci adeF e r matsobreLe i bni zenl ainvencindelClculoD i f e -r e nci al ,parecet enerconfirmacinhast aenelttulomi smodeli n f o r me , cort oporci ert o,enqueLe i b ni zexponesusp r i n ci p i o s :Novamethodus promaximisetminimis,quepublicenlas" Act asEr u d i t o r u m"enoc-t ub r ede1684. Peroesloci e r t oquenoenseF e r matprocedimient osgenerales, n ireg lasprcticasysencillas, cuyaexposicinsedebeaNe wt o np r i me r o ,-enelMtodo^delasFluxiones,yaLe i b ni zdespusenelClculoDi f e r e n -ci al .Eneso,msqueenl aconcepcindemag ni t udesi nf i ni t e si mal e sy 1 f l uent esconsiste,segnacert adaopinindePoisson,eimritodeesos dosi l us t re smatemticos. MenosprecursoresdeNe wt onydeLei bni zseh al l anenlosdomi ni os delClculoDi f e re nci alqueeneldelI n t e gr al .Puedenci t arse,s i nembar-go,Ni col sOresme(1323-1382),obispodeLi s i e ux ,quehabaasentado queenl apr ox i mi daddelpunt odeunacurvaenquel aordenadaesm-x i maomnima,esdondedi chaorde-nadavaramsl e nt ame nt e ;J u an Kpl er(1571-1630)que,i gnorando probabl ement eloescrit oporesepre -l ado,asiental ami s maaf i rmaci n; F e r mat ,qui en,t ant oensumtodo " Demax i mi setmi n i mi s "comoenel delastangentes,comunicadoaDes-cartes,en1638implcitamentei gua-l aacerol aderi vadadel af uncin, porque,enloscasosporlconsidera-dos,l a t angent e al acurva enlospu n -tosenquel af uncinesmximao mnima,esparal el aaleje,osea,l a pendient edel at angent e esn u l a;por ltimo,I saacB ar r o w( 1630- 1677) ,el cual ,medi ant e eltringulocaracters-tico,quet i eneporh i pot enusau nar -coi n f i n i t e s i maldecurvaycomoca-tetoslosi ncrement osi nf i ni t e s i mal e s enquedi f i e r e nlasabscisasylasor-denadasdelosext remosdedichoarco,pre paranadmi rabl ement e elcami -noal agr anconcepcindeLe i b ni z . Par at enerunaideadecmoaprovechB a r r o wl aideadeF e r mat r e l at i vaalast angent es,debetenersepresentequeelsegundohabaob-servadoquel at angent eenu npunt oPdeunacurvaquedadet ermi nada siseconoce,ademsdeP,ot ropunt odeesat ange nt e ;port ant o,sise l ograbacal cul arl al ongi t uddel asubt angent eMTy,porconsiguient e, sel l egabaaconocerl aposicindelpunt oT,entoncesl arect aTPsera l at angent epedida. Hacanot arB ar r o wquet raz andol aabscisayl aordenadadeun punt oQ,prxi modeP,sef ormab aelpequeotringuloQRP,quel design,segnvadicho,conelnombredetringul ocaracterstico,cuyos catetosRPyQRerandi f erenci asdelasabscisasydelasordenadasde PydeQ.Setenaentonces,admi t i endoqueelpunt oQestuviesemuy prxi modeP: PedrodeFermat T MM PQRR P(! ) 8 Par ah al l arelval orde QRR Psuponaque(x,y)er anl ascoordenadas dePyl asdeQ,x e,y a. NM Apl i candoestoauncasomuysenci l l o,porej empl oal aparbol a y2=4px, seti ene,par aelpunt oP:y- 4px,(2) e)ypar aelpuntoQ:(y a)24p(x Restando( 2 )de( 3 ) ,seobti ene: 2ay a24pe ( 3 ) Comoaesunama g ni t udsumamentepequea,conmayo rraznl o esa2encomparaci nde2ayyde4pe,ypuede,port ant o ,desecharse. Resul ta,entonces:2ay4pe; osea: dedonde,susti tuyendoen( J ) e a T My y_ 2p e a y_ 2p TM= 2p 2x. Conestoquedabadeter mi nadal aposisindelpuntoTyconll a del atang ente. Msnumerososquel osprecursoresdelCl cul oDi f er enci alsonl os delCl cul oI nt eg r a l .Esespecial menteenl asobrasdeArqumedes(287-212adeJ .C.)endondeseencuentr annotabl esejempl osdeverdaderas i ntegraci onescomol aquehi zopar acal cul arelreadel asuperf i ci edeun segmentoparabl ico.Laideadedescomponerunasuperf i ci epl anaen f aj asrectangul aressumamenteestrechas,f ueconocidapormuchosmat e-mticosdel aEdadMedi a,l omi smoenOccidentequeenOr i ente.Elya ci tadoKpl er?par aeldescubri mi entodesuf amosal eydel asreasefec-ta,ali g ualqueArqumedes,verdaderasi ntegraci ones,l omi smoqueal 9 concebiriosslidoscomoformadosporunnmerosumamentegrandede elementosi nf i ni tesi mal es,yaseantringulos,rectngulos,discosoconos. Peroes.i ndi scuti bl emente,BuenaventuraCaval i eri(1598-1647),del a ex t i nt aordendelosJesuatos,elmatemticomsfamosoentreiospre-cursoresdelClculoI nt egr al .Ensunotable"GeometradelosI ndi v i s i -bles"calculal ongi t uddelneas,reasyvolmenes,recurri endoasumas. GilesPersonnedeRoberval(1602-1675)calcula,asuvez,elreadel a superficiecomprendidaentreunacurvayunarecta,considerndolaf or -madaporunnmerosumamentegrandederectngulossumamenteestre-chos.JohnWal l i s(1616-1703),porsupart e,l ogracuadraturasyc ur v at u-rassiguiendolashuellasdeCaval i eri . Perof al t aban,tambinenesteterreno,ali gualqueeneldelClculo Di f erenci al ,procedimientosgenerales;elmritodehaberlosdescubierto, precisoesrepeti rl o,correspondeengranpart eaNewt onyaLei bni z. Puestoqueelconceptodei nt egr alsederi vadeldesuma,enunp r i n-cipioseconcibilai nt egralcomolasumadeunai nf i ni dadderectngulos conunadimensini nf i ni t esi mal .DespusqueBar r ow,en1669,descubri queelproblemaqueconsisteencalcularelreabaj ounacurvaeseli n -versodeldecal cul ar l apendientedel atangente, yqueNewt onyLei bni z reconocieron,asuvez,quel aintegracinyl adiferenciacinsonoperacio-nesinversas,sedefinil ai nt egraldeunafuncindeci ertavari abl ei nde-pendienteporl adi f erenci aldeestavari abl e,comoot r afuncincuyadi f e-renci aleral adi f erenci alpropuesta. ## Lostrabaj osdeNewt onrel ati vosalClculosonanteri oresalosde Lei bni z,peroelpri meronadapublicenunpri nci pi o,limitndoseaex-ponerensusctedraslosdescubrimientosquehabahecho;noaselse-gundo,quelesdioluegopubl i ci dad,empleandounanotacindi st i nt adel a deNewt on.Estebassuconcepcinenl anocindevelocidaddesustan-ciasmateri al es,considerandoloquelllam"creci mi entosinstantneos", mi ent rasqueLei bni zpartidelconceptodedi ferenci assumamentepe-queas. ElMtododelasFluxiones,queconcibiNewt onalos20aosy redactalos23,fuepublicadosolamentedespusdesumuer t e;pero insertunanotabreveenquedaaconocersumtodoensusi nmort al es "philosophisenaturalisprincipiamathe?ntica",o" pr i nc i pi os " ,como abrevi adamentesesuelel l amar l os,endondehaceaplicacionesgr an-diosasdeaquelmtodo,nosloaprobl emasdeMatemticapur a,sinoa fenmenoscelestes. Enlconsideraunacurvacomodescri taporunpunt oquef l uye ; l l amamomentodelacanti dadfuentealarcosumamentecortoreco-r r i doenunemposumamentepequeo,ydesignal arazndelmomen-toalti empocorrespondiente,oseal avelocidad,conelnombredefluxin 10 del af l uent eEsdecir,paraNewt o n ,fluenteest odacant i dadv ari ab l e (funcin);fluxin(derivada)esl avelocidadorapi dezconquevaral a f l u en t e;ymoment o(diferencial)eseli ncrement oi n f i n i t es i maloi n s t an -tneodel af l uent e.Asi ent a,adems,comop r i n c i p i o ,quelosmomentos delasfluentessonentrescomosusfluxiones. Encuant oasunotacin,si mbol i zaconxyconxol af luxinyel moment o,respect ivament e,del af l uent ex,enquepo r"o"(cero)en-t i enderepresent arunacant i dadsumament epequea.Lasderi vadassu-cesivasdex,so n:x,x,x,x,etc. ,yparal aoperacini nversadicequel a f l uent edeunacant i dadcual qui era enestasucesin,esl aquef i g u r aasu i zqui erda.Laf l uent edexl adesignapo rz,l adestaporzyl af l uent ede zpo rz,yassucesivamente.Haceno t ar,adems,queh al l arl ap r i me r a f l uent edeunaf luxinesef ect uarcu adrat u ra.Lamaneradeexpresarl o Newt o nesl asi g ui ent e: ExFluxionibusinvenireFluentes,Problemadifficiliusest;etsolu-tionisprimusgradus,equipolletQuadraturaCurvarum,esdeci r:Ha -l l arl aFl uent e,conocidal aFluxin,esPro bl emamsdifcil(queeli n -v erso ) ,yl asolucinenp r i merg rado(osea,l ap r i me r af l uent edeuna f luxin)equivalea( ef ect uar)l aCu adrat u radelasCurvas. Lei bni zdurant esup r i me r aest anciaenPars(1692)crelosproce-di mi ent osi nf i ni t esi mal es,dei ndi scut i b l eo r i g i n al i dadyadmi rab l epo-t enci a,enqueresplandecel at endenciasi mbo l i zado ra.Ab o rdandoelp r o -bl emadelast ang ent esysui nverso,sepropusoresolverlosambos,r e-curri endoaltringulocaractersticoyamencionado.A lobservarqueeste tringuloessemejant ealquef o r manl at ang ent e,l asubt ang ent eyl a ordenadadelpunt odet ang enci a,comol oesi g ual ment e elf o rmadopo r l an o r mal ,l asubno rmalyl aordenadadedichopunt o ,lleg,enelano de1673,segnconstapo rdocumentosautnticos,aldescubri mi ent of u n -dament aldelai dent i daddelpro bl emadelast ang ent esydel acuadra-t u r adelascurvasplanas.Enl aresolucindeestesegundopro bl ema i n t r o du j oLei b ni zelnuevosig nodei n t eg r al ,represent andoconfyl a mi smacant i dadqueCav al i ericonsiderabacomosumadelasordenadas ydesignabaporomny( o mni a,osea,t odaslasyes,sus u ma) . Observandocmoenl aoperacini ndi cada po relsig nofseelevael g rado,inf iriquel aoperacini nv ersa loreb aj a, ycomoestosuelesuceder enl adivisin,idel anotacin- ,queluegoabandonp araado pt ardx, d decuyosi g ni f i cadoslodioLei b n i zestaexplicacin:diferenciaentre dosxprximas. Lasnotacionesdx,dy/dx,l omi smoquel apal ab raderi v ada,sonde Lei bni z,ascomoelno mbredeecuacionesdiferenciales. 11 Numerossimosmatemticoscompl etaron l aobrai ni ci adaporNewt on yporLei bni z .Debenci tarse,entreellos,aJacoboB er noul l i(1654-1705), qui enescribiunacart aaLei bni zen1687pidindolealgunosesclareci-mi entosquelef aci l i tasenl acomprensindelnuevoClculo;perocomo aquelsabioestuvi era vi aj ando, l acart aslolellegen1690.L atardanz a del arespuesta,hizoqueJacoboB ernoul l isededicaseal aard uatarea depenetrarlossecretosdelClculoDi f erenci al .Tant olcomosuher-manoJuan(1667-1748)di eronmuestrasdeapti tudesexcepcionalespara l ainvestigacinmatemticayl ograrontalesresultadosenl anuevacien-ciaqueLei bni zdeclarquestaerat ant odeelloscomosuya. Essi ndudaelbarnAgustnL ui sdeCauchy(1789-1857)unode losmatemticosmsbenemritosdelClculoDi f erenci aleI nt egr al ,pues f ueelpri meroendemostrar,deunamanerari gurosayplenamentesa-t i sf act ori a,recurri endoalmtododeloslmites,l aconsistenciadesus pri nci pi osf undamental es. #&Dt Comoenl apr i me r apart edeestecursosehaceunbreveestudio dediversasclasesdef unciones,delmitesydeseries,sedanaconocer, acontinuacin,algunosdatosrel ati vosaellos,lomi smoqueunospocos relacionadosconelClculoDi f erenci aleI nt egr al . L apal abraf uncinsedebeaJacoboB e r no ul l i ;l anotacin/ ( # )f ue i nt rod uci d aporLeonardoEul er(1707-1783),yaCauchysedebel ad ef i -nicindefuncindefuncinyl adefuncincompuesta. Losorgenesdel anocindelmitessonremot os;esanocinse presental amentedelosmatemticosgri egos,aunquenoled i eronuna f ormulacincompleta.L aideamodernadelconceptodelmitessed eri va especialmentedeJohnWal l i s,qui enf ueelpr i mer oendarunadefinicin que,f undamental mente,concuerdaconl aquesedaenestet ext o( N 923) . L aabreviacinl i m f ueusada,porpr i mer avez,porelgi nebri noSimn A.J.L hui l i er(1750-1840)en1786,yl austambinCauchy,yelconcep-todelmitesuperiorf uetomadoenconsideracinenpr i me rl ugarpor Bernard oBolzano(1791-1848). CarlosWei rst rass(1815-1897)usL i m . . .parai nd i carquelava-x =a ri abl eindependiente xtiendeaa.En1905,J.G.Leat hem,delSt.John' s College,Cambri dge,sustituyelporl af l echaycomenzaescri bi r l i m.. .Ot romatemticoingls,G.H.Har d y ,nosloadoptal af lecha, x a sinoquehaceobservarqueelusarl a,envezdelsigno= ,esdesuma i mport anci aenloscasosenquepoeselval orlmitedel avari abl e,pues carecedesentidol anotacinl i m.. . L aconvenienciadeabrevi arl aescri t uradelproductodenf actores enterosconsecutivosde1an,productoqueocurref recuentementeenl-12 gebrayenelanlisis,lleval aintroduccindeunsmbolopararepre-sentarlo.Observandocomoelproductodeesosfactorescrecerapidsima-mentealcrecern,enf o r mat anrpidaquesorprende,C h r i st i anK r a mp (1760-1826)ideelpuntodeexclamacinparai ndi cardichoproducto,y elvocablof act or i alfuei ntroduci doporL .F.A.Arbogast(1759-1803). E lmatemticoinglsIsaacTodh unt e r(1820-1884)uselsigno"~|en l ugarde!,yenlosE stadosUni dosentr,muyprobablemente,conlos l i brosdet ext odeeseautor.Peroestanotacinnot uvoacogidaentre losautoresfrancesesyalemanes.E n"Suggestionsf orNot at i onsand Pr i n t i n g " ,el"C ounci loft h eLondonMat h emat i calSoci ety"recomend, en1915,elusodelsigno!. E lp r i mer oquehizousodeunaseri-deArqumides,elcualconsider l aprogresingeomtricadecrecientecuyop r i mertrminoes1yl a raznes1/4,paradet ermi narreadel asuperficiedeunsegmentopara-blico.Comofcilmentesecomprende,unaideaprecisadeconvergencia delasseriesnopudotenerseantesdequequedaraaclaradal anocin delmite. FueCauchyqui enestablecil adistincinf undament aldelasseries enconvergentesydivergentes.Much osconsideranqueJacoboB er noul l i f ueelp r i mer oenreconocerquel aseriearmnicacrecesi nlmites,osea, quedi ver ge;correspondeaLei bni zelmritodehabersidoqui en,por vezp r i me r a,pusoenevidenciaqueexi stenseriesnoabsolutamentecon-vergentes. Lal l amadaseriedeColinMacl aur i n(1698-1746),comolmi smolo reconoci,esdebidaaBrookTayl or(1685-1731). Fundament al ment ecorrespondeaL.E ul erelhaberreconocidol area-cinl i m( 1+-) "ex. AJacoboB er noul l isedebel adenominacindeClculoIntegral, sugeri daen1690yadoptadaporLei bni zen1696.Laintegracinpor sustitucinfueapl i cadadesdelosp ri merosti emposdelClculo,t ant o porJacoboB er noul l icomoporotros,yl aexpresincambiodevariablese encuentraenlasobrasdeCauchy. Laintegracinporpartes,consecuenciai nmedi at adel afrmulaque dal adi f erenci aldeunproducto,seencuentrai nci dental menteenB rook Tayl or,peroladenominacinsedebeaSi l vestreF.Lacroi x(1765-1843). LanotacinIesdeJosFour i er(1768-1830)aparecidaporp r i me-r avezensul i br o" L aThorieanal yti quedel aC h al eur, "ypublicadoen 1822.E sainnovacinfuei nmedi atamente adoptada. ReneDescartes(1596-1650)fuequi eni nt r oduj oloscoeficientesi n -determinados,sibi enavecesseat r i buyenaNewt on,porl araznque steh izomayorusodeellosqueaqul. oon 13 SIMBOLOS MATEMATICOSUTILIZADOS EN EL TEXTO smbolo + X > < > e 7T 1() [] {} lm l og L ,l n , L n f( x ) ; g ( x) r y" 0 0 lectura ms men os por en t r e i g u a l di f er en t e ma yor que men or que ma yoroi gu a l men oroi gu a l t i en dea 2.71 8281 8 3.1 41 59265358979 SmboloLectura V ^ T agrupaci n parn tesi sr ec t a n gu l a r parn tesi s,l l ave lmi te l og a r i t modec i mal l og a r i t mon a t u r a l razen si ma d el t a :i n c r emen t o f un ci nde equi s der i v a dadeye yebi p r i ma si gma ,suma i n f i n i t o n ! --a, b, c, x, y, z (,) 2 - 3 e sen eos t a n cot sec esc n gsen n g eos n g t a n n g cot n gsec n gesc Mf a c t or i a ln i n t eg r a li n d ef i n i d a der i vadapa r c i a l con stan tes var i abl es i n t er v a l oa bi er t o dosport r es lm( 1+l / n ) n oo lm( 1+m) 1 / * m -*0 r a yadef r a c c i n :en t r e seno coseno t an gen t e cot an gen t e secan te cosecante n guloseno,an t i sen o n gulocoseno n gulo t an gen t e n gulocot an gen t e n gulosecan te n gulocosecante mxi mo mn i mo 1 4 FUNCIONES, LIMITES, SERIES FUNCIONES definiciones yclasificacin 1 .Constantes.E nlasi nvesti gaci onesmatemticasi nt er vi enendos clasesdecant i dades:unasquesonconstantesyot rasquesonvariables. Lasconstantespuedenserabsolutasoarbitrarias. As ,enl aexpresiny Bx+2,3y2sonconstantesabsol utas, porquenuncac ambi an;pero,enx2+y2=a2,queesl aecuacindeuna c i r c unf er enc i a,arepresentaelr adi o,ysepuedensuponerci rcunf erenci as grandesopequeas,enlasqueatendrdi f erent esval ores,yslope r ma-necerconstanteenunprobl emadet er mi nado. Aestasegundaclasedeconstantesselasl l amaparmetros.E n l aecuaciny=mx+b,mybsonparmetros. Lasconstantesserepresent anconnmerosoconlaspr i me r asl e-t r asdelal f abeto. 2.Vari abl es. Lasvari abl essondedosclases:independientesy dependientes. E lr adi odeunac i r c unf er enc i apuedevariarindependientementede cual qui ero t r ama g ni t ud,mi e nt r asquel asuper f i c i edelcrculovara, forzosamente,alv a r i a relr a d i o :elradioes,enestecaso,variableinde-pendiente,yl asuperf i ci eesvariabledependiente. Anl ogamente,dadoy x2 12x+32,atodocambi odexcorres-pondeot r opar ay;xesl avar i abl ei ndependi ent eyyesl avariablede-pendiente. Ha ycasosenqueat odavariacindel avar i abl ei ndependi ent ex, enc i er t oi nt er val o,nocorrespondeo t r apar ay.As ,porej empl o,enlos recibosseponeunt i mb r ede2porcada$20of racci n,ysisecon-vieneenrepresent arporxelnmerodepesosyporyeldecentavos, set i e ne : par a01 ;pore j . :a=2.2 ya