Puntos, direcciones y planos en la celda unitaria

Coordenadas de puntosSon los puntos coordenados en la celda unitaria que indican la posición de los átomos.

Direcciones de una celda unitariaSon vectores unitarios que indican la posición de los átomos. Se determinan utilizando una notación llamada índices de Miller, se identifica con las letras h, k, l

Indices de Miller

Forma para determinar los índices de Miller en el sistema ortogonal

Usar el sistema coordenado de la mano derecha, determinar las coordenadas de 2 puntos que se encuentren en la dirección.

Realizar la resta entre los dos puntos (cabeza con cola)

Eliminar las fracciones y/o reducir fracciones a los enteros mínimos.

La dirección se representa entre corchetes. Ej: [1 1 1]

Indices de Miller

Consideraciones a tener en cuenta en los índices de Miller para las direcciones.

Las direcciones son vectores, una dirección y su negativa no son idénticas. La dirección [100] es diferente a la dirección [-100].

Una dirección y su múltiplo son idénticos. La dirección [100] es idéntica a [200],

Ciertos grupos de direcciones son equivalentes, tienen su índices particulares dependiendo de la forma en que se definen las coordenadas y su origen. Ej. [100] = [010]De acuerdo a lo anterior existen familias de direcciones:

<100> = [110] [-1-10][101] [-10-1][011] [0-1-1][1-10] [-110][10-1] [-101][0-1-1] [0-11]

Indices de Miller

Planos en la celda unitariaPara identificar los planos se utilizan los índices de Miller de la siguiente forma:1.Identificar los puntos en donde el plano cruza los ejes x, y, z. Si el plano pasa por el origen del sistema de coordenadas. Este se debe mover.2.Sacar los recíprocos de las intersecciones3.Simplificar las fracciones, NO reducir a enteros mínimos.4.Encerrar entre paréntesis el resultado.

Consideraciones

1. Los planos y sus negativos son idénticos (diferente a las direcciones). Ej. (020) = (0-20)2.Los planos y sus múltiplos no son idénticos. 3. En los sistemas cúbicos, una dirección que tiene los mismos índices que un plano es perpendicular a ese plano.

Indices de Miller

Ejes x, y, z

[1-21](-210)(110)

(0-20)

(120)

Indices de Miller

Indices de Miller para la estructura cristalina hexagonal compacta (HC)

Una forma mas sencilla de representar los indices de Miller para la estructura HC, es realizar una transformacion a ejes hexagonales.

Este sistema coordenado tiene cuatro ejes.

a3

a2

C

a1

Las direcciones en el sistema HC utiliza tres el sistema de 3 ejes.

El procedimiento para determinar los indices de planos es igual que en el sistema de tres ejes, con la salvedad que requiere de 4 intersecciones, obteniendo indices de la forma (h i k l).

h, i, k corresponden a las intersecciones de a1, a2 y a3. Las direcciones se indican con el sistema de 3 o 4 ejes.

Conversión de tres ejes a cuatro

'

''

''

''

)(31

)2(31

)2(31

ll

khi

hkk

khh

Indices de Miller

Determinación de los índices de Miller en la red HC

Planos

1.Determinar las intersecciones de los ejes.2.Determinar los inversos de cada intersección3.Simplificar fracciones

Direcciones

1.Determinar dos puntos de la dirección2.Restar cabeza con cola3.Simplificar fracciones

Plano A

Plano AInterseccionesa1=a2=1, a3= -1/2, c=1Inversosa1

-1=a2-1, a3

-1=-2, c-1=1Indices Miller plano(11-21)

Direccion 1Dos puntos: 0 0 1, 100 0 0 1 – 1 0 0 = -1 0 1No hay fracciones reducir[-101]

h= 1/3(2*1-) –(0) = 2/3K= 1/3(2*0)-(-1)=1i=-1/3(-1+1)=1/3

Dire

ccio

n 1

Tabla de direcciones y planos compactos

Comportamiento isotrópico y anisotrópico

Material anisostrópico: Variación de las propiedades en la direcciones cristalográfica.

Material isotrópico:Material que presenta las mismas propiedades en todas las direcciones cristalográficas.

Ej: Módulo de Young o rigidez(E) del aluminio <111> =75.9 Gpa<100> = 63.4 Gpa

Estructura Direcciones PlanosSC <100> Ninguno

BCC <111> NingunoFCC <110> {111}HCP <100>, <110> 0 <11-20> (0001), (0002)

Sitios intersticialesSon pequeños sitios (espacios vacios) entre los átomos que forman un estructura cristalina donde se pueden ubicar átomos mas pequeños. Se les conoce como sitios intersticiales.

Número de coordinación

Sitio intersticial

Relación de radios

2 Lineal 0-0.155

3 Centro de triángulo 0.155-0.225

4 Centro de tetraedro 0.225-0.414

6 Centro de octaedro 0.414-0.732

8 Centro de cubo 0.732-1.000

Sitios Intersticiales

Se produce cuando se inserta un átomo en una estructura cristalina en un espacio producido por dos o mas átomos en una estructura cristalina. Los átomos intersticiales son de mayor tamaño que los sitios intersticiales, por lo cual la región cristalina vecina esta comprimida y distorsionada.

EjercicioSe desea producir una pared absorbente de radiación con esferas de plomo, en un arreglo cubico centrado en las caras. Se decide que habrá mejor absorción si se llena con esferas mas pequeñas los sitos intersticiales. ¿Cuántas esferas se necesitan para llenar los sitios intersticiales?.Calcular la relación entre los radios iónico y catiónico.

Distancia interplanar

Corresponde a la distancia entre dos planos adyacentes de átomos con los mismo índices (familia de planos).

Relaciona la distancia interplanar con el parámetro de red (a) y los índices de Miller (h k l).

Ecuación para la distancia interplanar de las estructuras cúbicas

222

00

lkh

ad

Relación entre la distancia interplanar y los índices de Miller de las estructuras cristalinas

• 1913: La ley de Bragg permite determinar los ángulos en los que los rayos X son difractados por un material con estructura atómica periódica. por los físicos británicos William Henry Bragg y su hijo William Lawrence Bragg. 1915 recibieron el premio Nobel de Física.

es una técnica utilizada para estudiar la estructura de los materiales.Henry Bragg (1862- 1942) determinó una relación entre la distancia interplanar, la longitud de onda de los rayos X y en ángulo de reflexión.A esta relación se le conoce como ley de Bragg:

hkldsen

2

Ѳ es la mitad del angulo que forma del haz difractado y el haz original.Lambda es la longitud de onda de los rayos X d la distancia interplanar

Difracción de rayos X

0 20 40 60 80

0

2000

4000

6000

8000

10000

Y A

xis

Titl

e

X Axis Title

B

20 30 40 50 60 70 80 90

(212

)

(422

)

(331

)

(400

)

(311

)

(2 2

0)

Cd1-xMgXTe

Inte

nsi

dad

(u

.a)

2 theta ( o )

CdTe

(111)

DRX vidrio DRX cristal

Difractorgramas de rayos X.

Patrón de difracción de electrones

Ejercicio: Determine en que ángulo 2θ difractará el plano (111) del Cu, cuando se utiliza radiación de Cu (λ = 1,5406 A). El Cu presenta un parámetro de red de 3,6151 A.

hkldsen

2

222

00

lkh

ad