Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

CONCEPTOS BÁSICOS

Dominio:

El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los

objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por:

En matemáticas, el codominio o conjunto de llegada de una función

es el conjunto que participa en esa función, y se denota o

bien

Sea la imagen de una función , entonces .

Imagen

La imagen, recorrido o rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los objetos transformados, se denota

o bien y está definida por:

Ejemplos

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Función con Dominio X y Codominio Y

En la figura se puede apreciar una función , con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda:

FUNCIONES SEGÚN EL TIPO DE APLICACIÓN

Función inyectiva

Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

o lo que es lo mismo,

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Función sobreyectiva

Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando

el conjunto imagen . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

Función biyectiva

Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

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BiyectivaNo sobreyectiva, no inyectiva

o La función definida por , tiene como dominio e imagen

todos los números reales

o Para la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo

tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

FUNCIONES SEGÚN SU NÚMERO DE VARIABLES

Siempre es posible restringir tanto el dominio como la imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, es completamente válido

restringir al dominio de los números naturales, para que el conjunto imagen tome así los valores comprendidos en el intervalo [0,+∞).

Además, el dominio y la imagen pueden tener cualquier número de variables. Dicho número permite clasificar a las funciones como sigue:

Función escalar

Función del tipo

Campo escalar

Función del tipo

Función vectorial

Función del tipo

Campo vectorial

Función del tipo

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CONCEPTOS DE FUNCIONES DE VALOR REAL

Para funciones tenemos:

Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.:

Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.

ALGEBRA DE LAS FUNCIONES

Composición de funciones

Dadas dos funciones y tales que la imagen de está

contenida en el dominio de , se define la función composición

como el conjunto de pares , para todos los elementos de .

Dado conocemos , puesto que conocemos la función , y dado

cualquier elemento de conocemos también , puesto que conocemos

la función . Por tanto, está definido para todo x. Luego cumple la condición de existencia que se exige a las funciones. También cumple

la condición de unicidad, dado que para cada el valor de es único, y para

cada también lo es el de , por ser y funciones. La composición de funciones es asociativa:

Sin embargo, en general, la composición de funciones no es conmutativa.

Dadas y , puede no tener ni siquiera sentido,

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porque “devuelve” elementos de , en tanto que está definida en el dominio . Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o

son el mismo conjunto), nada garantiza que la composición de funciones sea

conmutativa. Por ejemplo, con funciones numéricas y

, , en tanto que

Función identidad

Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de se denomina función identidad o función unitaria.

Dada cualquier función , es claro que es igual a

y que es también igual a , puesto que para todo

y también

Función inversa

Dada una función , se denomina función inversa de ,

a la función que cumple la siguiente condición:

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso

justifica la notación , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente

para la existencia de es que sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

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Existe función inversa de y

es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE Y FUNCIONES DISCRETAS

Funciones reales de variable real

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas

o entre conjuntos de números ( ).

Funciones reales y funciones discretas

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por

conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

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Funciones pares e impares

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Funciones monótonas

1. La función f es estrictamente creciente en:

2. f es estrictamente decreciente en:

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

1. f es creciente en:

2. f es decreciente en:

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Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monótona.

FUNCIONES PERIÓDICAS

Una función es periódica si se cumple: donde es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple:

.

Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos

Funciones cóncavas y convexas

Una función es convexa en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función.

Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

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