“Año de la consolidación del Mar de Grau”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICAPRIMERA PRACTICA“TRACCION SIMPLE”

Curso: Calculo por Elemento Finitos

Sección: “E”

Docente Cueva Pacheco, Ronald

Estudiante: Código:

Velásquez Párraga Diego Ayrton 20130297H

Periodo Académico: 2016-I

LIMA-PERU2016

PRIMERA PRÁCTICA

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Considere la placa delgada (acero) de la figura .La placa tiene un espesor uniforme t = 150mm, módulo de Young E =3.0x105 N/mm2 y peso específico γ = 8.0gr-f/cm3. Además de su propio peso, la placa está sometida a una carga concentrada PA= 50 KN en el punto indicado.

1

SOLUCIÓN:1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Consideraremos tres elementos finitos a analizar. Para facilitar los cálculos los dos primeros serán de longitud de 250mm y el tercero de 500mm.

El ancho de cada elemento se calcula tomando el punto medio de cada elemento finito.

Hallando las bases medias por proporcionalidad:

b3=1200−2∗600∗5002000

=900mm

b2=450mm

b1=150mm

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Las áreas se calculan de la siguiente relación:

Ai=bi x t

Luego se obtiene el Cuadro de conectividad:

e NODOS GDL le (mm)

Ae (mm2)(1) (2) 1 2

1 1 2 1 2 250 150002 2 3 2 3 250 450003 3 4 3 4 500 90000

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES .- (GDL)

(VECTOR DESPLAZAMIENTO)

A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

3

Luego el vector de desplazamiento será:

Q=[Q1Q2Q30

]mmDonde Q4 = 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas.

.

3. VECTOR CARGA

4

Debido a que la densidad es: γ = 8.0gr-f/cm3= 8.0x10^-3gr-f/mm3

Se hallara el peso con este valor asumiendo que este se distribuye de manera simétrica en cada nodo.

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

F11=

−γ ( Axl)12 =−15000

F21=

−γ ( Axl)12 =−15000

F22=

−γ ( Axl)22 =−45000

F32=

−γ ( Axl )22 −FA=−45000−3058103.97

F33=

−γ (Axl )32

=−180000

F43=

−γ (Axl )32 +R4=−180000+R4

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

F1=F11=−15000 grf

F2=F21+F2

2=−60000grf

F3=F32+F3

3=−3283103.97 grf

F4=F43+F4

4=−180000+R4

Entonces el vector carga se expresara de la siguiente manera:

F=[F1F2F3F4]=[ −15000−60000

−3283103.97−180000+R4

] grf= 9.811000x [ −15000

−60000−3283103.97−180000+R4

]N5

4.-MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por la siguiente ecuación:

K i=( AEl )1[ 1−100

−1100

0000

0000]+( AEl )

2[000001

−10

0−110

0000]+( AEl )

3[00000000

001

−1

00

−11 ]

Reemplazando los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad tenemos:

K i=15000 x3 x105

250 [ 1−100−1100

0000

0000]+ 45000 x3 x105250 [0000

01

−10

0−110

0000]+ 90000 x3 x105500 [0000

0000

001

−1

00

−11 ]

K i=[ 18000000−1800000000

−1800000072000000

−540000000

0−54000000108000000−54000000

00

−5400000054000000 ]N /mm

5.-ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

F i=K i x Q

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Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

9.811000

x [ −15000−60000

−3283103.97−180000+R4

]=[ 18000000−1800000000

−1800000072000000

−540000000

0−54000000108000000−54000000

00

−5400000054000000 ] x [Q1Q2Q3

0]

Para poder resolver este sistema de ecuaciones tomamos la siguiente submatriz:

9.811000

x [ −15000−60000

−3283103.97 ]=[ 18000000−180000000

−1800000072000000

−54000000

0−54000000108000000 ] x [Q1Q2Q3]

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:

[Q1Q2Q3]=[−0.6318−0.6236−0.61 ]um

Para obtener la reacción en el empotramiento tomamos la siguiente submatriz:

9.811000

x [−180000+R4 ]= [0 0 −54000000 54000000 ][Q1Q2Q30

]Reemplazando los valores de Q obtenemos:

9.811000

x [−180000+R4 ]= [0 0 −54000000 54000000 ][−0.63−0.62−0.610 ]

R4=3357978.165grf

6.-ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

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σ e=( El )e [−1 1 ] [ QiQ i+1]Y obtenemos lo siguiente:

σ 1=( 3.0 x105250 )1

[−1 1 ] [−0.6318−0.6236] x10−3=0.00984MPa

σ 2=( 3.0 x105250 )2

[−1 1 ] [¿−0.6236−0.61 ] x10−3=0.00984MPa

σ 3=( 3.0 x105500 )3

[−1 1 ][−0.610 ] x10−3=0.366MPa

7.-RESULTADOS

Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

R4=3357978.165grfσ 1=0.00984MPaσ 2=0.00984MPaσ 3=0.366MPa

8.-DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOS

CONSTANTES : E, f, t

8

VECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F=

[AL1γ2

+R1

AL2 γ2 +

AL1 γ2

AL3 γ2

+ AL2 γ2

+PA

AL3 γ2

] ; K=

[EA1

L1−EA1

L10 0

−EA1

L1EA2

L2+ EA

1

L1− EA

2

L20

0 − EA2

L2EA3

L3+EA

2

L2−EA

3

L3

0 0 − EA3

L3EA3

L3]

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

[AL1 γ2

AL2 γ2 +

AL1 γ2

AL3 γ2

+ AL2 γ2

+PA

AL3 γ2

]=

[−1 −EA 1

L10 0

0 EA 2

L2+ EA

1

L1− EA

2

L20

0 − EA2

L2EA3

L3+EA

2

L2−EA

3

L3

0 0 − EA3

L3EA3

L3][R1Q2Q3Q4 ]

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

R1 , Q2 , Q3 , Q4 , E1 , E2 , E3

9.-DIGITACIÓN EN MATLAB

clcclear allR1=sym('R1');%datos de entradab0=input('Ingrese base inferior(mm):')

9

FIN

bn=input('Ingrese base superior(mm):')t=input('Ingrese espesor(mm):')h=input('Ingrese altura(mm):')n=input('Ingrese numero de elementos finitos:')E=input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):')y1=input('Ingrese densidad(gr-f/cm3):')Pa=input('Ingrese carga(N):')%calculo de bases y áreas de elementosle=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1); Fe=zeros(n+1,1);bo(1)=b0; ho(1)=h;for i=1:nif n>ile(i)=input('Ingrese longitud del elemento finito(mm):');b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2;a(i)=b(i)*t;ho(i+1)=ho(i)-le(i);bo(i+1)=2*b(i)-bo(i);elsele(i)=ho(i);b(i)=(bn+bo(i))/2;a(i)=b(i)*t;endenddisp('Bases(mm):')disp(b')disp('Alturas(mm):')disp(h')disp('Longitudes(mm):')disp(le')disp('Areas(mm^2):')disp(a')%calculo de las fuerzasy=y1*0.00980665*10^-3;for i=1:nFe(i)=y*a(i)*le(i)/2;endfor i=1:n+1if i==1F(i)=Fe(i);elseif i==n+1F(i)=Fe(i-1);elseF(i)=Fe(i-1)+Fe(i);endendF(2)=F(2)+Pa;disp('El vector de fuerzas(N):')disp(F')%calculo de la matriz rigidezk=zeros(n+1);for i=1:nx=zeros(n+1);x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1;k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x;enddisp('La matriz de rigidez es(N/mm):')

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disp(k)%calculo de desplazamientosinv(k(2:n+1,2:n+1));((F(2:n+1))');Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))');Q=[0;Q];disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):')disp(Q)%calculo de la reaccionk(1,:)*Q;R1=k(1,:)*Q-F(1);disp('La reaccion en el extremo es:')disp(R1)%calculo de esfuerzosfor i=1:ne(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)];enddisp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):')disp(e');

10. CONCLUSIONES

11

Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas

(décimas de micras), además todas son hacia abajo que es el sentido

opuesto al asumido como referencia.

Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión

para nuestro sistema de referencia.

Los esfuerzos calculados son tres positivos, lo que significa que tres son

de tracción, respecto al sistema de referencia elegido.

En el programa hemos usado la format long en vez de la format short

ya que así obtendremos una mayor exactitud.

El uso de MATLAB es muy importante, ya que podemos modelarlo de

forma más sencilla y así poder tener un resultado con mayor exactitud.

La precisión en el resultado con respecto al uso del Matlab es muy alta,

lo que significa que para el cuerpo estudiado el número de elementos

finitos (tres) es suficiente gracias a su geometría simple.

Para otras figuras, la precisión será directamente proporcional al

número de elementos finitos en que se divida, pues entre más se

escojan, menor error en los cálculos.

11. BIBLIOGRAFÍA

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CHANDRUPATLA, T. “Introducción al Estudio de los Elementos Finitos en

Ingeniería”, Prentice Hall, 1999

ZIENKIEWCTZ, O. “The Finite Element Method”, New Cord, Mec Graw – Hill,

1977.

ZIENKIEWCTZ, O. and MORGAN K. “Finite Elements and Approximation”,

New Cork, Wiley, 1982.

LIVESLEY, R. “Finite Element: An Introduction for Engineers”, Cambridge,

Great Britain, Cambridge University Press, 1983.

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