Ingeniería Eólica en Monumentos del Bicentenario ... · ... Departamento de Ingeniería Civil, ... mediante la solución con el método de los elementos finitos, ... En este trabajo

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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

INGENIERÍA EÓLICA EN MONUMENTOS DEL

BICENTENARIO – ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS

Jesús Gerardo Valdés Vázquez1, Galo Israel Villalpando Granados2 y Alejandro Hernández Martínez1

RESUMEN Este año se celebra en México el Bicentenario de la Independencia y el Centenario de la Revolución Mexica-na. Con este motivo se han proyectado y construido en todo el país monumentos que recuerden con orgullo la manifestación de dichos eventos históricos. Algunos de los monumentos representan todo un reto a la Inge-niería, sobre todo desde el punto de vista eólico. Esto obedece a las formas geométricas estructurales que están fuera de cualquier reglamento ó manual de diseño por viento. Por esta razón, nos hemos visto en la necesidad de utilizar la Dinámica Computacional de Fluidos para encontrar las fuerzas por viento actuantes sobre los Monumentos del Bicentenario de la Independencia y del Centenario de la Revolución Mexicana.

ABSTRACT This year is celebrated in Mexico the Bicentennial of the Mexican Independence and the Centennial of the Mexican Revolution. For these reasons on this occasion have been designed and built monuments throughout the country to remember with pride the manifestation of these historical events. Some of the monuments represent a challenge to engineering, especially from the standpoint of wind design. This is due to structural shapes that are outside of any regulation or wind design manual. For this reason, we have seen the need to use Computational Fluid Dynamics to find the wind forces acting on Monunents of the Bicentennial of the Mex-ican Independence and the Centennial of the Mexican Revolution.

INTRODUCCIÓN En diferentes partes de país, el gobierno a través de los estados y los municipios ha decidido construir estruc-turas que permitan conmemorar el bicentenario del inicio de la independencia y el centenario del inicio de la revolución. A través de concursos públicos se ha designado a los proyectos ganadores que serán construidos en diferentes partes de la república mexicana. Como es de esperarse, los proyectos ganadores están formados por estructuras cada vez más audaces en lo referente a su análisis y diseño estructural. Esto debido a que tienen geometrías complejas que no se analizan fácilmente como se hace para cualquier otra estructura tradicional. Sin embargo, esto desde hace tiempo dejó de ser un problema gracias al avance y la eficacia del software comercial de análisis disponible en el mercado. A pesar de estas herramientas, un problema importante a considerar por parte de los ingenieros es el análisis sísmico, que con los ingenieros especializados que cuenta nuestro país no representa mayor problema. Por otro lado, estos monumentos con geometrías caprichosas representan todo un problema para ser diseñadas eficientemente desde el punto de vista eólico. La razón es debida a que ninguna de estas estructuras cuenta con recomendaciones específicas de diseño en los actuales reglamentos y manuales de diseño por viento. Como consecuencia, la estimación de fuerzas por viento para este tipo de monumentos queda fuera del alcan-ce de la mayoría de los ingenieros estructuristas con que cuenta nuestro país. Una forma de solucionar el pro-

1 Investigadores de la Universidad de Guanajuato, Departamento de Ingeniería Civil, Av. Juárez No. 77,

Colonia Centro, C.P. 36000, Guanajuato, Gto., México. Teléfono +52 (473) 10 20 100; [email protected] y [email protected] 2 Tesista del Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Guanajuato.

XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato 2010.

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blema es estudiando cada estructura en particular en el túnel de viento. Lamentablemente, el túnel de viento además de ser bastante costoso resulta ser difícil de acceder para la mayoría de los ingenieros. Por esta razón, en este trabajo estamos usando una alternativa que se utiliza en otras ingenierías y que ha demostrado ser capaz de predecir los efectos de cualquier fluido actuando sobre una geometría particular. Estamos haciendo referencia a la Dinámica Computacional de Fluidos, que utiliza Elementos Finitos para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Algunos ejemplos donde se puede utilizar este tipo de tecnología aplicado a la Ingeniería Civil son por ejemplo las Torres de Bicentenario que se están construyendo en la ciudad de Toluca y la Antorcha del Bicentenario que se construye en la ciudad de León, como se muestra en la figura 1 y cuyas imágenes se han obtenido de las siguientes páginas de internet que aparecen en las referen-cias (Torres, 2010), (Antorcha, 2010) respectivamente.

Figura 1 Monumentos del Bicentenario, izquierda Torres, derecha Antorcha En este trabajo se presentarán las ecuaciones que se utilizan en la Dinámica Computacional de Fluidos así como un ejemplo de aplicación real.

DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL ECUACIONES DE GOBIERNO El análisis eólico de monumentos del bicentenario estudio de investigación que se presentan en éste trabajo se realiza mediante el método de los elementos finitos, para lo cual se han utilizado las ecuaciones de conserva-ción de la cantidad de movimiento junto con la ecuación constitutiva de fluidos newtonianos, de manera que juntos forman las ecuaciones de Navier-Stokes en configuración euleriana, y en el caso particular de que exis-ta incompresibilidad se expresan por

iii

ijji vb

xpvv

tv 2∇++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ μρ

∂∂∂

∂∂ρ (1)

donde p es la presión del fluido y vi son sus componentes de la velocidad, ρ es la densidad del fluido y μ su viscosidad. A la ecuación anterior se le debe sumar la ecuación de continuidad, que para el caso incompresi-ble se reduce a

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3


∇ ⋅ v = 0 (2)

Las ecuaciones (1) y (2) provenientes de la mecánica de medios continuos forman el punto de partida para proceder a su formulación con elementos finitos, y que junto con apropiadas condiciones iniciales y de con-torno se conocen como la forma fuerte del planteamiento del problema, (Batchelor, 2000). FORMULACIÓN La formulación de las ecuaciones de gobierno del problema consiste en transformar las ecuaciones (1) y (2) de su forma fuerte a su correspondiente forma débil, ya que se ha demostrado matemáticamente que la solu-ción de la forma débil es la misma que la solución de la forma fuerte. Tras una adecuada manipulación ma-temática, se llega a obtener las siguientes ecuaciones

δ vi ρ∂ vi

∂ t+ ρ v j

∂ vi

∂ x j

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ dΩ − p

∂δ vi

∂ xi

dΩΩ∫ +

Ω∫ μ

∂ vi

∂ x j

∂δvi

∂ x j

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ dΩ

Ω∫ =

= δ vi ρ bi dΩΩ∫

(3)

δ p∂ v j

∂ x j

dΩ = 0Ω∫ (4)

que son las mismas ecuaciones de Navier-Stokes más la ecuación de continuidad ahora en forma débil listas para ser transformadas del continuo al discreto y de esta forma obtener la misma solución que las ecuaciones originales (1) y (2), (Codina, 2000), (Codina, 2001), (Valdés, 2008). DISCRETIZACIÓN CON ELEMENTOS FINITOS A pesar de que la solución de las ecuaciones (1) y (2) es equivalente a la solución de las ecuaciones (3) y (4), el problema de poder encontrar cualquier solución de manera exacta aún persiste. Una de las formas más apropiadas de abordar este problema es mediante la solución con el método de los elementos finitos, que consiste en dividir el problema continuo en múltiples elementos, que al tener un núme-ro finito, se convierten en discretos. De esta forma nace la palabra discretizar, que significa dividir el dominio del problema para estudiarlos con múltiples elementos individuales que llamamos elementos finitos. Tras un procedimiento adecuado de discretización, las ecuaciones (3) y (4) se convierten en

( ) extfpGvvKvM =−+& (5)

G T v = 0 (6) que representan la solución del problema por elementos finitos mediante un sistema de ecuaciones no-lineal, cuyas variables principales son la presión p y el vector velocidad v de cada nodo que conforman la malla de elementos finitos. En la ecuación (5), M es la matriz de masa, K(v) es la matriz no-lineal que forman los términos convectivo y viscoso, G es una matriz para relacionar en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento el término de la presión y fext son las fuerzas externas que se aplican sobre el fluido. En la ecuación (6), GT es una matriz para relacionar en la ecuación de continuidad el término de la velocidad. En la parte de )(vK compuesta respectivamente por las dos siguientes ecuaciones se discretiza por


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∫ΩΩ

∂∂

= dxNvNK

j

IhIij

convectivo ρδ (7)

∫ΩΩ

∂∂

∂∂

= dxN

xNK

j

J

j

Iij

ovis μδcos (8)

donde ijδ es la delta de Kronecker, ρ es la densidad en configuración actual y hv es el campo aproximado de la velocidad cuyas componentes se obtienen a partir de

)()(1

tvNv iI

nodos

II

hi ∑

=

= ξ (9)

donde 3,2,1=i es cada una de las direcciones del espacio tridimensional y iIv son las coordenadas de cada nodo I de la malla de elementos finitos e i es su dirección correspondiente en el espacio tridimensional, x, y o z. En la ecuación 5, G se expresa por

∫ΩΩ

∂∂

= dxNNG

j

JI (10)

Obviamente, el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (5) y (6) debe ser estabilizado para su co-rrecto funcionamiento. En este trabajo se utiliza el método de las subescalas ortogonales denominado OSS. Así mismo, se ha optado por un desacople del término de la presión y la velocidad, para de esta forma solu-cionar el problema con el menor número de grados de libertad de manera conjunta. No hay que olvidar que a las ecuaciones (5) y (6) les hace falta tanto sus condiciones iniciales como de contorno, para de esta manera tener bien planteado el problema que pretendemos solucionar. (Codina, 2000), (Codina, 2001), (Valdés, 2008). PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO El procedimiento que se debe seguir para hacer el cálculo por elementos finitos por viento mediante la diná-mica computacional de fluidos consiste en seguir una serie de pasos que a continuación se describen.

1. A partir de la geometría real de la estructura en estudio, se construye una malla de elementos finitos que abarque todo el dominio del problema y la capa límite alrededor de la estructura.

2. Se identifican las partes de la malla anterior donde la velocidad vale cero (alrededor de la superficie exterior de la estructura y en el suelo) así como la zona donde la presión se prescribe (en este casi a cero en la salida que se encuentra al final del dominio). También hay que imponer las velocidades de diseño en la entrada del dominio. En nuestro caso, estas velocidades de diseño se han obtenido a par-tir del Manual de Diseño por Viento de la CFE-2008, (CFE, 2008).

3. Se debe ingresar el tamaño del paso de tiempo con el que se desea resolver la dinámica del problema. En nuestro caso se utilizó un paso de tiempo de 0.001 segundo. También se debe aportar el número total de pasos de tiempo a resolver, que en este trabajo se ha optado por 6,000 veces. Es decir, se re-solvió un problema de dinámica de fluidos no-lineal un total de 6,000 veces, con un incremente del paso de tiempo de 1 milésima de segundo, lo que da un análisis del problema de 6 segundos en el tiempo.

4. Con los datos anteriores se comienza el análisis, que toma varios de días de tiempo de cómputo. De-ntro de esta parte se ha programado una parte especial que consiste en para cada instante de tiempo se guarda la solución de manera que al final se utilice para calcular la envolvente, máxima, media y mínima del la solución del problema. A diferencia de los resultados que antes se obtenían, esta parte nos da resultados más exactos debido que si bien el programa calcula para cada instante de tiempo, no guarda la solución en cada instante de tiempo, sino cada 10, 20 o 50 pasos de tiempo. Esto por la

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sencilla razón de que los resultados ocupan demasiado espacio en el disco y un archivo que guarde información en cada instante de tiempo ocuparía más de 5 o 10Gb. de tamaño, lo que después resulta imposible de leer si se cuenta con una PC con tan solo 2 o 4 Gb de memoria RAM.

5. Se analizan los resultados y se verifica que la solución obtenida sea real y no se obtengan soluciones espurias en los diferentes pasos de tiempo reportados.

EJEMPLO

DISTRIBUCION DE PRESIONES SOBRE ESTRUCTURA Antorcha del Bicentenario Una aplicación importante de la Dinámica Computacional de Fluidos se ha hecho en el análisis y diseño es-tructural de la Antorcha del Bicentenario que se construirá en León, Guanajuato. El problema consiste en encontrar las fuerzas que el viento genera sobre la estructura en mención, debido a que su especial geometría está fuera de cualquier reglamento y manual de diseño por viento, (Valdés et al. 2010) Como punto de partida se muestra el dominio de estudio de la estructura para cuando el viento fluye en la dirección local-X, que se aprecia en la figura 2.

Figura 2 Dominio para Análisis por Viento en Dirección Local-X Dentro del domino de la figura 2 se encuentra la Antorcha del Bicentenario, que es la que está formada a la izquierda en la zona donde se juntan los volúmenes. El motivo de tener que estudiar una estructura mucho más grande se debe a que solo de esta forma se puede simular correctamente el flujo del viento alrededor de la estructura, tal y como se hace en el túnel de viento. En la figura 3 se aprecia el dominio de estudio de la es-tructura para cuando el viento fluye en la dirección local-Y.


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Figura 3 Dominio para Análisis por Viento en Dirección Local-Y Se ha hecho un cálculo para determinar las fuerzas por viento en dos direcciones ortogonales, y con estos valores proceder a analizar la Antorcha para finalmente diseñarla. Los datos del análisis por viento consisten en determinar las velocidades de diseño por viento, los cuales se han calculado utilizando en Manual de Diseño por Viento 2008 de la Comisión Federal de Electricidad. La velocidad máxima de diseño corresponde a 62.83 m/s que está distribuida a la entrada de la parte alta del dominio y cuyo valor mínimo es de 53.69 m/s en la parte baja. Las propiedades del viento (fluido) son: densi-dad ρ =1.185 kg/m3 y viscosidad μ =0.00001831 m/(cm s). El tamaño del paso de tiempo utilizado en el estudio fue de tΔ =0.001 s. por un espacio de tiempo de 6.0 s., lo que da como resultado un cálculo no-lineal repetido 6,000 veces. El tipo de elemento finito utilizado en el estudio corresponde a elementos finitos tridimensionales de 8 nodos, los cuales tienen 7 grados de libertad por nodo (3 de velocidad, 1 de presión y 3 de estabilización). La inte-gración se realizó utilizando el método de Gauss-Legendre tomando 8 puntos de integración. Para la determi-nación de las fuerzas de viento en la dirección local-X se utilizó una malla de elementos finitos de 98,430 elementos y 93,120 nodos, mientras que en la dirección local-Y se utilizaron 97,455 elementos y 92,160 no-dos. El sistema consiste en resolver un sistema no-lineal de ecuaciones de aproximadamente 650,000 ecua-ciones con 650,000 incógnitas durante 6,000 veces. Esto representa un enorme esfuerzo de cómputo que con-sume 1.2 Gb de memoria RAM y cerca de 1 Gb de resultados escritos en espacios de cada 0.01 s. El dominio con las diferentes capas estudiadas se aprecia en la figura 4, donde se observa en la parte izquierda el dominio sin la malla de elementos finitos, y en la parte derecha el dominio junto con la malla de elementos finitos.

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Figura 4 Dominio para Análisis por Viento en Dirección Local-X con Malla de Elementos Finitos Podemos apreciar de la figura 4 en su parte izquierda como se encuentra embebida la Antorcha del Bicentena-rio en todo el dominio del fluido, ya que la vista presentada está hecha por la parte de abajo del dominio. En la misma parte pero en la figura de la derecha se ve como se refina la malla para poder capturar la capa límite del problema que es lo que nos permite encontrar una solución satisfactoria al problema en estudio. Para el postproceso de resultados se ha reducido la información de la malla, por considerar que está demás la información que se encuentra alejada de la estructura y quedando solamente las cercanías que rodean a la estructura en el archivo de resultados. En la figura 5 se muestra la media de todos los valores obtenidos a lo largo del rango de tiempo estudiado, con la finalidad de poder hacer un análisis estructural. Estos valores corresponden a la dirección local-X.

Figura 5 Contornos de Presión Media [Pa] En la figura 6 están los valores envolventes de presión máxima para la dirección local-X.


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Figura 6 Contornos de Presión Envolvente [Pa] El ingeniero proyectista es quien debe decidir con que valores va a analizar su estructura. Sin embargo, tal y como se demuestra en (Ávila, 2010), cuando se quiera hacer un análisis dinámico es mejor utilizar presiones medias, mientras que si se va a realizar un análisis estáticos en mejor utilizar presiones envolventes. Sin em-bargo, estos valores deben ser estudiados cuidadosamente a fin de no cometer arbitrariedades al momento de hacer el análisis estructural correcto. La forma más correcta de hacer un análisis de este tipo es mediante in-teracción fluido-estructura de manera que se tengan en cuenta todos los pasos de tiempo dinámicos analizados tanto en el fluido como en la estructura. Trabajos de este tipo donde se ha estudiado este fenómeno se pueden encontrar en (Valdés et al., 2010). Por otra parte, los resultados del análisis en la dirección local-Y se muestran en la figura 7.

Figura 7 Contornos de Presión Media [Pa]

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En la figura 8 están los valores envolventes de presión máxima para la dirección local-Y.

Figura 8 Contornos de Presión Envolvente [Pa] Se puede observar que independientemente del tipo de análisis que se quiera efectuar a la estructura (ya sea estático o dinámico) los resultados mayores se presentan en la dirección local-X. Sin embargo, hay que tomar en cuenta los elementos mecánicos generados en la base y que para este análisis aparecen en la tabla 1. Estos valores nos dan una idea de cuál de las presiones, ya sea en dirección local-X ó local-Y, es la que genera ac-ciones más desfavorables sobre la estructura.

Tabla 1 Cortantes y Momentos Flexionantes en la Base Dirección Cortante [N] Momento [N m]

Viento local-X 281,069 3,880,283 Viento local-Y 240,732 6,542,623

Como se puede observar de los resultados de la tabla 1, a pesar de que los valores de presión máximos se encuentran en la dirección local-X, las presiones en dirección local-Y son las que generan acciones mecánicas más desfavorables. AEROELASTICIDAD SOBRE ESTRUCTURA Antorcha del Bicentenario Con el fin de saber a más detalle que pasa en la Antorcha del Bicentenario, se ha realizado un análisis de interacción fluido-estructura de manera que se tome en cuenta la deformación de la estructura. La malla de elementos finitos para la estructura aparece en la figura 9.


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Figura 9 Contornos de Presión Envolvente [Pa] La malla de elementos finitos consta de 2,478 nodos y 4,872 elementos triangulares de 3 nodos. El tipo de elemento utilizado es elemento no-lineal geométrico de lámina sin grados de libertad por rotación, lo que da un total de 3 grados de libertad por nodo, (Valdés and Oñate, 2009), Uno de los resultados más interesantes que se pueden obtener del análisis estructural aparece en la figura 10. Ahí se presentan las fuerzas de von-Mises, indicándonos la parte más frágil de la estructura y el lugar en don-de ésta puede fallar si es que se analiza y diseña erróneamente. No es de sorprender que la posición más críti-ca de falla esté cerca de la mitad de la estructura. Esto se debe a dos razones: la primera es que la estructura está proyectada con una reducción de la sección a medida que crece la altura, engrosándose nuevamente en la parte más alta de la misma, y en segundo lugar, es el punto donde generalmente hay que tener cuidado al momento de calcular edificios altos ya que suelen fallar en esa zona. Lo sorprendente en este resultado es que se han logrado obtener soluciones a través de un análisis de interacción fluido-estructura. Hay que remarcar que la estructura real no se modeló con elementos tipo lámina, pero se calculo una rigidez equivalente que permitiera efectuar un acoplamiento del viento con la estructura de manera más sencilla.

Figura 10 Fuerzas de von-Mises

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En la figura 11 se muestra como se deforma la Antorcha del Bicentenario para varios instantes de tiempo, de donde se puede además encontrar el desplazamiento máximo de la estructura en su parte superior y que es de 11.8 cm. La deformada de la figura 11 se encuentra amplificada 20 veces.

Figura 11 Deformada para Varios Instantes de Tiempo DISTRIBUCION DE PRESIONES SOBRE ESTRUCTURA Torres del Bicentenario Otro proyecto en el que estamos trabajando desarrollando investigación desde el punto de vista eólico y de aeroelasticidad son las Torres del Bicentenario que se construyen en la ciudad de Toluca. Actualmente los alumnos Ana María Primo Ramírez y Miguel Gabriel Santana Magueyal realizan su tesis de licenciatura para obtener el grado de Ingeniero Civil haciendo no solamente las partes mencionadas, sino también en análisis sísmico y de procedimiento constructivo. En la figura 12 se presenta la geometría de dichas torres.

Figura 12 Geometría de las Torres del Bicentenario, Toluca, Edo. de México Hasta ahora, el principal problema en el análisis de las Torres del Bicentenario es la construcción de una ma-lla de elementos finitos para la dinámica computacional de fluidos que nos permita capturar la capa límite de forma adecuada y poder encontrar las fuerzas por viento para el correcto análisis de la estructura.. La parte sísmica y de procedimiento constructivo no representan mayor dificultad. Se espera contar con resultados definitivos para la presentación del trabajo en el congreso.


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CONCLUSIONES

Se puede concluir de este trabajo que la determinación de fuerzas por viento sobre estructuras que no se en-cuentran en reglamentos ni manuales de diseño por viento es bastante complicada. A pesar que existen formas de conocer una distribución de presiones correcta como lo permite el túnel de viento, esta práctica está cada vez más desplazada por las nuevas técnicas y exactitud que en particular brinda la dinámica computacional de fluidos. Al menos esto es lo que ha demostrado la ingeniería aeronáutica y aeroespacial, donde se han dejado de invertir millones de dólares en el túnel de viento y hacerlo utilizando la dinámica computacional de flui-dos. El principal inconveniente hasta ahora radica en la generación de la malla de elementos finitos con su capa límite, trabajo que es bastante laborioso, así como el tiempo de cómputo que se lleva en resolver el pro-blema con las máquinas con que disponemos actualmente, que toman entre varios días y hasta semanas en resolver un problema como el que se expuso en este trabajo. La solución radica entonces en programar en paralelo nuestras cuestiones de ingeniería.

AGRADECIMIENTOS Se agradece al Ing. Jorge Lucio Lerma Carmona la geometría de la Antorcha del Bicentenario proporcionada para poder realizar esta investigación.

REFERENCIAS Antorcha (2010), página de internet: http://enmediodelascosas.wordpress.com/2010/02/07/antorcha-bicentenario-de-mural-a-escultura-x-arquitectura/. Ávila, G. (2010), “Análisis Dinámico por Viento de una Chimenea de Acero Tipo Industrial. Interacción Fluido-Estructura Mediante el Método de los Elementos Finitos”, Tesis de Licenciatura, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Guanajuato. Batchelor, G. K., (2000), “An introduction to fluid dynamics”, Cambridge University Press, Cambridge. Codina, R., (2000), “Stabilization of incompressibility and convection through orthogonal subscales in finite element methods”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 190, pp. 1579-1599. Codina, R., (2001), “Pressure stability in fractional step finite element methods for incompressible flows”, Journal of Computational Physics, vol. 170, pp. 112-140. Torres (2010), página de internet: http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?p=53122685. Valdés, J. G., Hernández, H. y Hernández, A., (2010), “Análisis Aeroelástico de Chimeneas de Acero Utili-zando Elementos No-Lineales de Lámina Sin Rotación”, Revista Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, Artículo Aceptado a publicarse en Septiembre-Octubre de 2010. Valdés, J. G., (2008), “Fluid-structure interaction analysis. Development with finite analysis”, Editorial Verlag VDM, Alemania, 213 pp.

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