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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADASESPE
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
DETERMINACIN DE LA TRANNSFORMADA INVERSA Z APLICANDO LA INTEGRAL
DE INVERSIN
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE PROCESAMIENTO DIGITAL DE
SEALES
3 ING ARMANDO LVAREZRESUMEN: En el presente trabajo se muestra
uno de los mtodos que existen para determinar la Transformada
inversa Z a partir de la Integral de Inversin. Este mtodo es de
mucha importancia debido a que se puede evaluar directamente la
Transformada z inversa, a partir integral de contorno haciendo uso
del Teorema de Cauchy.
ABSTRACT: This paper presents the method of Integral Investment
for Reverse Z Transform from Cauchy theorem, where it comes to
getting the poles and residues.
PALABRAS CLAVE: Transformada Inversa Z, Teorema de Cauchy,
Integral de Inversin.
INTRODUCCIN
La Integral de Inversin es conocida tambin con el nombre de
Integral de Contorno. El procedimiento de encontrar la seal en el
dominio del tiempo correspondiente a la expresin algebraica en el
dominio z para una determinada regin de convergencia. Utilizando el
teorema integral de Cauchy y la frmula integral de Cauchy se
muestra que la formula de la integral de inversin es:
(1)
Para un contorno de integracin C que rodea al origen.
A partir de la definicin de la transformada z para una seal de
variable discreta x(k)
Se obtiene multiplicando ambos lados por zn-1,e integrando en un
contorno cerrado que contiene al origen, y que est dentro de la
ROC:
Como la serie converge dentro de C, la integral y la sumatoria
pueden ser intercambiadas:
Que con el resultado en (1) slo es diferente de cero para k = n,
es decir:
2. TEOREMA DE CAUCHY
La Frmula Integral de Cauchy para una funcin analtica muestra
que el valor de dicha funcin en una regin est determinado en toda
ella por los valores sobre su frontera.
La Frmula Integral de Cauchy. Sea un dominio en el plano
complejo y sea f: C una funcin analtica en . Sean z0 un punto de y
C una curva de Jordan que rodea a z0 y tal que ella y su regin
interior estn contenidas en . Entonces:
Cuando la curva C se recorre en sentido positivo. En particular,
si C es una circunferencia con centro z0 y radio r, parametrizada
por:z(t) = z0+ rejt para 0 t 2, de forma que:z`(t) = jrejt = j
(z(t)z0, entonces:
Frmula que se conoce como Teorema del Valor Medio de Gauss.
La integral de la frmula anterior:
Podemos interpretarla como una integral que depende de un
parmetro z0. Puesto que el integrando es derivable con respecto a
z0 en la curva C, ya que z0 no est en C, entonces podemos derivar
con respecto a z0, obteniendo
y as sucesivamente. Esto garantiza que f es derivable de todos
los rdenes y nos proporciona frmulas para calcular sus derivadas
sucesivas en z0.
ANLISIS.EJEMPLO:
Hallar la transformada z inversa de:
Para aplicar el mtodo de la integral de inversin, se debe
calcular:
Luego se factoriza el denominador, y se obtiene:
por tanto, X(z)zk-1, para k = 0, 1, 2,., tiene dos polos simples
p1 = 0.8 y p2 = 0.6 por lo que se calcularn dos residuos,
siendo:
donde los residuos se calculan de la siguiente forma:
por tanto:
Para comprobar el resultado, se sustituye sucesivamente los
valores de k, y se obtiene:
5. CONCLUSIONES
El Mtodo de la integral de inversin nos facilita el clculo de la
Transformada Z Inversa.
Con la ecuacin X(z)zk-1, se puede saber el nmeros de polos y
residuos que existe.
Integral de Cauchy para una funcin analtica muestra que el valor
de dicha funcin en una regin est determinado en toda ella por los
valores sobre su frontera.
La integral de inversin me permite obtener la ROC en la una
ecuacin.
6. RECOMENDACIONES
Este tipo de trabajos investigativos, permite obtener ms
informacin acerca de nuestra carrera y que sern implementadas en la
vida profesional
7. BIBLIOGRAFA
http://personal.us.es/contreras/t08int_com.pdf
http://raliendre.uto.edu.bo/elt2642/TEMA%20A.pdf
http://palvarado.ietec.org/Modelos/cap05.pdf
http://raliendre.uto.edu.bo/elt2642/TEMA%20A.pdf
