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Ejercicio 7:
∫sin ( 4 x )cos (3x ) dx
Para resolver esta integral se usa primero la siguiente identidad
cos (t ) sin (s )=sin (s+ t )+sin (s−t)
2
Por lo tanto la integral queda
∫sin (4 x )cos (3x )dx=∫ sin (4 x+3 x )+sin (4 x−3 x)2 dx
Sacamos la constante de la integral
∫ a∗f ( x )dx=a∗∫ f ( x )dx
12∫ sin (4 x+3 x )+sin (4 x−3 x )dx
Aplicamos la regla de la suma
∫ f ( x )±g (x )dx=∫ f (x )dx ±∫g ( x )dx
12 (∫sin (4 x+3x )dx+∫ sin (4 x−3x )dx )
Resolvemos las dos integrales
∫sin (4 x+3x ) dx………………(1)
∫sin ( 4 x−3 x )dx……………… (2)
Resolvemos la integral (1) aplicando integración por sustitución
∫ f (g (x ) )∗g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x ) ∫sin (4 x+3x )dx
Donde
f=sin ( x )
u=4 x+3 x
dudx
=7
du=7dx
dx=17du
∫sin (4 x+3x )dx=∫sin (u ) 17du=∫ sin (u)7
du
Sacamos la constante
∫ a∗f ( x )dx=a∗∫ f ( x )dx
17∫sin (u)du
Aplicamos la regla de integración
∫sin (u )du=(−cos (u ))
17∫sin (u)d=
17 (−cos (u ) )
Recordando que u=(4 x+3x )
17∫sin (u)d=
17 (−cos (u ) )=17 (−cos (4 x+3 x ) )=−1
7cos (7 x )
Resolvemos la integral (2) aplicando integración por sustitución
∫ f (g (x ) )∗g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x )
∫sin ( 4 x−3 x )dx
Donde
f=sin ( x )
u=4 x−3 x
dudx
=1
du=dx
∫sin (4 x−3 x )dx=∫ sin (u )du
Aplicamos la regla de integración
∫sin (u )du=(−cos (u ))
∫sin (u )du=(−cos (u ))
Recordando que u=4 x−3 x
∫sin (u )du=(−cos (u ) )=(−cos (4 x−3x ) )=−cos (x)
Por lo tanto la integral queda
12 (∫sin (4 x+3x )dx+∫ sin (4 x−3x )dx )=12 {[−17 cos (7 x )]+[−cos (x) ]}
12 {−17 cos (7 x )−cos (x)}=−1
14cos (7 x )−1
2cos (x )
∫sin (4 x )cos (3x )dx=¿− 114cos (7x )−1
2cos (x )¿
Con la constante de integración
∫sin (4 x )cos (3x )dx=¿− 114cos (7x )−1
2cos (x )+C ¿
Ejercicio 2:
∫ sec2(x )√ tan (x)
dx
Aplicamos integración por sustitución
∫ a∗f ( x )dx=a∗∫ f ( x )dx
u=tan (x)
dudx
=sec2(x)
du=sec2 ( x )dx
dx=cos2 ( x )du
Entonces
∫ sec2(x )√ tan (x)
dx=∫ sec2 ( x )√u
cos2 ( x )du=∫ 1√udu
Aplicamos la regla
ab=ab−1
∫ sec2(x )√ tan (x)
dx=∫ sec2 ( x )√u
cos2 ( x )du=∫ 1√udu=∫u−1/2du
Aplicamos la regla de la potencia
∫ xadx= xa+1
a+1a≠−1
∫ sec2(x )√ tan (x)
dx=∫ sec2 ( x )√u
cos2 ( x )du=∫ 1√udu=∫u−1/2du=u¿¿ ¿¿
Aplicamos la regla
abcd
=
ab∗d
c
u¿ ¿¿¿
Recordamos que u=tan (x)
2u1/2=2 tan1 /2(x )
Aplicamos que
√a=a1 /2
2u1/2=2 tan1 /2 ( x )=2√tanx
∫ sec2(x )√ tan (x)
dx=2√tanx
Con la constante de integración
∫ sec2(x )√ tan (x)
dx=2√tanx+C
Ejercicio 12:
∫0
π /4
sen3 (2 x )cos (2 x )dx
Primero resolvemos la integral como una integral indefinida
∫ sen3 (2x ) cos (2 x )dx
Aplicamos integración por sustitución
∫ f (g (x ) )∗g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x )
dudx
=2
du=2dx
dx=12du
u=2x
∫ sen3 (u ) cos (u ) 12du
Sacamos la constante
∫ a∗f ( x )dx=a∗∫ f ( x )dx
12∫ sen
3 (u )cos (u )du
Aplicamos integración por sustitución nuevamente
∫ f (g (x ) )∗g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x )
v=sin (u)
dv=cos (u )du
12∫ sen
3 (u )cos (u )du=12∫v
3dv
Aplicamos la regla de la potencia
∫ xadx= xa+1
a+1a≠−1
12∫ sen
3 (u )cos (u )du=12∫v
3dv=12 ( v3+13+1 )=12 v
4
4
Recordando que v=sin (u ) y u=2x
12∫ sen
3 (u )cos (u ) du= 12∫v
3dv=12 ( v3+13+1 )= 12 v
4
4= 12sin4 (2 x )4
=18sin4 (2x )
Entonces la integral indefinida quedaría
∫ sen3 (2x ) cos (2 x )dx=18sin4 (2x )
Agregando la constante de integración
∫ sen3 (2x ) cos (2 x )dx=18sin4 (2 x )+C
Ahora aplicamos el segundo teorema fundamental de cálculo
∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F (a)
∫0
π /4
sen3 (2 x )cos (2 x )dx=[ 18 sin4( 2∗π4 )]−[18 sin4 (2∗0 )]
¿ [ 18 sin4( π2 )]−[ 18 sin 4 (0 )]=[18 (1 )]− [0 ]=18=0.125
∫0
π /4
sen3 (2 x )cos (2x )dx=18=0.125
