Introduccion a La Teoria de Circuitos y Maquinas Electricas

Introduccin a la teora decircuitos y mquinaselctricas

Alexandre WagemakersUniversidad Rey Juan Carlos

Francisco J. EscribanoUniversidad de Alcal de Henares

ndice general

Prefacio page 1

Parte I Teora de Circuitos 3

1. Teora de circuitos 51.1. La corriente elctrica 51.2. Resistencias, condensadores y autoinducciones 141.3. Fuentes dependientes 341.4. Anlisis de circuitos lineales 361.5. Teoremas de teora de circuitos 591.6. Anlisis de Transitorios 731.7. Resultados y frmulas importantes 821.8. Ejercicios Resueltos 821.9. Ejercicios Adicionales 96

2. Circuitos de corriente alterna 1052.1. Caractersticas de las seales alternas 1062.2. Representacin de cantidades sinusoidales como fasores 1092.3. Resistencias, condensadores e inductancias en corriente alterna 1142.4. Potencia en sistemas de corriente alterna 1292.5. Comportamiento en frecuencia 1412.6. Resultados y frmulas importantes 1462.7. Ejercicios Resueltos 1472.8. Problemas adicionales 163

3. Corriente alterna trifsica 1703.1. Fundamentos de la corriente trifsica 1713.2. Conexin en estrella 1733.3. Conexin en tringulo 1773.4. Potencia en sistemas trifsicos 1803.5. Resultados formulas importantes 1823.6. Ejercicios Resueltos 1823.7. Ejercicios adicionales 188

4 ndice general

Parte II Mquinas Elctricas 189

4. Principios fsicos de las mquinas elctricas 1914.1. Circuitos Magnticos 1924.2. Principio del generador 2184.3. Principio del motor 2234.4. Principios fsicos de motores rotativos 2274.5. Principios fsicos de generadores rotativos 2304.6. Generacin de un campo giratorio 2354.7. Ejercicios Resueltos 2404.8. Ejercicios adicionales 245

5. Transformadores 2495.1. Transformadores ideales 2515.2. Transformador real 2595.3. Pruebas de un transformador 2775.4. Aspectos constructivos 2835.5. Transformadores trifsicos 2845.6. Resultados frmulas importantes 2965.7. Ejercicios resueltos 2975.8. Ejercicios adicionales 306

6. Motores y generadores elctricos 3116.1. Motores asncronos 3126.2. Generadores y motores sncronos 3336.3. Mquinas de corriente continua 3436.4. Ejercicios 351

Apndice A Recordatorio de nmeros complejos 356

Apndice B Conceptos fundamentales de electromagnetismo 359

Bibliografa 365

ndice 365ndice alfabtico 366

Prefacio

Este libro tiene por objeto introducir a los alumnos de primeros cursos de IngenieraQumica e Ingeniera Industrial rama Qumica en el mundo de la electrotecnia. Presen-tamos las herramientas bsicas de clculo elctrico y los modelos ms utilizados en laingeniera elctrica moderna. El texto cuenta con numerosos ejemplos de aplicacin delos principios explicados. Se introducen tambin las mquinas elctricas ms extendi-das en la industria como son los transformadores, generadores y motores elctricos.

En el captulo 1 tratamos los circuitos de corrientes continua y asentamos las basesdel anlisis de circuitos. En el captulo 2 introducimos los conceptos de corriente alter-na y el tratamiento de los fasores. El captulo 3 presentamos brevemente los sistemastrifsicos y las frmulas bsicas para manejarlos. Se estudian en el captulo 4 los trans-formadores de tensin alterna. Estos ltimos son un elemento fundamental de la cadenade produccin de energa y ms en concreto del transporte de electricidad.

En los dos ltimos captulos se estudian los convertidores de energa mecnica a elc-trica (generadores) y de energa elctrica a mecnica (motores). Se presentan primerolos principios fsicos elementales que hacen posible esta conversin. En el ltimo cap-tulo se pone el nfasis en el aspecto tecnolgico de las mquinas elctricas ms impor-tantes: el motor asncrono, el generador sncrono y la mquina de corriente continua.

Parte I

Teora de Circuitos

1 Teora de circuitos

1.1 La corriente elctrica

Antes de estudiar y analizar los circuitos elctricos, conviene recordar brevementelos conceptos elementales de la electricidad. El resumen propuesto no es ni muchomenos exhaustivo. Se remite al lector a cualquier obra de fsica universitaria para uncomplemento de conceptos (ver bibliografa).

Para empezar, se recuerdan algunas leyes bsicas tiles para el estudio de los circuitoselctricos. El elemento bsico de estudio es la carga elctrica, cuya unidad fundamentalen el Sistema Internacional (S.I.) es el Culombio [C]. Existen en dos sabores para lascargas: positivas y negativas. Las cargas elctricas estn presentes en todo el espacioy la materia que nos rodea. En la mayora de los materiales, sin embargo, las cargaselctricas no pueden moverse debido a la estructura de la materia. Existen excepcionestales como los materiales conductores, que permiten que las cargas puedan circularcon un esfuerzo razonable. Cuando existe un movimiento colectivo de cargas en una


determinada direccin del conductor, hablamos de corriente elctrica. La circulacinde cargas en un conductor forma una corriente; de forma ms precisa, se dir que lavariacin de carga, dQ, con respeto al tiempo define la intensidad de corriente, I, medidaen Amperios [A], segn la relacin:

I =dQdt .

El concepto de corriente elctrica es similar al del caudal de un fluido en una tubera(ver fig. 1.1), pero, en vez de medirlo en m3s1, se mide en Cs1 (Culombios/segundo),o A. Este flujo de cargas en un material puede variar de forma arbitraria debido a influ-encias externas. No obstante, una situacin habitual con aplicaciones muy importantesen el campo de la electricidad consiste en la presencia de un flujo de cargas constantea lo largo de un conductor. Una corriente es continua cuando su valor no vara enel tiempo. Dado que en este captulo se circunscribe a esta situacin, las corrientesestudiadas aqu se consideran independientes del tiempo.

Experimentalmente, se ha comprobado que existen fuerzas mecnicas entre cargaselctricas, y se pueden medir con gran precisin gracias a la ley de Coulomb:

F = K Q1Q2r2

u,

medida en Newtons. Q1 y Q2 son las cargas elctricas de dos objetos, K una constante yr2, la distancia entre cargas. Esta fuerza es de naturaleza vectorial, es decir, que se debende tener en cuenta su mdulo, su direccin y su sentido. A tenor de la ley de Coulomb,se puede decir entonces que existe una influencia de una carga sobre cualquier otraen el espacio en forma de fuerza mecnica. Esta influencia no es exclusiva y admitesuperposicin; es decir, que, si existen tres o ms cargas, cada carga va a ejercer unafuerza sobre las otras cargas siguiendo la ley de Coulomb, de forma que se van a sumarlas fuerzas una a una de forma independiente. Es la hipotesis llamada del espacio lineal,que establece que el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales. Uncarga ejerce entonces una influencia en todo su entorno de modo que cualquier otracarga se ve afectada por la influencia de esta primera (y recprocamente). La suma deestas influencias individuales se puede condensar en el concepto de campo elctrico.se viene representado por una funcin vectorial que define la influencia de un conjuntode cargas en un determinado punto. La fuerza ejercida sobre una carga Q en presenciade un campo elctrico E en un determinado punto viene dado por:

FQ = QE.

El campo electrico tiene como unidades el [Vm1] o el [NC1]. El trabajo W real-izado por la fuerza FQ al mover una carga segn un desplazamiento elemental x secalcula mediante el producto escalar:

W = FQ x = QE x.

Una de las caractersticas ms importantes de la fuerza FQ es el hecho de ser conser-vativa. Se le puede asociar una energa potencial tal que la variacin U de energa

1.1 La corriente elctrica 7

potencial a lo largo del trayecto es menos el trabajo de la fuerza correspondiente:U = W = QE x.

Moviendo la carga Q en este campo E siguiendo un desplazamiento elemental dx, seobtiene la diferencia de energa potencial sobre la carga representada por el diferencial:

dU = FQ dx = QE dx. (1.1)En general, para un desplazamiento desde un punto A hasta un punto B, la variacin deenerga potencial es:

U = B

AQE dx. (1.2)

Esta fuerza es conservativa por lo que el camino elegido para calcular esta integralno importa. El trabajo slo depende del punto inicial y final. La integral tiene comoresultado la energa potencial en el punto A (punto inicial) menos la energa potencialen el punto B. Se define entonces la diferencia de potencial elctrico como:

VB VA = UQ = B

AE dx. (1.3)

Es una forma de calcular el trabajo por unidad de carga entre dos puntos. La cantidadVA es el potencial elctrico en el punto A, cuya unidad en el S.I. es el voltio [V]. Ladiferencia de potencial entre dos puntos A y B multiplicada por el valor de una cargadefine entonces el trabajo externo necesario para mover dicha carga entre ambos puntos:

WAB = Q(VA VB) = QVAB. (1.4)El potencial elctrico es una funcin escalar que depende de un punto o de una regindel espacio. Sin embargo, es esencial definir una referencia absoluta para dar un valor aestos potenciales. Un convenio admitido establece que el potencial eltrico en un puntoalejado infinitamente del potencial estudiado es cero. En electricidad y electrnica, espoco usual referirse a un potencial absoluto en un punto, y en las situaciones prcticas setrabaja con diferencias de potencial o tensiones. La tensin entre dos puntos A y B serepresenta en un esquema escribiendo directamente la diferencia de potencial VA VB.Un convenio para escribir de forma ms condensada las tensiones consisten en abreviarla diferencia como VAB = VA VB. Los subindices indican entre qu puntos se tomala diferencia de potencial. Esta notacin permite, adems, operar con las diferenciasde potenciales como su fueran vectores. Por ejemplo en conductor con tres tensionesdiferentes en los puntos A, B y C, la relacin entre las tensiones se puede descomponercomo:

VAC = VA VC = VA VB + VB VC = (VA VB) + (VB VC) = VAB + VBC (1.5)De este modo se puede descomponer cualquier diferencia de potencial usando un puntointermediario anlogamente a las relaciones vectoriales en geometra. Otras relacinestiles para manipular tensiones, y que se deducen de las definiciones anteriores, son:

VAC = VA VC = (VC VA) = VCA, (1.6)


Figura 1.1 Ilustracin de un alambre recorrido por una corriente continua; los signos + y -indican dnde est el punto de mayor potencial. En este esquema la diferencia de potencial Vabes positiva. El sentido del campo elctrico se orienta del potencial mayor hacia el menor, lo cualdefine el sentido de arrastre de los electrones. Para electrones con una carga negativa, elmovimiento global se orienta del potencial menor hacia el mayor.

VAA = 0. (1.7)

1.1.1 Potencia y energa elctricaEn un conductor como el de la figura 1.1, el trabajo externo necesario para llevar una

carga Q desde el punto a hasta el punto b es:

Wab = Q(Va Vb) = Q(Vb Va) = Q b

a

E dx, (1.8)

y, dado que el trabajo no depende del trayecto por ser el campo conservativo, se puedeescribir directamente:

Wab = Q Vab. (1.9)sta es la energa que se necesita invertir para llevar las cargas del punto a al punto b.

La potencia elctrica es la energa por unidad de tiempo, y se expresa normalmenteen Vatios [W], o, en ciertos casos, en Julios por segundo [Js1]. La definicin de poten-cia instantnea para el conductor anterior es:

Pab =dWab

dt =dQdt Vab = I Vab. (1.10)

En este caso, se supone Vab constante, ya que el contexto es el de la corriente continua.Esta potencia es una magnitud real que corresponde a la transferencia de energa porsegundo en un sistema. Es una cantidad muy importante y til en ingeniera, pues sirvepara dimensionar y analizar la capacidad de los sistemas para consumir o proporcionarenerga.

Para un dipolo1 sometido a una tensin V y recorrido por una intensidad I continua,la potencia se expresa entonces como:

P = VI. (1.11)1 Cualquier elemento conductor con dos polos.


Para volver a obtener la energa, se integra la potencia a lo largo del tiempo. El resultadode la integracin da de nuevo Julios [J] o Vatioss. Generalmente las compaas elctri-cas facturan la energa usando como unidad los Vatioshora. Por ejemplo, si un circuitode corriente continua se alimenta con 10V y 1A durante 1h, el consumo energtico serade 10Wh.

Ejercicio 1.1Un elemento de un circuito produce una energa de 10kJ en 5min. Calcular la

potencia media producida.

Solucin del ejercicio 1.1Se trata simplemente de calcular la energa transferida en un tiempo dado:

Pm =Et

=100005 60 = 33,3 W

1.1.2 Convenio de signo en circuitosSe consideran ahora elementos con dos terminales entre los cuales se puede fijar

una diferencia de potencial. Estos elementos se llaman dipolos y se representan grfi-camente como una caja de las que salen dos lneas longitudinales que simbolizan loscables conectores al dispositivo2. Dado un dipolo, se puede representar de forma es-quemtica la diferencia de potencial entre sus bornes y la corriente que lo atraviesa. Ladefinicin de diferencias de potenciales en dipolos no se sujeta por desgracia a un nicoconvenio, sino que cambia segn los paises y los usos. A modo de ejemplo, se dibujanen la figura 1.4 las tres formas ms comunes de representar las tensiones en un circuito.

Suponiendo el potencial del terminal A con un valor superior al potencial del terminal2 Siempre se van a representar los cables conductores con trazo negro continuo.

Figura 1.2 En esta figura tenemos las tres formas ms comunes de representar las tensiones enlos circuitos. Los dipolos, representados por cajas, tienen una diferencia de potencial en susbornes y estn recorridas por una corriente.


Figura 1.3 Representacin de las corrientes a travs de un dipolo. Se marca el sentido decirculacin de la corriente con una flecha sobre uno de los terminales. La misma corriente consigno negativo puede marcarse con una flecha de sentido opuesto. En algunas obras, la flecha dela corriente viene representada al lado del dipolo.

B, se obtiene entonces una diferencia de potencial VAB = VA VB positiva. En la figura1.2 (a) el signo + y el signo - indican que el potencial de A es superior al potencialde B; sta es una forma de representar el sentido de las diferencias de potenciales muycomn en obras de tradicin anglosajona. En la figura 1.2 (b), el sentido de la tensinse indica con una flecha que apunta hacia el potencial ms bajo. Esta representacinhace coincidir el sentido del campo eltrico con la flecha de la tensin, y es tambin unconvenio muy usado en electricidad. Por ltimo, presentamos el convenio usado para elresto de este texto. En la figura 1.2 (c), la flecha de la tensin se orienta de - a +,apuntando hacia el potencial de mayor valor. Como se puede comprobar a travs de losdos ltimos convenios, el sentido de la flecha es arbitrario, dado que se trata de unarepresentacin para ayudar a razonar sobre los circuitos, y no cambia en absoluto losvalores de las tensiones ni el fenmeno fsico subyacente. De hecho, la misma tensinse puede denotar de dos formas:

VAB > 0 y los marcadores + y - tal como en la figura 1.2 (a).VAB < 0 y los marcadores + y - invertidos.Las corrientes tambin se representan en los circuitos de forma esquemtica. Para

un conductor, la corriente se puede marcar con una flecha que indica el sentido decirculacin de la corriente, tal como se seala en la figura 1.3. Sin embargo, la mismacorriente, pero con signo opuesto, podr representarse en la figura con una flecha en elsentido opuesto. Por ejemplo, una corriente de un 1A con un sentido de arriba abajo sertotalmente equivalente a una corriente de 1A representada con una flecha de sentidoopuesto. En la misma figura se puede observar una alternativa para la representacinde la corriente. Se trata de dibujar la corriente con una flecha a lado del esquema deldpolo. Es una representacin usada en algunas obras dedicada a los circuitos elctricos.

En un conductor, si se genera una diferencia de potencial elctrico entre los extremos,las cargas en su interior se pondrn en movimiento. Siendo los electrones cargas elctri-cas negativas, el sentido del movimiento de stos es del potencial ms bajo al ms altotal como se ha sealado en el epgrafe 1.1.1. A pesar de que el movimiento verdadero delos electrones va de menor a mayor potencial, el convenio internacional fija el sentido


(a) (b)

Figura 1.4 Figura (a) Representacin de un dipolo receptor de energa. Mientras la tensin ensus extremos es positiva (el potencial de A es superior al de B), la corriente entra en eldispositivo y se produce una cesin de energa al receptor.

(a) (b)

Figura 1.5 En esta figura describimos una analoga hidrulica para explicar el convenio designos. En un circuito hidrulico donde el extremo A est situado ms alto que el extremo B, unflujo de agua entrante por A hara girar el molino. En el caso (b), se necesita activar el molinocon un mecanismo externo para hacer circular el flujo y llevar el agua del punto B al punto A .

de la corriente en un conductor del extremo de mayor al de menor potencial. Esteconvenio es herencia de Benjamin Franklin, ya que asumi que las cargas elctricas enmovimiento eran positivas. A pesar de esta aparente disonancia entre convenio y real-idad, esto no influye para nada en los clculos y las conclusiones que se pueden sacarsobre el circuito. El arte de los circuitos consiste en representar elementos fsicos porunos modelos sencillos y organizarlos en diagramas con el fin de efectuar clculos yproponer diseos. En lo que sigue, se van a relacionar estos conceptos con la energaque produce o consume un dipolo con ayuda de las figuras 1.5 y 1.4.

Una vez establecidos los potenciales en los extremos, se puede fijar el sentido de lacorriente. Elegiendo VAB > 0, imaginamos una carga positiva recorriendo el circuitode A hacia B, tal como viene representado en la figura 1.4 (a). Esta carga testigo cedeenerga al dipolo dado que el trabajo sobre la carga es W = qVAB 0. Es decir, que eldipolo recibe energa, por lo que se denomina receptor. El convenio receptor estableceque cuando una corriente positiva circula de A hacia B y el potencial de A es superior alpotencial de B, se tiene un receptor de energa. En los circuitos, se usar esta definicin


para fijar las tensiones dada una corriente, o viceversa. Una vez fijado uno de estosparmeteros, el otro queda univocamente determinado.

En el caso complementario al comentado, para fijar una diferencia de potencial VABpositiva, se necesita una fuente de energa que mueva una carga positiva del punto B alpunto A. El trabajo sobre la carga resulta entonces negativo: W = qVAB < 0. Por tanto,para establecer una corriente que circule del punto B hacia el punto A, el dipolo debeaportar energa. El convenio generador establece que cuando una corriente circula deB hacia A, y con un potencial en A superior al potencial en B, se tiene un dispositvoque aporta energa a las cargas. Se habla en general de un generador de diferencia depotencia o de un generador de corriente. El sentido de la flecha y de la corriente en estasituacin se puede observar en la figura 1.4 (b).

Para entender mejor este convenio de sentidos existe una analoga muy similar enmecnica. El potencial gravitatorio puede jugar el papel del potencial elctrico y losobjetos dotados de masa el papel de las cargas elctricas. Por ejemplo, una corriente deagua en una tubera es un ejemplo perfecto de analoga con la corriente elctrica. Estetipo de analogas es bastante comn en fsica: aunque los objetos fsicos sean distintos,las leyes que los rigen son muy similares.

Tomando esta analoga, en la figura 1.5 el sistema consiste en un simple tubo cuyoextremo A se encuentra a una altura mayor que el otro extremo B. En el receptor secoloca un molino que puede girar al paso del agua, o bien activarse y bombear el agua.Si el agua llega por el punto con mayor altura entonces el flujo se acelera por la accinde la gravedad y hace girar el molino. En este caso, el flujo de agua activa el moli-no cediendo energa al receptor. Es la situacin anloga al receptor en electricidad: elpotencial gravitatorio es superior en el punto A y provoca una circulacin del fluido.

Si, por el contrario, se dispone de agua en el punto B y se desea elevarla hasta el puntoA, el molino debe activarse para bombear el agua. Se necesita en este caso una energaexterna para establecer la corriente; es decir, debemos apotar energa para compensarel trabajo de la masa dentro del tubo. Es idntico al caso del generador elctrico quedebe mover las cargas de un punto a otro aportando energa. En el siguiente epgrafose cuantifica cunta energa, o potencia, se necesitan para establecer una intensidad decorriente dada la diferencia de potencial entre dos puntos.

1.1.3 Potencia en un circuito

La energa que un dipolo recibe o proporciona determina el sentido de la corrientey/o de la tensin. En el convenio receptor, la energa se entrega al receptor. Se dice queel receptor recibe o absorbe energa. La potencia absorbida en este caso es:

P = VABI, (1.12)

con VAB > 0 y la corriente I > 0 dirigido de A hacia B. Con el convenio receptor, unapotencia positiva significa que el receptor recibe energa.

En el caso de un dispositivo correspondiente al convenio generador, ste tiene queproporcionar una energa para poder hacer circular la corriente. Se dice que el disposi-


tivo entrega energa. La potencia entregada por este dispositvo es:

P = VABI, (1.13)

con VAB > 0 e I > 0 dirigido de B hacia A. En el convenio generador, una potenciapositiva significa que el dispositivo entrega energa.

Cuando un circuito entrega energa y se conecta a otro circuito que recibe energa, sepuede establecer un balance de potencias. En la figura 1.6, el dispositivo 1 (un gener-ador) se conecta al dispositivo 2 (un receptor). El sentido de la corriente viene determi-nado por la naturaleza de los elementos, y circular en un sentido u otro dependiendo dela diferencia de potencial entre terminales. Siguiendo el convenio conocido, si tenemosuna diferencia de potencial positiva entre A y B, la corriente circular del generadorhacia el receptor con signo positivo. Con la definicin de potencia dada anteriormente,se genera sta en un lado (generador) y se absorbe en el receptor al otro lado. La flechaen la figura 1.6 indica el sentido del flujo de esta potencia. Una observacin importanteen este ejemplo es que toda la energa producida en un extremo se consume en el otro,por lo que podemos establecer el siguiente balance en potencia:

Pgenerada = Pabsorbida. (1.14)

Este balance de potencia se generaliza ms adelante bajo el teorema de Tellegen. Demomento, conviene recordar que, en todo circuito en el que circulan corrientes, unoselementos producen potencia y otros la consumen.

Tericamente, en los clculos sobre circuitos, se pueden obtener valores numricosde potencias positivas o negativas segn el sentido de la corriente y de la tensin deun elemento. No hay contradiccin con lo anterior: simplemente en alguna ocasinel clculo de la corriente da un resultado negativo y basta con volver a interpretar elpapel del dipolo en esa situacin. Lo que suponamos que era un receptor resulta ser ungenerador o viceversa. Una vez fijada la tensin y la corriente siguiendo el esquema dela figura 1.7 bajo el convenio receptor, los cuatro casos que pueden ocurrir dependiendode los valores numricos calculados o medidos son:

I > 0, VAB > 0 P > 0, el dipolo es un receptor y absorbe un flujo de potenciaP = VAB I.

Figura 1.6 Balance de potencia en un circuito que cuenta con generadores y receptores.


Figura 1.7 Sentido del flujo de potencia en funcin del signo de la corriente y de la tensincuando el dipolo est considerado bajo el convenio receptor. Esta potencia puede ser positiva, yen tal caso el dipolo absorbe energa, o bien negativa y, en tal caso, el dipolo se comporta comoun generador.

I > 0, VAB < 0 P < 0, el dipolo es un generador y entrega un flujo de potenciaP = VAB I.

I < 0, VAB < 0 P > 0, el dipolo es un receptor y absorbe un flujo de potenciaP = VAB I.

I > 0, VAB < 0 P < 0, el dipolo es un generador y entrega un flujo de potenciaP = VAB I.

Una potencia negativa en tal caso significa una potencia que sale del dipolo. En el ejem-plo que se acaba de comentar, la eleccin de la tensin y la corriente corresponde alconvenio receptor, pero, al mismo tiempo, los signos de la corriente y tensin puedendiferir. El mismo razonamiento se puede aplicar a un dipolo bajo el convenio generador:una vez fijado el sentido de la tensin y de la corriente, tenemos una potencia positivasi los valores numricos de ambos son del mismo signo.

1.2 Resistencias, condensadores y autoinducciones

En esta seccin se estudian algunas propiedades fundamentales de los elementos pa-sivos ms comunes en electricidad: las resistencias, los condensadores y las bobinas(tambin llamadas autoinducciones). Se describen aqu nicamente los componenteslineales, es decir, aqullos cuya respuesta a un estmulo es lineal y en los que, por tan-to, hay una proporcionalidad entre estmulo y respuesta. Son elementos esenciales en

1.2 Resistencias, condensadores y autoinducciones 15

(a)

(b)

Figura 1.8 En (a) esquema normalizado de una resistencia. En la figura (b) aparece otra formaestndar de representacin.

todos los diseos y anlisis de circuitos elctricos y electrnicos. Estudiamos primerolos componentes pasivos capaces de consumir energa. stos no pueden producir msenerga de la que reciben. En contraste, los componentes activos pueden aportar energaal circuito. Posteriormente, estos elementos van a ayudar a modelar otros fenmenoslineales que resultan tiles en muchos mbitos de la ingeniera en general, no solamenteen la elctrica.

1.2.1 Resistencia

El primer elemento de circuito tratado es la resistencia. Fsicamente, una resistenciaes un dipolo, con dos bornes conductores unidos a un material conductor o semiconduc-tor. En operacin, sobre cada uno de los bornes se aplica un potencial elctrico distinto.Es decir, se introduce una diferencia de potencial entre los extremos del dipolo. Comosu nombre indica, la resistencia impone una dificultad a la corriente que lo atraviesa. Elmaterial conductor o semiconductor de que est construido conlleva una estructura queen cierto modo ralentiza el flujo de electrones que lo atraviesa. Para una diferencia depotencial dada entre los bornes, el material va a limitar la velocidad de los electronesy por lo tanto modifica la corriente que lo atraviesa. La relacin entre la diferencia depotencial sobre los bornes y la corriente que circula en el dipolo viene dada por la leyde Ohm:

V = RI (1.15)El valor de la resistencia R se mide en ohmios [] y se corresponde con una propiedadfsica del componente o del material conductor. La ley de Ohm establece una relacinlineal entre la tensin y la corriente. Se trata de un modelo del componente fsico queslo refleja un aspecto (principal) de su funcionamiento, dado que ste tendr un com-portamiento distinto segn su construccin y del tipo de material que lo compone encondiciones diversas. Por ejemplo, para los materiales metlicos, existe una dependen-


(a) (b)

Figura 1.9 Equivalente circuital de las resistencias de valor R = 0 y R = +. La primera esequivalente a un circuito cerrado o un simple cable que no presenta ninguna diferencia depotencial en sus bornes. El segundo caso corresponde a un circuito abierto en el que no hayninguna circulacin de corriente.

cia adicional de la resistencia con la temperatura. Un material dado se caracteriza porsu llamada resistividad , medida en [m], que vara con la temperatura segn:

(T ) = 0(1 + a(T T0)), (1.16)

donde 0 y a (medido en K1) son parmetros que dependen del material, y T0 = 300K.En el Cuadro 1.1, se muestran valores de resistividad correspondientes a algunos met-ales. La resistencia total de un elemento concreto (un cable, por ejemplo), formado porun material de resistividad , depende de su longitud l y de su seccin S :

R = lS

. (1.17)

La ley de Ohm aproxima con precisin el comportamiento de los conductores en la granmayora de los casos. Como est dicho, su aspecto ms caracterstico es corresponder auna ley lineal.

Existen dos casos de resistencia con particular inters en teora de circuitos. Se tratade las resistencias con valores R = 0 y R = +. El caso de la figura 1.9 (a) correspondea una resistencia equivalente a un cable perfecto (R = 0), es decir que no hay diferenciade potencial entre sus extremos.

El caso de la figura 1.9 (b), R = +, corresponde a una resistencia que no dejapasar ninguna corriente. Si aplicamos la ley de Ohm para este elemento, la corrienteser nula independientemente del valor de la tensin V al tener I = V/R 0. Sim-boliza un circuito abierto en el que no hay posibilidad de circulacin de corriente. Estasdos situaciones son muy frecuentes en electricidad y en electrnica, y permiten haceraproximaciones rpidamente. Una resistencia de valor muy alto puede a veces consid-erarse como un circuito abierto, y una de valor bajo, como un cable. Esto puede ayudara simplificar el anlisis de un circuito.

Para calcular la potencia que disipa una resistencia, se usa la definicin ya vista para


Material 0 (nm) a (K1)Aluminio 26,7 4,5Cobre 16,76 4,3Oro 22 4Hierro 101 6,5Nquel 69 6,8Plata 16,3 4,1Plomo 206 4,2

Cuadro 1.1 Algunos de valores de resistividad para los metales ms comunes. Se da laresistividad en nm y el coeficiente de temperatura a en K1.

un circuito de corriente continua:P = VI (1.18)

Por otro lado la ley de Ohm relaciona la tensin y la corriente, por lo que la expresinde la potencia en funcin de R queda:

P = RI2 =V2

R(1.19)

La potencia en una resistencia es proporcional al cuadrado de la corriente multiplicadopor la resistencia. La resistencia transforma bsicamente la energa elctrica en calor,mediante el efecto Joule de disipacin trmica3. La capacidad de disipacin trmicalimita la corriente mxima que puede circular por la resistencia. Es decir, que, si unaresistencia de 10 est diseada para una potencia mxima de 10W, la corriente mximaque la puede atravesar es: Imax =

10/10 = 1A. Esto pone de relieve que hay que

tener cuidado con los valores de las corrientes en el momento del diseo de un sistemapara no producir daos sobre los componentes. Por encima de la corriente mxima, eldispositivo se puede destruir y quemar debido al calor disipado.

Las resistencias (en cuanto elemento fsico) se encuentra en casi todos los circuitoselectrnicos y est presente tambin como una propiedad de los cables. stos no sonideales y tienen una cierta resistencia que aumenta con la longitud. Se caracterizanmediante una resistencia lineal en m1. As pues, la resistencia de los cables no esdespreciable cuando se consideran distancias de varios kilmetros. Las prdidas puedenser importantes, por lo que se usan materiales con la menor resistividad posible. Pero,a su vez, el coste del conductor ha de ser inferior a las perdidas generadas por efectoJoule. Por ejemplo, es ilusorio usar oro o platino para transportar electricidad cuandoel precio de estos materiales es mayor que el de la energa que se transporta. En uncaptulo posterior, se describe cmo se pueden reducir las prdidas de transporte porefecto Joule con un mecanismo muy sencillo.

Ejercicio 1.2Un cable de cobre transporta una corriente continua de 20A sobre una distancia

3 El efecto Joule relaciona el calor disipado por un conductor con la corriente que le atraviesa y el tiempode funcionamiento: Q = I2Rt, donde Q es la energa calorfica en Julios cuando I se mide en A, R en yt en s.


de 2000m. A partir de la informacin disponible en el captulo, hallar el dimetrodel cable para que las prdidas por disipacin en el mismo sean inferiores a 100W.

Solucin del ejercicio 1.2La conductividad del cobre es de 16.76 nm. Con este dato, la resistencia de un

conductor se puede hallar mediante la frmula:

R =lS.

con l = 2000m y = 16,76 nm. Las perdidas, que no deben exceder Pmax = 100W,se calculan como:

Pmax = RmaxI2,

es decir que la resistencia tendr que ser inferior a:

Rmax l

Rmax.

Y se obtiene S min > 1,3 104m2. Es decir, un dimetro mnimo de 6,4mm.

1.2.2 El condensador

El condensador es un elemento capaz de acumular carga cuando se le alimenta concorriente continua, y, por lo tanto, es capaz de almacenar energa. En teora, dos piezasmetlicas con partes enfrentadas sin contacto se comportan como un condensador cuan-do existe una diferencia de potencial entre ellas. En esta configuracin, los metalesen equilibrio electrosttico tienen la misma carga, pero con signos opuestos. En lafigura 1.10 tenemos el esquema formado por dos placas metlicas paralelas A y Bsometidas a una diferencia de potencial VAB. Entre las placas existe un campo elc-trico que se dirige desde la parte de potencial mayor hacia la de menor siguiendo la ley:

Figura 1.10 Esquema de un condensador de placas plano-paralelas con una diferencia depotencial VAB entre ellas.


Figura 1.11 Campo elctrico formado entre dos placas paralelas enfrentadas en presencia decargas opuestas; las placas se ven de perfil y tienen aplicada una diferencia de potencial. Lasflechas representan el mdulo y la direccin del campo elctrico. Se puede observar que elcampo es casi uniforme entre las placas. Por otra parte, las lineas continuas son lneasisopotenciales, es decir, que a lo largo de ellas el potencial no vara.

E = gradV(x, y, z) (ver anexo B). V es la funcin del potencial elctrico que dependedel punto (x, y, z) considerado. Suponiendo que las placas estn hechas de un conductorideal, el potencial ser el mismo en toda ella4. Para unas placas paralelas suficiente-mente grandes frente a la distancia que las separa, la magnitud del campo elctricoentre ellas se puede calcular tericamente:

E = VAB/d (1.20)siendo d la distancia entre ambas. Esta expresin relaciona el campo elctrico y el poten-cial fijado entre las dos placas. En la figura 1.11 tenemos el ejemplo (generado mediantesimulacin) de un campo elctrico entre dos placas paralelas cargadas con una densidadde carga igual, pero de signos opuestos. Se representa el campo elctrico en algunospuntos mediante flechas cuya longitud es proporcional a la magnitud del campo. Estecampo se puede considerar casi uniforme entre las placas y disminuye muy rpidamenteal alejarse de las mismas. Gracias a las leyes de la fsica, y teniendo en cuenta algunasaproximaciones, se puede estimar la magnitud del campo entre las placas en funcin dela carga y de la geometra del problema:

E =QS

(1.21)siendo S la superficie de las placas y una constante que depende del material situadoentre las mismas. La carga Q considerada es el valor absoluto de la carga en una de lasplacas (Q+ = +Q, Q = Q).

Esta simple pero importante expresin relaciona el campo con la carga almacenada.El potencial, a su vez, sabemos que se relaciona con el campo mediante la ecuacin1.20. Combinando las dos expresiones, se obtiene la carga acumulada en las placas4 Esto se debe a que en un conductor la resistividad es muy baja. Entre dos puntos del conductor la tensin

se escribir como: VAB = RI. Si R 0, entonces no hay diferencia de potencial.


Material dAire 1Vidrio (Silicio) 3,8Papel 2,0Polister 2,8 - 4,5Poliestireno 2,4 - 2,6Polipropileno 2,2Aceite mineral 2,3

Cuadro 1.2 Algunos de valores de la permitividad relativa de materiales habitualmenteusados en la fabricacin de condensadores.

en funcin de la diferencia de potencial, que es la propiedad directamente mensurablesobre el elemento:

Qtotal = E S = Sd VBA (1.22)

Se define la capacidad de un condensador como la relacin entre la carga acumulada ensus placas y la diferencia de potencial aplicada:

C = QtotalVBA

=Sd (1.23)

La capacidad tiene como unidad en el S.I. el Faradio [F], que consistuye una medidade cunta carga puede almacenar un condensador dada una diferencia de potencial. Engeneral, la capacidad depende nicamente de la geometra del condensador (superficieS y distancia entre placas d) y de la permitividad ().

Hasta ahora no se ha especificado el significado y naturaleza del parmetro . La per-mitividad depende directamente del material situado entre las placas. De algn modo,representa la sensibilidad o capacidad de respuesta del medio al campo elctrico y semide en Faraque eldios por metro [Fm1]. En la prctica, se suele colocar entre lasplacas un material dielctrico que aumenta la permitividad y, por lo tanto, la capaci-dad. La permitividad se descompone como el producto del valor de la permitividad enel vaco y del valor de la permitividad relativa del material dielctrico = 0d, donde0 8,854 1012 Fm1. El parmetro d es una cantidad adimensional que depende delmaterial estudiado. En el Cuadro 1.2, se proporcionan algunos ejemplos de materialesusados en la fabricacin de condensadores. Con un dielctrico bueno, se puede reducirla superficie del condensador manteniendo el valor de la capacidad. As puede incorpo-rarse en una cpsula de tamao reducido y ser utilizado como componente electrnicoen la industria.

La expresin de la carga se puede simplificar como:

Q = CV, (1.24)

donde V es la diferencia de potencial. Conociendo la capacidad, esta frmula se puedeaplicar a cualquier condensador: la carga almacenada es igual a la capacidad por ladiferencia de potencial. Es importante recordar que se trata de un modelo y como tal norecoge todos los aspectos de la realidad. Un condensador real tiene una serie de defectos


Figura 1.12 Esquema normalizado de un condensador.

que no se incluyen aqu. Sin embargo, esta descripcin es satisfactoria para su uso enelectrotecnia.

Anteriormente se ha mencionado que el condensador almacena energa. Para calcularla cantidad de energa contenida en el espacio entre las placas se puede primero calcularel trabajo ejercido sobre las cargas. El trabajo elemental dW necesario para desplazaruna carga dQ de una placa a otra a travs de la diferencia de potencial V es: dW = VdQ.La energa acumulada consiste en el trabajo necesario para mover todas las cargas deuna placa a otra (es decir para cargar el condensador). La ecuacin 1.24 nos indica quedQ = CdV , por lo tanto se puede integrar el trabajo entre A y B siendo

U = B

AdW =

BA

CVdV = 12

CV2AB. (1.25)

La energa depende directamente de la capacidad y del cuadrado de la tensin aplica-da VAB. La energa mxima almacenada depende de la capacidad y, por lo tanto, deldielctrico. Para miniaturizar condensadores se usan dielctricos con un valor alto y sejuega con parmetros tales como la superficie de las placas y la distancia entre ellas.Sin embargo, para altas tensiones no hay otro remedio que usar condensadores volumi-nosos, aunque estos son peligrosos por los riesgos de explosin o incendio. El voltajemximo que puede soportar un condensador es un parmetro importante en el diseo deun circuito. Uno tiene que usar los condensadores adecuados para evitar la destruccindel circuito5.

Otro peligro relacionado con los condensadores est relacionado justamente con elhecho de que acumula carga. Cuando se desconecta el condensador de la fuente detensin, se mantiene su carga y la tensin en sus bornes6 hasta que se le conecta aun circuito o hasta que se realiza un contacto fortuito entre los bornes. Debido a esto,conviene descargar los condensadores de valores altos antes de manipularlos, lo que seconsigue simplemente colocando una resistencia entre sus bornes. Se establece as unacorriente elctrica que disipa en la resistencia la energa acumulada en el condensador.

Para usos industriales se emplean condensadores similares al mostrado en la figura1.13. El condensador est formado por una batera de condensadores en paralelo (verasociacin de condensadores). Cada condensador elemental est constituido por doscapas metlicas (aluminio o zinc) separadas mediante un aislante, tpicamente papel5 sta es de hecho una avera muy comn en las fuentes de alimentacin.6 Debido a las perdidas internas esta tensin ir bajando poco a poco a lo largo del tiempo. Puede ser un

problema para los condensadores de alta tensin que se descargan muy lentamente y, por ello, resultanpeligrosos una vez desconectados.


Hojas metlicas

Hojas aislantes

Aislador

Borne

Figura 1.13 Ejemplo de condensador de alto voltaje para uso industrial. El condensador consistebsicamente en dos lminas metalizadas separadas por hojas aislantes. Se alternan las capasconductoras aislantes y conductoras que luego se enrollan para colocar en el encapsulado.

impregnado de aceite mineral. La carcasa del condensador se rellena con aceite paramejorar la disipacin de calor. Sin embargo, estos condensadores adolecen de gravesproblemas prcticos cuando se trata de potencias importantes: se calientan en exceso,pueden tener fugas y no es raro que surjan arcos voltaicos y cortocircuitos internos.

En la electrnica de seal y para pequeas potencias se usan condensadores que em-plean material cermico como dielctrico. Otro tipo de condensadores muy comn es elcondensador electroltico, que permite alcanzar capacidades altas en volmenes reduci-dos. Estos condensadores tienen polaridad debido al dielctrico empleado, y, adems,estn afectados por una elevada dispersin respecto de los valores nominales debido alelectroltico.

Ejercicio 1.3En los aos 2000 se ha desarrollado una nueva clase de condensadores de muy

alta capacidad llamada supercondensadores. Gracias a su estructura interna, estoscondensadores pueden almacenar mucha ms energa. Una de las aplicaciones con-siste en alimentar pequeos aparatos electrnicos que precisan corriente continua.En la figura siguiente se muestra un condensador conectado a una resistencia, dondedicho condensador actua como una batera.

V R

I

C


El condensador est inicialmente cargado con una tensin de 5V y es capaz dealmacenar una energa de 10Wh. La resistencia conectada tiene un valor de 100.

Hallar la capacidad del condensador.Determinar el tiempo de funcionamiento del condensador como batera

(suponinedo una tensin constante).Solucin del ejercicio 1.3Para hallar la capacidad de este condensador, se puede usar la frmula que rela-

ciona la energa con el voltaje y la capacidad:

E =12

CV2 = 10W h = 36000J

La capacidad vale entonces:

C = 2EV2

=2 36000

25 = 2880F

Es un valor de capacidad muy elevado, pero que puede alcanzarse en este tipo dedispositivos.

Para determinar el tiempo de funcionamiento del dispositivo primero se debe de-terminar el consumo en potencia de la resistencia:

P =V2

R= 0,25W

La energa consumida es bsicamente el tiempo de funcionamiento por la potenciaentregada. Suponiendo que la potencia es constante, el tiempo de funcionamiento esentonces:

t =EP=

100,25 = 40h

El condensador puede alimentar la carga durante 40h (considerando la tensin con-stante entre sus bornes).

Ejercicio 1.4Se dispone de un rollo de aluminio de cocina de 40cm de ancho y de 10m

de largo. Se dispone de otro rollo de papel vegetal con las mismas dimensionesque puede servir de aislante. Siendo la espesura de la hoja de papel vegetal de0,2mm, cual sera la capacidad del condensador casero que se puede construir? Seconsiderar como constante dielctrica relativa para el papel r = 2.

Solucin del ejercicio 1.4Para realizar el condensador, se divide el papel aluminio en dos partes iguales, y

se hace lo mismo para el papel aislante. Se obtienen entonces dos hojas de alumniocon superficie S = 5 0,2 = 1m2. Apilando las hojas de aluminio con una hoja de


aislante entre ellas, la capacidad del condensador formado es:

C = 20Sd =28,854 10121

0,2 103 = 88,5nF

Resulta un condensador sencillo que no difiere demasiado de los condensadores us-ados en la industria. Los materiales son distintos pero el principio es el mismo.

1.2.3 Inductancias

Las inductancias o inductores constituyen la tercera gran clase de elementos linealesen electricidad y en electrnica. Al igual que un condensador, un elemento inductivopermite almacenar energa, pero, en este caso, en forma de campo magntico. Paraentender el concepto de inductancia conviene pues estudiar primero cmo se produce elcampo magntico.

Una carga movindose en el espacio ejerce sobre el resto de cargas una influencia(fuerza) en forma de campo elctrico y magntico. En el caso de conductores con cor-riente continua, aparece un campo magntico a su alrededor que puede tener una es-tructura muy compleja. Sin embargo, se puede calcular este campo para algunos casossencillos que tienen aplicaciones prcticas importantes. Por ejemplo, para un hilo rectode longitud infinita recorrido por una corriente continua se puede demostrar que el cam-po magntico tiene una estructura simtrica en el espacio alrededor del hilo. Este campodefine unas superficies cilndricas sobre las cuales el mdulo del mismo es constante (noas su direccin). Esta intensidad de campo decrece con el inverso de la distancia. Dob-lando el hilo para formar una espira circular, el aspecto del campo cambiar. En estecaso, es como si se doblaran las superficies cilndricas de igual intensidad de campopara darles una forma que recuerda un donut (forma toroidal). Cuando se superponenvarias espiras idnticas recorridas por la misma corriente podemos hacernos una ideadel campo en el interior de las mismas (ver fig 1.14 (a) y (b)). Esta disposicin de lasespiras permite obtener un campo magntico casi uniforme dentro del cilindro definidopor las espiras.

El solenoide o bobina es un ejemplo de dispositivo inductivo que consta de espirasenrolladas y recorridas por una corriente elctrica. Si la corriente es continua, existeentonces un campo uniforme y constante en el interior de la bobina. Una inductancia (oinductor) es un elemento de circuito elctrico capaz de generar tal campo magntico7.Es necesario describir algunos aspectos fsicos de las inductancias para poder establecerun modelo matemtico que pueda servir tanto para la corriente continua como para lacorriente alterna.

Antes de estudiar los detalles de los elementos inductivos, conviene recordar algunosaspectos fundamentales que se observan en electromagnetismo:

7 La inductancia es una propiedad fsica de un circuito magntico. Sin embargo se llama con el mismonombre al elemento de circuito que tiene esta propiedad. En otros libros el lector podr encontrar eltrmino inductor para referirse al elemento de circuito. No se har aqu sin embargo la diferencia entre losdos trminos.


Un conductor recorrido por una corriente produce una influencia en su entorno enforma de campo magntico.

La magnitud de este campo es proporcional a la intensidad de la corriente que lorecorre.

Dado una superficie, se puede calcular qu cantidad de campo magntico atraviesaesta superficie mediante el flujo magntico.

La nocin de flujo magntico es de importancia en electrotecnia, en concreto, para lasaplicaciones en mquinas elctricas. Representa de algn modo la cantidad de campomagntico que atraviesa una superficie y su unidad es el Weber [Wb] y suele denotarsecon la letra griega . La definicin formal del flujo magntico viene dada por:

=

S

B dS (1.26)

A partir de aqu, se puede definir la inductancia (la propiedad que recibe dicho nombre)de un conductor que delimita una superficie (tal como lo hace una espira, por ejemplo):

L =

I(1.27)

Donde I es la corriente continua que circula en el conductor y el flujo magntico queatravesa la superficie delimitada. La inductancia determina la relacin entre el flujo yla intensidad para un conductor con una determinada geometra, tal y como sucede enuna bobina. Dado la importancia de las bobinas en la ingeniera elctrica es importantecalcular explicitamente la inductacia de una bobina con N espiras.

Se puede calcular de forma terica el campo magntico en el interior de un solenoideaplicando la ley de Ampre, teniendo en cuenta que este campo es casi uniforme. Laexpresin del campo magntico dentro del cilindro delimitado por la bobina es, aproxi-madamente:

B0 = N0l0

I (1.28)

El campo uniforme B0 es proporcional a I y al cociente entre la longitud l0 y el nmeroN0 de espiras. El campo magntico depende linealmente del parmetro llamado per-meabilidad magntica. La permeabilidad representa la sensibilidad de la materia al cam-po magntico y tiene como unidad el Henrio por metro [Hm1]. Para cambiar este factoren la bobina se puede colocar un ncleo de hierro dentro del cilindro definido por lasespiras. La permeabilidad de un material se puede descomponer como el producto de lapermeabilidad del vaco y de un nmero relativo propio del material considerado:

= 0r (1.29)con 0 = 4107 Hm1 y r un nmero adimensional. Algunos valores para diversosmateriales se pueden encontrar en el Cuadro 1.3. Estos aspectos se estudian en profun-didad en el Captulo 4.

En la figura 1.15 aparece el ejemplo del campo creado por un solenoide. Se observael corte transversal de la bobina con una corriente saliente hacia el lector en los crculos


(a)

(b)

Figura 1.14 Esquema del campo creado por una inductancia. En (a) se dibujan las lneas decampo creadas por la corriente en la inductancia. Obsrvese cmo las lneas de campo siemprese cierran sobre s mismas. En (b) aparece una ampliacin de la zona interior a la bobina: en estaregin, el campo forma lneas casi paralelas.

de arriba, y hacia dentro para los crculos de abajo. El campo es casi uniforme dentro delsolenoide. Sin embargo, se ven efectos de borde importantes cerca de los conductores,donde el campo resulta no uniforme. Ahora que se ha calculado el campo dentro de labobina, es posible hallar fcilmente el flujo que atraviesa una seccin de la bobina. Elcampo es casi uniforme y normal a la superficie definida por una espira, por lo que el

Nombre Composicin % Max. Perm.78 Permalloy 78.5 Ni 70,000MoPermalloy 79 Ni, 4.0 Mo 90,000Supermalloy 79 Ni, 5 Mo 900,00048 % nickel-iron 48 Ni 60,000Monimax 47 Ni, 3 Mo 35,000Sinimax 43 Ni, 3 Si 35,000Mumetal 77 Ni, 5 Cu, 2 Cr 85,000Deltamax 50 Ni 85,000

Cuadro 1.3 Permeabilidad magntica relativa de algunos materiales.


(a) (b)

Figura 1.15 Simulacin del campo creado por un solenoide. Se representa el campo en el planotransversal de la bobina de la figura (a). En (b), el mdulo y la direccin del campo magntico serepresentan mediante un conjunto de flechas. Las lneas curvas y cerradas representan algunaslneas de campo. Los crculos negros simbolizan secciones de conductores. En los crculos dearriba, la corriente saldra hacia el lector, mientras que en los crculos de abajo la corrienteentrara en el papel.

flujo es: =

S

B dS = B0N0S = S N20/l0I (1.30)

S es la superficie de una seccin de la bobina (de una espira), se debe contar N0 vecesel flujo creado por una espira para tener en cuenta la superficie total dado que los flujosque atraviesan cada espira se suman8. La inductancia en este caso es independiente dela corriente del conductor y, despejando la ecuacin (1.27), se obtiene:

L = S N20/l0. (1.31)La inductancia L es un parmetro que depende de la geometra y de la naturaleza delmaterial encerrado por la bobina. En realidad, se acaba de calcular lo que se conocecomo la autoinductancia de una bobina, lo que tiene en cuenta el hecho de que la bobinase ve influenciada por su propio campo magntico. En el Captulo 4 se precisan estasnociones.

Las inductancias acumulan energa en forma de campo magntico. Esta energa secalcula como el trabajo necesario para generar dicho campo en el espacio. Se presentaaqu solo el resultado del clculo:

EL =12 LI

2 (1.32)

8 La bobina se puede ver como una helice formada por N espiras. Es una superficie continua pero se puedeasimilar sin gran error a la asociacin de N espiras.


Figura 1.16 Esquema normalizado de una inductancia.

Para incrementar la energa mxima conviene aumentar el nmero de espiras o cambiarel material, es decir, aumentar L (caso de uso de materiales ferromagnticos).

En la figura 1.16 se muestra el esquema normalizado de un elemento inductivo. Serepresenta tambin bajo el convenio receptor, con la corriente opuesta a la tensin. Seusar este smbolo en los circuitos para significar que un elemento de un dispositivoposee un comportamiento inductivo.

En realidad, un modelo ms completo de la inductancia debe de tener en cuenta laresistividad del material de la bobina. Esta puede llegar a ser importante cuando se tratade varias decenas de metros, o incluso kilmetros, de hilo. La resistencia del conductorva a crear un calentamiento de la bobina y por lo tanto prdidas de potencia. En el casode las mquinas elctricas de alta potencia, las cuales contienen muchas bobinas, se hande calcular estas prdidas para incluirlas en el rendimiento del dispositivo. Otro aspectoque hay que tener en cuenta para el modelo cuando funciona en rgimen de corrientealterna son los efectos capacitivos que pueden aparecer entre los hilos. Los hilos de unabobina estn cubiertos por un aislante elctrico para evitar el contacto entre una espiray la siguiente. Las espiras, por tanto, estn separadas nicamente por esta fina capaaislante. Estos efectos sin embargo se pueden despreciar en corriente continua.

El modelo de la inductancia tiene mucha importancia en electrotecnia dado que losbobinados de los transformadores y de las mquinas elctricas se reducen a este modelo.Los clculos de campo magntico y de transferencia de energa son abordables graciasa ellos.

Una aplicacin tpica de las bobinas en corriente continua es el rel. El rel es undispositivo electromecnico que permite controlar la apertura o cierre de un circuito. Suutilidad es servir de interruptor controlable mediante una tensin pequea que permitecortar o activar un circuito sometido a una tensin alta. El esquema del dispositivo sepuede ver en la figura 1.17. La bobina, una vez alimentada, acta como un electroimnque atrae una pequea pieza metlica. La pieza metlica cierra un interruptor forma-do por dos conductores flexibles (tpicamente de cobre). Una vez que el circuito estcerrado, la corriente puede circular por el circuito de alto voltaje. Un inconveniente deeste tipo de dispositivos es el consumo de energa cuando el interruptor est cerrado.La fuerza que la bobina puede ejercer sobre la pieza metlica est relacionada con ladensidad de energa que produce la bobina en el espacio.

Ejercicio 1.5Se quiere disear una inductancia de 1mH. Se dispone de cable aislado en


Figura 1.17 Se muestra en la figura el funcionamiento de una bobina como electroimn. Cuandoel interruptor de la bobina se cierra, sta acta como un electroimn y la pieza metlica, atraidapor el mismo, cierra el circuito. El inters de este mecanismo es el de poder cerrar un circuitoque posee tensiones altas (por ejemplo V2 = 220V) mediante la aplicacin de una tensin muybaja (por ejemplo V1 = 12V).

abundancia y de un cilndro de papel de 3cm de diametro y de 5cm de largo. Cmoobtener tal inductancia? Cuntas vueltas se necesitan si se coloca un cilindro dehierro en lugar de papel?

Solucin del ejercicio 1.5Para obtener la inductancia equivalente se usa la frmula 1.31 y se despeja el

nmero de espiras necesarias para obtener una inductancia de 1mH:

N =

Ll

S 0=

1 103 5 102

(2,5 102)2 4 107 = 147,3

Son necesarias 148 vueltas del cable para obtener la inductancia deseada.

Colocando un cilindro de hierro en vez de papel en nuestra bobina, el nuevo


nmero de espiras sera:

N =Nr,

con r la permeabilidad relativa del hierro (alrededor de 5000). Como se ve, puedereducirse considerablemente el nmero de espiras necesarias.

1.2.4 Generadores y fuentes

Un generador es un elemento capaz de poner en movimiento los electrones en uncircuito. Sera equivalente a una bomba en un circuito hidrulico: no crea el fluido,sino que lo hace circular. El generador elctrico crea un campo elctrico que aceleralas cargas, provocando una corriente elctrica si est conectado a un circuito por dondepueda circular.

Los generadores se pueden modelar segn dos tipos de fuentes: las fuentes de tensiny las fuentes de corriente. El primer tipo fija la diferencia de potencial, mientras lacorriente depende del circuito conectado. En el segundo caso, se ofrece una corrientefija. La diferencia de potencial para esta fuente depender del circuito. Los simbolosusuales para las fuentes de tensin y corriente se muestran en la figura 1.18.

Un generador ideal de tensin continua se representa esquemticamente como apareceen la figura 1.19 (a). Un generador o pila ideal puede producir cualquier corriente sincambiar la tensin entre sus dos polos. Esto significa que, independietemente de la cargaconectada a su salida, el generador es capaz de mantener la misma tensin. Es decir, si seconecta una resistencia R a un generador de f.e.m. (fuerza electromotriz) E0, apareceruna corriente dada por la ley de Ohm: I = E0/R. Si la resistencia es muy pequea, lacorriente ser muy grande mientras el generador mantenga la tensin E0 constante entresus bornes. Este tipo de comportamiento viene representado en la figura 1.19 donde seobserva la caracterstica tensin-corriente de un generador. En lnea discontinua se rep-

Figura 1.18 Smbolos normalizados de las fuentes de tensin y de corriente. A la izquierda (a yb) se encuentran la fuentes de corriente y, a la derecha, los smbolos para las fuentes de tensin(c y d).


(a) (b)

(c)

Figura 1.19 Esquema de un generador de f.e.m., junto con las caractersticas tensin-corrientede un generador ideal (a) y real (b). En esta figura aparece el esquema normalizado de ungenerador de tensin continua. Tambin se representa la resistencia interna modelada como unaresistencia en serie con el generador. (c) Caractersticas ideal y real de un generador de tensincontinua cuando cambia la intensidad a la salida.

resenta la caracterstica ideal de un generador, donde la tensin se mantiene igual paracualquier corriente I de salida: es una recta de ecuacin V = E0.

Sin embargo, esta caracterstica es imposible de obtener en la realidad, ya que estosignificara que el generador podra proporcionar una potencia infinita. Recordemos quela potencia se expresa como P = VI en rgimen de corriente continua. Para I conV constante, la potencia tambin sera infinita. En la prctica la potencia est limitada yel generador no puede proporcionar potencia indefinidamente creciente. Cualquier pilao generador de tensin real se modela con una resistencia en serie con el generador def.e.m., resistencia que simboliza las prdidas y las limitaciones del propio generador.Para un generador de tensin real, esta resistencia en serie provoca una cada de tensina la salida del generador a medida que va subiendo la corriente proporcionada. Estaresistencia, llamada resistencia interna, modeliza los defectos y las perdidas internasdel dispositivo.

En el esquema de la figura 1.19 (b), una f.e.m. E0 se encuentra en serie con una


resistencia r que representa la resistencia interna del dipositivo real. A la salida del gen-erador se mide una tensin V y una corriente I proporcionada al dispositivo conectado.La tensin a la salida sera la tensin del generador menos lo que roba la resistenciainterna:

V = E0 rI (1.33)La representacin de la tensin V en funcin de la corriente se puede apreciar en la figu-ra 1.19 (c), constituyendo una recta de pendiente r. A medida que sube la intensidadde salida del generador, la diferencia de potencial V se hace menor por causa de la re-sistencia interna. Se puede analizar dnde se consume la potencia haciendo un balancede cada elemento:

Potencia de la resistencia interna r: Pr = rI2

Potencia de la salida: Ps = VI = (E0 rI)I = E0I rI2Potencia de la f.e.m.: PE = E0I

La resistencia interna disipa una potencia dentro del generador real. Significa que elgenerador tiene un consumo propio de energa que se convierte en calor.

Existen tambin generadores de corriente en los que la corriente suministrada por lafuente es a priori independiente de la tensin que requiere la carga. Estos generadoresproporcionan una corriente I0 constante independientemente de la impedancia conecta-da en sus bornes. En la figura 1.20 (a) aparece el esquema normalizado del generadorde corriente. Si conectamos una resistencia R a un generador ideal de corriente IN , latensin de salida ser V = RIN , segn la ley de Ohm. La caracterstica tensin/corrientede una fuente ideal es una recta I = IN ; como se puede observar en la figura 1.20 (c), lacorriente es independiente de la tensin de los bornes del generador.

En realidad, existen defectos que se plasman en forma de una resistencia de fugade corriente en paralelo con el generador, tal como se muestra en la figura 1.20 (c).Este generador no puede proporcionar una corriente constante para cualquier tensin desalida ya que esto significara que el generador podra producir una potencia infinita.Al tener una resistencia en paralelo con el generador, la corriente de salida disminuye amedida que la tensin de salida del generador aumenta. Al igual que con el generadorde tensiones, se puede expresar la ley que relaciona la corriente de salida con la tensinV a partir de la figura 1.20 (b):

I = IN V/r. (1.34)Se representa esta recta en la figura 1.20 (c). La corriente de salida I del dispositivocorresponde a la corriente del generador ideal menos lo que roba la resistencia inter-na. Se puede hacer un balance de las potencias de cada elemento cuando el generadorpropociona una tensin V y una corriente I a la salida:

Potencia de la resistencia interna r: Pr = V2/rPotencia de la salida: Ps = VI = (IN V/r)V = VIN V2/rPotencia de la fuente de corriente: PI = VIN


(a) (b)

(c)

Figura 1.20 Esquema de un generador de corriente, junto con las caractersticastensin-corriente de un generador ideal (a) y real (b). En esta figura se dibuja el esquemanormalizado de un generador de corriente continua, donde el crculo con la flecha indica elsentido de la corriente del generador. La resistencia interna se asocia en paralelo con elgenerador. (c) Caractersticas ideal y real de un generador de corriente continua cuando cambiala intensidad a la salida.

A medida que el voltaje de salida aumenta, la potencia entregada por el generador dis-minuye por la disipacin interna en la resistencia interna.

Existe un mtodo terico para pasar de un generador de tensin a un generador decorriente equivalente: son los equivalentes de Thvenin y Norton (ver seccin 1.5). Sinembargo, es preciso sealar que existen diferencias importantes de diseo entre am-bos dispositivos: no se construye de la misma forma un generador de tensin que ungenerador de corriente.

Ejercicio 1.6Se han obtenido en un laboratorio los siguientes valores de corriente y tensin

para distintas cargas de un generador de tensin:


tensin (V) 4.41 4.13 3.68 3.14 2.60 2.39 1.87 1.62 1.19 0.8892corriente (A) 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

A partir de estos valores, estimar la resistencia interna, el valor nominal delvoltaje de la batera y la resistencia de la carga en cada punto.

Solucin del ejercicio 1.6Para estimar la resistencia interna se ha de estimar la pendiente de la recta. Usamos

el mtodo de los mnimos cuadrados que nos proporciona la mejor estimacin. En lafigura siguiente se dibujan los datos junto con la recta de regresin lineal.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Corriente (A)

Tens

in

(V)

y = 4*x + 4.4

datos Ajuste

Despus del clculo, la pendiente resulta:

a = 4Este valor corresponde a una resistencia interna del generador de 4. El valornominal de la batera corresponde al valor cuando la intensidad es nula, es decir:V0 = 4,41V.

Para obtener el valor de la carga para cada punto de la caracterstica usamos laformula:

R =(E rI)

Iy se obtiene el Cuadro siguiente:

Tensin (V) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10R () Inf 40.0 18.0 10.6 7.0 4.8 3.3 2.3 1.5 0.8 0.4

1.3 Fuentes dependientes

En algunas situaciones, los elementos ideales detallados hasta ahora no son sufi-cientes para obtener un modelo satisfactorio del circuito. Un tipo de elementos adicionalusado para elaborar modelos ms completos consiste en fuentes de corriente y tensionescuyos valores dependen de algn parmetro del circuito tratado. Estos generadores o

1.3 Fuentes dependientes 35

fuentes se dicen dependientes al tener su valor de salida sujeto a otro parmetro delcircuito que puede incluso variar en el tiempo. El valor de la tensin o corriente delgenerador puede depender por ejemplo de otra tensin o corriente del circuito.

Existen cuatro tipo de fuente dependientes:

a) Las fuentes de corriente controladas por tensin: una tensin del circuito determinala corriente de la fuente dependiente. La corriente de la fuente se expresa comoI = aV , con a un parmetro que depende de la fuente y V , una tensin del circuito.Ver la figura 1.21 (a).

b) Las fuentes de corriente controladas por corriente: otra corriente del circuito deter-mina la corriente de la fuente. La corriente se expresa como I = bI, Siendo b unparmetro propio de la fuente e I, otra corriente del circuito. Ver la figura 1.21 (b).

c) Las fuentes de tensin controladas por tensin: aqu es una tensin la que controla elvoltaje de salida. La tensin de salida de la fuente sera V = cV , donde la gananciac depende de la fuente y V depende del circuito. Ver la figura 1.21 (c).

d) Las fuentes de tensin controladas por corriente: en este caso, una corriente delcircuito determina el volaje de salida. El voltaje de salida es V = dI, con d elparmetro propio de la fuente e I, una corriente del circuito. Ver la figura 1.21 (d).

Estos tipos de fuente aperecen cuando existen elementos tales como transistores.Suelen complicar el anlisis de los circuitos lineales; sin embargo, resultan esenciales

Figura 1.21 Tipos de fuentes dependientes comunes en circuitos lineales. Los generadores decorriente pueden depender de una tensin o de una corriente del circuito al que estn conectados.Lo mismo para los generadores de tensin, que son controlados por algn parmetro del circuito.


Figura 1.22 Ejemplo sencillo de circuito donde las partes del circuitos situados en mismopotencial estn marcadas con un mismo color

cuando se tratan los circuitos con dispositivos semiconductores. En la figura 1.21 serepresentan los cuatro tipos de fuentes anteriormente enumerados. Pueden aparecer consmbolos distintivos en los circuitos tales como rombos o cuadrados. Siempre se poneal lado el parmetro del circuito del que dependen.

1.4 Anlisis de circuitos lineales

Un circuito elctrico es la asociacin de varios dispositivos conectados entre s (re-sistencias, generadores etc) con el fin de desempear una funcin deseada o de obtenerel modelo de un dispositivo dado. Un circuito lineal es la representacin idealizada deeste circuito fsico donde todos los elementos son lineales.

Esta asociacin se representa de manera esquemtica en un diagrama donde cada el-emento fsico se dibuja con un smbolo normalizado junto con el valor numrico desu caracterstica fsica (la capacidad, inductancia, etc). Este esquema permite visualizarlas corrientes y las tensiones presentes en este circuito y adems proporciona una her-ramienta de diseo, de anlisis y de clculo. Es una representacin muy til y muypotente que permite abstraer las caractersticas importantes del dispositivo fsico. Ten-emos un modelo de la realidad (una abstraccin) para razonar y hacer clculos. Es todoel propsito de la ingeniera.

En la figura 1.22 se ilustra un ejemplo de circuito donde los elementos estn conec-tados mediante lneas. Estas lneas representan conductores ideales que conectan losdiversos elementos fsicos (resistencias y generador de tensin en este caso). Sobre estafigura se representan las tensiones y corrientes circulando en cada elemento.

Los conectores son los lugares donde el potencial es idntico en todo punto. En unconductor, como puede ser un cable, el potencial se considera constante en toda suextensin, dicho de otro modo no hay diferencia de potencial entre dos puntos de unmismo cable. Estas zonas equipotenciales se comportan como un nico nodo (o nudo)donde van conectados los elementos. En la figura 1.22. la lnea roja en la parte superior

1.4 Anlisis de circuitos lineales 37

Figura 1.23 Representacin de la referencia de masa en los circuitos. La representacin de laizquierda (a) corresponde a una referencia a la tierra. El esquema del centro (b) corresponde amasa para circuitos con seales, y el esquema de la izquierda (c) suele representar una referenciaa la carcasa del aparato.

del dibujo conecta las tres resistencias. En cada punto de esta lnea el potencial elctricoes el mismo, sin embargo no fluye necesariamente la misma corriente en cada tramo dela lnea. Si existen ramificaciones en el conector (si se separa en dos por ejemplo), en-tonces las intensidades en cada rama pueden ser distintas. En la figura 1.22 la corrientesI1, I2 e I3 son distintas a pesar de fluir en un mismo conductor (entendiendo aqu porconductor la tres ramas de la lnea roja).

Existe un potencial particularmente importante en electricidad que sirve de referenciaa todos los potenciales de un circuito. Se trata de la masa, que se representa como semuestra en la figura 1.23. Se trata de una referencia absoluta para los potenciales delcircuito. Este potencial de referencia es a menudo la tierra o el neutro de la red elc-trica. En las instalaciones elctricas domsticas los enchufes disponen en su mayorade tres conductores: una fase, un neutro que sirve de referencia y una toma de tierraque se conecta al suelo de la casa (literalmente a la tierra de los cimientos de la casa).Dependiendo de la referencia real usada se elige un simbolo u otro, por ejemplo parauna referencia a tierra del circuito se usar el esquema 1.23 (c). Pueden existir a vecesms de una referencia en circuitos debido a conexiones distintas, por ejemplo un cir-cuito puede estar conectado a la tierra y otro a la carcasa metlica de un aparato. Hayque tener cuidado entonces de que estos circuitos queden separados elctricamente da-do que las dos tierras no estn necesariamente al mismo potencial relativo9. El contactoentre estas masas puede resultar peligroso al existir una diferencia de potencial impor-tante provocando corrientes fluyendo de una parte haca otra. La existencia de multiplesreferencias puede complicar el diseo de circuitos al tener que aislar las distintas parteselctricamente.

1.4.1 Definiciones

Resolver un circuito lineal consiste en deducir del esquema todas las corrientes elc-tricas y todas las tensiones. Antes de aplicar las leyes que rigen la electricidad convieneanalizar la topologa del circuito, es decir, estudiar cual es la estructura de las conex-iones. Se definen ahora los elementos bsicos de los circuitos:

9 Para entender este punto, se puede tomar la analoga de la referencia de la altura. Alguien puede mediralturas tomando como referencia el nivel del mar o la puerta del sol. En ambos casos la altura de unobjeto ser la misma en los dos referenciales. Existe sin embargo una diferencia de altura entre las dosreferencias.


8V

1W 2W

2W6W

4V

IN1 2 3

a b c d

efgh

Figura 1.24 Ejemplo de circuito lineal con 3 mallas y 3 nudos.

Nudo: un nudo es un conductor con un potencial elctrico dado donde confluyen 2 oms corrientes. Se suele referir al nudo como el punto de interconexin de estascorrientes.

Ramas: una rama consiste en una unin mediante dipolos entre dos nudos. Dado2 nudos podemos unirlos mediante una infinidad de ramas. Por ejemplo una re-sistencia entre dos nudos es una rama.

Lazo: un lazo es un recorrido cerrado formado por ramas del circuito.Malla: una malla es un lazo que no contiene a ningun otro lazo en su interior10.

Algunos ejemplos de estas definiciones aparecen en el circuito de la figura 1.24. Enesta figura se han dibujado seis elementos lineales. Se pueden contar en total 6 la-zos: abcde f gha, abgha, abc f gha, bcde f gb, bc f gb, cde f c. De estos 6 lazos podemosdestacar 3 mallas, es decir 3 recorridos cerrados que no se solapan: abgha, bc f gb ycde f c. Las tres mallas van marcadas con un nmero y corresponden a las tres ven-tanas del circuito. Los otros lazos se pueden obtener como combinaciones de estas tresmallas.

Por otra parte se pueden contar 3 nudos en el circuito, los dos primeros son inmediatosy estn en los puntos b y c. El tercero es ms dificil de detectar, se trata de la asociacinde los puntos g y f . Estos dos puntos constituyen el mismo nudo dado que no hayningn dipolo que los separe, estn unidos por un cable. En este nudo se han conectadocuatro ramas y se podra definirlo como el potencial de referencia del circuito (la masao la tierra). Es un ejemplo de como puede engaar el aspecto de un circuito. Merece lapena analizar y volver a dibujar los circuitos que pueden parecer complejos a primeravista con fin de ayudar a su resolucin. La localizacin de los nudos debe de hacersecon cuidado tambin para no olvidar o confundir alguna corriente. En la figura 1.25se muestra un ejemplo de circuito que puede paracer complicado a primera vista. Sinembargo una vez transformado su anlisis es ms sencillo. Por ejemplo se puede quitarel cruce de resistencias que resulta incomodo para los clculos. Una vez transformado10 El concepto de malla est relacionado con los circuitos planos. Son circuitos que se pueden dibujar de tal

forma que ninguna rama quede por debajo o por encima de otra.


Figura 1.25 Ejemplo de circuito lineal que puede simplificarse con dibujar de nuevo el esquema.En la figura (b) no existe ningun cruce de ramas, aunque el circuito es todava complejo se puedeanalizar con las leyes de Kirchhoff. En la ltima figura (c) se han marcado claramente los nudosy las resistencias que los unen. Aparece una simetria en el circuito que poda ser dificil de intuirantes. Es importante transformar el circuito para hacer aparecer claramente las estructuras delcircuito.

el circuito en la forma (c) se puede proceder a su anlisis. Sigue siendo un circuitocomplejo pero las estruturas aparecen ms claramente11.

Resolver los circuitos consiste por una parte en analizar la estructura de los circuitosmodificando su forma, y por otra parte en aplicar las leyes de la electricidad que rigenlos elementos del circuito.

1.4.2 Leyes de Kirchhoff

En las primeras secciones de este captulo se ha descrito el comportamiento elctricode unos elementos bsicos. Ahora se van a combinar estos elementos en redes y graciasa la teora de circuitos se podrn deducir las cantidades importantes. Por un lado, sedebe analizar el efecto de la red y de las conexiones. Por otro lado, se deben aplicar lasleyes fsicas que rigen los elementos. Las leyes de Kirchhoff que se enuncian a contin-uacin son la base de todo anlisis de circuito, sea lineal o no-lineal. Permiten establecer11 En el apartado 1.6 se analiza como transformar una asociacin de resistencias conectadas en estrella

como las resistencias en R2, R1 y R7 en la figura 1.25 en una asociacin en tringulo que simplificaramucho este circuito


relaciones entre los voltajes y corrientes de un circuito. Gracias a estas ecuaciones y lasleyes de comportamiento de los componentes se pueden resolver los circuitos.

Las leyes de Kirchhoff son una forma de la ley de conservacin aplicada a circuitoselctricos12. La primera ley de Kirchhoff especifica que no hay acumulacin de cargasen ningn punto de un circuito. Significa que en un nudo del circuito la suma algebraicade las corrientes es nula. Para hacer la suma algebraica de las corrientes en un nudo se12 La ecuacin de conservacin de la carga se expresa de la forma siguiente: div(J) = t . Significa que la

variaciones espaciales de corriente (J) son iguales a la variaciones temporales de la carga (). Tomando elejemplo de un trozo de conductor como en la figura 1.1, entra una densidad de corriente J1 y sale otradensidad J2 . Usando el teorema de la divergencia aplicado al volumen del conductor, la ecuacin anteriorse transforma como:

V

div(J)dV =

S

J2 dS

S

J1 dS = qt

.

Si el segundo trmino es nulo, entonces la corriente que entra es igual a la corriente que sale. En el casode las leyes de Kirchhoff, el segundo trmino se considera nulo, es decir, que no hay creacin odestruccin de carga en un punto.

(a) Primera ley de Kirchhoff

(b) Segunda ley de Kirchhoff

Figura 1.26 (a) Esquema de un nudo donde llegan dos corrientes positivas (I3 y I4) y doscorrientes negativas. La ley de Kirchhoff afirma que la suma algebraica de estas corrientes esnula. (b) Ilustracin de la segunda ley de Kirchhoff que afirma que la suma de las tensiones enuna malla cerrada tiene que ser nula. Por ejemplo VAF VAB VBE = 0.


toma con signo positivo las corrientes entrantes (con la flecha hacia el nudo) y con signonegativo las corrientes salientes:

k nudoIk = 0 (1.35)

Esta ley significa que no se puede tener un hilo o un nudo donde salga ms corriente dela que entra (o al revs). En la figura 1.26 se muestra un ejemplo de nudo donde lleganvarias corrientes a la vez. Entran en el nudo las corrientes I3 e I4 y salen las corrientesI1 e I2. Se establece la relacin entre estas corrientes gracias a la ley de Kirchhoff:

I1 + I2 I3 I4 = 0. (1.36)Una forma cmoda de recordar esta ley consiste en razonar sobre los flujos de corrienteelctrica: en un nudo dado, todo lo que entra es igual a lo que sale. Es decir:

I1 + I2 = I3 + I4. (1.37)La segunda ley de Kirchhoff, llamada tambin ley de tensiones de Kirchhoff es

tambin una ley de conservacin. Es una ley de conservacin de la tensin en una mallao lazo13.

Por ejemplo, los puntos ABEFA en la figura 1.26 (b) forman un lazo. Existen otrosdos lazos: ABCDEFA y BCDEB. La ley de Kirchhoff expresa que la suma algebraicade las tensiones de estos circuitos cerrados tiene que ser nula para que la energa seconserve. La segunda ley de Kirchhoff para un circuito cerrado se enuncia de manerageneral:

k mallaVk = 0, (1.38)

para las tensiones de un lazo del circuito. En nuestro ejemplo de la malla ABEFA dela figura 1.26 (b), la ley de Kirchhoff en tensiones proporciona la siguiente ecuacin:VAB+VBE+VEF +VFA = 0. Si no se cumple la ley de Kirchhoff para un lazo del circuito,se contempla una de las dos situaciones siguientes:

a) hemos cometido un error al sumar las tensiones algebraicamente, es decir que hayun error de signo.

b) existen campos electromagnticos externos que inducen tensiones.13 La ley de Kirchhoff en tensiones se puede demostrar a partir de las ecuaciones de Maxwell. Eligiendo un

recorrido cerrado dentro de un circuito, se puede calcular la circulacin del campo elctrico dentro de esteconductor a lo largo del recorrido:

E dl = ddtDe acuerdo con la ley de Faraday, la circulacin de este campo es igual a la variacin de flujo magnticoen la superficie que encierra el recorrido. Se supone que en la mayora de los casos esta variacin de flujose puede considerar nula. La ley de Kirchhoff puede entonces deducirse:

E dl =

mallaVk = 0


Figura 1.27 Ejemplo de aplicacin de las leyes de Kirchhoff.

En el primer caso, se deben de sumar correctamente las tensiones, para ello se expondrms adelante un mtodo para conseguirlo sin dificultad. En el segundo caso, no es quefallen las leyes del electromagntismo, simplemente las leyes de Kirchhoff no cuentancon que existan induccin electromagntica en el propio circuito.

Se considera el ejemplo del circuito de la figura 1.27 para aplicar de forma prcticalas leyes de Kirchhoff siguiendo los pasos a continuacin:

1. Se elige una malla del circuito, por ejemplo del lazo 1.2. Para sumar las tensiones se elige el sentido de rotacin horario siguiendo el lazo. Se

elige un punto de salida y se recorre el lazo.

3. Dadas las corrientes, se establece la diferencia de potencial de cada elemento segnes un receptor o generador (ver convenio de signos).

4. Las tensiones dirigida de - a + en el sentido de rotacin (como la tensin E) vansumadas con un signo positivo.

5. Las tensiones dirigida de + a - se suman con un signo menos.

Para el lazo de nuestro ejemplo, la aplicacin del mtodo al lazo 1 resulta:

E VR1 VR3 VR4 = 0.

Gracias a las leyes de Kirchhoff y la ley de los elementos se pueden determinar todas lastensiones y corrientes del circuito. Cuando todos los elementos son lineales, el circuitopuede resolverse con un sistema de ecuaciones lineales con las tcnicas del lgebralineal.

Ejercicio 1.7Deducir a partir de las leyes de Kirchhoff las ecuaciones de las mallas y de los

nudos de la figura siguiente:


Solucin del ejercicio 1.7Para empezar se aplica la ley de Kirchhoff en corriente a los cuatro nudos marca-

dos, se trata de establecer el balance de corrientes en cada nudo:

Id = Ia + Ie Nudo 1Ia = Ib + Ic Nudo 2Ic + Ie + I f = 0 Nudo 3Ib = Id + I f Nudo 4

Observar que la cuarta ecuacin es una combinacin lineal de las otras tres, son solotres ecuaciones independientes.

Se procede ahora a calcular las ecuaciones de las mallas. Siguiendo el sentidomarcado en la figura del ejercicio se deducen las ecuaciones de las mallas:

Va + Vb 5 = 0 Malla A20 + Vc Vb = 0 Malla BVe Va Vc = 0 Malla C

Para resolver el circuito solo se necesita encontrar la relacin tensin/corriente decada elemento. En el caso de las resistencias, se aplica la ley de Ohm.

1.4.3 Nmero de ecuaciones

El anlisis de circuito consiste en obtener todas las corrientes y tensiones de un cir-cuito a partir de los valores de los elementos que lo componen. En un circuito linealel nmero de incognitas es igual al nmero de ramas dado que en cada rama la corri-ente que circula es distinta. Se deben obtener tantas ecuaciones independientes comoincognitas para resolver el circuito.

Un mtodo general para circuitos planos con r ramas consiste en lo siguiente:


1. Dado n nudos en el circuito existen n 1 nudos independientes que proporcionann 1 relaciones entre corrientes.

2. Las r (n 1) = r n + 1 ecuaciones restantes se obtienen gracias a las mallas delcircuitos. Es necesario elegir mallas o lazos independientes en el circuito con el finde obtener un sistema de ecuaciones independientes14.

Es importante localizar los nudos y las mallas del circuito de forma correcta. Una vezobtenidas las r ecuaciones con r incognitas se pueden aplicar las tcnicas de lgebra lin-eal para resolver el sistema. Existen tcnicas de resolucin de circuitos ms eficientesque reducen el nmero de ecuaciones. Sin embargo el mtodo descrito antes funcionaen todas las situaciones. En esta seccin se describen mtodos de anlisis de circuitoslineales que permiten obtener todas las corrientes del circuito. Estos mtodos son gen-erales y depeden principalmente de la topologa del circuito15.

Ejercicio 1.8En el circuito de la figura siguiente determinar la corriente I3 as como la tensin

VR2. Datos: R1 = 3, R2 = 10, R3 = 4, R4 = 5 y la f.e.m. E = 10V .

Solucin del ejercicio 1.8Para resolver el circuito se escriben por ejemplo las ecuaciones de las mallas 2 y

3: {E VR1 VR2 = 0VR2 VR3 VR4 = 0

se aplica tambin la ley de Kirchhoff para las corrientes en el nico nudo indepedi-ente del circuito:

I1 = I2 + I3

Se aplica la ley de Ohm para cada elemento:VR1 = R1I1VR2 = R2I2VR3 = R3I3VR4 = R4I314 Por ejemplo si se eligen dos lazos que una vez combinados forma un tercero, la combinacin de las

ecuaciones de los dos primeros lazos formar una ecuacin identica a la ecuacin del tercer lazo.15 Las mismas tcnicas se usan para circuitos de corriente continua y corriente alterna dado que solo

depende de la red de conexin y no del funcionamiento de los elementos.


Tenemos todos los elementos para formar el sistema de tres ecuaciones con tresincognitas que necesitamos para resolver el circuito:

E R1I1 R2I2 = 0R2I2 R3I3 R4I3 = 0I1 = I2 + I3

Este sistema se puede tratar con las herramientas de lgebra lineal al ser un sistemalineal. En forma matricial se obtiene el siguiente sistema:

R1 R2 00 R2 (R3 + R4)1 1 1

I1I2I3

=E00

Resulta un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas para resolver. Despus

del clculo, se consigue:I2 = E(R3+R4)R1R2+(R1+R2)(R3+R4)

I3 = ER2R1R2+(R1+R2)(R3+R4)

I1 = I2 + I3

Aplicacin nmerica:

I2 = 10(4+5)310+(3+10)(4+5) = 0,612A

I3 = 1010310+(3+10)(4+5) = 0,680A

I1 = I2 + I3 = 1,292A

Por lo tanto la tensin VR2 vale:

VR2 = I2R2 = 0,612 10 = 6,120V

1.4.4 Asociacin de elementos lineales

Se puede reducir la complejidad de muchos circuitos lineales considerando la aso-ciacin de elementos de misma naturaleza cuando se encuentran en serie o en paralelo.De este modo se reduce el nmero de elementos y por tanto mejora la claridad para laresolucin del circuito. Empecemos primero describiendo la asociacin de resistencias.

Asociacin de resistenciasLa resistencia equivalente de una asociacin en serie es sencillamente la suma de las

resistencias. Para demostrarlo se utiliza la figura 1.28 (a) donde aparecen k resistenciasen serie. Se define como resistencia en serie a N resistencias atravesadas por la mismacorriente con sus bornes conectados uno tras otro. La tensin en las k resistencias se


(a)

(b)

Figura 1.28 Ilustracin de asociacin de impedancias en serie y en paralelo.

escribe en virtud de la ley de Ohm:

VRk = RkI, (1.39)dado que la intensidad que circula es la misma en cada resistencia. Por otra parte porlinealidad, se puede descomponer la tensin VAB:

VAB = VR1 + VR2 + + VRk (1.40)Sustituyendo (1.39) en la precedente ecuacin se tiene una expresin de VAB en funcinde las resistencias:

VAB = R1I + R2I + . . .RkI = Ik

n=1Rn (1.41)

Por lo que se define una nueva resistencia equivalente que depende de las resistenciasen serie:

Req =

kRk (1.42)

Para una asociacin de componentes en paralelo se puede calcular a partir de las leyesde Kirchhoff la resistencia equivalente de una forma similar. Se define una asociacinen paralelo como una asociacin de resistencias cuyos bornes estn unidos a dosmismos nudos. Es decir, que todas tendrn la misma diferencia de potencial.

En la figura 1.28 (b) se representan k resistencias conectadas a la misma tensin VAB.En este caso la ley de Ohm se escribe para cada resistencia:

VAB = R1I1 = R2I2 = = RkIk (1.43)


Por otro lado, la ley de Kirchhoff establece una relacin entre las corrientes del nudo:

I = I1 + I2 + + Ik = VABR1 +VABR2

+ + VABRk

(1.44)

Esta ltima expresin se pu

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Introduccion a La Teoria de Circuitos y Maquinas Electricas