Introducción: El oscilador armónico - metodos.fam.cie ...metodos.fam.cie.uva.es/~luismi/FM03Tema2.pdf · Pequenas oscilaciones˜ 2002/2003 2 Pequeñasoscilacionesenunsistemalagrangianoconungrado

PEQUENAS OSCILACIONES ENSISTEMAS LAGRANGIANOS

M. SantanderDepartamento de Fısica Teorica, Universidad de Valladolid

Version 3. Version original 8 Mayo 2000. Revisiones 7 Marzo 2001, 27 Febrero 2002, 27

Febrero 2003.

Introduccion: El oscilador armonico

En este tema vamos a estudiar el movimiento de pequenas oscilaciones efec-tuado por un sistema mecanico lagrangiano en las proximidades de una posicionde equilibrio estable, esto es, en las cercanıas de un mınimo del potencial.

El prototipo de este problema es el oscilador armonico. Supongamos unapartıcula de masa m > 0 que se mueve en una lınea recta, con posicion caracte-rizada por la coordenada cartesiana x, y sometida a una fuerza atractiva propor-cional a la distancia a un punto fijo sobre la lınea, que tomaremos como origende coordenadas. Ası las cosas, la fuerza es F = −kx con k > 0, y la ecuacion delmovimiento newtoniana,

mx = −kx, x = − k

mx,

es una ecuacion diferencial muy sencilla cuya solucion general tiene una dependen-cia armonica del tiempo, con frecuencia ω =

√k/m:

x(t) = a cos(ωt + φ),

y contiene dos constantes arbitrarias: la amplitud a del movimiento, y la faseinicial, φ que es la fase en el instante inicial t = 0. Debe notarse que esta solucion esexacta, y que la frecuencia ω esta determinada de manera unica por las constantesm, k del problema, y es independiente de las condiciones iniciales.

En la formulacion lagrangiana de la mecanica, plantearıamos este problemadiciendo que la partıcula se encuentra en un potencial V (x) = 1

2kx2, y la ecuaciondel movimiento es la ecuacion de Euler-Lagrange asociada al lagrangiano

Losc = T − V = 12mx2 − 1

2kx2,

que presenta una notable simetrıa entre posicion x y velocidad x.

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1

Pequenas oscilaciones 2002/2003 2

Pequenas oscilaciones en un sistema lagrangiano con un gradode libertad

Vamos ahora a considerar el caso de un sistema mecanico lagrangiano con unsolo grado de libertad. Si usamos una coordenada generalizada q arbitraria, yplanteamos directamente las ecuaciones del movimiento en terminos del princi-pio de mınima accion, evitando ası el paso por la forma newtoniana (fuerzas yaceleraciones), el lagrangiano es:

L = T − V = 12µ(q) q2 − V (q), (1)

donde supondremos que para todo valor de q se tiene µ(q) > 0. La ecuacion delmovimiento es:

µ q +12

dµ

dqq2 +

dV

dq= 0. (2)

• Ejercicio 1. ¡Comprobar!

¿Existira alguna solucion de las ecuaciones del movimiento en la cual la partıculapermanezca indefinidamente en reposo (en equilibrio estable) en cierto punto q0?Por simple sustitucion, si queremos que t → q(t) = q0 sea solucion de la ecuaciones claro que el potencial V (q) debe tener un punto crıtico en q0, esto es dV

dq

∣∣∣q0

= 0,

y si queremos que este movimiento sea estable el punto crıtico debe ser un mınimo,lo que corresponde a que en el la segunda derivada de V sea positiva.

Nuestro objetivo en este tema es el estudio del movimiento del sistema la-grangiano en las cercanıas de un mınimo del potencial, movimiento que se deno-mina de pequenas oscilaciones.

No hay ningun inconveniente en modificar la coordenada q de manera que elmınimo del potencial corresponda a q0 = 0 (por ejemplo reemplazando q → q−q0)a partir de ahora supondremos tal eleccion ‘centrada’ de la coordenada q.

La descripcion de los movimientos en las cercanıas de este punto se obtienelinealizando en torno a q = 0 la ecuacion anterior. Ello se consigue:

a) reemplazando la funcion µ(q) por su valor en q = 0, es decir µ(q) → µ(0)b) reemplazando el potencial V (q) por el termino cuadratico en q del desarrollo

de V (q) en serie de potencias alrededor de q = 0, esto es V (q) → 12

d2Vdq2

∣∣∣0q2.

Es facil justificar fısicamente estas dos sustituciones. Para el potencial, siconsideramos su expresion en las cercanıas de q = 0, dada por el desarrollo deTaylor en torno ese punto (siempre que el potencial sea continuo y con suficientesderivadas continuas), el termino de orden 0 es una constante irrelevante, y el deorden 1 se anula ya que el origen es un punto crıtico. Ası en las cercanıas de q = 0el primer termino relevante es la parte cuadratica del potencial, y como q = 0 es unmınimo, la constante V ′′(0) es positiva, con lo que tras la linealizacion el potencialdel sistema es exactamente el de un oscilador armonico. Para la parte cinetica, en


las cercanıas de q = 0 los valores de q son pequenos y parece razonable aproximarla funcion µ(q) por su valor (que es no nulo) en q = 0.

Como argumento complementario, debe mencionarse que la tecnica de linealizacion

de sistemas dinamicos que veremos en un capıtulo posterior, conduce exactamente a esta

prescripcion para linealizar un sistema lagrangiano. Los siguientes ejercicios presuponen

el conocimiento de esta tecnica.

• Ejercicio 2. Reescribiendo la ecuacion del movimiento (2) como un sistema

dinamico autonomo en las dos variables q y p := ∂L∂q

, y linealizando dicho sistema

alrededor de un punto crıtico del potencial, se pide comprobar que el sistema la-

grangiano (1) tiene solamente puntos crıticos de tipo centro estable o silla, que cor-

responden a TrA = 0 para la matriz del sistema dinamico correspondiente linealizado

en ambos casos, con det A > 0 para un mınimo del potencial (punto crıtico tipo cen-

tro estable) y det A < 0 para un maximo del potencial (idem tipo silla).

Este ejemplo sugiere que en sistemas lagrangianos hay menos tipos de soluciones

crıticas que los que se dan en sistemas dinamicos generales; efectivamente esto es ası.

• Ejercicio 3. Comprobar que el proceso usual de linealizacion descrito al estu-

diar los sistemas dinamicos conduce realmente a la prescripcion dada para linealizar

un sistema lagrangiano de un grado de libertad. Se trata de escribir la ecuacion (2)

como un sistema dinamico, como se ha propuesto en el ejercicio anterior. Si ahora

se desarrollan µ(q) y V (q) en serie de potencias de q alrededor de q = 0, puede com-

probarse que la linealizacion usual de este sistema dinamico corresponde a conservar

solo el termino constante µ(0) en µ(q) y el termino cuadratico 12V ′′(0) q2 en V (q).

Ası pues, el lagrangiano linealizado, denotado por un subındice 0, es:

L0 = 12µ(0)q2 − 1

2V ′′(0)q2,

que corresponde a una energıa cinetica T0 = 12µ(0)q2 y a una energıa potencial

V0 = 12V ′′(0)q2. Este lagrangiano muestra una remarcable simetrıa entre la coor-

denada q y la velocidad q y la ecuacion del movimiento que se deriva de el es:

µ(0) q = −V ′′(0) q, (3)

donde los coeficientes, a diferencia de (2) son ya constantes, y por tanto permitenla integracion explıcita, obteniendose como solucion general

q(t) = a cos(ωt + φ), ω =√

V ′′(0)/µ(0), (4)

que es una funcion que tiene una dependencia armonica del tiempo, con frecuenciaω y que como vemos es totalmente analoga a la del oscilador armonico presentadoal principio. La cantidad bajo el radicando es siempre positiva ya que el puntoestable es un mınimo del potencial, donde V ′′(0) > 0, y por otro lado µ(0) > 0.


El resultado es que en las cercanıas de cualquier punto de equilibrio estable deun sistema mecanico, el potencial puede aproximarse por una funcion cuadratica


de la coordenada. Por ello cualitativamente los movimientos en las cercanıas deun punto de equilibrio estable se aproximan por movimientos de un oscilador.

La solucion general (4) depende de dos constantes arbitrarias: la amplitud adel movimiento, y la fase φ en el instante inicial t = 0. Esto es lo esperable, yaque la evolucion de un sistema mecanico requiere el conocimiento de dos datosiniciales por cada grado de libertad (p. ej. posicion y velocidad inicial).

Es interesante observar que la expresion (4) es solucion exacta del sistemalinealizado (3), pero solo solucion aproximada del sistema original (2); la aproxi-macion es tanto mejor cuanto menor sea la amplitud de las oscilaciones. Realmentelo que se ha demostrado es el llamado principio de isocronismo de las pequenasoscilaciones, cuya primera formulacion se remonta a Galileo (segun la leyenda,Galileo cayo en la idea al distraerse observando el movimiento de las lamparaspendientes del techo de la iglesia mientras asistıa a los oficios religiosos, e inme-diatamente la comprobo experimentalmente usando su propio pulso como reloj;sea ello o no cierto, sin duda Galileo era un hombre de recursos).

Principio de isocronismo de las pequenas oscilaciones. Para un sistemamecanico con un grado de libertad descrito por el lagrangiano (2) y las ecuacionesde movimiento (3), el perıodo T de las oscilaciones alrededor de un punto deequilibrio estable (con coordenada q0) se aproxima al valor lımite T0 = 2π/ω0,

donde ω0 =√

V ′′(q0)µ(q0)

, cuando la amplitud de las oscilaciones decrece, siempre que

la trayectoria de las pequenas oscilaciones sea una curva suave.

Hay un punto interesante que conviene apreciar: la frecuencia esta determi-nada de manera completa por el problema, y se puede calcular usando cualquiercoordenada; el resultado para ω no debe depender de que coordenada particularse use. Si en vez de q usaramos cualquier otra coordenadada aceptable q(q) (esdecir con dq

dq �= 0), entonces la frecuencia calculada usando q(q), que esta dada por√

V ′′(q0)µ(q0)

resulta ser igual a ω0 =√

V ′′(q0)µ(q0)

.

• Ejercicio 5. Comprobar que efectivamente la expresion (4) de la frecuencia de las

pequenas oscilaciones resulta independiente de que coordenada q se use. Para ello basta

ver que se verifica la igualdad V ′′(q0)µ(q0)

= V ′′(q0)µ(q0)

donde se usan notaciones obvias (con ˜ se

denotan las cantidades expresadas en funcion de la nueva coordenada q. Ayuda: la relacion

entre las diferentes cantidades proviene de la igualdad de las energıas cinetica o potencial

cuando se expresan en terminos de q y de q.

Siempre puede aprovecharse esta libertad en la eleccion de coordenada parasimplificar algo los calculos escogiendo una coordenada normal, que es aquella quehace µ(q0) = 1.

• Ejercicio 6. Se trata de comprobar en un ejemplo concreto que el calculo de la

frecuencia realizado con diferentes coordenadas proporciona el mismo resultado; de paso se

introduce en un ejemplo muy sencillo la coordenada llamada normal. En el pendulo simple

de masa m y longitud l, situado en el campo gravitatorio terrestre con aceleracion de la

gravedad g, la coordenada mas natural es el angulo que forma el pendulo con la vertical,


θ, que se anula en la posicion de equilibrio estable θ = 0. Derivar la expresion para la

frecuencia de las pequenas oscilaciones (Se obtiene, por supuesto, la conocida expresion de

Fısica General ω0 =√

mglml2

=√

gl).

Si se usa como coordenada η =√

ml2θ, entonces en el punto de equilibrio estable del

pendulo η = 0. Se pide expresar la energıa cinetica y potencial del pendulo en terminos de

η, calcular en terminos de esta nueva coordenada η la frecuencia de pequenas oscilaciones

y comprobar que se obtiene, como debıa ocurrir, el mismo resultado.

• Ejercicio 7. Un ejemplo de pequenas oscilaciones sin isocronismo. No es una

trampa: si la trayectoria de pequenas oscilaciones no es suave en el punto de equilibrio (la

trayectoria tiene un punto singular), entonces los argumentos anteriores no son aplicables

y puede ocurrir que la frecuencia de las pequenas oscilaciones dependa de la amplitud de

manera esencial incluso para amplitudes pequenas. Este ejemplo esta tomado de Rock or

roll: Non isocronous small oscillations (an example), J. M. Levy-Leblond, Am. J. Phys.

46, 106-107, (1978).

El sistema es una version extrema del juguete llamado tentetieso: Un aro de alambre

circular de radio R y masa despreciable tiene rıgidamente unida en un punto de su periferia

una masa m y manteniendose en un plano vertical rueda sin deslizar sobre una lınea base

horizontal, en el campo gravitatorio terrestre. La trayectoria de la masa m es una cicloide,

que tiene una cuspide en el punto de equilibrio (la masa esta en la base).

En las situaciones con trayectoria sin puntos singulares que hemos estudiado antes,

debe esperarse una dependencia del perıodo con la amplitud a del tipo T (a) = T0 + O(a2)

con T0 �= 0 como realmente ocurre en el pendulo simple. Pero en este ejemplo la trayectoria

es singular, y la situacion es diferente. El perıodo de las pequenas oscilaciones resulta

depender de la amplitud a (medida por el angulo que el radio de la masa forma con la

vertical en el punto de maxima separacion del equilibrio), dada por

T (a) = 4√

R/g a + O(a3)

¿Habeıs oıdo alguna vez este fenomeno?.

Dos pendulos acoplados: el ejemplo paradigmatico de peque-nas oscilaciones

• Ejercicio 8. Estudiar el siguiente sistema de dos grados de libertad: dos pendulos

simples, de longitud l y masa m, cada uno descrito por el angulo que forman sus posiciones

instantaneas θ1, θ2 con la vertical, se mueven en el mismo plano. Las dos masas estan

unidos por un muelle de resorte cuya energıa potencial es mınima para θ1 = θ2, y cuyo

termino cuadratico puede escribirse 12K(θ2 − θ1)2.

Se pide escribir las ecuaciones del movimiento como un sistema de acuaciones diferen-

ciales acopladas en las dos variables θ1, θ2.

Despues se deberan buscar los posibles movimientos en los que las dos coordenadas

tengan una dependencia armonica con el tiempo (modos normales). Solamente son posibles

tales movimientos para dos frecuencias particulares que deberan encontrarse; para cada una

de ellas se pide determinar el movimeinto mas general con dicha frecuencia.

A continuacion debera estudiarse la evolucion que sigue el sistema partiendo de la

condicion inicial en reposo con solo un pendulo desplazado de su posicion de equilibrio y

comprobar que la evolucion determinada por esta condicion inicial presenta (para acoplo

debil) el fenomeno de las ‘pulsaciones’: el movimiento ‘se desplaza‘ periodicamente del

primer pendulo al segundo, con una frecuencia que debera determinarse.


Finalmente, se pide encontrar unas coordenadas (ciertas combinaciones lineales de

θ1, θ2) que desacoplen el sistema de ecuaciones diferenciales, y en terminos de las cuales el

movimiento general se puede describir sin dificulatad. Comprobar que cada modo normal

corresponde a una evolucion en la que solo una de las coordenadas normales varıa.

Pequenas oscilaciones en sistemas lagrangianos de varios gra-dos de libertad

Vamos a discutir ahora el caso de pequenas oscilaciones en un sistema mecanicolagrangiano con cualquier numero s de grados de libertad. El estado del sis-tema se describe por los valores instantaneos de s coordenadas generalizadas,q ≡ (q1, q2, . . . qs). La energıa cinetica de tal sistema es una forma cuadraticaen las velocidades, con coeficientes que pueden depender de las coordenadas qj ,

T =12

∑

i,k

µik(q) qiqk,

donde la matriz µik(q) es simetrica y definida positiva ya que la energıa cineticalo es. En cuanto a la energıa potencial, esta descrita por una cierta funcion de lass coordenadas q,

V = V (q1, q2, . . . qs),

que tiene un mınimo en el punto alrededor del cual vamos a estudiar las pequenasoscilaciones; supondremos escogidas las coordenadas de manera que la posiciondel mınimo corresponda a q = 0.

El lagrangiano exacto de este sistema es:

L =12

s∑

i,k=1

µik(q1, q2, . . . qs) qiqk − V (q1, q2, . . . qs), (5)

cuyas ecuaciones de Euler-Lagrange se derivan sin dificultad, observando que lamatriz µik es simetrica, y quedan

s∑

k=1

µik(q1, q2, . . . qs) qk +s∑

k,l=1

∂µik

∂qlqlqk = −1

2

s∑

j,k=1

∂µjk

∂qiqj qk − ∂V

∂qi. (6)


Observemos que estas ecuaciones son analogas a las (2) pero mas complicadasya que ahora se trata de un sistema de ecuaciones acopladas, que afectan a untotal de s funciones incognitas. Puede comprobarse que cuando hay un solo gradode libertad, la ecuacion (6) se reduce a la (2).



Si se pretende estudiar solo las pequenas oscilaciones alrededor de una posicionde equilibrio estable, situado en el punto con coordenadas (q1, q2, . . . qs) = 0, debe-remos linealizar este sistema en torno a dicho punto. El proceso es completamentesimilar al realizado en el caso de un grado de libertad, y la linealizacion consiste ensustituir en el lagrangiano (y por tanto tambien en las ecuaciones del movimiento):

a) Las funciones µik(q) por sus valores en q = 0, que denotaremos por Tik :=µik(0) y que son constantes, independientes de las coordenadas qj , que juegan elpapel que µ(0) tenıa en el caso de un grado de libertad.

b) El potencial V (q1, q2, . . . qs) por la parte cuadratica en las qj de su desarrolloen serie de potencias alrededor de q = 0, esto es, por 1

2

∑si,k=1 Vik qiqk, donde las

constantes Vik denotan los valores de las segundas derivadas del potencial conrespecto a las coordenadas qi y qk evaluadas en el punto de equilibrio, Vik :=

∂2V∂qk∂qi

∣∣∣q=0

. Evidentemente estas constantes juegan el papel que tenıa la derivada

segunda V ′′(0) en el caso de un grado de libertad. Notese de nuevo que estetermino es el primero relevante para el potencial en las cercanıas del punto deequilibrio: el termino constante es irrelevante, y los terminos lineales se anulanal tener como coeficientes las derivadas primeras del potencial, que en un mınimoson nulas.

Se llega ası a las ecuaciones de pequenas oscilaciones que describen, en laaproximacion lineal, las oscilaciones alrededor del mınimo del potencial:

s∑

k=1

Tik qk = −s∑

k=1

Vik qk i = 1, 2, . . . , s. (7)


Estas ecuaciones son semejantes (en s grados de libertad) a la ecuacion corres-pondiente para el caso de un grado de libertad. Aquı hay s coordenadas, que pode-mos imaginar como agrupadas en un unico vector columna, y toda la informacionsobre el sistema que se necesita para describir aproximadamente el movimientoen las cercanıas del punto estable esta contenida en los coeficientes Tik, Vik queconstituyen dos matrices cuadradas de orden s. Ambas matrices son simetricas ydefinidas positivas. Para Tik este caracter se deriva de la simetrıa de la funcionmatricial µik(q) y del caracter positivo de la energıa cinetica para cualquier veloci-dad. Para Vik la simetrıa viene del teorema de Schwarz sobre la conmutatividadde las derivadas parciales, y el caracter definido positivo traduce el hecho de queel punto de equilibrio escogido es un mınimo del potencial.

Con la notacion matricial:

Q =

q1

q2...qs

, T =

T11 T12 . . . T1s

T21 T22 . . . T2s...

.... . .

...Ts1 Ts2 . . . Tss

, V =

V11 V12 . . . V1s

V21 V22 . . . V2s...

.... . .

...Vs1 Vs2 . . . Vss

,


las ecuaciones (7) se escriben como

TQ = −VQ. (8)

Estas ecuaciones constituyen un sistema lineal de s ecuaciones diferenciales acopla-das de segundo orden; por ello una solucion general debera incluir 2s constantesarbitrarias, que corresponden a los valores iniciales, arbitrarios, de las s posicionesQ(0) y de las s velocidades Q(0).

Es posible encontrar la solucion general a estas ecuaciones de manera relativa-mente sencilla. Ello es el objeto del presente tema. Vamos a comenzar buscandosoluciones particulares.

Busqueda de soluciones particulares: los modos normalesComencemos por investigar si existen soluciones en las que todas las coorde-

nadas (q1, q2, . . . qs) tengan una dependencia temporal armonica con cierta frecuen-cia ω. Es decir, lo que nos preguntamos es: ¿existen movimientos del sistema de sgrados de libertad que puedan calificarse de armonicos, en los cuales el movimientosea una oscilacion con cierta frecuencia ω?

De otro modo: ¿es realmente solucion de las ecuaciones (7) un candidato deltipo:

Q(t) =

q1(t)q2(t)

...qs(t)

=

c1 cos(ωt + φ1)c2 cos(ωt + φ2)

...cs cos(ωt + φs)

(9)

en la que todas las coordenadas realizan un movimiento armonico con la mismafrecuencia, pero cada coordenada qj tiene individualmente una cierta amplitud cj

y una fase inicial φj , que de momento dejamos arbitrarias?Para comprobar si se trata realmente de una solucion basta derivar dos veces

con respecto al tiempo:

Q(t) =

q1(t)q2(t)

...qs(t)

=

c1(−ω2) cos(ωt + φ1)c2(−ω2) cos(ωt + φ2)

...cs(−ω2) cos(ωt + φs)

= −ω2

q1(t)q2(t)

...qs(t)

= −ω2Q(t)

y sustituir lo que se obtiene en la ecuacion (7), que se reduce a:

−ω2TQ(t) = −VQ(t).

Por lo tanto, el candidato (9) es solucion si y solo si en cualquier instante t, elvector columna Q(t) satisface la ecuacion

(V − ω2T

)Q(t) = 0. (10)


Para cada valor de t, este es un sistema de ecuaciones lineales. Como es biensabido un tal sistema tiene solucion no trivial Q(t) �= 0 para Q(t) si y solo si severifica la condicion

det(V − ω2T

)= 0.

Esta ecuacion, que es un polinomio de grado s en la variable ω2 se denominaecuacion caracterıstica del par de matrices V,T y los valores de las frecuencias ωpara las cuales se satisface la ecuacion anterior se llaman frecuencias caracterısticaso frecuencias normales del sistema. La conclusion obtenida es:

Un sistema de varios grados de libertad en regimen de pequenas oscilacionesalrededor de un punto de equilibrio estable puede efectuar movimientos en losque todas las coordenadas tengan dependencia armonica de frecuencia ω con eltiempo solo para ciertas frecuencias, llamadas frecuencias caracterısticas del sis-tema. Los cuadrados ω2 de estas frecuencias posibles son las raıces en λ de laecuacion det (V − λT) = 0.

Esta ecuacion es un polinomio en λ, de grado s y coeficientes reales, del cualel teorema fundamental del algebra asegura que si cada raız se cuenta con sumultiplicidad existen exactamente s raıces. Para un polinomio general de coefi-cientes reales las raıces podrıan ser complejas (en cuyo caso vendrıan por pares deraices complejas mutuamente conjugadas). Sin embargo el polinomio det (V − λT)proviene de dos matrices T,V con la propiedad especial de ser simetricas y definidaspositivas; en estas condiciones se verifica el siguiente resultado cuya demostracionpuede encontrarse en cualquier texto de algebra lineal:

Si las dos matrices T,V son simetricas y definidas positivas, entonces las sraıces en λ de la ecuacion det (V − λT) = 0 son todas reales y positivas.

Vamos a denotar λ(α) a estas raıces, donde el ındice (α) = 1, 2, . . . , s distinguelas s posibles frecuencias normales; este ındice se escribe entre parentesis paradestacar que juega un papel diferente a los ındices i = 1, 2, . . . s que etiquetanlos grados de libertad, aunque ambos tipos de ındice toman los valores 1, 2, . . . s:si las raıces multiples se cuentan adecuadamente hay tantas raıces del polinomiocaracterıstico como numero de grados de libertad.

Aun no hemos acabado, ya que el vector columna Q(t) debe satisfacer laecuacion (

V − ω2T)Q(t) = 0.

Para discutir este punto resulta aconsejable utilizar una notacion compleja, igualque se hace en electromagnetismo. La idea basica es que cada expresion cj cos(ωt+φj) puede verse como la parte real �(cje

iωt) del numero complejo cjeiωt donde

cj = ajeiφj debe leerse como una amplitud compleja, que engloba como modulo

a la amplitud ordinaria aj y como argumento a la fase φj en el instante inicial.Denotando como C el vector columna formado por los s coeficientes (eventualmente


complejos) cj , la funcion de prueba (9) se escribe:

Q(t) =

q1(t)q2(t)

...qs(t)

= �

c1eiωt

c2eiωt

...cse

iωt

= �

{eiωtC

}

y sustituyendo en (8), ecuacion en la que todos los elementos de las matrices V,Tque intervienen son numeros reales, el factor de evolucion temporal desaparece yqueda la condicion: (

V − ω2T)C = 0, (11)

Ası pues hemos obtenido:

Las funciones qj(t) = �(cjeiωt) (agrupadas en el vector Q(t) = �

{eiωtC

}) son

solucion de las ecuaciones de movimiento de las pequenas oscilaciones si y solo sila frecuencia ω y las constantes complejas cj (agrupadas en el vector C) satisfacenlas ecuaciones (10) y (11):

det(V − ω2T) = 0,(V − ω2T

)C = 0,

La primera ecuacion involucra exclusivamente a la frecuencia ω. Solo cuando ωsatisface esta ecuacion, es decir, cuando ω es una de las frecuencias caracterısticas,la segunda ecuacion admite solucion no trivial para C, que se debe obtener re-solviendo el sistema de ecuaciones lineales

(V − ω2

(α)T)

C = 0

En resumen, restringiendo la busqueda a movimientos con una sola frecuenciapara todas las coordenadas, hemos ya encontrado ciertas soluciones de las ecua-ciones del movimiento:

Q(t) = �{eiω(α)t C

}

donde ω2(α) es raız de (10) y C satisface (11). Tal solucion se denomina modo

normal de oscilacion. A su frecuencia se la denomina frecuencia normal, y alvector C se le conoce, por motivos que veremos enseguida como el vector formadel modo normal.

Para el caso de un grado de libertad, (11) se reduce a (V11 − ω2T11)C = 0cuya unica solucion significativa con C �= 0 requiere ω2 = V11/T11; su frecuenciaes ω =

√V11/T11 =

√V ′′(0)/µ(0).

Volviendo de nuevo al caso de s grados de libertad, un resultado auxiliar, quepuede encontrarse en cualquier texto de algebra lineal al estudiar la diagonalizacionde matrices reales simetricas, garantiza que:


Para cada frecuencia caracterıstica ω, la ecuacion (11) admite tantas solucioneslinealmente independientes para C como multiplicidad m tiene ω2 como raız de laecuacion caracterıstica (10).

Esto significa que siempre existen s modos normales descritos por s vectoresforma C linealmente independientes, y cada uno con su frecuencia normal; estoocurre independientemente de que las s frecuencias sean diferentes o puedan coin-cidir (raıces multiples). Para un sistema lagrangiano como el que estamos dis-cutiendo, la solucion general en el caso de raıces multiples es practicamente lamisma que en el caso no degenerado en el que las s frecuencias son distintas (loque muestra que los sistemas lagrangianos son muy especiales y bastante massencillos de los sistemas dinamicos generales).

Solucion general en el caso no degenerado: superposicion de modosnormales

Vamos a discutir primero el caso generico de que las s frecuencias caracterısticassean todas diferentes. En este caso, para cada (α) la frecuencia ω(α) aparece soloen el modo (α), y la ecuacion (11) admite para C una solucion que, salvo un factorcomplejo no nulo, esta unicamente determinada. A partir de ahora vamos a llamarvector forma del modo C(α) a una solucion escogida arbitrariamente de la ecuacion(11) para la frecuencia ω(α), de manera que la solucion general de esta ecuacionsea

C = z(α)C(α),

donde z(α) es un numero complejo no nulo.Los vectores c, vectores forma de los diferentes modos (α) = 1, 2, . . . , s, satis-

facen las propiedades siguientes:

1- Los vectores C(α) asociados a los diferentes modos son linealmente indepen-dientes

2- Siempre es posible escoger estos vectores de manera que todas las compo-

nentes del vector columna C(α) sean reales.3- Los vectores forma del modo C(α) correspondientes a frecuencias carac-

terısticas diferentes son ortogonales relativamente al producto escalar definido enel espacio R

s por la energıa cinetica: (v,w) →∑s

i,k=1 viTikwk.

Observese la analogıa de estos resultados con los que se suponen conocidospara el problema ordinario de valores propios de una sola matriz simetrica. Estojustifica el que a veces se llame a C(α) ‘vector propio’ del par de matrices T,Vasociado al ‘valor propio’ ω2

(α). La analogıa se debe a que siempre podemos escogercoordenadas en las que T sea la matriz identidad; entonces el problema que sediscute es realmente el de valores y vectores propios de la matriz V

La propiedad de ortogonalidad ordinaria de los vectores propios de una ma-triz simetrica asociados a valores propios diferentes (que debe suponerse conocida)aparece ahora con la matriz T: la condicion de ortogonalidad de los vectoresforma del modo (‘propios’) de dos modos diferentes se traduce en la condicion


(C(α))T TC(β) = δα,β , que puede interpretarse con un ‘producto escalar’ determi-nado por la metrica de la energıa cinetica (v,w) = vT Tw.

Ası pues, en este caso el modo propio mas general de frecuencia ω(α) es:

Q(α)(t) = �{

z(α)eiω(α)tC(α)

}(12)

donde el numero complejo z(α) = a(α)eiφ(α) debe entenderse como la amplitud

compleja del movimiento Q(α)(t) relativa a la eleccion previa del vector forma delmodo C(α). Suponiendo que el vector forma del modo C(α) se ha escogido real,y observando que a(α) es una constante real positiva, la expresion anterior quedacomo:

Q(α)(t) = �{

a(α)ei(ω(α)t+φ(α))C(α)

}= a(α) cos(ω(α)t + φ(α))C

(α)

de manera que en el modo propio (α) dado por (12), cada una de las coordenadasqj efectua un movimiento armonico cuya amplitud es el modulo de la componentej−esima del vector a(α)C

(α); en cualquier instante las fases de las coordenadas qj

son bien iguales, bien opuestas (segun el elemento j−esimo del vector C(α) seapositivo o negativo).

Conviene insistir en que todas las coordenadas oscilan a la misma frecuanciaω, y que por tanto el modo normal (no degenerado) Q(α)(t) depende solo de dosparametros libres, contenidos en la ‘amplitud’ compleja z(α): su modulo a(α) y sufase φ(α). Es conveniente entender que los demas ingredientes del modo normalestan rıgidamente determinados: la frecuencia debe ser una de las frecuenciascaracterısticas o normales, y para cada frecuencia normal ω(α), el vector formadel modo C(α) esta determinado, salvo un factor de escala real no nulo, por lacondicion de ser solucion de (11) y tener todas sus componentes reales.

Por supuesto, aunque no impongamos la condicion de tener todas sus componentes

reales, sigue siendo cierto que C(α)esta determinado, salvo un factor de escala complejo no

nulo, por la condicion de ser solucion de (11). Si en (12) cambiamos C(α)multiplicandole

por un factor complejo no nulo, el mismo movimiento Q(α)(t) resulta descrito con una

nueva ‘amplitud’ z(α) que es la antigua dividida por el mismo factor, de manera que el

producto z(α)C(α)

no cambia.

Los productos z(α)C(α) contienen informacion sobre la posicion y la velocidad

iniciales en el modo normal Q(α). En efecto, derivando con respecto a t en (12):

Q(α)

(t) = �{

z(α)iω(α)eiω(α)tC(α)

},

que junto con (12) evaluadas en t = 0 dan

Q(α)(0) = �{

z(α)C(α)

}, Q

(α)(0) = −ω(α)�

{z(α)C

(α)}

, (13)


(aquı �{z},�{z} denotan la parte real e imaginaria del complejo z) de donde seobtiene la relacion entre la ‘amplitud’ z(α) y los datos iniciales usuales (posicion yvelocidad) cuando el movimiento esta descrito por el modo normal Q(α)(t):

z(α)C(α) = Q(α)(0) − i

ω(α)Q

(α)(0).

Esta ecuacion muestra que las condiciones iniciales Q(0), Q(0) que garantizanque la evolucion seguira un modo normal, o como se dice en la jerga, que excitanun modo normal, son muy especiales.

Por ejemplo, si consideramos como condicion inicial “partir del punto de coor-denadas dadas Q(0) y con velocidad inicial nula en todas las coordenadas Q(0) =0”, vemos que el movimiento sigue el modo normal (α) si y solo si el vector Q(0)de las posiciones iniciales es proporcional a C(α). Este hecho justifica la denomi-nacion del vector C(α) como forma del modo: sus componentes son proporcionalesa las desviaciones, respecto a sus posiciones de equilibrio, que las s coordenadas qj

deben tener para que el sistema, liberado en reposo a partir de dicha configuracion,evolucione segun un modo normal.

Analogamente, si tomamos como condicion inicial “partir del punto de equilib-rio en el mınimo del potencial, Q(0) = 0 con velocidades iniciales dadas por Q(0)”,entonces el movimiento sigue el modo normal (α) si y solo si el vector Q(0) de lasvelocidades iniciales es proporcional a C(α), lo que suministra otra interpretacionalternativa del vector forma del modo: si se lanza el sistema desde su posicionde equilibrio, con velocidad en cada coordenada qj proporcional a las componentej-esima del vector C(α), entonces el sistema evoluciona segun un modo normal.

Estos dos resultados particulares relativos a la interpretacion del vector formadel modo dan otra demostracion indirecta del hecho de que los vectores C(α)

siempre pueden escogerse de manera que todas sus componentes sean reales (yaque los vectores Q(0) o Q(0) lo son).

En general, la condicion inicial que garantiza que la evolucion sigue el modonormal (α) es que la combinacion Q(α)(0) − i

ω(α)Q

(α)(0) sea proporcional a C(α),

donde ahora el factor de proporcionalidad sera complejo.

Recapitulando, en un modo normal no degenerado la variacion temporal delas coordenadas qj , colectivamente, es muy semejante a la familiar del osciladorarmonico. Si los vectores C(α) se escogen con todas sus componentes reales, en-tonces descomponiendo la amplitud compleja en modulo y fase el movimiento es:

Q(α)(t) = �{z(α)e

iω(α)t}

C(α) = a(α) cos(ω(α)t + φ(α))C(α)

y la velocidad es:

Q(α)

(t) = −ω(α)a(α) sin(ω(α)t + φ(α))C(α),


donde se ve que en ciertos instantes (cuando sin(ω(α)t + φ(α)) = 0 lo que ocurredos veces por perıodo) el movimiento alcanza su elongacion maxima, Qmax =±a(α)C

(α), momento en el que todas las velocidades se anulan, mientras que enotros instantes (determinados por cos(ω(α)t + φ(α)) = 0), todas las velocidadesalcanzan sus valores extremos Qmax = ∓ω(α)a(α)C

(α), al tiempo que todas lasposiciones se anulan, esto es, el movimiento atraviesa el punto de equilibrio convelocidad maxima, en perfecta analogıa con el ejemplo del oscilador armonico.

Podemos resumir la interpretacion del vector forma del modo diciendo que, enel modo normal no degenerado (α), el vector C(α) es proporcional:

• al vector que describe las posiciones en el instante de elongacion maxima enque (todas) las velocidades se anulan.

• al vector que describe las velocidades de las coordenadas en el instante enque el movimiento pasa con velocidad maxima por el mınimo del potencial, estoes, cuando (todas) las coordenadas se anulan.

• a la combinacion de vectores posicion y velocidad Q(α)(t) − iω(α)

Q(α)

(t) encualquier instante t.

La solucion general en el caso no degeneradoAhora viene la magia de la linealidad. Hemos encontrado ya s soluciones

particulares del problema del movimiento, los s modos normales. Cada modonormal (no degenerado) depende de 2 constantes arbitrarias y hay s de ellos. Comolas ecuaciones del movimiento son lineales, cualquier combinacion lineal de talessoluciones es tambien solucion. Ası pues, el movimiento obtenido superponiendos modos normales, dado por

Q(t) =∑

(α)

�{

z(α)eiω(α)tC(α)

}, (14)

que depende de 2s constantes arbitrarias, contenidas en los s numeros complejosz(α), es tambien solucion de las ecuaciones del movimiento.

Notese que a diferencia de un modo normal, la solucion general no es unafuncion periodica del tiempo, sino multiperiodica, esto es, su evolucion temporalcontiene terminos de varias frecuencias distintas. En general el movimiento (14)no es periodico, excepto en el caso de que todas las frecuencias que realmenteaparezcan (con amplitudes no nulas) en la superposicion (14) sean conmensurables.Si suponemos que los vectores C(α) se han escogido reales, entonces puede escribirsela solucion general como:

Q(t) =∑

(α)

a(α) cos(ω(α)t + φ(α))C(α),

en donde derivando con respecto al tiempo:

Q(t) = −∑

(α)

ω(α)a(α) sin(ω(α)t + φ(α))C(α).


En consecuencia los valores iniciales en t = 0 de las posiciones y velocidadesen esta superposicion de modos normales es:

Q(0) =∑

(α)

a(α) cos φ(α)C(α), Q(0) = −

∑

(α)

ω(α)a(α) sinφ(α)C(α) (15)

Como esta solucion depende de 2s constantes, que es el numero de condicionesiniciales necesarias para especificar una solucion de un sistema lineal de s ecua-ciones diferenciales de segundo orden, se concluye que esta es la solucion generaldel problema.

• Ejercicio 12. Comprobar que para cualquier condicion inicial Q(0), Q(0) dada arbi-

trariamente (2s cantidades en total), las ecuaciones (15) admiten solucion (unica) para las

2s cantidades a(α), φ(α). Ası se comprueba que realmente (14) es la solucion general.

Para ello conviene empezar observando que por ser los vectores C(α)linealmente inde-

pendientes, forman necesariamente una base del espacio Rs, y los dos vectores Q(0), Q(0)

pueden descomponerse en terminos de la base C(α), (α) = 1, 2, . . . , s:

Q(0) =∑

(β)

x(β)C(β)

, Q(0) =∑

(β)

v(β)C(β)

donde los coeficientes x(α), v(α) pueden calcularse multiplicando escalarmente las igualdades

anteriores por C(α)(producto escalar con matriz T) y usando la ortogonalidad de los

vectores C(α):

x(α) =(C(α)

,Q(0))

(C(α),C(α)

), v(α) =

(C(α), Q(0))

(C(α),C(α)

), (v,w) :=

s∑

i,k=1

viTikwk = vT Tw

De la comparacion de los coeficientes de tales desarrollos con (15) se encuentran las ex-

presiones buscadas para a(α), φ(α): a(α) =√

x(α)2 +

(v(α)/ω(α)

)2, tan φ(α) = − v(α)

ω(α)x(α).

Ası pues, en el caso mas general, con condiciones iniciales arbitrarias, Q(0), Q(0),los modos normales que se excitan son los que aparecen en el desarrollo de algunode los dos vectores Q(0), Q(0) en la base C(α). Ya se ha discutido antes comodeben ser las condiciones iniciales que exciten un solo modo. Para las demas cir-cunstancias, el movimiento involucra varios modos normales (tantos como vectoresC(α) intervengan realmente al expresar Q(0) y Q(0) como combinacion lineal delos C(α)). Una condicion inicial arbitraria excita (genericamente) todos los modosnormales, y el movimiento es multiperiodico. Solo condiciones iniciales cada vezmas especıficas consiguen excitar menos modos, hasta el caso muy especial discu-tido antes en el que, al ser la posicion inicial y la velocidad inicial proporcional aun C(α), se excita solo un modo y el movimiento es periodico.


Solucion general del caso degenerado¿Que ocurre cuando la ecuacion caracterıstica tiene raıces multiples? Como

vamos a ver, para los sistemas lagrangianos que estamos estudiando el caso “de-generado” en el que hay frecuencias normales multiples es esencialmente semejanteal caso no degenerado en el que las s frecuencias son diferentes. Vamos solo a co-mentar lo que ocurre en el caso degenerado, en paralelo con la discusion previa,senalando especialmente las diferencias (relativamente menores) entre ambos ca-sos.

Conviene senalar que en los sistemas dinamicos generales (que estudiaremos en otro

capıtulo) la situacion en el caso de que la ecuacion caracterıstica de la matriz del sistema

tenga raıces multiples puede ser bastante diferente a lo que ocurre en el caso no degenerado.

Seguiremos denotando a las s frecuencias caracterısticas como ω(α), donde elındice (α) = 1, 2, . . . , s, pero ahora algunas de estas frecuencias pueden coincidir.Para concretar, supongamos que las frecuencias ω(1) = ω(2) = · · · = ω(m) = ω soniguales; en este caso esta frecuencia ω tiene una multiplicidad m. Si hay mas fre-cuencias repetidas las agrupamos de manera semejante; las multiplicidades debensatisfacer evidentemente m1 + m2 + · · · = s, y el caso no degenerado correspondea m1 = m2 = · · · = 1.

Si una frecuencia normal ω tiene multiplicidad m como raız de la ecuacioncaracterıstica, entonces las soluciones de la ecuacion

(V − ω2T

)C = 0 (16)

que en el caso no degenerado formaban un subespacio unidimensional, determi-nan ahora un subespacio de dimension m del espacio C

s o Rs. Dentro de este

subespacio es posible escoger exactamente m vectores, que seguiremos denotandoC(α), α = 1, 2, . . . , m tales que:

1- La solucion general de la ecuacion (16) es C =∑m

(α)=1 z(α)C(α) donde inter-

vienen como coeficientes m numeros complejos z(α) = a(α)eiφ(α)

2- Los vectores C(α) para (α) = 1, 2, . . . , m son linealmente independientes.

3- Todas las componentes de los vectores columna C(α) sean reales.4- Las m soluciones C(α) ası escogidas (correspondientes a la frecuencia car-

acterıstica multiplemente degenerada) son ortogonales entre sı relativamente alproducto escalar definido en el espacio R

s por la energıa cinetica.

5- Cualquier vector C(β) correspondiente a otro modo con frecuencia distinta(posiblemente degenerada) es ortogonal (relativamente al mismo producto escalar),

a los m vectores C(α).

En este caso cualquier vector en el subespacio solucion de (16) se obtiene su-perponiendo los m vectores C(α), con coeficientes arbitrarios z(α), y por tantocualquier vector en este subespacio aparece como ‘vector propio’ del par de ma-trices T,V asociados al ‘valor propio’ m veces degenerado ω. Insistimos en que


en este caso la eleccion de un juego de m vectores mutuamente ortogonales puedehacerse de muchas maneras y cualquier eleccion es aceptable en la descripcion.

El modo normal mas general de frecuencia ω = ω(1) = ω(2) = · · · = ω(m) esahora:

Qω(t) = �

m∑

(α)=1

z(α)eiω(α)tC(α)

= �

eiωt

m∑

(α)=1

z(α)C(α)

y depende de 2m parametros reales, contenidos en las m cantidades complejasz(α), (α) = 1, 2, . . . , m.

Si se suponen escogidos de antemano los vectores C(α), (α) = 1, 2, . . . , m, entonces

cada modo normal de esta frecuencia degenerada se describe por los coeficientes z(α), (α) =

1, 2, . . . , m. Si ahora se modifica la eleccion de los m vectores C(α)sustituyendoles por otra

base (ortonormal) del subespacio propio correspondiente a la frecuencia ω, entonces en el

mismo modo las correspondientes amplitudes aparecen sustituidas por otras, de manera

que la combinacion C =∑m

(α)=1 z(α)C(α)

no cambie.

Una vez visto esto, debe resultar claro que la forma de la solucion general delas ecuaciones de pequenas oscilaciones esta dada por una expresion:

Q(t) =s∑

(α)=1

�{

z(α)eiω(α)tC(α)

}(17)

que depende de 2s constantes arbitrarias, contenidas en los s numeros complejosz(α). Formalmente la expresion es la misma que en el caso no degenerado, y la unicadiferencia es que en la suma habra grupos de frecuencias iguales; para cada uno deestos grupos los vectores individuales C(α) pueden escogerse con la condicion deser mutuamente ortogonales entre sı con la metrica del producto escalar, y ya noson unicos salvo un factor; ahora en los subespacios propios de dimension m > 1una base ortogonal puede escogerse de muchas maneras diferentes; cualquier vectorcontenido en este subespacio resulta ahora ‘vector propio’ del par T,V, y todosellos intervienen en la expresion general (17) con la misma frecuencia. Todos losdemas comentarios realizados para el caso no degenerado se extienden de manerasemejante.

• Ejercicio 13. Estudiar las pequenas oscilaciones de algun sistema en tres grados de

libertad y que tenga una frecuencia doble, en detalle suficiente para comprobar que toda la

parafernalia del caso degenerado (las frecuencias multiples, ‘vectores propios’ no unicamente

determinados, etc) se maneja sin dificultad.

Un ejemplo sencillo es el pendulo trifilar: una plataforma con forma de triangulo equila-

tero (de lado d con cierta masa M y momento de inercia I alrededor de su centro) esta

suspendida simetricamente en sus tres vertices por tres hilos de la misma longitud l inex-

tensibles y sin masa de tres puntos que forman otro triangulo equilatero de lado f situado

en un plano horizontal. Evidentemente el mınimo del potencial corresponde a la plataforma

horizontal, en reposo. De los tres modos, dos corresponden a movimientos tipo ‘pendulo


simple’ en las dos direcciones x, y. El tercer modo involucra un movimiento de torsion de

la plataforma, con un movimiento de rotacion oscilante alrededor del eje vertical z.

Coordenadas mas adaptadas: coordenadas normalesAunque hasta ahora hemos usado coordenadas arbitrarias, en ciertas ocasiones

resulta conveniente trabajar con coordenadas que satisfagan alguna propiedad adi-cional y que a cambio faciliten la discusion o los calculos. Vamos a comentar ahoracomo pueden escogerse ciertas coordenadas especialmente adaptadas, llamadas co-ordenadas normales.

El primer paso consiste en escoger las coordenadas de manera que la matriz dela energıa cinetica linealizada, T sea la matriz identidad. En el caso del pendulosimple unidimensional el angulo θ no satisface esta condicion, mientras que lacoordenada η =

√ml2θ sı que lo hace. La idea es que en el paso de un sistema

de coordenadas inicial arbitrario a otro mas ‘adaptado’, los antiguos coeficientesTik se ‘absorban’ en las nuevas coordenadas, de manera que los nuevos Tik seanla matriz identidad. Estas coordenadas, que en la literatura a veces se llaman‘reducidas’ o ‘adaptadas’ simplifican algunas expresiones; por ejemplo:

• la ecuacion caracterıstica es una ecuacion ordinaria de valores propios parauna sola matriz V. Las frecuencias normales se determinan directamente como lasraıces cuadradas de los autovalores de esta matriz V.

• los vectores que determinan la forma de los modos normales, C(α) son orto-gonales para el producto escalar canonico ordinario en el espacio R

s.Partiendo de coordenadas arbitrarias se llega a otras adaptadas en las que la

matriz T sea la matriz identidad en dos etapas: primero se buscan coordenadas quereduzcan la matriz T a forma diagonal. Esto siempre es posible, ya que cualquiermatriz simetrica es diagonalizable. Los autovalores de T, que apareceran en ladiagonal de la nueva matriz T, son todos positivos, ya que la matriz es definidapositiva. Ahora modificando cada coordenada con un factor de escala adecuado(la raız cuadrada de cada uno de los autovalores de T), reducimos la matriz T conelementos positivos sobre la diagonal a una matriz diagonal en la que todos loselementos diagonales son iguales a 1, esto es, a la matriz identidad. Llegamos asıa un sistema de coordenadas en el que la expresion de T es lo mas simple posible.Geometricamente, el sistema reducido corresponde a llevar la metrica determinadapor la energıa cinetica, que es un producto escalar euclıdeo definido positivo, a laforma canonica familiar, en la que la matriz del producto escalar es la identidad.

• Ejercicio 14. Si en un sistema arbitrario de coordenadas qj las matrices que describen

el sistema linealizado de pequenas oscilaciones son T,V, se pide ver que en cualesquiera

otras coordenadas qj las matrices T, V se obtienen de las anteriores mediante una transfor-

macion que solo involucra a la matriz jacobiana, evaluada en el punto crıtico, del cambio de

coordenadas qj(qk). Por ello basta estudiar cambios de coordenadas lineales Q = AQ que

corresponden a una transformacion lineal de coordenadas, con matriz A. Se pide escribir

las expresiones que relacionan T,V con T, V usando la matriz A

Aun no hemos hecho nada directamente con la matriz de V, que por supuesto enlas nuevas coordenadas diferira de la inicial. Es evidente que hay infinitos sistemas


de coordenadas de este tipo adaptado; entre ellos hay sistemas especialmente bienadaptados que se denominan sistema de coordenadas normales. Para llegar a talescoordenadas, comencemos con un sistema adaptado, en el que la matriz T es lamatriz identidad. Cualquier cambio de coordenadas lineal dado por una matrizortogonal mantiene la propiedad de ser adaptado (ya que una matriz ortogonalconserva las longitudes y los angulos de los vectores calculados con el productoescalar canonico en R

s), y por tanto tras un cambio lineal de este tipo la matrizT sigue siendo igual a la identidad. Por tanto, todavıa se tiene cierta libertaden la eleccion de las coordenadas, lo que permite ir un poco mas lejos: usamosuna nueva transformacion lineal de coordenadas dada por una matriz ortogonal,escogida de manera que reduzca la matriz V a forma diagonal. Ello siempre esposible, ya que una matriz simetrica siempre puede diagonalizarse mediante unatransformacion ortogonal. Tal transformacion no altera la matriz T que siguesiendo igual a la identidad, pero reduce la otra matriz V a forma diagonal. Trasello los nuevos elementos diagonales de V son directamente sus autovalores, y lasfrecuencias caracterısticas son las raıces cuadradas de estos numeros.

Debe ser evidente que el uso de coordenadas normales corresponde geometrica-mente al uso de los ‘vectores propios’ C(α) como base canonica en el espacio R

s;en efecto, para el caso generico de un sistema con todas las frecuencias normalesdistintas, las expresiones de los vectores C(α) en coordenadas normales son:

C(1) ∝

10...0

, C(2) ∝

01...0

, . . . C(s) ∝

00...1

,

de manera que en coordenadas normales cada modo normal (j) corresponde a unmovimiento en el que solo una coordenada normal ηj cambia con el tiempo, segun:

ηj = a(j) cos(ω(j)t + φ(j))

mientras que las demas coordenadas son constantemente nulas, ηk = 0, k �= j.Las coordenadas normales corresponden geometricamente corresponden a la

reduccion simultanea del par T,V a una forma en la que T es la matriz identidady V es una matriz diagonal. En la literatura, este fenomeno se describe como laposibilidad de diagonalizacion simultanea de un par de formas cuadraticas, siempreque una de ellas (T) sea definida positiva.

• Ejercicio 15. Supongamos que el problema abordado hubiera sido no el estudio de las

pequenas oscilaciones en las cercanıas de un mınimo, sino el del estudio del movimiento en

las cercanıas de maximo del potencial o de un punto silla. Se pide analizar porque, aunque

todas las tecnicas desarrolladas en este tema funcionan inicialmente de manera semejante,

a la postre resultarıan completamente inadecuadas.

En el caso de que existan frecuencias multiples, al igual que los vectores formaindividuales, las coordenadas normales no estan completamente determinadas: a


cada frecuencia con multiplicidad m le corresponde un subespacio de dimensionm, y partiendo de un juego de coordenadas normales, aun es posible modificarlas coordenadas manteniendo el que sean normales, siempre que los cambios sehagan dentro de cada grupo de coordenadas normales asociados a la misma fre-cuencia. Claramente, esto corresponde a que en el caso degenerado, los vectoresC(α) correspondientes aun pueden escogerse de varias maneras.

• Ejercicio 16. Un metodo practico para calcular las coordenadas normales:

Supongamos que en unas coordenadas arbitrarias qj hemos escogido ya los s vectores

C(α). Entonces las coordenadas normales son ciertas funciones lineales de las qj , esto es,

pueden escribirse como:

ηi =∑

k

Aikqk, qi =∑

k

(A−1)ikηk.

Comprobar que si se organizan los s vectores columna C(α)como una matriz cuadrada

de orden s, entonces la inversa de la matriz ası obtenida es exactamente la matriz A que

describe el paso de las coordenadas iniciales a las normales.

Simetrıa, dualidad y estabilidad

La relacion entre simetrıa y estabilidad se conoce desde la antiguedad. Elexcelente libro de H. Weyl Simetrıa contiene varios ejemplos que muestran quetodas las representaciones iconicas y simbolicas de la divinidad tienen al menossimetrıa bilateral. En la antiguedad y en la Edad Media la divinidad ha sidosiempre sinonimo de estabilidad.

En los sistemas en pequenas oscilaciones aparece un ejemplo mas profundode simetrıa bilateral, que puede llamarse dualidad y que corresponde al papel to-talmente simetrico que juegan coordenadas y velocidades. El comportamiento es-table y oscilatorio que exhiben los sistemas gobernados por esas ecuaciones apareceen una variedad inmensa de situaciones. Aparte de la interpretacion puramentemecanica, presupuesta en la redaccion de las notas, en general podemos pensar quelos coeficientes T corresponden a la inercia del sistema, y los V a su elasticidad. Enun circuito electrico las ecuaciones que dan la evolucion temporal de las corrientesy cargas son totalmente semejantes; entonces los Tik son las impedancias (analogoelectrico de la inercia) y los Vik las capacidades. El significado fısico de la esta-bilidad en tales sistemas consiste en la acumulacion de energıa en forma potencial(de carga en los condensadores, en el sistema electrico) que se libera poniendo elsistema en movimiento y pasa a ser energıa cinetica (corrientes electricas), seguidopor el regreso de la energıa a forma potencial.

Este patron de comportamiento, con un balance permanente entre energıacinetica y energıa potencial parece ser universal en los sistemas estables: se daen los atomos, en las celulas (un nucleo capaz de intercambiar energıa e infor-macion con el exterior), etc.


Bibliografıa.

La fısica de las pequenas oscilaciones es un capıtulo clasico en los textos deMecanica. Una buena exposicion es la de Goldstein. El texto de Arnold, mas avan-zado, contiene un capıtulo excelente con multitud de ejemplos, algunos de los cualesse discutiran en las clases practicas. El capıtulo sobre pequenas oscilaciones deltexto de Dinamica de Lagrange de la coleccion ‘Schaum’ contiene tambien ejemploscomentados e incluso sugiere construir algun sistema y observar experimentalmentesu comportamiento. Finalmente, la Mecanica de Landau-Lifschitz contiene uncapıtulo breve pero que condensa lo esencial.

Los comentarios sobre simetrıa y estabilidad estan tomados del estimulante(pero marginal para esta asignatura) libro de B. A. Rosenfel’d, A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the concept of a geometric space, Springer,New-York, 1988.

1. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison Wesley, 1980.

2. V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag,1978.

3. L. D. Landau, I. M. Lifschitz, Mecanica, Reverte.

4. Antonio F. Ranada, Dinamica Clasica, Alianza Universidad Textos, 133, 1990.

5. D. A Wells, Dinamica de Lagrange, MacGraw Hill, 1974.

Problemas

Seleccion de L. M. Nieto

1 Considerese una partıcula que efectua un movimiento bidimensional sometidaal potencial

V (x, y) =14(5x2 + 5y2 − 2xy).

Determınense los posibles puntos de equilibrio estable y tanto los modos nor-males como la forma mas general del movimiento de pequenas oscilaciones entorno a ellos.

2 Estudiense los modos normales de vibracion de un sistema unidimensional for-mado por dos partıculas de igual masa, m, situadas en una lınea horizontal,unida cada una de ellas a una pared fija por muelles de constante k y longituden reposo , y unidas entre si por otro muelle de las mismas caracterısticas,suponiendo que la distancia entre las paredes es 3a y en la configuracion deequilibrio la distancia entre cada pared y la partıcula mas proxima a ella esa, siendo esta tambien la distancia entre las dos masas. ¿Como cambia lasituacion si la constante elastica del muelle que une las dos masas vale 3k en


vez de k?. ¿Y si ademas se supone que cada partıcula posee una carga electricapositiva q.

5 Encuentrense los modos normales de vibracion de dos pendulos simples (demasas M y m y de la misma longitud ; se desprecian las masas de los hilos)cuyos puntos de suspension estan separados una distancia b, que oscilan enmismo plano vertical y que estan acoplados por un muelle de masa despreciable,constante k y longitud en reposo b. Determinar la posiciones de equilibrioestable de este sistema y estudiar sus pequenas oscilaciones en torno a suposicion de equilibrio estable. ¿Que sucede cuando M = m y k << mg

l ?(intercambio de energıa entre los dos pendulos). Analıcense las oscilaciones dedos pendulos simples acoplados como en el ejercicio anterior, pero de diferentesmasas y longitudes. ¿Como varıan las frecuencias caracterısticas cuando k → 0y k → ∞?

7 Analıcese el siguiente modelo simplificado de suspension de un vehıculo: unamasa m (correspondiente a las ruedas y los ejes) unida al suelo por un resortede constante k1 (que representa el efecto elastico de los neumaticos) y unidaa su vez verticalmente a otra masa M (la del resto del vehıculo) medianteotro muelle de constante k2 (el equivalente a la suspension). Considerenseunicamente aquellas oscilaciones verticales en las que el suelo es horizontal ydespreciense los efectos de amortiguacion. Finalmente realıcense unas estima-ciones numericas de las frecuencias caracterısticas y de los vectores forma delos modos normales usando los siguientes valores:

m = 200 kg, M = 800 kg, k1 = 5 105 N/m, k2 = 5 104 N/m.

8 Algunas moleculas triatomicas tienen una estructura lineal, estando sus nucleossituados en una recta (es el caso del CO2, CS2 y N2O) con ciertas posi-ciones de equilibrio a ciertas distancias. Considerese un modelo de moleculade este tipo formada por dos atomos de masa m unidos por muelles de con-stante k y longitud natural b a un atomo central de masa M . Admitiendounicamente movimientos longitudinales (a lo largo de la recta que une losatomos), encuentrese la posicion de equilibrio y hallense los modos normalesde vibracion de la molecula.Resuelvase el problema anterior admitiendo ademas que el atomo central sehalla a su vez ligado a un punto fijo de la recta que une los tres atomos medianteotro muelle de constante k y longitud natural a. Observese que en este casono aparece ninguna frecuencia propia nula; ¿cual es el motivo?

10 Estudiense los modos normales de vibraciones lineales (en 1D) y planas (en2D) de una molecula triatomica lineal, teniendo en cuenta solo los posiblesmovimientos atomicos en la lınea y en un plano respectivamente.

11 Hallense los modos normales de vibracion de una molecula triatomica no lineal,como es por ejemplo la de H2O, cuya configuracion es un triangulo isosceles.


12 Estudiense los modos normales de vibracion de una molecula de amonıaco NH3,cuya estructura de equilibrio es una piramide recta con una base en forma detriangulo equilatero, en cuyos vertices se hallan los tres atomos iguales.

13 Determınense los modos normales de vibracion de una molecula de metanoCH4, cuya estructura de equilibrio es un tetraedro regular centrado: en loscuatro vertices se situan los atomos iguales y en el centro el atomo distinto.

14 Hallense los modos normales de oscilacion del sistema con tres grados de lib-ertad formado por tres partıculas iguales que se mueven sobre un cırculo, conposiciones de equilibrio formando un triangulo equilatero.

15 La molecula de benceno, C6H6, es plana y se puede representar en su posicionde equilibrio como seis masas iguales (los atomos de Carbono) en los verticesde un hexagono regular unidas a sus vecinas por “resortes” tambien iguales.Se pide estudiar los modos normales del sistema correspondientes a movimien-tos en los que cada masa se desplaza una pequena distancia a lo largo de lacircunferencia en la que esta inscrito el hexagono.

16 Estudiense los modos normales de oscilacion de una cadena circular con unnumero muy grande N >> 1 de masas iguales m unidas a sus vecinas pormuelles iguales de constante k. Demuestrese que hay modos cuyos vectoresde forma C tienen componente j-esima igual a cos(2πjk/N) que representanondas estacionarias. Hallese la ley de dispersion, es decir, como depende lafrecuencia del modo.

17 Modelo de “pendulo elastico”: en un pendulo convencional, el hilo inextensiblede longitud fija l se reemplaza por un muelle elastico, de constante k y longitudnatural l. El sistema ahora tiene dos grados de libertad; ademas del anguloque forma este con la vertical, la longitud del pendulo tambien puede variar(supondremos que el muelle siempre mantiene una forma rectilinea). Estudiarel movimiento, determinando los modos normales del sistema.

18 Una varilla homogenea de masa m y longitud esta articulada en el centro deotra varilla semejante que cuelga de uno de sus extremos. Hallense los modosnormales de oscilacion.

19 Analıcense las oscilaciones de un pendulo doble (el punto de oscilacion de unode ellos esta sujeto al extremo del otro) que efectua pequenas oscilaciones enun plano. Examınese con detalle lo que sucede si se suponen longitudes igualesy la masa inferior mucho mas pequena que la superior. Indicar como en estecaso aparece el fenomeno de las “pulsaciones”.

20 Determınese la forma de la trayectoria de las pequenas oscilaciones descritasen un plano horizontal por un punto material que esta conectado por muellesiguales a los tres vertices de un triangulo equilatero.

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Introducción: El oscilador armónico - metodos.fam.cie ...metodos.fam.cie.uva.es/~luismi/FM03Tema2.pdf · Pequenas oscilaciones˜ 2002/2003 2 Pequeñasoscilacionesenunsistemalagrangianoconungrado