INTRODUCCIONALCALCULOVARIACIONAL - …metodos.fam.cie.uva.es/~luismi/FM03Tema1.pdf · C´alculo Variacional 2002/2003 2 El principio de m´ınima acci´on dice: entretodoslosmovimientosimagina-

INTRODUCCION AL CALCULO VARIACIONAL

M. SantanderDepartamento de Fısica Teorica, Universidad de Valladolid

Version 3. Original 1 Marzo 1998, basado en notas de M. Gadella. Revision y adicion

de la seccion sobre superficies mınimas 22 Febrero 2000. Revision y adicion del metodo

heurıstico siguiendo a Feynmann 13 Febrero 2001. Correcciones de detalle y erratas 20

Febrero 2002, 27 Febrero 2002, 14 Febrero 2003

Problemas Variacionales en Fısica

El principio de mınima accion.

En Mecanica clasica, cuando una partıcula se mueve bajo la accion de unpotencial V (x), el movimiento real es el dado por las ecuaciones de Newton, queexpresan la aceleracion de la partıcula en terminos de las fuerzas. Cuando lasfuerzas derivan de un potencial V (x), el movimiento real t → x(t) satisface laecuacion diferencial:

md2x(t)

dt2= −∂V (x(t))

∂x.

cuya solucion determina el movimiento real que sigue una partıcula que en uninstante inicial t1 sale del punto x1, se mueve bajo la accion del potencial, y llegaen un instante final t2 al punto x2.

Una pregunta interesante es: ¿Podemos singularizar el movimiento real dadopor las soluciones de esta ecuacion, entre todos los movimientos que la partıculapodrıa seguir, para ir desde el punto inicial x1 en el instante t1 al punto final x2

en el instante t2?La respuesta a esta pregunta es un principio basico en Fısica, que en Mecanica

se denomina principio de Hamilton, o principio de mınima accion. Este principiocaracteriza a los movimientos reales entre todos los movimientos imaginables quellevarıan a la partıcula del estado inicial (posicion x1 en el instante t1) al estadofinal (posicion x2 en el instante t2), ambos dados.

La caracterizacion dada por el principio de Hamilton asocia una cantidad,denominada accion a cada movimiento imaginable. La accion es una cantidad denaturaleza bastante diferente a las cantidades que usualmente describen el estadode la partıcula, como posicion y/o velocidad. A diferencia de ellas, la accion nose asocia al estado, sino a la historia completa de la particula entre dos instantesinicial y final. Para cada movimiento imaginable, descrito por t → x(t) con lascondiciones x(t1) = x1, x(t2) = x2, la accion de ese movimiento se define como:

S[x(t)] =∫ t2

t1

{12m

(dx(t)

dt

)2

− V (x(t))

}dt

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1

Calculo Variacional 2002/2003 2

El principio de mınima accion dice: entre todos los movimientos imagina-bles, la propiedad que distingue al movimiento real es que el valor de laaccion S[x(t)] es menor para el movimiento real que para cualquier otro.

¿Cual es la relacion entre este principio y la forma newtoniana de plantear lasecuaciones del movimiento? Resulta que ambas maneras de describir el movimientoson equivalentes. Para verlo, necesitamos abordar el problema de la busqueda dela funcion x(t) con las condiciones requeridas, que minimice el valor de la accion.No se trata de un problema ordinario de mınimo, ya que la accion depende delmovimiento como un todo, esto es, depende de la funcion x(t).

Principio de Fermat.

Segun la Optica Geometrica, la luz se propaga a lo largo de rayos. Entre todoslos rayos posibles que unen dos puntos dados, ¿cual es el escogido realmente por laluz? En la antiguedad clasica se observo que en ciertas circunstancias la luz viajaa lo largo del camino geometricamente mas corto entre dos puntos extremos A, B.

• Ejercicio 1. Derivar la ley de igualdad de angulos de incidencia y reflexion para la

luz propagandose en un medio homogeneo, a partir de la exigencia de que la longitud

del camino recorrido por la luz entre dos puntos dados A, B pasando por un espejo, es

la mımima posible. (Comentario: en realidad, este problema puede resolverse sin hacer

uso siquiera del calculo ordinario de maximos y mınimos, siempre que admitamos que el

camino de longitud mınima entre dos puntos (sin condiciones adicionales) es la linea recta

que les une; la idea que tiene multitud de aplicaciones inesperadas se denomina principio

de reflexion)

Pero basta observar la propagacion de la luz en una interfase entre aire y agua(en un rıo), para concluir que la luz no siempre sigue el camino mas corto; elejemplo mas evidente es la refraccion, pero hay otros, como los espejismos.

Se atribuye a Fermat el primer enunciado del principio general que la trayecto-ria real seguida por un rayo de luz entre dos puntos dados en un medio posiblementeinhomogeneo es aquella que hace mınimo el tiempo total invertido. Se trata de unenunciado notable, ya que cuando Fermat lo formulo, se comprendıan aun muymal los elementos implicados en el proceso de propagacion. Por ejemplo, el que lavelocidad de la luz en un medio material es siempre menor que la velocidad de laluz en el vacıo solo se decidio experimentalmente en el S. XIX.

Con la perspectiva actual podemos traducir a ecuaciones el principio de Fermatası: La velocidad de la luz en el vacıo es constante c. En un medio material, suvelocidad v es menor que c, y el cociente c/v es igual al ındice de refraccion n delmedio; para medios no homogeneos, este ındice es una funcion de la posicion n(x).

Supongamos una trayectoria posible para un rayo luminoso en un medio in-homogeneo, en el que el ındice de refraccion dependera de la posicion. Tomandola coordenada z como parametro a lo largo del rayo (cuya direccion supondremoscercana al eje z), podemos describir tal trayectoria como z → (x(z), y(z), z). Lalongitud del rayo entre los puntos de parametro z y z + dz es:

ds =√

x′(z)2 + y′(z)2 + 1 dz


El tiempo requerido para viajar entre estos dos puntos esta dado por:

dτ =ds

v=

dsc

n(z;x,y)

=n(z;x, y)

cds =

n(z;x, y)c

√x′(z)2 + y′(z)2 + 1 dz

y el tiempo total invertido en viajar desde un punto inicial (x1, y1, z1) hasta otrofinal (x2, y2, z2), a lo largo del rayo descrito por z → (x(z), y(z), z) (que debesatisfacer las condiciones x(z1) = x1, y(z1) = y1;x(z2) = x2, y(z2) = y2) es

T =1c

∫ z2

z1

n(z;x, y)√

x′(z)2 + y′(z)2 + 1 dz

Ası pues, el principio de Fermat reduce el problema de encontrar la trayectoriaseguida por un rayo luminoso al problema de encontrar, entre todas las curvasz → (x(z), y(z), z) que unan los puntos dados (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2), aquellapara la cual el valor de esta integral sea mınimo.

En el vacıo, o en cualquier medio que sea homogeneo, el indice de refracciones constante, y no depende de la posicion. En este caso, el principio de tiempomınimo se reduce al principio de longitud mınima, y las trayectorias seguidas porlos rayos son, en el espacio euclıdeo, lıneas rectas.

• Ejercicio 2. Derivar la ley de Snell para la refraccion a partir del principio de Fermat.

(Comentario: en realidad, el calculo ordinario de maximos y mınimos es suficiente para

discutir este caso, en el que separadamente para cada tramo situado en un medio homogeneo

(aire o agua, digamos) el camino mas rapido es tambien el mas corto)

El problema de la braquistocrona.Sean dos puntos P y Q situados en el mismo plano vertical, P mas alto que Q

y no directamente sobre Q. Un punto material se mueve sin friccion entre P y Qa lo largo de una curva determinada que une P con Q, bajo la accion de la fuerzade la gravedad, que supondremos uniforme, y partiendo de P con velocidad inicialnula. De entre todas las curvas posibles que unen P con Q, ¿sobre cual de ellasel tiempo que tarda la partıcula en ir desde P hasta Q es el menor posible? Estacurva tiene un nombre especial: braquistocrona.

Denotemos por z la altura, y por x la coordenada horizontal sobre el plano.Cualquier curva que una P con Q estara descrita por una funcion x → z(x), quedebera satisfacer las dos condiciones z(xP ) = zP , z(xQ) = zQ. En el punto inicial,la energıa de la partıcula vale E = mgzP . Cuando la partıcula se encuentra en elpunto generico (x, z(x)) sobre la curva, su velocidad v(x) esta determinada por elprincipio de conservacion de la energıa

E = mgzP = mgz(x) +12mv(x)2,

de donde resultav(x) =

√2g(zP − z(x))


El tiempo invertido en llegar desde el punto de coordenada x al punto de coorde-nada x + dx es:

dt =ds

v(x)=

ds√2g(zP − z(x))

=

√1 + z′(x)2√

2g(zP − z(x))dx,

y el tiempo total invertido en llegar desde el punto P al punto Q a lo largo de lacurva dada vale:

T =1√2g

∫ xQ

xP

√1 + z′(x)2√zP − z(x)

dx

¿Para que curva este tiempo toma el valor mınimo?

• Ejercicio 3. Escribir la expresion analoga para el tiempo invertido e llegar de P a Q si

se supone que la partıcula comienza su caıda con velocidad inicial no nula.

La catenaria.¿Como cuelga un hilo inextensible y flexible, de longitud total L, suspendido

entre dos torres con separacion horizontal d, y alturas dadas, A y B? Claramente,el principio que determina la forma de equilibrio del hilo es que su energıa potencialsea la menor posible. Cada forma posible del hilo esta descrita por una funcionx → z(x) que debe satisfacer las condiciones z(a) = A, z(b) = B (donde a, bson las coordenadas horizontales de las torres, d = b− a, y ademas otra condicionimportante, a saber, la longitud total del hilo debe ser L; esta condicion se traduceen:

L =∫ b

a

√1 + z′(x)2 dx

Veamos ahora como se expresa la energıa potencial del hilo cuando su forma esla funcion z(x). Suponiendo el hilo de densidad lineal ρ constante, la masa delelemento entre las coordenadas x y x+dx es ρ

√1 + z′(x)2 dx, y la energıa potencial

de ese elemento es z(x)gρ√

1 + z′(x)2 dx. Ası pues, la energıa potencial total es:

E = ρg

∫ b

a

z(x)√

1 + z′(x)2dx.

La forma real sera aquella curva que, satisfaciendo la condicion adicional de tenerlongitud total L, haga mınima la energıa potencial. Conviene notar que este prob-lema es mas complicado que los anteriores, ya que interviene en el una ligadura, ocondicion auxiliar.

Los problemas isoperimetricos clasicosA los problemas variacionales con ligaduras se les suele denominar problemas

isoperimetricos. Su proptotipo son los problemas clasicos de Dido (“te concederetanto terreno cuanto puedas encerrar con la piel de este buey”), que fueron plantea-dos y resueltos en la antiguedad clasica. Consideremos una curva cerrada en el


plano, de longitud total L. ¿Que figura de la curva hace maxima el area encerradapor la curva? O, inversamente, consideremos una curva cerrada de area dada S.¿Cuando la longitud de la curva es mınima? En ambos casos la respuesta es uncırculo. En tres dimensiones, la superficie cerrada de area dada que encierra mayorvolumen es la esfera, y la forma de volumen dado que tiene menor area superficiales tambien la esfera; estos resultados subyacen a la explicacion de que la forma dela esfera se encuentre por doquier en la Naturaleza.• Ejercicio 4. ¿Cual es el principio fısico que explica que, en ausencia de gravedad, una

gota de un lıquido adopte forma esferica?

• Ejercicio 5. Con argumentos elementales y directos, ver que la curva cerrada de longitud

dada 2L que encierre un area maxima debe ser convexa, y que toda recta que divida la

curva en dos arcos de igual longitud debe tambien dividir el area encerrada en dos partes

de igual area.

En vista del resultado indicado en el ejercicio, podemos plantear formalmenteel problema isoperimetrico anterior buscando, entre las curvas que unan dos puntosP , Q situados sobre el eje real (de coordenadas (a, 0) y (b, 0)), una curva y = y(x),tal que y(a) = y(b) = 0, que no corte en otros puntos intermedios al eje real (porejemplo, imponiendo y(x) > 0 en todo el intervalo [a, b]), y que tenga longitudtotal dada L. Esta ultima condicion se expresa por la ecuacion∫ b

a

ds =∫ b

a

√1 + (y′)2 dx = L

y el problema a resolver es: entre todas las curvas que satisfagan esta condicion,encuentrese aquella que maximiza el area comprendida entre ella y el eje real, esdecir, la que proporcione un valor mayor para la integral∫ b

a

y(x) dx.

Recapitulacion.En todos los casos, el problema propuesto se reduce a buscar, entre todas las

funciones f : x → f(x) definidas en un intervalo [a, b], y con condiciones del tipof(a) = A, f(b) = B (ademas de otras condiciones de continuidad, regularidad, etc.que se precisaran a su tiempo), aquellas que minimizan o maximizan una expresiondel tipo ∫ b

a

Φ(x, f(x), f ′(x)) dx.

En algunos casos, la funcion f : x → f(x) debe satisfacer ciertas condicionesadicionales, que pueden imaginarse como ligaduras; en todos los casos que hemosdiscutido las ligaduras estan expresadas tambien por condiciones del tipo∫ b

a

Ξ(x, f(x), f ′(x)) dx = cte


Derivacion ‘a la Feynmann’ de las ecuaciones de Euler-La-grange para el principio de menor accion

Imaginemos el caso mas sencillo de una partıcula que se mueve en una di-mension (coordenada posicion x) bajo un potencial V (x). Por ejemplo, un objetoque sube y baja verticalmente en el campo gravitatorio terrestre bajo la accionde la gravedad. Para cada movimiento imaginable, descrito por t → x(t) con lascondiciones x(t1) = x1, x(t2) = x2, la accion de ese movimiento se define como:

S[x(t)] =∫ t2

t1

{12m

(dx(t)

dt

)2

− V (x(t))

}dt

El principio de mınima accion dice: entre todos los movimientos imaginables, lapropiedad que distingue al movimiento real es que el valor de la accion S[x(t)] esmenor para el movimiento real que para cualquier otro. Antes mencionamos queaunque no lo parezca, esta manera de singularizar el movimiento real entre todoslos posibles es equivalente a las leyes de Newton, que en este caso serıan

md2x(t)

dt2= −∂V (x(t))

∂x.

Vamos ahora a presentar un argumento heurıstico, siguiendo a Feynmann, paraconvencer al lector de que el movimiento que minimice la accion debe satisfacerlas ecuaciones de Newton. Comenzamos con una situacion familiar que debe serbien conocida; la busqueda de mınimos de funciones de varias variables. Sea unafuncion x → F (x) de varias variables x = (x1, x2, . . . , xi, . . . ), supuesta continuay con derivadas continuas. Queremos encontrar un punto x0 en el cual se verifique

F (x) > F (x0)

para cualquier x cercano a x0. Una condicion necesaria es que todas las derivadasparciales de F se anulen en x0; imaginemos que no lo supieramos y veamos comopodrıamos obtener tal condicion partiendo solo del conocimiento mas basico de lacondicion de mınimo para funciones de una variable, a saber df

dx

∣∣∣x0

= 0.¿Como podrıamos aprovechar tal conocimiento? La idea basica, que en los

apartados siguientes trasladaremos al caso de minimizar la accion, es: Supongamosque realmente el punto x0 es un mınimo de F cuando x varıa en las cercanıas dex0. Entonces tambien x0 es un mınimo de F cuando x varıa solo a lo largo de larecta !: xi = x0

i + εhi, donde los hi son arbitrarios. La restriccion de F a la recta! nos da una funcion de una sola variable ε:

fh(ε) := F (x0 + εh)

que debe tener un mınimo en ε = 0. La condicion para ello es que la derivada dfhdε

se anule en ε = 0. La derivada se calcula mediante la regla de la cadena:

dfhdε

=∂F

∂x1h1 +

∂F

∂x2h2 + . . .


de manera que la condicion de mınimo es:

0 =dfhdε

∣∣∣∣ε=0

=∂F

∂x1

∣∣∣∣x0

h1 +∂F

∂x2

∣∣∣∣x0

h2 + . . .

Como esta condicion debe satisfacerse para h arbitrario, basta con tomar sucesi-vamente h = (0, 0, . . . , hi = 1, 0, . . . , 0) con i = 1, 2, . . . para obtener ∂F

xi

∣∣∣x0

= 0.Naturalmente desde el momento en que todas las derivadas parciales se anulanen x0, entonces es claro que la ecuacion anterior se verifica para h arbitrario.Ası lo que hemos (re)encontrado es una condicion necesaria para que una funcionde varias variables tenga un mınimo en x0: todas las derivadas parciales debenanularse en ese punto.

Repitamos el mismo proceso con la accion. Para evitar complicaciones inesen-ciales supondremos el movimiento en una dimension (esto es la funcion incognitax(t) es una funcion de una variable) y buscamos un movimiento t → x0(t) dadopor una funcion continua, con derivada continua que lleve de xa en el instante taa xb en el instante tb y tal que para cualquier otro movimiento cercano se verifique

S[x(t)] > S[x0(t)], S[x(t)] =∫ tb

ta

{12m

(dx(t)

dt

)2

− V (x(t))

}dt

La idea es construir una familia uniparametrica de movimientos cercanos ax0(t), en la cual cada movimiento este etiquetado por un solo parametro ε, im-itando a la expresion usada para funciones de varias variables; esto se consiguedefiniendo:

x(t) = x0(t) + εh(t)

donde h(t) debe ser una funcion fijada, suficientemente regular (continua, conderivada continua) satisfaciendo las condiciones h(ta) = 0, h(tb) = 0. Ahora res-tringimos la accion a los movimientos de esta familia unidimensional, obteniendouna funcion que depende de una sola variable ε:

Sh(t)(ε) := S[x0(t) + εh(t)]

y que debe tener un mınimo en ε = 0, lo que implica:

0 =dsh(t)

dε

∣∣∣∣ε=0

=d

dε

∫ tb

ta

{12m

(d(x0(t) + εh(t))

dt

)2

− V (x0(t) + εh(t))

}dt

∣∣∣∣∣ε=0

Efectuando la derivacion con respecto a ε y evaluando en ε = 0 lo que se encuentraes

0 =∫ tb

ta

{m

dx0(t)dt

dh(t)dt− dV

dx

∣∣∣∣x0(t)

h(t)

}dt


Ahora la idea clave es realizar una integracion por partes para transformar eltermino que involucra la derivada dh(t)

dt de h(t) en un termino que involucre direc-tamente a h(t), y otro que desaparece por las condiciones de frontera. En efecto,efectuando el cambio estandar u = mdx0(t)

dt , v = h(t) en el primer termino de laintegral, resulta:∫ tb

ta

mdx0(t)

dt

dh(t)dt

dt = mdx0(t)

dth(t)

∣∣∣∣tb

ta

−∫ tb

ta

md2x0(t)

dt2h(t)dt = −

∫ tb

ta

md2x0(t)

dt2h(t)dt

y en consecuencia la condicion de que la funcion sh(t)(ε) tenga un mınimo en ε = 0es: ∫ tb

ta

{m

d2x0(t)dt2

+dV

dx

∣∣∣∣x0(t)

}h(t) = 0.

Esta condicion debe satisfacerse para todo h(t) con las condiciones de contornoadecuadas, lo que solo puede ocurrir si la parte entre llaves del integrando se anulaidenticamente. Demostrar esto con rigor requiere cierto cuidado —lo haremosdespues—, pero podemos de todas maneras ver que si el termino entre llaves delintegrando fuera diferente de 0 en un cierto instante, entonces podrıamos tomaruna funcion h(t) que fuera diferente de 0 solo en un entorno muy pequeno dedicho instante, lo que llevarıa a un valor no nulo para la integral; como estono debe ocurrir, parece claro que el termino entre llaves debe anularse siempre.Aunque este argumento sea poco riguroso, la conclusion a se llega es correcta: dela exigencia de anulacion de la integral anterior para todo h(t) se concluye unacondicion necesaria de mınimo para el funcional de accion, que es que se verifiquela llamada ecuacion de Euler-Lagrange del problema variacional:

md2x0(t)

dt2+

dV

dx

∣∣∣∣x0(t)

= 0,

que por supuesto es simplemente la ecuacion de Newton que gobierna el movimien-to de la partıcula en el campo de potencial V (x). Ası pues, matematicamente ladescripcion a traves del principio de mınima accion y a traves de las ecuacionesde Newton son equivalentes.

Introduccion a las Matematicas del Calculo Variacional

Ejemplos como el principio de mınima accion, el principio de Fermat, y proble-mas como la determinacion de la forma de equilibrio de un hilo flexible e inexten-sible o la determinacion de la curva que encierra un area maxima con perımetrodado, muestran la necesidad de considerar, junto con las funciones de varias vari-ables, un tipo mas general de aplicaciones, que a cada funcion de un determinadoconjunto de funciones le asocian un numero real. Desde un punto de vista for-mal, se trata simplemente de aplicaciones de ciertos conjuntos de funciones en


la recta real R, y por tanto encajan dentro de la definicion general de funcion,como aplicacion entre conjuntos. Pero es tradicional y resulta conveniente usar enestos casos el nombre de funcional, para enfatizar aquellos aspectos en los que elcalculo con funciones de varias variables difiera del calculo con este nuevo tipo de“funciones” definidas en espacios de funciones cuya dimension es infinita.

La idea de diferenciabilidad para funcionales puede desarrollarse de manerasemejante a como se hace para funciones de varias variables en el caso de que elespacio de funciones en el que el funcional esta definido tenga estructura de espaciode Banach (espacio vectorial, en general de dimension infinita, normado y com-pleto). Afortunadamente, en muchos de los casos de interes en Fısica, incluyendotodos los ejemplos presentados mas arriba, se da tal circunstancia. Supondremosen lo sucesivo que los funcionales que vamos a considerar estan definidos en unespacio de Banach. [Recordemos que un espacio de Banach es un espacio vectorialV , a cuyos elementos f ∈ V se les puede dotar de una norma ‖f‖, que satisfaceciertas condiciones que son familiares en el ejemplo de la norma natural del espacioR

n: Para todo elemento f , ‖f‖ es un numero real positivo, nulo solo cuando f = 0,con la propiedad de homogeneidad ‖λf‖ = |λ|‖f‖ y satisfaciendo la desigualdadtriangular. Con la topologıa asociada a esa norma el espacio es completo, es de-cir, toda sucesion de Cauchy tiene lımite en el espacio V . Es importante tenerpresente que en cuanto se consideran situaciones en donde intervienen espaciosde dimension infinita, los problemas asociados con los dominios de definicion nopueden dejarse de lado].

Definicion. Sea V un cierto conjunto de funciones, que supondremos conestructura de espacio de Banach de dimension infinita sobre los reales.

Un funcional real F es una aplicacion F : D(F)→ R, que a cada funcion f deldominio D(F) le asocia un valor real.

El dominio de F , D(F) es un cierto subconjunto del espacio V , en el que F(f)esta definido.

Diremos que F es un funcional lineal si para cada par de funciones f, g ∈ D(F),se verifica F(λf + µg) = λF(f) + µF(g); ∀λ, µ ∈ R.

Un ejemplo importante de funcional

Sea C1[a, b] el espacio de las funciones continuas de [a, b] en R que admitanderivada primera continua en todo el intervalo [a, b]. C1[a, b] admite la estructurade espacio de Banach cuando le dotamos de la norma definida por:

||f || = supx∈[a,b]

|f(x)|+ supx∈[a,b]

|f ′(x)|. (1)

En la topologıa inducida por esta norma, dos funciones son proximas cuandoen todo el intervalo [a, b], tanto las funciones como sus derivadas toman valoresproximos; la distancia entre dos funciones f, g se define como la norma de ladiferencia f − g.


Esta norma se encuadra dentro de una familia de normas no equivalentes que pueden

definirse en el espacio de funciones continuas y con derivadas parciales continuas de

cualquier orden, C∞[a, b]. Se define la norma de orden k, k = 0, 1, 2, . . . , mediante

‖f‖k = sup

{sup

x∈[a,b]|f(x)|, sup

x∈[a,b]|f ′(x)|, . . . sup

x∈[a,b]

∣∣∣∣dkf(x)

dxk

∣∣∣∣}

La norma ‖f‖k esta definida en el espacio Ck[a, b] de funciones continuas y con derivadas

continuas hasta el orden k. La norma dada en (1) es equivalente a la de esta familia con

k = 1. La proximidad entre dos funciones f, g asociada a la norma ‖f‖k se denomina

proximidad de orden k, y significa que en el intervalo [a, b] tanto los valores de las dos

funciones como los valores de todas sus derivadas hasta el orden k son proximos. Es claro

que dos funciones proximas de orden dado lo son tambien para todos los ordenes menores,

pero no recıprocamente.

Vamos ahora a introducir un funcional F de un tipo particular, que ha sidosugerido por los ejemplos presentados en la introduccion. A este tipo de funcionalesse referira la mayor parte de los resultados concretos expuestos mas adelante.Comenzamos por definir su dominio, es decir, el conjunto sobre el que el funcionalesta definido:

D(F) = {f ∈ C1[a, b] / f(a) = A; f(b) = B} (2)

donde A, B son constantes fijas. Consideremos a continuacion una funcion de R3 aR que denotaremos como Φ(x, y, z). Supondremos que esta funcion es continua yadmite derivadas parciales continuas de primer orden. Es por lo tanto una funcionde clase uno en R3, propiedad que denotaremos como Φ(x, y, z) ∈ C1(R3). Laforma explıcita del funcional F esta dada por:

F(f) =∫ b

a

Φ(x, f(x), f ′(x)) dx, ∀f ∈ D(F), (3)

donde f ′(x) indica la derivada de la funcion f(x). La integral esta bien definida∀f ∈ D(F), pues el integrando es una funcion continua de x en el intervalo com-pacto [a, b], y por lo tanto la correspondiente integral de Riemann siempre existe.

Notese que pueden existir funcionales de muchos otros tipos. Por ejemplo, elfuncional podrıa estar dado por una expresion en donde la funcion f no aparezcabajo una integral (ejemplo, el funcional F(f) = f(c), donde c es un punto dado delintervalo [a, b]; tales funcionales aparecen en relacion con la teorıa de distribucionesy la delta de Dirac) o bien podrıa estar dado por una integral cuyo integrandodependiera de la derivada segunda o incluso de derivadas de ordenes superiores dela funcion f . A lo largo de estas notas, aunque daremos las definiciones en la formageneral, nos restringiremos a la consideracion de funcionales como el definido en(2)-(3)

En general D(F) no es un subespacio vectorial de C1[a, b], salvo que f(a) = 0y f(b) = 0. Sin embargo, el dominio D(F) esta asociado muy directamente a uncierto subespacio vectorial M de C1[a, b]: M = {h ∈ C1[a, b] / h(a) = h(b) = 0}.


Es claro que M sı que es es un subespacio vectorial. Todo entorno de f en D(F)es de la forma h + U donde U es un entorno de 0 en M. El subespacio lineal Mes denso en C1[a, b]; analogamente, el dominio D(F) es denso en C1[a, b].

Diferenciabilidad de Funcionales

Comencemos recordando la definicion de diferenciabilidad para funciones realesde varias variables. Se dice que una funcion f : Rn → R es diferenciable en el puntox = (x1, x2, . . . , xn) si existe una funcion lineal denotada dfx : Rn → R tal que enun cierto entorno de x se tenga

f(x + h)− f(x) = dfx(h) + ε(x,h)‖h‖,

donde ε(x,h) → 0 cuando ‖h‖ =√

h21 + h2

2 + · · ·+ h22 → 0. Geometricamente,

supuesto el punto x fijo, la funcion afın dada en un cierto entorno de x porx + h→ f(x) + dfx(h) es la aplicacion tangente a la funcion f en el punto f(x),y su grafica es el hiperplano tangente a la grafica de f en el punto (x, f(x)). Encualquier texto de Analisis Matematico pueden encontrarse las demostraciones delas siguientes propiedades importantes:

• Si f es diferenciable en x, entonces dfx es unica.• Si la funcion f tiene un mınimo en el punto x (o un maximo, o en general

un valor estacionario), entonces en el punto x la diferencial dfx(h) se anula,dfx(h) = 0.• La expresion explıcita de la diferencial dfx es:

dfx(h) =∂f

∂x1

∣∣∣∣x

h1 +∂f

∂x2

∣∣∣∣x

h2 + · · ·+ ∂f

∂xn

∣∣∣∣x

hn,

es decir, dfx es una funcion lineal de h = (h1, h2, . . . , hn) cuyos coeficientes sonlas derivadas parciales de f en el punto x. En particular, esta relacion implicaque si x es un mınimo de la funcion f (o en general un punto estacionario def), todas las derivadas parciales de f en el punto x se anulan.

Los puntos en los que la diferencial de la funcion diferenciable f se anula sedenominan puntos crıticos de la funcion f . Para funciones de una variable los pun-tos crıticos aislados son, bien maximos relativos estrictos, bien mınimos relativosestrictos, bien puntos de inflexion con tangente horizontal. Para funciones de dosvariables puede haber puntos crıticos aislados (bien maximos relativos estrictos,mınimos relativos estrictos o puntos de ensilladura), o lıneas crıticas, formadas porpuntos crıticos no aislados (tıpicamente, cuando la funcion presenta un compor-tamiento tipo banera, con una lınea de mınimos relativos no estrictos).

Pasemos ahora a dar las definiciones pertinentes para funcionales:

Definicion. Diremos que un funcional F en D(F) es continuo en f ∈ D(F)si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que si g ∈ D(F) con la condicion que ‖f − g‖ < δ, entonces


|F(f) − F(g)| < ε. Equivalentemente si limg→f F(g) = F(f). Un funcional escontinuo si lo es en todos los elementos de D(F).

La idea de continuidad de un funcional hace referencia a la norma ‖f‖ del espacio de

funciones. En estas notas siempre nos referiremos a la norma (1), pero conviene tener este

hecho presente, ya que un determinado funcional podrıa ser continuo para ciertas normas

y no continuo para otras.

Definicion. Diremos que un funcional F es diferenciable en la funcion f ∈D(F) si existe un funcional lineal denotado δFf : M → R tal que en un ciertoentorno de f en D(F) (asociado a un cierto entorno de 0 enM) se tenga:

F(f + h)−F(f) = δFf (h) + E(f, h) ‖h‖

donde E(f, h)→ 0 cuando ‖h‖ → 0.

Aquı la norma de la funcion h hace referencia a la norma del espacio de Banachde funciones. Geometricamente, podemos imaginar el funcional lineal afın dadoen un cierto entorno de la funcion f por f +h→ F(f)+ δFf (h) como el funcionaltangente al funcional F en la funcion f . El funcional lineal δFf : M → R sedenomina variacion primera del funcional F en la funcion f ; el uso de un terminoespecıfico pretende que el lenguaje transmita que estamos discutiendo funcionalesy no funciones de varias variables.

Extremales de funcionalesPara funciones de varias variables, los puntos crıticos incluyen aquellos en los

que la funcion alcanza bien un maximo o bien un mınimo relativo. La idea analogapara funcionales es la de funcion extremal de un funcional, que tambien se denom-inan puntos crıticos o funciones crıticas del funcional. Las extremales mas simplesson los maximos y mınimos, cuyas definiciones son evidentes:

Definicion. Diremos que el funcional F tiene un mınimo absoluto en lafuncion f ∈ D(F) si para cualquier funcion g ∈ D(F) se verifica F(g) > F(f). Di-remos que el funcional F tiene un mınimo relativo en la funcion f ∈ D(F) si paracualquier funcion g ∈ D(F) en un cierto entorno de f se verifica F(g) > F(f).

Las definiciones de maximo absoluto y relativo son analogas. No vamos a entraren las modificaciones para distinguir entre mınimos estrictos (<) o no estrictos(≤) que son completamente analogas a las pertinentes para funciones de variasvariables.

Ahora podemos investigar los analogos de los tres resultados basicos enunciadosantes para funciones de varias variables. Vamos a enunciarles primero, y luegopasaremos a su demostracion.• Si el funcional F es diferenciable en la funcion f , la variacion primera δFf (h)

es unica.• Si el funcional F tiene un mınimo (o un maximo) relativo estricto en la funcion

f , entonces la variacion primera δFf (h) del funcional F en la funcion f se anulaidenticamente, δFf (h) = 0.


• Para el funcional dado en (2-3), la expresion explıcita de la variacion primeraδFf (h) es el funcional lineal:

δFf (h) =∫ b

a

(∂Φ∂f− d

dx

∂Φ∂f ′

)h(x) dx,

Conviene notar que el papel de las n derivadas parciales de la funcion F eval-uadas en el punto x que aparecıan en la expresion de la diferencial de una funcionde varias variables F , lo juega para este funcional la funcion ∂Φ

∂f − ddx

∂Φ∂f ′ de la

variable x. Esta analogıa motiva la introduccion de la idea de derivada variacionaldel funcional F , que para el caso que nos ocupa se define mediante:

δFδf

:=∂Φ∂f− d

dx

∂Φ∂f ′

expresion que permite escribir la variacion primera en la forma:

δFf (h) =∫ b

a

δFδf

h(x) dx.

En el resto de estas notas no usaremos explıcitamente la idea de derivada varia-cional, pero conviene tener presente que el sımbolo δF

δf(t) , es en nuestro problemavariacional para el funcional F(f) el mas cercano “analogo” de la derivada parcialordinaria ∂f

∂xnpara una funcion de varias variables f(x).

La expresion para la variacion primera del funcional tipo (2)-(3) implica quesi en la funcion f el funcional tiene un mınimo o un maximo entonces debe satis-facerse la ecuacion llamada de Euler-Lagrange:

∂Φ∂f− d

dx

∂Φ∂f ′

= 0

Pasemos a indicar las demostraciones de estos resultados.

Teorema. Si el funcional F es diferenciable en la funcion f , entonces lavariacion primera δFf (h) es unica.

La demostracion de este teorema resulta mas clara usando un lema previo.

Lema. Sea ϕ un funcional lineal en un espacio de Banach real. Si se verifica la

propiedad ϕ(h)‖h‖ → 0 cuando h→ 0, entonces ϕ(h) = 0, ∀h.

La idea en este lema es que cuando h → 0, cualquier funcional lineal tiende a 0

linealmente con la norma de h. Por tanto, la unica posibilidad de que un funcional lineal

tienda a 0 mas rapidamente que la norma de h es que el funcional sea identicamente

nulo. La prueba formal procede por reduccion al absurdo. Supongamos que ϕ es un

funcional no identicamente nulo que satisface la condicion. Entonces existe una funcion

no nula h0 �= 0 tal que ϕ(h0) �= 0. Consideremos ahora la sucesion de funciones hn = h0n

,

que tiende a la funcion cero cuando n → ∞, ya que ‖h0n− 0‖ = 1

n‖h0‖ → 0. Por


hipotesis, la sucesion ϕ(hn)‖hn‖ → 0. Pero por otro lado, supuesta linealidad, se tiene que

ϕ(hn)‖hn‖ =

1n

ϕ(h0)1n‖hn‖

= ϕ(h0)‖h0‖ �= 0. Ası pues, vemos que la sucesion ϕ(hn)

‖hn‖ no depende de n,

y por tanto no puede tender a 0 cuando n → ∞. en contra de la hipotesis. Ello implica

que ϕ(h) = 0, ∀h.

Prueba del Teorema. Supongamos que F es diferenciable en f y que la corre-

spondiente variacion primera no es unica. Si es ası, habra por lo menos dos variaciones

primeras, que denotaremos como ϕ1 y ϕ2. Se tendra:

F(f + h)−F(f) = ϕ1(h) + ε1(h, f) ‖h‖ = ϕ2(h) + ε2(h, f) ‖h‖

En la primera de las formulas h ∈ U ′, mientras que en la segunda h ∈ U ′′ siendo U ′ y

U ′′ sendos entornos de 0 en M. Ambas son validas en un entorno U = U ′ ∩ U ′′. De

esta manera si h ∈ V , el funcional lineal (ϕ1 −ϕ2)(h) vale ϕ1(h)−ϕ2(h) = (ε2 − ε1) ‖h‖,que verifica la condicion del lema anterior y por tanto debe ser identicamente nulo. Esto

demuestra el teorema.

Teorema. Sea F un funcional diferenciable. Una condicion necesaria paraque tenga un maximo o un mınimo relativo en f ∈ D(F) es que δFf = 0, es decir,que la variacion primera de F en f se anule.

Vamos a probar el teorema para el caso de que F tenga un mınimo en f . Si f fuere

un maximo, la demostracion serıa analoga.

Como F es diferenciable, lo es en particular en f . De esta manera, existe un funcional

lineal ϕ en M y un entorno de cero U en M, tal que ∀h ∈ U se tiene que:

F(f + h)−F(f) = ϕ(h) + ε(h, f)‖h‖

Escojamos h0 ∈ M arbitrario en M. Para λ suficientemente pequeno en valor abso-

luto, h = λh0 esta en el entorno U , y a el se le puede aplicar la condicion de diferencia-

bilidad

F(f + λh0)−F(f) = δFf (λh0) + E(f, λh0)‖λh0‖

Dividamos ambos miembros por la norma de h, ‖h‖ = ‖λh0‖ = |λ|‖h0‖, y notemos que la

variacion primera es lineal, y por tanto δFf (λh0) = λ δFf (h0). Ası se obtiene que para λ

suficientemente pequeno,

λ

|λ|δFf (h0)

‖h0‖+ E(f, λh0) =

F(f + λh0)−F(f)

|λ|‖h0‖

Por otro lado, en la hipotesis de que f es un mınimo del funcional, se tiene que para

todo λ, F(f + λh0) − F(f) > 0. Ası pues, para cualquier λ �= 0, el valor del segundo

miembro es siempre positivo, independientemente del signo de λ. Distingamos ahora las

dos posibilidades en las que λ → 0 manteniendose bien positivo o bien negativo. En la

primera, se tiene que

δFf (h0)

‖h0‖+ E(f, λh0) ≥ 0 cuando λ > 0, suficientemente pequeno

mientras que en la segunda lo que resulta es

− δFf (h0)

‖h0‖+ E(f, λh0) ≥ 0 cuando λ < 0, suficientemente pequeno


Tomando ahora los lımites λ→ 0+, λ→ 0− y recordando que E(f, λh0)→ 0 cuando λ→0, se encuentra respectivamente que

δFf (h0)

‖h0‖ ≥ 0 yδFf (h0)

‖h0‖ ≤ 0. Estas dos condiciones

solamente seran compatibles siδFf (h0)

‖h0‖ = 0. Ası pues la primera variacion se anula en

M, como querıamos demostrar.

Variacion primera y ecuacion de Euler-LagrangeVamos ahora a calcular la variacion primera del funcional del tipo importante

que hemos presentado en (3). Se trata del funcional definido en C1[a, b], espaciode funciones continuas de [a, b] en R que admitan derivada primera continua entodo el intervalo [a, b], con dominio y definicion siguientes:

D(F) = {f ∈ C1[a, b] / f(a) = A; f(b) = B}, F(f) =∫ b

a

Φ(x, f(x), f ′(x)) dx,

donde A, B son constantes fijas y la funcion Φ(x, y, z) : R3 → R admite derivadasparciales continuas de primer orden. Vamos a:

• Demostrar que este funcional siempre es diferenciable.• Calcular su variacion primera.

Comencemos dando una expresion auxiliar importante. Para ello tomaremosun punto (x, y, z) de R3. Puesto que Φ(x, y, z) es continua y admite derivadasparciales continuas en todo R3, es diferenciable en todos los puntos. Existiraentonces un entorno de (x, y, z), tal que si (x1, y1, z1) pertenece a este entorno severifica:

Φ(x1, y1, z1)−Φ(x, y, z) =∂Φ∂x

∣∣∣∣x

(x1−x)+∂Φ∂y

∣∣∣∣x

(y1−y)+∂Φ∂z

∣∣∣∣x

(z1−z)+ε ‖(x1−x, y1−y, z1−z)‖(4)

donde las derivadas parciales estan evaluadas en el punto (x, y, z) y ε es una funciondependiente de (x, y, z;x1, y1, z1) y que tiende a cero cuando (x1, y1, z1)→ (x, y, z).La norma ‖(x1 − x, y1 − y, z1 − z)‖ se refiere a la norma canonica del espacio R3,esto es ‖(x1 − x, y1 − y, z1 − z)‖ =

√(x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2.

Vamos ahora a usar esta formula para evaluar la diferencia entre el valor delfuncional en la funcion f y en otra funcion f + h en un cierto entorno de f (o loque es lo mismo, para h en un cierto entorno de cero enM):

F(f + h)−F(f) =∫ b

a

{Φ(x, f(x) + h(x), f ′(x) + h′(x))− Φ(x, f(x), f ′(x))} dx.

Ahora llevamos (4) a esta formula, a condicion de que h(x) este en un ciertoentorno de 0 enM. De esta manera, para h en dicho entorno:

F(f+h)−F(f) =∫ b

a

{∂Φ∂f

h(x) +∂Φ∂f ′

h′(x)}

dx+∫ b

a

ε(x)√

(h(x))2 + (h′(x))2 dx,


en donde las derivadas de Φ estan evaluadas ambas en el punto (x, f(x), f ′(x)), yen el termino de la derecha ε(x) ≡ ε(x, f(x) + h(x), f ′(x) + h′(x);x, f(x), f ′(x))tiende a cero cuando h→ 0. Notese que para f, h fijas, podemos considerar ε comouna funcion de x. Denotemos ahora:

ϕf (h) =∫ b

a

{∂Φ∂f

h +∂Φ∂f ′

h′}

dx, C(f, h) =∫ b

a

ε(x)√

(h(x))2 + (h′(x))2 dx.

En cuanto a ϕf (h), se trata de un funcional lineal que esta bien definido en todoM. En efecto, la integral que lo define existe ya que el integrando es una funcioncontinua de x en el intervalo [a, b]. Su linealidad es evidente.

Si demostramos que cuando h→ 0 el termino restante C(f, h) tiende a 0 masrapidamente que la norma de h, entonces, identificando con la descomposicionen la definicion de funcional diferenciable, habremos demostrado que el funcionalF es diferenciable, y de paso habremos obtenido una expresion para la variacionprimera de F en f .

Escribamos el termino extra C(f, h) en la forma C(f, h) = E(f, h)‖h‖. Debemos

probar que E(f, h) tiende a 0 cuando h→ 0. Para ver que esto es cierto, escribamos:

E(f, h) =C(f, h)

‖h‖=

1

‖h‖

∫ b

aε(x)

√h2 + (h′)2 dx =

∫ b

aε(x)

√h2 + (h′)2

‖h‖dx

el ultimo paso dado que ‖h‖ es una constante. Observemos ahora que para todo valor de

x en el intervalo [a, b]:√(h(x))2 + (h′(x))2 ≤ |h(x)|+ |h′(x)| ≤ sup

x∈[a,b]|h(x)|+ sup

x∈[a,b]|h′(x)| = ‖h‖

puesto que por ser h(x) una funcion real, se tiene que h2 + (h′)2 = |h|2 + |h′|2, y ası

(|h|+ |h′|)2 = |h|2 + |h′|2 + 2|hh′| ≥ |h|2 + |h′|2 = h2 + (h′)2

De aquı se deriva que en todo el intervalo [a, b], el cociente

√h2+(h′)2‖h‖ < 1. Como el

modulo de una integral es menor o igual que la integral del modulo, se tiene que:

|E(f, h)| =∣∣∣∣∣∫ b

aε(x)

√h2 + (h′)2

‖h‖dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a|ε(x)|

√h2 + (h′)2

‖h‖dx ≤

∫ b

a|ε(x)| dx

Esta expresion es la integral en un compacto de una funcion de x que tiende a cero cuando

h→ 0, luego resulta que E(f, h)→ 0 cuando h→ 0, como querıamos demostrar.

Ası pues, queda probado que F es diferenciable y que su variacion primera enf viene dada por el termino ϕf (h), es decir

δFf (h) =∫ b

a

{∂Φ∂f

h +∂Φ∂f ′

h′}

dx

donde, insistimos, las derivadas parciales se evaluan en el punto (x, f(x), f ′(x)).


Vamos ahora a transformar esta expresion, haciendo uso del recurso de eliminarla derivada h′ mediante una integracion por partes:

∫ b

a

∂Φ∂f ′

h′ dx =∂Φ∂f ′

h

∣∣∣∣ba

−∫ b

a

d

dx

∂Φ∂f ′

h dx = −∫ b

a

d

dx

∂Φ∂f ′

h dx.

Sustituyendo en la expresion para la variacion primera del funcional F se obtiene

δFf (h) =∫ b

a

{∂Φ∂f− d

dx

∂Φ∂f ′

}h(x) dx (5)

Tenemos ya los ingredientes necesarios para determinar las funciones que hacenmaximo o mınimo el funcional F . En dichas funciones, la primera variacion delfuncional debe ser identicamente nula, lo que significa que si en la funcion f elfuncional F es mınimo o maximo, debe satisfacerse la condicion

δFf (h) =∫ b

a

{∂Φ∂f− d

dx

∂Φ∂f ′

}h(x) dx = 0

para cualquier h ∈ M, esto es, satisfaciendo las condiciones h(a) = h(b) = 0.Vamos a demostrar rigurosamente que esto implica que el termino entre corchetesen el integrando debe ser nulo. La demostracion se basa en dos lemas:

Lema I. Sea γ(x) una funcion continua en el intervalo [a, b] tal que para todafuncion h(x) ∈ C1[a, b] con h(a) = h(b) = 0 se satisface la condicion

∫ b

a

γ(x) h′(x) dx = 0

Entonces γ(x) es una constante.

Lema II. Sean α(x) y β(x) dos funciones continuas en el intervalo [a, b] talesque para toda funcion h(x) ∈ C1[a, b] con h(a) = h(b) = 0 se satisface la condicion:

∫ b

a

{α(x) h(x) + β(x)h′(x)} dx = 0.

Entonces β(x) es diferenciable y β′(x) = α(x); ∀x ∈ [a, b].Demostracion de los dos lemas.

Lema I. Definamos la constante C = 1b−a

∫ ba γ(x) dx y la funcion auxiliar H(x) =∫ x

a [γ(τ)−C] dτ . Por construccion, la funcion H(x) tiene como derivada a H′(x) = γ(x)−C,

luego es una funcion continua, H(x) ∈ C1[a, b]. En x = a esta funcion vale H(a) = 0

obviamente, y en x = b se tiene H(b) =∫ ba γ(τ) dτ−

∫ ba C dτ =

∫ ba γ(τ) dτ−C(b−a) = 0 De

esta manera, H(x) satisface las propiedades exigidas a h(x) en el enunciado del lema, de


manera que H(x) ha de satisfacer la condicion del lema,∫ ba γ(x) H′(x) dx = 0. Calculemos

ahora la integral∫ b

a{γ(x)− C}H′(x) dx =

∫ b

aγ(x) H′(x) dx− C{H(b)−H(a)} = 0.

Pero la misma integral puede calcularse tambien sustituyendo H′(x) = γ(x)− C:

0 =

∫ b

a{γ(x)− C}H′(x) dx =

∫ b

a(γ(x)− C)2 dx

ecuacion que implica que α(x)−C = 0 (ya que (α(x)−C)2 ≥ 0), salvo quiza en un conjunto

de medida nula en el intervalo [a, b]. Como α(x) es continua por hipotesis, resulta que

α(x) = C ∀x ∈ [a, b]. De esta manera queda probado el lema.

Lema II. Definamos A(x) =∫ xa α(τ) dτ . Como en la demostracion del lema anterior,

tenemos∫ ba A(x) h′(x) dx = A(x) h(x)|ba−

∫ ba α(x) h(x) dx. El primer termino del miembro

de la derecha es nulo debido a las propiedades de h(x); de esta manera la condicion del

Lema II puede reescribirse como∫ b

a{−A(x) + β(x)}h′(x) dx = 0.

Aplicando ahora el lema I, se tiene que β(x)− A(x) = C, es decir, β(x) = A(x) + C, con

lo que β(x) es diferenciable y β′(x) = A′(x) = α(x), como querıamos demostrar.

Vamos ahora a usar estos dos lemas para demostrar la condicion necesariaconocida como ecuacion de Euler-Lagrange para que un funcional del tipo (2-3)tenga un maximo o un mınimo en f . En la expresion obtenida antes,

δFf (h) =∫ b

a

{∂Φ∂f

h +∂Φ∂f ′

h′}

dx = 0,

aplicamos el Lema II, con α(x) en el papel de ∂Φ∂f mientras que β(x) hace el papel

de ∂Φ∂f ′ . Obtenemos ası que que ∂Φ

∂f ′ es diferenciable con respecto a x y que suderivada con respecto a x debe ser igual a ∂Φ

∂f . Esto es,

el funcional F del tipo (2)(3) tiene un maximo o un mınimo en f ⇒ d

dx

∂Φ∂f ′−∂Φ

∂f= 0

Esta es la llamada ecuacion de Euler-Lagrange, ecuacion diferencial para la funcionf(x) en la cual el funcional F alcanza mınimos o maximos relativos.

En el caso de las funciones f(x), en un maximo o un mınimo la diferencial en elpunto x, dfx se anula. Pero de la anulacion de la diferencial en x no se sigue que lafuncion tenga en x un maximo o un mınimo, sino solo que el punto x es un puntocrıtico. Para funcionales, la situacion es semejante, y mientras que la primeravariacion del funcional F se anula en un mınimo o un maximo, de la anulacion dela primera variacion no se sigue que el funcional F tenga un maximo o un mınimo.Se definen en general las extremales del funcional diferenciable F como aquellas


funciones en las que la primera variacion δFf se anula identicamente. Ademasde las funciones en las que el funcional tiene un mınimo o un maximo relativo,las extremales incluyen otras funciones en las que el funcional es estacionario,de manera analoga al caso de los puntos crıticos que ademas de los mınimos omaximos incluyen puntos de inflexion con tangente horizontal, puntos de silla condiferentes signaturas, etc.

Podemos formular el resultado importante obtenido en esta seccion mediante:

el funcional F tiene una extremal en f ⇔ d

dx

∂Φ∂f ′− ∂Φ

∂f= 0

• Ejercicio 6. En ocasiones, la funcion Φ no depende explıcitamente de x. Demostrar que

en ese caso la ecuacion de Euler-Lagrange admite una integral primera dada por f ′ ∂Φ∂f ′ −Φ.

Ası, en dicho caso las extremales del funcional deben satisfacer tambien la ecuacion de

primer orden ddx

(f ′ ∂Φ

∂f ′ − Φ)

= 0 que suele resultar mas manejable que la propia ecuacion

de Euler-Lagrange. En el caso del principio de mınima accion, en el que el funcional accion

es la integral del Lagrangiano a lo largo del intervalo de tiempo dado, ¿que significado tiene

la constante de este tipo que aparece cuando el Lagrangiano no depende explıcitamente de

t?

• Ejercicio 7. Escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange para el problema de la braquis-

tocrona. Resolverlas. Demostrar que la curva buscada es siempre una cicloide. Si la

velocidad inicial es nula, la cuspide de la cicloide esta en el punto inicial P .

• Ejercicio 8. Determinar las curvas de longitud extremal sobre una esfera, escribiendo el

funcional de longitud y resolviendo las ecuaciones de Euler-Lagrange. Deben obtenerse los

cırculos maximos sobre la esfera.

Extremales que no sean de clase C1

La exigencia que hemos hecho a las funciones de ser continuas y con derivadacontinua es una exigencia tecnica, que permite dar una condicion necesaria muysimple —la ecuacion de Euler-Lagrange– para la existencia de extremales. Peroconviene mencionar que en muchos casos los problemas variacionales nos obligana salirnos de este marco. Es decir, hay casos en los que no existen extremalesque sean suficientemente regulares, pero hay extremales que no son regulares. Unejemplo muy sencillo se plantea en los siguientes ejercicios.

• Ejercicio 9. Demuestrese que si Φ(x, y(x), y′(x)) = Φ(x, y(x)), el funcional F [y(x)] solo

puede tener funciones y(x) extremales que sean suficientemente regulares (al menos de

clase C1) si la funcion Φ es independiente de la variable y(x); en este caso resulta que el

funcional F [y(x)] es realmente constante. Por tanto, para tener un problema variacional

que admita extremales suficientemente regulares, es esencial que el integrando Φ dependa

de las derivadas de la funcion y(x).

• Ejercicio 10. Pruebese que el funcional F [y(x)] =

∫ b

ay(x) dx con las condiciones de

contorno usuales no posee extremales, ni siquiera si se admiten en su dominio funciones


que no sean continuas. Sin embargo, el funcional F [y(x)] =

∫ b

ay2(x) dx, con las mismas

condiciones de contorno sı que admite extremales; se trata de encontrar una funcion x →y(x) que haga extremal este funcional y demostrar que realmente es extremal. Notese que

esta funcion no es continua; por ello es imposible encontrar la extremal a partir de las

ecuaciones de Euler-Lagrange. Notese tambien que esta extremal es semejante a la solucion

de Goldschmidt para el problema de la superficie de jabon sobre dos aros paralelos.

Variacion segunda de un funcional

La anulacion de la variacion primera de un funcional en la funcion f es unacondicion necesaria para que el funcional F sea extremal en f . Pero esa anulacionno garantiza que el funcional tenga un mınimo relativo en f . Se trata de la mismasituacion que ocurre para las funciones, donde un mınimo relativo en el punto xrequiere la anulacion de la diferencial dfx en x como condicion suficiente, pero talcondicion se da tambien en un maximo y en un punto estacionario; si deseamosque la funcion tenga un mınimo debemos exigir la condicion de que la diferencialsegunda df2

x(h) sea una forma cuadratica definida positiva. Aunque en la mayorparte de las aplicaciones lo que resulta ser realmente importante es la condicion deextremalidad (y no la de ser precisamente mınimo), resulta conveniente conocerel analogo de la diferencial segunda de una funcion de varias variables, que parafuncionales se denomina variacion segunda.

Comenzamos recordando la situacion para funciones de varias variables. En primer

lugar recordamos que es una forma cuadratica de varias variables. Una forma bilineal

B : Rn ×Rn → R es una aplicacion (x,y)→ B(x,y) que es lineal en las dos variables;

su expresion generica es B(x,y) =∑n

i,j=1 Bijxiyj . Toda forma bilineal tiene asociada

una forma cuadratica, dada por C(x) := B(x,x) =∑n

i,j=1 Bijxixj . (Recordemos que la

forma bilineal esta completamente determinada por su forma cuadratica asociada, medi-

ante la llamada identidad de polarizacion). Se dice que la forma cuadratica C es definida

positiva si para todo x = (x1, x2, . . . , xn) diferente del vector 0 se tiene C(x) > 0.

Se dice que una funcion f : Rn → R es diferenciable dos veces en el punto x =

(x1, x2, . . . , xn) si existen una funcion lineal denotada dfx : Rn → R y una forma

cuadratica denotada df2x : Rn → R tal que en un cierto entorno de x se tenga

f(x + h)− f(x) = dfx(h) + df2x(h) + ε(x,h)‖h‖2,

donde ε(x,h) → 0 cuando ‖h‖ → 0. Esta definicion lleva un paso mas adelante la idea

de funcion diferenciable, siendo el termino extra ε(x,h)‖h‖2 cuadratico en ‖h‖, en vez

de lineal. Geometricamente, en un cierto entorno de x supuesto fijado, la funcion dada

por x+h→ f(x)+dfx(h)+df2x(h) es la funcion cuadratica en h osculatriz a la funcion

f en el punto f(x). En cualquier texto de analisis matematico pueden encontrarse las

demostraciones de las siguientes propiedades importantes:

• Si f es diferenciable dos veces en x, entonces df2x es unica.

• Si la funcion f tiene un mınimo en el punto x, entonces en el punto x la diferencial

segunda df2x(h) es una forma cuadratica definida positiva.

• La expresion explıcita de la diferencial segunda df2x es:

df2x(h) =

1

2!

n∑i,j=1

∂2f

∂xj∂xi

∣∣∣∣x

hihj ,


es decir, se expresa como la forma cuadratica en h cuyos coeficientes son las derivadas

parciales segundas de f en el punto x (con un factor 1/2!). En particular, esta relacion

implica que si x es un mınimo de la funcion f la matriz formada por las derivadas segundas

(matriz hessiana de f en el punto x) es una matrix definida positiva.

Pasamos ahora a discutir la situacion con funcionales:

Definicion. Diremos que un funcional F es dos veces diferenciable en la funcion

f ∈ D(F) si existen un funcional lineal denotado δFf :M→ R y un funcional cuadratico,

denotado δ2Ff : M → R tales que en un cierto entorno de f en D(F) (asociado a un

cierto entorno de 0 en M) se tenga:

F(f + h)−F(f) = δFf (h) + δ2Ff (h) + E(f, h)‖h‖2

donde E(f, h)→ 0 cuando ‖h‖ → 0.

Geometricamente, podemos imaginar el funcional dado en un cierto entorno de la

funcion f , supuesta fija, por f +h→ F(f)+δFf (h)+δ2Ff (h) como el funcional osculador

al funcional F en la funcion f .

Vamos a presentar a continuacion los enunciados que corresponden a los tres teoremas

discutidos al hablar de la variacion primera.

Teorema. Si el funcional F es diferenciable dos veces en la funcion f , entonces la

variacion segunda δ2Ff (h) es unica.

Este resultado se demuestra de manera paralela al correspondiente para la variacion

primera.

Para formular una condicion de mınimo (y no solo de extremal) necesitamos enunciar

la condicion que reemplaza para nuestro caso de funcionales a la condicion de que una

forma cuadratica sea definida positiva. Tal condicion es:

Definicion. Un funcional cuadratico C en M se dice fuertemente positivo si existe

K > 0 tal que C(h) ≥ K‖h‖2 para cualquier h ∈M.

Teorema. Una condicion suficiente para que un funcional F dos veces diferenciable

tenga un mınimo en f ∈ D(F) (supuesto que se anula la variacion primera de F en f) es

que la variacion segunda δ2Ff de F en f sea fuertemente positiva.

Prueba. Si la primera variacion de F en f se anula, δFf (h) = 0, existe un entorno

de cero W en M tal que ∀h ∈W se tiene que:

F(f + h)−F(f) = δ2Ff (h) + ε(f, h) ||h||2.

Supongamos que la variacion segunda de F en f es fuertemente positiva. Entonces

δ2Ff (h) ≥ K‖h‖2, de manera que podemos escribir:

F(f + h)−F(f) ≥ {K + ε(f, h)} ||h||2,

con ε(f, h)→ 0 para h→ 0. En particular, si h es suficientemente cercano al cero en M,

el valor absoluto de ε(f, h) llegara a ser menor que la constante positiva K, y por tanto

{K + ε(y, h)} > 0, de donde F(f + h)−F(y) > 0 y el funcional tiene un mınimo en f .

El cambio necesario para obtener una condicion suficiente de maximo es evidente:

−δ2Ff debe ser fuertemente positivo.

Para acabar esta seccion, vamos a obtener una formula para la variacion se-gunda del funcional (2-3). Ya que en el contexto que nos interesa aquı la segundavariacion solo se necesita para discriminar entre los diversos tipos de extremales


(maximos, mınimos o tipo silla), basta con calcular la segunda variacion en fun-ciones f para las que la primera variacion es ya identicamente nula.

El procedimiento es una extension del usado para encontrar una expresion de la

variacion primera. Supongamos ahora que Φ(x, y, z) ∈ C2(R3), es decir que posee

derivadas parciales continuas hasta orden 2. Entonces Φ es dos veces diferenciable, lo

que equivale a decir que si h pertenece a un cierto entorno W de cero en M, tenemos:

F(f + h)−F(y) =

∫ b

a

{Φ(x, f + h, f ′ + h′)− Φ(x, f, f ′)

}dx =

=

∫ b

a

{∂Φ

∂fh +

∂Φ

∂f ′h′

}dx +

1

2

∫ b

a

{∂2Φ

∂f2h2 + 2

∂2Φ

∂f ∂f ′h h′ +

∂2Φ

∂(f ′)2(h′)2

}dx

+

∫ b

aε(x) ||(0, h(x), h′(x))||2 dx.

La primera y segunda integrales estan definidas para todo h ∈ M, y puede probarse

facilmente que son respectivamente un funcional lineal en M y una forma cuadratica en

M. Ellas son, respectivamente la variacion primera y la segunda de F en f . Ello es debido

a que la ultima integral puede ponerse como E(f, h) ||h||2 donde E(f, h)→ 0 cuando h→ 0,

lo que se comprueba de manera completamente semejante al caso de la variacion primera.

Se obtiene ası la siguiente expresion para la variacion segunda:

δ2Ff (h) =1

2

∫ b

a

{∂2Φ

∂f2h2 + 2

∂2Φ

∂f∂f ′h h′ +

∂2Φ

∂(f ′)2(h′)2

}dx.

El segundo termino en la integral puede transformarse mediante una integracion por

partes, de la siguiente manera:

2

∫ b

a

{∂2Φ

∂f∂f ′h h′

}dx =

∫ b

a

d

dx

{∂2Φ

∂f∂f ′h2

}dx−

∫ b

a

(d

dx

{∂2Φ

∂f∂f ′

})h2 dx,

y la primera integral en el segundo miembro de esta ecuacion resulta ser igual a ∂2Φ∂f∂f ′ h2

∣∣∣ba

que se anula debido a las condiciones h(a) = h(b) = 0.

De esta manera nos queda la siguiente expresion para la variacion segunda deun funcional del tipo usual en una funcion f que anule la variacion primera, enestos terminos:

δ2Ff (h) =12

∫ b

a

{(∂2Φ∂f2

− d

dx

∂2Φ∂f∂f ′

)h2 +

∂2Φ∂(f ′)2

(h′)2}

dx, cuando δFf = 0

Problemas variacionales con ligaduras (Problemas isoperimetricos)

Se presenta con frecuencia el problema de encontrar los puntos crıticos (mıni-mos, maximos, etc) de una funcion de varias variables que no son independientessino que estan sujetas a una o varias condiciones adicionales, conocidas comoligaduras. El ejemplo mas sencillo y facil de visualizar es el de la busqueda delmaximo (o mınimo) de una funcion de dos variables f(x, y) sobre una determinadacurva Γ en el plano x, y; tales maximos y mınimos condicionados ocurren en puntos


en los que la funcion considerada como funcion de dos variables independientes notiene maximos ni mınimos. Un ejemplo de comprension inmediata: cuando sesigue un camino en la ladera de una montana, la altura puede tener maximos omınimos relativos a lo largo del camino, que en general no corresponden a maximoso mınimos de la funcion que da la altura de la superficie en cada punto de lamontana.

La condicion de anulacion de la diferencial (o la equivalente de anulacion detodas las derivadas parciales) no resulta aplicable en tales casos; geometricamenteesto es claro, ya que un maximo o mınimo a lo largo de la curva solo debe traducirseen la anulacion de la derivada direccional de la funcion a lo largo de la direccionde la curva.

Procedimiento de fuerza bruta: usemos la condicion adicional para eliminaruna de las dos variables, y consideremos la funcion, ya restringida a la curva,como una funcion de una variable independiente, a la que se le puedan aplicarlas condiciones usuales de maximo o mınimo. Este metodo de fuerza bruta distade ser practico. Aunque se pueda eliminar la variable (o variables) que debido alas ligaduras resultan dependientes, las expresiones que se obtienen en terminosde variables independientes pueden ser poco manejables. Y ademas puede ocurrirque las ligaduras esten dadas en forma implıcita, que no admita la eliminacionexplıcita.

Se debe a Lagrange un metodo de determinacion de maximos y mınimos defunciones sometidas a ciertas condiciones adicionales que se conoce como metodode los multiplicadores de Lagrange, y consiste esencialmente en que si un puntox = (x1, x2, . . . , xn) es un maximo o mınimo de la funcion f(x1, x2, . . . , xn) so-bre la subvariedad determinada por las condicion adicional g(x1, x2, . . . , xn) = 0,entonces el punto x = (x1, x2, . . . , xn) es un maximo o mınimo de la funcionf(x1, x2, . . . , xn)+λg(x1, x2, . . . , xn), considerada como funcion de n variables in-dependientes. La constante λ, conocida como multiplicador de Lagrange, quedadeterminada junto con la posicion de los posibles puntos estacionarios, al resolverlas ecuaciones que establecen que en tales puntos todas las derivadas parciales dela funcion f(x1, x2, . . . , xn) + λg(x1, x2, . . . , xn) deben anularse. Los detalles deeste metodo pueden consultarse en cualquier texto de Analisis Matematico.

En el calculo variacional aparecen tambien naturalmente problemas con condi-ciones adicionales. Hemos visto dos. En el problema de la catenaria, es evidentepor razones fısicas que sin ninguna condicion adicional, el funcional “energıa po-tencial” de un hilo en un campo gravitatorio uniforme no presenta mınimos (entredos puntos dados, para cualquier hilo con energıa potencial dada, siempre podemostender un hilo mas largo, cuya energıa potencial sea menor). Pero si consideramoshilos de longitud prefijada, entonces sı que debemos esperar un mınimo para ciertaforma del hilo, especificada por cierta funcion z = f(x), que debera satisfacer lacondicion adicional de tener la longitud dada. En el problema de determinar lacurva que encierre un area maxima, es de nuevo claro que sin ninguna condicionadicional, podemos encerrar areas cada vez mayores y mayores. Solo si imponemos


una condicion extra (longitud prefijada) debemos esperar que cierta forma de lacurva encierre un area maxima. En ambos casos, la condicion adicional esta dadapor otro funcional. Vamos a discutir este problema en el caso mas sencillo de quetanto el funcional a minimizar como la ligadura sean del tipo (2-3).

Consideremos pues un funcional en el espacio C1[a, b], del tipo

F(f) =∫ b

a

Φ(x, f(x), f ′(x)) dx, D(F) = {f ∈ C1[a, b] / f(a) = A; f(b) = B}.

y consideremos otro funcional G, cuyo dominio supondremos el mismo que el deF y dado por

G(f) =∫ b

a

Γ(x, f(x), f ′(x)) dx

donde Γ es una funcion continua y con derivadas continuas que juega, para elfuncional G, un papel analogo al que Φ juega para F .

Problema isoperimetrico. Entre todas las funciones que satisfagan la cond-icion G(f) = G donde G es una constante real, encontrar las extremales del fun-cional F .

En estas condiciones puede demostrarse el siguiente:

Teorema. Sea f ∈ D(F) una funcion extremal del funcional F satisfaciendola condicion G(f) = G. Supongamos ademas que la primera variacion del funcionalG en f no es identicamente nula. Entonces existe un numero real λ de manera quef es un extremal del nuevo funcional

F(f) =∫ b

a

{Φ(x, f(x), f ′(x)) + λΓ(x, f(x), f ′(x))} dx,

en el que ya no se considera ninguna condicion subsidiaria.La demostracion de este teorema, ası como su extension para el caso de que

existan varias condiciones de ligadura puede consultarse en el libro de Troutman.

• Ejercicio 11. Encontrar la curva entre dos puntos (−a, 0), (a, 0) del eje x, que no corta

al eje, tiene longitud dada L > 2a y que encierra entre ella y el eje x el area maxima.

• Ejercicio 12. Un hilo flexible e inextensible, de densidad lineal constante y longitud dada

L, se suspende entre dos torres de alturas A y B, separadas por una distancia horizontal d

en el campo gravitatorio (supuesto uniforme) de la tierra. Determinar la forma que adopta

el hilo.

• Ejercicio 13. Principio de reciprocidad en los problemas isoperimetricos. Supongamos

dados dos funcionales, F y G, y nos limitamos a funciones que no sean extremales ni de Fni de G. En estas condiciones las extremales del funcional F(f) con la condicion subsidiaria

G(f) = G son las mismas que las extremales del funcional G(f) con la condicion subsidiaria

F(f) = F . ¿Porque? Como aplicacion, demostrar que entre las curvas que encierra un area

dada, la circunferencia es la que tiene longitud estacionaria (de hecho mınima).


Problemas Variacionales con varios grados de libertadHasta ahora nos hemos limitado a considerar funcionales definidos en espacios

de funciones reales de una variable, f : R→ R. Pero pueden darse funcionales detipos mas generales, por ejemplo funcionales del tipo (2-3) en las que Φ dependade funciones con varias componentes (vectoriales) pero de una sola variable, o bienfuncionales definidos sobre espacios de funciones de mas de una variable.

En tanto intervengan funciones de una sola variable, posiblemente con variascomponentes, esto es, funciones de f : R → R

n, la mayor parte de las tecnicas yresultados descritos en estas notas se extienden directamente y de manera casi in-mediata. Por ejemplo, el principio de mınima accion determina el movimiento realque sigue una partıcula en un potencial externo V (x, t); este movimiento es unafuncion x : R → R

3, que puede describirse mediante tres funciones componentes,x(t), y(t), z(t). En este caso el funcional que se pretende minimizar es siempredel tipo (2-3), donde ahora la funcion Φ depende de t y de las tres componentesx(t), y(t), z(t), ası como de las tres derivadas dx(t)

dt , dy(t)dt , dz(t)

dt . En el principio deFermat, la trayectoria seguida por un rayo de luz esta descrita tambien por unafuncion que podemos describir dando las dos funciones y(x), z(x), y el funcional aminimizar involucra las dos funciones y(x), z(x) y sus derivadas dy(x)

dx , dz(x)dx .

Estos ejemplos sugieren extender el tipo usual de funcionales (2-3) de la siguien-te manera: Denotemos C1([a, b],Rn) el espacio de las funciones definidas en unintervalo [a, b] y con valores en Rn que sean continuas y todas cuyas funcionescomponentes admitan derivada primera continua en todo el intervalo [a, b]. Esteespacio admite la estructura de espacio de Banach cuando le dotamos de la normadefinida por:

‖f‖ = sup(‖f1‖, ‖f2‖, . . . ‖fn‖),donde para cada funcion componente la norma es la usada en (1). Es facil de-mostrar que se trata de una norma, y menos facil de demostrar aunque tambiencierto, que dotado de esta norma, el espacio C1([a, b],Rn) es un espacio de Banach.En la topologıa inducida por esta norma, dos funciones f , g son proximas cuandoen todo el intervalo [a, b], tanto cada una de las componentes de f , g como susderivadas toman valores proximos.

Vamos ahora a definir un funcional F que es la extension del tipo descrito en(2-3). Comenzamos por definir su dominio, es decir, el conjunto sobre el que elfuncional esta definido:

D(F) = {f(x) ∈ C1([a, b],Rn)/ fi(a) = Ai; fi(b) = Bi; i = 1, 2, . . . , n}.

Notemos que este dominio no es un subespacio vectorial salvo en el caso Ai =Bi = 0, i = 1, 2, . . . , n. Sea ahora:

M = {h(x) ∈ C1([a, b],Rn)/ hi(a) = hi(b) = 0, i = 1, 2, . . . , n}.

Obviamente D(F) = f +M para todo f ∈ D(F)


Sea ahora Φ(x1, x2, . . . , x2n+1) una funcion de R2n+1 a R que sea continua yadmita derivadas parciales continuas. Escribamos

F(f) = F(f1, f2, . . . , fn) =∫ b

a

Φ(x, f1(x), . . . , fn(x), f ′1(x), . . . , f ′n(x)) dx.

F esta bien definido ∀f ∈ D(F), puesto que la funcion bajo el signo integral escontinua en todo el intervalo [a, b].

Repitiendo lo hecho en el caso de una funcion de una componente, se demuestraque este funcional es diferenciable en todos los puntos de su dominio. Sea entoncesf = (f1, f2, . . . , fn) ∈ D(F) y h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ M. Como Φ es una funcioncontinua con derivadas parciales continuas, es diferenciable. Razonando como enla derivacion de (5) existira un entorno de cero enM tal que

F(f1 + h1, . . . , fn + hn)−F(f1, . . . , fn) =∫ b

a

{Φ(x, f1 + h1, . . . , fn + hn, f ′1 + h′1, . . . , f ′n + h′n)− Φ(x, f1, . . . , fn, f ′1, . . . , f ′n)} dx =∫ b

a

n∑i=1

{∂Φ∂fi

hi +∂Φ∂f ′i

h′i

}dx +

∫ b

a

ε ‖(0, h1, . . . , hn, h′1, . . . , h′n)‖ dx,

para todo h en dicho entorno. La primera integral esta bien definida para todoh = (h1, . . . , hn) ∈ M y es una aplicacion lineal de M en R. La segunda puedeponerse en la forma E(f ,h) ||h||, con E(f ,h)→ 0 si h→ 0. De esta manera, parah en un entorno de 0 enM,

F(f1 + h1, . . . , fn + hn)−F(f1, . . . , fn) = ϕf (h) + E(f ,h) ‖h‖,

con

ϕf (h) =∫ b

a

n∑i=1

{∂Φ∂fi

hi +∂Φ∂f ′i

h′i

}dx

Esta expresion muestra que F es diferenciable, y su diferencial primera viene dadapor:

δFf (h) =∫ b

a

n∑i=1

{∂Φ∂fi

hi +∂Φ∂f ′i

h′i

}dx.

Supongamos que F admite un extremal en f = (f1, . . . , fn) ∈ D(F). Entonces,la variacion primera de F en f se ha de anular. Esto significa que para todo h ∈M,tenemos: ∫ b

a

n∑i=1

{∂Φ∂fi

hi +∂Φ∂f ′i

h′i

}dx = 0


Las derivadas parciales se evaluan en (x, f1(x), . . . , fn(x), f ′1(x), . . . , f ′n(n)). Es-cogiendo hi(x) = 0 para todo i salvo para i = j, queda∫ b

a

{∂Φ∂fj

hj +∂Φ∂f ′j

h′j

}dx = 0.

Esto implica, tras el Lema II visto antes que

d

dx

∂Φ∂f ′j− ∂Φ

∂fj= 0.

Realizando la misma operacion para todos los j = 1, 2, . . . , n resulta un sistemade n ecuaciones en las n funciones incognitas f1, f2, . . . , fn entre cuyas solucionesestan los extremales f = (f1, f2, . . . , fn) del funcional F . A dicho sistema deecuaciones se le conoce como sistema de Euler-Lagrange, o simplemente, ecuacionesde Euler-Lagrange:

f es un extremal del funcional F ⇔ ∂Φ∂fi− d

dx

∂Φ∂f ′i

= 0, i = 1, 2, . . . , n.

Problemas Variacionales con varias variables: superficies mınimasOtros problemas variacionales involucran funciones de dos o mas variables como

los objetos primitivos de los cuales depende algun funcional que se trata de mini-mizar. Tal situacion resulta ser mucho mas complicada que el caso de funciones deuna variable. El prototipo es el problema de las superficies mınimas: De entretodas las superficies en el espacio R

3 con un borde dado, encontraraquellas que tengan area mınima. En este caso, el funcional a minimizardepende de una funcion de dos variables.

Historicamente, es notable que las ideas basicas del calculo variacional, enla forma que las hemos expuesto, aparecieran por primera vez en un trabajo deLagrange (1760) dedicado precisamente al estudio del problema nada trivial de lassuperficies mınimas. Este trabajo desperto el interes de Euler, dando lugar a undesarrollo por parte de ambos autores, que culmino en la sistematizacion de lascondiciones hoy llamadas de Euler-Lagrange.

Vamos a limitarnos a derivar, de manera directa, la ecuacion diferencial quedebe satisfacer cualquier superficie mınima, y lo vamos a hacer poniendo solamenteel enfasis en las ideas relevantes desde el punto de vista del calculo variacional,eludiendo discutir detalles adicionales.

Localmente cualquier superficie puede describirse en la forma denominadade Monge, como la grafica de una funcion (x, y) → (x, y, f(x, y)), pero posible-mente tal representacion puede no cubrir la superficie “completa”. Por ejemploun plano puede representarse de manera completa en forma de Monge: (x, y) →


(x, y, f(x, y) = z0), pero para una esfera la region maxima representable de estamanera es un hemisferio, excluido su borde ecuatorial: (x, y) → (x, y, f(x, y) =√

R2 − x2 − y2).Para simplicidad, nos limitaremos a estudiar porciones de superficie que sean

representables de dicha forma, lo que no constituye ninguna limitacion importante,ya que como veremos la condicion de superficie mınima se traduce en una ecuaciondiferencial que determina f localmente.

• Ejercicio 14. Encontrar la expresion del funcional que da el area de una superficie

descrita en el espacio ordinario R3 por la funcion (u, v) → (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), como

una integral extendida a cierto dominio del espacio de parametros (u, v). Particularizar

para el caso de que la superficie se describa en forma de Monge: (x, y)→ (x, y, f(x, y)).

Como debera haberse concluido en el ejercicio anterior, el area de la porcionde superficie que corresponde a un dominio D del plano de parametros x, y es:

A =∫∫

D

dx dy√

1 + (fx)2 + (fy)2

con la integral doble extendida al dominio D y en donde para abreviar la escrituradenotamos fx ≡ ∂f

∂x , etc. Notese la analogıa de esta expresion con la que dala longitud de una curva plana descrita en la forma x → (x, f(x)), dada porL =

∫dx

√1 + (fx)2.

Consideremos una curva Γ dada en espacio R3. Esta curva se supondra cerrada,sin autointersecciones y suficientemente regular, y es quien va a jugar el papelque los dos extremos ta, xa; tb, xb jugaban para problemas variacionales del tipoimplicado en el principio de mınima accion. La proyeccion de Γ sobre el planox, y es una curva plana, que llamaremos γ, que tambien supondremos cerrada, sinautointersecciones y suficientemente regular. La propia curva Γ puede describirsecomo el conjunto de puntos (x, y, zγ(x, y)) en donde se supone que (x, y) ∈ γ ydonde z(x, y) es la funcion fija, definida solamente en γ y que describe la alturade la curva Γ. Denotemos D el dominio del plano cuyo borde es γ: este dominioes homeomorfo a un disco ya que la curva γ no tiene autointersecciones.

La forma general de la descripcion de Monge de una superficie que tenga a Γcomo borde esta dada por una funcion de dos variables, suficientemente regular,en la forma:

(x, y) ∈ D → (x, y, z(x, y)), donde z(x, y) = zγ(x, y) para (x, y) ∈ γ

La idea esencial de la derivacion de Lagrange es la siguiente. Supongamos quela funcion f(x, y) (aun desconocida) corresponde a una superficie Σf con bordeΓ y de area mınima entre todas las que satisfagan las condiciones anteriores. Seah(x, y) una funcion fija, suficientemente regular, definida en el dominio D, y a laque exigimos satisfacer la condicion

h(x, y) = 0 para (x, y) ∈ γ


En estas condiciones, tenemos una familia de superficies, que podemos denotarmediante Σf (h, ε) cuya descripcion de Monge es:

(x, y) ∈ D → (x, y, f(x, y) + εh(x, y)),

que se construyen a partir de la superficie Σf (aun desconocida), tomando comodato de deformacion la funcion h(x, y); aquı ε juega el papel de un parametro,de manera que esta familia es una familia uniparametrica de superficies, todas lascuales tienen a la curva Γ como borde, ya que para cualquier valor del parametroε se verifica la condicion

f(x, y) + εh(x, y)) = z(x, y) para (x, y) ∈ γ

El area de la superficie Σf (h, ε) esta dada por:

Ah,ε =∫∫

dxdy√

1 + (fx + εhx)2 + (fy + εhy)2

Si la superficie Σf (descrita por f(x, y)) tiene realmente area mınima entretodas las superficies con el mismo borde, tambien debe tener area mınima entrelas de la familia uniparametrica anterior Σf (h, ε). Esto significa que la funcionAh,ε debe tener un mınimo en ε = 0, es decir

0 =dAh,ε

dε

∣∣∣∣ε=0

.

Derivando con respecto a ε en Ah,ε y evaluando en ε = 0 la condicion anteriorse transforma en: ∫∫

D

dx dyfxhx + fyhy√

1 + (fx)2 + (fy)2= 0 (6)

Ası pues, si la superficie Σf es mınima, la condicion (6) debe satisfacerse paracualquier eleccion de la funcion auxiliar h que satisfaga la condicion de anulacionsobre γ.

Por analogıa con lo estudiado anteriormente, el paso siguiente debe ser trans-formar la integral en (6) en otra integral que sea lineal en h, pero en donde noaparezcan las derivadas de h. La manera mas clara de hacerlo es la siguiente. Con-sideremos la integral en (6) (que debe anularse) como una suma de dos sumandos:∫∫

D

dx dyfxhx√

1 + (fx)2 + (fy)2+

∫∫D

dx dyfyhy√

1 + (fx)2 + (fy)2

Vamos a realizar la transformacion de manera ligeramente diferente, aunque per-fectamente analoga, sobre cada uno de estos dos sumandos. Comenzemos con∫∫

D

dx dyfxhx√

1 + (fx)2 + (fy)2


que escribiremos como (hagase un diagrama que aclare el uso de los lımites deintegracion): ∫ ymax

ymin

dy

∫ xb(y)

xa(y)

fx√1 + (fx)2 + (fy)2

hx dx.

donde ymin, ymax son los valores mınimo y maximo de la coordenada y sobre lacurva γ, mientras que xa(y), xb(y) son los valores mınimo y maximo de x sobre elsegmento de recta paralela al eje x y que tiene ordenada y. (Nota: para simplificarla discusion estamos suponiendo que el dominio es convexo, y que la interseccioncon las rectas paralelas a los ejes tiene solo dos puntos; esta restriccion simplificala discusion pero no es esencial al resultado).

Hacemos ahora la integracion en x por partes, tomando u = fx√1+(fx)2+(fy)2

,

v = h. Ası obtenemos para la integral en x lo siguiente:

fx√1 + (fx)2 + (fy)2

h

∣∣∣∣∣xb(y)

xa(y)

−∫ xb(y)

xa(y)

(∂

∂x

fx√1 + (fx)2 + (fy)2

)h dx.

El termino de borde no contribuye debido a que los dos puntos (xa(y), y),(xb(y), y) estan por construccion sobre el borde γ y la funcion h(x, y) se anulasobre γ. Integrando ahora con respecto a y lo que obtenemos es que el terminoque implicaba a la derivada con respecto a x de h puede reescribirse como unaintegral en la que es la propia funcion h (y no su derivada) quien aparece comofactor:∫∫

dx dyfxhx√

1 + (fx)2 + (fy)2= −

∫∫dx dy

(∂

∂x

fx√1 + (fx)2 + (fy)2

)h

La derivada parcial que aparece ahora en el integrando se calcula facilmente: con-viene recordar que tanto fx como fy son funciones de x, y. El resultado es:

∂

∂x

fx√1 + (fx)2 + (fy)2

=fxx(1 + f2

y )− fxfyfxy(√1 + (fx)2 + (fy)2

)3

de manera que finalmente, lo que encontramos es:∫∫dx dy

fx hx√1 + (fx)2 + (fy)2

= −∫∫

dx dyfxx(1 + f2

y )− fxfyfxy(√1 + (fx)2 + (fy)2

)3 h(x, y)

Para el otro sumando que involucra hy se procede de manera analoga, perointercambiando y por x. Es bastante evidente que tal procedimiento conduce a:∫∫

dx dyfy hy√

1 + (fx)2 + (fy)2= −

∫∫dx dy

fyy(1 + f2x)− fyfxfxy(√

1 + (fx)2 + (fy)2)3 h(x, y)


Ası pues, la condicion de que la superficie sea mınima, contenida en la ecuacion(6), se convierte en:∫∫

dx dyfxx(1 + f2

y )− 2fxfyfxy + fyy(1 + f2x)(√

1 + (fx)2 + (fy)2)3 h(x, y) = 0

y como esta ecuacion debe satisfacerse para cualquier funcion h(x, y) (con la solaexigencia de anularse sobre el borde γ), parece claro que la unica posibilidad deque tal cosa ocurra es que el integrando se anule, esto es, que la funcion f(x, y)satisfaga la ecuacion:

fxx(1 + f2y )− 2fxfyfxy + fyy(1 + f2

x) = 0

que se conoce como ecuacion de Lagrange para las superficies mınimas. A pesarde su aspecto superficialmente inocente, como ecuacion diferencial es bastantecomplicada: es muy no lineal y se conocen muy pocas soluciones explıcitas. Labusqueda efectiva de superficies mınimas requiere el uso de tecnicas mucho masavanzadas y elaboradas.

Un dominio cualquiera de un plano es evidentemente una superficie mınima,cuyo borde es una curva plana. Escogiendo adecuadamente las coordenadas, estaporcion de superficie esta descrita por f(x, y) = z0, que satisface trivialmente laecuacion de Lagrange. Es decir, si la curva Γ es una curva plana, la superficiemınima con borde Γ es una porcion de plano. Este ejemplo es absolutamentetrivial.

A finales del S. XVIII se obtuvieron otras dos superficies mınimas relativamentesencillas. Una es el catenoide, que es la unica superficie mınima de revolucion.

• Ejercicio 15. La busqueda de superficies mınimas con un borde dado tiene como caso

especialmente sencillo el de las superficies mınimas de revolucion (En este caso el borde

son dos cırculos paralelos y coaxiales). En este caso no es conveniente utilizar la ecuacion

de Lagrange, ya que la descripcion de Monge de la superficie no es posible (y ademas

el borde consta de dos curvas desconectadas). Es mas facil escribir directamente el area

de la superficie de revolucion obtenida rotando alrededor del eje y la curva y = y(x),

entre los puntos x1, y1 y x2, y2, como un funcional de la funcion y(x). Se pide escribir

este funcional, comprobar que formalmente coincide con el del problema de la catenaria y

encontrar las soluciones en el caso particular “simetrico” entre los puntos (R, A) y (R,−A).

Este problema es interesante ya que dependiendo de los valores de R, A, puede ocurrir que

el mınimo absoluto del funcional area se alcance sobre una superficie de revolucion cuya

generatriz no sea una curva con derivada continua (solucion de Goldschmidt).

El otro ejemplo de superficie mınima es el helicode recto, que es la superficieengendrada por una recta “horizontal” que se desliza a velocidad constante a lolargo de un “eje” vertical al tiempo que gira alrededor de dicho eje, en un plano“horizontal” y a velocidad angular constante.

Durante mas de 200 anos el catenoide y el helicoide han sido las unicas su-perficies mınimas conocidas que satisfacen las condiciones de ser embebidas en


R3, completas y sin autointersecciones. Por ello ha resultado una agradable noti-

cia para la comunidad matematica el descubrimiento a principios de los 80 delsiglo pasado de una nueva superficie mınima que satisface la exigencias anteri-ores: la superficie de Costa. Las tecnicas, apoyadas en el analisis de funciones devariable compleja, que han llevado a este descubrimiento han abierto la puerta auna autentica eclosion de un mundo fascinante y mucho mas rico de superficiesmınimas. Una descripcion puede verse en el libro El turista matematico de I. Pe-tersen, y sobre la superficie de Costa hay un artıculo de C. J. Costa en La GacetaMatematica, 4 (1999)). Actualmente se conocen multitud de nuevos ejemplos. Laportada del Notices of the American Mathematical Society de Diciembre de 2000se dedica a una de ellas. En http://www.susqu.edu/brakke hay cantidad deinformacion sobre superficies mınimas triplemente periodicas.

En particular, merece la pena indicar que para una porcion de superficie arbi-traria Σf pero con borde fijo Γ, la variacion primera del funcional area esta dadapor:

A(Σf ) =∫∫

D

dx dy√

1 + (fx)2 + (fy)2 δAΣf(h) =

∫∫Σf

dΣf HΣfh

donde la funcion HΣfes la llamada curvatura media de la superficie, Σf , definida

como la semisuma de las dos curvaturas principales, que a su vez son las curvaturasmaxima y mınima de las curvas planas que se obtienen como secciones normales dela superficie. La interpretacion geometrica de la condicion de Lagrange, dada porvez primera por Meusnier, es que las superficies mımimas tienen curvatura mediaigual a cero en todos sus puntos, lo que evidentemente garantiza la anulacion delfuncional variacion primera.

Para acabar, conviene mencionar que las ideas basicas (diferenciabilidad defuncionales, funcional lineal variacion primera, anulacion de dicho funcional comocondicion de extremalidad, etc,) se extienden a estos problemas. Aunque no hemosescrito de manera general el problema, puede comprobarse que para un funcionaldel tipo

F(f) =∫∫

D

dx dy Φ(x, y; f(x, y), fx(x, y), fy(x, y)) dx,

sobre un dominio D del plano y con condiciones de frontera sobre el borde γ deD del tipo

(x, y) ∈ D → (x, y, z(x, y)), donde f(x, y) = fγ(x, y) para (x, y) ∈ γ

las ecuaciones de Euler-Lagrange que se obtienen son:

∂Φ∂f− ∂

∂x

∂Φ∂fx− ∂

∂y

∂Φ∂fy

= 0.

forma de la que la extension a mas variables independientes, o a funciones vecto-riales de varias variables resulta ya evidente.


Bibliografıa

La fısica que contienen los problemas variacionales esta expuesta de manerainsuperable en las “Lectures” de Feynmann. Resultan de lectura obligada enrelacion con este tipo de problemas los Capıtulos “Optica, el principio del tiempomınimo” Cap. 26 del Vol I y “El principio de mınima accion”, Cap. 16, Vol II.

1. R.P. Feynmann, R. B. Leighton y M. Sands, Lectures on Physics, Fondo Ed-ucativo Interamericano, 1971.

La mayor parte de los textos de Mecanica Clasica dedican cierto tiempo a laexposicion de las tecnicas del calculo variacional. Por ejemplo:

2. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison Wesley, 1980.

Un resumen excelente, incluyendo con detalle aplicaciones a la Fisica y conuna lista de referencias de los textos clasicos del Calculo de Variaciones en FisicaMatematica (Lanczos, Yourgrau y Mandelstam):

3. G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, New York,1985.

Sobre la matematicas del calculo variacional, los tres textos siguientes contienenel material fundamental.

4. I. M. Gelfand, S.V. Fomin, Calculus of Variations, Prentice Hall, New York.

5. J.L. Troutman, Variational Calculus with Elementary Convexity, Springer Ver-lag, Berlin.

6. L. Elsgoltz, Ecuaciones Diferenciales y Calculo Variacional., MIR, Moscu.

El librito siguiente tiene una gran coleccion de problemas:

7. M.L. Krasnov, G.I. Makarenko y A.I. Kiseliov, Calculo Variacional (Ejemplosy Problemas)., MIR, Moscu, 1976.

Finalmente, mencionemos el artıculo8. S. Hildebrandt, ¿Es minimalista el mejor de los mundos?., Mundo Cientıfico

188, Marzo, 1998.


Problemas

Recopilacion de L. M. Nieto

1 Dado el funcional

F [y(x)] =∫ b

a

Φ(x, y(x), y′(x)) dx,

demuestrese la equivalencia de las dos formas siguientes de las ecuaciones deEuler-Lagrange

a)∂Φ∂y− d

dx

∂Φ∂y′

= 0 b)∂Φ∂x− d

dx

(Φ− y′

∂Φ∂y′

)= 0.

2 Si la funcion Φ(x, y(x), y′(x)) en el funcional F [y(x)] es del tipo

Φ(x, y(x), y′(x)) = Φ1(x, y(x)) + Φ2(x, y(x)) y′(x),

demuestrese que la ecuacion de Euler-Lagrange conduce a∂Φ1

∂y=

∂Φ2

∂x¿Que

implica este hecho sobre la dependencia de la integral respecto a la eleccion delcamino?

4 Obtengase la forma que adopta la ecuacion de Euler-Lagrange en los siguientescasos particulares:a) Φ solo depende de y′.b) Φ no depende de y.c) Φ no depende explıcitamente de x.d) Φ = G(x, y)

√1 + y′2.

5 Aplıquense los resultados anteriores a los ejemplos siguientes:a) F [y(x)] =

∫y(2x− y)dx, y(0) = 0, y(π/2) = π/2.

b) F [y(x)] =∫

(y2 + 2xyy′)dx, y(a) = A, y(b) = B.c) F [y(x)] =

∫(1 + y′2)1/2dx, y(a) = A, y(b) = B.

d) F [y(x)] =∫

y′(1 + x2y′)dx, y(1) = 3, y(2) = 5.

6 Encuentrense los extremales de los siguientes funcionales:a) F [y(x)] =

∫ b

a[y2 + y′2 − 2y sinx]dx.

b) F [y(x)] =∫ b

a[y2 − y′2 − 2y cosh x]dx.

c) F [y(x)] =∫ b

a[y2 + y′2 + 2yex]dx.

d) F [y(x)] =∫ b

a[y2 − y′2 − 2y sinx]dx.

7 Demuestrese que dados dos puntos cualesquiera del plano de abscisas diferentes,en general no hay extremal del funcional

F [y(x)] =∫ b

a

(y2 +√

1 + y′2)dx

que pase por dichos puntos.


8 Demuestrese que la solucion de un problema variacional de extremos fijos nodepende de la forma en que se exprese la relacion entre las variables x e y, esdecir, se obtiene la misma solucion cuando se expresa y como funcion de x quecuando se utiliza una representacion parametrica para x e y.

9 Demuestrese la invariancia de la ecuacion de Euler frente a cambios de coor-denadas.

10 Hallense las ecuaciones de Euler-Lagrange para el funcional “de orden superior”

F [y(x)] =∫ b

a

Ψ(x, y(x), y′(x), y′′(x)) dx.

con las condiciones de frontera y(a) = A, y(b) = B; y′(a) = A′, y′(b) = B′.

11 Pruebese que la lınea recta es el camino mas corto entre dos puntos en el planoeuclıdeo.

12 Haciendo pompas de jabon. Considerese una superficie de revolucion generadaal girar alrededor del eje x una curva y(x) que pasa por dos puntos dados(x1, y1) y (x2, y2). Determınese la curva y(x) de manera que la superficielateral de la figura engendrada sea mınima. Particularıcese a los siguientescasos:a) (x1, y1) = (−1, 1) y (x2, y2) = (1, 1) ;b) (x1, y1) = (−1/2, 1) y (x2, y2) = (1/2, 1).Usando los resultados anteriores para el caso particular “simetrico” (−p, 1) y(p, 1), hallese la ecuacion transcendente en p que resulta al imponer que el areade la superficie de revolucion coincida con el area de los dos discos cuyos bordesson los dos cırculos laterales.

14 Consideremos otra configuracion de una pelıcula de jabon (que es una superficiemınima) montada sobre dos aros de radio unidad colocados perpendicularmenteal eje x con sus centros sobre el, en x = ±p (como en ejercicios precedentes) yun tercer aro de radio a, paralelo a los aros anteriores y centrado en el origen.La configuracion consiste en tres superficies: el disco central y dos catenoidesque unen el aro central a cada uno de los laterales; cada uno de ellos estadescrito por sus secciones en el plano x–y mediante ecuaciones del tipo

y = c cosh(x

c+ k

).

a) Imponganse las condiciones de contorno en x = 0 y x = ±p para que loscatenoides se apoyen en los aros correspondientes.

b) Aunque no es imprescindible (ya que es consecuencia de suponer que la su-perficie que ası se obtiene es mınima), simplifica mucho los calculos suponerque los catenoides forman entre sı y con el disco central angulos de 120o.Expresese esta condicion en forma algebraica.


c) Demuestrese que el area total de la configuracion (los dos catenoides masel del disco central) es

A = c2

[sinh

(2p

c+ 2k

)+

2p

c

]d) Encuentrese de forma numerica el valor maximo de p que permite esta

configuracionNota: la configuracion de las pompas de jabon que acabamos de describir esfısicamente realizable y es estable.

15 Una manera de enunciar el principio de Fermat en Optica es decir que para irde un punto P a otro Q los rayos de luz seguiran el camino γ para el cual

T [γ] =∫ Q

P

n(x, y, z) ds

es un mınimo, siendo n(x, y, z) el ındice de refraccion del medio y s la longitudde arco medido a lo largo de la trayectoria de la luz γ. Para el caso de propa-gacion de la luz en un plano y tomando los puntos inicial y final P ≡ (−1, 1),Q ≡ (1, 1), encuentrese el camino cuando a) n = ey, b) n = ay, c) n = a/y,d) n = a

√y, e) n = a/

√y.

16 Una partıcula se mueve sin rozamiento desde un punto A a un punto B, ambosen la superficie de la Tierra, a traves de un tunel en el interior de la tierra,bajo la accion exclusiva de la gravedad. Determınese la ecuacion diferencialque determina la forma del tunel si se desea que el tiempo del viaje entre Ay B sea mınimo (supongase que la Tierra es una esfera de densidad uniformey despreciese su movimiento de rotacion). Demuestrese que la solucion es unahipocicloide y hallese el tiempo que dura el viaje entre A y B.

17 Pruebese que el principio de mınima accion asociado al lagrangiano

L = mc2

(1−

√1− v2

c2

)− V (:r )

conduce a una version relativista de la segunda ley de Newton que es

d

dt

(mvk√

1− v2/c2

)= Fk = − ∂V

∂xk

18 Sabiendo que el lagrangiano de una partıcula de carga q que se encuentra enun campo electromagnetico descrito por un potencial escalar ϕ y un potencialvector :A es

L =12

mv2 − q ϕ + q :A · :v,

hallense las ecuaciones de movimiento de la partıcula cargada. Recuerdese que

:E = −:∇ϕ− ∂ :A

∂t, :B = :∇× :A.


20 Al estudiar las pequenas vibraciones de una cuerda, el lagrangiano que aparecees

L =∫ {

12

<

(∂u

∂t

)2

− 12

τ

(∂u

∂x

)2}

dx,

siendo < la densidad lineal de masa y τ la tension (supuestas ambas constantes alo largo de la cuerda). La integracion se extiende a toda la longitud de la cuerda.Pruebese que aplicando el principio de Hamilton a la densidad lagrangiana (elintegrando en la anterior expresion) se llega a la ecuacion clasica para la cuerdavibrante

∂2u

∂x2=

<

τ

∂2u

∂t2.

21 La densidad lagrangiana por unidad de volumen de un campo electromagneticoen el vacıo con densidad de carga < es

L =12

(ε0E

2 − B2

µ0

)− < ϕ + < :v · :A,

siendo ε0 la permitividad del vacıo y µ0 la permeabilidad del vacıo. Pruebeseque las ecuaciones de Lagrange conducen a dos de las ecuaciones de Maxwell(las otras dos son precisamente una consecuencia de las definiciones de :E y :B

en terminos del potencial escalar ϕ y del potencial vector :A).

22 Encuentrese la ecuacion de Euler-Lagrange para el problema mecano-cuanticoconsistente en imponer que el valor esperado de la energıa para un hamiltonianoarbitrario independiente del tiempo H = −(�/2m)∇2 +V (x, y, z) en un estadoestacionario descrito por una funcion de onda ψ(x, y, z),∫

R3ψ∗(x, y, z)Hψ(x, y, z) dx dy dz,

sea un mınimo, estando sujeta la funcion de onda ψ(x, y, z) a la condicionhabitual de normalizacion∫

R3|ψ(x, y, z)|2 dx dy dz = 1.

Nota: las funciones ψ y ψ∗ deben tratarse como independientes. Las derivadassegundas del funcional que hay que considerar pueden convertirse en derivadasprimeras integrando por partes.

23 Un volumen dado de agua se encuentra dentro de un cilindro situado vertical-mente en el campo gravitatorio, que rota con velocidad angular constante ω.Calculese la forma que adopta la superficie del agua de manera que se minimicela energıa potencial total de la masa de agua.

24 Demuestrese que dado el funcional

F [y(x)] =∫ b

a

[p(x) y′(x)− q(x) y2(x)] dx,


con p(x), q(x) funciones dadas, al determinar las funciones y(x) que hacenF [y(x)] estacionario con las condiciones adicionales∫ b

a

y2(x)w(x) dx = 1, p(a) y′(a) y(a) = p(b) y′(b) y(b),

se llega a una ecuacion del tipo Sturm-Liouville.

25 Determınese la ecuacion que resulta al buscar la funcion ϕ(x) que hace esta-cionario el funcional

F [ϕ(x)] =∫ b

a

∫ b

a

K(x, y)ϕ(x) ϕ(y) dxdy,

siendo el nucleo integral K(x, y) = K(y, x) una funcion conocida y estando lafuncion incognita ϕ(x) sujeta a la condicion de normalizacion∫ b

a

ϕ2(x) dx = 1.

26 Supongamos que una onda sısmica viaja a traves de la Tierra (supuesta plana)con una velocidad que es directamente proporcional a la profundidad. Calculesela trayectoria que seguira la perturbacion para ir desde un punto A a otro B,ambos arbitrarios y en el interior de la Tierra, con la exigencia de que el tiempode propagacion sea mınimo.

27 Bajo determinadas aproximaciones (pequenas desviaciones respecto a la posicionhorizontal), se puede demostrar que las energıas cinetica y potencial de unaviga de longitud L, modulo de elasticidad K y densidad lineal < son

T =12

∫ L

0

<(x)(

∂y(t, x)∂t

)2

dx, V =12

∫ L

0

K

(∂2y(t, x)

∂x2

)2

dx.

Usando el principio de mınima accion, determınese la ecuacion diferencial enderivadas parciales que rige el movimiento de la viga.

28 Hallense las curvas que en el campo de fuerzas definido por:F (:r) = (X(:r ), Y (:r ), Z(:r )) con :r = (x, y, z),

hacen extremal el trabajo entre dos puntos cualesquiera :r0 y :r1. ¿Pueden serarbitrarios estos dos puntos? ¿Que ocurre si el campo admite funcion potencial?

29 Queremos determinar la forma del morro de un avion, supuesto dado por unasuperficie de revolucion que minimice la resistencia al avance en el seno deun gas de densidad pequena, a velocidad v. Si tomamos la direccion delmovimiento como eje x (en sentido negativo) y el morro como la superficie derevolucion alrededor del eje x con generatriz y = y(x) con y(0) = 0, y(l) = R,encontrar el funcional la fuerza de resistencia, dependiendo de la forma y = y(x)de la generatriz. Resolver la ecuacion de Euler-Lagrange haciendo la apro-ximacion

√1 + (y′(x))2 ≈ 1. (Nota: supongase que el gas es ideal y que los


choques de las moleculas del mismo con el cuerpo son elasticos; asimismo,supongase que el cuerpo es “afilado”)

30 Entre todas las curvas que unen dos puntos dados A y B, encuentrese aquellaque genera la superficie de revolucion de area mınima cuando se gira en torno auna recta r. Supongase que esta recta no pasa por A ni B, y que las curvas nocortan a r en ningun punto. Nota: sin perdida de generalidad se puede elegirr coincidente con el eje OX.

31 Consideremos una partıcula material en una dimension y de masa m. Encuen-trense las ecuaciones de Lagrange en los siguientes casos:a) La partıcula esta sometida a una fuerza F (x) = −kx.b) Ademas de la fuerza anterior sometemos la partıcula a una fuerza propor-

cional a la velocidad.c) Ademas de las dos fuerzas anteriores, tenemos una fuerza periodica del tipo

F (t) = cos αt, con α constante.d) Supongamos ahora que habita en un espacio tridimensional y que esta some-

tida a una fuerza :F = −k:x. Hallense las ecuaciones de Lagrange.e) Resuelvanse las ecuaciones de Lagrange en los cuatro casos anteriores.

32 Hallense las geodesicas del cono circular z2 = a2(y2 + x2). Pruebese quecualquier geodesica sobre una rama del cono tiene la siguiente propiedad: si larama se corta desde el vertice a lo largo de un generador y la superficie del conose desarrolla hasta que constituya una superficie plana, la geodesica se convierteen una recta. (Nota: si [r, ψ, z] son las coordenadas con que describimos el conoy [<, ϕ] son coordenadas polares en la superficie plana, antes de demostrar lapropiedad pedida muestrese que < = r(1 + a2)1/2 y ϕ = ψ/(1 + a2)1/2).

33 Problema de Kelvin: supongamos que en el plano XOY esta distribuıda unamasa de densidad continua µ(x, y) y supongamos que se tiene en el plano unacurva Γ suave a trozos y dos puntos P1 y P2 sobre la misma. Entre todas lascurvas C de longitud fija L que unen estos puntos, hallese la que, conjuntamentecon el arco P1P2 de la curva Γ, forme un recinto D de masa maxima. Los puntosP1 y P2 pueden coincidir. Nota: utilıcese el hecho de que la curvatura de unacurva plana descrita parametricamente es:

k =|xy − xy|

(x2 + y2)3/2.

34 En uno de los numerosos viajes que el doctor Zarkov efectuo con Flash Gordonmas alla de los lımites del universo conocido, detecto la existencia de un uni-verso bidimensional asentado sobre una superficie elipsoidal que quedaba biendescrita por la ecuacion:

x2 + y2

R2+

z2

(aR)2= 1, (R = cte. > 0), (a = cte. ≈ 1),

x

y

z

P

S


donde a era una constante de valor muy proximo a 1. El doctor Zarkov sesentıa intrigado por conocer que forma adoptarıan en este universo los rayosluminosos que, partiendo de un sol S, alcanzan un planeta P .

Encontro evidencias de que en dicho universo se verificaba el principio de Fer-mat y de que el ındice de refraccion era constante en toda su extension (iguala un valor n0), pero no supo hallar las trayectorias de la luz pues no dominabalas tecnicas del calculo variacional. Ayudele a calcular e interpretar las trayec-torias de los rayos luminosos en dicho universo.

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INTRODUCCIONALCALCULOVARIACIONAL - …metodos.fam.cie.uva.es/~luismi/FM03Tema1.pdf · C´alculo Variacional 2002/2003 2 El principio de m´ınima acci´on dice: entretodoslosmovimientosimagina-