Investigación e IIM Ingeniería de la Madera · Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014 2 Investigación e Ingeniería de la Madera, Volumen 10,

Investigación e IIM Ingeniería de la Madera Volumen 10 Número 1 Abril, 2014 Revista del Laboratorio de Mecánica de la Madera

División de Estudios de Posgrado

Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo ISSN: En trámite Características físicas de 12 maderas mexicanas. Javier Ramón Sotomayor Castellanos | Mariana Ramírez Pérez Desarrollo de la fórmula para calcular el módulo de elasticidad de la madera en pruebas de flexión. Javier Ramón Sotomayor Castellanos | Joel Benancio Olguín Cerón

Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014

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Investigación e Ingeniería de la Madera, Volumen 10, No. 1, enero-abril 2014. Publicación cuatrimestral editada por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. Código Postal 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500. www.investigacioneingenieriadelamadera.umich.mx, [email protected]. Editor: Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Reserva de Derechos al Uso Exclusivo No. En trámite. ISSN: En trámite. Ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Responsable de la última actualización de este número, Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. C.P. 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500, fecha de la última modificación: 30 de abril de 2014. Diseño y formación: Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Portada: Joel Benancio Olguín Cerón y Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Publicado digitalmente en Morelia, Michoacán, México. Abril de 2014. Consulta electrónica: www.cic.umich.mx, www.academia.edu, www.researchgate.net y http://laboratoriodemecanicadelamadera.weebly.com/. Derechos reservados: ©Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera y ©Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Editor de la revista: Javier Ramón Sotomayor Castellanos Comité editorial: Luz Elena Alfonsina Ávila Calderón, UMSNH Marco Antonio Herrera Ferreyra, UMSNH David Raya González, UMSNH

mailto:[email protected]

http://www.cic.umich.mx/

http://www.academia.edu/


3

Contenido

Características físicas de 12 maderas mexicanas.

Javier Ramón Sotomayor Castellanos y Mariana Ramírez Pérez .................. 4

Desarrollo de la fórmula para calcular el módulo de elasticidad

de la madera en pruebas de flexión.

Javier Ramón Sotomayor Castellanos y Joel Benancio Olguín Cerón ......... 36


4

Características físicas de 12 maderas mexicanas

Javier Ramón Sotomayor Castellanos1

Mariana Ramírez Pérez2

Resumen

Se determinaron la densidad y las características higroscópicas de doce maderas

mexicanas. Asimismo, se propusieron dos criterios de clasificación. El primero se

fundamenta en la distribución estadística de resultados experimentales y sus

medidas centrales y de dispersión. El segundo se refiere al agrupamiento de

especies de acuerdo a magnitudes similares de sus características físicas, referidas

en correlaciones estadísticas entre variables dependientes e independientes. Los

valores promedio de los parámetros calculados son del mismo orden de magnitud

que los de los datos presentados en trabajos anteriores. La relación de anisotropía

de la contracción volumétrica fue de 1.83 para las especies estudiadas y califica

como media. Un análisis de regresión entre diferentes parámetros observados

aportó los siguientes corolarios: las contracciones tangencial y radial no

correlacionan con la densidad básica; el punto de saturación de la fibra disminuye

linealmente a medida que la densidad aumenta con un coeficiente de determinación

de 0.45 para un 95 % de confianza; el máximo contenido de humedad y los espacios

vacíos disminuyeron cuando la densidad básica aumentó en una correlación

exponencial con un coeficiente de determinación de 0.99. La velocidad de hidratado

disminuyó en porcentaje del coeficiente de contracción volumétrica y aumentó en

relación con el punto de saturación de la fibra.

Palabras clave: Densidad, Contenido de humedad, Higrocontracción, Punto de

saturación de la fibra, Velocidad de hidratado.

1 Profesor, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH, [email protected] 2 Alumna, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH, [email protected]


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Abstract

The density and hygroscopic properties of twelve Mexican wood species were

determined, and based on the results, two classification criteria are proposed. The

first classification is based on the statistical distribution of the measurements, as well

as on their central and dispersion statistical parameters. The second refers to

grouping the species according to similar values of their physical characteristics,

based on statistical correlations between dependent and independent variables. The

average values of the parameters calculated are in the same order of magnitude as

the data presented in previous works. The anisotropy ratio of volumetric shrinkage

was 1.83 for the species studied and qualifies as medium. A regression analysis

between different parameters observed provided the following corollaries: the

tangential and radial contractions do not correlate with basic density; the fiber

saturation point decreases linearly as the density increases with a coefficient of

determination of 0.45 at 95% of confidence; the maximum moisture content and void

spaces decreased when basic density increased in an exponential correlation with

a coefficient of determination of 0.99. The hydration rate decreased in function of the

coefficient of volumetric shrinkage and increased in relation to the fiber saturation

point.

Key words: Density, Moisture content, Hygrocontraction, Fiber saturation point,

Hydration rate.


6

Introducción

Los principales criterios para la selección de una especie de madera en el diseño

de productos funcionales y en la concepción e ingeniería de edificaciones de

madera, se pueden sintetizar en la lógica de selección de materiales propuesta por

Ashby et al. (2009), esquematizada en la Figura 1.

Describiendo este enfoque, y partiendo desde lo general y periférico, hacía lo

material y central, inicialmente, la biodiversidad propone una disponibilidad de

material genético renovable, con variabilidad natural y que actualmente se puede

optimizar con fines de sustentabilidad ecológica. Al mismo tiempo, el costo

energético de transformación, el cual se refleja en lo económico y depende

igualmente de la apreciación estética por parte del usuario del material, está ligado

a la aptitud de cada madera para su maquinado, estabilizado y protección.

Finalmente, son las características físicas de la madera, derivadas de su

composición química y de su estructura anatómica, las que definen la valoración

comercial, y son la referencia en el diseño de productos funcionales y elementos

constitutivos de estructuras de madera.

Figura 1. Lógica de selección de una especie de madera para su uso en diseño e

ingeniería de productos y estructuras (Adaptada de Ashby et al., 2009).

Lógica de selección de la madera como material de ingeniería:

Sustentabilidad ecológica y variabilidad genética

Disponibilidad

Maquinado, estabilizado y protección

Economía y estética

Características físicas

de la madera


7

Entre los productos de madera contemporáneos donde el conocimiento de las

características físicas de una especie de madera en particular encuentra aplicación,

se pueden citar muebles, instrumentos musicales, madera de ingeniería y tableros

contrachapados y aglomerados, y otros materiales de Ingeniería reconstituidos a

partir de madera como materia prima. Respecto a la industria de la edificación con

madera, las características físicas encuentran aplicación en el dimensionado de

elementos estructurales, como vigas y columnas, y en componentes de

construcciones de madera como lo son vigas laminadas, escaleras, cubiertas,

muros y entramados.

Problemática

La densidad y las características tecnológicas de la madera están ampliamente

documentadas para la mayoría de especies empleadas en diferentes escalas de

transformación. Desde su uso artesanal, hasta la manufactura de madera

reconstituida. En México, estas características han sido estudiadas entre otros

autores por Fuentes-Salinas (2000), Bárcenas-Pazos y Dávalos-Sotelo (2001),

Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003), De la Paz Pérez-Olvera y Dávalos-Sotelo

(2008), Silva-Guzmán (2008), Silva-Guzmán et al. (2010) y Sotomayor-Castellanos

y Ramírez-Pérez (2013).

Uno de los corolarios usuales de las investigaciones sobre el tema de estudio, es la

calificación de las características tecnológicas propias de una muestra de madera

determinadas experimentalmente. Ese punto de vista se confunde fácilmente con la

clasificación o aptitud de toda la madera de ese género y/o especie para un uso en

específico, el cual finalmente, es el que tradicionalmente le dan los usuarios, los

artesanos o los industriales del ramo.

Sin embargo, cuando el Diseñador y/o el Ingeniero quieren desarrollar un nuevo

producto, no existen criterios que les guíen hacia la correcta selección de una

especie de madera, o lo opuesto, determinar si una madera en particular podría ser


8

empleada en un producto innovador. De tal forma, que se hace necesario proponer

un enfoque racional para la apreciación de una madera basada, en este caso de

estudio, en sus propiedades físicas. Es importante recordar que, para una óptima

elección de una especie de madera, es recomendable tomar en consideración los

criterios de selección discutidos para la Figura 1.

Por otra parte, el estudio de los fenómenos higro-mecánicos de la madera, debido

a su complejidad, necesita de técnicas de modelado, que para su validación,

requieren de datos experimentales (Muszyński, 2006) los cuales son escasos. En

efecto, en la literatura especializada se han propuesto descripciones teóricas que

requieren para su validación, de características determinadas experimentalmente

(Mackerle, 2005).

La presente investigación tuvo por objetivos determinar la densidad y las

características higroscópicas de doce maderas mexicanas. Asimismo, se

propusieron criterios de clasificación para la densidad y para las características

higroscópicas:

- Densidad básica

- Punto de saturación de la fibra

- Higrocontracción tangencial

- Coeficiente de higrocontracción tangencial

- Higrocontracción radial

- Coeficiente de higrocontracción radial

- Higrocontracción volumétrica

- Coeficiente de higrocontracción volumétrica

- Máximo contenido de humedad

- Porcentaje de pared celular

- Porcentaje de espacios libres

- Velocidad de hidratado


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Para lograr estos objetivos, se empleó madera de las especies:

Gyrocarpus americanus

Swietenia macrophylla

Enterolobium cyclocarpum

Cedrela odorata

Juglans pyriformis

Lysiloma spp.

Swietenia humillis

Caesalpinia platyloba

Celeanodendron mexicanum

Quercus spp.

Albizia plurijuga

Platymiscium dimorphandrum

Los criterios de clasificación aquí propuestos comprenden dos enfoques. El primero

hace uso de los criterios de clasificación propuestos por Sotomayor-Castellanos y

Ramírez-Pérez (2013) basados en la distribución estadística de resultados

experimentales y sus medidas centrales y de dispersión. El segundo es una

propuesta original de esta investigación. Este enfoque se refiere al agrupamiento de

especies de acuerdo a magnitudes similares de sus características físicas

contextualizadas en correlaciones estadísticas entre variables dependientes e

independientes. La combinación de adjetivos con carácter de axiomas, resulta en

una calificación de las características de baja hasta alta y en guías de clasificación

que recomiendan en diferentes medidas la aplicación de estos criterios de selección.

La investigación se limita a proporcionar criterios para la selección de las especies

estudiadas para su uso como material de ingeniería en la industria de la

construcción. Particularmente como elementos de resistencia y función estructural.


10

Materiales y métodos

Se recolectaron en la región de Arteaga, Michoacán piezas de madera aserrada de

11 especies angiospermas listadas en la Tabla 1. Además, se recolectaron en el

Estado de Quintana Roo, piezas de madera del género Lysiloma spp. El género y

especie de las maderas fueron establecidos en el lugar de acopio y su identificación

botánica se realizó en los Laboratorios de la Facultad de Ingeniería en Tecnología

de la Madera. Las piezas de madera aserrada se almacenaron durante 36 meses

en una cámara de acondicionamiento a una temperatura de 20 °C y con una

humedad relativa del aire de 65 %. Antes de proceder a las pruebas físicas, las

piezas de madera fueron recortadas en probetas conteniendo únicamente madera

de duramen. Las dimensiones iniciales de la sección transversal de las probetas

fueron de 20 mm x 20 mm. La longitud en la dirección longitudinal fue en promedio

de 60 mm.

El proceso experimental consistió en el procedimiento siguiente:

1. Inicialmente, se pesaron y se midieron las dimensiones de las probetas.

2. Posteriormente, las probetas se depositaron en agua a temperatura de 20 °C

durante 72 horas.

3. A continuación, se pesaron y se midieron las dimensiones de las probetas en la

condición hidratada.

4. En seguida, las probetas se deshidrataron en un horno con una temperatura de

103 °C durante 48 horas.

5. Finalmente, se pesaron y se midieron las dimensiones de las probetas en la

condición deshidratada.


11

Durante las pruebas de higroscopia, se observó que la orientación de las probetas

no estaba alineada con las direcciones radial, tangencial y longitudinal de la madera.

Por este motivo, las mediciones de sus aristas se emplearon únicamente para

calcular los volúmenes correspondientes a los diferentes contenidos de humedad

de la madera y para determinar su densidad básica y su velocidad de hidratado. El

análisis estadístico de los resultados se realizó con el programa Statgraphics®.

La higrocontracción tangencial se estimó con la ecuación (Sotomayor-Castellanos

y Ramírez-Pérez, 2013):

βT = 10.8 ρ

00.44 (1)

Donde:

βT = Higrocontracción tangencial (%)

ρ0 = Densidad básica (kg/m3)

La higrocontracción radial se estimó con la ecuación (Sotomayor-Castellanos y

Ramírez-Pérez, 2013):

βR = 5.9 ρ

00.44 (2)

Donde:

βR = Higrocontracción radial (%)


En las fórmulas (1) y (2), la densidad básica se define como (Fuentes-Salinas,

2000):

ρ0=

Wseco

Vsat

(3)


12

Donde:


Wseco = Peso en estado seco (m3)

Vsat = Volumen en estado saturado (m3)

La higrocontracción volumétrica se calculó con la fórmula (Fuentes-Talavera et al.,

2002):

βV = (

Vsat - Vseco

Vsat

) *100 (4)

Donde:

βV = Higrocontracción volumétrica (%)

Vsat = Volumen en estado saturado (m3)

Vseco = Volumen en estado seco (m3)

El punto de saturación de la fibra se calculó con fórmula (Fuentes-Salinas, 2000):

PSF = β

V

0.9 x ρ0

(5)

Donde:

PSF = Punto de saturación de la fibra (%)



El coeficiente de higrocontracción tangencial se calculó con la fórmula (Sotomayor-

Castellanos et al., 2010):

λT = β

T

PSF (6)


13

Donde:

λT = Coeficiente de higrocontracción tangencial (%/%)



El coeficiente de higrocontracción radial se calculó con la fórmula (Sotomayor-


λR = β

R

PSF (7)

Donde:

λR = Coeficiente de higrocontracción radial (%/%)



La relación de anisotropía se calculó con la fórmula (Fuentes-Talavera et al., 2002):

βT

βR

⁄ = β

T

βR

(8)

Donde:

βT/βR = Relación de anisotropía (%/%)



El coeficiente de higrocontracción volumétrica se calculó con la fórmula (Sotomayor-


λV = β

V

PSF (9)


14

Donde:

λV = Coeficiente de higrocontracción volumétrica (%/%)



El máximo contenido de humedad se calculó con la fórmula (Tamarit-Urias y

Fuentes-Salinas, 2003):

MCH = ( 1.53 - ρ

0

1.53 * ρ0

) x 100 (10)

Donde:

MCH = Máximo contenido de humedad (%)


El porcentaje de pared celular se calculó con la fórmula (Tamarit-Urias y Fuentes-

Salinas, 2003):

PC = ( ρ

0

1.53 ) x 100 (11)

Donde:

PC = Porcentaje de pared celular (%)


El porcentaje de espacios vacíos se calculó con la fórmula (Tamarit-Urias y Fuentes-

Salinas, 2003):

EV = (1 - ρ

0

1.53 ) x 100 (12)


15

Donde:

EV = Porcentaje de espacios vacíos (%)


El contenido de humedad de la madera se calculó con la fórmula (Sotomayor-

Castellanos y Ramírez-Pérez, 2013):

CH = ( W1- W2

W2

) x 100 (13)

Donde:

CH = Contenido de humedad (%)

W1 = Peso de la probeta en estado saturado (kg)

W2 = Peso de la probeta en estado anhidro (kg)

La velocidad de hidratado se calculó con la fórmula:

vh = CHini - CHmax

thid

(14)

Donde:

vh = Velocidad de hidratado (% / h)

CHini = Contenido de humedad inicial (%)

CHmax = Contenido de humedad máximo después de 72 horas de hidratado (%)

thid = Tiempo de hidratado (h)


16

Resultados y análisis

La Tabla 1 presenta los resultados experimentales de la densidad, de la

higrocontracción volumétrica y del coeficiente de higrocontracción volumétrica.

Además, ahí se presentan los parámetros estimados empleando las fórmulas

propuestas en la sección de metodología.

Los valores promedio de los parámetros calculados son del mismo orden de

magnitud que los de los datos para maderas mexicanas presentados anteriormente

por Fuentes-Salinas (2000), Bárcenas-Pazos y Dávalos-Sotelo (2001), Tamarit-

Urias y Fuentes-Salinas (2003), De la Paz Pérez-Olvera y Dávalos-Sotelo (2008),

Silva-Guzmán (2008), Silva-Guzmán et al. (2010) y Sotomayor-Castellanos y

Ramírez-Pérez (2013).

La relación de anisotropía βT/βR fue de 1.83 para todas las especies y califica como

media. Este resultado es común a todas las maderas por el hecho de que estos

parámetros fueron calculados con las ecuaciones (1) y (2), las cuales son

proporcionales entre sí.

Los coeficientes de variación de los parámetros de las doce especies son

proporcionales a los coeficientes propuestos para la densidad y las características

higroscópicas de maderas mexicanas propuestas por Sotomayor-Castellanos y


Un análisis de regresión entre diferentes parámetros observados aportó los

siguientes resultados:

- Las contracciones tangencial y radial no correlacionan con la densidad básica.

- El punto de saturación de la fibra disminuye a medida que la densidad aumenta

linealmente con un coeficiente de determinación (R2) de 0.45.


17

- El máximo contenido de humedad y los espacios vacíos disminuyeron cuando la

densidad básica aumentó en una correlación exponencial con un coeficiente de

determinación (R2) de 0.99.

El análisis subsiguiente comprende dos enfoques. El primero hace uso de los

criterios de clasificación propuestos por (Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez,

2013). El segundo por el criterio de agrupamiento de cuadrantes, propuesto en esta

investigación.

La Tabla 2 presenta la clasificación para cada uno de los parámetros de las doce

especies estudiadas. Esta categorización está fundamentada en los criterios de

valoración para características higroscópicas propuestos por Sotomayor-

Castellanos y Ramírez-Pérez (2013). Los valores de los intervalos de los criterios

de clasificación se presentan en la Tabla 3.

Criterio de agrupamiento de especies

La Figura 2 presenta los resultados de la contracción volumétrica de esta

investigación y del punto de saturación de la fibra, ambos con su localización relativa

respecto a datos de Bárcenas-Pazos (1985) y Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas

(2003). Los resultados están ordenados en función de la densidad de la madera.

Dado que existen valores iguales o similares, aparentemente en el gráfico no se

muestran todos los valores y/o puntos correspondientes a los autores referidos. Este

efecto de escala aplica de igual forma para la Figura 3. Los puntos señalados como

resultados de esta investigación representan los valores promedio para cada una

de las doce especies aquí estudiadas.

Con el objeto de simplificar la consulta de la Figura 2, solo se presenta al primer

autor y el año de publicación del documento consultado. La información completa

de la citas se puede encontrar en la sección de referencias.


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Tabla 1. Características físicas.

Nombre botánico (Nombre común) Número de probetas

ρ0 PSF βT λT βR λR βV λV MCH PC EV

kg/m3 % % %/% % %/% % %/% % & %

Gyrocarpus americanus (Rabalero) 41

x̅ 350 27.63 6.80 0.25 3.71 0.14 8.68 0.31 221 22.9 77.1

σ 22 4.41 0.19 0.04 0.10 0.02 1.31 0.02 18 1.47 1.47

CV 0.06 0.16 0.03 0.16 0.03 0.16 0.15 0.06 0.08 0.06 0.02

Swietenia macrophylla (Caoba) 16

x̅ 422 24.87 7.39 0.30 4.04 0.17 9.44 0.38 172 27.6 72.4

σ 17 3.94 0.13 0.05 0.07 0.03 1.50 0.02 9.68 1.10 1.10

CV 0.04 0.16 0.02 0.17 0.02 0.17 0.16 0.04 0.06 0.04 0.02

Enterolobium cyclocarpum (Parota) 40

x̅ 469 16.38 7.74 0.50 4.23 0.27 6.92 0.42 148 30.7 69.3

σ 19 3.46 0.14 0.15 0.08 0.08 1.47 0.02 8.78 1.26 1.26

CV 0.04 0.21 0.02 0.30 0.02 0.30 0.21 0.04 0.06 0.04 0.02

Cedrela odorata (Cedro rojo) 40

x̅ 472 22.96 7.75 0.35 4.23 0.19 9.63 0.42 148 30.8 69.2

σ 43 4.26 0.31 0.08 0.17 0.04 1.33 0.04 19.61 2.83 2.83

CV 0.09 0.19 0.04 0.22 0.04 0.22 0.14 0.09 0.13 0.09 0.04

Juglans pyriformis (Nogal) 35

x̅ 546 19.87 8.27 0.48 4.52 0.26 9.71 0.49 118 35.7 64.3

σ 35 4.66 0.24 0.12 0.13 0.07 2.10 0.03 12.60 2.30 2.30

CV 0.06 0.23 0.03 0.25 0.03 0.25 0.22 0.06 0.11 0.06 0.04

Lysiloma spp. (Tzalam) 38

x̅ 568 23.28 8.38 0.38 4.58 0.21 11.48 0.51 119 37.1 62.9

σ 112 5.08 0.75 0.11 0.41 0.06 1.53 0.10 41.56 7.29 7.29

CV 0.20 0.22 0.09 0.29 0.09 0.29 0.13 0.20 0.35 0.20 0.12

Swietenia humillis (Cóbano) 16

x̅ 639 11.91 8.87 0.77 4.84 0.42 6.85 0.58 91 41.8 58.2

σ 16 2.12 0.10 0.14 0.05 0.07 1.20 0.01 4.06 1.07 1.07

CV 0.03 0.18 0.01 0.18 0.01 0.18 0.17 0.03 0.04 0.03 0.02

Caesalpinia platyloba (Chilillo) 19

x̅ 683 20.60 9.13 0.45 4.99 0.24 12.7 0.61 8 44.7 55.3

σ 34 1.87 0.20 0.05 0.11 0.03 0.82 0.03 7.63 2.24 2.24

CV 0.05 0.09 0.02 0.11 0.02 0.11 0.06 0.05 0.09 0.05 0.04

Celeanodendron mexicanum (Guayabillo) 16

x̅ 692 17.81 9.18 0.58 5.02 0.32 11.00 0.62 80 45.2 54.8

σ 48 4.60 0.27 0.27 0.15 0.15 2.66 0.04 9.34 3.11 3.11

CV 0.07 0.26 0.03 0.46 0.03 0.46 0.24 0.07 0.12 0.07 0.06

Quercus spp. (Encino) 32

x̅ 702 23.71 9.24 0.40 5.05 0.22 14.91 0.63 78 45.8 54.2

σ 48 3.29 0.28 0.06 0.15 0.03 1.87 0.04 9.89 3.15 3.15

CV 0.07 0.14 0.03 0.15 0.03 0.15 0.13 0.07 0.13 0.07 0.06

Albizia plurijuga (Parotilla) 16

x̅ 773 13.93 9.64 0.72 5.27 0.39 9.67 0.70 64 50.5 49.5

σ 26 2.68 0.14 0.16 0.08 0.09 1.77 0.02 4.33 1.71 1.71

CV 0.03 0.19 0.01 0.22 0.01 0.22 0.18 0.03 0.07 0.03 0.03

Platymiscium dimorphandrum (Hormiguillo) 23

x̅ 808 10.81 9.83 0.97 5.37 0.53 7.80 0.73 59 52.8 47.2

σ 52 2.85 0.28 0.25 0.15 0.14 1.79 0.05 7.86 3.38 3.38

CV 0.06 0.26 0.03 0.26 0.03 0.26 0.23 0.06 0.13 0.06 0.07

ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra; βT: Higrocontracción tangencial; λT: Coeficiente de higrocontracción tangencial; βR: Higrocontracción radial; λR: Coeficiente de higrocontracción radial; βV: Higrocontracción volumétrica; λV: Coeficiente de higrocontracción volumétrica; MCH: Máximo contenido de humedad; PC: Porcentaje de

pared celular; EV: Porcentaje de espacios libres; x̅: Media aritmética; σ: Desviación estándar; CV: Coeficiente de variación.


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Tabla 2. Clasificación de la densidad y características higroscópicas de maderas

mexicanas de acuerdo a los criterios propuestos por Sotomayor-Castellanos y


Nombre botánico ρ0 PSF βT λT βR λR βV λV MCH PC EV

Gyrocarpus americanus MB ME ME MB BA BA MB MB MA MB MA

Swietenia macrophylla MB AL ME ME BA BA MB BA MA MB MA

Enterolobium cyclocarpum BA MB ME MA ME AL MB ME AL BA AL

Cedrela odorata BA ME ME ME ME ME MB ME AL BA AL

Juglans pyriformis ME MB ME MA ME AL MB ME ME ME ME

Lysiloma spp. ME ME ME AL ME ME BA ME ME ME ME

Swietenia humillis ME MB ME MA ME MA MB AL ME ME ME

Caesalpinia platyloba ME BA ME MA ME ME ME AL BA ME ME

Celeanodendron mexicanum AL MB AL MA ME MA BA AL BA AL BA

Quercus spp. AL ME AL AL ME ME AL MA BA AL BA

Albizia plurijuga AL MB AL MA ME MA MB MA BA AL BA

Platymiscium dimorphandrum MA MB AL MA ME MA MB MA MB MA MB

MB: Muy bajo; BA: Bajo; ME: Medio; AL: Alto; MA: Muy alto; ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra; βT: Higrocontracción tangencial; λT: Coeficiente de higrocontracción tangencial; βR: Higrocontracción radial; λR: Coeficiente de higrocontracción radial; βV: Higrocontracción volumétrica; λV: Coeficiente de higrocontracción volumétrica; MCH: Máximo contenido de humedad; PC: Porcentaje de pared celular; EV: Porcentaje de espacios libres.

Tabla 3. Valores de los intervalos de los criterios de clasificación para la densidad y

las características higroscópicas de maderas mexicanas (Sotomayor-Castellanos y

Ramírez-Pérez, 2013).

Intervalo Límites ρ0 PSF βT λT βR λR βT/βR βV λV MCH PC EV

Muy bajo Máximo 428 20.15 5.44 0.22 3.35 0.13 1.40 10.05 0.33 59.36 27.94 49.02

Bajo Inferior 428 20.15 5.44 0.22 3.35 0.13 1.40 10.05 0.33 59.36 27.94 49.02

Superior 516 22.79 6.69 0.27 4.12 0.17 1.66 11.66 0.41 87.40 33.70 54.78

Medio Inferior 516 22.79 6.69 0.27 4.12 0.17 1.66 11.66 0.41 87.40 33.70 54.78

Superior 692 28.06 9.17 0.37 5.67 0.25 2.19 14.87 0.55 143.48 45.22 66.30

Alto Inferior 692 28.06 9.17 0.37 5.67 0.25 2.19 14.87 0.55 143.48 45.22 66.30

Superior 780 30.70 10.41 0.43 6.44 0.29 2.46 16.48 0.62 171.52 50.98 72.06

Muy alto Mínimo 780 30.70 10.41 0.43 6.44 0.29 2.46 16.48 0.62 171.52 50.98 72.06

ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra; βT: Higrocontracción tangencial; λT: Coeficiente de higrocontracción tangencial; βR: Higrocontracción radial; λR: Coeficiente de higrocontracción radial; βV: Higrocontracción volumétrica; λV: Coeficiente de higrocontracción volumétrica; MCH: Máximo contenido de humedad; PC: Porcentaje de pared celular; EV: Porcentaje de espacios libres.


20

Siguiendo la propuesta metodológica de Ashby (1999), en la Figura 2 se observan

dos áreas de agrupamiento señaladas por líneas discontinuas. Las mayores o

globales, las cuales circunscriben a los valores de Bárcenas-Pazos (1985) y de

Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003), y las interiores o delimitadas, que agrupan

a los valores correspondientes a esta investigación.

No obstante que la distribución de la densidad básica de las especies en estudio se

extiende desde 300 kg/m3 hasta 800 kg/m3, los valores correspondientes de la

contracción volumétrica y del punto de saturación de la fibra, se sitúan en la parte

inferior de las áreas mayores correspondientes a los datos bibliográficos.

Este enfoque gráfico de comparación de resultados, tiene la ventaja de ser práctico

y de mostrar que los resultados obtenidos son comparables con los de trabajos

anteriores. Sin embargo, no orientan al Diseñador y al Ingeniero con información

más precisa y/o con criterios para una correcta selección de una especie o grupo

de maderas para su empleo en la concepción de productos utilitarios y de

estructuras de madera. En el mismo contexto, para fines de agrupación en la

transformación, la comercialización y el uso de maderas con características

equivalentes, es necesario proporcionar información complementaria.

La Figura 3 propone criterios de clasificación basados en la correlación entre

parámetros dependientes y complementados por la segmentación de la distribución

estadística de los valores de la variable independiente, en este caso la densidad.

El dominio de la variable dependiente, tabulada en el eje de las abscisas, está

dividido a partir de la media aritmética, calculada del total de los valores de

referencia colectados en la etapa experimental, y segmentada por la desviación

estándar correspondiente. El dominio correspondiente a las variables dependientes

tabuladas en el eje de las coordenadas, en este caso la contracción volumétrica y

el punto de saturación de la fibra, está segmentado por la correlación, en este caso


21

lineal, entre estas variables y la dependiente. De tal suerte, que con la combinación

de segmentaciones se forman cuatro cuadrantes.

Figura 2. Resultados de esta investigación de la contracción volumétrica (βv) y del

punto de saturación de la fibra (PSF) en función de la densidad básica (ρ0) y su

localización respecto a datos de Bárcenas-Pazos (1985) y Tamarit-Urias y Fuentes-

Salinas (2003).

0

5

10

15

20

25

0 200 400 600 800 1,000 1,200

βV

(%)

ρ0 (kg/m3)

Bárcenas (1985)

Tamarit (2003)

Esta investigación (2014)

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1,000 1,200

PS

F

(%)

ρ0 (kg/m3)

Bárcenas (1985)

Tamarit (2003)

Esta investigación (2014)


22

Los valores experimentales se pueden entonces agrupar según su posición en

alguno de estos cuadrantes. La línea divisoria correspondiente a la media aritmética

(x̅) de la densidad básica (ρ0), las líneas asociadas a más y a menos una vez la

desviación estándar (+σ y –σ), las correlaciones lineales, así como las áreas de

agrupamiento son presentadas en la Figura 3. En este caso, los valores con los

cuales se calcularon los estadígrafos referidos, corresponden a datos de las 332

probetas de las doce especies estudiadas, los cuales conforman una base de datos

experimentales derivada de esta investigación.

Una vez situadas las maderas en el segmento correspondiente, a cada especie o

grupo de maderas se les asigna una clasificación. Por ejemplo, la Tabla 4 propone

los criterios de selección Densidad-Higrocontracción volumétrica para la

elaboración y empleo de elementos estructurales para edificaciones de madera.

Como resultado, la columna Especie agrupa las maderas con clasificaciones que

van desde un empleo no recomendable, hasta óptimo.

Las reglas que explican los criterios en la Tabla 4 son las siguientes: la densidad se

considera alta si es mayor que el valor de la media aritmética. La higrocontracción

clasifica como alta para valores mayores que los estimados por la ecuación de

regresión. Si se considera que la densidad de la madera es un indicador de las

propiedades de elasticidad y de resistencia mecánica (Bodig y Jayne, 1982), la

mejor (óptima) relación higrocontracción-densidad se sitúa en el cuadrante 4: menor

higrocontracción y mayor densidad.

Los índices anteriores, se proponen para el caso de un destino industrial

especializado de una especie de madera, como la elaboración de componentes

para estructuras de madera, se prefiere una alta densidad combinada con una

higrocontracción mínima.


23

Figura 3. Relaciones contracción volumétrica (βV)-densidad básica (ρ0): βV = 0.0055

ρ0 + 6.7 y punto de saturación de la fibra (PSF) - densidad básica (ρ0): PSF = -0.02

ρ0 + 34.2 y áreas de agrupamiento. Los puntos negros corresponden a 332 probetas

ensayadas en la investigación. Como existen valores iguales o similares, por un

efecto de escala, aparentemente en el gráfico no se muestran todos los valores. x̅ :

Media aritmética, σ: Desviación estándar.

0

5

10

15

20

300 400 500 600 700 800 900

βV

(%)

ρ (kg/m3)

332 probetas de 12especies

Promedios por especie

Cuadrante 2

Cuadrante 3 Cuadrante 4

βV = f (ρ0)

x̅

+σ-σ

0

10

20

30

40

300 400 500 600 700 800 900

PS

F

(%)

ρ (kg/m3)

332 probetas de 12especies

Promedios por especie

Cuadrante 2

Cuadrante 4

x̅

-σ +σ

Cuadrante 1

Cuadrante 3

PSF = f (ρ0)

Cuadrante 1


24

Tabla 4. Criterios de selección Densidad (ρ0) - Higrocontracción volumétrica (βV)

para el empleo de una especie de madera en elementos estructurales en la industria

de la edificación.

Parámetros de criterio Cuadrante Clasificación

Especie ρ0 βV

Baja resistencia mecánica

Alta variación dimensional

Cuadrante 1 No recomendable

Gyrocarpus americanus Swietenia macrophylla Cedrela odorata Juglans pyriformis Lysiloma spp.

Alta resistencia mecánica

Alta variación dimensional

Cuadrante 2 Aceptable

Caesalpinia platyloba Celeanodendron mexicanum Quercus spp.


Baja variación dimensional

Cuadrante 3 Recomendable



Baja variación dimensional

Cuadrante 4 Óptima

Swietenia humillis Albizia plurijuga Platymiscium dimorphandrum

ρ0: Densidad básica; βV: Contracción volumétrica.

La Tabla 5 propone los criterios de selección Densidad-Punto de saturación de la

fibra para la elaboración y empleo de elementos estructurales para edificaciones de

madera. Al igual que en la Tabla 4, la columna Especie agrupa las maderas con

clasificaciones que van desde no recomendable, hasta óptima.

Las reglas que explican los criterios en la Tabla 5 son las siguientes: la densidad se

considera alta si es mayor que el valor de la media aritmética. El punto de saturación

de la fibra clasifica como alto para valores mayores que los estimados por la

ecuación de regresión. Si se considera que el punto de saturación de la fibra es un

indicador de la dificultad para tratamientos de secado y de preservación, la mejor

(óptima) relación punto de saturación de la fibra-densidad se sitúa en el cuadrante

4: menor higrocontracción y mayor densidad.


25

En congruencia de los criterios anteriores de la Tabla 4, las reglas anteriores, se

proponen para el caso de un destino industrial especializado de una especie de

madera, como la elaboración de componentes para estructuras de madera, donde

se prefiere una alta densidad combinada con un bajo punto de saturación de la fibra.

Tabla 5. Criterios de selección Densidad (ρ0) - Punto de saturación de la fibra (PSF)

para el empleo de una especie de madera en elementos estructurales en la industria

de la edificación.

Parámetro de criterio Cuadrante Clasificación

Especie ρ0 PSF


Alto punto de saturación de la fibra

Cuadrante 1 No recomendable

Gyrocarpus americanus Swietenia macrophylla Cedrela odorata Lysiloma spp.


Alto punto de saturación de la fibra

Cuadrante 2 Aceptable

Quercus spp. Caesalpinia platyloba Celeanodendron mexicanum


Bajo punto de saturación de la fibra

Cuadrante 3 Recomendable

Juglans pyriformis Enterolobium cyclocarpum


Bajo punto de saturación de la fibra

Cuadrante 4 Óptimo

Albizia plurijuga Swietenia humillis Platymiscium dimorphandrum

ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra.

Si se hace abstracción de los aspectos económicos y de preferencias estéticas del

proyecto de diseño y de ingeniería, el Diseñador y/o el Ingeniero necesitan tomar

en cuenta las propiedades y/o aptitudes para el maquinado, estabilizado y

protección de una especie determinada. De tal forma, que las tablas 4 y 5 pueden

ser diferentes para otras características y especies y necesitan complementarse con

los criterios de clasificación de la resistencia mecánica de la madera.

Es importante señalar que, entre las características higroscópicas de la madera, los

coeficientes higroscópicos y la relación de anisotropía son considerados como los


26

más importantes para la valoración de una especie, de acuerdo con Bárcenas-

Pazos (1985) y Silva-Guzmán et al. (2010).

Velocidad de hidratado

La Figura 4, esquematiza la velocidad de hidratado para cada una de las especies

estudiadas. Un análisis de correlación de tipo potencia demostró que la velocidad

de hidratado de la madera disminuye a medida que su densidad aumenta, con un

coeficiente de determinación (R2) de 0.47 para un nivel de confianza del 95 %. En

efecto, una especie más pesada requiere más tiempo para absorber humedad.

Un análisis de regresión entre las velocidades de hidratado y de deshidratado en

función de la densidad básica aportó los siguientes resultados: La velocidad de

hidratado disminuye cuando la densidad aumenta con una correlación exponencial

con un coeficiente de determinación (R2) de 0.49 para un 95 % de confianza.

Igualmente, la velocidad de deshidratado de la madera disminuye con una

correlación exponencial con un coeficiente de determinación de 0.53

proporcionalmente al aumento de la densidad.

Figura 4. Velocidad de hidratado (vh) para las 12 especies estudiadas.

0.20

0.22

0.35

0.38

0.42

0.46

0.47

0.49

0.49

0.51

0.72

1.03

Switenia humillis

Platymiscium dimorphandrum

Albizia plurijuga

Celeanodendron mexicanum

Swietenia macrophylla

Juglans pyriformis

Cedrela odorata

Lysiloma spp

Quercus obtusata

Quercus spp



vh (% / h)


27

La Figura 5a presenta la tendencia de la velocidad de hidratado en función del

coeficiente de higrocontracción volumétrica. La correlación es de tipo potencia con

un coeficiente de determinación bajo, aún para relaciones entre parámetros físicos

de la madera, en las cuales los coeficientes de determinación considerados

deseables para fines de predicción, se sitúan alrededor de 0.7 de acuerdo con Bodig

y Jayne (1982). Sin embargo, esta correspondencia permite observar que a mayor

capacidad para absorber agua, la madera requiere mayor tiempo para hidratarse,

pero esta velocidad es específica para cada especie.

Caso excepcional es Gyrocarpus americanus, especie que presenta una velocidad

de hidratado comparativamente mayor que las especies estudiadas. De acuerdo a

los criterios de selección en función de la densidad, la higrocontracción volumétrica

y el punto de saturación de la fibra, esta madera clasifica como no recomendable

(Tablas 4 y 5). Es decir, una madera que se hidrata rápidamente puede denotar una

densidad baja, un alto punto de saturación de la fibra y una alta variación

dimensional. De aquí que se puede intuir que si una especie tiene alta velocidad de

hidratado, presentará dificultades una vez en condiciones de servicio, en el caso de

estudio, para su correcto funcionamiento como elemento estructural.

Por su parte, Albizia plurijuga, Swietenia humillis y Platymiscium dimorphandrum se

sitúan en una posición opuesta de Gyrocarpus americanus, con los valores más

bajos de velocidad de hidratado, resultado que se relaciona con altas densidades,

baja variación dimensional y bajo punto de saturación de la fibra (Tablas 4 y 5),

resultado que coincide con el hecho de que este grupo de maderas se sitúa en los

cuadrantes 4 de las Figuras 3a y 3b, y clasifican como óptimas según las Tablas 4

y 5. En decir, una magnitud baja del parámetro vh, sugiere especies con buena

resistencia mecánica y buena estabilidad dimensional, en este caso, propiedades

deseables para una especie de madera en usos como elementos estructurales.

Con respecto a la velocidad de hidratado como variable dependiente del punto de

saturación de la fibra, la Figura 5b presenta la correlación de tipo potencia con un


28

coeficiente de determinación R2 = 0.56 para un 95 % de confianza. En este caso, la

correspondencia entre estas variables sugiere que a mayor PSF, la velocidad vh

aumenta. En efecto, un PSF mayor corresponde a un menor porcentaje de pared

celular (Figura 6a) y en consecuencia, a un mayor porcentaje de espacios vacíos

en la madera (Figura 6b).

Figura 5. Velocidad de hidratado de la madera en función de: a) Coeficiente de

higrocontracción volumétrica (λV); y b) Punto de saturación de la fibra (PSF). R2:

Coeficiente de determinación para un 95 % de confianza.

Gyrocarpus americanusvh = 0.1977 λV -1.2

R² = 0.49

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

vh

(% / h

)

λβV (%/%)

Swietenia humillisAlbizia plurijugaPlatymiscium dimorphandrum

a)

Gyrocarpus americanusvh = 0.0171 PSF 1.11

R² = 0.56

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 5 10 15 20 25 30

vh

(% / h

)

PSF (%)


b)


29

Figura 6. a) Porcentaje de pared celular (PC) en función del punto de saturación de

la fibra (PSF). b) Porcentaje de espacios vacíos (EV) en función del contenido del

punto de saturación de la fibra (PSF). R2: Coeficiente de determinación para un 95

% de confianza.

De tal forma que el parámetro vh en función de λv y PSF, tiene la misma tendencia

que PC y EV en función de PSF. Gyrocarpus americanus se distingue y Albizia

plurijuga, Swietenia humillis y Platymiscium dimorphandrum se agrupan.


PC = 191.6 PSF -0.56

R² = 0.42

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30

PC

(%

)

PSF (%)


a)

Gyrocarpus americanusEV = 22.4 PSF 0.34

R² = 0.44

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30

EV

(%

)

PSF (%)


b)


30

En efecto, a mayor magnitud de los espacios vacíos (EV), mayor será la porosidad

del material. En consecuencia, menor velocidad de hidratado y en consecuencia

mayor dificultad para tratamientos de secado y de impregnación con substancias de

protección.

El volumen de espacio vacío interno por unidad de volumen externo que caracteriza

a cada especie de madera, predice el volumen máximo de solución preservante que

es capaz de absorber. Conociendo esto, se puede variar la concentración de la

solución preservante para que se logren los niveles de retención óptimos, siguiendo

a Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003).

La velocidad de hidratado es un parámetro que informa acerca de la permeabilidad

de una madera. Una velocidad de hidratado alta sugiere facilidad para procesos de

impregnado en medios y/o con procesos acuosos. Sin embargo, para definir mejor

esta característica con su impacto en procesos industriales de estabilización

higroscópica, es necesario considerar el fenómeno de absorción en los diferentes

escalas jerárquicas de su estructura anatómica y los fenómenos de transporte que

afectan la velocidad de hidratado de acuerdo con Eitelberger, Svensson y Hofstetter

(2011).

La Figura 7a presenta la relación de la velocidad de hidratado en función del

porcentaje del máximo contenido de humedad. En ella se puede observar entre

estas dos variables una correlación con un coeficiente de determinación bajo pero

que indica que cuando el máximo contenido de humedad de una madera aumenta,

su velocidad de hidratado se incrementa. Por su parte, Gyrocarpus americanus se

distingue del grupo de especies estudiadas. Un análisis de correlación múltiple

resultó en un aumento del coeficiente de determinación obtenido de la correlación

simple entre vh y MCH (R2 = 0.48, Figura 7a) a R2 = 0.63 para un nivel de confianza

del 95 %, con el modelo: Vh = -0.0244 + 0.01 PSF + 0.0027 MCH. En efecto, si se

combinan los resultados presentados en la Figura 5b, se deduce que en una madera


31

que puede contener más agua y que tiene un punto de saturación alto, la velocidad

para absorber humedad será mayor.

Figura 7. Velocidad de hidratado de la madera en función de: a) Máximo contenido

de humedad (MCH); y b) Porcentaje de pared celular (PC) y porcentaje de espacios

libres (EV). R2: Coeficiente de determinación para un 95 % de confianza.

La Figura 7b presenta la relación de la velocidad de hidratado en función del

porcentaje de pared celular y del porcentaje de espacios libres. Las tendencias

Gyrocarpus americanusvh = 0.0133 MCH 0.75

R² = 0.48

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 50 100 150 200 250

vh

(% / h

)

MCH (%)a)


vh = 34.2 PC -1.2

R² = 0.49vh = 0.0001 EV 1.95

R² = 0.46

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 20 40 60 80 100

vh

(% / h

)

PC (%), EV (%)

PC

EV

b)


32

representadas por las correlaciones entre estas variables convergen hacia valores

de la velocidad de hidratado entre 0.2 a 0.4.

Combinando los resultados presentados en la Tabla 1 y los de la Figura 7b, se

deduce que cuando la densidad de las especies estudiadas es superior a 600 kg/m3

y presentan velocidades de hidratado bajas, el punto de saturación de la fibra tiende

a valores mínimos y los porcentajes de pared celular y de espacios libres fluctúan

alrededor del 50 %.

Conclusiones

Se determinaron la densidad y las características higroscópicas de doce maderas

mexicanas y se plantearon criterios de clasificación para la densidad y para las

características higroscópicas.

Se propuso un enfoque racional basado, en este caso de estudio, en las

propiedades físicas, para la apreciación de una especie de madera en diseño e

ingeniería.

Los criterios estadísticos y de agrupación de especies propuestos fueron de utilidad

para clasificar la densidad y las características higroscópicas de 12 especies de

madera.

Agradecimientos

A los alumnos de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, de la

UMSNH: Emerson Cárdenas Casas y Juan José Hernández Solís por recolectar y

donar el material experimental, y a Luis Fernando Lechuga Bistre por colaborar en

la preparación de las probetas. La investigación estuvo patrocinada por la

Coordinación de la Investigación Científica, de la Universidad Michoacana de San

Nicolás de Hidalgo.


33

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http://www.researchgate.net/profile/Javier_Ramon_Sotomayor_Castellanos2/publications





36

Desarrollo de la fórmula para calcular el módulo de elasticidad

de la madera en pruebas de flexión

Javier Ramón Sotomayor Castellanos1

Joel Benancio Olguín Cerón2

Este trabajo tiene por objetivo presentar el desarrollo teórico del comportamiento en

flexión de vigas llamadas de Timoshenko. Este enfoque se aplica para vigas

solicitadas en flexión tres puntos, donde se consideran los esfuerzos cortantes

internos en las vigas. En contraste, se puede también utilizar la perspectiva del

análisis de vigas de Euler-Bernoulli, el cual se emplea para el análisis de vigas y

probetas de madera solicitadas en flexión simple, es decir, cuando no se consideran

los esfuerzos cortantes desarrollados al interior de los especímenes en estudio.

La ecuación desarrollada es equivalente a la ecuación propuesta en las normas de

la Asociación Americana de Métodos y Materiales (ASTM, 2009), la Organización

Internacional para la Normalización (ISO, 1975) y utilizada entre otros por Bodig y

Jayne (1982), para determinar módulos de elasticidad en probetas de madera.

Para establecer la fórmula para calcular el módulo de elasticidad de la madera,

realizando pruebas de flexión, se propone partir de las ecuaciones constitutivas y

del análisis de equilibrio de momentos y fuerzas presentes en la probeta. Como

hipótesis que facilite el análisis, la probeta o viga en estudio se modela como una

viga con forma de paralelepípedo, de geometría uniforme y estructuralmente

homogénea, sometida a flexión transversal sobre apoyos simples, e idealizando a

la madera como un material elástico y de medio continuo.

Para el desarrollo de las ecuaciones constitutivas y el establecimiento de las

fórmulas de aplicación práctica, se sintetizó la información de los siguientes autores:

1 Profesor, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, [email protected] 2 Exalumno, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, [email protected]


37

Biblis (1965), Bodig y Jayne (1982), Görlacher (1984), Hernández Maldonado

(2010), Newlin y Trayer (1956), Timoshenko (1955) y Villaseñor Aguilar (2007). El

texto está sustentado en la Tesis de Maestría de Olguín Cerón (2011).

Ecuación constitutiva

El desplazamiento transversal (deflexión) w(x) bajo cargas estáticas en una viga

uniforme de Euler-Bernoulli, es presentado en la Figura 1a. Este sistema está regido

por la ecuación:

𝑬𝑰 𝒅

𝒅𝒙 𝒘(𝒙) = 𝒇(𝒙) 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳

(1)

Donde:

𝑬 = Módulo de elasticidad.

𝑰 = Momento de inercia de la sección transversal de la viga.

𝑳 = Portada de flexión de la viga.

La función fuerza 𝒇(𝒙) para las cargas aplicadas sobre la viga, mostradas en la

Figura 1a, es de la forma:

𝒇(𝒙) = 𝒒(𝒙) + 𝒇𝟎 𝜹(𝒙 − 𝒙𝒇) − 𝝋 𝒅

𝒅𝒙 𝜹(𝒙 − 𝒙𝝋) (2)

Donde:

𝒒(𝒙) = Carga externa distribuida.

𝒇𝟎 = Fuerza puntual aplicada en 𝒙𝒇.

𝝋 = Momento aplicado en 𝒙𝝋.

𝒘(𝒙) = Deflexión del eje neutro de la viga.

𝜹 = Función delta de Dirac:

𝜹 = {∞, 𝒙 = 𝟎

𝟎, 𝒙 ≠ 𝟎


38

Figura 1. a) Diagrama de cargas y deflexión de una viga en flexión. b) Segmento

infinitesimal de la viga (Olguín Cerón, 2011).

L

a)

EI

b)

y

x

q(x)

f0

θ

xf xφ

φ

θ

R

x

y

R

dθ

a

a

ds

θ y

Eje neutro de la viga

w(x)


39

En la ecuación (2), en la Figura 1 y en adelante, el desplazamiento de la viga y las

fuerzas transversales puntuales o distribuidas son positivos cuando su dirección es

hacia arriba. Igualmente, el momento aplicado es positivo cuando va en dirección

contraria a las manecillas del reloj.

Condiciones de frontera

Las condiciones de frontera de la viga son:

En el extremo izquierdo:

𝑩𝟎𝟏 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝟎 = 𝜶𝟏 𝑩𝟎𝟐 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝟎 = 𝜶𝟐

(3)

En el extremo derecho:

𝑩𝑳𝟏 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝑳 = 𝜷𝟏 𝑩𝑳𝟐 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝑳 = 𝜷𝟐

(4)

Donde 𝑩𝟎𝟏, 𝑩𝟎𝟐, 𝑩𝑳𝟏 y 𝑩𝑳𝟐 son operadores espaciales diferenciales, y 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜷𝟏 y

𝜷𝟐 representan perturbaciones asociadas a las condiciones de frontera: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 =

𝑳.

Caracterización de la viga

La respuesta estática de la viga se define por:

Desplazamiento (deflexión transversal): 𝒘(𝒙) (5)

Rotación (pendiente): 𝜽(𝒙) = 𝒅

𝒅𝒙 𝒘(𝒙) (6)


40

Momento de flexión: 𝑴(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅𝟐

𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (7)

Cortante: 𝑸(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅𝟑

𝒅𝒙𝟑 𝒘(𝒙) (8)

En las relaciones (7) y (8), el momento de flexión 𝑴(𝒙) y la cortante 𝑸(𝒙), son

fuerzas internas en la viga.

Reacciones en los soportes

En las fronteras del dominio 0 ≤ x ≤ L de la portada de flexión, se ejercen momentos

y fuerzas de reacción a la viga cuando está sujeta a momentos y fuerzas externas

(Figuras 1a y 2). Estas reacciones soportan a la viga y de esta forma, la equilibran

con respecto a las fuerzas externas aplicadas. Por esta razón, estas condiciones de

frontera son también llamadas soportes.

Estas reacciones están representadas por:

𝑴𝒄 = − 𝑬𝑰 𝒅𝟐

𝒅𝒙𝟐 (𝟎) 𝑹𝒄 = 𝑬𝑰

𝒅𝟑

𝒅𝒙𝟑 (𝟎) En el apoyo izquierdo (x = 0) (9)

𝑴𝒄 = 𝑬𝑰 𝒅𝟐

𝒅𝒙𝟐 (𝑳) 𝑹𝒄 = − 𝑬𝑰

𝒅𝟑

𝒅𝒙𝟑 (𝑳) En el apoyo derecho (x = L) (10)

El problema fundamental en el análisis estático de una viga de Euler-Bernoulli, es

el siguiente: Dadas las fuerzas externas sobre una viga y sus condiciones de

frontera, determinar la respuesta de la viga en términos de desplazamiento,

rotación, momento de flexión y cortante. Esta respuesta es gobernada por la

ecuación (1) y las condiciones de frontera señaladas por las relaciones (3) y (4).


41

Hipótesis de las vigas de Euler-Bernoulli.

Las hipótesis simplificadoras para el estudio de una viga de Euler-Bernoulli son:

a) Hipótesis cinemática: las secciones planas de la viga, normales a su eje neutro,

permanecen planas después de que la viga es deformada en flexión.

b) Hipótesis de elasticidad lineal: en estado de deformación, el esfuerzo normal y la

deformación de la viga en su dirección longitudinal, satisfacen la ley de Hooke:

𝛔𝒙 = 𝑬 𝛆𝒙 (11)

Donde:

𝛔𝒙 = Esfuerzo normal a la dirección x.

𝛆𝒙 = Deformación unitaria en la dirección x.

c) Hipótesis de las pequeñas deflexiones: la viga es sometida a pequeñas

deformaciones, de tal forma que su rotación (Ecuación 6):

𝜽(𝒙) = 𝒅

𝒅𝒙 𝒘(𝒙) (6)

Es una cantidad insignificante en comparación con la unidad.

d) Hipótesis de la flexión simple: la viga es solicitada en flexión simple. Dado que el

momento de flexión es constante a lo largo de la portada de la viga, no se generan

esfuerzos internos cortantes en ningún segmento de la viga.


42

Curvatura del eje de la viga

De acuerdo a la hipótesis cinemática a), la deformación normal 𝛆𝒙, en un segmento

infinitesimal de fibra a-a de la viga, esquematizado en la Figura 1b, que se encuentra

a una distancia y del eje de la viga es expresada por:

𝛆𝒙 = − 𝛋 𝒚 (12)

Donde 𝛋, es la curvatura del eje de la viga y está dada por:

𝛋 = 𝟏

𝑹=

𝒅𝜽

𝒅𝒔=

𝒅𝟐

𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙)

[𝟏 + (𝒅

𝒅𝒙 𝒘(𝒙))

𝟐

]

𝟑𝟐

(13)

Donde R es el radio de curvatura del eje neutro de la viga (Figura 1b).

De acuerdo a la hipótesis c), de las pequeñas deflexiones:

|𝒅

𝒅𝒙 𝒘(𝒙)| « 𝟏 (14)

La ecuación (13) se reduce a:

𝛋 = 𝟏

𝑹=

𝒅𝟐

𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (15)

Relación Momento-Curvatura

De acuerdo a la hipótesis b), de la elasticidad lineal y empleando las ecuaciones

(12) y (15), el esfuerzo normal se define por:


43

𝛔𝒙 = − 𝑬 𝒚 𝒅𝟐

𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (16)

Por otra parte, de acuerdo a la hipótesis d), de la flexión simple, el momento de

flexión de la viga es:

𝑴(𝒙) = − ∫ 𝛔𝒙 𝒚 𝒅𝑨

𝑨

= 𝑬 𝒅𝟐

𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) ∫ 𝒚𝟐

𝑨

𝒅𝑨 = 𝑬𝑰𝒅𝟐

𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (17)

Donde: 𝑬𝑰 es la rigidez a la flexión de la viga, e I es el momento de inercia de la

sección transversal de la viga, en relación al eje z, de la Figura (2), y es equivalente

a:

𝑰 = ∫ 𝒚𝟐

𝑨

𝒅𝑨 (18)

De acuerdo a la Figura 2, el área A de la sección transversal de la viga, es definida

por su base b multiplicada por su altura h, es decir:

𝑨 = 𝒃 𝟐𝒚 (19)

Con: h = 2 y

Empleando la expresión (19), e integrando la ecuación (18) en función de y, el

momento de inercia I de la sección es:

𝑰 = 𝟐 ∫ 𝒃𝒚𝟐

𝑨

𝒅𝒚 = 𝟐 [𝒃𝒚𝟑

𝟑]

𝟎

𝒉𝟐

= 𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐 (20)


44

Figura 2. a) Diagrama de cuerpo libre de la viga. b) Diagrama de cortante. c)

Secciones deformadas. d) Distribución de esfuerzo corte. P: Carga (Olguín Cerón,

2011).

b

L/2

y

dA

τmax

h

L/2

P

y

x

P/2 P/2

P/2

- P/2

a)

c)

d)

y

x

Eje neutro de la viga

Secciones deformadas

b)

y1

z

y


45

Como corolario, y de acuerdo con las ecuaciones (15) y (16), la curvatura de la viga

y el esfuerzo normal están relacionados al momento de flexión M por las relaciones:

𝛋 = 𝟏

𝑹=

𝑴

𝑬𝑰 (21)

y

𝛔𝒙 = − 𝑴

𝑰 𝒚 (22)

Ecuaciones de equilibrio

Considerando un segmento infinitesimal dx, de la viga mostrada en la Figura 3, las

ecuaciones de balance de las fuerzas y los momentos aplicados al segmento son:

𝑸 + 𝒒𝒅𝒙 – (𝑸 + 𝒅𝑸) = 𝟎 (23)

− 𝑴 − 𝑸𝒅𝒙 – 𝒒𝒅𝒙 (𝒅𝒙

𝟐) + 𝑴 + 𝒅𝑴 = 𝟎 (24)

Considerando que 𝒅𝒙 → 𝟎, la ecuación (24) se reduce a:

𝒅𝑸(𝒙)

𝒅𝒙= 𝒇(𝒙) (25)

y

𝒅𝑴(𝒙)

𝒅𝒙= 𝑸(𝒙) (26)


46

Figura 3. Segmento infinitesimal de la viga (Olguín Cerón, 2011).

Combinando las ecuaciones (17), (25) y (26), se tiene:

𝒇(𝒙) =𝒅𝑸

𝒅𝒙=

𝒅𝟐𝑴

𝒅𝒙𝟐= 𝑬𝑰

𝒅𝟒𝒚

𝒅𝒙𝟒 (27)

Identificando el desplazamiento w(x) con la deflexión de la viga y, la ecuación (27)

es equivalente a la ecuación (1), por lo tanto:

𝑴 = 𝑬𝑰 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 (28a)

𝑸 = 𝑬𝑰 𝒅𝟑𝒚

𝒅𝒙𝟑 (28b)

Como corolario, las igualdades (28a) y (28b), se identifican a las ecuaciones (7) y

(8).

q(x)

dx

M M + dM Q

Q + dQ

y

x


47

Flexión tres puntos

Para el caso particular de una viga en flexión solicitada por una carga puntual a

mitad de su portada, es decir en flexión tres puntos, la deflexión total de la viga es

ocasionada por la fuerza del momento de flexión, combinada con la fuerza cortante.

Este enfoque es conocido como análisis de vigas de Timoshenko:

𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 = 𝒚𝑴 + 𝒚𝑸 (29)

Donde:

𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 = Deflexión total de la viga solicitada en medio de la portada.

𝒚𝑴 = Deflexión de la viga ocasionada por el momento de flexión.

𝒚𝑸 = Deflexión de la viga ocasionada por la fuerza cortante.

La deflexión 𝒚𝑴 se puede calcular a partir de la ecuación (28a):

𝑴 = 𝑬𝑰 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 (28a)

De acuerdo con el diagrama de cortante presentado en la Figura (2b), la ecuación

(28a), se puede escribir:

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐=

𝑴

𝑬𝑰 (30)

Con

𝑴 = − 𝑷𝒙

𝟐 (31)

Sustituyendo la ecuación (31) en la ecuación (30), se obtiene:

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐= −

𝑷𝒙

𝟐𝑬𝑰 (32)


48

E integrando la ecuación (32) se llega a:

𝒅𝒚

𝒅𝒙= −

𝑷𝒙𝟐

𝟒𝑬𝑰 + 𝑪𝟏 (33)

Donde:

𝑪𝟏 = Constante de integración.

Integrando la ecuación (33), se obtiene:

𝒚 = − 𝑷𝒙𝟑

𝟏𝟐𝑬𝑰 + 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐 34

Donde:

𝑪𝟐 = Constante de integración.

De acuerdo a la ecuación (6):

𝜽(𝒙) = 𝒅

𝒅𝒙 𝒘(𝒙) (6)

Y de conformidad a la Figura (2a), la pendiente de la viga es igual a:

𝒅𝒚

𝒅𝒙= −

𝑷𝒙𝟐

𝟒𝑬𝑰 + 𝑪𝟏 (33)

Al mismo tiempo, empleando la ecuación (33), para 𝒙 = 𝑳/2, donde la pendiente es

nula, se obtiene:

𝑪𝟏 = 𝑷 𝑳𝟐

𝟏𝟔 𝑬𝑰 (35)

De acuerdo a la ecuación (1), la deflexión y de la viga en 𝒙 = 𝟎, es igualmente nula,

y recurriendo a la ecuación (34), se obtiene:


49

𝑪𝟐 = 𝟎 (36)

De tal forma que la deflexión total de la viga a la mitad de su portada es:

𝒚 = − 𝑷𝒙𝟑

𝟏𝟐𝑬𝑰+

𝑷𝑳𝟐𝒙

𝟏𝟔𝑬𝑰 (37)

Sustituyendo en la ecuación (37), x por 𝑳/2, se llega a:

𝒚 = − 𝑷𝑳𝟑

𝟒𝟖𝑬𝑰+

𝟐𝑷𝑳𝟑

𝟒𝟖𝑬𝑰 (38)

Simplificando, se obtiene:

𝒚 = 𝑷𝑳𝟑

𝟒𝟖𝑬𝑰 (39)

La deflexión y en la fórmula (39), equivale a la deflexión de la viga 𝒚𝑴, en la ecuación

(29), ocasionada por el momento de flexión M.

Respecto a la deflexión de la viga ocasionada por la cortante, la deflexión 𝒚𝑸 de la

ecuación (29), se puede calcular a partir de la ecuación (8):

𝑸(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅𝟑

𝒅𝒙𝟑 𝒘(𝒙) (8)

Identificando w(x) con la deflexión, la ecuación (8), se puede expresar igualmente

como:

𝑸(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅

𝒅𝒙(

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐) (40)

En la ecuación (40), (𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐) representa el momento de flexión 𝑴(𝒙) de la ecuación

(7).


50

Por otra parte, y de acuerdo con Timoshenko (1955), la deflexión ocasionada

únicamente por el esfuerzo cortante, se expresa como el deslizamiento entre las

secciones transversales y adyacentes de la viga, tal como se ilustra en la Figura 2c,

la cual esquematiza la curvatura del eje de la viga producida únicamente por la

deformación cortante.

Dado que los esfuerzos no están distribuidos de manera constante a lo largo de la

sección transversal de la viga, la sección plana se flexiona localmente. Es decir, la

hipótesis cinemática de una viga de Euler-Bernoulli no se verifica. Como resultado,

las secciones planas de la viga, normales a su eje neutro, no permanecen planas

después de que la viga es deformada en flexión (Figura 2c).

Tal como se esquematiza en la Figura 2c, los pequeños elementos rectangulares

alineados al eje neutral se deforman en rombos. En consecuencia, la pendiente de

la curva de la deflexión de la viga (𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐), debida únicamente al esfuerzo cortante τ,

es igual, en cada sección transversal, a la deformación angular con respecto al

centroide de la sección transversal de la viga.

Si se define 𝒚𝝉, como la deflexión del eje neutro de la viga, ocasionada únicamente

por el esfuerzo cortante, se obtiene la siguiente expresión para la pendiente de la

curva en cualquier sección transversal:

𝒅𝒚𝝉

𝒅𝒙=

τ

𝑮=

𝑲𝑽

𝑨𝑮 (41)

Donde:

τ = Esfuerzo cortante.

V = Fuerza cortante.

A = Sección resistente.

G = Módulo de rigidez.


51

𝑉

𝐴= Esfuerzo cortante promedio equivalente a τ.

K = Factor numérico por el cual el esfuerzo cortante promedio se multiplica para

obtener el esfuerzo cortante en el centroide de la sección transversal. El factor K

depende de la geometría de la sección transversal de la viga.

Para el caso de la madera, modelada como un sólido elástico, de medio continuo,

macroscópicamente homogéneo y con simetrías materiales y elásticas de carácter

ortotrópico, las características elásticas E, G y los parámetros σ y τ, son definidos

de acuerdo con el modelo elástico general para la madera sólida propuesto por

Hernández Maldonado (2011).

Conforme a la Figura 2d, el esfuerzo cortante en cualquier punto a una distancia y1

del eje neutral de la sección transversal, es definido por:

𝛕 = 𝑽

𝒃𝑰 ∫ 𝒚𝒅𝑨

𝒉

𝟐

𝒚𝟏

(42)

Para el caso de una sección transversal como la mostrada en la Figura 2d, el

segmento diferencial de la sección dA es igual a bdy. Por lo tanto, la integral de la

ecuación (42) es:

∫ 𝒚𝒅𝑨

𝒉𝟐

𝒚𝟏

= ∫ 𝒃𝒚𝒅𝒚

𝒉𝟐

𝒚𝟏

= |𝒃𝒚𝟐

𝟐|

𝒚𝟏

𝒉𝟐

= 𝒃

𝟐 (

𝒉𝟐

𝟒− 𝒚𝟏

𝟐) (43)

Como consecuencia de las relaciones en (43), se observa que el esfuerzo cortante

τ, no está distribuido uniformemente a través de la sección de la viga. El máximo

valor 𝛕𝒎𝒂𝒙 es cuando y1 = 0, posición que corresponde al eje neutral. De aquí, que

la ecuación (42) se simplifica en:


52

𝛕 = 𝑽𝒉𝟐

𝟖𝑰 (44)

Dado que:

𝑰 = 𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐 (45)

La ecuación (44) es:

𝛕 = 𝟑𝑽

𝟐𝒃𝒉=

𝟑𝑽

𝟐𝑨 (46)

Con A = bh

De la ecuación (46) se deriva que el factor K en la ecuación (41) equivale a 3 2⁄ ,

como es el caso en vigas de sección transversal rectangular.

Para el caso de una viga solicitada en flexión tres puntos (Figura 2) la fuerza cortante

V es igual a P 2⁄ , y es constante a lo largo de la portada L de la viga, pero cambia

de signo en 𝒙 = L 2⁄ . De tal forma que la pendiente definida en la ecuación (41), se

simplifica en:

𝒅𝒚𝝉

𝒅𝒙=

𝟑𝑷

𝟒𝑨𝑮 (47)

Integrando la ecuación (47), se obtiene la deflexión ocasionada por el esfuerzo

cortante en cualquier punto a lo largo de la portada L de la viga:

𝒚𝝉 = 𝟑𝑷𝒙

𝟒𝑨𝑮+ 𝑪𝟑 (48)

Donde C3 es una constante de integración.


53

De acuerdo a la Figura 2a, cuando x = 0, y es igual a 0. Por lo tanto:

𝑪𝟑 = 𝟎 (49)

Finalmente, la ecuación (48) se simplifica a:

𝒚𝝉 = 𝟑𝑷𝒙

𝟒𝑨𝑮 (50)

Dado que la máxima deflexión en una viga solicitada en tres puntos, ocurre a la

mitad de la portada de flexión L 2⁄ , la deflexión máxima de la viga debida a la fuerza

cortante para x = L/2, es:

𝒚𝝉 = 𝟑𝑷𝑳

𝟖𝑨𝑮 (51)

El término 𝒚𝝉 en la ecuación (51), es el equivalente a yQ de la ecuación (29). En el

mismo contexto, el término y en la ecuación (39), equivale a yM en la misma

ecuación (29):

𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 = 𝒚𝑴 + 𝒚𝑸 (29)

Si se sustituyen las ecuaciones (39) y (51), en la ecuación (29), e identificando

términos, la deflexión de una viga solicitada en flexión transversal en tres puntos,

como en el caso del estudio de la rigidez de listones de madera de Quercus

scytophylla (Olguín Cerón, 2011), la deflexión total de un listón es:

𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 =𝑷𝑳𝟑

𝟒𝟖𝑬𝑰+

𝟑𝑷𝑳

𝟖𝑨𝑮 (52)


54

El primer término del lado derecho de la fórmula (52), representa la deformación en

la probeta debida al momento de flexión. El segundo término, es resultado de la

deformación ocasionada por el esfuerzo cortante.

Para el caso de esta investigación, y de acuerdo con Görlacher (1984) y Newlin y

Trayer (1956), en el estudio de probetas de madera con relaciones de

portada/grueso (L/h) mayores a 15, como es el caso de los listones, la deformación

causada por el esfuerzo cortante puede ser ignorada en la determinación del módulo

aparente de elasticidad en tres puntos.

En el contexto de esta investigación, se aceptó este argumento que es empleado

usualmente en Ciencias, Tecnología e Ingeniería de la Madera, entre otros autores

por Bodig y Jane (1982) y Villaseñor Aguilar (2007).

De aquí que la ecuación completa (52) de la deflexión de una viga de madera o una

probeta, en flexión tres puntos se simplifica en:

𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 =𝑷𝑳𝟑

𝟒𝟖𝑬𝑰 (53)

De esta forma, la ecuación (53) es equivalente a la ecuación propuesta en las

normas de la Asociación Americana de Métodos y Materiales (ASTM, 2009), la

Organización Internacional para Normalización (ISO, 1975) y por autores como

Bodig y Jayne (1982), para determinar módulos de elasticidad en probetas de

madera:

𝑬 =𝑷

𝒚

𝑳𝟑

𝟒𝟖 𝑰 (54)


55

Referencias

ASTM International. (2009). ASTM D143-09. Standard Test Methods for Small Clear

Specimens of Timber. ASTM Volume 04.10 Wood. Philadelphia, USA. 848 p.

Biblis, E.J. 1965. Shear deflection of wood beams. Forests Products Journal.

15(11):492-498.

Bodig, J.; Jayne, B.A. 1982. Mechanics of Wood Composites. Van Nostrand

Reinhold. USA.

Görlacher, R. 1984. Ein neues Messverfahren zur Bestimmung des E-modulus von

Holz. Holz als Roh-und Werkstoff. (42):212-222.

Hernández Maldonado, S.A. 2010. Comportamiento elástico de la madera. Teoría y

aplicaciones. Tesis de Maestría en Ciencias y Tecnología de la Madera. Universidad

Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. México. Consultado en abril 2014.

Disponible en:


ations

ISO. 1975. 3131-1975. Wood - Determination of density for physical and mechanical

tests. ISO Catalog 79 Wood technology; 79.040 Wood, saw logs and saw timber.

International Organization for Standardization (ISO). Brussels. 9 p.

Newlin, J.A.; Trayer, G.W. 1956. Deflection of beams with special reference to shear

deformations. Information reviewed and reaffirmed in 1956, reprinted from National

Advisory Committee for Aeronautics Report 180, 1924. Forest Products Laboratory.

U.S. Department of agriculture. Forest Service. USA. 18 p.




56

Olguín Cerón, J.B. 2011. Plastificado higro-térmico de la madera de Quercus

scytophylla. Estudio por ondas de esfuerzo. Tesis de Maestría en Ciencias y

Tecnología de la Madera. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. 104

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https://www.researchgate.net/publication/261027818_Tesis_Maestra_%282011%2

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Timoshenko, S. 1955. Strength of Materials. 3rd Ed. Van Nostrand Reinhold. USA.

359 pp.

Villaseñor Aguilar, J.M. 2007. Comportamiento higroelástico de la madera de Pinus

douglasiana. Evaluado mediante ultrasonido, ondas de esfuerzo, vibraciones

transversales y flexión estática. Tesis de Maestría en Ciencias y Tecnología de la

Madera. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. 79 p. Consultado en

abril 2014. Disponible en:


ations.




57

Laboratorio de Mecánica de la Madera División de Estudios de Posgrado

Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera

El laboratorio de Mecánica de la Madera tiene por misión realizar investigaciones sobre el comportamiento mecánico de árboles, estructuras de madera, madera aserrada y de productos compuestos de madera. En el laboratorio se realizan las prácticas de la materia Física de la madera de la Maestría en Ciencias y Tecnología de la Madera y sirve también de laboratorio en la preparación de tesis de Licenciatura y de Maestría de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Entre otros servicios, el laboratorio realiza estudios de caracterización mecánica por métodos no destructivos de materiales de ingeniería y de productos forestales. Además se cuenta con la experiencia para practicar trabajos In-Situ de inspección y de evaluación de estructuras de madera. El laboratorio tiene el equipo y el personal especializado para efectuar estudios de análisis de calidad de la madera en medio ambiente industrial. El equipo principal de investigación con que cuenta el laboratorio es: - Maquina universal de pruebas mecánicas Tinius Olsen®. - Equipo de ondas de esfuerzo Metriguard®. - Equipo de ondas de esfuerzo Fakopp®. - Equipo de ultrasonido Sylvatest®. Los proyectos de investigación en los cuales el laboratorio ha participado son: - Características mecánicas de elementos estructurales de maderas tropicales. 2013-2014. - Características acústicas de maderas para instrumentos musicales. 2009-2011. - Selección de arbolado por métodos no destructivos. 2007-2009. - Evaluación con métodos no destructivos de madera en edificios antiguos. 2003-2007. - Evaluación mecánica de materiales compuestos de madera. 2002-2004. La producción del Laboratorio se divulga en: - http://www.cic.umich.mx/ - http://www.academia.edu/ - http://www.researchgate.net/ - http://laboratoriodemecanicadelamadera.weebly.com/

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Investigación e IIM Ingeniería de la Madera · Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014 2 Investigación e Ingeniería de la Madera, Volumen 10,