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2018
J. Garza Breve curso de..
Breve curso de geometríaanalítica preuniversitaria
Jorge GarzaUniversidad Autónoma Metropolitana
Unidad IztapalapaDepartamento de Química
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J. Garza Breve curso de..
El motivo del presente libro se debe a que en la mayoría de los libros de texto de geometríaanalítica a nivel preuniversitario predomina el punto de vista donde se presenta la definición deun lugar geométrico y a partir de ahí se obtienen las propiedades más importantes, provocandoque los estudiantes tengan que memorizar una cantidad inmensa de fórmulas. Los autores deeste libro consideramos que se puede partir de un punto de vista unificado y a partir de ahíobtener los diferentes lugares geométricos en dos dimensiones. Por este motivo la presenteobra se basa principalmente en el concepto de función y por esta razón se insiste tanto sobreeste concepto para una y dos variable. Evidentemente, las habilidades que se adquieren en uncurso de geometría analítica preuniversitaria están sustentadas sobre habilidades de aritméticay álgebra. Debido a que es un libro autocontenido se revisan temas de álgebra y trigonometríaantes de entrar a la geometría analítica. Este libro está dirigido a estudiantes que ya tienencierto conocimiento en álgebra y geometría, por ese motivo estos temas se tratan como unrepaso. Los temas que se tratan como nuevos son los relacionados con geometría analítica,vectores y transformadas de coordenadas.
Es difícil que no podamos encontrar en youtube o en la wikipedia todos los temas tra-tados en el libro. Sin embargo, este libro se puede usar como hilo conductor para el estudiode geometría analítica y sobre todo que en cada tema se tienen problemas resueltos y ejer-cicios propuestos, lo cual le permite a un estudiante aprender geometría analítica de formaautodidacta haciendo uso de los recursos que encuentra en internet.
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Índice general
1. Revisión de matemáticas: Álgebra 51.1. Leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Productos entre polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. División entre polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Completando el trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Raíces de una ecuación cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Solución de un sistema de ecuaciones con dos o tres incógnitas . . . . . . . . . 10
2. Revisión de matemáticas: Trigonometría 152.1. Triángulos Rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2. Relaciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Semejanza entre triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Gráficas de funciones de segundo grado de una y dos variables 213.1. Definición de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1. Graficando funciones en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Raíces (los ceros) de una función de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Función de segundo grado de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4. Lo ceros de una función de segundo grado de dos variables . . . . . . . . . . . 26
4. La línea recta 294.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2. Pendiente y ordenada al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4. Resumen de la línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5. La circunferencia 395.0.1. Aplicaciones de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6. La elipse 456.0.1. Ecuación canónica de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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7. La parábola 51
8. La hipérbola 578.0.1. Forma canónica de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9. Vectores 619.0.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.0.2. Suma y resta entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.2. Ejemplos donde se usan vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2.1. Tiro parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.3. Vectores en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.3.1. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.3.2. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.3.3. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.Traslación y rotación de coordenadas 6910.0.1. Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.0.2. Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
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Capítulo 1
Revisión de matemáticas: Álgebra
Sin duda alguna la geometría analítica está basada en la aritmética, álgebra, trigonometríay geometría plana. Por lo tanto, es importante revisar algunos de estos temas que serán usadosa lo largo del libro. Por supuesto que en este capítulo se revisará solamente lo que nos interesapara que el libro sea autocontenido, pero para profundizar en cada tema se recomienda labibliografía enlistada al final del capítulo.
1.1. Leyes de los exponentes
anam = an+m (1.1)
an
am= an−m (1.2)
1 =am
am= am−m = a0 (1.3)
(an)m = anm (1.4)
Ejercicio 1
Reduzca la expresión 51(amb)n
−13(abn)m .
Respuesta:−5113
amnbn
ambnm=−5113amnbna−mb−nm=−
5113amn−mbn−nm=−
5113am(n−1)bn(1−m)
Ejercicio 2
Reduzca las siguientes expresiones:
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a) 5x2
2y3 − 2x6y3
x4y6
b)√25x4z3d5
5x4d25/4z9/2
c) a−2b3
a3b−4
d) z2√z−4h3
e) u3at−b
u9at4b
f)(u−3v2
)−3t
g) 6x3y−5z−1
3x−1y3z
h)(2r4a
sa
)3y (3sy
r6y
)2a
i) ab2ba
ab2b−a+ a2b
2b−2a
a−2b2b2a
j)3√x3
y + xy−1
k)√4kak
√4an−k
k
l)(
c−4
16d8
) 34+
(− y
32
y−13
)3
1.2. Productos entre polinomios
El producto (a + b)(c + d + e) se obtiene al multiplicar cada término del factor de laizquierda con cada término del factor de la derecha, por lo tanto
(a+ b)(c+ d+ e) = a(c+ d+ e) + b(c+ d+ e) (1.5)= ac+ ad+ ae+ bc+ bd+ be.
El cuadrado del binomio a + b se obtiene al efectuar la multiplicación (a + b)(a + b), por lotanto
(a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = aa+ ab+ ba+ bb = a2 + 2ab+ b2. (1.6)
Se dice que el cuadrado de un binomio es el cuadrado del primero más el doble del productodel primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Ejemplo. (3x2 + y)2 = (3x2)2 + 2(3x2)(y) + y2 = 9x4 + 6x2y + y2.
Ejercicio 3
Obten los productos que se muestran a continuación y simplifica
a) ( 34)(
27)
( 16)(
24)
=
b) (3x+ 6z)y =
c) (x− 4v)(v − 3x) =
d) (x− 4v)(v − 3x)2 =
e) − 52b(−7a+ 2
5b) =
f) (y − 5u)(y + 5u)− y2 + 25u2 =
g) (a− b)3 − 2b3 + 4ab =
h) (3u− 1)(u+ 2) + 7u(u+ 1) =
i) (x+ 1)(2x2 − 2)(x3 + 5) =
j) (3x− 4 5√y)(2x+ 9 5
√y) =
k) (rz + sz + tz)(r−z + s−z + t−z) =
l) ( n√x+
√y)2( n
√x−√
y)2 =
m)(x2 + y2
)(xz + yz)(xz − yz) =
n) (a+ c)(a+ c) =
ñ) (z − h)(z + h) =
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1.3. Factorización
La factorización es el proceso inverso del producto entre polinomios, esto significa que apartir de un polinomio se deden de encontrar los factores que multiplicados entre sí generenel polinomio original.
Ejercicio 4
Factoriza −7b2
3 + 4bx3 + x2
Solución del ejercicio 4
−7b2
3+
4bx
3+ x2 = x2 +
4
3xb+ bx− bx− 7
3b2 (1.7)
= x2 +7
3xb− xb− 7
3b2 (1.8)
= x(x+7
3b)− b(x+
7
3b) (1.9)
= (x− b)(x+7
3b) (1.10)
Ejercicio 5
Factoriza
a) 3a2 + 4ab
b) 3a2 + 4ab+ 3a+ 4b
c) a2 − 3ab2 + a− 3b
2
d) x2 − xy − 2y2
e) 3x2
4 + 3xy4 − 7y2
3
f) x2 + 3x+ 2
g) x4 − 4x2
h) 2abx2 + 7abxy + 6aby2
i) −44r4s3 + 11r2s5
j) 12x2 − x− 6
1.4. División entre polinomios
La división entre polinomios está ligada a la factorización. Por ejemplo, en el últimoejemplo encontramos que −7b2
3 + 4bx3 + x2 = (x − b)(x + 7
3b). También es cierto de estaexpresión que
−7b2
3 + 4bx3 + x2
x+ 73b
= x− b (1.11)
Hagamos esta división para comprobar el resultado, los pasos son los siguientes
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x − b
x+ 73b)
x2 + 43bx− 7
3b2
− x2 − 73bx
− bx− 73b
2
bx+ 73b
2
0Es claro que el algoritmo de la división en polinomios es idéntico al que usamos con
números.
Ejercicio 6Obten el resultado de la división
x5 − 7x2y + 5x4y − 35xy2 − 4x3y2 + 28y3
x3 − 7y.
Respuesta:x2+5xy−4y2
Ejercicio 7Realiza las siguientes divisiones
a) x2−x−12x+3
b) 16−14x+x2+x3
x−2
c) 3w4−6wy+5w3y−10y2
w3−2y
d) 5a2+a2b−5ab2−ab3−a3b3+a2b5
a−b2
e) 5a4−a4b+7a3b2+5ab3+a5b3−ab4+7b5+a2b6
a2b3−ab+5a+7b2
1.5. Completando el trinomio cuadrado perfecto
Completar el trinomio cuadrado perfecto significa que un polinomio de la forma x2+gx+ese escribe de la foma (x+ h)2 + l donde g, e, h y l representan constantes.
Ejercicio 8Completar el trinomio cuadrado perfecto de x2 + 2x− 7.
Solución del ejercicio 8Lo que se puede hacer es tomar el coeficiente del término lineal (el que tiene solamente
a la x) y dividirlo entre 2 para tener el término que sumará a la x dentro del binomio. Ennuestro caso
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x2 + 2x = x2 + 2x+ (2/2)2 − (2/2)2 = (x+ 1)2 − 1, por lo tantox2 + 2x− 7 = (x+ 1)2 − 1− 7 = (x+ 1)2 − 8.
Ejercicio 9
Completar el trinomio cuadrado perfecto de x2 + x+ 54 .
Solución del ejercicio 9
x2 + x = x2 + x+ (1/2)2 − (1/2)2 =(x+ 1
2
)2 − 14 ,
x2 + x+ 54 =
(x+ 1
2
)2 − 14 + 5
4 =(x+ 1
2
)2+ 1.
Ejercicio 10
Completar el trinomio cuadrado perfecto de 3x2 − 2x+ 1.
Solución del ejercicio 10
3x2 − 2x+ 1 = 3
(x2 − 2
3x+
1
3
)(1.12)
= 3
⎛
⎝x2 − 2
3x+
(23
2
)2
−(
23
2
)2
+1
3
⎞
⎠ (1.13)
= 3
(x2 − 2
3x+
(1
3
)2
−(1
3
)2
+1
3
)(1.14)
= 3
((x− 1
3
)2
− 1
9+
1
3
)(1.15)
= 3
((x− 1
3
)2
+2
9
)(1.16)
= 3
(x− 1
3
)2
+6
9= 3
(x− 1
3
)2
+2
3(1.17)
Ejercicio 11
Completa el trinomio cuadrado perfecto dentro de las siguientes expresiones
a) 1 + 2y + y2
b) 1− 2y + y2
c) 4a2 + 4ax+ x2
d) 9c2 + 12cz + 4z2
e) 4d2 − 20dx+ 25x2
f) 9x2 + 3xy + y2/4
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1.6. Raíces de una ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática tiene la forma
ax2 + bx+ c = 0. (1.18)
Resolver esta ecuación significa que debemos encontrar el valor de la x (de hecho son dosvalores de x) que satisfacen la igualdad. Para encontrar la solución, primero se completará eltrinomio cuadrado perfecto involucrado en esta expresión
a
(x2 +
b
ax
)= −c, (1.19)
donde se ha supuesto que a ̸= 0. Completando el trinomio cuadrado perfecto se tiene
a
((x+
b
2a
)2
−(
b
2a
)2)
= −c. (1.20)
Luego se despeja la x, (x+
b
2a
)2
= − c
a+
(b
2a
)2
, (1.21)
(x+
b
2a
)2
=−4ac+ b2
(2a)2, (1.22)
x+b
2a= ±
√−4ac+ b2
(2a)2, (1.23)
x = − b
2a±
√−4ac+ b2
(2a)2= − b
2a±
√−4ac+ b2
2a, (1.24)
x =−b±
√−4ac+ b2
2a. (1.25)
1.7. Solución de un sistema de ecuaciones con dos o tres incóg-nitas
Resolver una ecuación algebraica significa que debemos encontrar las variables que satis-facen una igualdad, en el caso de una variable el problema se reduce en muchas ocasiones aun despeje.
Ejercicio 12Despeja la variable que se solicita
a) y a partir de 3y − 4x+ 5 = 0
b) x a partir de 2yx+ x− 4y + 6 = 0
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c) u a partir de −6uv + 35u = 9u
Resolver un sistema de ecuaciones del tipo
x1 + 2x2 = 0
−3x1 + x2 = 4
significa que se debe de encontrar el valor de x1 y x2 que satisfagan simultáneamente ambasecuaciones. Alcanzar este objetivo con dos incógnitas se puede hacer de varias maneras, porejemplo, podemos despejar una variable de una ecuación y sustituirla en la restante ecuación.Despejemos a x1 de la primer ecuación para obtener x1 = −2x2 y sustituirla en la segundaecuación para tener −3(−2x2)+x2 = 4. Este procedimiento lleva a tener una ecuación dondeaparezca solamente una variable y al resolverla sustituir su resultado en la ecuación con que seinició el proceso. Confirme que en este caso x1 = −8/7 y x2 = 4/7. Este método es conocidocomo el de la sustitución.
Otra forma de encontrar la solución a este problema es multiplcar a una o a ambas ecua-ciones por factores que lleven a expresiones donde una de las incógnitas se cancele al sumarlasentre sí. En este caso la primer ecuación se multiplica por 3 para tener
3x1 + 6x2 = 0
−3x1 + x2 = 4
Al sumar ambas ecuaciones se tiene
7x2 = 4,
con lo que x2 = 4/7. Este valor de x2 se puede sustituir en cualquiera de las ecuaciones paraobtener x1. A este método se le conoce como el método de eliminación.
Cuando aparecen más incógnitas, el problema se dificulta por el número de operaciones arealizar pero se pueden combinar los métodos de sustitución y eliminación para alcanzar elobjetivo final. Veámos el siguiente ejemplo.
2x1 − 3x2 + 4x3 = 8 (1.26)x2 − 3x3 = −7 (1.27)
x1 + 2x2 + 2x3 = 11 (1.28)
Nota: Este problema fue tomado de The Chemistry Maths Book. Erich Steiner, Second Edi-tion. OXFORD, 2008.Una forma de abordar este problema es por el método de la sustitución. Por ejemplo, de laecuación 1.27 obtenemos x2
x2 = −7 + 3x3, (1.29)
y esta ecuación se sustituye en las ecuaciones 1.26 y 1.27 para obtener
2x1 − 3(−7 + 3x3) + 4x3 = 8 (1.30)x1 + 2(−7 + 3x3) + 2x3 = 11 (1.31)
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Al hacer el álgebra necesaria se obtiene
2x1 − 5x3 = −13 (1.32)x1 + 8x3 = 25 (1.33)
De la ecuación 1.33 se despeja x1,x1 = 25− 8x3, (1.34)
para sustituir en la ecuación 1.32
2(25− 8x3)− 5x3 = −13, (1.35)
− 21x3 = −63, (1.36)
x3 =−63
−21= 3. (1.37)
Finalmente, se sustituye este valor en la ecuación 1.34 para obtener x1 = 1 y en la ecuación1.29 para obtener x2 = 2.
Ahora vamos a usar otro método, al cual se le conoce como la regla de Cramer, quepermite obtener la solución. Es un método algo tedioso pero es muy útil y si lo llevas a cabocon cuidado te ayudará siempre que lo necesites. Para asegurarnos primero que este sistemade ecuaciones tiene solución única evaluemos el determinante D el cual se obtiene de
D =
∣∣∣∣∣∣
2 −3 40 1 −31 2 2
∣∣∣∣∣∣
Si resulta que D ̸= 0 entonces tendremos una solución única del sistema. La manera de evaluarun determinante es de la siguiente manera
D =
∣∣∣∣∣∣
2 −3 40 1 −31 2 2
∣∣∣∣∣∣= 2
∣∣∣∣1 −32 2
∣∣∣∣− (−3)
∣∣∣∣0 −31 2
∣∣∣∣+ 4
∣∣∣∣0 11 2
∣∣∣∣ .
D = 2 ((1)(2)− (2)(−3)) + 3 ((0)(2)− (1)(−3)) + 4 ((0)(2)− (1)(1)) ,
D = 2(8) + 3(3) + 4(−1) = 16 + 9− 4 = 21,
Como D ̸= 0 entonces el sistema de ecuaciones admite de solución x1 = D1/D, x2 = D2/Dy x3 = D3/D. Donde D1, D2 y D3 son determinantes que se obtienen al sustituir la columnaque se forma con las bs con cada una de las columnas de las as de la siguiente manera
D1 =
∣∣∣∣∣∣
8 −3 4−7 1 −311 2 2
∣∣∣∣∣∣= 8
∣∣∣∣1 −32 2
∣∣∣∣− (−3)
∣∣∣∣−7 −311 2
∣∣∣∣+ 4
∣∣∣∣−7 111 2
∣∣∣∣ .
D1 = 21,
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D2 =
∣∣∣∣∣∣
2 8 40 −7 −31 11 2
∣∣∣∣∣∣= 2
∣∣∣∣−7 −311 2
∣∣∣∣− 8
∣∣∣∣0 −31 2
∣∣∣∣+ 4
∣∣∣∣0 −71 11
∣∣∣∣ .
D2 = 42,
D3 =
∣∣∣∣∣∣
2 −3 80 1 −71 2 11
∣∣∣∣∣∣= 2
∣∣∣∣1 −72 11
∣∣∣∣− (−3)
∣∣∣∣0 −71 11
∣∣∣∣+ 8
∣∣∣∣0 11 2
∣∣∣∣ .
D3 = 63.Por lo tanto,x1 = 21/21 = 1, x2 = 42/21 = 2, x3 = 63/21 = 3.
Ejercicio 13
Reduce al máximo las expresiones
1. {[(2 + 3)× 4] + 5}× 6 =
2. (am3 − xn2)2 − x2n4 =
3.b2x1/2 + d2y3/2
b3d4√xy
=
4. √u2 + 2u+ 1 + 3(u+ 1)(u− 2)
u+ 1=
Ejercicio 14
Encuentra el valor de y a partir de :
1. √y2 + b2
2= y
2.
4 =
√y2 + 2y + 17
y + 1
3.2 = tan(y)− 1
tan(y)
Ejercicio 15
Completa el trinomio cuadrado perfecto de x2 + 3x− 1
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Ejercicio 16
Encuentre u y v a partir de
2
3u+ 2v = −2
v + 2u = 2
Ejercicio 17
Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones.
x2 − 8x+ 2 = 0 , x2 + 52x− 25 = 0
x2 − 20x+ 19 = 0 , 3x2 + 7x− 1 = 0
Ejercicio 18
Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones.
2x1 − 3x2 + 4x3 = 8
x2 − 3x3 = −7
x1 + 2x2 + 2x3 = 11
2x1 + 3x2 + x3 = 11
x1 + x2 + x3 = 6
5x1 − x2 + 4x3 = 11
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
3x1 + 4x2 + 5x3 = 2
x1 + 3x2 + 4x3 = 3
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Capítulo 2
Revisión de matemáticas:Trigonometría
2.1. Triángulos Rectángulos
Los triángulos rectángulos son elementos geométricos que tienen propiedades importantes.Un triángulo rectángulo tiene involucrado un ángulo de 90◦.
a
bh
90◦α
Figura 2.1: Triángulo rectángulo.
En la Figura 2.1 se presenta un triángulo rectángulo, donde se hace énfasis que cuentacon un ángulo recto al trazar un cuadro pequeño. Además, este triángulo tiene dos ángulosdiferentes a 90◦, uno de ellos se ha denotado con la letra α. De acuerdo al ángulo α, se tienenlos siguientes elementos:
Hipotenusa: Lado más largo (h) del triángulo y es opuesto al ángulo recto.
Cateto opuesto: Lado del triágulo (b) que se encuentra opuesto al ángulo α.
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Cateto adyacente: Lado del triángulo (a) que se encuentra junto al ángulo α.
2.1.1. Teorema de Pitágoras
Para este tipo de triángulos se tiene una relación entre los lados, esta relación es conocidacomo el Teorema de Pitágoras y se enuncia como
h2 = a2 + b2. (2.1)
Esta relación es muy importante ya que si se tienen como datos dos lados del triánguloentonces el tercer lado se puede encontrar.
Ejercicio 19
Tomando el triángulo rectángulo de la Figura 2.1 como referencia, encuentra todos loslados del triángulo si:
1. a = 5 cm y b = 4 cm.
2. a = 3 cm y h = 6 cm.
3. h =√2 cm y b = 1 cm.
2.1.2. Relaciones Trigonométricas
Con los elementos del triángulo rectángulo definidos en la Figura 2.1, se tienen las siguien-tes definiciones entre las relaciones de los lados:
sen(α) =b
h, (2.2)
cos(α) =a
h, (2.3)
tan(α) =b
a. (2.4)
Los inversos multiplicativos (recíprocos) de estas expresiones son:
csc(α) =h
b, (2.5)
sec(α) =h
a, (2.6)
cot(α) =a
b. (2.7)
De aquí es evidente que podemos obtener otras relaciones,
tan(α) =b
a=
h sen(α)
h cos(α)=
sen(α)
cos(α). (2.8)
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y también
cot(α) =cos(α)
sen(α). (2.9)
Se pueden encontrar otras relaciones trigonométricas, por ejemplo, a partir de la ecuación2.1 se obtiene que
1 =a2
h2+
b2
h2= (
a
h)2 + (
b
h)2, (2.10)
y recurriendo a las definiciones 2.2 y 2.3 se obtiene
1 = sen2(α) + cos2(α), (2.11)
Ejercicio 20A partir del triángulo equilatero de la Figura 2.2 encuentre el valor del seno de 30 grados.
l
llh
Figura 2.2: Triángulo rectángulo.
Solución del ejercicio 20De la Figura 2.2 se ha trazado una línea punteada que parte el triángulo equilatero en dos
triángulos idénticos con un ángulo recto, un ángulo de 60◦ y otro de 30◦. De aquí podemosencontrar que sen(30◦) = 1/2.
Ejercicio 21A partir del triángulo equilatero de la Figura 2.2 encuentre el valor del seno de 30 grados.
a) sen(30◦)
b) cos(30◦)
c) cos(60◦)
d) tan(30◦)
e) tan(60◦)
Ejercicio 22A partir de un triángulo isósceles encuentra los valores del seno, coseno y tangente de 45◦.
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Ejercicio 23
Encuentra todos los elementos (lados y ángulos) del triángulo rectángulo definido en laFigura 2.1 si:
a) a = 3 cm y α = 45◦
b) a = 4 cm y β = 45◦
c) h = 5 cm y b = 3 cm
d) h =√2 cm y a = 1 cm
e) b = 2 cm y α = 60◦
f) a =√2 cm y α = 30◦
Ejercicio 24
Muestre que
a) sec2(α) = tan2(α) + 1
b) csc2(α) = 1 + cot2(α)
c) tan(θ) = ±√sec2(α)− 1
2.2. Semejanza entre triángulos
¿Es posible obtener todos los lados de un triángulo dando como datos solamente a losángulos? La respuesta es no. Cuando se tienen dos triángulos que tienen todos los ángulosiguales entre sí, pero difieren en sus lados se dice que son triángulos semejantes.
Antes de comenzar con la semejanza entre triángulos analicemos los ángulos formadosentre las dos líneas rectas de la Figura 2.3
α
β
γ
δ
Figura 2.3: Intersección entre dos líneas rectas.
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Los ángulos que se forman al intersectar las dos líneas rectas nos lleva a las siguientesrelaciones:
α+ β = 180◦, (2.12)
α+ δ = 180◦, (2.13)
γ + δ = 180◦, (2.14)
γ + β = 180◦. (2.15)
Restando la ecuación 2.12 menos la ecuación 2.13
β − δ =0, (2.16)
da como resultado β = δ. También se dice que β y δ son iguales porque están opuesto por elvértice. Haciendo el mismo análisis con las ecuaciones 2.13 y 2.14 se obtiene que α = γ.
Ejercicio 25Muestre que los dos triágulos que se presentan en la Figura 2.4 son semejantes entre sí
C
A
B
a
b
c
α
β
δ
γ
Figura 2.4: Ejemplo de triángulos semejantes.
Como los triángulos de la Figura 2.4 son semejantes entre sí, se pueden obtener variasidentidades entre los lados que forman a cada uno de los triángulos. Por ejemplo,
tan(α) =a
b, (2.17)
ytan(γ) =
A
B. (2.18)
Como α = γ entonces concluimos que ab = A
B .
Ejercicio 26Utilizando el problema anterior y relaciones trigonométricas, muestra que
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a) ba = B
A .
b) BC = b
c .
c) ac = A
C .
Ejercicio 27
a) Indica si los siguientes triángulos son se-mejantes
2 4
1
1
b) Los siguientes triángulos rectángulos sonsemejantes entre sí, obten las medidas delos lados y ángulos del triángulo más pe-queño en base a la información de la figura.
4
6
2
c) Reporta las medidas de los lados y ángulosdel triángulo rectángulo más grande de la
siguiente figura.
2.5
2
4
d) Muestra que los siguientes triángulos rec-tángulos son semejantes y encuentra el va-lor de todos sus ángulos.
4
5
1.5
e) En un día soleado, un poste de luz proyec-ta sobre el piso una sombra de 13 m y porsu lado, un jugador de baloncesto, cercanoal poste de luz, proyecta una sombra de 6m. Con esta información encuentra la al-tura del poste si el jugador de baloncestotiene una altura de 2.10 m.
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Capítulo 3
Gráficas de funciones de segundogrado de una y dos variables
3.1. Definición de una función
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto (dominio) un únicoelemento de otro conjunto (codominio). Por ejemplo, f(x) = 3x2 − 6x + 7 representa unafunción. En cambio, f(x) = ±
√3x2 − 6x+ 7 no representa una función ya que f(x) tiene
asignados dos valores para un solo valor de x. Otro ejemplo de función está representado porf(x, y) = 2x2 − 2y2 + 6xy − 4. En este caso la función depende de dos variables x y y.
3.1.1. Graficando funciones en dos dimensiones
Para graficar una función de una variable es conveniente hacerlo usando un sistema decoordenadas cartesiano el cual está representado en la siguiente figura
1
2
3
−1
−2
−3
−4
1 2 3−1−2−3−4x
y
A
En esta figura los valores de la variable independiente x se encuentran en el eje horizontal, elcual es conocido como eje de las abscisas. Así, las abcisas representan los valores de la variableindependiente x. El eje vertical contiene los valores de la variabe dependiente, y = f(x), esun eje perpendicular (forma un ángulo de 900) al eje de las abcisas y es conocido como el eje
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de las ordenadas. Así, las ordenadas representan los valores de y. Un punto en el sistema decoordenas cartesianas está definido por su valores en x y en y. En la misma figura el puntoA tiene los valores x = 1 y y = −2 o simplemente (1, 2). Evidentemente, una línea abierta ocerrada en el plano cartesiano contiene un número infinito de puntos.
Ejercicio 28Haga la gráfica de la función f(x) = x2 − 2x+ 2.
Solución del ejercicio 28Una forma de hacer la gráfica que nos solicitan es generando una tabla de datos, donde
nosotros proponemos varios valores de la variable x y a través de la regla impuesta por lafunción se obtienen los correspondientes valores de y = f(x). En la Tabla 3.1 se reportanvarios valores de la variable independiente y su correspondientes valores de y. En la Figura3.1
Tabla 3.1: Valores correspondientes a la función f(x) = x2 − 2x+ 2
x y = f(x)
-1 50 21 12 23 5
1
2
3
4
5
−1
1 2 3−1−2x
y
Figura 3.1: Gráfica de la función f(x) = x2 − 2x+ 2.
Ejercicio 29Haga la gráfica de las siguientes funciones:
a) g(z) = 3z − 5
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b) h(y) = 32y
2 + 2y − 4
c) g(x) = −x2 + 34x+ 2
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Lo que hemos graficado es un caso particular de una función cuadrática en una variable,cuya forma es
f(x) = ax2 + bx+ c, (3.1)
donde a, b y c representan constantes y x es la variable independiente. Si a = −2, b = 1 yc = 3 se obtiene otra gráfica que está representada en la Figura 3.2
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
1 2 3−1−2−3−4−5x
y
Figura 3.2: Gráfica de la función f(x) = ax2 + bx+ c con a = −2, b = 1 y c = −3
En la Figura 3.3 se tiene un ejemplo de lo que NO puede ser representado por una función,ya que para un valor de x (en el ejemplo, x = 3) se intersecta a la línea curva en dos puntos,así para un valor de la variable independiente se tienen dos valores de la variable dependiente,lo cual no está de acuerdo a la definción de función.
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6−1
Figura 3.3: Gráfica de un ejemplo que no puede ser representado por una función.
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3.2. Raíces (los ceros) de una función de segundo grado
Al comparar las gráficas de las Figuras 3.1 y 3.2, se puede apreciar una diferencia impor-tante entre ellas ya que la gráfica de la Figura 3.2 corta al eje x (lo hace en dos puntos queestán marcados con cruces). Esto significa que en esos puntos
f(x) = −2x2 + 2x− 3 = 0. (3.2)
Es importante darse cuenta que la ecuación 3.2 forma parte de la familia de ecuacionesrepresentada por la ecuación 1.18, para la cual se obtuvieron las raíces a partir de la ecuación1.25. Para esta función se tienen dos raíces con valores x = −1 y x = 3/2. En muchas ocasionesa estas raíces se les conoce como ceros de la función, por que la función evaluada en estospuntos da como resultado precisamente al cero.
Ejercicio 30Encontrar los ceros de las funciones:
a) g(z) = 3z − 5
b) h(y) = 32y
2 + 2y − 4
c) g(x) = −x2 + 34x+ 2
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3.3. Función de segundo grado de dos variables
Ahora ampliaremos la discusión de una función, en este caso va a depender de dos variablesindependientes. Bajo esta situación es necesario que para cada par de valores de las variablesindependientes exista solamente un valor de la variable dependiente. Por ejemplo,
f(x, y) = x+ y − 1, (3.3)
representa una función de dos variables, x y y. Para hacer un gráfica de este tipo de funcioneses necesario hacer uso del espacio tridimensional y hacer una tabla de datos. Como ejemplotomemos 9 parejas de puntos (x,y) y a cada pareja la sustituimos en la función 3.3. Los valoresresultantes de f(x, y) serán asignados a la variable z. En la Tabla 3.2 se presentan las 9 parejas(x,y) y su correspondiente valor en z.
Los puntos generados en la Tabla 3.2 se presentan en la Figura 3.4. En este caso, a trespuntos de la tabla se les han resaltado cada una de sus componentes.
Al igual que en el caso de una variable, se tienen que evaluar varios puntos en el espaciotridimensional y a todos ellos se les debe de unir. A diferencia del caso en dos dimensiones,donde la función está representada por una línea, en el caso de tres dimensiones, la uniónde todos los puntos generará una superficie. Para la función definida por 3.3, la superficieresultante es un plano, el cual está representado, con varias vistas, en la Figura 3.5.
Otro ejemplo de una función de dos variables con grado máximo 2 (segundo grado), lomuestra el lado izquierdo de la Figura 3.6, donde a lo largo del eje x la función crece cuadrá-ticamente y decrece a lo largo de y en forma lineal.
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Tabla 3.2: Función f(x, y) = x+ y − 1 evaluada en varios puntos (x,y)
x y z-1.0 -1.0 -3.0-1.0 0.0 -2.0-1.0 1.0 -1.00.0 -1.0 -2.00.0 0.0 -1.00.0 1.0 0.01.0 -1.0 -1.01.0 0.0 0.01.0 1.0 1.0
x
y
z
Figura 3.4: Representación gráfica de las posiciones de los puntos reportados en la Tabla 3.2
Otra forma de analizar esta función es a través de curvas de nivel. Para la funciónf(x, y) = x2 − y, las curvas de nivel se presentan en el lado derecho de la Figura 3.6. Enesta representación se observa a la función a lo largo de los ejes x y y. Los valores de lafunción se representan en colores, en esta caso toma valores negativos (azul) y positivos (ama-rillo). Las líneas en negro son las curvas de nivel que representan valores específicos de lafunción.
Es claro que las gráficas que se obtienen de funciones de dos variables son complicadasde hacer. Por fortuna varios programas computacionales permiten hacer este trabajo. En estadiscusión se han presentado dos tipos de funciones que dependen de dos variables, a lo largodel curso analizaremos y trabajaremos con varios casos. Esta sección terminará con un casodonde NO se tiene una función. Este caso se presenta en la Figura 3.7, la cual muestra unaesfera que es intersectada en dos puntos por una línea vertical punteada. Evidentemente, esteente geométrico no puede ser representado por una función ya que para un mismo par de (x,y)se intersecta en dos ocasiones.
En este libro vamos a tratar con funciones de segundo orden de dos variables de la forma
f(x, y) = Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F. (3.4)
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x
y
z
x
y
z
x y
z
Figura 3.5: Representación del plano definido por f(x, y) = x + y − 1 usando tres diferentesvistas.
Figura 3.6: Izquierda: Gráfica de la función f(x, y) = x2 − y. Derecha: Curvas de nivel de lafunción f(x, y) = x2 − y.
3.4. Lo ceros de una función de segundo grado de dos variables
Los ceros (raíces) de una función que depende de dos variables se obtienen cuando sesatisface la condición
f(x, y) = 0. (3.5)
En la sección anterior se analizó la función f(x, y) = x + y − 1, para esta función, susraíces se obtienen a partir de la condición anterior, esto es
x+ y − 1 = 0. (3.6)
Esta condición se satisface para dos puntos que tabulamos en la Tabla 3.2, donde vemosque los puntos (0,1) y (1,0) son raíces de la función x + y − 1. La pregunta que surge es¿Cuántas raíces se esperan para esta función x + y − 1? Para contestar esta pregunta es
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xy
z ×
Figura 3.7: Esfera centrada en el punto (1,1,2) con radio r = 1.
necesario recurrir a la Figura 3.5, la cual se repite en la Figura 3.8 con puntos adicionales quesatisfacen la ecuación 3.5.
Es evidente que todos los puntos que caen sobre la línea punteda son raíces de la funciónf(x, y) = x + y − 1, de aquí podemos decir que se tendrá un número infinito de raíces enfunciones que dependen de dos variables y pertenecerán a una curva, en nuestro caso se tieneuna línea recta pero habrá casos donde no se tendrá este resultado.
x y
z
Figura 3.8: Representación del plano definido por f(x, y) = x + y − 1 usando tres diferentesvistas.
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