log 1\1A-<M2;~n@-SegUndaEdición .....::P.....::o=..=t:.::e:,:..:"'-=c=.=ia:..::c::..:io=..='n.!.....Ly...:.R.!!a~d~i:=:ca~c~i~ó"

• Potenciación

~ Para qué nos sirve aprender Potenciación? La Potenciación nos ahorra tener que estar mucho tiempoescribiendo expresiones y haciendo cuentas de multiplicaciones sucesivas, por ejemplo:

aS = a . a . a . a . a Q Es lo mismo que multiplicar S veces por si misma a la variable "a"

~ Elementos de la Potenciación ..•

~ Propiedades de la Potenciación

Producto de potencias de igual base: Los exponentes se Suman IXa . Xb = X a+b IDivisión de potencias de igual base: Los exponentes se Restan q jxa -;-Xb = X a-b ICuando una variable está elevada a una potencia, y el resultado I()b b I

está elevado a otra potencia: Los exponentes se Multiplican Q Xa = X a·

N· . ía to mr ibi ( X a) b ( X b) aota Importante: Fijate que sena o mismo escn tr..; ... que ...

Ya que "el orden de los factores no altera el producto"... ( Xa ) b = ( Xb ) a = Xa.b = Xb.a

* Propiedad Distributiva: La Potenciación esdistributiva respecto de la multiplicación y división:

OJO !!! : La Potenciación no es distributivarespecto de la suma y resta ...

* Exponente igual a cero: "Cualquier número" elevado a la cero, es igual a 1 (excepto el cero mismo).

(_35)° = 1Por ejemplo: xO = 1 (-V- X ~ O) 100° = 1

* Exponente Negativo: El exponente negativo "nos da vuelta la expresión".

Por ejemplo: k-1 = .!. ( 2 ,-5 ( 3 ,5k l3) = l2)

• Radicación: LaRadicación es la operación inversa a la potenciación.

Salvedad: la expresión no es válida en el campo real, para índices pares y radicandos negativos.

Ejemplo: 23 = 8 <:::;> 2 = Ts

-te Elementos de la Radicación ..• ~ Índice

~®-~RadicandoRadical:F V

Como veremos mas adelante, las raícespueden escribirse como potencias de

exponente fraccionario, por lo tanto alradicando también puede IIamárselo base

-75-

O¿ ®log 1~ A-<ML<N TI: - Segunda Edidón .....:P.....:o::..:t::.;:e:.o.n:..::c::.:ia::.::c~io=_ln~y.....:R:..:ca=_d=i:..::c=a:.:::c::.;:ió::.:.:n

* Propiedad Distributiva de la radicación:

La Radicación, al igual que la Potenciación, 1 ra:t) = ..Ja. Fb ISólo es distributiva respecto de la multiplicación y división... ¡"'i

OJO!!! La Radicación !1Q..esdistributiva ••••••~ e _¡;r:' ,respecto de la suma yde la resta... ...¡ a~::=- ~-+'-VD ~ O 000

r::::::;:--r:b _ e...1b 15[ffi@!fccc,v-a - - -va - D •••, ....* Exponentes Fraccionarios: Las expresiones radicales se pueden expresar como potencias de índicefraccionario, de modo que el índice de la raíz sea el denominador del exponente y el exponente (que puedetenerlo o no) de la varible el numerador del exponente.

4(- 3Veámoslo en ejemplos: ~ (5)3 = (5)4 31.: 1

"x=(x)3

* Simplificación de Exponentes Fraccionarios: Cuando tenemos un exponente fraccionario la fracciónse puede simplificar como cualquier fracción, o si no, podemos simplificar directamente el índice de la raízcon el exponente de la potencia. (Cuidado cuna do simplificamos por divisores pares ya que se correspondecon la expresión radical cuyo radicando es el valor absoluto del radicando antes de ser simplificado).

4~ ~ l 2~ 4 ~ ~ l ~Ejemplos: ~(7)~ = 74 = 72 = ~ (7) ~(-3) = (-3) 4 = 1-312 = V 1-31-

* Extracción de factores: Sólo es posible cuando el índice de la raíz es menor que el exponente al cualestá elevado el factor. Veamos un ejemplo, vamos a extraer los factores de la siguiente raíz: v;sPrimero, verificamos que el índice (3) es menor al exponente (5) v OkAhora vamos a extraer. Tenemos que hacer una división, al exponente lo dividimos por el índice de la raíz:

5

El resto es el ~~exponente que

queda "adentro"

~~) ~ El resultado es el exponente~ que queda "afuera"

* Introducción de factores: Ahora vamos a hacer lo contrario de lo anterior ... Es decir que a introduciren la raíz los factores que estén afuera. Veamos un ejemplo: 32. 1-34

Primero multiplicamos al exponente que está afuera por el índice de la raíz fY.Cfr34 c:::::> 2 . 7 = 14

Luego al resultado le sumamos el exponente que está adentro: 14 + 4 = 18 2 . 7 + 4 == 18f~i-··._ .

Y escribimos adentro de la raíz el radicando elevado a este resultado adentro de la raíz {.?tJ¡f.;'=:¡fJ)Nota: Siempre que hagamos esto tenemos que ver que la base que está elevada afuera de la raíz seala misma que está elevada adentro. En el ejemplo no hay problema porque la base es la misma (3)

24 2

Repaso: Factoreo de Números. 12 2

Factorear un número es descomponerlo ñ 2

en el producto de sus factores primos. J 1

Se va dividiendo al número por todos susfactores primos, o sea, todos los números

24 ~ 23 . J1 primos por los que sea divisible, tantas vecescomo sea divisible. Y se expresa como

oroducto de ootenoas de sus factores orimos.

* Sumas Algebraicas de expresiones radicales: Hay que tener cuidado cuando se suman expresionesradicales, ya que la única forma de sumar algebraicamente expresiones radicales es cuando los radicandos eíndices coinciden, cuando los índices coinciden pero los radicandos no, se puede ver si factoreando losradicandos y extrayendo factores, luego coinciden los radicandos.

Ejemplos: VS + 8 VS = 9 VS f2+r~~!2=3!2

Factoreo Extraigo elel "S" factor 23-76-

log 1~~<fY'rL@ Potenciación y Radicación1C Segunda Edición

Resolver (Parte 1)37x 32x3·294

1) x -x2 6) 9 5 8 35 (1 \ 10) _.32 14)x ·x· l3) 32x x2.213. xll

2) 56.53.5 7)x5 4 2

x4 11) (X)3 . (X)3 [2(x + 1)]5

3) 82 . x8 . x12 : 2315)

2-1 (x +1)3x4 1

8) 12) (x)3.(x)"Z

4) 24 ·x5 x4(h2 _ k2)2

x4 . y9 x3·x3 16)(h -k)

;h""k5) 4a·6b·4b·6a 9)

x9. y413) 1

X3·x

Mencionar qué propiedad se ha aplicado en cada caso

17) xh .xk = xh+k 21) (~r=~k ka

18) aO=1 (con a ""O) 22) -v 1x =-h xY

19) y h-k+r=Y 23) (x . y)k = xk . ykl20) (bct =bc·a 24) al =a

h25) 'W1 = ak

26) (a + b)X = aX + bX

¿Es correcto esto? ¿Por qué?

¿Verdadero ó Falso? Justificar teniendo en cuenta las propiedades

h2.n+1 (-8 13 )027) h2n-1 = h

230) ;13 :~-8 ·125· k3 = 1

(Con x '" O ; Y '" O ; k '" O )

833) ;=x5

X

34) (sir = 54

b2. a5 b35) ~=a

x-8 . y13 528) 13 -8 =(x·y)

X .y 31) (a2)3=as

32) kO = k

Resolver Aplicando propiedades (Parte II)6

3 -41) lx3 . (X4) y lo 2 4

47) ( v 8 .x \l 2 )37) (132)5

3

38) (53)43 2

39) l(k4) )

-145) s: (2. x-2)3

3

42) l(x . x3t(x4 )3 )55

40) (x4)"Z ·x-98

43) (x-2.x)( x2 \-2

49) l-)x r í

Unir con flechasb c

50) ac ·abb b

51) ac . ac lb+CJ lb+CJ52) a -c- -a -b-1 C

(b)- a54) a b._aC+1

2·ba c1

-77-

l· (~ Potenciación y Radicación09 1K A-trr"r:6H 'Te - Segunda Edición

Efectuar las siguientes operaciones 3

55) .J5 . .J660)

~169 63) ~Fx+JY.~Fx-JY 67)18 (%X2y./;3~56) JC·VC 64) 2n¡k.n¡k2 5

57) f0.rx 61.) ,JN~65) 0/8

68) .JX (x-2)4

-958) 1?fz15 r4 69) ~ (x2)10

J;.Ji.Ji 62) .fa 3 -759) 66) xI . .JX 70) ~8x-5 (4x-6 ya

~

-4 -2

73) ( 7 fT (16)7l4) ·l49)

-5 -374) (0)8"· (0)""2

Extraer todos los factores posibles de las raíces:

87) f216 90) ¿FI728 93) ~ 2592

88) ~ 567 91) ?j 1024 94) f9889) ~ 675 92) ~ 2000 95) flO8

96) ~ 6300

97) ~ 2700

98) f7S6

99) ~1715

100) ~ 1250

101) ~1701

Extraer factores y luego agrupar y operar según corresponda

102) f48 + ..[i.7 105) 2xf8- 5f3h2

106) J45 +! ~1225 - J205

107) 2 ~ 6 ·GT2

-J54

103) f1iX + fllX

104) 7 f18X - 3 f50X

Efectuar las siguientes operaciones, simplificando lo que sea posible:

111) ~49.a8 .b4 ·c2 = 113) (.fa ·Vb/ = 115) Jx2 - 2 .xy +y2 = 117) 3125.x9 =64.y6

16. x12 ~81 . .J64 h2 k2114) 118) ~1323. x5 =112) 4 __ =

5J32.x5116) -+-+2 =

b20 k2 h2

Operar para lograr que solamente quede una única raíz.- Sugerencia: Fijate si te resulta más fácil"pasar" todo a exponentes fraccionarios, y recién después empezar a operar. ..

119) J7a 121) ~x . .JX 123) l~ffv r120) ~<J272 122) ~~# 124) [;4.Jr4-5.-~r=4=5=.J45::::::4~5

125) ):. VI<

126) ~(a+b). ~va+b

-78-

r

129)

132) x~ aX • bX130)

Extaer todos los factores de las raíces, cuando sea posible.-

135) W 139) ~ a7-n+14 con a ~ O

3512· zl1 . yl0 . x6

138)x2

140) a.j bB+16.y con b ~ O136) ~625. xS + ~27. yB

Escribir las siguientes expresiones dentro de una única raíz:Nota, en todos los casos hay que introducir factores, sugiero expresar los denominadores como potenciasnegativas para introducirlos en los radicales

141) x.~ 142) 4· h6 .3fki 143) 4.~2.hS 144) kB.B.[h

145) ~ 146) ~ 147) ~'~ 148) 2·x-2'~~X7 'v'x~O

4·x2 3 4 54

Efectuar las siguientes operaciones (Siempre y cuando puedan hacerse)

149) J5+8·J5 152) .JY+JY3 155) )aS.b _Ja.bS

_ faS.bs

cS cS V cS

150) h·Fa +k·Fa 153) 145+.[63 -M pg= ~~_ 3-2

151)-h.Jk-k . .Jh 154) ~1296-~4096+~50625 156) 18 r7

• Problemas de aplicación con potencias y raíces:

157) Hallar, usando el teorema de pitágoras, la diagonal de un cuadrado de lado L = 2.J2.

158) Hallar, usando el teorema de pitágoras, la diagonal de un rectángulo de B = .J2. H = .J3

Hallar el perímetro de las siguientes figuras:

159) a c 160) a ab = Ea bc=m atx:= 90°,,, béd = 90°,,

cd=M de= .J36,,,,, cék = 90°,,.,.,,,,

.,, d e d5 babcd es un rectángulo

bbe= .J3 bd« .J2. c

3S fácil

1

+b

161) Hallar la expresión del valor del lado en función de "m" de un cuadrado de área (m+ 1)2cm2.

Diagonal162) Tomando los datos del cuadrado del problema anterior. Calcular la siguiente razón: --::--=--

m2 +2m +1

-79-

n log 1,~A-cJ'rr¿ n@-Segunda Edidón _'P:.....;o=.;t~e:.:..n:..::c::.:ia::.;c:.:..io=.:'n~y_'R~a:::..:d:::..:i~c.:::.a.:::i~ó~,

Simplificar los exponentes con las raíces y llegar a la expresión mas simplificada:

127) V( a + b )3r 129) 6 729· :~2 . y3 131) V16. x8

~~h + k )2 133) x-V 2;2

V.(a - b)3130)

a6

'¡¡' x"" 1

132) xz.J aX • bX

Extaer todos los factores de las raíces, cuando sea posible.-,7 W ~125000.a7 .b11·c2 ~ a7.n+14r 135) 137) 139) con a ;: O

3 512· Zl1 . yl0 . x6136) ~625.xS +)27.yB 138) 140) 'V bB+16.y con b;:O

x2

2

ácil

Escribir las siguientes expresiones dentro de una única raíz:Nota, en todos los casos hay que introducir factores, sugiero expresar los denominadores como potenciasnegativas para introducirlos en los radicales

141) x.~ 143) 4· ~ 2 . hS

~145) --4·x¿

~3

4

148) 2· x-2 .~~x7 '¡¡' x;: O147) ~.l~4 Vs146)

Efectuar las siguientes operaciones (Siempre y cuando puedan hacerse)

149) J5 + 8·.J5 152) JY +.Jy3 155) Jas. b _ Ja. b

S_ )a

S.<;b

S

cS cS e-150) h-Ja +k·Ja 153) J45+J63 -M ~ ~

~_ 3-2

151) - h . .Jk - k· Jh 154) ~1296 - ~4096 + ~50625 156) 18 r7

• Problemas de aplicación con potencias y raíces:

157) Hallar, usando el teorema de pitágoras, la diagonal de un cuadrado de lado L = 2.fi

158) Hallar, usando el teorema de pitágoras, la diagonal de un rectángulo de B = .fi H = .J3

Hallar el perímetro de las siguientes figuras:

159) a c 160) ab= .JSO

cd= M

bc= .fi2

de= .J36abc = 90°

béd = 90°

c2e = 90°

a,.,-",,,,

"""",./"

"""",'b .,-' d

abcd es un rectángulo

bc= .J3 bd-. .fi

'--__ --,d

b '-- ...J C

161) Hallar la expresión del valor del lado en función de "m" de un cuadrado de área (m+ 1)2 cm2.

Diagonal162) Tomando los datos del cuadrado del problema anterior. Calcular la siguiente razón: --::--..:::.--

m2 +2m +1

-79-

log 1~¿¡\~ ¿;~ n® - Segunda Edición --'-P.=.ot.=.:e::.:.".:.::c::.:cia=.c::.:i.=ó..:..:":.....JVL-.:....:R=a=d.:.::ic:=a:..:::c::..:ió="

h= J2k+fk3k

., 3~

163) Dado el siguiente cono:Hallar la expresión de su volumen en función de "k"

Recordemos que la fórmula 2de volumen del cono es: V = ~

3

164) Tenemos un cubo de arista a =..[2 cm

Hallar la expresión del incremento que tieneque sufrir ese valor de la arista para que suvolumen se incremente en .J72 crn3

a =../2 cm

QjqVolumen = V

1 Volumen = Vi +m cm3

165) Tenemos el siguiente triángulo rectán~UIO:A 1

Sabemos que: Tg 300 = - = - AB .fj a=30o

Dado el valor de A = 12 B

Hallar el valor numérico (A3 2 ,2de la expresión: lB + 3" J6)

166) Tenemos una caja de dimensiones: 18cm * 20cm * 35cm. Encontrar la medida de los cubos tales queel volumen de cada cubo sea 315 veces menor al de la caja. (Expresar en la forma mas simplificada posible)

167) Hallar el área de la figura abcd

168) Hallar el perímetro de la figura abcd

169) Hallar el área de la figura dcgh

170) Hallar el perímetro de la figura dcgh

171) Hallar el volumen del cuerpo.

172) Hallar el área total del cuerpo.

e fDatos:

9

ad =.[i

bc = fl8ab=bc-4

ae = 2·ad

af---<L

d "'-- .....:::.r.

Dados "x" "y" y "z" tres números irracionales: x = 12 y = 3[8 z = 52 + 1

Realizar las siguientes identidades en cada ejercicio reemplazando "x" "y" y "z" por sus valorescorrespondientes y verificar la igualdad:

173) x+y+z= 1112 +1

174) X-Y+Z=l-..[2

175) x - (y + z) = - 912 -1

180) (x. X2) + (y + y2) = x3 + y . (1 + y)

2181) _(x2+z2)=(x+z).(x-z)-S(-J2)

182) (1 + v'6}.Jx + y = (.JX + jY) . .¡¡

X1/2.y1/2 1/4183) V12 = (x. y)

ln= 1/4)2184) ~y.(z+x)= "jY.(S-J2+1)

185) 2·.JX - 2y = z2 _ (y _ 2x + 1)23x

-80-

178) x2+y2_z2=(y+z).(y_z)+2