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PUNTOS A DESARROLLAR:

$ Desarrollo mediante números

combinatorios.

$ Propiedades básicas de

números combinatorios.

$ Término general del desarrollo.

Tema 1

BINOMIO DE NEWTONÁLGEBRA 5to Secundaria

Sea (a + b)n; n ; n 2

el desarrollo del binomio en forma general es:

(a+b)n=

bC + ... + baC + baC + aCnn

n22n-n

21n-n

1nn

0

PROPIEDADES:

1. Número de términos = n + 1

2. Suma de coeficientes:

coeficiente = 2n

Observaciones:

2 = C + ... + C + C + Cnn

nn2

n1

n0

3. El término general (tk+1)

b a C = tk k n-n

k 1k+ ; n k

Ak + 1"es el lugar del término

4. El término central tc existe cuando n es impar, siendo

C =2

1n+

5. En el desarrollo de (a+b)n; n n 2 los coeficientes de

los términos equidistantes a los extremos son iguales,

esto es por combinaciones complementarias.

ACTIVIDADACTIVIDAD01.Hallar el quinto término del desarrollo de:

x2

1 + x2 2

3

9

A) 126x13 B) 126x7 C) 252x7

D) 84x13

E) 12x7

02. Hallar el sexto término del desarrollo de:

(2x5 - x

3)7

A) 42x25

B) -84x25

C) -42x25

D) -84x10

E) 84x25

03. CalcularAn@ si el décimo término del desarrollo de:

(2x5 + 3x

-1)n

contiene x6.

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

04. HalleAn@ si el cuarto término del desarrollo de:

(xn + y

n-3)8

es de grado 87.

A) 11 B) 12 C) 13

D) 14 E) 8

05. Calcular m+n, si el séptimo término del desarrollo de:

(2x4 + y

m)n

contiene como parte literal x12y18.

A) 10 B) 12 C) 14

D) 15 E) 23

06. HallarAn@ si un término del desarrollo de:

(5x

3

+y

4

)

n

contiene x21y8.

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A) 6 B) 9 C) 8

D) 10 E) 13

07. Indicar el coeficiente del término que contiene x20 en el

desarrollo de:

(x3 + x

-1)12

A) 120 B) 495 C) 360

D) 185 E) 195

08. Qué lugar ocupa el término independiente de:

(2x3 + 3x

-2)15

A) 8 B) 9 C) 10

D) 11 E) 12

09. Hallar el término independiente del desarrollo de:

(x8 + x

-4)12

A) 9 B) 110 C) 495

D) 220 E) 55

10. Para qué valor deAn@ en el tercer término del desarrollo

de:

( ) x2 - x 171-

n

el coeficiente es igual al exponente deAx@.

A) 5 B) 6 C) 7

D) 9 E) 18

11. Hallar el cuarto término de:

(x

2

+ 2y)

4

A) -30x3y2

B) 32xy2

C) 32x2y3

D) 28xy3

E) -28x2y3

12. Hallar el noveno término de la expansión de:

(2x5 + y

3)11

A) 1 230x16y25

B) 1 023x15y28

C) 1 320x15y24

D) 2 130x16y24E) N. A.

13. Halle el lugar del término que contiene como parte literal

a x29 en:

x

3 + x2

2

22

A) 5to B) 4to C) 8to

D) 6to E) 12to

14.)A qué potencia se debe elevar el binomio:

x21 + x

2

si el término 11 es de grado 20?

A) -15 B) -5 C) 10

D) 25 E) 20

15. Hallar el valor deAn@ en (x + y)n si el coeficiente del

tercer término es: 156/2.

A) 14 B) 15 C) 17

D) 13 E) 16

PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO

16.Un término en el desarrollo de:

(x2 - 5y

7)n

tiene como parte literal a x6y35. Hallar el coeficiente

del segundo término.

A) -30 B) -40 C) -50

D) -60 E) -70

17. Si en el desarrollo del binomio:

x

y2 + x3

2

3

n

existe un término cuyas potencias deAx@ eAy@

son respectivamente 5 y 8. Encontrar el número de

términos del desarrollo.

A) 8 B) 7 C) 9

D) 6 E) 10

18. Qué lugar ocupa el término de grado 48 en el desarrollo

de:

(x2 + y

3)18

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

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19. Hallar el término independiente en el desarrollo de:

x

3 +

3

x

4

29

A) 56 B) 78 C) 84

D) 126 E) 154

20. CalcularAx@ para el quinto y el octavo término del

desarrollo de:

(2x2 + x

5)11

toman el mismo valor.

A) 1 B)3 2 C)9 2

D)9 4 E)3 4

L1-X-5S 23

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$ Resolución mediante la

factorización y fórmula

general.

$ Solución de la ecuación.

$ Propiedad de las raíces.

Tema 2

ECUACIONES CUADRÁTICAS I

ECUACIONES CUADRÁTICASECUACIONES CUADRÁTICAS

Llamadas también ecuaciones polinomiales de segundogrado.

ax2 + bx + c = 0 ; a 0

Variable: x Constantes: a, b, c

Raíces: x1 x2

MÉTODOS DE SOLUCIÓNMÉTODOS DE SOLUCIÓN

1. FACTORIZACIÓN:

Resolver: 3x2 + x - 10 = 0

Luego:(3x - 5)(x + 2) = 0

3x - 5 = 0 x + 2 = 0

x = 5/3 x = -2

C.S. = {5/3; -2}

Resolver:4x2 - 4x + 1 = 0

Solución:4x2 - 4x + 1 = 0

2x -1

2x -1

Luego:(2x - 1)(2x - 1) = 0

2x - 1 = 0 2x - 1 = 0

x = 1/2 x = 1/2

C.S. = {1/2} (solución única o raíz doble)

2. FÓRMULA GENERAL

a2

ac4 - b b- =x

2±

Resolver: 3x2 - x - 1 = 0

Solución: a = 3; b = -1; c = -1

2(3)

4(3)(-1) - )(-1 (-1)- =x

2±

6

13 1 =x

±

C.S. =

RAÍCES SIMÉTRICAS:

r= x

r- = x ; 0 = x + x

2

1

21

RAÍCES RECÍPROCAS:

r

1 = x

r = x

; 1 = x . x2

1

21

ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos ecuaciones cuadráticas:

ax2 + bx + c = 0 mx

2 + nx + p = 0

son equivalentes, es decir, tienen el mismo conjunto solución

si:

0 _ mnp ;

p

c =

n

b =

m

a

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ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Resolver: x2 - 9x + 20 = 0

siendo x1 x2 sus raíces. Dar como respuesta

2x1.3x2 (x1 > x2)

A) 2 B) 0 C) 1

D) -1 E) -2

02. En la ecuación: (5x + n)2 - 4 = 0

encuentre el menor valor deAn@, de modo que (-1)

sea una raíz.

A) -3 B) -7 C) 3

D) 7 E) 0

03. CalcularAm@ en la ecuación:

(m+1)x2 - (m+8)x + 10 = 0

para que la suma de sus raíces sea 9/2.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

04. HallarAm@ para que el producto de las raíces de la

ecuación:

(m-2)x2 - 5x + 2m = 0

sea 6.

A) 1 B)

3

C)

4

D) 5 E) 6

05. CalcularAλ @ en:

λ x2 - (λ -5)x + 1 = 0

si se cumple:

x1.x2 = x1 + x2

A) 2 B)8

C)

4

D) 6 E) -1

06. HallarAn@ sabiendo que las raíces se diferencian en 3

unidades:

x2 - 7x + n = 0

A) 10 B)

5C)

4

D) 8 E) 1

07. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación:

x2 - (m-1)x + m + 1 = 0

calcular el valor de:3 3 + m , sabiendo:

3

2 =

x

1 +

x

1

21

A) 1 B)

2

C)

3

D)3 6 E)3 7

08. CalcularAn@ si una raíz de la ecuación:x2 - (n-3)x - 3n = 0

es el negativo de la otra.

A) 1 B)

2

C)

-2

D) -3 E) 3

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09. Encontrar el valor de K que hace que la ecuación:

x2 + 9x + K = 0

una raíz sea el doble de la otra.

A) 9 B) 6 C) 3

D) 27 E) 18

10.Resolver:

x2 - 4x + 1 = 0

Indicar una de sus raíces.

A) -2 - 3 B)

-2 - 2

C) 2 + 2

D) -1 E) 2 + 3

11. Calcular el discriminante de:

x2 + 3x - 10 = 0

A) 49 B) 31

C) -31

D) -49 E) 7

12. Sabiendo que una de las raíces de:

x2 - (n

2 - 5)x - 8n + 3 = 0

es -3, calcular la otra raíz.

A) 7 B) 8 C) 9

D) 11 E) 13

13. Luego de resolver:

x2 + 14x - 51 = 0

Indicar la mayor solución.

A) 3 B) 4 C) 7

D) 17 E) -17

14. HallarAa@, si las raíces de la ecuación son iguales:

x2 - 6x + a = 0

A) 1 B) -9 C) 9

D) 4 E) -4

15. HallarAn@, si el producto de raíces de la ecuación es 6.

(n + 5)x2 - (n + 6)x + n

2 - 25 = 0

A) 11 B)

-5

C)

6

D) 5 E) 0


16.Si una de las raíces de la siguiente ecuación:(2n-1)x

2 + (5n+1)x - 3 = 0

es -3, determine el valor deAn@ y el de la otra raíz.

A) n = 5; x = 1/9 B) n = 1/9; x = 5

C) n = -5; x = 1/9 D) n = -1/9; x = -5

E) n = 1/5; x = 9

17.CalcularAm@ de modo que la suma de los cuadrados

de las raíces de:

x2 - (m-2)x + m - 3 = 0

sea igual a 2.

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

18.HallarAm@, si las raíces de la ecuación son recíprocas:

(m+4)x2 - (m-1)x + 3m - 6 = 0

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

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19.Hallar el valor que tieneAc@ en la ecuación:

3x2 + 4x + c = 0

si una raíz es la inversa de la otra.

A) 1/3 B) 3 C) 1/4

D) 1/5 E) -3

20. Encontrar el valor que tieneAp@, si una raíz es el doble

de la otra en la ecuación:

x2 + 6x + p = 0

A) 1 B) 6 C) -6

D) -8 E) 8

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$ Discriminante.

$ Naturaleza de las raíces.

$ Reconstrucción de la

ecuación.

Tema

ECUACIONES CUADRÁTICAS II

DISCRIMINANTE (Δ):

Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0 ; a 0

entonces:

Δ = b2 - 4ac

Hallar el discriminante de: 3x2 + x - 10 = 0

Resolución:

Como: a = 3; b = 1; c = -10

Δ = (1)2 - 4(3)(-10)

Δ = 121

ANÁLISIS DE LAS RAÍCES

En la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a 0

de coeficientes reales, raíces x1; x2 y discriminanteΔ =

b2 - 4ac se cumple:

I. Si: 0 ∆ las raíces son reales y diferentes.

(Positivo)

II. Si: 0 = ∆ las raíces son reales e iguales.

III. Si: 0 ! ∆ las raíces no son reales

(Negativo) (imaginarias conjugadas)

Observación: Si:Δ 0 las raíces son reales.

TEOREMA (Cardano - Viette)

En la ecuación: ax2 + bx + c = 0, a 0 de raíces x1; x2, se

cumple:

I. Suma de raíces:

a

b- = x + x 21

II. Producto de Raíces:a

c = x . x 21

Observación

x x4 = )x + x( - )x + x( 212

212

21

FORMAR LA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE

LAS RAÍCES x1; x2

Sean las raíces: x1 x2

Donde la ecuación es:

0 = x . x + x)x + x( - x 21212

0 = " + x# - x2

ACTIVIDADACTIVIDAD01. Determine Am@ y An@ de tal manera que las

ecuaciones:

(2n+1)x2 + 5nx + 20 = 0

(5m-52)x2 + (m-4)x + 4 = 0

tengan las mismas raíces. HallarAm+n@

A) 12 B) 15 C) 18

D) 19 E) 20

02. Formar la ecuación de segundo grado que tenga como

raíces la suma y el producto de las raíces de la

ecuación:

2x2 - 5x + 7 = 0

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A) 4x2 + 6x + 35 = 0 B) 4x

2 - 6x + 35 = 0

C) 4x2 - 24x + 35 = 0 D) 4x

2 + 24x + 35 = 0

E) 4x2 + 24x - 35 = 0

03. Dada la ecuación:

x2 + 2x + m = 0

)Qué valor deberá tenerAm@ para que represente la

diferencia de las dos raíces?

A) -2 + $ B) -2 - $ C) 2 +

6

D) A o B E) A o C

04.Halle% para que la suma de cuadrados de las raíces en

la ecuación:

x2 - 13x +% = 0

sea 69.

A) -50 B) 50 C) 30

D) -30 E) 20

05. Determine la ecuación equivalente, a otra ecuación

cuyas raíces son: -5/2 y -5/3

A) x2 + 25x + 25 = 0 B) 6x

2 + 25x + 25 = 0

C) 6x2 + x + 1 = 0 D) 6x

2 + 25x - 25 = 0

E) 6x2 - 25x + 25 = 0

06. Cuál es la ecuación de segundo grado cuyas raíce son:

(3 + & ) y (3 - & )

A) x2 - 6x + 4 = 0 B) x

2 - 5x + 3 = 0

C) x2 + 6x - 4 = 0 D) x

2 - 6x - 4 = 0

E) x2 + 5x - 3 = 0

07. En la ecuación:

2x2 - (n - 1)x + (n + 1) = 0

Hallar el valor positivo deAn@ para que las raíces

difieran en uno.

A) 10 B) 11 C) 1

D) 8 E) 12

08. En la ecuación:

x2 - nx + 36 = 0

HallarAn@ tal que:

12

& =

x

1 +

x

1

21

A) 25 B) 18 C) 12

D) 24 E) 15

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09.Formar la ecuación de segundo grado, si tiene por raíces

a: 2 y 5.

A) x2 - 7x + 10 = 0 B) x

2 + 7x - 10 = 0

C) x2 - 7x - 10 = 0 D) x

2 + 7x + 10 = 0

E) x2 + 10x + 7 = 0

10. Formar una ecuación de segundo grado, si sus raíces

son; 5 y 7.

A) x2 + 12x + 35 = 0 B) x

2 + 12x - 35 = 0

C) x2 - 12x + 35 = 0 D) x

2 - 12x - 35 = 0

E) N. A.

11. Hallar el mayor valor entero positivo deAk@ para que

las raíces de la ecuación:

x2

- 8x + k = 0

sean reales y diferentes.

A) 15 B) 16 C) 17

D) 14 E) 12

12.Hallar el menor valor entero positivo de P para que las

raíces de la ecuación:

x2 - 6x + m + 5 = 0

sean complejas conjugadas.

A) 2 B) 3 C) 4

D) 7 E) 5

13.Calcular m en la ecuación:

(m+1)x2 - (m+8)x + 10 = 0

para que la suma de raíces sea 9/2.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

14.Hallar n, si la ecuación presenta raíz doble:

(m+4)x2 - 1 = (2m+2)x - m

A) 5 B) 3 C) 2

D) 1 E) N. A.

15. Hallar el valor de k en la ecuación:

(k-1)x2 - 5x + 3k - 7 = 0

para que una de las raíces sea la inversa

multiplicativa de la otra.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 6


16.En la cuadrática:

25x2 - (m+46)x + m = 0

calcular un valor de m para que una raíz exceda a la

otra en 2 unidades.

A) 8 B) 16 C) 24

D) 32 E) N. A.

17. Hallar el valor de m en la ecuación:

x2 + (2m+5)x + m = 0

si una raíz excede a la otra en 3 unidades.

A) -1 B) -2 C) -3

D) -4 E) 13

18. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación:

5x2 + 4x - 2 = 0

evaluar:

x

x +

x

x = '

1

2

2

1

A) -3,5 B) -2,5 C) -3,6

D) -1 E) 2,6

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19. Indicar qué ecuación de coeficientes racionales tiene por

raíz a: 3- 2

A) x2 + 6x + 7 = 0 B) 2x

2 - 12x + 14 = 0

C) x2 - 6x + 5 = 0 D) x

2 - 6x + 9 = 0

E) x2 - 6x + 7 = 0

20. Dada la ecuación:

5x2 + 7x + 3 = 0

determinar la ecuación de segundo grado que tiene

por raíces las inversas de las raíces de la ecuación

dada.

A) x2 + 7x + 5 = 0 B) 2x

2 - 7x + 3 = 0

C) 3x2

+ 7x + 5 = 0 D) x2

+ 2x - 3 = 0

E) x2 + 5x + 7 = 0

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factorización.

$ Solución de la ecuación.

$ Propiedad de las raíces.

Tema !

ECUACIONES CÚBICAS

Son aquellas ecuaciones polinomiales de tercer grado cuya

forma es :

0=cx++ bx+ax23

Siendo a, b, c, d los coeficientes

donde a 0

PROPIEDADES DE CARDANO VIETA:

Sean x1, x2, x3, las raíces de la ecuación, se cumplen:

1. x1 + x2 + x3 =a

b-

2. x1x2 + x1x3 + x2x3 =a

c

3. x1x2x3 =a

(-

PARIDAD DE RAÍCES

1. Si m + n es raíz de la ecuación de

coeficientes racionales entonces m - n será

también raíz. (m, n Q; n Q" )

2. Si el complejo imaginario m +ni es raíz de la

ecuación de coeficientes reales entonces el

conjugado m - ni también será raíz (m; n ; n 0)

ACTIVIDADACTIVIDAD

01.Indicar una raíz de:

x3 - x

2 - 7x - 2 = 0

A) 2

13+3-B) 2

13-3C)

2

11-3

D) -1 E) 2

02. Indicar una raíz de:

x3 - 2x

2 - 14x + 3 = 0

A)2

21+&B)

4

21-&C)

2

21+&-

D) 3 E) -2

03. Si dos de las raíces de la ecuación:

x3 + 4x

2 + ax + b = 0

son 1 y 2.)Cuál es el valor de b?

A) -14 B) -7 C) 7

D) 14 E) 12

04. Si -2 y 4 son raíces de:

x3 + 3x

2 + ax + b = 0

calcular: a.b

A) 240 B) 400 C) 720

D) 360 E) 180

05. Si a, b, c son las raíces de:

3x3 - 4x

2 + 5x - 2 = 0

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Calcular: bc

1 +

ac

1 +

ab

1 =

A) -2 B) 2/3 C) 1/2

D) 2 E) 4/3

06. Si 1 y 2 son raíces de la ecuación:

x3 + ax

2 + bx + 10 = 0

Proporcionar la quinta parte de la otra raíz.

A) 1 B) -1 C) 5

D) -5 E) 2

07. Determinar el producto de las raíces de la ecuación:

3x3 - 11x

2 + 9x - 6 = 0

A) 6 B) -6 C) 2

D) -2 E) 3

08. Si -1; 1 y 2 son raíces de:

x3 + mx

2 + nx + p = 0

Calcular: m.n.p

A) -4 B) -2 C) 1

D) 2 E) 4

09. Proporcione el producto de las raíces no racionales de:

x3 - 7x

2 + 18x - 16 = 0

A) 6 B) 4 C) 5

D) -5 E) 8

10. Si a, b, c son raíces de:

x3 - 2x + 3 = 0

Calcular: a3 + b

3 + c

3

A) 9 B) -9 C) 6

D) -6 E) 1

11. Si a, b, c son diferentes, verifican:

a3

- 7a2

+ 4 = 0b3 - 7b

2 + 4 = 0

c3 - 7c

2 + 4 = 0

calcular: a.b.c

A) 3 B) -2 C) 5

D) -4 E) 7

12. Hallar K en la ecuación:

x3 - 3x

2 + Kx + 12 = 0

sabiendo que tiene 2 raíces opuestas.

A) -5 B) -4 C) -3

D) -2 E) 1

13. Formar una ecuación con coeficientes enteros que

tengan por raíces:

2

1;

&

3- ; 1

A) x3 + x

2 + x + 1 = 0

B) x3 + 9x

2 - 4x + 5 = 0

C) 10x3 - 9x

2 - 4x + 5 = 0

D) 10x3 - 9x

2 - 4x + 3 = 0

E) 10x3 - 9x

2 + 4x - 3 = 0

14. Calcular b.c, si:

x3 - 6x

2 + bx + c = 0 ; b, c Z

presenta a 2+ 3 como raíz.

A) 24 B) -18 C) 16

D) -12 E) 6

15. Formar la ecuación cúbica de coeficientes enteros cuyas

raíces son: -1; 1+ 3 ;*

Reconocer el término lineal.

A) 3x B) 2x C) -5x

D) -4x E) x


16.Si 2 es una raíz de:

x3 + 4x

2 - 7x + a = 0

Indicar una de las otras raíces.

A) 1 B) 2 C) -3

D) 4 E) 5

17. Indicar la menor solución de:

x3 + 9x2 + 23x + 15 = 0

A) 2 B) -1 C) -5

D) -1/2 E) -3

18. Siendo a, b, c raíces de:

x3 + 5x

2 + 2x = 3

Calcular:c

1 +

b

1 +

a

1 =

A) 1 B) 0 C) 2/3

D) 3/2 E) 3/4

7/21/2019 L1-X-5S.doc


19. Si a, b, c son raíces de:

x3 - 2x

2 + x + 1 = 0

formar la ecuación cúbica cuyas raíces sean:

y1 = ab, y2 = bc, y3 = ac

A) y3 + y

2 - 2y + 1 = 0

B) y3 - y

2 - y - 2 = 0

C) y3 - 2y

2 - y + 1 = 0

D) y3 - 2y

2 + y - 1 = 0

E) y3 - y

2 - 2y - 1 = 0

20. Indicar la ecuación que es verificada por:

1 + 3 - 9 33

A) x3 - 3x

2 - 12x - 16 = 0

B) x3 + 3x

2 - 12x + 16 = 0

C) x

3

- 3x

2

+ 12x + 16 = 0D) x

3 - 3x

2 + 12x - 16 = 0

E) x3 + 3x

2 - 12x - 16 = 0

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$ Mínimo y Máximo de

expresiones cuadráticas.

$ Construcción de expresiones

cuadráticas, y su acotación.

$ Elevar al cuadrado miembros

de una desigualdad.

$ Problemas relacionados a

Tema 5

DESIGUALDADES

PROPIEDADES:

Sean a; b

1) Dados a; b +

$ a < b a2 < b2

$ a < x < b a2 < x2 < b2

2) Dados a, b -

$ a < b

a

2

> b

2

$ a < x < b b2 < x2 < a2

3) Dados a -; b +

$ a < b a2 ? b2

$ a < x < b 0 x2 < Máx {a2 , b2}

Medias:

Dadosa, b, c +, se verifican:

$

b

1 +

a

1

2 ab

2

b + a ≥≥

$

c1 +

b1 +

a1

3 abc

3

c + b + a 3 ≥≥

$ MA MG MH

Donde

MA: media aritmética

MG: media geométrica

MH: media armónica

ACTIVIDADACTIVIDAD

01.Indique el intervalo para:

A = x

2

- 10x + 26 ; x [3; 8[

A) [-1; 8[ B) [1; 10[ C) ]-1; 9]

D) [-1; 1[ E) [-1; +[

02. Hallar el valor mínimo de:

N = x2 - 4x + 7; x -1 x < 3

A) -7 B) -4 C) 1

D) 3 E) 5

03. Si: x [-1; 6[, a qué intervalo pertenece:

E = x2 - 2x - 3

A) [-7; 12[ B) ]-1; 23] C) ]-11; 4]

D) [-4; 21[ E) ]-4; 21[

04. Determinar el intervalo al cual pertenece:

y = x2 + 6x - 7; si x ]-4; 2]

A) [-9; 10[ B) ]-7; 12] C) [-16; 9]

D) [-21; 21[ E) [-21; 21]

05. Hallar el máximo valor de:

T = 3 + 4x - x2; si x

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A) 7 B) 5 C) -6

D) 11 E) 12

06. Entre qué valores varía:

M = x2 + 4x - 3; si x [-4; -1[

A) ]-9; -6] B) [-7; 3] C) ]-1; 6]

D) [-4; 1[ E) ]-4; 1]

07. Calcular el mínimo valor de:

A = x2 - 5x + 2; si x

A) 13/2 B) -17/2 C) -17/4

D) 15/4 E) -15/4

08. Hallar ab si -3 < x + 1 < 6; implica que:

a x2 - 1 < b

A) -18 B) 36 C) -24

D) 12 E) -12

09. Si x < 4; determinar la extensión de:

x + 9

6 =

2

A) ]-1/2; 1] B) ]0; 2/3] C) [-1/4; 1/3[

D) [-1/3; 1/2[ E) N. A.

10. Obtener la extensión de:

17x+6+x

6 = "2

; x

A) [-1/2; 1[ B) ]-1/4; 1/4] C) ]0; 3/4]

D) ]-1/2; 1/2[ E) N. A.

11. Analizar la extensión de:

2 -x4 + x

2 =2

; x ]-3; 0[

A) [-3/2; 1[ B) ]-1; -1/3] C) ]-3/4; 1]

D) ]-1/2; 1/2[ E) N. A.

12. Analizar la extensión de:

x - 34 =y 2 ; si x > 3

A) [-1/2; 1/2[ B) ]-1; 1/4] C) ]0; 1/2[

D) ]-2/3; 0[ E) N. A.

13. Obtener el mínimo valor de:

x

64 +

4

x = ; si x

+

A) 4 B) 8 C) 16

D) 32 E) 40

14. Obtener el valor mínimo de:

9x + 4y, si: x, y +; xy = 64

A) 24 B) 72 C) 96

D) 100 E) 48

15. Si ab > 0; a qué intervalo pertenece:

a

b4 +

b

a$1 = "

A) [64; +[ B) [36; +[ C) [25; +[

D) [16; +[ E) N. A.

PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO16.Indicar el mínimo valor de:

a

2 + a = "

2

4

; a - {0}

A) 2 2 B) 4 2 C) 2D) 4 E) 8

17. Si x, y, z +; x y z

Indicar el menor valor entero de:

y, + x,+xy

, + y + x =

222

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A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

18. Obtener el menor valor entero de:

A = (x + y + z) (x-1 + y

-1 + z

-1)

Si x, y, z +, diferentes entre sí.

A) 6 B) 8 C) 9D) 10 E) 12

19. Si a, b, c +, además:

a + 2b + 3c = 36

abc = 288

Hallar el valor de:c - b

b - a =

A) 10 B) 12 C) 3

D) 4 E) 8

20. Calcular el mayor valor deAn@ si:

n abc

)c + b + (a3

≥ ; a, b, c +

A) 18 B) 27 C) 9

D) 1/3 E) 1/5

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factorización y la fórmula

general.

$ Resolución de casos

particulares.

$ Problemas relacionados al

trinomio positivo.

$ Problemas relacionados al

P(x) = ax2 + bx + c>

<

0; a 0

Δ = b2 - 4ac

a(x-x1) (x-x2)<

>

0

Tema #

INECUACIONES DE SEGUNDO

GRADO

INECUACIÓN CUADRÁTICAINECUACIÓN CUADRÁTICA

Forma general:

donde: {a; b; c}

Del rectángulo se obtiene: ax2 + bx + c > 0; ax

2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c 0; ax

2 + bx + c 0

La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del discriminante:

PRIMER CASOPRIMER CASO

Si:Δ > 0; ( > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, es factorizable en el campo real, para resolver utilizaremos el método de lospuntos

críticos.

PROCEDIMIENTO

1.Se factoriza el polinomio.

2.Hallar los dos puntos críticos, luego se ordenan en la recta real en forma creciente.

3.Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo, por ello se colocan entre los puntos críticos los

signos (+) y (-) alternadamente de derecha a izquierda; comenzando por el signo (+).

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(mx + n)2 <

>

0

(mx + n)2 + k<

>

0; k > 0

4.Si tenemos: P(x) = ax

2 + bx + c < 0 ó P(x) = ax

2 + bx + c 0

El conjunto solución estará formado por el intervalo donde aparece el signo (+).

SEGUNDO CASOSEGUNDO CASO

Si:Δ = 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma a un trinomio cuadrado perfecto de la forma:

Ejemplo:

Resolver: x2 - 10x + 25

>

<

0

Solución: Calculando la discriminante:

Δ = (-10)2 - 4(1) (25) = 0

x2 - 10x + 25

>

<

0

Trinomio cuadrado perfecto

(X - 5)2 >

<

0

Resolviendo cada una de las desigualdades:

a) (x - 5)2 0

se verifica: x

b) (x - 5)2 > 0

se verifica: ; x a excepción de: x - 5 = 0

x = 5

C.S. = - {5}

c) (x - 5)2 < 0

se observa una inecuación, la cual no se verifica

para ningún valor de x . C.S. =.

d) (x - 5)2 0

la inecuación sólo se cumple si: x - 5 = 0

C.S. = {5}

TERCER CASOTERCER CASO

Si:Δ = 0; (a > 0), el po

linomio: ax2 + bx + c, se transforma en un cuadrado perfecto más un cierto número real positivo, de la forma:

Ejemplo:

Resolver: x2 + 2x + 6

>

<

0

Solución: Calculando la discriminante:

Δ = 22 - 4(6) (1)

Δ = -20 < 0

Luego: x2 + 2x + 1 +

>

<

0

Trinomio cuadrado perfecto

(x + 1)2 + 5>

<

0

Resolviendo cada una de las desigualdades:

a) (x + 1)2 + 5 > 0

+ +

Se verifica: x

C.S. = = <-; +>

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b) (x + 1)2 + 5 0

+ +

También se verifica: x

C.S. = = <-; +>

c) (x + 1)2 + 5 < 0

+ +

Nunca se verifica pues el primer

miembro siempre es mayor que cero.

C.S. =.

d) (x + 1)2 + 5 0

+ +

Nunca se verifica: C.S. =.

TEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVOTEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVO

Si el polinomio: P(x) = ax2 + bx + x; {a; b; c}

tiene discriminante (Δ = b2 - 4ac) negativo y (a > 0), entonces: ax

2 + bx + c >; x

Ejemplo:

Hallar el menor de los númerosAM@ que cumple la

siguiente condición:

x ; 4x - x2 - 12 M

Solución: 4x - x2 - 12 M

Multiplicando a todos los términos de la

desigualdad por (-1) se tiene:

x2 - 4x + 12 -M

x2 - 4x + (M + 12) 0

Como se verifica x y el primer coeficiente

es positivo (1 > 0), entonces el discriminante

debe ser menor o igual a cero.

Luego tenemos:

Δ = 16 - 4(M + 12) 0

16 - 4M - 48 0

-32 4M 4M -32

M -8

Graficando:

Del gráfico, el menor valor de M es -8.

COLORARIOCOLORARIO

Si el polinomio: P(x) = ax2 + bx + c; {a; b; c}

Tiene discriminante:Δ < 0; (a < 0), entonces:

ax2 + bx + c < 0 x

ACTIVIDADACTIVIDAD

01.Resolver: 2x2 - 7x + 6 0

A) [2; +> B) [-2

3

; 2] C) [2

3

; 2]

D) <-; 2] E) <4; +>

02. Resolver: 3x2 - 7x + 4 > 0

indicar un intervalo.

A) <-; 1> B) <-;2

3> C) <-3; +>

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D) <-4; +>E) <3

1; 4>

03. Resolver: 2x2 - 3x - 9 < 0

e indicar la suma de valores enteros que la verifican.

A) 2 B) 3 C) 5

D) 6 E) 9

04. Resolver: x2 - 14x < - 49

A) x <-7; +> B) x <-; -7>

C) x <7; +> D) x

E) x .

05. De los siguientes enunciados,)cuántas son verdaderas?

I. x2 > 0 x

II. (x - 1)2 0 x

III. (x + 3)2 0 x

IV. (2x - 3)2 0 x

2

3

V. x2 0 x 0

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

06. Resolver: x2 + 2x - 1 < 0

A) <- 2 ; 2 > B) <- 2 - 1; - 2

+ 1>

C) <1 - 2 ; 1 + 2 > D) <- 2 -1; 2 -

1>

E) <-2- 2 ; 2- 2 >

07. Resolver: x2 + 10x + 27 0

A) <-; +> B) <-; 3-5 >

C) <-3- 5 ; +>D) <-3+ 5 ; +>

E).

08. Resolver: x2 + 10x + 27 0

A) x . B) x <-; +>

C) <-; -2> D) < 2 -1; - 2 +1>

E) <-; -3>

09. Resolver: (5 + 2x) (3 - 4x) 0

A) x [-5

2;4

3] B) x <-;

5

2] [

4

3; +>

C) x [-2

5;4

3] D) x <-; -

2

5] [

4

3; +>

E) x

10. Resolver: 2x2 - x + 10 0

A) x [-2;2

5] B) x <-; -3] [

2

5; +>

C) x <-; -2

5] [2; +>

D) x [-2

5; 2] E) x

11. Resolver: x2 - 20x -(25 + 3x

2)

A)x B) x - C) x .

D) x E) x -

12. Hallar el mayor valor enteroAm@ tal que para todo x ,

se cumple: m x2 - 10x + 32

A) 5 B) 8 C) 6

D) 7 E) 10

13. Hallar el menor número enteroAM@ tal que para todo x

, se cumpla: -x2 + 4x - 10 M

A) -5 B) -3 C) -1

D) 1 E) 2

14. Resolver: x3 - 1 < (x - 1)

3

dar un intervalo solución.

A) x <0; 1> B) x <-; 1> C) x [-1; 0]

D) x [-1; +>E) x <-1; 1>

15. Resolver:

x(x + 4) (x + 6) + 16 (x + 1) (x + 2) (x + 6)

A) x . B) x {-2} C) x <-; +>

D) x <2; +>E) x {2}


01.Resolver: 7x2 - 5x + 1 0

A) x

14

7 2 + 5 ;

14

7 2 - 5

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B) x

14

7 2 + 5- ;

14

7 2 - 5-

C) x [-2 7 : 2 7 ]

D) x

E) x .

02.Indicar el mayor número enteroAm@ que satisface la

desigualdad: 2x2 - 4x + 1 > 2m

x

A) 3 B) -2 C) 0

D) -1 E) 1

03.)Cuántos valores enteros no negativos verifican:

4x2 - 4x - 49 < 0

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

04. Al resolver: x2 - 5x + 2 0

se obtiene como conjunto solución:

x -<m; n>. IndiqueAm + n@.

A) -5 B) -1 C) 2

D) 4 E) 5

05. Si la inecuación: x2 - mx + n < 0

presenta como conjunto solución:

x <3; 5>. IndiqueA2m + n@.

A) 23 B) 18 C) 31

D) 15 E) 24

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$ Definición de valor absoluto.

$ Propiedades que se deducen

de la definición.

$ Propiedades aplicadas a

resolver ecuaciones.

x 0; x x = 0; x = 0

Tema %

VALOR ABSOLUTO

DEFINICIÓNDEFINICIÓN

Se llama valor absoluto de un número realAx@ y se denota porx al número real no negativo que cumple.

0 ! xx;-

0 xx;

_ = _ x _

≥

también

0 ! xx;-

0 = x0;

0 xx;

_ = _ x _

Ejemplos: 3 = 3; pues: 3 > 0

x2 +1 = x

2 +1; pues: x

2 + 1 > 0

-5 = -(-5); pues: -5 < 0

3 - 7 = ( 3 - 7 ) = 7 - 3 ; pues 3 - 7 < 0

0 = 0

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICAINTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

La distancia de un número real a cero se denomina valor absoluto y se le representa entre barras.

Ejemplo:

El valor absoluto de -6 es 6, ya que la distancia de -6 a 0 es 6 y se representa como:-6 = 6. También:6 = 6.

En general:

PROPIEDADESPROPIEDADES1.

Ejemplo:

x2 - 2x 0; x

2.

Ejemplo:

x - 2 = 0 x - 2 = 0 x = 2

2x - 5 = 0 2x - 5 = 0 x = 5/2

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xy =x y

x2 =x

2 = x

2

-x x x

x =-x

x + y x +y

3.

Ejemplo:

2x =2 x

(x -2) (x-6)] =x-2 x-6

4.

Ejemplo:

5 .

Ejemplos:

(x - 5)2 =x - 5

2 = (x - 5)

2

x2 = x

2

(x - 2)2 = (x - 2)

2

6. _x _=x

2

Ejemplos:

_ & -x _ =)& -(x2

_ 1 +x _ =)1 +(x2

7.

8.

Ejemplos:

5 =-5

3 =-3

x - y =y - x

x - 2 =2 - x

9. Desigualdad triangular

Demostración:

x + y2 =x + y

2 propiedad 5

Desarrollado:

x + y2 = x

2 + y

2 + 2xy

Se sabe:

x2 = x

2;y

2 = y

2

Reemplazando tenemos:

x + y2 = x

2 + y

2 + 2xy ... I

De otro lado:

xyxy propiedad 7

multiplicando por 2:

2xy 2xy

Ahora sumando a ambos miembros:

x2 +y

2 tenemos:

x2 +y

2 + 2xy x

2 +x

2 +x y

I xy

x + y2 (x +y)

2

De donde:x + y x +y

ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

TEOREMASTEOREMAS

1.x = a a 0 (x = a x = -a)

2.x =a x = a x = -a

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3. |x| < a -a < x < a

4. |x| > a x > a x < -a

ACTIVIDADACTIVIDAD

01.Resolver la ecuación:3x - 8 = 4

Indicar una solución.

A) 1 B) 2 C) 4/3

D) -6 E) -20

02.Resolver la ecuación:4x + 5 = 15

Indicando una solución.

A) 5/2 B) 2/5 C) 1/3

D) 1/7 E) 1/5

03.Resolver la ecuación:3x - 2 = 2x + 3

Hallar el número de soluciones.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 6

04.Resolver la ecuación hallando el número de soluciones:

5x = 6 - x

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 6

05. Resolver la ecuación:

Hallar el número de soluciones.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 6

06.Resolver:x - 1 = x2 - x - 1

A) { 2 ; 2} B) {- 2 ; 2} C) {-2, 2}

D) { 2 ; - 2 }E) { 2 ; -2}

07.Resolver |x + 1|2 - |x + 1| - 6 =0. Determinar la suma de

sus soluciones:

A) 4 B) -4 C) 2 D) -2 E) 1

08. Resolver: |5x - 3| = 2x - 3. Indicar la diferencia de sus

soluciones:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

09.Resolver: |x - 2| > 3

A) x > 5 x < -1 B) x > 2 x < -2

C) x R D) x < 1 x > -5

E) x

10. Resolver: |2x + 9| < 5

A) x [-7; 2 B) x [-7; 2]

C) x [-7; 3 D) x [-7; -2

E)

11. Resolver: |x + 1| < 6

A) x -6; 6 B) x -7; 5

C) x -5; 5 D) x -7; 6

E) x -4; 5

12.Resolver |3x + 2| < 2x + 6

A)-3; 4 B) [-3; 4 C)

5

8-; 4

D)-3;5

8- E)

5

8; 4

13. Resolver: |2x - 1| x + 1

A) [-2; + B)0; 2] C)0; 2

D) [0; 2] E)-; 0] U [2; +

14. Resolver |3x - 2||2x + 1|

A) [1/5;3] B) [2/3; + C) [-1/3; 1]

D) [1/3; + E) [1/3; 1

15. Resolver1 -x

7 +x3< 5

A) [-1/4; 6]

B)-; -1/4 U-6; +

C)-; -1/4 U6; +

D)-; -1/4 U6; +

E) x R

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01.Resolver |x - 1| < 3. Indicar el productor de sus

soluciones enteras.

A) -6 B) 6 C) -24 D) 12 E) 0

17. Resolver |2x - 3| 7

A) x [-2; 5] B) x [-1; 2]

C) x [-1; 5] D) x [-5; 2]

E) x [0; 7]

18. Resolver: |5x + 4| 31. Dar el intervalo NO solución.

A) [-5; -2] B)27/5; 5 C)-7; 27/5

D)-3; 7 E)27/7; 7

19. Resolver: |2x - 3| x + 6

A) x [-1; 9] B) x [0; 9]

C) x [-1; + D) x -; -1] U [8; +

E) x -α; -1] U [9; +

20. Resolver:3 -x2

2 +x< 4

A) x -; 10/9 U2; + B) x 10/9; 2

C) x R D) x

E) x -; 3/2 U2; +

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$ Par ordenado.

$ Relación y función.

$ Regla de correspondencia.

$ Cálculo de dominio.

Tema &

FUNCIONES I

PAR ORDENADOPAR ORDENADO

Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en

determinado orden:

(a, b)

Primera componente Segunda componente

PROPIEDADES: 1.(a, b) (b, a) (no conmutativa)

2. Si: (a, b) = (c, d) a = c b = d

PRODUCTO CARTESIANOPRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntosAA@ yAB@ no vacíos, se llama

producto cartesiano (A x B) Al conjunto de pares ordenados

(a, b) dondeAa@ AA@ yAb@ AB@, es decir: A x B =

{(a, b) / a A b B}

Ejemplo:

Sea: A = {1; 2; 3}

B = {2; 3; 4}

A x B = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 2), (2;

3), (2; 4), (3; 2), (3; 3), (3; 4)}

PROPIEDADES: 1.n (A B) = n(B A)

2.n (A B) = n(A) n(B)

RELACIÓNRELACIÓN

Dados dos conjuntosAA@ yAB@ no vacíos, se llama

relación deAA@ enAB@, a todo subconjuntoAR@ del

producto cartesiano AA x B@, es decir,AR@ es una

relación deAA@ enAB@ AR@ AA x B@.

En particular, si: A = B,AR@ se llama relación enAA@

(relación entre elementos deAA@).

La definición anterior de relación exige la comparación de

elementos pares por eso suele llamarse Arelaciones

binarias@.

Ejemplo:

En el conjunto: A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1}

Establecemos las siguientes relaciones:

-Aa@ es el doble deAb@.

-Aa@ es igual aAb@.

Escribir los pares que cumplen las relaciones

respectivamente.

R1 = {(a, b) /Aa@ es el doble deAb@} = {(2; 1), (4; 2), (6;

3), (8; 4)}

R2 = {(a, b) /Aa@ es igual aAb@} = {(1; 1), (2; 2) (3; 3), (4;

4), (5; 5), (6; 6), (7; 7), (8; 8), (9; 9)}

S SiAR@ es una relación entre elementos deAA@ y

AB@, al conjuntoAA@ se le llama conjunto de partida

de la relación y aAB@ conjunto de llegada.

S Se llama Dominio de una relaciónAR@ al conjunto de

todos los elementos (a A) tales que existe por lo menos

un (bB) con (a, b) .

S Se llama Rango de una relaciónAR@ al conjunto de

todos los elementos (b ) tales que existe por lo menos

un (aA) con (a, b) .

Ejemplo:

Sea la relación:

R1 = {(1; 2), (2; b), (2; 7), (3; 2), (1; -2)} DR1 = {1; 2; 3}

RR1 = {2; b; 7; -2}

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DEFINICIÓN DE FUNCIONESDEFINICIÓN DE FUNCIONES

SeaAA@ yAB@ dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser A =

B) llamaremos función

definida enAA@ a valores

enAB@ (función deAA@enAB@) a toda relación:

F A B

que tiene la propiedad: (a, b) F y (a, c) F, entonces: b = c

Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados de

elementos, tal quedos pares distintos nunca tiene el

mismo primer elemento.

Notación: siAF@ es una función deAA@ yAB@ se

designa por: F: A B ó

Se lee:AF@ es una función deAA@ enAB@.

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Ejemplos:

Siendo a b c, diremos: A B

F = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)}

es función.

M N

F= {(1; c); (2; d), (3; b)}

es función

M S

F = {(1; b), (2; a), (2; c)}

Si: a b c, luego no es función

porque se repite el primer elemento.

Si: a = c b, es función.

OBSERVACIÓN: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Ejemplo:

Hallar los valores deAa@ yAb@ para que el conjunto de

pares ordenados:

A = {(2; 5), (-1; 3), (2; 2a-b), (-1; b-a), (a + b2; a)}

sea una función.

Solución:

Es una función dos pares distintos nunca tienen el mismo

primer elemento.

(2; 5) y (2; 2a - b) A 5 = 2a - b .......... (1)

(-1; 3) y (-1; b - a) A b - a = -3 .......... (2)

De (1) y (2), resolviendo: a = 2; b = 1

F = {(2; 5), (-1; 3), (3; 2)}

* SiAF@ es una función deAA@ enAB@, el conjunto

AA@ se llamará conjunto de partida de la función yAB@

el conjunto de llegada.

* El dominio de una funciónAF@ se designa porADF@ y

se define como el conjunto siguiente:

DF = {x A / y; tal que (x, y) F}

* El rango (o imagen) de una funciónAF@ se designa por

ARF@ oAImF@ y se define como el conjunto siguiente:

RF = {y B / x; tal que (x, y) F} es decir son las

segundas componentes de los pares ordenados.

Si el par ordenado (a, b) F escribiremos: b = F(a) y

diremos queAb@ es imagen deAa@ porAF@ (o

también, queAb@ es el valor deAF@ enAa@ ). F =

{(a, b) A x B / b = F(a); a = DF}

Ejemplo:

Sea la función: F = {(2; 3), (3; 4), (7; 3), (-2; 6), (4; 1)}

Hallar: M = F(2) + F(3) + F(7) + F(-2) + F(4)

Solución: Como: F(2) = 3; F(3) =4; F(7) = 3; F(-2) = 6; F(4) = 1

M = 17

REGLA DE CORRESPONDENCIAREGLA DE CORRESPONDENCIA

Para que se pueda definir bien una función es suficiente

conocer su dominio (DF) y una regla que permita asignar

para cualquier x DF; su imagen F(x).

Ejemplo:

01. Hallar el dominio de las siguiente funciones:

A) F = {(2, 3), (4; 5), (6; 3), (-2, a)}

7/21/2019 L1-X-5S.doc


DF = {2; 4; 6; -2}

B) F(x) = 2 -x

DF = x - 2 0; x 2 DF = [2; +>

C) F(x) =& +x2 -x +

3 -xx

DF =& +x

2 -x 0 x - 3 0

x 3

DF = <-; -5> [2; +> - {3}

02. Hallar el rango de las siguientes funciones:

A) F = {(2; 3), (4; 6), (5; 7), (7; 6). (-2; 3)}

RF = {3; 6; 7}

B) Sea: F(x) = x2

y = x2 x ; y + {0}

DF = <-; +>; Rf = [0; +>

Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las

más conocidas:

S Cuando tenemos una función donde su dominio

no presenta rango, se despejaAx@ en función

deAy@.

S cuando tenemos un intervalo como dominio

usamos desigualdades.

C) Para la función definida por: G(x) = 2x2 + 3x + 2; x

Solución: y = 2x2 + 3x + 2 2x

2 + 3x (2 - y) = 0

x =

(2) 2

- (2 4(2) - 9 3- ±

SiAx@ , luegoAy@ también

Pero:Δ 0; 9 - 8(2 -y) 0 y 7/8 RG =

[7/8; +>

D) Para la función definida por: H(x) = x2 - 4x + 7 ; x [2;

3]

Solución: y = x2 - 4x + 7 y = (x - 2)

2 + 3

Como: 2 x 3 0 < x -2 < 1

Al cuadrado: 0 (x - 2)2 1

Más tres: 3 (x - 2)2 + 3 4 3 y 4 RH =

[3; 4]

E) Para la función: F(x) =1+x

x2

2

Solución: y = 1+x

x2

2

; yx

2

+ y = x

2

x

2

(y - 1) =

-y

x2 =

y - 1

y x =

y-1

y

y - 1

y 0;

1 -y

y 0

y [0; 1> RF = [0; 1>

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNGRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

SeaAF@ una función real, la gráfica deAF@ es el conjuntoAG@ de todos los puntos (x, y) en el plano, tal queAx@ está en el

dominio deAF@ eAy@ es la imagen deAx@ porAF@, es decir: G = {(x, y) R2 / y = F(x); x DF}

Una gráfica cualquiera será función, si sólo si, al trazar una paralela al ejeAy@ corta a la gráfica en un sólo punto.

Ejemplo:

a) F(x) es función, entoncesAL1" la recta paralela al ejeAy@

corta a la gráfica en un solo punto.

B) G(x) no es función entoncesAL2" la recta paralela al eje

Ay@ corta a la gráfica en más de un punto.

ACTIVIDADACTIVIDAD01.HalarAab@, si el conjunto de pares ordenados

representa una función:

F = {(2; 3), (3; a-b), (2; a+b), (3; 1)}

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

02. De la función:

F = {(2; 2a), (2; a2), (a; b), (a+2; b), (4; 4)}

Hallar: a+b

A) 0 B) 2 C) 4

D) 6 E) Hay 2 correctas

03. De la función:

F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)}

Calcular: F(F(2)) + F(F(3))

A) 1 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

04. De la función:

0 ! x; 3 +x

0 x; x- 2 _ = /(x)

≥

Hallar: F(F(3)) + F(F(-2))

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

05. De la función:

0 ! x; 1

0 = x; 0

0 x; 1-

_ = /(x)

Obtener: M = F(F(1)) + F(F(-1))

A) -2 B) -1 C) 3 D) 1 E) 2

06. Sabiendo que el conjunto de pares ordenados:

F = {(1; 5), (a; 6), (3; a2), (3; a+3)}

Representa una función, indicar el rango.

A) {1; 5} B) {5; 9} C) {1; 5; 6}

D) {1; 5; 9} E) {5; 6; 9}

07. Sea la funciónAF@ tal que:

F = {(3; a2), (3; 1), (5; 4), (5; a+b), (b; 4)}

Calcular la suma de los elementos del dominio.

A) 3 B) 5 C) 8 D) 13 E) 11

08.Hallar el dominio de la función:

4 +x

2 -x4 = /(x)

A) x B) x - {2} C) x - {-4}

D) x - {4} E) x - {1}

09.)Cuántos enteros presenta el dominio de la función?

$4 x- 3 + x+ 1 = /(x)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

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10.Encontrar el dominio de:

x - 1

1 - x = (x)

2

2

A) - {1; -1} B) - {1} C) - ]-1; 1[

D) - [-1; 1] E) - {-1}

11.)Cuáles de los siguientes conjuntos son funciones?

f1 = {(1; 2), (2; 4), (3; 4)}

f2 = {(2; 0), (4; 1), (5; 1), (5; 2)}

f3 = {(0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3)}

f4 = {(0; 2), (1; 2), (2; 4), (2; 5)}

A) f1; f2 B) f1; f4 C) f1; f3

D) f3; f4 E) f2; f4

12.Del diagrama que se muestra:

Calcule: ((3)) + (3)

((2)) + (2)

A) 3 B) 8 C) 5

D) 8/5 E) 7/5

13.Dadas las funciones f y g definidas en los diagramas

mostrados:

Hallar:

((2)) + ((1))

(3) + (1) = '

A) 1 B) 2/3 C) 5/4

D) 1/3 E) 3/5

14. Sea:

f = {(1; -2), (3; 9), (4; -6), (12; 7)}

g = {(1; 0), (3; 3), (-1; 4)}

si: f(g(m)) = -6

Hallar:Am@

A) 1 B) 3 C) -1

D) 0 E) 4

15.Sea:

f = {(2; 9), (3; 6), (0; 5), (1; 2)}

g = {(7; -1), (1; 2), (4; 3)}

Hallar: f(g(1)) + f(g(4))

A) 15 B) 3 C) 54

D) 65 E) 18


16.Dada la función:

F = {(4; 8), (b; 3), (5; a2), (4; a+b), (5; 9)}

Calcular:Aa.b@

A) -33 B) -32 C) -31

D) -30 E) -25

17. Obtener el dominio de la siguiente función:

4

$

6 -x

x- 10 = /(x)

A) [5; 6[ B) [6; 10[ C) ]5; 6]

D) ]6; 10] E) ]6; +[

18.Cuál es el dominio de:

x - x+ 2 = /(x) 2

A) ]-; -1] B) [2; +[

C) ]-; -1] [2; +[ D) [-1; 2]

E) - [-1; 2]

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19. Cuál es el dominio de:

2 - x- x

4 - x = /(x)

2

2

A) B) - {-1} C) - {2}

D) - {-1; 2} E) [1; 2]

20.Si:

f = {(0; -4), (-2; 1), (5; 4), (2; 5), (4; 8)}

g = {(2; 4), (5; 3), (1; 2), (3; -3)}

Hallar:

21 - ((&)) . (&)

2 + )((0) - ((2)) . ((1)) = '

3

A) 3 B) 27 C) 2

D) 8 E) 9

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$ Determinación de rangos.

$ Gráfica de funciones.

$ Función constante, lineal,

cuadrática, valor absoluto.

Regla de correspondencia: F(x) = k

DF = ; RF = k

Regla de correspondencia: F(x) = x

DF = ; RF =

Regla de correspondencia: F(x) =x

x = 0 ! x5x;-

0 x5x; _

≥

DF = ; RF =+ {0}

Tema '

FUNCIONES II

FUNCIONES ESPECIALESFUNCIONES ESPECIALES

1.FUNCIÓN CONSTANTEFUNCIÓN CONSTANTE

Significa que:

F = {..., (0; k), (1; k), (2; k), ...}

F = {(x, y) / F(x) = k}

Gráfica:

2.FUNCIÓN IDENTIDADFUNCIÓN IDENTIDAD

Significa que:

F = {..., (1; 1), (2; 2), (3; 3), ...}

F(x) = {(x, y) / F(x) = x x = y}

Gráfica:

3.FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOFUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Significa que:

F = {..., (2; 2), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), ...}

F(x) = x

y = x x = 1; y = 1

x = -1; y = 1

Gráfica:

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Regla de correspondencia: F(x) =

x

DF =+ {0}; RF =

+ {0}

Regla de correspondencia: F(x) = ax

+ b

Aa@ yAb@ constantes

cualesquiera, a 0

DF =; RF =

F(x) = ax2 + bx + c

a; b; c ; a 0

4.FUNCIÓN RAÍZ CUADRADAFUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Significa que:

F = {(0; 0), (1; 1), (2; 2 ), (3; 3 ), ...}

Gráfica:

5.FUNCIÓN LINEALFUNCIÓN LINEAL

Su gráfica es una recta, con pendiente Aa@ e

interceptoAb@.

Gráfica:

y = mx + b

m > 0

y = mx + b

m < 0

Ejemplo:

Calcular la función lineal que tenga F(1) = 3 y además

F(2) = 2F(3)

Solución: F(x) = mx + b

F(1) = m + b = 3 ..... (*)

Además: 2m + b = 2(3m + b)

2m + b = 6m + 2b

b = -4m... (%)

De: (*) y (%):

m = -1 b = 4

F(x) = -x + 4

6.FUNCIÓN CUADRÁTICAFUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función con dominio en el conjunto de los

números reales y cuya regla de correspondencia es:

1.Su gráfica es una parábola respecto a una recta

vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba,

si: a > 0, y hacia abajo, si: a < 0.

2.Nota gráfica: Sea la función: y = ax2 + bx + c

A = discriminante = b2 - 4ac

a > 0 Δ > 0 a < 0 Δ > 0

{x1; x2} raíces de la ecuación, cuando: y = 0

a > 0 Δ = 0 a < 0 Δ = 0

{x1; x2} raíces iguales de la ecuación, cuando: y = 0

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a > 0 Δ <

0

a < 0 Δ < 0

Esta función, cuando: y = 0, los valores deAx@

son números complejos.

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ACTIVIDADACTIVIDAD01. Hallar el rango de la función:

2 +x

1 -x4 = /(x)

A) y - {-4} B) y - {4} C) y - {2}

D) y - {-2} E) y

02. Hallar el rango de la función:

3 -x2

1 +x& = /(x)

A) y - {-5/2} B) y - {5/2}

C) y - {2/3} D) y - {3/2}

E) y - {-3/2}

03. Hallar el rango en:

F(x) = x2 + 4x + 7 ; x

A) y B) y [1; +[ C) y [3; +[

D) y ]-; 1] E) y ]-; 3]


F(x) = x2 - 6x + 5 ; x

A) ]-; -4] B) [4; +[ C) ]-; 4]

D) ]-; 0] E) [4; +[


F(x) = x2 - 6x + 5 ; x

A) y B) y - {7} C) y [5; +[

D) y [-5; +[ E) y


F(x) = (x - 7)2 + 8

A) y - {7} B) y - {8} C) y [8; +[

D) y [7; +[ E) y - {1}

07. Calcular el rango de la función:

12)x-4-x( 2)(x-

6)(x- 16)x-6+x( 2)(x+ = /(x)

2

2

A) - {-6; -10; -4} B) - {-2; 2; 6}

C) - {6; 4; 10} D) - {6}

E) - {10; 4}

08. Determine el rango de la función:

x- & x)+ 1 + &x-( = /(x)

A) [0; +[ B) ]-1; +[ C) ]-; 0]

D) E) ]-; 4]

09. De la función:

1 +x2

& +x= /(x)

Obtener: DF RF

A) - {-1/2} B) - {1; -1/2}

C) - {-1/2; 1/2} D) - {1/2}

E) - {-1/2; 2}


x- 2002 + 2002 -x= (x)

A) {0} B) [0; +[ C) [0; 2002[

D) ]-; 2002] E) [-2002; +[

11. Hallar la gráfica de la siguiente función:

F(x) = (x+2)2 - 4

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A)

B)

C) D)

E)

12. Indicar la gráfica de:F(x) = x(8 - x)

A) B)

C) D)

E)

13. Hallar el área de la región formada por la función: F :

; F(x) = -2x + 3 con sus ejes coordenados.

A) 3u2

B) 6 C) 1/9

D) -9 E) 9/4

14. Dadas las funciones:

F(x) = 2x - 3

H(x) = 2x2 + x - 4

se interceptan a los puntos (a; b) y (c; d). Indique:

ac

b = '

A) -22 B) -44 C) 11

D) -11 E) N. A.Dado un polinomio lineal

P(x), que verifica P(2) = 1; P(3) = 5,

determinar el valor de P(6).

15. Señale la suma de elementos del rango de la función:

g(x) = 3x - 2 ; x = {1; 2; 3}

A) 6 B) 12 C) 18

D) 20 E) 24

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO


G(x) = x2 - 6x + 4 ; x

A) B) [-5; 5] C)-

D) ]-; -5] E) [5; +[

17. Indicar el gráfico de la función:

F(x) = x - 2

A) B)

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C) D)

E)

18. Graficar: F(x) = 2x - 1

A) B)

C) D)

E)

19. Graficar: F(x) = (x+2)2 - 4

A) B)

C) D)

E)

20. Graficar: F(x) = x2 - 4x + 6

A) B)

C) D)

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E)

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$ Coordenadas del vértice.

$ Máximo y Mínimo de

funciones.

$ Corte con los ejes

coordenados.

Tema 1(

FUNCIONES CUADRÁTICAS

01. Si f(x) = x2 + 2x + c, corresponde a una función cuya

gráfica es:

Determinar: b.c

A) -1 B) 2 C) -2

D) -3 E) 3

02. Del gráfico hallarAa@

A) 1/2 B) -1 C) -1/2

D) 2 E) 1

03. La gráfica adjunta corresponde a:

f(x) = a1x2 + a2x + a3

Calcular el valor de: A = 5a1 + 10a2 + 20a3

A) 0 B) 9/5 C) -9/5

D) 51 E) N. A.

04. Si la gráfica:

corresponde a la funciónAf@, cuya regla de imagen

es: f(x) = 2x2 + mx + n; determine el valor de m+n

A) -50 B) -24 C) 0

D) 33 E) 40

05. Sea f(x) = x2 + bx + c cuya gráfica intersecta a los ejes

en: (r; 0), (s; 0), (0; k); k > 0.)Cuáles son

verdaderas?

I. (r>0 s>0) (r<0 s<0)

II. 0 ! 2

r+

III. c > 0

A) Sólo I B) Sólo IIC) Sólo III

D) I y II E) I, II y III

06. Dada la función cuadrática:

2

& -x3 +

2

x = (x)

2

Determinar la suma de los cuadrados de las

coordenadas del vértice.

A) 30 B) 130 C) 58

D) 40 E) 60

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07. Si la gráfica de: f(x) = x2 + ax + 12 se ubica por debajo

del eje de abscisas, sólo x ]3; 4[. Calcular:

24

1-a2

A) 1 B) 2 C) 4

D) 8 E) 16

08. Dada la gráfica, analizar el parámetroAp@ que verifica:

A) p 7 B) p 8 C) p 8

D) p 7 E) p > 7

09. Dado el polinomio f(x) = x2 - 3x + 5

cuyas raíces sonAm@ yAn@; calcular:

m

1n- +

n

1m- =

A) 3/5 B) 2/5 C) -4/5

D) -1/5 E) N. A.

10. CalcularAa@ para que la gráfica de:

f(x) = (a-1)x2 + 3x + (a+1)

resulte tangente al eje de abscisas.

A) 13 /2 B)1/3 C) 2

D) 17 /2 E) N. A.

11. Dado f(x) = 3x2 - 2x + 1 - m

estudiar la condición para la cual la gráfica no

presenta interceptos con el eje de abscisas.

A) n > -1 B) n 0 C) n < 2/3

D) 1/3 < n < 1 E) N. A.

12. Dos gráficos de las funciones:

f(x) = x2 + 2x - 3

g(x) = x2 - 10x + 21

se intersectan en el punto (a; b). Calcular a.b

A) 8 B) -9 C) 10

D) 15 E) -10

13. Hallar el valor deAk@ para que la gráfica de:

f(x) = (4-k)x2 + 2kx + 2

resulte tangente con el eje de abscisas.

A) 3 B) 2 C) 4

D) -1 E) 5

14. Dada la función: f(x) = ax2 + bx + c

señalar la relación incorrecta.

I. II.

III.

A) Sólo I B) Sólo IIC) I y III

D) II y III E) Sólo III

15. Dada la función f(x) = ax + b cuya gráfica pasa por el

punto (-2; -1) y tiene un único punto de contacto conel gráfico de la h(x) = -x

2 + 3. Hallar a.b

A) 22 B) 24 C) 26

D) 28 E) 30

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO16. Los gráficos corresponden a las funciones:

f(x) = -x2 + 2x + 8

h(x) = 3x + 6

la abscisa Aa@ que corresponde a la máxima

longitud verticalA@ tiene por valor:

7/21/2019 L1-X-5S.doc


A) -1 B) -1/2 C) 1/2

D) 3/2 E) 1

17. Dada la función: f(x) = ax2 + bx + c; a 0

siendo el intersecto con el eje Y: [0; 2]. Además: Dom

f =; Ran f = [1; +[. Calcular:

b& - a91

ab11 = #

42

2

A) 1 B) 2 C) 4

D) 1/2 E) 3

18. La figura representa la gráfica de la función cuadrática f,según ello hallar el valor deAm@.

A) 5 B) 7 C) 6

D) 4 E) 5

19 Encuentre el área de la región mostrada:

A) 4( 2 +1)u2

B) 4u2

C) ( 2 +1)u2

D) ( 2 +2)u2

E) N. A.

20. Dado P(x) = 4x2

+ ax + 1

cuya gráfica es:

Hallar el valor de ab

A) 1/2 B) 4 C) 1/9

D) 1/3 E) 1/5

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