Fisica para ciencias e ingenieria con Fisica Moderna. Volumen
2
NormalAu
del campo elctrico E y al rea superficial A, perpendicular al
campo, se le conoce comoflujo elctrico E (phi mayscula):EEA
(24.1)uEA A cos uFigura 24.2 Lneas de campo que representan un
campo elctrico uniforme que penetra en un rea A la cual forma un
ngulo u en relacin con el campo. Yaque el nmero de lneas que
atraviesan el rea A es el mismo nmero que pasa a travs de A, el
Con base en las unidades del SI correspondientes a E y A, E se
expresa en newtons por metros al cuadrado entre coulomb (N m2/C).
El flujo elctrico es proporcional al n- mero de las lneas de campo
elctrico que penetran en una superficie.Si la superficie en cuestin
no es perpendicular al campo, el flujo que pasa a travs de l debe
ser menor que el resultante si se utiliza la ecuacin 24.1. Lo
anterior es comprensible si toma en consideracin la figura 24.2,
donde la normal en relacin con la superficie A forma un ngulo con
el campo elctrico uniforme. Observe que el nmero de lneas
queatraviesan el rea A es igual al nmero que atraviesa el rea A, la
cual es una proyeccin del rea A a un plano con orientacin
perpendicular al campo. Observe en la figura 24.2 que ambas reas
estn relacionadas por la frmula A A cos u. Dado que el flujo que
atraviesa A es igual al flujo que atraviesa A, entonces el flujo
que pasa a travs de A esflujo a travs de A es igual al flujo
EEAEA cos u
(24.2)que pasa a travs de A y se conoce por E EA cos u. A
iuiEi
A partir de este resultado, se observa que el flujo que
atraviesa una superficie de rea A fija tiene un valor mximo EA
cuando la superficie es perpendicular al campo (cuando la normal de
la superficie es paralela al campo, u 0 en la figura 24.2); el
flujo es cero si la superficie es paralela al campo (cuando la
normal de la superficie es perpendicular al campo, u 90).En la
explicacin anterior se ha supuesto un campo elctrico uniforme. En
situaciones ms generales, el campo elctrico vara a lo largo de una
superficie. Por lo tanto, la defi- nicin de flujo conocida en la
ecuacin 24.2 tiene significado slo para un elemento de rea pequeo
sobre el cual el campo es casi constante. Considere una superficie
divididaen un gran nmero de elementos pequeos, cada uno de rea A.
Es conveniente definirun vector A i cuya magnitud representa el rea
del elemento i-simo sobre la superficie ycuya direccin est definida
como perpendicular al elemento de superficie, como se muestraen la
figura 24.3. El campo elctrico E en la ubicacin de este elemento
forma un nguloui con el vector A i. El flujo elctrico E a travs de
este elemento esFigura 24.3 Elemento pequeoSSde rea superficial Ai.
El campoelctrico forma un ngulo uicon el vector A i, definido
comonormal al elemento de superficie,y el flujo a travs del
elemento es igual a Ei Ai cos ui .
EE i Ai cos ui Ei Ai donde se utiliza la definicin de producto
escalar de dos vectores (A B AB cos u, vaseel captulo 7). Al sumar
las contribuciones de todos los elementos, obtiene el flujo total a
travs de la superficie.SSEa Ei AiSi supone que el rea de cada
elemento se acerca a cero, en tal caso el nmero de ele- mentos se
acercara al infinito y la suma se reemplaza por una integral.
Debido a eso, la definicin general del flujo elctrico esDefinicin
de flujo elctrico
SSEE d Asuperficie
(24.3)La ecuacin 24.3 es una integral de superficie, lo que
significa que debe ser evaluada sobrela superficie en cuestin. En
general, el valor de E depende tanto del patrn de campo como de la
superficie.A menudo interesa la evaluacin del flujo que pasa a
travs de una superficie cerrada, misma que se define como aquella
que divide el espacio en una regin exterior y una interior, de
manera que no es posible pasar de una regin a la otra sin
atravesarla. Por ejemplo, la superficie de una esfera tiene una
superficie cerrada.En la superficie cerrada de la figura 24.4 los
vectores A i apuntan en direcciones dife-rentes para diferentes
elementos de superficies, pero en cada uno de ellos estos
vectoresson normales a la superficie, y, por convencin, siempre
apuntan hacia afuera. En el elemento identificado como , las lneas
de campo cruzan la superficie del lado internoal externo y u 90;
por lo tanto, el f lujo E E
A 1 a travs de este elemento espositivo. Por lo que se refiere
al elemento , las lneas de campo rozan la superficie
(per-pendicular al vector A 2); por lo tanto u 90 y el f lujo es
igual a cero. Para elementosSeccin 24.1Flujo elctrico675Figura
24.4Superficie cerrada dentro de un campo elctrico. Los vectoresde
rea son, por convencin, normales a la superficie y apuntan hacia
afuera. El flujo a travsde un elemento de rea puede ser positivo
(elemento ),cero (elemento ) o negativo(elemento ).A1A 3E
En EEEnA2 como el , donde las lneas de campo atraviesan la
superficie del exterior al interior, 180 u 90 y el f lujo es
negativo porque el cos u tambin es negativo. El f lujo neto a travs
de la superficie es proporcional al nmero neto de lneas que salen
de la superficie, donde nmero neto significa la cantidad de lneas
que salen de la superficie menos la cantidad de lneas que entran.
Si salen ms lneas de las que entran, el f lujo neto es positivo. Si
entran ms lneas de las que salen, el f lujo neto es negativo. Se
utiliza el smbolo para representar una integral sobre una
superficie cerrada, puede decir que el f lujo neto E a travs de una
superficie cerrada es de la formaSSEE dA
E n dA
(24.4)donde En representa el componente del campo elctrico
normal a la superficie.Pregunta rpida 24.1 Suponga que una carga
puntual se ubica en el centro de una su- perficie esfrica y que
estn determinados el campo elctrico en la superficie de la esfera y
el flujo total a travs de la esfera. Ahora el radio de la esfera se
reduce a la mitad. Qu sucede con el flujo a travs de la esfera y la
magnitud del campo elctrico en la superficie de la esfera? a) El
flujo y el campo aumentan. b) El flujo y el campo disminuyen. c) El
flujo aumenta y el campo disminuye. d) El flujo disminuye y el
campo aumenta. e) El flujo permanece igual y el campo aumenta. f)
El flujo disminuye y el campo permanece igual.E JEMPLO 24.1Flujo a
travs de un cuboConsidere un campo elctrico uniforme Eorientado en
la direccin x en el espacio vaco. Encuentre el flujo elctrico neto
a travs de la superficie de un cubo con aris- ta , orientado como
se muestra en la figura24.5.SOLUCINConceptualizar Examine con
cuidado la figura 24.5. Observe que las lneas de campo elctrico
pasan perpendiculares a travs de
Figura 24.5 (Ejemplo 24.1) Superficie cerrada con forma de cubo
en un campo elctrico uniforme con orientacin paralela al eje x. El
lado , es
d A1
yd A3
Ed A2xdos caras y son paralelas a las cuatro carasrestantes del
cubo.
la parte baja del cubo, y el ladoz , es el lado opuesto a .
d A4Categorizar Evale el flujo a partir de su definicin, de modo
que este ejemplo se clasifica como un problema de susti- tucin.El
flujo a travs de cuatro de las caras ( , y las no numeradas) es
cero porque E es paralelo a las cuatro caras y portanto
perpendicular a d A en estas caras.Escriba las integrales para el
flujo neto a travs de las caras y :
SSEE d A1
SSE d A2Para la cara , E es constante y se dirige hacia
adentro,pero dA se dirige hacia afuera (u = 180). Encuentre el
flujoa travs de esta cara:
SSE d A1
E 1cos 180 2 dA E1
dA EAE/21Para la cara , E es constante y hacia afuera en la
misma SSdireccin que dA2esta cara:
(u = 0). Encuentre el flujo a travs de
E d A2
E 1cos 0 2 dA E2
dA EAE /22Encuentre el flujo neto al sumar el flujo sobre las
seis caras:
EE /2E /20 0 0 0 024.2 Ley de GaussEn esta seccin se describe
una correspondencia de tipo general entre el flujo elctrico neto a
travs de una superficie cerrada (con frecuencia considerada como
superficie gaus- siana) y la carga encerrada en la superficie. Esta
correspondencia, conocida como ley de Gauss, es de importancia
fundamental en el estudio de los campos elctricos.Suponga de nuevo
una carga puntual positiva q ubicada en el centro de una esfera de
radio r, como se observa en la figura 24.6. De la ecuacin 23.9,
sabe que la magnitud del campo elctrico en todos los puntos de la
superficie de la esfera es E keq/r 2. Las lneas de campo estn
dirigidas radialmente hacia afuera y por tanto son perpendiculares
a lasuperficie en todos sus puntos. Es decir, en cada punto de la
superficie, E es paralelo alvector Ai que representa un elemento de
rea local Ai que rodea al punto en la super-ficie. Por lo tanto,SSE
AiE Aiy por la ecuacin 24.4 encuentra que el flujo neto a travs de
la superficie gaussiana es igual aSSEE d A
E dA EdAKARL FRIEDRICH GAUSSMatemtico y astrnomo
alemn(1777-1855)
donde se ha retirado E afuera de la integral ya que, por
simetra, E es constante en la superficie y se conoce por E keq/r 2.
Adems, en vista de que la superficie es esfrica, dA A 4pr 2. Por lo
tanto, el flujo neto a travs de la superficie gaussiana esqEn 1799
Karl Friedrich Gauss obtuvo un doc-
Ek e
14pr 2 24pk eq rtorado en matemticas por la Universidad de
Helmstedt. Adems de su trabajo en el rea del electromagnetismo,
contribuy en los campos de las matemticas y la ciencia en la teora
de nmeros, la estadstica, la geome- tra no euclidiana y en la
mecnica orbital de los cometas. Fue uno de los fundadores dela
German Magnetic Union, la cual estudia en forma continua el campo
magntico de la Tierra.
Recuerde de la seccin 23.3 que ke 1/4pe0, lo que permite
escribir esta ecuacin de la formaqE(24.5)P0Observe en la ecuacin
24.5 que el flujo neto a travs de la superficie esfrica es pro-
porcional a la carga existente en el interior. El flujo es
independiente del radio r porque el rea de la superficie esfrica es
proporcional a r 2, en tanto que el campo elctrico es proporcional
a 1/r 2. En consecuencia, en el producto del rea y el campo
elctrico, se elimina la dependencia con r.Seccin 24.2Ley de
Gauss677Superficiegaussiana S 3rS 2 A i S 1qEqFigura 24.6
Superficie gaussiana esfrica de radio r que rodea una carga puntual
q. Cuando la carga est en el centro de la esfera, el campo elctrico
es normal a la superficie en todos los puntos yde magnitud
constante.
Figura 24.7 Superficies cerradas de diversas formas que
rodeanuna carga q. El flujo elctrico neto es el mismo a travs
detodas las superficies.
qFigura 24.8 Carga puntualAhora considere varias superficies
cerradas que rodean una carga q, como se muestra en la figura 24.7.
La superficie S 1 es esfrica pero las superficies S 2 y S 3 no lo
son. Por la ecuacin 24.5, el flujo que pasa a travs de S 1 tiene un
valor de q/e0. Como se explic en la seccin anterior, el flujo es
proporcional al nmero de lneas de campo elctrico que atraviesan
dicha superficie. La construccin de la figura 24.7 muestra que el
nmero de lneas a travs de S1 es el mismo nmero de lneas que pasan a
travs de las superficies no esfricas S 2 y S 3. Por lo tanto, el
flujo neto a travs de cualquier superficie cerrada que rodea a una
carga puntual q tiene un valor de q/e0 y es independiente de la
forma de la
localizada fuera de una superficie cerrada. El nmero de lneas
que entran a la superficie es igual al nmero de lneas que salen de
la misma.superficie. Sq 4Ahora considere una carga puntual
localizada en el exterior de una superficie cerradaq 2con forma
arbitraria, como se observa en la figura 24.8. Como puede ver,
cualquier lnea q 1de campo elctrico que entre en la superficie
saldr de la misma en algn otro punto. Elnmero de lneas de campo
elctrico que entran en la superficie es igual al nmero de lneas que
salen. Por lo tanto, el flujo elctrico neto a travs de una
superficie cerradaque no rodea a ninguna carga es igual a cero. Si
aplica este resultado al ejemplo 24.1, es fcil constatar que el
flujo neto a travs del cubo es cero, porque no existe ninguna carga
en su interior.Despliegue estos argumentos a dos casos
generalizados: 1) el correspondiente a mu- chas cargas puntuales y
2) el de una distribucin continua de la carga. Utilice otra vez el
principio de sobreposicin, que dice que el campo elctrico debido a
muchas cargas es igual a la suma vectorial de los campos elctricos
producidos por cada una de las cargas individuales. Por lo tanto,
puede expresar el flujo a travs de cualquier superficie cerrada de
la formaSSSSS
q 3S S Figura 24.9 El flujo elctrico neto a travs de cualquier
superficie cerrada depende slo de la cargaen el interior de dicha
superficie. El flujo neto a travs de la superficieS es q1/e0, el
flujo neto a travs deS es (q2 q3)/e0, y el flujo neto aE d A
1E1E2p 2 d A
travs de la superficie S es igual a cero. La carga q4 no
contribuye aldonde E es el campo elctrico total en cualquier punto
sobre la superficie, producido porla adicin vectorial de los campos
elctricos en dicho punto, debido a las cargas individua- les.
Considere el sistema de cargas que se muestra en la figura 24.9. La
superficie S rodea nicamente una carga, q1; por lo que el flujo
neto a travs de S es q1/e0. El flujo a travs de S debido a las
cargas q2, q3 y q4 exteriores a S es igual a cero porque cada una
de las lneas de campo elctrico que entran en S en algn punto salen
por otro. La superficie S rodea a las cargas q2 y q3; de ah que el
flujo neto a travs de S sea igual a (q2 q3)/e0. Por ltimo, el flujo
neto a travs de la superficie S es igual a cero, ya que no existe
carga alguna en su interior. Esto es, todas las lneas de campo
elctrico que entran en S en algn punto salen por otro. Observe que
la carga q4 no contribuye al flujo neto a travs de ninguna de las
superficies, ya que est en el exterior de todas ellas.La ley de
Gauss, que es una generalizacin de lo anterior, dice que el flujo
neto a travs de cualquier superficie cerrada es
flujo por las superficies, ya que esten el exterior de todas
ellas.SEE
Sq ind AP0
(24.6)
Ley de Gaussdonde qin representa la carga neta en el interior de
la superficie y E el campo elctrico encualquier punto de la
misma.PREVENCIN DE RIESGOS OCULTOS 24.1Un flujo nulo no significa
uncampo nuloConsidere dos situaciones en las cuales a travs de una
superficie cerrada el flujo es cero, ya sea porque no hay partculas
con carga rodeadas por la superficie, o porque existen partculas
con carga rodeadas por la superficie,pero la carga neta interior es
cero. En cualquiera de estas situaciones, es incorrecto concluir
que el campo elctrico sobre la superficie es igual a cero. La ley
de Gaussdice que el flujo elctrico es proporcional a la carga
encerrada, no al campo elctrico.
Al utilizar la ecuacin 24.6, es necesario observar que a pesar
de que la carga qin es la carga neta en el interior de la
superficie gaussiana, E representa el campo elctrico total, que
incluye contribuciones provenientes tanto del interior como del
exterior de la superficie.En teora, la ley de Gauss puede ser
resuelta en funcin de E para determinar el campo elctrico debido a
un sistema de cargas o a una distribucin continua de las mismas,
sin embargo, en la prctica, este tipo de solucin slo es aplicable a
un nmero limitado de situaciones muy simtricas. En la siguiente
seccin se aplica la ley de Gauss para evaluar el campo elctrico
para distribuciones de carga con simetras esfricas, cilndricas o
plana- res. Si es posible elegir con cuidado la superficie
gaussiana que rodea a la distribucin de cargas, se puede
simplificar la integral de la ecuacin 24.6.Pregunta rpida 24.2 Si
el flujo neto que pasa a travs de una superficie gaussiana es cero,
las cuatro declaraciones siguientes podran ser verdaderas. Cul de
ella es cierta? a) No hay cargas dentro de la superficie. b) La
carga neta dentro de la superficie es cero. c) El campo elctrico es
cero en cualquier lugar de la superficie. d) El nmero de lneas del
campo elc- trico que entra a la superficie es igual al nmero que
sale de ella.E JEMPLO CONCEPTUAL 24.2Flujo debido a una carga
puntualUna superficie gaussiana esfrica rodea a una carga puntual
q. Describa qu le sucede al flujo total a travs de la superficie,
si A) la carga se triplica, B) se duplica el radio de la esfera, C)
la superficie se cambia a la forma de un cubo, y D) la carga se
mueve a otro punto dentro de la superficie.SOLUCINA) El flujo que
pasa a travs de la superficie se triplica ya que el flujo es
proporcional a la cantidad de carga dentro de la superficie.B) El
flujo no cambia, ya que todas las lneas de campo elctrico pasan a
travs de la esfera, cualquiera que sea su radio.C) El ujo no
cambia, aun cuando la forma de la supercie gaussiana cambie, ya que
todas las lneas de campo elctrico de la carga pasan a travs de la
supercie, sin importar su forma.D) El ujo no cambia cuando la carga
se pasa a otra ubicacin dentro de la supercie, ya que la ley de
Gauss se reere a la carga total encerrada, sin considerar la
ubicacin de la carga dentro de la esfera.PREVENCIN DE RIESGOS
OCULTOS 24.2Las superficies gaussianasno son realesLa superficie
gaussiana es una superficie imaginariaque se elige para satisfacer
las condiciones mencionadas eneste caso. No tiene que coincidir con
una superficie fsica en una
24.3 Aplicacin de la ley de Gauss a varias distribuciones de
cargaComo se mencion, la ley de Gauss es til para determinar campos
elctricos cuando la distribucin de carga est caracterizada por un
alto grado de simetra. Los ejemplos si- guientes muestran cmo
escoger la superficie gaussiana que permita simplificar la integral
de superficie conocida en la ecuacin 24.6 y determinar el campo
elctrico. Al seleccionar la superficie, siempre debe aprovechar la
simetra de la distribucin de la carga de manera que retire a E de
la integral y la resuelva. El objetivo en este tipo de clculo es
encontrar una superficie que satisfaga una o ms de las condiciones
siguientes:1. Demostrar por simetra que el valor del campo elctrico
es constante sobre la su- perficie.2. Que el producto punto de la
ecuacin 24.6 se expresa como un producto algebraicosituacin
determinada. simple E dA, ya que E y dA son paralelos entre s. 3.
Que el producto punto de la ecuacin 24.6 es cero, ya que E y dA son
perpendicu-lares entre s.4. Que el campo elctrico es igual a cero
sobre la superficie.Diferentes porciones de la superficie gaussiana
satisfacen varias condiciones en tanto que cada porcin satisfaga al
menos una condicin. Estas cuatro condiciones son utilizadas en los
ejemplos del resto de este captulo.E JEMPLO 24.3Distribucin de
carga con simetra esfricaUna esfera slida aislante con radio a
tiene una densidad decarga volumtrica uniforme r y tiene una carga
positiva total Qr(figura 24.10).aA) Calcule la magnitud del campo
elctrico en un punto afuerade la esfera. QSOLUCIN
Esfera
EsferargaussianaaConceptualizar Observe cmo difiere este
problema de la ex- plicacin anterior de la ley de Gauss. El campo
elctrico debido a cargas puntuales se explic en la seccin 24.2.
Ahora se consi- dera el campo elctrico debido a una distribucin de
carga. En el captulo 23 encontr el campo para varias
distribuciones, al integrar sobre la distribucin. En este captulo
debe encontrar el campo elctrico mediante la ley de
Gauss.Categorizar Puesto que la distribucin de la carga es unifor-
me en toda la esfera, la distribucin de carga tiene simetra esfrica
y se puede aplicar la ley de Gauss para hallar el campo
elctrico.
gaussianaa) b)Figura 24.10 (Ejemplo 24.3) Esfera aislante con
carga uniforme de radio a y carga total Q. a) Para puntos afuera de
la esfera,se dibuja una gran superficie gaussiana esfrica
concntrica con la esfera. En diagramas como ste, la lnea
discontinua representa la interseccin de la superficie gaussiana
con el plano de la pgina. b) Para puntos adentro de la esfera, se
dibuja una superficie gaussiana esfrica ms pequea que la
esfera.Analizar Para reflejar la simetra esfrica, elija una
superficie gaussiana esfrica de radio r, concntrica con la esfera,
como se muestra en la figura 24.10a. Para esta eleccin, la condicin
2) se satisface en cualquier parte sobre la superficie yE d A
EdASustituya E d A en la ley de Gauss con E dA:Por simetra, E es
constante en todas partes sobre la superficie,
SSEE d A
Q E dAP0Qlo que satisface la condicin 1), de modo que se puede
retirarE de la integral:
E dA EdA E 14pr 2 2P0Al resolver para E:
Q1) E4pP0r 2
Qk e r 2 1
para r 7 a 2Finalizar Este campo es idntico al de una carga
puntual. Por lo tanto, el campo elctrico debido a una esfera con
carga uniforme en la regin externa a la esfera es equivalente a una
carga puntual ubicada en el centro de la esfera.B) Encuentre la
magnitud del campo elctrico en un punto adentro de la
esfera.SOLUCINAnalizar En este caso, elija una superficie gaussiana
esfrica que tenga radio r a, concntrica con la esfera aislante (fi-
gura 24.10b). Sea V el volumen de esta esfera ms pequea. Para
aplicar la ley de Gauss en esta situacin, reconozca que la carga
qin dentro de la superficie gaussiana de volumen V es menor que
Q.Calcule qin usando qin = rV 9:
q in rV r 13pr 3 2Observe que las condiciones 1) y 2) se
satisfacen en todas partes sobre la superficie gaussiana en la
figura 24.10b. Aplique la ley de Gauss en la regin r a:
E dA EdA E 14pr 2 2
q inP0Resuelva para E y sustituya para qin:
q inE4pP0r 2
r 14pr 3 24pP0r 2
rr3P0434 3 1Q >3pa 2QSustituya
rQ >3pa
y P01/4pke :
(2) E
rk er 1para r 6 a 23 11>4 k e 2aFinalizar Este resultado para
E difiere del obtenido en el inciso A). Muestra que E 0 conforme r
0. Por lo tanto, el resultado elimina el problema que existira en r
= 0 si E variara como 1/r 2 dentro de la esfera como lo hace afuera
de la esfera. Es decir: si E 1/r 2 para r a, el campo sera infinito
en r = 0, lo que es fsicamente imposible.Qu pasara si? Suponga que
la posicin radial r = a se alcanza desde adentro dela esfera y
desde el exterior. Se obtiene el mismo valor del campo elctrico
desde aambas direcciones?Respuesta La ecuacin 1) muestra que el
campo elctrico se aproxima a un valor desde el exterior conocido
por
E E keQ rE
lm a k e r S aDesde el interior, la ecuacin 2) proporcionaQ
QQr 2 bk e a 2QQ
a 3E keQr 2arElm a k er S aa
r bk e
a 3 ak e a 2
Figura 24.11 (Ejemplo 24.3) Grficade E en funcin de r para una
esferaEn consecuencia, el valor del campo es el mismo, ya sea que
se llegue a la superficie desde ambas direcciones. En la figura
24.11 se muestra una grfica de E en funcin de r. Observe que la
magnitud del campo es continua.
aislante con carga uniforme. El campo elctrico dentro de la
esfera (r < a) vara linealmente con r. El campo afuera dela
esfera (r > a) es el mismo que el de una carga puntual Q ubicada
en r = 0.E JEMPLO 24.4Distribucin de carga con simetra
cilndricaEncuentre el campo elctrico a una distancia r desde una
lneade carga positiva de longitud infinita y carga constante por
unidad de longitud l (figura 24.12a).SOLUCINConceptualizar La lnea
de carga es infinitamente larga. Por consiguiente, el campo es el
mismo en todos los puntos equi- distantes de la lnea, sin importar
la posicin vertical del punto en la figura 24.12a.Categorizar Ya
que la carga est distribuida uniformemente a lo largo de la lnea,
la distribucin de carga tiene simetra cilndrica y se puede aplicar
la ley de Gauss para encontrar el campo elctrico.
Superficie gaussiana
rEdA(a)
E(b)Analizar La simetra de la distribucin de carga requiere queE
sea perpendicular a la lnea de carga y dirigida hacia afuera,como
se muestra en las figuras 24.12a y b. Para reflejar la sime- tra de
la distribucin de carga, elija una superficie gaussiana cilndrica
de radio r y longitud que sea coaxial con la lnea
Figura 24.12 (Ejemplo 24.4) a) Lnea infinita de carga rodeada
por una superficie gaussiana cilndrica concntrica con la lnea. b)
Una vista lateral muestra que el campo elctrico en la superficie
cilndrica es constante en magnitud y perpendicular a la
superficie.de carga. Para la parte curva de esta superficie, E es
constante en magnitud y perpendicular a la superficie en cada
punto,lo que satisface las condiciones 1) y 2). Adems, el flujo a
travs de los extremos del cilindro gaussiano es cero porque E
esparalelo a estas superficies. Esta es la primera aplicacin de la
condicin 3).Debe tomar la integral de superficie en la ley de Gauss
sobre toda la superficie gaussiana. Sin embargo, ya que E d A es
cero para los extremos planos del cilindro, restrinja la atencin
slo a la superficie curva del cilindro.Aplique la ley de Gauss y
las condiciones 1) y 2) para la super- ficie curva, y note que la
carga total dentro de la superficie gaussiana es l :
SSEE d A
EdA EA
q in l/ P0 P0Sustituya el rea A = 2pr de la superficie
curva:Resuelva para la magnitud del campo elctrico:
E 12pr / 2lE2pP0r
l/ P0l2k e r
(24.7)Finalizar Este resultado muestra que el campo elctrico que
corresponde a una distribucin de carga con simetra ciln- drica vara
como 1/r, mientras que el campo externo a una distribucin de carga
con simetra esfrica vara al igual que1/r 2. La ecuacin 24.7 tambin
se puede deducir mediante integracin directa sobre la distribucin
de carga. (Vase elproblema 29 del captulo 23.)Qu pasara si? Y si el
segmento de lnea en este ejemplo no fuese infinitamente
largo?Respuesta Si la lnea de carga de este ejemplo tuviese
longitud finita, el campo elctrico no se conocera por la
ecuacin24.7. Una lnea de carga finita no tiene suficiente simetra
para utilizar la ley de Gauss, porque la magnitud del campo elc-
trico ya no es constante sobre la superficie del cilindro
gaussiano: el campo cerca de los extremos de la lnea sera
diferentede los que se encuentren lejos de los extremos. Por lo
tanto, la condicin 1) no se satisfara en esta situacin. Adems, Eno
es perpendicular a la superficie cilndrica en todos los puntos: los
vectores de campo cerca de los extremos tendran un componente
paralelo a la lnea. Por consiguiente, la condicin 2) no se
satisfara. Para puntos cerca de una lnea de carga finita y lejos de
los extremos, la ecuacin 24.7 da una buena aproximacin del valor
del campo.Se le deja demostrar (vase el problema 27) que el campo
elctrico dentro de una barra de radio finito y longitud infinita,
con carga uniforme, es proporcional a r.E JEMPLO 24.5Plano de
cargaEncuentre el campo elctrico debido a un plano infinito de
carga positiva con densidad de carga superficial uniforme
s.SOLUCINEConceptualizar Observe que el plano de carga es
infinitamente largo. Por lo tanto, el campo elctrico es el mismo en
todos los puntos cerca del plano.Categorizar Ya que la carga se
distribuye de manera uniforme en el plano, la distribu- cin de
carga es simtrica; en consecuencia, se puede usar la ley de Gauss
para encontrar el campo elctrico.
AESuperficie gaussianaAnalizar Por simetra, E debe ser
perpendicular al plano en todos los puntos. La di-
Figura 24.13 (Ejemplo 24.5) Superficie gaussiana cilndrica que
reccin de E se aleja de las cargas positivas, lo que indica que la
direccin de E en unlado del plano debe ser opuesta a su direccin
sobre el otro lado, como se muestra en la figura 24.13. Una
superficie gaussiana que refleja la simetra es un pequeo ci- lindro
cuyo eje es perpendicular al plano y cada uno de sus extremos tiene
un reaA y son equidistantes del plano. Ya que E es paralelo a la
superficie curva, y debido a
penetra un plano infinito de carga.El flujo de EA a travs de
cada extremo de la superficie gaussiana y cero a travs de su
superficie curva.eso perpendicular a d A en todas partes sobre la
superficie, la condicin 3) se satisface y no hay aportacin a la
integralde superficie por parte de esta superficie. Para los
extremos planos del cilindro, se satisfacen las condiciones 1) y
2). El flujo a travs de cada extremo del cilindro es EA; por esto,
el flujo total a travs de toda la superficie gaussiana es justo la
que atraviesa los extremos, E = 2EA.Escriba la ley de Gauss para
esta superficie y observe que la carga encerrada es qin = s
A:Resuelva para E:
E2EAE
q in sAP0P0s2P0
(24.8)Finalizar Ya que la distancia desde cada extremo plano del
cilindro al plano no aparece en la ecuacin 24.8, se concluye que E
= s / 2e0 est a cualquier distancia desde el plano. Es decir: el
campo es uniforme en todas partes.Qu pasara si? Suponga que dos
planos infinitos de carga son mutuamente paralelos, uno con carga
positiva y el otro con carga negativa. Ambos planos tienen la misma
densidad de carga superficial. En esta situacin a qu se parece el
campo elctrico?Respuesta Los campos elctricos debidos a los dos
planos se suman en la regin entre los planos, lo que resulta en un
campo uniforme de magnitud s / e0, y se cancela en otra parte para
dar un campo de cero. Este mtodo es una forma prc- tica de lograr
campos elctricos uniformes.E JEMPLO CONCEPTUAL 24.6En este caso no
utilice la ley de Gauss!Explique por qu no es posible utilizar la
ley de Gauss para calcular el campo elctrico cercano a un dipolo
elctrico, a un disco con carga o a un tringulo con una carga
puntual en cada vrtice.SOLUCINLas distribuciones de carga de todas
estas configuraciones no tienen una simetra suficiente que haga
prctico el uso de la ley gaussiana. En este caso no es posible
encontrar una superficie cerrada que rodee a cualquiera de las
distribuciones y satisfaga una o ms de las cuatro condiciones
mencionadas al principio de esta seccin.Propiedades de un conductor
en equilibrio electrostticoEE
24.4 Conductores en equilibrio electrosttico Como aprendi en la
seccin 23.2, un buen conductor elctrico contiene cargas (elec-
trones) que no se encuentran unidas a ningn tomo y debido a eso
tienen la libertadde moverse en el interior del material. Cuando
dentro de un conductor no existe ningnmovimiento neto de carga, el
conductor est en equilibrio electrosttico. Un conductor en
equilibrio electrosttico tiene las siguientes propiedades:1. En el
interior del conductor el campo elctrico es cero, si el conductor
es slido o hueco.2. Si un conductor aislado tiene carga, sta reside
en su superficie.3. El campo elctrico justo fuera de un conductor
con carga es perpendicular a la su- perficie del conductor y tiene
una magnitud s/e0, donde s es la densidad de carga superficial en
ese punto.4. En un conductor de forma irregular, la densidad de
carga superficial es mxima en aquellos puntos donde el radio de
curvatura de la superficie es el menor.En el anlisis siguiente se
comprueban las primeras tres propiedades. Se presenta la cuar- ta
propiedad para tener una lista completa de las mismas para
conductores en equilibrio electrosttico (pero esta ltima no podr
ser comprobada sino hasta el captulo 25.)Es posible comprender la
primera propiedad si piensan en una placa conductora co-locada en
un campo elctrico externo E (figura 24.14). El campo elctrico en el
interiordel conductor debe ser igual a cero bajo la hiptesis de que
existe equilibrio electrosttico. En caso de que el campo no sea
cero, los electrones libres en el interior del conductor Figura
24.14 Placa conductora en un campo elctrico externoE. Las cargas
inducidas en las dossuperficies de la placa producen un campo
elctrico que se opone al campo externo, lo que produceen el
interior de la placa un campo elctrico resultante igual a cero.
experimentaran una fuerza elctrica (F qE) y, debido a ella, se
aceleraran. Sin embargo,este movimiento de electrones, significara
que el conductor no est en equilibrio electros- ttico. Por lo
tanto, la existencia de un equilibrio electrosttico es consistente
solamente cuando se tiene un campo cero dentro del conductor.Vea
cmo se da este campo cero. Antes de aplicar el campo externo, en
todo el volumen del conductor estn distribuidos electrones libres
de manera uniforme. Al aplicar el campo externo, los electrones
libres se aceleran hacia la izquierda, como se ve en la figura
24.14, lo que genera un plano con carga negativa que se acumula en
la superficie izquierda. El movimiento de los electrones hacia la
izquierda causa un plano de carga positiva en la superficie
derecha. Estos planos de carga crean un campo elctrico adicional en
el inte- rior del conductor que se opone al campo externo. Conforme
se mueven los electrones, las densidades de carga superficial de
las superficies izquierda y derecha se incrementanSeccin
24.4Conductores en equilibrio electrosttico 683hasta que la
magnitud del campo interno es igual a la magnitud del externo, lo
que resulta en un campo elctrico cero en el interior del conductor.
El tiempo que necesita un buen conductor para alcanzar el
equilibrio es del orden de 10 16 s, lo que para la mayor parte de
los efectos se considera instantneo.Si el conductor es hueco, el
campo elctrico dentro del conductor tambin es cero, ya sea que
considere puntos en el conductor o en la cavidad dentro del
conductor. El valor cero del campo elctrico en la cavidad es ms
fcil de argumentar con el concepto de potencial elctrico, as que
este tema se abordar en la seccin 25.6.Es posible utilizar la ley
de Gauss para verificar la segunda propiedad de un conductor en
equilibrio electrosttico. La figura 24.15 muestra un conductor de
forma arbitraria. Se ha dibujado una superficie gaussiana en el
interior del conductor, que puede acercarse a la superficie del
conductor tanto como se desee. Como acaba de ver, el campo elctrico
en todos los puntos del interior del conductor es igual a cero
cuando se encuentra en equilibrio electrosttico. Por lo tanto, el
campo elctrico debe ser cero en todos los puntos de la superficie
gaussiana, en cumplimiento de la condicin 4) de la seccin 24.3 y el
flujo neto que pasa a travs de la superficie gaussiana es cero. De
este resultado y de la ley de Gauss se concluye que la carga neta
en el interior de la superficie gaussiana es cero. Ya que no puede
existir ninguna carga neta en el interior de la superficie
gaussiana (que coloc de manera arbitraria muy cerca de la
superficie del conductor), cualquier carga neta en el conductor
deber residir sobre su superficie. La ley de Gauss no indica la
forma en que esta carga excesiva se distribuye sobre la superficie
del conductor; dice, exclusivamente, que reside sobre la
superficie.Tambin es posible utilizar la ley de Gauss para
verificar la tercera propiedad. En primer
Superficie gaussianaFigura 24.15 Conductorcon forma arbitraria.
La lnea discontinua representa una superficie gaussiana que puede
acercarse a la superficie del conductor tanto como uno lo desee.E
trmino, debe notar que si el vector de campo E tuviera algn
componente paralelo a lasuperficie del conductor, los electrones
libres estaran sujetos a una fuerza elctrica y se Amoveran a lo
largo de la superficie; en este caso, el conductor no estara en
equilibrio, porlo que el vector de campo debe ser perpendicular a
la superficie. Para determinar la mag- nitud del campo elctrico se
dibujar una superficie gaussiana en forma de un pequeo cilindro
cuyas caras extremas queden paralelas al conductor (figura 24.16).
Parte del cilin-dro queda justo fuera del conductor y parte est en
el interior. El campo es perpendiculara la superficie del conductor
si parte de la condicin de equilibrio electrosttico. Por lo tanto,
ha satisfecho la condicin 3) de la seccin 24.3 en lo que se refiere
a la parte curva de la superficie gaussiana cilndrica: no existe
flujo a travs de esta parte de la superficiegaussiana, ya que E es
paralelo a la superficie. A travs de la cara plana del cilindro en
elinterior del conductor no existe flujo porque en este caso E 0;
con ello se satisface lacondicin 4). Por esto, el flujo neto a
travs de la superficie gaussiana corresponde al flujo a travs de la
cara plana en la parte exterior del conductor, donde el campo es
perpendi- cular a la superficie gaussiana. Si para esta cara
utiliza las condiciones 1) y 2), el flujo es igual a EA, siendo E
el campo elctrico justo fuera del conductor y A el rea de la cara
del cilindro. Al aplicar la ley de Gauss a esta superficie,
obtiene
Figura 24.16 A fin de calcular el campo elctrico que existe
justo afuera de un conductor con carga se utiliza una superficie
gaussiana con forma de uncilindro pequeo. El flujo a travs de la
superficie gaussiana es EA.Recuerde que en el interiordel conductor
E es igual a cero.EE dA EA
q in sAP0P0donde aprovecha que qin sA. Si resuelve para E
obtiene el campo elctrico justo afuera de un conductor con
cargasE(24.9)P0Pregunta rpida 24.3 Su pequeo hermano gusta de
frotar sus pies sobre la alfombra para despus tocarlo y darle una
descarga. Mientras usted intenta escapar, descubre en el stano un
cilindro hueco de metal, lo suficientemente grande como para
introducirse en su interior. En qu casos no sufrir descarga alguna?
a) Si se encuentra en el interior del cilindro, y hace contacto con
la superficie interior y su hermano con carga toca la superficie
metlica exterior del cilindro; b) Si su hermano con carga est en el
interior y toca la superficie interior de metal y usted est en el
exterior y toca la superficie exterior del cilindro; c) Si ambos
estn en el exterior del cilindro y tocan la superficie exterior de
metal pero sin tocarse directamente entre ustedes.E JEMPLO 24.7Una
esfera dentro de un cascarn esfricoUna esfera aislante slida, de
radio a, tiene una carga positiva neta Q distribuida de manera
uniforme por todo su volumen. Un cascarn esfrico conductor, con
radio interior b y radio exterior c, es concntrico con la esfera
slida y tiene una carga neta 2Q. Con la aplicacin de la ley de
Gauss, encuentre el campo elctrico en las regiones marcadas, , , y
en la figura 24.17 y la distribucin de carga en el cascarn, cuando
todo el sistema est en equilibrio
electrosttico.SOLUCINConceptualizar Observe cmo este problema
difiere del ejemplo 24.3. La esfera con carga de la figura 24.10
ahora est rodeada por un cascarn que tiene una carga de
2Q.Categorizar La carga est distribuida uniformemente en toda la
esfera y se sabe que la carga en el cascarn conductor se distribuye
de manera uniforme sobre las superficies. Por lo tanto, el sistema
tiene simetra esfrica y la ley de Gauss es aplicable para encontrar
el campo elctrico.Analizar En la regin , entre la superficie de la
esfera slida y la superficie interna del cascarn, se construye una
superficie gaussiana esfrica de radio r, donde a r b, y ob- serve
que la carga dentro de esta superficie es Q (la carga en la esfera
slida). Debido a la simetra esfrica, las lneas de campo elctrico se
deben dirigir radialmente hacia afuera y ser constantes en magnitud
sobre la superficie gaussiana.
2QraQbcFigura 24.17(Ejemplo 24.7) Una esfera aislante de radio a
y que porta una carga Q est rodeada por un cascarn esfrico
conductor que porta una carga 2Q.La carga sobre el cascarn
conductor crea campo elctrico cero en la regin r b, as que el
cascarn no tiene efecto sobre el campo debido a la esfera. En
consecuencia, escriba una expresin para el campo en la regin como
si se debiera a la esfera del inciso A) del ejemplo 24.3:
E 2 k e
Qr 2 1
para a 6 r 6 b 2Puesto que el cascarn conductor crea un campo
cero en su inte- rior, tampoco tiene efecto sobre el campo adentro
de la esfera. Por lo tanto, escriba una expresin para el campo en
la regin como si se debiera a la esfera del inciso B) del ejemplo
24.3:
E 1 k e
Qa 3 r 1para r 6 a 2En la regin , donde r c, construya una
superficie gaussiana esf- rica; esta superficie rodea una carga
total de qin = Q ( 2Q) Q. Por lo tanto, modele la distribucin de
carga como una esfera con carga Q y escriba una expresin para el
campo en la regin del inciso A) del ejemplo 24.3:En la regin , el
campo elctrico debe ser cero porque el casca- rn esfrico es un
conductor en equilibrio:Construya una superficie gaussiana de radio
r, donde b r c, y observe que qin debe ser cero porque E3 = 0.
Encuentre la cantidad de carga qinterior en la superficie interior
del cascarn:
QE 4 k e r 2 1para r 7 c 2E 3 0 1para b 6 r 6 c 2q in q esfera q
interiorq interiorq in q esfera 0 QQ
Finalizar La carga sobre la superficie interior del cascarn
esfrico debe ser Q para cancelar la carga Q sobre la esfera slida y
dar un campo elctrico cero en el material del cascarn. Ya que la
carga neta en el cascarn es 2Q, su superficie exterior debe tener
una carga Q.Preguntas685Qu pasara si? Cmo diferiran los resultados
de este problema si la esfera fuese conductora en lugar de
aisladora?Respuesta El nico cambio sera en la regin , donde r a.
Puesto que no puede haber carga dentro de un conductor en
equilibrio electrosttico, qin = 0 para una superficie gaussiana de
radio r a; por lo tanto, sobre la base de la ley de Gauss y
simetra, E1 = 0. En las regiones , y , no habra forma de determinar
si la esfera es conductora o aislante.ResumenDEFINICIONESEl flujo
elctrico es proporcional al nmero de lneas de campo elctrico que
penetran una superficie. Si el campo elctrico es uniforme y forma
un ngulo u con la normal a una superficie de rea A, el flujo
elctrico a travs de la su- perficie esEEA cos u
(24.2)En general, el flujo elctrico a travs de una superficie
esSSEE d Asuperficie
(24.3)CONCEPTOS Y PRINCIPIOSLa ley de Gauss dice que el flujo
elctrico neto E a travs de cualquier superficie gaus- siana cerrada
es igual a la carga neta qin den- tro de la superficie, dividida
por e0:
Un conductor en equilibrio electrosttico tiene las siguientes
propie- dades:1. El campo elctrico es cero en todas partes dentro
del conductor, ya sea que el conductor sea slido o hueco.2. Si un
conductor aislado tiene una carga, la carga reside en suSEE
Sq ind AP0
(24.6)
superficie.3. El campo elctrico justo afuera de un conductor con
carga es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una
magni-tud s / e0, donde s es la densidad de carga superficial en
dichoAl usar la ley de Gauss, se puede calcular elcampo elctrico
debido a varias distribucio- nes de carga simtricas.
punto.4. En un conductor con forma irregular, la densidad de
carga superficial es mayor en posiciones donde el radio de
curvatura de la superficie es ms pequeo.PreguntasO indica pregunta
complementaria.1. En invierno, el sol est en el cielo ms abajo que
en verano.Cmo incide lo anterior en el flujo de luz solar sobre un
rea determinada de la superficie de la Tierra? Cmo afecta lo an-
terior al clima?2. Si de una superficie gaussiana salen ms lneas de
campo elctri- co de las que entran, qu se puede concluir acerca de
la carga neta encerrada en la superficie?3. En una regin del
espacio en la cual no existen cargas hay un campo elctrico
uniforme. Qu se puede concluir acerca del flujo elctrico neto a
travs de una superficie gaussiana colocada en esta regin del
espacio?4. O Una partcula con carga q se ubica dentro de una
superficie gaussiana cbica. No hay otras cargas en las cercanas. i)
Si la partcula est en el centro del cubo, cul es el flujo a
travs
de cada una de las caras del cubo? a) 0, b) q/e0, c) q/2 e0, d)
q/4e0, e) q/6e0, f) q/8e0, g) depende del tamao del cubo. ii) Si la
partcula se puede mover a cualquier punto dentro del cubo,qu valor
mximo puede alcanzar el flujo a travs de una cara? Elija entre las
mismas posibilidades. iii) Si la partcula se puede mover a
cualquier parte dentro del cubo o sobre su superficie,cul es el
mnimo flujo posible a travs de una cara? Elija entre las mismas
posibilidades.5. O Una superficie gaussiana cbica rodea un largo
filamento recto con carga que pasa perpendicularmente a travs de
dos caras opuestas. No hay otras cargas en las cercanas. i) En cun-
tas caras del cubo el campo elctrico es cero? a) 0, b) 2, c) 4, d)
6. ii) A travs de cuntas de las caras del cubo el flujo elc- trico
es cero? Elija entre las mismas posibilidades.6. O Una superficie
gaussiana cbica se divide en dos partes me- diante una gran hoja
con carga, paralela a sus caras superior e inferior. No hay otras
cargas en las cercanas. i) Sobre cuntas de las caras del cubo el
campo elctrico es cero? a) 0, b) 2, c) 4, d) 6. ii) A travs de
cuntas de las caras del cubo el flujo elctrico es cero? Elija entre
las mismas posibilidades.7. O Dos esferas slidas, ambas de 5 cm de
radio, portan cargas totales idnticas de 2 mC. La esfera A es un
buen conductor. La esfera B es un aislador, y su carga se
distribuye de manera uniforme en todo su volumen. i) Cmo comparar
las magni- tudes de los campos elctricos que crean por separado a
una distancia radial de 6 cm? a) EA E 0, b) EA E 0, c) EA E 0, d)
EA E 0, e) 0 EA E , f) 0 EA E . ii) Cmo comparar las magnitudes de
los campos elctricos que crean por separado radios de 4 cm? Elija
entre las mismas posibilidades.8. Si se conoce la carga total en el
interior de una superficie ce- rrada pero no se especifica la
distribucin de la carga, puede utilizar la ley de Gauss para
determinar el campo elctrico? Explique.9. Explique por qu el flujo
elctrico a travs de una superficie cerrada que tiene una carga
encerrada conocida es indepen- diente del tamao o forma de la
superficie.10. Respecto a la naturaleza repulsiva de la fuerza que
se genera entre cargas iguales y a la libertad de movimiento de las
cargas dentro de un conductor, explique por qu un exceso de carga
en un conductor aislado debe residir sobre su superficie.11. O Una
esfera aislante slida de 5 cm de radio, tiene una carga elctrica
distribuida uniformemente en todo su volumen. Concntrico con la
esfera hay un cascarn esfrico conductor sin carga neta, como se
muestra en la figura P24.11. El radio interior del cascarn mide 10
cm, y el radio exterior 15 cm. No hay otras cargas en las cercanas.
a) Clasifique la magnitud delA B C DFigura P24.11 Pregunta 11 y
problema 44.
campo elctrico en los puntos (a un radio de 4 cm), B (radio de 8
cm), C (radio de 12 cm) y D (radio 16 cm) de mayor a menor. Muestre
cualquier caso de igualdad en su clasificacin. b) De igual modo,
clasifique el flujo elctrico a travs de las superficies esfricas
concntricas a travs de los puntos A, B, C y D.12. O Un cable
coaxial consiste de un filamento recto largo rodea- do por cubierta
conductora cilndrica, coaxial larga. Suponga que la carga Q est en
el filamento, sobre la cubierta la carganeta es cero y el campo
elctrico es E i en un punto particularP a la mitad entre el
filamento y la superficie interior de la cubierta. A continuacin,
coloque el cable en un campo exter- no uniforme E i . En tal caso,
cul es el componente x del campo elctrico P ? a) 0, b) entre 0 y
E1, c) E1, d) mayor que E1, e) entre 0 y E1, f) E1, g) menor que
E1.13. Una persona entra en una gran esfera metlica hueca aislada
de la tierra. Si a la esfera se le deposita una carga
considerable,la persona resultar lastimada si toca el interior de
la esfera? Explique qu pasara si la persona tiene adems una carga
ini- cial cuyo signo es opuesto al de la carga de la esfera.14. O
Una gran cubierta metlica y esfrica no tiene carga. Se apoya sobre
una base aislante y tiene un pequeo orificio en la parte superior.
Una pequea tachuela con carga Q se baja me- diante un hilo de seda
a travs del orificio hacia el interior de la cubierta. i) Ahora cul
es la carga sobre la superficie interior de la cubierta? a) Q, b)
Q/2, c) 0, d) Q/2, e) Q. Elija sus res- puestas a las siguientes
partes entre las mismas posibilidades. ii) Cul es la carga sobre la
superficie exterior de la cubierta? iii) Ahora la tachuela se baja
hasta tocar la superficie interior de la cubierta. Despus de este
contacto, cul es la carga sobre la tachuela? iv) Ahora cul es la
carga sobre la superficie interior de la cubierta? v) Ahora cul es
la carga sobre la superficie exterior de la cubierta?15. Una
demostracin consiste en cargar un globo de ltex, que es un
aislante, al frotarlo con el cabello de alguien, y despus pegarlo
al techo o a la pared, que tambin son aislantes. La atraccin
elctrica entre el globo con carga y la pared neutra da como
resultado que el globo se adhiera a la pared. Imagine ahora dos
lminas planas infinitamente grandes de material ais- lante. Una de
las lminas tiene carga y la otra es neutra. Si stas son puestas en
contacto, existir una fuerza de atraccin entre ellas, como ocurri
entre el globo y la pared?ProblemasSeccin 24.1 Flujo elctrico1. En
un campo elctrico uniforme se hace girar una espira de40.0 cm de
dimetro hasta encontrar la posicin en la cual existe el mximo flujo
elctrico. El flujo en esta posicin tiene un valor de 5.20 105 N
m2/C. Cul es la magnitud del campo elctrico?2. Existe un campo
elctrico vertical, de 2.00 104 N/C de mag-nitud, sobre la
superficie de la Tierra en un da con tormenta elctrica. Un
automvil, con dimensin rectangular de 6.00 m por 3.00 m, viaja a lo
largo de un camino de grava seca que se
inclina hacia abajo a 10.0. Determine el flujo elctrico en el
chasis del automvil.3. Un campo elctrico uniforme ai b j atraviesa
por una super-ficie de rea A. Cul es el flujo que pasa a travs de
esta rea si la superficie se encuentra a) en el plano yz, b) en el
plano xz, c) en el plano xy?4. Considere una caja triangular
cerrada en reposo dentro de un campo elctrico horizontal con una
magnitud E 7.80 104 N/C, como se muestra en la figura P24.4.
Calcule el flujoelctrico a travs de a) la superficie rectangular
vertical, b) la superficie inclinada, y c) la superficie total de
la caja.30.0 cmE
c) Los resultados dependen del radio de la cubierta? Explique su
respuesta.11. Una carga puntual Q se localiza justo por encima del
centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como se
muestra en la figura P24.11. Cul es el flujo elctrico que pasa a) a
travs de la superficie curva y b) a travs de la cara plana?10.0
cm
60.0 Qd 0RFigura P24.4 Pregunta 11 y problema 44.5. Una pirmide
de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado, y con una altura de
4.00 m est colocada en un campo elctrico vertical de 52.0 N/C.
Calcule el flujo elctrico total que pasa a travs de las cuatro
superficies inclinadas de la pirmide.Seccin 24.2 Ley de Gauss6. El
campo elctrico presente en la superficie total de una cubierta
esfrica delgada de 0.750 m de radio tiene un valor de 890 N/C y
apunta radialmente hacia el centro de la esfera. a) Cul es la carga
neta en el interior de la superficie de la esfera? b) Qu se puede
concluir en relacin con la natu- raleza y distribucin de la carga
en el interior de la cubierta esfrica?7. Las siguientes cargas estn
localizadas en el interior de un sub- marino: 5.00 mC, 9.00 mC,
27.0 mC y 84.0 mC. a) Calcule el flujo elctrico neto a travs del
casco del submarino. b) El nmero de lneas de campo elctrico que
salen en compara- cin con las que entran es: mayor, igual o
menor?8. a) A una distancia d de un plano infinito est localizada
una carga puntual q. Determine el flujo elctrico a travs del plano
debido a la carga puntual. b) Qu pasara si? Una carga puntual q est
localizada muy cerca del centro de un cuadrado muy grande sobre la
lnea perpendicular a dicho cuadrado y que pasa por su centro.
Determine el flujo elctrico aproximado que pasa a travs del
cuadrado que se espera de la carga pun- tual. c) Explique por qu
las respuestas a los incisos a) y b) son idnticas.9. En la figura
P24.9 se muestran cuatro superficies cerradas, S1 a S4, as como las
cargas 2Q , Q y Q. (Las lneas de color son las intersecciones de
las superficies con el plano de la pgina.) Determine el flujo
elctrico a travs de cada superficie.S 1S 4 2QS Q Q
Figura P24.1112. El aire que est por encima de cierta regin a
una altitud sobre el nivel del suelo de 500 m, el campo elctrico es
de 120 N/C en direccin hacia abajo. A una altitud de 600 m sobre el
nivel del suelo, el campo es de 100 N/C hacia abajo. Cul es la
densidad de carga volumtrica promedio de la capa de aire entre
estas dos alturas? Es positiva o negativa?13. Una carga puntual Q
5.00 mC se localiza en el centro de un cubo de arista L 0.100 m.
Adems, simtricamente alrededor de Q, como se muestra en la figura
P24.13, existen otras seis cargas puntuales idnticas q 1.00 mC.
Determine el flujo elctrico a travs de una de las caras del
cubo.LqqqqQqLqLFigura P24.13 Problemas 13 y 14.14. Una carga
puntual positiva Q est en el centro de un cubo de arista L. Adems,
otras seis cargas puntuales negativas idnti- cas q estn colocadas
simtricamente alrededor de Q como se muestra en la figura P24.13.
Determine el flujo elctrico a travs de una de las caras del
cubo.15. Una carga lineal infinitamente larga tiene carga uniforme
por cada unidad de longitud l y se localiza a una distancia d del
punto O, como se muestra en la figura P24.15. Determine el flujo
elctrico total a travs de la superficie de una esfera de radio R
con centro en O como resultado de la carga lineal. Tome en cuenta
cuando R d y R d.S 2 ldFigura P24.9R10. Una carga puntual de 12.0
mC est colocada en el centro de una cubierta esfrica de 22.0 cm de
radio. Cul es el flujo elctrico total que pasa a travs de a) la
superficie del cascarn y b) cualquier superficie hemisfrica de la
misma?
OFigura P24.1516. Una esfera hueca no conductora sin carga, con
un radio de10.0 cm, rodea una carga de 10.0 mC localizada en el
origen de un sistema de coordenadas cartesiano. Una broca de
radio1.00 mm es alineada a lo largo del eje de las z y se hace una
perforacin en la esfera. Calcule el flujo elctrico a travs de la
perforacin.17. Una carga de 170 mC est en el centro de un cubo con
una arista de 80.0 cm. Sin cargas en los alrededores a) Determine
el flujo a travs de cada una de las caras del cubo. b) Encuentre el
flujo a travs de la superficie total del cubo. c) Qu pasara
si?Cambiaran sus respuestas a los incisos a) y b) en caso de que la
carga no estuviera ubicada en el centro? Explique por qu.Seccin
24.3 Aplicacin de la ley de Gauss a varias distribuciones de
carga18. Una esfera slida con un radio 40.0 cm tiene una carga
positiva total de 26 mC con distribucin uniforme en su volumen.
Calcule la magnitud del campo elctrico a las siguientes distancias
del centro de la esfera: a) 0 cm, b) 10.0 cm, c) 40.0 cm y d) 60.0
cm.19. Determine la magnitud del campo elctrico en la superficie de
un ncleo de plomo-208, que contiene 82 protones y 126 neutrones.
Suponga que el ncleo de plomo tiene un volumen igual a 208 veces el
volumen de un protn, considere al protn como una esfera de radio
1.20 10 15 m.20. Un filamento largo y recto tiene una carga por
unidad de longi- tud de 90.0 mC/m. Determine el campo elctrico a
las siguien- tes distancias del filamento, medidas
perpendicularmente a la longitud del mismo: a) 10.0 cm, b) 20.0 cm
y c) 100 cm.21. Una hoja con carga grande horizontal y plana tiene
una carga por unidad de superficie de 9.00 mC/m2. Determine el
campo elctrico justo por encima del centro de la hoja.22. Una
cubierta cilndrica con un radio de 7.00 cm y longitud de240 cm
tiene una carga con distribucin uniforme sobre su superficie curva.
La magnitud del campo elctrico en un punto que est a 19.0 cm
radialmente hacia afuera de su eje (medi- do a partir del punto
medio de la cubierta) es de 36.0 kN/C. Determine a) la carga neta
sobre la cubierta y b) el campo elctrico que existe en un punto a
4.00 cm del eje, medido radialmente hacia afuera del punto medio de
la cubierta.23. Un trozo de Styrofoam de 10.0 g tiene una carga
neta de 0.700 mC y flota por encima del centro de una gran lmina
horizontal de plstico que tiene una densidad de carga unifor- me en
su superficie. Cul es la carga por unidad de superficie presente en
la lmina de plstico?24. a) Escriba un problema para el que la
siguiente ecuacin d la solucin. Incluya los datos requeridos en su
enunciado de problema e identifique la nica incgnita.2p(3 cm)(8
cm)E cos 0 0 0p 12 cm 2 2 18 cm 2 15 10 6 C>m3 28.85 10 12 C2 N
# m2b) Resuelva la ecuacin para la incgnita.25. Problema de repaso.
Una partcula con una carga de 60.0 nC est colocada en el centro de
una cubierta esfrica no conduc- tora con un radio interior igual a
20.0 cm y un radio exterior de25.0 cm. La cubierta esfrica tiene
una carga con una densidad uniforme de 1.33 mC/m3. Un protn se
mueve en rbita circular justo en el exterior de la cubierta
esfrica. Calcule la rapidez del protn.26. Un muro no conductor
tiene una carga con densidad uni- forme de 8.60 mC/cm2. Cul es el
campo elctrico a 7.00
cm del muro? El resultado cambia si se modifica la distancia a
la pared?27. Considere una distribucin de carga cilndrica larga de
radio R con una densidad de carga uniforme r. Encuentre el campo
elctrico a una distancia r del eje, cuando r R.28. En la fisin
nuclear, un ncleo de uranio 238 que contiene 92 pro- tones puede
dividirse en dos esferas ms pequeas, cada una con46 protones y con
un radio de 5.90 10 15 m. Cul es la magni-tud de la fuerza elctrica
de repulsin que separa las dos esferas?29. Considere una cubierta
esfrica delgada con un radio de 14.0 cm y una carga total de 32.0
mC con distribucin uniforme sobre su superficie. Determine el campo
elctrico a) a 10.0 cm y b) a 20.0 cm del centro de distribucin de
la carga.30. Llene dos globos con aire. Sujete los extremos de las
cuerdas de la misma longitud desde el mismo punto, con los otros
extremos unidos a los globos. Frote cada uno de ellos con lana o
con su cabello, de forma que cuelguen separados por un espacio
visible entre ambos. Haga estimaciones de orden de magnitud de a)
la fuerza en cada uno, b) la carga de cada globo, c) el campo que
cada uno de ellos genera en el centro del otro y d) el flujo total
de campo elctrico creado por cada globo. Establezca las cantidades
que ha considerado como datos y los valores medidos o estimados
para los mismos.31. Un filamento recto con carga uniforme de 7.00 m
de longi- tud tiene una carga positiva total de 2.00 mC. Un
cilindro de cartn sin carga de 2.00 cm de longitud y 10.0 cm de
radio, rodea el filamento en su parte central, y lo tiene como el
eje del cilindro. A partir de aproximaciones razonables, de-
termine a) el campo elctrico en la superficie del cilindro y b) el
flujo elctrico total a travs de dicho cilindro.Seccin 24.4
Conductores en equilibrio electrosttico32. Una placa muy grande
delgada y plana de aluminio con rea A tiene una carga total Q, con
distribucin uniforme sobre sus superficies. Existe una carga igual
distribuida uniformemente sobre la superficie superior de una placa
de vidrio idntica en todo, compare los campos elctricos justo por
encima del cen- tro de la cara superior de cada una de las
placas.33. Una varilla de metal larga y recta tiene un radio de
5.00 cm y una carga por unidad de longitud de 30.0 nC/m. Determine
el campo elctrico a las siguientes distancias, medidas perpendicu-
larmente al eje de la varilla: a) 3.00 cm, b) 10.0 cm y c) 100
cm.34. Una esfera slida de cobre con un radio de 15.0 cm tiene una
carga de 40.0 nC. Determine el campo elctrico a) a 12.0 cm, b) a
17.0 cm y c) a 75.0 cm del centro de la esfera. d) Qu pasara si?
Cules seran sus respuestas si la esfera fuese hueca?35. Una placa
cuadrada de cobre de 50.0 cm de lado tiene una carga neta igual a
cero y est colocada en una regin de un campo elctrico uniforme de
80.0 kN/C dirigido perpendicularmente a la placa. Determine a) la
densidad de carga en cada una de las caras de la placa y b) la
carga total en cada placa.36. En cierta reging del espacio, el
campo elctrico esE 6 000x 2i N>C # m2. Encuentre la densidad
volumtricade la carga elctrica en x = 0.300 m. Sugerencia: Aplique
la ley de Gauss a una caja entre x = 0.300 m y x = 0.300 m dx.37.
Dos esferas conductoras idnticas con un radio de 0.500 cm estn
conectadas por un alambre conductor ligero de 2.00 m de largo. En
una de las esferas se coloca una carga de 60.0 mC. Suponga que la
distribucin de la carga superficial en cada una es uniforme.
Determine la tensin en el alambre.38. Una esfera metlica slida, de
radio a, tiene carga total Q sin otra carga en los alrededores. El
campo elctrico justo afue-ra de su superficie es keQ/a2 radialmente
hacia afuera. El campo elctrico en este caso tambin se conoce por s
/ e0? Por s / 2e0? Explique si debe esperar que sea igual a alguna
de estas cantidades.39. Un alambre largo y recto, rodeado por un
cilindro de metal hueco cuyo eje coincide con el suyo, tiene una
carga por uni- dad de longitud l, y el cilindro una carga por
unidad de lon- gitud 2l. Con esta informacin, utilice la ley de
Gauss para determinar a) la carga por unidad de longitud en las
super- ficies interna y externa del cilindro y b) el campo elctrico
exterior al cilindro, a una distancia r de su eje.40. Una carga
puntual positiva se encuentra a una distancia R/2 del centro de una
cubierta esfrica conductora delgada, sin carga y de radio R. Dibuje
las lneas de campo elctrico que se establecen debido a este sistema
tanto adentro como afuera de la cubierta.41. Una delgada placa
conductora y cuadrada de 50.0 cm de lado se encuentra sobre el
plano xy. Se deposita una carga total de4.00 10 8 C sobre la placa.
Determine a) la densidad de cargasobre la placa, b) el campo
elctrico justo por encima de la placa y c) el campo elctrico justo
por debajo de la misma. Puede suponer que la densidad de carga es
uniforme.Problemas adicionales42. Un campo elctrico no uniforme
tiene la expresinE ayi bzj cx kdonde a, b y c son constantes.
Determine el flujo elctrico a travs de una superficie rectangular
en el plano xy, que se extiende de x 0 hasta x w y de y 0 hasta y
h.43. Una esfera de radio R rodea una partcula con carga Q, ubi-
cada en su centro. a) Demuestre que el flujo elctrico a travs de un
casquete circular de semingulo u (figura P24.43) esQ
campo elctrico en el punto C, a 12.0 cm de radio. e) Con- sidere
una superficie gaussiana esfrica a travs del punto C y encuentre la
carga neta encerrada por esta superficie. f) Considere una
superficie gaussiana esfrica de 8.00 cm de radio y encuentre la
carga neta encerrada por esta superficie. g) Encuentre el vector de
campo elctrico en el punto B, a 8 cm de radio. h) Considere una
superficie gaussiana esfrica a travs del punto A, a 4.00 cm de
radio, y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. i)
Encuentre el vector de campo elctrico en el punto A. j) Determine
la carga sobre la superficie interior de la cubierta conductora. k)
Determine la carga sobre la superficie exterior de la cubierta
conducto- ra. l) Bosqueje una grfica de la magnitud del campo
elctri- co en trminos de r.45. Una cubierta esfrica metlica y hueca
tiene radio exterior de 0.750 m, sin carga neta y est apoyado sobre
una base ais- lante. El campo elctrico en todas partes justo afuera
de su superficie es 890 N/C radialmente hacia el centro de la
esfera. a) Explique qu puede concluir acerca de la cantidad de
carga sobre la superficie exterior de la esfera y sobre la
distribucin de esta carga. b) Explique qu puede concluir acerca de
la cantidad de carga sobre la superficie interior de la esfera y su
distribucin. c) Explique qu puede concluir acerca de la cantidad de
carga dentro de la cubierta y su distribucin.46. Imagine dos
esferas conductoras idnticas cuyas superficies se encuentran a una
pequea distancia una de la otra. A una esfera se le da una gran
carga positiva neta, en tanto que a la otra se le da una pequea
carga neta, tambin positiva. Se descubre que la fuerza existente
entre ambas esferas es de atraccin, aun cuando las dos tienen
cargas netas del mismo signo. Explique por qu es posible.47. Una
esfera aislante y slida, de radio a, tiene una densidad de carga
uniforme r y una carga total Q. Colocada en forma con- cntrica a
esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada,
de radios interno y externo b y c, respectivamente,como se observa
en la figura P24.57. a) Determine la magnitudE2P0
11cos u 2
del campo elctrico en las regiones r a, a r b, b r c y rCul es
el flujo para b) u = 90 y c) u = 180?
c. b) Determine la carga inducida por unidad de superficie enlas
superficies interna y externa de la esfera
hueca.uAislanteRConductorQabcFigura P24.4344. Una esfera aislante y
slida, de 5.00 cm de radio, tiene una carga positiva neta de 3.00
mC, con distribucin uniforme en todo su volumen. Concntrico a la
esfera hay una cubierta esfrica conductora con radio interior de
10.0 cm y radio exterior de 15.0 cm, que tiene carga neta de 1.00
mC, como se muestra en la figura Q24.11. a) Considere una
superficie gaussiana esfrica de 16.0 cm de radio y encuentre la
carga neta encerrada por esta superficie. b) Cul es la direccin del
campo elctrico en el punto D, a la derecha de la cu- bierta y a un
radio de 16 cm? c) Encuentre la magnitud del campo elctrico en el
punto D. d) Encuentre el vector de
Figura P24.47 Problemas 47 y 63.48. Problema de repaso. Uno de
los primeros modelos (incorrec- to) del tomo de hidrgeno, sugerido
por J. J. Thomson, supo- na que una nube positiva con carga e
estaba distribuida de manera uniforme en todo el volumen de una
esfera de radio R, con el electrn (una partcula con carga negativa
e de igual magnitud) en el centro. a) Con la aplicacin de la ley de
Gauss, demuestre que el electrn estara en equilibrio en el centro
y, en caso de ser desplazado del centro una distancia r R, ex-
perimentara una fuerza de restauracin de la forma F Kr, siendo K
una constante. b) Demuestre que K kee2/R 3. c)Encuentre una
expresin para la frecuencia f de oscilaciones armnicas simples que
podra sufrir un electrn de masa me si fuera desplazado y despus
liberado en una pequea distan- cia ( R) desde el centro. d) Calcule
un valor numrico para R, como resultado de una frecuencia de 2.47
1015 Hz, que es la frecuencia de la luz que irradia la lnea ms
intensa del espectro del hidrgeno.49. Una partcula de masa m y
carga q se mueve con magnitud de velocidad alta a lo largo del eje
x. Inicialmente se localiza cerca de x , y termina cerca de x . Una
segunda carga Q se encuentra fija en el punto x 0, y d. Cuando la
carga en movimiento pasa por la carga estacionaria, su componente x
de velocidad no sufre una modificacin significativa, pero adquiere
una velocidad pequea en la direccin y mvil. De- termine el ngulo en
que la carga se desva. Sugerencia: La integral a la que llegue al
determinar vy puede ser evaluada aplicando la ley de Gauss a un
cilindro largo de radio d, cen- trado sobre la carga
estacionaria.50. Dos lminas infinitas de carga, no conductoras, se
encuen- tran paralelas entre s, como se observa en la figura
P24.50. La lmina de la izquierda tiene una densidad de carga su-
perficial uniforme s, y la de la derecha tiene una densidad de
carga uniforme s. Calcule el campo elctrico a) a la izquierda de,
b) entre, y c) a la derecha de las dos lminas.s sFigura P24.5051.
Qu pasara si? Repita el clculo del problema 50 en el caso de que
ambas lminas tuvieran densidades de carga superfi- ciales uniformes
positivas de valor s.52. Una esfera de radio 2a est hecha de un
material no conductor con una densidad de carga volumtrica uniforme
r. (Suponga que el material no afecta al campo elctrico.) Se efecta
en seguida una cavidad de radio a en la esfera, como se muestra en
la figura P24.52. Demuestre que el campo elctrico dentro de la
cavidad es uniforme y est dado por Ex 0 y Ey ra/3e0. Sugerencia: El
campo en el interior de la cavidad es la sobrepo- sicin del campo
debido a la esfera original sin perforacin mas el campo debido a
una esfera del tamao de la cavidad con una densidad de carga
negativa uniforme de r.y
53. Una cubierta esfrica con carga uniforme de densidad superfi-
cial s tiene una pequea perforacin en su superficie. El radio de la
perforacin es pequeo en comparacin con el radio de la esfera. Cul
es el campo elctrico en el centro de la perfo- racin? Sugerencia:
Este problema, al igual que el problema 52, se resuelve con la idea
de la sobreposicin.54. Una superficie cerrada de dimensiones a b
0.400 m y c 0.600 m est colocada como se observa en la figura
P24.54. La arista izquierda de la superficie cerrada est ubicada en
la posicin x a. El campo elctrico en toda la regin no es uniforme y
se conoce por E (3.0 2.0x 2)i N/C, donde x est expresado en metros.
Calcule el flujo elctrico neto que sale de la superficie cerrada.
Cul es la carga neta que se encuentra dentro de la superficie?yx
acEzax bFigura P24.5455. Una esfera aislante y slida de radio R
tiene una densidad de carga no uniforme que vara en funcin de r de
acuerdo con la expresin r Ar2, donde A es una constante y r R est
medi- da desde el centro de la esfera. a) Demuestre que la magnitud
del campo elctrico exterior de la esfera (r R) es igual a E AR
5/5e0r 2. b) Demuestre que la magnitud del campo elctrico interior
de la esfera (r R) es igual a E Ar 3/5e0. Sugerencia: La carga
total Q de la esfera es igual a la integral de r dV, donde r se
extiende desde cero hasta R; tambin la carga q dentro de un radio r
R es inferior a Q. Para evaluar las integrales, observe que el
elemento de volumen dV para una cubierta esfrica de radio r y de
espesor dr es igual a 4 pr 2dr.56. Una carga puntual Q est
localizada sobre el eje de un disco de radio R a una distancia b
del plano del disco (figura P24.56). Demuestre que en el caso de
que una cuarta parte del flujo elctrico de la carga pasara a travs
del disco, R sera igual a 43b.Rbax2aFigura P24.52
QFigura P24.5657. Una distribucin de carga de simetra esfrica
tiene una den- sidad de carga expresada por r a/r, siendo a una
constante. Determine el campo elctrico como una funcin de r.
Sugeren-
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