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Seminario Temas Específicos de Física STEF-2015

Leyes de conservación: energía y momento lineal

Trabajo mecánico y energía

El trabajo, tal y como se define físicamente, es una magnitud diferente de lo que se entiende sensorialmente por trabajo. Trabajo y energía son manifestaciones de la misma cosa.

Energía

Lo importante de la energía es identificar sus transformaciones, porque es cuando algo ocurre, cuando algo cambia. Algunos autores definen a la energía como la capacidad de un objeto para producir cambios.

– Todo cambio físico lleva implícita una transformación de la energía.– Todas las formas de energía son transformables, unas en otras.

– La energía se mide cuantificando sus transformaciones.

– La energía se transfiere de un cuerpo a otro. Esta es otra de sus características

La energía es uno de los conceptos más importantes de la Física, y permite acercarnos a los contenidos de ésta ciencia, a través de sus diferentes formas. Como lo importante son sus transformaciones, se definen tres formas de energía: cinética, potencial y radiante.

Figura Nº 1

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Trabajo mecánico

Para que se realice un trabajo, es necesario que se aplique una fuerza sobre un punto de un objeto, y que ese punto se desplace. Si no existe desplazamiento, aunque haya fuerza aplicada no se produce trabajo.

Ejemplo: sostener un peso a una altura determinada no ejerce trabajo: el mismo resultado puede conseguirse poniendo un soporte rígido debajo. En cambio, al levantar dicho peso desde una altura a otra distinta, sí se produce trabajo.

Cuando una fuerza aplicada sobre un objeto produce un desplazamiento el trabajo producido

W=

Esta fórmula es válida cuando los dos vectores sean constantes durante el tiempo que dure el proceso.

Hemos dicho anteriormente que trabajo y energía son la misma cosa. Cuando un sistema realiza trabajo sobre otro, le comunica una cierta cantidad de energía; si no hay transferencia de energía, no existe trabajo. De este modo, el trabajo seria en cierto modo una medida de la transferencia de energía entre los dos sistemas.

Las unidades de trabajo y energía son las mismas: 1 Julio (Joule)=1 Nm

Energía potencial gravitatoria

El trabajo mecánico que se necesita hacer para elevar un cuerpo a una cierta altura h, va a ser igual a la cantidad de energía potencial gravitatoria que almacena el cuerpo al alcanzar esa altura h.

A su vez si el cuerpo se suelta, caerá bajo la acción de la fuerza peso y desarrollará un trabajo.

La fórmula que relaciona el trabajo mecánico con la energía potencial gravitatoria que

almacena un cuerpo es: EP= P.h

Energía cinética

La energía cinética es aquella que se deriva del movimiento. Es importante considerar al respecto que todo cuerpo, independientemente de sus circunstancias posee energía, energía que solo puede catalogarse como cinética cuando este se pone en movimiento. Está definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada (constante) desde su posición de equilibrio hasta una velocidad (v) dada:

Ec=

Esto lo demostramos considerando las definiciones de:

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Trabajo : W= , que si lo analizamos únicamente en la dirección del eje x con una única fuerza horizontal “F” queda: W= F.∆x

la segunda ley de Newton repitiendo la consideración anterior: =m se expresa F=m.a

y recordando una relación establecida en el movimiento uniformemente variado para la velocidad, la aceleración y el desplazamiento: v2

f = v2i + 2.ax∆x , para la cual si la vi=0 se reduce a v2

f = 2.a. ∆x. Despejando

a. ∆x queda:

= a.∆x

Volviendo a la expresión del trabajo total realizado por la fuerza a lo largo del proceso

tenemos:

W= F.∆x= (m.a).∆x= m.a. ∆x= m.

.

= Ec

Energía mecánica

La energía mecánica es la energía que presentan los cuerpos en razón de su movimiento (energía cinética), de su situación respecto de otro cuerpo, generalmente la tierra (energía potencial), o de su estado de deformación, en el caso de los cuerpos elásticos (energía potencial elástica). Es decir, la energía mecánica es la suma de las energías potencial (energía almacenada en un sistema), cinética (energía que surge en el mismo movimiento) y la elástica de un cuerpo en movimiento.

La energía mecánica es la suma entre la energía cinética, la potencial gravitatoria y la elástica

EM = Ec + Epg +Epe

Este valor siempre es constante en sistemas conservativos, es decir donde hay ausencia de fuerzas externas como podrían ser las fuerzas de rozamiento. Por lo tanto, si la energía potencial disminuye, la energía cinética aumentara.

Principio de conservación de la energía mecánica

El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni se destruye destruye; sólo se transforma de unas formas en otras.

En estas transformaciones, la energía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes y después de cada transformación.

En el caso de la energía mecánica se puede concluir que, en ausencia de rozamientos y sin intervención de ningún trabajo externo, la suma de las energías cinética y potencial permanece constante.

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Comprobación del Principio de Conservación de la Energía Mecánica

Para comprobar el principio de conservación de la energía mecánica razonamos de la siguiente manera:

1. El teorema de la energía cinética establece que la variación de energía cinética ∆Ec, que sufre un cuerpo, entre dos puntos (la cual se traduce en una variación de su velocidad) es igual al trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo entre esos puntos (inicial y final).

Esto se cumple tanto si las fuerzas son conservativas como si no.

Wt=∆Ec

2. Por otro lado, en el caso de que actúen únicamente fuerzas conservativas, dicho trabajo coincide con la variación de energía potencial cambiada de signo.

WFC=−∆Ep

3. De lo anterior, y teniendo en cuenta de que actúen únicamente fuerzas conservativas, y que en ambos casos nos referimos al mismo trabajo, podemos escribir:

∆Ec=−∆Ep⇒∆Ec+∆Ep=0 ⇒∆(Ec+Ep)=0 ;

∆Em=0 Sólo actuando Fuerzas Conservativas

Por tanto la energía mecánica no cambia, permanece constante cuando únicamente actúan fuerzas conservativas.

Principio de Conservación de la Energía con Fuerzas no Conservativas

En el caso general de que en nuestro sistema aparezcan fuerzas no conservativas, la energía mecánica no se conserva.

Existen dos contribuciones para el trabajo total Wt:

1. Trabajo realizado por las fuerzas conservativas WFC

2. Trabajo realizado por las fuerzas no conservativas WFnC

Por tanto: Wt=WFC+WFnC

Si sobre un cuerpo actúan fuerzas conservativas y no conservativas, la variación de energía mecánica coincide con el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas:

WFnC=∆Em

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Momento lineal o cantidad de movimiento

¿Qué es el momento lineal?

Siempre que hablamos de movimiento nos referimos a los conceptos de posición, velocidad y aceleración para describirlo. Y cuando nos referimos a interacciones entre cuerpos siempre hablamos de fuerzas.

En forma natural, estos dos hechos físicos, movimiento de un cuerpo y fuerzas que actúan sobre él, se relacionan.

Todos sabemos que un cuerpo en movimiento tiene la capacidad de ejercer una fuerza sobre otro que se encuentre en su camino. Llamaremos momento lineal o cantidad de movimiento a la magnitud que nos permite medir esta capacidad (algunos la llaman momentum).

Fue el propio Newton quien introdujo el concepto de momento lineal (aunque él lo llamaba cantidad de movimiento) que combina las magnitudes características de una partícula material en movimiento: su masa (toda partícula material tiene masa) y su velocidad (magnitud que caracteriza el movimiento).

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" (el momento lineal o momentum) dependía tanto de la masa como de la velocidad: si podemos imaginar una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca se puede detener con la mano, mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad.

Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

¿Por qué es más difícil detener a un camión que a una mosca si se mueven a la misma velocidad? ¿Qué ocurre cuando chocan dos bolas de billar? ¿Qué pasa cuando la raqueta golpea la pelota de tenis?

Al golpear una pelota con una raqueta, un palo de golf o un bate de béisbol, la pelota experimenta un cambio muy grande en su velocidad en un tiempo muy pequeño.

Figura Nº 2

El momento lineal es una magnitud que asocia la masa con la velocidad.

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Todos estos hechos tienen en común la magnitud cantidad de movimiento o momento lineal. Como ya lo dijimos, esta magnitud combina la inercia y el movimiento, o, lo que es lo mismo, la masa y la velocidad.

Un cuerpo puede tener una gran cantidad de movimiento (momento lineal) si tiene una masa muy grande o si se mueve a gran velocidad.

Matemáticamente, el momento lineal ( se define como:

Por tanto, el momento lineal ( , es una magnitud vectorial (kg m/s), ya que resulta de multiplicar un escalar (la masa en kg) por un vector (la velocidad, en m/s). Su dirección y sentido coinciden con los del vector velocidad.

Veamos un ejemplo sencillo: Una persona de 64 kg camina por el parque con una velocidad de 2 m/s. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de dicha persona?

Aplicamos la fórmula y reemplazamos los valores:

El momento lineal o la cantidad de movimiento de esta persona es 128 kg m/s.

¿De qué depende el momento lineal?

Como dato previo, antes de continuar, no se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, que es una magnitud diferente.

Ahora trataremos de investigar de qué depende la magnitud vectorial definida como momento lineal: En la imagen a la derecha vemos unas bolas de billar, las cuales, durante un juego, chocarán entre sí y con la banda de la mesa. En todos los casos supondremos que el choque dura una décima de segundo.

Figura Nº 3

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Impulso mecánico

Para que una bola de billar posea momento lineal, hay que proporcionárselo de alguna forma. Si observamos a un jugador de billar, resulta evidente que el momento lineal que adquiere la bola depende del golpe que se la da con el taco.

También observamos que ese momento lineal varía después de un choque con otra bola o con la banda de la mesa.

La magnitud que mide la variación del momento lineal de una partícula, y de la cual depende, se llama impulso.

¿Qué es el impulso?

Todos hemos visto como acelera un auto de Fórmula 1. Si mantuviese esa acción (fuerza) durante más tiempo, adquiriría mayor velocidad momento a momento y podría ubicarse primero en la carrera.

Con esto nos damos cuenta de que el efecto que produce una fuerza que actúa sobre un cuerpo depende del tiempo que está actuando. Para medir este efecto se define la magnitud impulso mecánico.

El impulso mecánico (I) se define como el producto de la fuerza (F) por el intervalo de tiempo (Δt) durante el que ésta actúa:

Su fórmula matemática es

En forma descriptiva, diremos que el impulso es una magnitud vectorial que tiene la dirección y el sentido de la fuerza que lo produce. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el N•s (Newton por segundo).

Si queremos comunicar un gran impulso a un cuerpo debemos aplicar una fuerza muy grande durante el mayor tiempo posible.

Las fuerzas aplicadas pueden variar con el tiempo; por eso se habla de fuerza media de impacto cuando golpeamos una pelota con una raqueta o con un palo de golf.

Ejercicio: Un palo de golf impacta en una bola con una fuerza media de 2.000 N. Si el tiempo de contacto entre el palo y la bola es de 0,001 s, ¿cuál es el impulso que comunica a la bola?

La respuesta : (2 N•s)

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¿Cómo se relaciona el impulso mecánico con el momento lineal?

Si una partícula, con masa constante, se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme su momento lineal no variará, pero si esta partícula modifica su velocidad (desde un valor v1

a otro v2), el momento lineal sufrirá una variación dada por:

A partir de esta expresión es muy fácil calcular la rapidez con que varía el momento lineal:

Si el segundo miembro de la ecuación obtenida es igual al producto de la masa por la aceleración, y considerando el Principio Fundamental de la Dinámica, la rapidez con que varía el momento lineal deberá de ser igual a la fuerza resultante aplicada sobre la partícula:

La expresión obtenida nos dice que una misma variación del momento lineal (de la velocidad, si suponemos constante la masa) se puede producir, bien aplicando una fuerza grande durante un tiempo corto, o bien aplicando una fuerza menor durante un tiempo más largo.

El producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que actúa ( ) como hemos visto recibe el nombre de impulso mecánico, entonces se puede expresar:

p vm m a

t t

pm a

t

pm a

t

F m a

pF

t p F t

F t

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Principio de conservación del momento lineal

Hasta ahora hemos hablado de momento lineal analizando el impacto solo de un cuerpo (bola de billar o partícula) sobre otro.

Ampliemos el concepto al choque de varias partículas (o bolas de billar), en lo que llamaremos un sistema de partículas.

Para ilustrar el concepto, pensemos en una mesa de billar, donde puede haber varias bolas moviéndose a la vez (las bolas representan partículas).

Entonces, llamaremos momento lineal de un sistema de varias partículas (varias bolas de billar, según nuestro ejemplo) a la suma de los momentos lineales de todas ellas.

Debemos notar que, como el momento lineal es un vector, cuando sumamos varios momentos tenemos que hacerlo como vectores, no como simples números. Cuando algunas de las bolas chocan, sus momentos individuales se alteran: algunas se frenarán, otras se acelerarán...

Conclusiones sobre el momento lineal y el impulso

Llamamos momento lineal a la magnitud que nos mide la capacidad que tiene un cuerpo de producir un efecto sobre otro en una colisión.

Llamamos impulso a la variación del momento lineal. Cuando aumentamos el momento lineal de un cuerpo, está recibiendo impulso positivo; cuando disminuimos ese mismo momento lineal, el impulso es negativo.

Principio de conservación del momento lineal: Cuando un sistema de partículas no recibe impulso del exterior, su momento lineal total es constante.

cuando I=0

La cantidad de movimiento total de un sistema aislado permanece constante, independientemente de la naturaleza de las fuerzas internas.

Este principio no depende de quelas fuerzas sean o no conservativas, como en el caso de la energía, sino sólo de quelas fuerzas sean externas o no.

cuando I≠0 El impulso total de la fuerza neta sobre una partícula es

igual a la variación de la cantidad de movimiento de la partícula

Un sistema de partículas (bolas de billar).

Sí F 0 p 0. Esto es :p constante

Figura Nº 4

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Choque

Recibe el nombre de choque entre dos cuerpos a una interacción de duración sumamente corta.

Choques elásticos

Cuando dos cuerpos chocan puede ocurrir que parte de la energía que llevan se utilice en deformarlos o bien se disipe en forma de

calor, o puede que esta pérdida sea despreciable.

Si en un choque se conserva la energía cinética total de las partículas, el choque se considera elástico.

En este caso, la conservación del momento lineal y de la energía cinética determinan totalmente la velocidad de cada partícula tras el choque.

Tras el choque ambas seguirán moviéndose con distinta velocidad (al menos en el sentido), sin embargo, la suma de sus momentos lineales ha de permanecer constante.

Fuerzas que actúan sobre dos bolas en el momento de la colisión elástica

en una dirección

Durante el choque: las dos bolas se aplican fuerzas mutuamente y en sentido opuesto F21=- F12, durante el mismo intervalo de tiempo. Por tanto, dicha transferencia de impulso es, durante el mismo intervalo de tiempo. Por tanto, dicha transferencia de impulso es:

F21. ∆t= - F12. ∆t

Figura Nº 5

La bola roja se movía hacia la derecha y la azul hacia la izquierda.

En el momento del choque la bola roja ejerce una fuerza hacia la derecha sobre la azul y la azul una igual y contraria (reacción) sobre la roja).

Si consideramos el sistema formado por ambos objetos estas fuerzas son internas (ejercidas entre elementos del sistema)

V1 V2

m1 m2

V1*

V2*

m2 m1

Antes del choque Durante el choque Después del choque

F21 F12

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Atención. En la expresión m. , considerar el sentido de la velocidad. Si los sentidos de las velocidades de ambos cuerpos (antes o después del choque) coinciden se sumarán sus momentos lineales, pero si son opuestas se restarán.

Conclusiones:

Conservación del momento lineal:

Analizando las energías cinéticas antes y después del choque se puede concluir que:

se conserva la energía cinética:

antes después

* *1 2 1 2

* *1 2 1 21 2 1 2

p p

p p p p

m v m v m v m v

Donde las magnitudes con asterisco indican valores después del choque.

Como se puede observar cuando dos objetos chocan y el momento lineal se mantiene constante la pérdida de momento experimentado por uno de ellos ha de ser ganado por el otro. De aquí que se diga que se produce una transferencia de momento entre los cuerpos.

Las únicas fuerzas externas que actúan se anulan, que son el peso y la normal, y considerando que las fuerzas actuantes durante el choque son interiores (fuerza resultante nula), podemos analizar los momentos lineales antes y después del choque:

m1.v1i+m2. v2i = m1.v1f+m2. v2f m1.v1i – m1. v1f = m2.v2f – m2. v2i

m1(v1i – v1f )= m2.(v2f – v2i )

Transformando en producto las diferencias de los cuadrados:

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Por lo tanto en un choque perfectamente elástico la velocidad relativa antes del choque resulta igual a la velocidad relativa después del choque cambiada de signo.

El principio de conservación del momento lineal y el Principio de conservación de la energía son las herramientas más poderosas

de la mecánica.

Relacionando las expresiones finales de la:

Conservación de la cantidad de movimiento: m1(v1i – v1f )= m2.(v2f – v2i )

Conservación de la energía cinética:

Se llega a:

m2.(v2f – v2i ).

v1inicial - v2inicial = - (v1final – v2final)

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Choque inelástico en una dirección

En el caso de que dos partículas choquen y sigan moviéndose juntas, se produce un choque inelástico. Entonces también se conservará el momento lineal del conjunto.

Algunos Choques son absolutamente inelásticos

Un choque es absolutamente inelástico cuando se produce la mayor pérdida de energía posible, compatible con la conservación del momento lineal total.

En el caso de choques frontales, esto supone que ambas partículas quedan adheridas una a otra.

v1f = v2f = vf

Al contrario que en el caso del choque elástico, existen numerosos casos de choques absolutamente inelásticos.

Esto es lo que sucede, por ejemplo, cuando un automóvil choca contra un obstáculo fijo.

El móvil se deforma, por lo que las fuerzas internas hacen trabajo y el choque es inelástico. La energía cinética disminuye.

Conclusiones sobre el estudio de los choques entre partículas

Existen dos casos ideales en los que es posible determinar totalmente cómo se va a mover cada partícula (cada bola de billar, según nuestro ejemplo anterior) después de un choque:

El choque frontal elástico, donde se conservan tanto la energía cinética como el momento lineal.

El choque frontal absolutamente inelástico, donde ambas partículas permanecen unidas tras el choque. En este caso se produce la mayor pérdida de energía posible.

Figura Nº 6

Una desgracia "absolutamente inelástica".

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