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1 RAZ. MATEMTICO

RAZ ONA MIENTOM ATEMTICO

PLANTEO DE ECUACIONES IRAZONAMIENTO MATEMTICO - TEMA 1

Enunciado Traduccin

Observamos a continuacin algunos ejemplos de pequeas frases u oraciones traducidas del lenguaje literal al lenguaje

matemtico:

1. La suma de tres nmeros consecutivos es 153.

LENGUAJE LITERAL (ENUNCIADOS) LENGUAJE MATEMTICO (SMBOLOS)

ngel Beatriz

2x aos x aos

x + (x + 1) + (x + 2) = 153

El tema de planteo de ecuaciones es particularmente importante debido a su alta incidencia en los exmenes de admisin.

El objetivo de este captulo es traducir matemticamente lo que est escrito literalmente en el problema. A esta traduccin

se le conoce como ecuacin. Luego de esto, la labor consiste en resolver las ecuaciones para las respuestas del problema.

ngel Beatriz

3x aos x aos

Yo T l

x 2x 6x

2. La edad de ngel es dos veces la edad deBeatriz.

3. La edad de ngel es dos veces ms que laedad de Beatriz.

4. Yo tengo la mitad de lo que t tienes, y ltiene el triple de lo que t tienes.

Lenguaje matemtico(ecuaciones)

2RAZ. MATEMTICO 2

PLANTEO DE ECUACIONES I

5. El triple de un nmero aumentado en 10.

6. El triple de un nmero aumentado en 10.

7. El exceso de A sobre B es 50.

8. En una reunin hay tantos hombres como el dobledel nmero de mujeres.

9. He comprado tantas camisas como soles cuestacada una.

10.Jorge tiene S/.50 ms que Javier.

11. La relacin que hay entre 2 nmeros es de 2 a5.

12. Tres nmeros son proporcionales a 3, 4 y 5respectivamente.

3x + 10, donde x es el nmero

3(x + 10), donde x es el nmero

A B = 50

Sean los nmeros: A y B

Hombres Mujeres

2x x

Compro x camisasCada una cuesta S/.x

Jorge JavierS/.(x+50) S/ x

A 2KA BB 5K2 5

A = 3K; B = 4K; C = 5K

Lo que se ha mostrado son ejemplos de cmo se puederepresentar simblicamente en el lenguaje matemticoun fragmento de enunciado.

Se denomina sistema de ecuaciones al conjunto deecuaciones cuyas soluciones comunes se pretendenobtener en caso de que existan.

La solucin de un sistema de ecuaciones es todoconjunto de valores de las incognitas que verifican ala vez todas las ecuaciones del sistema.

Una frase u oracin puede ser representada simblicamentede una o varias maneras. El estudiante debe proceder se-gn requerimientos de cada problema en particular.

Para plantear ecuaciones se debe proceder de la siguiente manera: Leer detenidamente el texto del problema hasta

comprender de qu se trata. Ubicar los datos y la pregunta. Elegir la(s) variable(s) con que va a trabajar. Relacionar los datos con las variables para plantear una

o ms ecuaciones, que al ser regueltas, den la solucin alproblema.

Ya que para encontrar la respuesta a un problema se deberesolver una o ms ecuaciones, es necesario que elestudiante haya aprendido plenamente a resolver ecuacionesen sus diferentes formas.

Por lo tanto, antes de resolver los problemas que sepresentan a continuacin conviene primero resolver, amanera de prctica los siguientes ejercicios:

1. Halla x en

1 1 x 1 2 1 42 3

?30 30 4,5; xx 2 x 1

Observacin:Para resolver un sistema de ecuaciones; esconveniente recordar que existen varios mtodos,por ejemplo:

mtodo de reduccin;

mtodo de sustitucin;

mtodo de igualacin;

mtodo de determinantes.

3 RAZ. MATEMTICO33


Problema 1Si anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy, y lo quetengo hoy es el doble de lo que tena ayer, que fue S/.50menos que anteayer, cuntos soles debo agregar a mi dineropara poder comprar un pantaln que cuesta S/.60?

San Marcos, 1999

Nivel fcil

Resolucin:Segn el enunciado, se tiene:

Por dato:6x x = 50 x = 10Luego, hoy tengo: 2(10) = S/.20

debo agregar 60 20 = S/.40

Respuesta: S/.40.

Problema 2Si al subir una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasosms que subiendo de 5 en 5 escalones, cuntos escalonestiene la escalera?

San Marcos, 2001

Nivel intermedio

Resolucin:

En el primer caso, se dieron 3 pasos ms que en el segundocaso; por lo tanto:

x x 34 5

Resolviendo: x = 60 la escalera tiene 60 escalones.

Respuesta: 60.

Problema 3Un nio le dice a su amigo: "Dame 5 de tus canicas, ytendremos tanto el uno como el otro". Este le responde:"Dame 10 de las tuyas, y tendr dos veces ms de las quete queden". Cuntas canicas tiene el nio?

San Marcos, 1998

Nivel difcil

Resolucin:

De lo que dice el nio:a + 5 = b 5

a + 10 = b ... ...(I)

De lo que dice el amigo:3(a 10) = b + 10 ... ...(II)

Reemplazando (I) en (II): 3(a 10) = a + 10 + 10

Resolviendoa = 25

el nio tiene 25 canicas.Respuesta: 25.

2. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:

x y 182x y 6

2x 3y 20x 2y 12

3x 4y 82x 3y 11

x y z 12x 4y z 33z 5y z 9

3. Resuelve: x2 12x + 27 = 0 3x2 + 5x 84 = 0

4x2 + 4x 15 = 0

x2 49x + 600 = 0

4. Halla el valor entero y positivo de x en

x(x + 2) = 168

(x 2)(x + 2) = 96

(x 1)(x)(x + 1) = 504

(x 2)(x)(x + 2) = 192

? ???? ??Anteayer Ayer Hoy

S /.6x S/.x S/.2xS /.6x S/.x S/.2xS/.6x S/.x S/.2x

Nio

Amigo

4RAZ. MATEMTICO 4


NIVEL I

1. Si el peso de dos vagones es igual,y el primer vagn se carga con9000 kg, y el segundo se cargacon 1500 kg y resulta el peso totaldel primer vagn el doble del pesototal del segundo, cul es el pesode cada vagn?

A) 6000 kg

B) 5000 kg

C) 6500 kg

D) 8000 kg

E) 6200 kg

2. El permetro de una sala rectangulares 56 m. Si el largo se disminuyeen 4 m y el ancho aumenta en8 m, los lados de la sala se haceniguales. Halla las dimensiones de lasala rectangular.

A) 20 m x 8 m

B) 22 m x 12 m

C) 20 m x 18 m

D) 18 m x 10 m

E) 13 m x 18 m

3. Tena Gigi el doble de lo que tenaGisela, pero luego Gigi le prestcierta suma a Gisela, por lo queahora Gisela tiene el triple de loque le queda a Gigi.

Si el prstamo que pidi Giselaexcede en S/.14 a lo que tenain ic ialmente, cunto tenainicialmente Gigi?

A) S/.110

B) S/.112

C) S/.115

D) S/.120

E) S/.118

4. En una reunin se cuentan tantoscaballeros como 3 veces el nmerode damas. Pero si despus seretiran 8 parejas, y el nmero decaballeros ahora es igual a 5 vecesel nmero de damas, cuntoscaballeros haba inicialmente?

A) 35

B) 48

C) 30

D) 25

E) 15

NIVEL II

5. Si repartiera 12 caramelos a cadauno de mis hijos, me sobraran4 caramelos; pero, para que cadauno pueda recibir 14 caramelos, mefaltan 14 caramelos. Halla la diferenciaentre el nmero de caramelos y elnmero de hijos que tengo.

A) 103

B) 100

C) 105

D) 104

E) 102

6. Dos n ios han recorr ido entotal 64 metros, y, entre losdos han dado 100 pasos. Si cadapaso del primero mide 50 cm ycada paso del segundo mide 70cm, cuntos pasos ms que elprimero ha dado el segundo?

A) 24

B) 36

C) 40

D) 46

E) 50

7. Para ganar S/.240 como productode, la rifa de una radio y unaplancha, se hicieron 100 boletossolo se pudieron vender 44 boletos,lo que origin una prdida de S/.40.Halla el precio de cada boleto y losprecios de los premios. Toma encuenta que tambin se sabe quela radio cuesta S/.40 ms que laplancha.

A) S/.5, S/.110, S/.150

B) S/.10, S/.120, S/.160

C) S/.10, S/.110, S/.150

D) S/.5, S/.120, S/.160

E) S/.4, S/.110, S/.150

8. En una canasta pueden entrar 24manzanas junto con 20 peras o solo12 manzanas junto con 30 peras.Si se colocan solo peras, cuntaspueden entrar en la canasta?

A) 35

B) 40

C) 44

D) 48

E) 60

9. Si con S/.300 pueden ingresar5 personas ms de las que ingresannormalmente al teatro, entoncesuna docena de entradas costara

S/.36 menos. Cunto cuesta ensoles cada entrada al teatro?

5 RAZ. MATEMTICO55


A) S/.12

B) S/.15

C) S/.20

D) S/.25

E) S/.24

10. Jess lanza 3 dardos a cada una

de las 4 dianas. Si l obtiene 29

puntos en la primera diana, 43 en

la segunda y 47 en la tercera,

cuntos puntos obtiene en la

cuarta diana?

A) 33 B) 36

C) 40 D) 27

E) 30

11. En una familia, el hermano mayordice: "El nmero de mis hermanosvarones es el triple del de mishermanas", y la hermana mayor dice:"tengo 8 hermanos varones msque hermanas". Cuntoshermanos en total hay en lafamilia?

A) 10

B) 14

C) 9

D) 12

E) 13

12. En una reunin el nmero dehombres es al nmero de damascomo 4 es a 5. Si se retiran 8parejas de esposos, la nuevarelacin es de 2 a 3. Si se sabeque solo asistieron 23 de losinvitados, cuntos invitados noasistieron?

A) 8

B) 22

C) 24

D) 25

E) 23

NIVEL III

13. Si a un nmero par se le suman losdos nmeros pares que le sigueny los dos nmeros impares que lepreceden, se obtiene 4 vecesdicho nmero aumentado en 20.Halla el nmero y seala comorespuesta el producto de sus cifras.

A) 10 B) 6

C) 9 D) 8

E) 15

14. Si la siguiente figura representaun cuadrado, calcula su rea.

A) 9 B) 4

C) 1 D) 25

E) 16

15. En una reunin se compra platos

de comida y se gasta abab soles.

Si cada porcin cost S/.17, halla

la suma de todos los posibles

valores que adopta ab.

A) 245 B) 230

C) 275 D) 240

E) 255

1. Una ecuacin es una relacin de ______________

entre dos expresiones algebraicas que tienen como

mnimo _________________________________.

2. Completa el siguiente esquema:

Representa los siguientes enunciados:

3. La suma de dos nmeros consecutivos ms 5:

4. El cuadrado de la suma de dos nmeros:

5. La suma de los cuadrados de dos nmeros:

6. El cudruple de lo que tengo, aumentado en 20:

7. Alicia tiene dos veces ms de lo que tiene Betty:

PLANTEO DE ECUACIONES II

6RAZ. MATEMTICO

PLANTEO DE ECUACIONES IIEcuaciones Diofnticas

RAZONAMIENTO MATEMTICO - TEMA 2



Para realizar un correcto planteo de ecuaciones, es necesario interpretar apropiadamente el enunciado del problema, que

implica conocer cmo simbolizar algunos fragmentos.

La ecuacin es el lenguaje de las matemticas y, como tal, es una herramienta fundamental para la resolucin de

problemas que se relacionan con nuestra vida diaria.

Plantear una ecuacin es todo un arte que consiste en que el enunciado de cualquier problema sea interpretado,

comprendido y luego expresado en una ecuacin matemtica, que dar la solucin al problema planteado.


7 RAZ. MATEMTICO


8RAZ. MATEMTICO

Problema 1Si Juan cobra en un banco un chequepor S/.2700 y le pide al cajero que leentregue cierta cantidad de billetes deS/.10, veinte veces dicha cantidad enbilletes de S/.20 y el resto en billetesde S/.50, cuntos billetes en totalrecibi Juan?

San Marcos, 2008

Nivel intermedio

A) 118B) 120C) 130D) 218E) 124

Resolucin

Se pide:Total de billetes = 21x + y10x + 20 (20x) + 50y = 2700410x + 50y = 270041x + 5y = 270......()Se aplica multiplicidad por 5:

5 1 x 5 5 ; 41x 270

? ? ?

x 5 ; x 6,5 ?

x 5

Se reemplaza en (): 41(5) + 5y = 270

y = 13Total de billetes = 21(5) + 13 = 118

Respuesta: A) 118.

Problema 2

Se desea repartir una cantidad en

soles entre un cierto nmero de

jvenes. Si se diera a cada joven

S/.15, faltaran S/.70, pero s dieran

S/.10, sobraran S/.10. Cuntos

soles ms necesitan para dar S/.12

a cada joven?

San Marcos, 2009II

Nivel medio

A) 59

B) 22

C) 23

D) 57

E) 25

Resolucin:

Se pide cuntos soles ms se necesitan

para dar S/.12 a cada joven.

Sea "x" el nmero de jvenes.

El dinero que se debe repartir es:

15x 70 = 10x + 10

x = 16

Entonces hay 16 jvenes.

Dinero = 10x + 10 = S/.170

Si a los jvenes se les entrega S/.12 a

cada uno, el to tal que se debe

entregar es:

16(12) = S/. 192

Se necesita. 192 - 170 = S/.22 ms

Respuesta: B) 22.

Problema 3En una competencia, participaronhombres y mujeres. Si 8 mujeresabandonaron la competencia, yquedaron 2 hombres por cada mujer,y Luego se retiraron 20 hombres yquedaron 3 mujeres por cada hombre,con cuntas personas se inici lacompetencia?

San Marcos, 2009II

Nivel difcil

A) 40B) 46C) 44D) 34E) 42

Observacin:

Dado:

3 x + 5y = 82Para hallar el menor valor de "y" se pasatodo a

?3 .

Ejercita la capacidad de comprensin de losenunciados de problemas para su posterior

simbolizacin.

Desarrolla la capacidad de abstraccin pararepresentar y relacionar simblicamente los datos de

un problema con las variables elegidas para las

incgnitas.

Para plantear un problema, es importante tener en cuentalas siguientes sugerencias: Leer cuidadosamente el problema hasta comprender

de qu se trata. Ubicar los datos y la pregunta. Elegir las variables con las que se va a trabajar. Relacionar los datos con las variables para plantear

una o ms ecuaciones. Resolver las ecuaciones y dar la respuesta.


9 RAZ. MATEMTICO

NIVEL I

1 . En un baile hay 52 personas.Una p r im e ra dam a ba i l a c on5 caballeros; una segunda damabaila con 6; una tercera, con 7; yas sucesivamente hasta que laltima baila con todos los caballeros.Cuntas damas hay en el baile?A) 28

B) 30

C) 32

D) 24

E) 26

2. Un frutero que llevaba naranjas al

mercado deca: Si vendo cada una

a "R" soles, compro una licuadora

y me sobran "X" soles, pero si

vendo cada una a "T" soles (R > T),

compro la licuadora y me sobran

"Y" soles. Cuntas naranjas

llevaba a vender?

A) X YR T B)

X YR T

C) X YR T D)

X YR T

E) X YT R

3. En una tribu india del Amazonas,

donde todava subsiste el trueque,

se tienen las siguientes equivalen-

cias de cambio: un collar y una lan-

za se cambian por un escudo, una

lanza se cambia por un collar y un

cuchillo, y dos escudos se cambian

por tres cuchillos. A cuntos co-

llares equivale una lanza?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

4. Si se posaran (n1) gorriones en

cada uno de los "n" postes

sobraran 10 gorriones, pero si en

cada poste se posaran 3 gorriones

ms, quedaran 2 postes vacos.

Calcula el nmero de postes y de

gorriones y da como respuesta la

suma de ambos.

A) 200

B) 202

C) 204

D) 206

E) 508

NIVEL II

5. Si por S/.2,00 dieran 6 nsperos

ms de lo que dan, la docena

costara S/.90 cnt. menos.

Cunto vale cada nspero?

A) S/.25 cnt.

B) S/.30 cnt.

C) S/.40 cnt.

D) S/.35 cnt.

E) S/.20 cnt.

6. Los gastos de 15 excursionistas

ascienden a S/.375, que deban

pagar por en partes iguales. Pero,

en el momento de cancelar la

cuenta, faltaron algunos de los

viajeros; motivo por el que cada uno

de los presentes tuvo que abonar

S/.12,5 ms. Cuntos no estuvieron

presentes en el momento de pagar

la cuenta?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 10

7. Un comerciante compra cuadernos

a razn de 3 cuadernos por S/.12

y cuando los vende lo hace a razn

de 10 cuadernos por S/.48.

Cuntos cuadernos debe vender

para obtener una ganancia de

S/.600?

Resolucin:

Piden al nmero de personas al inicio de la competenecia.Pero al final quedaron 3 mujeres por cada hombre.Entonces se plantea:

2k 20 k1 3

k = 12

La competencia se inici con(2k) + (k + 8) = 3k + 8 = 44 personas.

Respuesta: C) 44.


10RAZ. MATEMTICO

A) 700

B) 720

C) 750

D) 600

E) 800

8. En una reunin social a la que

asistieron hombres y mujeres se

not que 50 hombres eran

mayores de 25 aos. Por otro lado,

hay tantas personas mayores de

25 aos como mujeres menores

de 25 aos, y el nmero de

mujeres mayores de 25 aos

excede en 10 a los hombres

menores de 25 aos y, en total, el

nmero de hombres es menor en

30 que el nmero de mujeres.

Cuntas personas asistieron?

A) 100

B) 120

C) 150

D) 180

E) 200

9. Un ferretero compr un lote de

desarmadores a S/.4 cada uno.

Vendi la mitad a S/.6 cada uno;

luego vendi la tercera parte del

total a S/.9 cada uno; y, por ltimo

vendi el resto a S/.10 cada uno.

Si en la venta obtuvo S/.460,

cul fue la ganancia total en soles

obtenida por el ferretero?

A) S/.200

B) S/.205

C) S/.210

D) S/.215

E) S/.220

10. En una fiesta, un grupo de personas

se saludan de la forma siguiente:

cada vez que se saludan dos

varones se dan un apretn de

manos; pero, cada vez que se

saludan dos mujeres o una mujer

y un varn, se dan un beso en la

mejilla. Si en total hubieron 21

apretones de manos y 34 besos,

calcula la diferencia entre el

nmero de varones y de mujeres

en dicha fiesta.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

11. En una caja marrn, se han metido

10 cajas blancas y en cada una de

estas o se han metido 3 cajas rojas

o no se ha metido ninguna, y en

cada una de estas cajas rojas se

ha metido 1 caja amarilla vaca o

no se ha metido caja alguna. Si al

final se tienen 10 cajas llenas, de

las cuales 2 cajas son rojas,

cuntas cajas vacas hay?

A) 21 B) 24

C) 22 D) 19

E) 36

12. N alumnos dieron un examen.

Despus de la calificacin, se

observ que la nota promedio de

aprobados fue A y de los desa-

probados D. Si la nota promedio

de los N alumnos fue P, cuntos

aprobaron el curso?

A) N(P D)A D B)

NPA

C) N(A P)D D) P AN D

E) NA PD

NIVEL III

13. Un edi fic io tiene sus p isos

numerados del 0 al 25. El ascensor

de l edif ic io solo t iene dos

botones: uno amari llo y uno

verde. Al apretar e l botn

amarillo, asciende 7 pisos, y al

apretar el botn verde, desciende

9 pisos. Si se aprieta el botn

amarillo cuando no hay suficientes

pisos por encima, el ascensor se

rompe, y lo mismo ocurre cuando

se aprieta el botn verde y no hay

sufic ientes pisos por debajo.

Cuntas veces como mnimo

deber apretar los botones una

persona para subir del piso 0 al 11

utilizando el ascensor?

A) 11 B) 12

C) 13 D) 14

E) 15

14. Un padre reparte su herencia entre

sus hijos de la siguiente manera: al

primero le da S/.A ms la ensima

parte del resto; al segundo le da

S/.2A ms la ensima parte del

resto; al tercero, S/.3A ms la

ensima parte del resto; y as

sucesivamente. Si al final se

observ que cada hijo recibi la

misma cantidad, a cunto

asciende la herencia?

A) A(n 1)2 B) An2

C) A(n + 1)2 D) A(n 2)2

E) A(n + 2)3

15. Un grupo de campesinos deban se-

gar dos prados, uno de doble de

superficie respecto del otro. Du-

rante medio da trabaj todo el per-

sonal en el prado grande. Despus

de la comida, la mitad de la gente

se qued en el prado grande, y la

otra mitad trabaj en el pequeo.

Durante esa tarde fueron termina-

dos los dos prados, pero qued un

reducido sector del prado pequeo

cuya siega ocup el da siguiente

completo a un solo campesino.

Cuntos eran los campesinos en

total?

A) 8 B) 16C) 12 D) 10

E) 6

11 RAZ. MATEMTICO



I. CALENDARIOSActualmente usamos el calendario gregoriano. Este ca-lendario supona que cada ao dura 365 das y 1/4,por lo que la adicin de un da extra cada cuatro aoses suficiente en su teora. Sin embargo, ya entoncesse saba que la duracin real de un ao es algo mscorta. Hoy en da se cifra en 365,24219 das. La dife-rencia entre este valor y 365,25 no es muy grande:0,00781 das, que equivalen a unos 11 minutos y 1/4.Pero se acumulan a lo largo del tiempo: al cabo de milaos es de 0,00781 x 100 = 7,8 das. En la iglesiacatlica se habl sobre la ne-cesidad de reformar el calen-dario durante ms de 300aos. Finalmente, en 1582,el Papa Gregorio, tras aseso-rarse con matemticos y as-trnomos, decret que elproblema se solucionara omi-tiendo 3 aos bisiestos cada400 aos: los aos de fin desiglo, acabados en dos ce-ros, slo seran bisiestos enel caso que fuesen divisiblespor 400. El 1900, por lo tan-to no es bisiesto, pero el2000 s.

Mes

Enero 31Febrero 28 29Marzo 31Abril 30Mayo 31Junio 30Julio 31Agosto 31Setiembre 30Octubre 31Noviembre 30Diciembre 31

Cantidadde das

II . EDADESQu es la edad?La edad es el tiempo que una persona ha vivido contandodesde que naci; aunque en general nos referimos a laedad de un sujeto u objeto a su tiempo de vida contandodesde que empez a existir.Adems; se cumple:

De donde viene el calendario que usamos actualmente?Un calendario es una manera de medir el tiempo, una manera inventada, por supuesto, por los humanos. As actualmente,el tiempo se divide, por la convivencia, en das, semanas, meses y aos. Cada cultura ha diseado su propio calendario,pero casi todos los que han existido se basan en los movimientos de la Tierra y una de sus consecuencias ms importantesen lo que a la medicin del tiempo se refiere, las apariciones regulares del Sol y de la Luna.

Ao Nacimiento + Edad Actual = Ao actual; si lapersona yacumpli aos

Ao Nacimiento + Edad Actual = Ao actual1;si la persona anno cumple aos

Para reconocer un ao bisiesto debes recordar que las 2

ultimas cifras del ao debe ser: o

4

Ejemplos: 1920, 1984, 2004, 2008, mas no 1986

Si sus 2 ltimas cifras terminan en cero, las 2 cifras

iniciales deben ser:o

4

Ejemplos: 1600, 2000, 2400, mas no 1900

EDADESRAZONAMIENTO MATEMTICO TEMA 3

EDADES

12RAZ. MATEMTICO

SUJETOSSon los protagonistas, generalmente personas, y, en algunos problemas, animales, plantas, etc.Ejemplo:Pamela es 5 aos menor que Juan, pero 3 aos mayor que Katy.

TIEMPOSEs uno de los ms importantes puntos, pues si se interpreta inadecuadamente el texto en un tiempo equivocado, se iracomplicando la resolucin. Veamos:

TIEMPOS EXPRESIONES

Tiempo presente: Existe un slo presente. Se identifica por las expresiones:

Tiempo pasado: Puede darse en el problema uno o ms, se reconocen por:

Tiempo futuro:el tiempo pasado pueden darse uno o ms. Pueden identificarse por:

- tienes ......... - etc- tenemos .......- hoy la edad......

- hace 8 aos ........- tenas ...........- cuando yo tena .........- etc

- dentro de .......- tu tendrs ...........- nosotros tendremos .........- etc

EDADEs un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en aos pero puede darse en daso meses.

Problema 1:Juan triplica en edad a Pedro. CuandoPedro tenga el doble de la edad quetiene. Cul ser la relacin entre lasedades de Juan y Pedro?

NIvel fcilA) 2 a 1 B) 4 a 3 C) 6 a 5D) 8 a 7 E) 10 a 9Resolucin

La suma en aspa son iguales

Entonces Juan 4x 2P edro 2x 1 ser de 2 a 1.

Erorres ms comunesNo aplican correctamente las edadesen los tiempos especficos y el criteriode la suma en aspa.

Respuesta: A) 2 a 1

Problema 2:Si Mario tuviera 29 aos ms, su edadsera el triple de la edad que tiene Anay si tuviera 7 aos menos, tendra lamisma edad que Ana. Cul es la sumade las edades actuales de Mario y Ana?

Nivel FcilA) 43 B) 31 C) 37D) 45 E) 39

ResolucinSi Mario tuviese 23 aos ms, su edadsera el triple de lo que tiene Ana.

Presente Futuro Mario 3 Ana 1

Si tuviese 7 aos menos, tendra lamisma edad que Ana.

Pasado Presente Futuro Mario 1(k) 22 3(k) Ana 1(k)

Se observa que han transcurrido 2(k)aos o 30 aos entonces k = 15.Por lo tanto sus edades actuales son22 y 15 aos.

Respuesta: C) 37Problema 3:En un grupo de n alumnos la edadpromedio es C; entre ellos las edadespromedio de varones y damas en elgrupo son a, b, respectivamente. Si elnmero de varones es V. Hallar n.

San Marcos 2002II / Nivel difcil

A) a b Vb c B) b a Vb c C) a v Cc bD) a b bc v E) b a vb vResolucin

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Totalde personas: nN de valores : V N de mujeres :n v

Suma de edades de varones a Suma de edades avV

de varonesPromedioVarones

Suma de edades de n personasC Suma de edades cn

nPromedio

Total n personas

Suma de edades de mujeres b Suma de edades n v bn v

de mujeres

Promediomujeres

EDADES

13 RAZ. MATEMTICO

Luego:

cn = av + (n v)b

NIVEL I1. Hace 6 aos tena la mitad de los

aos que tendr dentro de 4aos. Cuntos aos tendrdentro de 10 aos?A) 28B) 29C) 32D) 26E) 18

2. Dentro de 10 aos tendr el doblede edad que tuve, si tendra lo quetengo, tuve y tendr, mi edad serael triple de la edad que tengo.Qu edad tuve hace 5 aos?A) 35B) 30C) 25D) 20E) 15

3. Cuando tenga q aos tendr pveces la edad que tena hace xaos.Entonces la edad que tendrdentro de x aos ser:

A)q px

p

B)p q

p

C)q 2qx

p

D)pq x

p

E) x + q

4. Pedro le dice a Juan: "Dentro de10 aos, yo tendr el doble de laedad que t tendrs". Juanresponde: "Hace 5 aos tu edadera el quntuplo de la que yotena?. "Si Juan naci en 1920,en qu ao naci Pedro?A) 1900 B) 1905 C) 1908D) 1910 E) 1912

NIVEL II5. La edad de un padre sobrepasa,

en 5 aos, a la suma de las edadesde sus tres hijos. Dentro de 10aos, l tendr el doble de la edaddel hijo mayor, dentro de 20 aos,tendr el doble de la edad delsegundo, y dentro de 30 aos,tendr el doble de la edad deltercero. Halle la edad del padre.A) 60 B) 70 C) 65D) 50 E) 40

6. Dentro de 8 aos la edad de Noraser la que Matilde tiene ahora,pero dentro de 15 aos Noratendr los 4/5 de la edad quetendr Matilde. Calcular la suma delas edades de ambas cuandoMatilde tena el doble de la edadde Nora.A) 17 B) 24 C) 25D) 33 E) 40

7. Un nio que nace en el ao 19abcumplir 9 aos en el ao 19ba .Qu edad cumpli en 1983 si noes ms de 10?A) 5 aos B) 4 aos C) 6 aosD) 8 aos E) 7 aos

8. En 1932 tena tantos aos comoexpresan las 2 ltimas cifras del aode nacimiento . Al poner enconocimiento de mi abuelito estacoincidencia, este me dejsorprendido al contestarme quecon su edad ocurri lo mismo.Me pareci imposible, pero miabuelo me lo demostr.Hallar la edad de mi abuelo en 1930.Nota: Asumir que el nieto nacien el siglo XX.A) 64 aosB) 66 aosC) 82 aosD) 60 aosE) 61 aos

9. En el mes de mayo un estudiantesum a los aos que tiene todoslos meses que ha vivido,obteniendo como resultado 232.En qu mes naci?A) JulioB) JunioC) AgostoD) AbrilE) Mayo

10. El profesor de RazonamientoMatemtico naci en el ao de19ab , su hijo en el ao 19ba y enel ao de 1992 sus edades estabanen la relacin de 4 a 1.Determinar la edad del profesor.A) 20 aosB) 25 aosC) 18 aosD) 17 aosE) 24 aos

11. La edad de Nancy es el doble dela edad que Luis tena hace 4aos. Si la edad actual de Luis y laque tendr Nancy dentro de 5 aossuman 39 aos.Cuntos aos tuvo Nancy cuandoLuis naci?A) 4 B) 5C) 6 D) 7E) 8

12. Si Manuel tuviese 27 aos menos,el tiempo que hubiera permanecidodurmiendo sera la quinta parte deltiempo que hubiese permanecidodespierto si es que tuviese 27 aosms. Si en el transcurso de su vidaduerme en promedio de 8 diarias.Cuntos aos lleva durmiendo?A) 16B) 10C) 12D) 15E) 21

Despejando "n" tenemos b an vb a

Respuesta: C) b a Vb c

EDADES

14RAZ. MATEMTICO

NIVEL III13. Diana le dice a Carlos: "Mi edad es

4 aos menor de la edad que ttenas cuando yo tena 8 aosmenos de la edad que t tienes; ycuando t tengas el doble de laedad que tengo nuestras edadessumarn 82 aos". Qu edadtiene Diana?A) 26 B) 24C) 22 D) 20E) 18

1. Si hace 21 das fue sbado, qu da ser dentro de

75 das?

________________________________________

2. Si el 18 de enero de 1974 fue lunes, qu da fue el

18 de mayo de ese mismo ao?

________________________________________

3. Si el 10 de mayo de 1880 fue mircoles qu da ser

el 10 de mayo de 1980?

________________________________________

4. A Paolo le preguntan por su edad, y el responde: "Si

al doble de mi edad se le quitan 12 aos, se obtiene

lo que me falta para tener 45 aos. Cul es la edad

de Paolo?

________________________________________

5. Un alumno naci en el ao 19ab . En el ao 1980

tuvo"a+b" aos, en que ao tuvo "2a+b" aos?

________________________________________

6. Fiorella hace 5 aos tena la tercera parte de la edad

que tendr dentro de 19 aos. Dentro de cuntos

aos cumplir la mayora de edad?

________________________________________

* Las edades de (A y B) en 3 tiempos diferentes se

muestran en el cuadro adjunto:

Pasado Presente Futuro

A X 30 2y

B Y 40 5x

7. Cul es el menor valor de x?

________________________________________

8. En qu relacin se encuentra 2y5x

?

________________________________________

9. Hace cuntos aos la edad de B fue el triple de laedad de A?

________________________________________

10. Las edades de A y B en 3 tiempos diferentes se

muestran en el cuadro adjunto. Hallar la relacin de A

y B hace 5 aos.

Hace 5 aos

Actual Hace 10 aos

A Y 2x 2z

B x z y

14. Hace "a+b+c" aos tu edad era"a+b" veces la ma. Cuando ttengas "b+c" veces mi edad,habrn transcurrido a partir de hoy"c+b-a" aos. Entonces yo tenaen aos:

A) b c2 b c B) 2b(b c)C)

2(a b)c

D) 2abc

E) b c2 (b c 1)a c

15. En una reunin que se realiz enel ao 1992 haban 12 personas,Edgar suma los aos de nacimientode todos ellos, obteniendo unacantidad A. Eduardo suma lasedades de todos y obtiene unacantidad B. Si 8 de ellos ya habancumplido aos en ese entonces.Hallar: A+BA) 23900 B) 23590C) 23950 D) 23800E) 23980

15 RAZ. MATEMTICO



=

I I I .PROBLEMAS SOBRE NGULOS QUEFORMAN EL MINUTERO Y EL HORARIO

6

9

121

2

3

4

57

8

10

116 I

30

II . ADELANTOS Y ATRASOSEstos casos surgen del mal funcionamiento de relojesdefectuosos sufriendo adelantos o atrasos respectode la hora sealada por un reloj de funcionamientonormal.

Debemos considerar.

Hora Correcta = Hora Adel. - T. Adel.

Hora Correcta = Hora Atras. + T. Atraso

Hora que marca un reloj atrasado

Hora que marca el reloj adelantado

2:30 3:00

Hora correcta

2:50

Tiempo de atraso(20)

Tiempo de adelantado (10)

Para poder plantear correctamente los problemas,debemos considerar:

* = El tiempo transcurrido desde las 4pm hastahace 10 minutos.

= El tiempo que falta transcurrir para ser las6pm dentro de 20 minutos.

Hace 10

2h 120

Dentro de 20

4pm 6pm*

En esta parte del curso estudiaremos los problemas relacionados con relojes. A pesar de no presentar regular frecuencia enlos exmenes de admisin, es importante dominarlo ya que tiene partes de otros temas como planteo de ecuaciones. Es poreso que estudiaremos bsicamente las situaciones en donde se presentan adelantos y atrasos de los relojes y tambin lo quetiene que ver con tiempo transcurrido y tiempo que falta por transcurrir. Para su desarrollo, aprenderemos mtodos queayudarn a una ordenada recopilacin de datos de utilidad que nos permitirn hallar las respuestas. Como se ha ido viendoen temas anteriores, el orden es trascendental para todo tipo de problema, inclusive de cualquier otro curso.

RAZONAMIENTO MATEMTICO TEMA 4

I. TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPOQUE FALTA TRANSCURRIRPara este tipo de problemas podemos emplear, demanera prctica, el siguiente esquema. (El tiempo atrabajar puede ser un da, hora, ao, mes, etc.)

Tiempo Total: T

Tiempotranscurrido

Tiempo que faltatranscurrir

x x - T

Horacorrecta

CRONOMETRA

CRONOMETRA

16RAZ. MATEMTICO

Anlisis del recorrido de las agujas (horario y minutero)Veamos cuantos grados sexagesimales recorren las agujascuando transcurre un tiempo determinado en minutos(a partir de las 4 en punto):

Tiempo que transcurre

(en minutos)

ngulo que recorre

MINUTERO

ngulo que recorre el HORARIO

60302010831

x

360180120 60 48 18

6

6x

301510 5 4 2

1

2

x

2

b) 9:40 Ahora Tu!

MIN < MIN < HORARIO

Se observa tambin una relacin de espacios recorridosentre las manecillas en un momento determinado.(Ejemplo 1 hora 60')

5DivEH EH 1KEM 60Div EM 12K

IV.CLCULO DEL NGULO MEDIANTEFRMULA

A. Cuando el horario adelanta el minutero

1130H m2

Ejemplo:Qu ngulo forman el horario y el minutero a las4:10?

Para que un reloj vuelva a marcar la hora correcta"sus manecillas" deben estar en la misma posicin

que la del reloj de funcionamiento normal.

Para que esto ocurra el horario tendr que dar unavuelta completa, por ello tendra que acumular 12horas de adelanto (o atraso) 720 minutos.

Una cosa es que ambos relojes coincidan con lahora marcada, y otra que marquen ambos la horacorrecta (que en algunos casos pueden coincidir).

Se observa que son las 4 y algunos minutos ms, entonces:4: x min

12

M

H

6

39

x 2

6x

Grafique la posicin de las agujas y el recorrido hechopor el horario en los siguientes casos:

a) 7:30

6

9

121

2

3

457

8

1011 m=180

H=15

MIN < MIN < HORARIO30X

180 15

(6x) (x/2)

Para dominar la relacin de las manecillas debemospracticar con casos reales

CRONOMETRA

17 RAZ. MATEMTICO

Resolucin:

6

9

121

2

3

4

57

8

11

+

10 -

H = 4

M = 10

1130 (40) (10)2

65

B. Cuando el minutero adelanta el horario

1130H m2

Ejemplo:

Qu ngulo formas las agujas de un reloj, a las 4:40?

Resolucin:

6

9

121

2

3

4

57

8

11

10

+

-

H = 4M = 40

11 (40) 30 (4)2

110

Cuando las manecillas se superponen el ngulo formado es de 0 grados, por lo tanto se considera.1130H M2

El ngulo se obtiene as, de la marca de las 12 y en sentido horario encontramos la primera aguja desde all se formael ngulo hasta encontrar a la otra aguja.

A una determinada hora, las manecillas de un reloj forman dos ngulos, convencionales el que se calcula es el ngulo(). Pero si nos pudieran calcular el otro ngulo bastar con recordar que = 360

Las 12 h se consideran como las 0 horas. Se puede reconocer cuando se utiliza la frmula, dado

que de las 3 variantes (,Hy m), 2 son datos y elrestante es la incgnita.

Es positiva aquella manecilla que esta mas alejadade la marca de las 12 m en sentido horario ( ).

Para calcular la hora o el ngulo que forman lasmanecillas debemos tomar como punto de partida lahora exacta ms prxima pero anterior a la horaindicada como dato.

Cuando las manecillas se superponen el ? por lotanto se considera.

Problema 1

La mitad del tiempo transcurrido delda es igual a la sexta parte de lo quefalta transcurrir. Qu hora es?

Resolucin:

xh

HORA

(24 - x)h

24 h

Planteando: x21

24 x6

3

3x = 24 - x4x = 24

x 6 a.m.

CRONOMETRA

18RAZ. MATEMTICO

Por proporciones:

2( )

HORA

6( )

24 h

Entonces el tiempototal es: 8( ) = 24h 8(3) = 24

Hora 2(3) = 6 am

Respuesta: 6 am

Problema 2

Pedro naci en el ao de 1988, a las

8.am. de un da tal que los das

trascurridos del ao eran iguales a la

quinta parte de los das que faltaba

transcurrir. Dar la fecha de nacimiento

de Pedro.

Resolucin:

366 das ( ao bisiesto)

x das (366 - x das)

T. transcurrido

FECHA

Planteando:

366 xx x 615

Como los das transcurridos son 61.Nos encontramos disfrutando del da62 2 de marzo.

E F M

31d 29d 1d 2 de marzo

61 das

Respuesta: La fecha ser 2 de marzo

(empezando 0:00 h)

Problema 3Antonio advirti el lunes a las 12: 00horas que su reloj marcaba 11:58horas, el mircoles a las 8:00 pm.Observ que su reloj marcaba 8: 01pm.Qu da y a que hora marco la horacorrecta?

Resolucin:

Lunes (12:00)tiene 2 de atraso

Mircoles (20:00)tiene 1 de adelanto

56 h

11:58 20:01

Hora correcta1

2

3

Observamos que en 32h su reloj seadelant 3' y para que marque la hora

correcta slo debe adelantarse 2'

En: ADEL56h 3????????

ADELxh 3????????

112x h 37h203

Lunes (12:00) Mircoles (1:20)

37h 20

Respuesta: Marc la hora correctael da miercoles a las 1:20 a.m

Problema 4A que hora inmediatamente despusde las 6:00 el minutero adelanta alhorario tanto como el horario adelanta

a la marca de las 6?

Resolucin:

Hora : 6 : x

9 3

12

6

8

7

2x

6x

x

Se observa que:

ox180 2 6x2

180 = 5x 36= x

Respuesta: Hora es: 6:36

Problema 5A qu hora entre las 3 y 4 las agujasforman un ngulo de 24 por primeravez?

Resolucin:El ngulo formado por las agujas es de24 y ese ngulo se puede dar en doscasos:

Cuando el minutero todava no pasaal horario.

Cuando el minutero ya paso alhorarioEs por ello que nos indican,especificamente el ngulo formadopor vez primera, es decir, se refiereal primer caso, entonces tenemoslo siguiente:Como la hora es nuestra incgnitallamaremos a dicha hora: 3:n'

Hora :3 : n '

6

9

12

2

3

4

5

1

90

24

n2

n 6 n

(ngulo formado por las agujas,

por primera vez)

Del grfico se tiene: n6n 24 902

Desarrollando: n = 12

Respuesta: La hora es : 3:12

CRONOMETRA

19 RAZ. MATEMTICO

NIVEL I

1. Qu ngulo forman las agujas delreloj en cada caso?A) 6h 28' B) 5h 59'C) 4h 05' D) 12h 17'E) 7h 35'

2. Qu hora marca el reloj de la

figura?

A) 6 : 17 B) 6 : 19C) 6 : 17 1/3 D) 6 : 16 2/15E) 6 : 18

3. Qu hora es?

A) 11: 5123

B) 41 : 5223

C) 41: 5313

D) 21 : 5423

E) 11: 5311

4. Qu hora es en el reloj mostrado?

A) 77h26 min13

B) 77h24 min13

C) 77h27 min13

D) 97h27 min13

E) 37h26 min11

NIVEL II

5. Hallar la hora que indican las agujasdel reloj:

A) 11: 12 B) 211 :1813

C) 611 :1813

D) 211 :1613

E) 611 :1913

6. Qu hora indican las agujas delreloj?

A) 2: 41 B) 2: 42C) 2: 48 D) 2: 47E) 2: 46

7. A qu hora inmediatamentedespus de las 3 el horarioadelanta a la marca de las 12 tantocomo el minutero adelanta a lamarca de las 3?

A) 3 h 31 min

B) 73h 34 min11

C) 3 h 36 min

D) 3 h 32 min

E) 83h 32 min11

8. A qu hora inmediatamentedespus de las 5 el minuteroadelanta al horario 9 divisiones?

A) 15h 37 min11

B) 75h 38 min13

C) 75h 36 min13

D) 5h 36 min

E) 15h 36 min11

9. Un alumno sale de su casa cuando

las agujas estn marcando:

Y llega el mismo da cuando lasagujas estn marcando.

Cunto tiempo estuvo fuera decasa?A) 2 h B) 4 hC) 6 h D) 8 hE) 5 h

10. Qu ngulo formarn las agujas

de un reloj dentro de 6x min?

CRONOMETRA

20RAZ. MATEMTICO

Diga usted lo que representa en el grfico " " y " "

Hace5

HORACORRECTA

8:00a.m 11:00a.m

Dentro de12

3h< >180

1. = _________________________________

2. = _________________________________

__________________________________

Si un reloj defectuoso marca las 7:10 p.m., y se

sabe que se atrasa 8' cada 3 h

3. Qu debemos saber para conocer la hora real?

_______________________________________

_______________________________________

4. Cada cunto tiempo estar marcando la hora

correcta?

_______________________________________

5. Si el tiempo transcurrido del da es 53

de lo que falta

transcurrir. Qu hora ser dentro de 7h?

_______________________________________

De acuerdo al siguiente grfico:

9

121

2

3

11

10

6. Qu mtodos podramos utilizar?________________________________________

7. Si utilizamos la frmula, cmo se planteara?________________________________________

8. Qu ngulo forman las manecillas a las 12:40?________________________________________

De acuerdo al siguiente grfico:

6

9

121

2

3

4

57

8

11

103

9. Qu hora es?

Hora : 5 : x '

________________________________________

10.Apliquemos la relacin

EH 1EM 12

A) 40 B) 54C) 385 D) 135E) 15

11. Un reloj en lugar de tener 12divisiones tiene 9 y da vuelta una vezalrededor del eje. Qu hora marcardicho reloj a las 4 de la tarde?A) 6 B) 4C) 3 D) 7E) 9

12.Segn el grfico, que hora es?

A) 308 : 25 h11

B) 208 : 27 h11

C) 08: 27 h D)308 : 27 h11

E) 08: 26 h

NIVEL III

13. En esta maana Cumpa proyectauna sombra de 3 m, si su estaturaes igual a 1 m. Cul es el nguloque forman las agujas de eseinstante y dentro de que tiempocomo mnimo dicha sombra tendrel mismo tamao?A) 120 y 8 horasB) 150 y 12 horasC) 120 y 120 horasD) 150 y 24 horasE) 180 y 20 horas

14. Un nuevo reloj tiene 16 divisioneshorarias y el horario gira una solavez en torno a su eje en un da,adems por cada divisin horariaque avanza el horario, el minuteroda una vuelta completa. Qungulo formaran las manecillas dedicho reloj, si en un reloj normalson las 6:00 p.m.?

A) 80 B) 120C) 60 D) 100E) 90

15.Qu hora es segn el grfico?

A) 4: 05 h

B) 34 : 04 h15

C) 4: 06 h

D) 14 : 04 h15

E) 44 : 04 h15



21 RAZ. MATEMTICO

NOCION DE SUCESINSe entiende por sucesin a un conjunto ordenado deelementos de acuerdo a una ley de formacin o tambinuna caracterstica comn.

Ejemplos:Sucesin grfica:

, , , , ....

Sucesin Literal:A, C, E, ....

Sucesin Numrica:1, 5, 13, 29, ....

A los elementos de la sucesin se les llamaTRMINOS DE LA SUCESIN.

a1, a2, a3, a4, .... , an

I. SUCESIN GRFICAUna sucesin de figuras se forma de acuerdo a un "criteriode movimiento" de sus elementos. Se debe percibir eldesplazamiento giro.Ejemplo:Qu figura contina?

, , , ....

Solucin: Se observa que cada figura es una vista del siguiente

slido.

giro

Por lo tanto la siguiente vista ser:

II . SUCESIN LITERALUna sucesin de letras se puede construir a partir de 3criterios generales

SUCESIONESRAZONAMIENTO MATEMTICO TEMA 5

Consideramos a un grupo de estudiantes de un saln de

PAMER. Como podramos hacer un listado con sus nombres?

Se supone que se desea ubicar rpidamente los nombres

por lo tanto sera conveniente hacerlo en "orden alfabtico"

talvez podramos tomar una evaluacin y ordenar los nombres

por "mrito" o quizs ordenarlos por "estatura" o "peso" cada

una de las palabras subrayadas indican: CRITERIOS DE

FORMACIN, es decir como construir una secuencia ordenada

de elementos y a la cual llamaremos SUCESIN.

SUCESIONES

22RAZ. MATEMTICO

1. Segn el alfabeto:

A B C D E F

G H I J K L

M N O P Q

R S T U V W

X Y Z

Slo se consideran letras simples por lo tanto quedanexcludas la CH, LL, RR.

Ejemplo:Qu letra contina?A, D, I, O, ....

Solucin:De acuerdo al alfabeto a cada letra le correspondeun nmero:

A, D, I, O, . . . .1 4 9 1612 22 32 42 Son los cuadrados perfectos

Contina 52 = 25 y en el alfabeto es la letra "X".

2. Son iniciales de nombres con un orden dado.Ejemplos:

d tu co rn u

eso as t

ro

U,D, T,C,...

l m m ju a i u

en r ee t r v

cs e eos sles

L,M,M,J,...

3. Completan una palabra o fraseEjemplos:S, A, N, M, A, R, C, O, . . . La "S" completara

SAN MARCOS

O, N, M, U, L, . . . la "A" completara ALUMNO en orden inverso.

III.SUCESIN NUMRICAConsideremos al conjunto numrico:1, 2, 3, 4, 5, . . . , nComo los nmeros "ordinales" es decir aquellos queindican el lugar del trmino de una sucesin.a1, a2, a3, a4, a5, . . . , anCada uno de los trminos de la sucesin posee un nmeroordinal que indica su posicin y el nmero de trminoshasta dicho trmino.Ejemplo:Qu nmero contina?1, 4, 27, 256, . . .

Solucin:Se puede reemplazar cada nmero por una expresinque esta en funcin de su ordinal.

1 2 3 4 ....1 2 3 4

1, 4 ,27,256,...

Por lo tanto contina 55 = 3125

1. Sucesiones Notables

Ordinal

Sucesin

Naturales

Pares

Impares

Cuadrados

Rectangulares

Triangulares

Cubos

Fibonacci

Primos

Polinomial

Geomtrica

Factorial

n

an

n

2n

2n-1

n2

n(n+1)n(n+1)

2

n3

a =a +an n-1 n-2

Slo poseen2 divisores

n -3n+12

5 x 3 n+1)(

n!

1 2 3 4 5 ...

a1 a2 a3 a4 a5 ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1 2 3 4 5

2 4 6 8 10

1 3 5 7 9

1 4 9 16 25

2 6 12 20 30

1 3 6 1 15

1 8 27 64 125

1 1 2 3 5

2 3 5 7 11

-1 -1 1 5 11

5 15 45 135 405

1 2 6 24 120

an: Se le llama trmino ensimo o tambin "terminogeneral". Representa a toda la sucesin.

Es importante considerar siempre a las sucesionesnotables porque a partir de ellas se forman nuevassucesiones.

Ejemplo:Qu nmero contina?0, 1, 5, 23, . . .Solucin:Recordamos la sucesin de los factoriales.

1, 2, 6, 24, 120, . . .

11x2

1x2x31x2x3x4

1x2x3x4x5

SUCESIONES

23 RAZ. MATEMTICO

Entonces:

0, 1, 5, 23, . . .

1!-12!-1

3!-14!-1

Por lo tanto el nmero que contina es 5! - 1 = 119

2. Sucesin LinealSe le llama tambin sucesin de 1 orden oProgresin Aritmtica, se forma cuando a partir delprimer trmino siempre agregamos una mismacantidad llamada Razn Aritmtica.

Ejemplos:5, 9, 13, 17, . . . , (4n+1)+4 +4 +4 . . . .

6, 11, 16, 21, . . . , (5n+1)+5 +5 +5 . . . .

100, 98, 96, 94, . . . , (-2n+102)-2 -2 -2 . . . .

Se dice que es lineal porque "an" tiene la forma de unpolinomio de primer grado donde "n" es la variable.

Como podramos hallar an?

Por induccin:a1 = a1a2 = a1 + ra3 = a1 + 2ra4 = a2 + 3r . . .Entonces:

n 1a a (n 1)r

Tambin:

a a , a , a , a , . . . , a0 1 2 3 4 n+r +r +r

n 0a rn a

Ejemplo:Calcula el vigesimo termino de la sucesin.2, 11, 20, 29, . . .Solucin:

-7 2, 11, 20, 29, . . . -9 -9 -9

a = 9n - 7n

Nos piden: a20 = 9(20) - 7 = 173

No confundir una Sucesin con una SERIE, pues unaserie es la suma de los trminos de una sucesin.

Cuando hallamos "an" podemos comprobarreemplazando n = 1, 2, 3, ... y nos debe resultarcada uno de los primeros trminos.

3. Sucesin PolinomialEs aquella sucesin en donde "an" tiene forma depolinomio: P(n).El grado del polinomio determina el orden de lasucesin.Ejemplos:1 Orden:

5, 7, 9, 11, . . ., (2n + 3)-2 -2 -2

2 Orden:

3, 3, 5, 9, . . ., (n - 3n + 5)2

-0 -2 -4 . . . . .

+2 +2 . . . .

3 Orden:

0, 7, 26, 63, 124, . . . , (n - 1)3

7 19 35

12 18

61

24

6 6

En toda sucesin polinomial se buscan las "diferenciassucesivas" hasta que aparezca una razn constante,eso indicar el orden de la sucesin.

4. Sucesin de 2 OrdenEs toda sucesin polinomial en donde:an = an

2 + bn + cComo hallar an en forma prctica?Sea la sucesin

a o \ a , 1 a , 2 a , 3 a , 4 a , 5 . . .

b o \ +b 1 +b 2 +b3r \ +r +r . . .

Entonces:r

a2

b = bo - ac = ao

SUCESIONES

24RAZ. MATEMTICO

Ejemplo:Calcular el vigsimo termino de la sucesin siguiente:9, 13, 19, 27, 37, . . .Solucin:Buscamos las diferencias sucesivas y hallamos losterminos que estaran antes que los primeros.

c = 7 \ 9, 13, 19, 27, 37, . . . a + b = 2 \ +4 +6 +8 +10 2a = 2 \ +2 +2 +2

Entonces: a = 1; b = 1; c = 7Reemplazando en an = an

2 + bn + can = n

2 + n + 7Nos piden:

a20 = 202 + 20 + 7 = 427

Recuerda que no toda sucesin ser polinomial y por lotanto no siempre encontramos "diferencias sucesivas".

5. Sucesin GeomtricaTambin se le llama Progresin geomtrica y esaquella en donde a partir del primer termino siemprese multiplica por una misma cantidad llamada razngeomtrica.Ejemplos:

7, 14, 28, 56, . . . x2 x2 x2 . . .

9, 27, 81, 243, . . . x3 x3 x3 . . .

120, 60, 30, 15, . . .

x 12

x 12

x 12

En general:a , a , a , a , . . . , a1 2 3 4 nxq xq xq

Recuerda que:r : Razn aritmticaq : razn geomtrica

Por induccin:a1 = a1a2 = a1 x qa3 = a2 x q

2

a4 = a3 x q3

Entonces:n 1

n 1a a q

Ejemplo:Calcule el vigsimo termino de la P.G. siguiente:5, 10, 20, 40, . . . .Solucin: 5, 10, 20, 40, . . .

x2 x2 x2

Sabemos que: an = a1 x qn-1

Entonces: a20 = 5 x 219

PROPIEDADESSea la P.G. a1, a2, a3, a4, a5, . . .1. Si tomamos 3 terminos consecutivos cualquiera

2 1 3a a a

3 2 4a a a

4 3 5a a a

2. Si "n" es impar

central 1 na a a

3. El producto de terminos extremos es siempre el mismo.a1 x an = a2 x an-1 = a3 x an-2 = ...

Problema 1Cuntos trminos de una progresinaritmtica, se necesitan para que susuma sea 10 - 5a, si el primer trminoes (a - 2)y el segundo 0?

San Marcos 2004II/Bloque IINivel Fcil

A) 4 B) 8 C) 6D) 5 E) 10

Resolucin:Nos piden la cantidad de trminos:Del enunciado, se tiene la siguienteprogresin:

Completando para que la suma sea 10- 5a

1 3 4 52

a 2 0 2 a 4 2a 6 3a 10 5a

Se cumple para 5 trminos

Respuesta: D) 5

Problema 2Hallar el dcimo trmino de la sucesin:

1 7 17 31; ; ; ;...2 4 8 16

SUCESIONES

25 RAZ. MATEMTICO

San Marcos 2004I/Bloque IVNivel Intermedio

A)1331024 B)

1471024 C)

1651024

D)1991024 E)

1011024

Resolucin:Piden el dcimo trmino.Observamos que, slo los numeradoresy slo los denominadores formansucesiones por separado, entoncescalculamos por separado:i) Con los numeradores

2 2n 10t 2n 1 t 2.10 1 199

ii) Con los denominadores

n1 10n 10nt 2.2 t 22 1024

Finalmente el dcimo trmino de lasucesin original es:

10t1991024

Respuesta: D) 1991024

Problema 3Hallar el mayor de tres nmeros enprogresin aritmtica, si aumentadosen 9; 7; 10 respectivamente, sonproporcionales a 14, 21 y 35.

San Marcos 2004II/Bloque II

Nivel Difcil

A) 15 B) 8 C) 12D) 13 E) 10

Resolucin:Nos piden el mayor de los tres nmerosen P.A.

NIVEL I1. Qu nmero sigue en la sucesin?

3; 2; 4; 2; 4; 1; 3;...A) 0B) 1C) 2D) 2E) 1

2. Cul es el producto de los dostrminos siguientes en la sucesin?

4; 11; 8; 7; 12; 3; 16; ...

A) 16 B) 20

C) -8 D) -12

E) -20

3. Qu nmero sigue en la sucesin?60; 12; 3; 1; ...

A) 1 B) 1/2 C) 1/4D) 1/3 E) 1/6

4. Encuentre m+n+p, de

-m; 2; 8; 12; 19; np ; 30 ...A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

NIVEL II5. En un P.A. el cuarto trmino es 8 y

el stimo es 14. Hallar el trminode lugar 40.A) 19 B) 48 C) 39D) 35 E) 40

6. Se reparten caramelos a un grupode nios en cantidad que estn enprogresin aritmtica. Al stimonio le toca la mitad de lo que letoca al ltimo y a ste el quntuplode lo que le toca al primero.Cuntos son los nios?A) 13 B) 14 C) 17D) 18 E) 20

7. La suma del tercer y octavo trminode una P.A. creciente es 41. Calcularel quincuagsimo trmino sabiendoque la relacin entre el quinto ystimo trmino es 19/25.A) 150B) 154C) 1504D) 19E) 134

8. Se tiene la siguiente progresinaritmtica: 5; ..........; 47 ...........;159, donde el nmero de trminosque hay entre 47 y 159 es el tripledel nmero de trminos que hayentre 5 y 47. Calcular el primertrmino de 3 cifras.A) 101 B) 105 C) 103D) 107 E) 109

9. Si la diferencia de los trminos delugar es 65 y 40 de una progresinaritmtica creciente es 75 y eltrmino de lugar 30 es 152. Hallarel trmino de lugar 100.A) 504 B) 512 C) 506D) 502 E) 507

10.El primer trmino de una sucesinlineal es 22 y el ltimo 309. Hallar ladiferencia entre el trigsimo quintotrmino y el vigsimo segundotrmino si esta sucesin tiene 42trminos.A) 260 B) 101 C) 91D) 169 E) 71

Sea la progresin aritmtica:

Luego retrocediendo obtenemos lostres nmeros de la P.A.

Sabemos que:

c

suma de extremost

2

2k 9 5k 103k 72

Resolviendo: k = 5

El mayor nmero es 5k 10 = 15

Respuesta: A) 15

SUCESIONES

26RAZ. MATEMTICO

11.La diferencia del primer trmino conel cuarto trmino en unaprogresin geomtrica es 87,5 y delsegundo con el tercero, en eseorden, es 25. Hallar la razn si todoslos trminos son positivos.A) 1/3 B) 2 C) 1/2D) 1/4 E) 1/5

12.La suma de los "n" primerostrminos de una sucesin esta dadapor. Sn=n(3n+2).Calcular el trmino del lugar 45.A) 269 B) 270 C) 275D) 274 E) 273

NIVEL III13.Una progresin armnica es tal que

el inverso de cada uno de sustrminos forma una progresinaritmtica. Si los tres primeros

trminos de una progresinarmnica son:

1 1 1; ; ;...a 2 3a 4 5a 6 Hallar el vigsimo trmino de dichaprogresin.

A) 158

B) 1108

C) 1118

D) 1112

E) 1118

14.Mary trabaja diariamente en unpuesto de venta. El 30 de octubreobtiene 9 soles, al da siguientegana 17 soles y gasta 3 soles, al dasiguiente gana 21 soles y gasta 6soles y as sucesivamente.Qu da ser cuando lo que ganaes igual a lo que gasta?

1. El vigsimo nmero triangular es:_______________________________________

2. La suma del primer y dcimo nmero primo es:

_______________________________________

3. Qu trmino contina?

A; D; G; J; . . . .

4. Qu nmero contina?

4; 9; 25; 49; . . . . .

5. Calcula a30 de la siguiente sucesin:

100; 92; 84; 76; . . . . .

6. Calcula el dcimo trmino de:

3, 6, 12, 24, ............

7. Calcula el vigsimo trmino de:

8, 10, 14, 20, 28, ...........

8. Qu trmino contina?

11, 18, 37, 74, 135, ..........

9. Cuntas bolitas hay en la figura 20?

10.Cuntos tringulos hay en la figura 15?

A) 8 de noviembreB) 7 de noviembreC) 9 de noviembreD) 10 de noviembreE) 20 de noviembre

15.Dadas las siguientes sucesiones:S1: 4; 7; 10; ...; 40S2: 5; 9; 13; ...; 41Los trminos comunes a ambassucesiones son a,b,c (ordenadas enforma creciente).La suma de las cifras de a,b y cforman una progresin aritmtica.Qu nmero s igue en dichaprogresin?A) 4B) 7C) 10D) 13E) 25

27 RAZ. MATEMTICO



SERIE NUMRICAUna serie numrica es la adicin indicada de los trminosde una sucesin numrica. Y a la suma de dichos trminosse le llama el valor de la serie. Es decir:

Si la sucesin es:

t1, t2, t3, t4, ..., tn

Entonces, la serie numrica respectiva es:

t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn

Ejemplo:

Sucesin: 1, 4, 9, 16, 25Serie: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

Suma (Valor de la serie)

1. Serie aritmticaLa serie aritmtica se origina a partir de la adicin de lostrminos de una progresin aritmtica.

Ejemplo:Dada la siguiente sucesin de 20 trminos, determinela suma de todos sus trminos:

7, 10, 13, 16, ... , 61, 64

Solucin:Nos piden:

S = 7 + 10 + 13 + ... + 58 + 61 + 6471

71

71

Suma constante

Se observa que la suma de cada parejade trminos que equidistan de los extremos

nos da una suma constante.

Luego, como hay 20 sumandos, entonces tendremos10 parejas y cada una suma 71.

S = (71)(10) = 710

Si tenemos una P.A. de "n" trminos:t1, t2, t3, ... , tn

Entonces la suma de los "n" trminos se puede obtenercomo en el ejemplo anterior, multiplicando la suma decualquier pareja de trminos que equidisten de los extremos(porque todas las parejas suman lo mismo), por la cantidadde parejas.

El tema de Series es una continuacin del tema de sucesiones, ambos son motivo de preguntas en exmenes aSan Marcos.

RAZONAMIENTO MATEMTICO TEMA 6

SERIES

SERIES

28RAZ. MATEMTICO

En general en toda serie aritmtica:

t + 1 t + t + ... + t = (t + t ).2 3 n 1 n

+r +r

n2

t1: primer trmino

tn: ltimo trmino

n: nmero de trminos

Ejemplo:Hallar el valor de la siguiente serie de 25 trminos:

19 + 23 + 27 + 31 + ...

Solucin:Tenemos t1 = 59; n = 25 y nos falta el ltimo trmino, t25.

19 , 23 , 22 , 31 , ...

+4 +4 +4

tn = 4n + 15

t25 = 4(25) + 15 = 115

Luego, reemplazamos: (19 115).25

S 16752

Ejemplo:Hallar la suma de una serie aritmtica de 13 trminosdonde su trmino central es 30.Solucin:Como la serie tiene 13 trminos (n es impar):

S = tc . n

S = 30.13 = 390

2. Serie geomtrica finitaLa serie geomtrica se origina a partir de la adicin delos trminos de una progresin geomtrica (P.G.) y lasuma se calcula as:

t + 1 t + t + ... + t = 2 3 n

xq xq

n1t .(q 1)

q 1

-

-

t1: primer trminoq: raznn: nmero de trminosdonde: q 1; q 0

Ejemplo:Calcular la suma de los 12 primeros trminos de lasiguiente serie:

3 + 6 + 12+ 24 + ...

Solucin:

S = 3 + 6 + 12 + 24 + ...

x2 x2

t = 3q = 2n = 12

1

Reemplazamos:123.(2 1)

S S=122852 1

3. Serie geomtrica decreciente de infinitos trminosEl valor de esta serie, conocida como suma lmite, secalcula as:

t + 1 t + t + ... = 2 3

xq xq

1t

1 q-

suma lmitet1: primer trminoq: razndonde: 0 < q < 1Ejemplo:Hallar el valor de la siguiente serie infinita:

436 12 4 ...

3

Solucin:

S = 36 + 12 + 4 + + ...

x

43

13

x 13

x 13

t = 36

q =

1

13

Reemplazamos:

36S 54

113

Observacin:El recorrido total de lapelota que se sueltadesde una altura H queen cada rebote alcanzauna altura igual a a/bde la altura anterior, secalcula as:

Si una serie artimtica tiene un nmero impar de trminos(n: impar) entonces la suma se calcula multiplicando eltrmino central (tc) por el nmero de trminos (n).

1 n(t t ).nS2

+=

tc

S = tc.n ; si n es impar

H

ab

.H ab

.Hab

Recorrido b+a .Hb-a Total

SERIES

29 RAZ. MATEMTICO

SERIES Y SUMAS NOTABLES1) n(n 1)1 2 3 4 ... n

2

2) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)

3) 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n-1) = n2

4) 2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)1 2 3 4 ... n6

5)

23 3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 4 ... n

2

6) n(n 1)(n 2)1x2 2x3 3x4 4x5 ... n(n 1)3

7) 1x2x3+2x3x4+3x4x5+4x5x6+...+n(n+1)(n+2)

= n(n 1)(n 2)(n 3)

4

8)

1 1 1 1 n...

1x2 2x3 3x4 n(n 1) n 1

Observacin:En todos los casos n es el nmero de trminos.

Si tn = an + b ... (1.er orden)

tn = an2 + bn + c ... (2.do orden)

tn = an3 + bn2 + cn + d ... (3.er orden)

Ejemplo:Calcular la suma de los 20 primeros trminos de:

11 + 22 + 37 + 56 + ...

Solucin:Primero hallamos tn:

4, 11, 22, 37, 56, ...

7 11 15 19

4 4 4 (2 orden)

Para sumar en una serie polinomial, primero se tieneque calcular su trmino ensimo, y luego a partir deeste se calcula directamente la suma.

La serie numrica t1 + t2 + t3 + ...+ tn , es polinomialsi se cumple que:

tn = polinomio

En algunos casos, se presentan series notables incompletas,como por ejemplo 112 + 122 + 132 + ...+ 202

En este caso lo que se hace es "completar" lo que faltadesde 12 hasta 102 y luego "restar" lo que se complet.As:(12+ 22+ ...+ 102+ 112+ ...+ 202) (12+ 22+ ...+ 102)

4a 2

2 b = 7 - 2 = 5 c = 4

tn = 2n2 + 5n + 4

Una vez que conocemos tn, la suma de los n primerostrminos (Sn), se calcula directamente, as:

nn(n 1)(2n 1) n(n 1)

S 2. 5. 4(n)6 2

+ + += + +

t = 2n + 5n + 4n2

Para los 20 primeros (n = 20), la suma es:

2020(21)(41) 20(21)

S 2. 5. 4(20)6 2

S20 = 2(2870) + 5(210) + 4(20) = 6870

SUMATORIASSea la serie S = t1 + t2 + t3 + ... + tnSi queremos representar la serie numrica en forma abreviada,usaremos el operador matemtico sumatoria (). As:

S = t1 + t2 + t3 + ... + tn

n

kk 1

S t

Se lee: "Sumatoria de los trminos de la forma tk, desdek = 1 hasta k = n"

Ejemplo:Desarrollar las siguientes sumatorias:

a)

4

2

k 1S (k 1)

S = (12 + 1) + (22 + 1) + (32 + 1) + (42 + 1)

b)

12

n 8A (2n 5)

A= n 8 n 9 n 10 n 11 n 12(21) (23) (25) (27) (29)

PROPIEDADES

1. Cantidad de trminos

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b

k a a 1 a 2 bk a (b - a + 1) trminos

t t t t ... t

SERIES

30RAZ. MATEMTICO

Problema 1Una pelota rebota 1/3 de la alturadesde la cual es lanzada. Si parte de18 m de altura, entonces la distanciatotal recorrida hasta detenerse es:

San Marcos 1994

Nivel fcil

A) 24 m B) 38 m C) 36 mD) 27 m E) 30 m

ResolucinAnlisis e interpretacin: En cada rebote la altura ir

disminuyendo. Como no se puede determinar el

nmero de rebotes que dar la

pelota, la distancia total recorrida

ser una suma lmite (seriegeomtrica infinita).

Estrategia de solucin:Se realizar un diagrama y se hallarn

los primeros trminos de la suma lmite

para que finalmente se pueda calcular

la distancia total recorrida.

Pasos a seguir: Hacer un diagrama. Hallar las alturas de los primeros

rebotes.

Plantear la suma y calcular suresultado.

Ejecucin de la solucin:

TOTAL2D 18 2 6 2 ...3

suma limite

? ??? ? ??

TOTAL6D 18 2

113

TOTALD 36

Errores comunes del alumno: No identifican que es una suma

lmite (serie geomtrica infinita). No consideran que despus del 1er

rebote cada distancia recorrida esel doble (subida y bajada)

Respuesta: C) 36

Problema 2En la siguiente ecuacin:(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+n) = n2

n entero positivo, el valor de x es:San Marcos 1999

Nivel intermedio

A)n 1

2

B)n2

C)3n2 D)

n 12

E)2n 1

2

ResolucinAnlisis e interpretacin: La serie tiene n trminos, por

tanto existen n veces x. Cada trmino tiene un nmero

consecutivo (empezando en uno),por tanto con ellos se forma unaserie de los n primeros naturalesconsecutivos.

Estrategia de solucin:Desdoblar la serie agrupando los primerostrminos de cada sumando y lossegundos trminos de cada sumando,para luego resolver la ecuacin.

Pasos a seguir: Agrupar las variables x de cada

sumando (n veces x).

El operador sumatoria es un smbolo que es de usosimple. Ten en cuenta que hay un parmetro "k" quetoma un valor inicial (entero) y que se reemplaza enlos trminos "tk"en forma consecutiva para obtenertodos los sumandos. En algunos casos hay un valorfinal (series finitas) y en otros no (series infinitas).

2. Sumatoria de una constante

b

k ac (b a 1).c

Donde: c es constante (no depende de k)

3.b

k=a

(c.t ) = c.kb

k=a

tk

Donde: c es constante.

4.b

k=a(t + P ) =k k

b

k=atk +

b

k=aPk

5.b m b

k k kk a k a k m 1

t t t

Donde: a < m < b

SERIES

31 RAZ. MATEMTICO

Agrupar los nmeros consecutivos

de cada sumando (serie de los n

primeros naturales consecutivos).

Resolver la ecuacin (despejar x).

Ejecucin de la solucin:

(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+n) = n2

x x x ... x (1 2 3 ... n) n ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??2

n veces n(n+1)S =n 2

n(n 1)xn n2

2

Despejando x: n 1x2

Errores comunes del alumno:

No desdobla la serie agrupando los

trminos convenientes.

No despejan correctamente la

variable x al resolver la ecuacin.

Respuesta: A) n - 12

Problema 3Calcular:E = 0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,7 + ... +2,9

Pre San Marcos 2001Nivel fcil

A) 12,3 B) 22,5 C) 22,3D) 18,2 E) 20,5

Resolucin:Dando forma a los sumandostendremos:E = 0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,7+...+ 2,9

1 3 5 7 29

E ...10 10 10 10 10

? ? ? ??? ? ? ? ??suma de los "x" primeros

impares

1E 1 3 5 7 ... 29

10

Donde:

1 29

x 152

Luego: 21 225E 15

10 10E 22,5

Respuesta: B) 22,5

NIVEL I

1. La suma de los 20 trminos de unaP.A. creciente es 650. Si elproducto de los trminos extremoses 244, hallar la razn.

A) 1 B) 2C) 3 D) 4E) 6

2. Calcular:

2 6 10 14 ... 38S3 9 15 21 ... 69

A) 25/54 B) 24/55C) 25/27 D) 26/53E) 50/54

3. Hallar "n":

(3n+2) + (3n+4)+ (3n+6)+...+(5n) = 81n

A) 20 B) 21C) 30 D) 18E) 22

4. Hallar la suma de:

S 1 3 3 5 5 7 7 9 ...40 sumandos

? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??

A) 3280 B) 3280C) 2830 D) 4280E) 3820

NIVEL II

5. He repartido un total de 1900caramelos entre los 25 sobrinos,dndole a cada uno 3 caramelosms que el anterior. Cuntoscaramelos les di a los 10 ltimos?

A) 895 B) 535

C) 985 D) 355

E) 1085

6. Hallar "n" en:

4n 7 4n 11 4n 15 ... 3 344n 2 4n 2 4n 6 ... 6

A) 13 B) 14C) 15 D) 16E) 17

7. El primer trmino de una P.A.

creciente de razn par menor que

4 es igual a "a + b" y el ab simo

trmino es 55. Hallar la suma de

los ba primeros trminos.

A) 8026 B) 3046C) 3106 D) 3046E) 3016

8. Hallar la suma de los 40 primerostrminos de la siguiente serie:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...

Dar como respuesta la suma de lascifras del resultado.A) 43 B) 44C) 45 D) 46E) 47

9. Se contrata a un obrero para cavaren busca de fsiles, prometindolepagar una suma por el primer fsilque encuentre y luego se le irduplicando dicha suma por cadanuevo fsil encontrado. Siencuentra 12 fsiles y recibe12285 soles. Cunto le pagaronpor el quinto fsil hallado?

A) S/.24 B) S/.48C) S/.96 D) S/.12E) S/.192

10. Hallar la suma de:

1 1 1 1 1 1 1S 2 ...2 3 4 9 8 27 16

SERIES

32RAZ. MATEMTICO

1. Una ............... es la suma de todos los trminos deuna .....................

2. La suma de los 10 primeros impares consecutivos esigual a: .........................

3. En una serie aritmtica de nmero impar de trminosse cumple que:

Suma de trminos Suma de trminosTrminode lugar ............ de lugar ............central

4. En una serie artimtica de nmero impar de trminosse cumple que:

.....................Suma de Nmero

.....................Trminos de trminos

5. En toda serie geomtrica infinita, se cumple que larazn: ...........................

6. Calcular:

1 + 3 + 5 + 7 + ...+ 49

_______________________________________

7. Calcular:

112 + 122 + 132 + ... + 202

_______________________________________

8. Sumar:

20

k 1S (4k 1)

_______________________________________

9. Si en una serie polinomial de 2 orden su trmino

ensimo es: tn = 2n2 - 3n + 5. Calcular la suma de los

20 primeros trminos.

10. Sumar todos los nmeros.

1234

2

34

34

4 20

20

20

20

20

_______________________________________

A) 7/2 B) 4 C) 5/2D) 3 E) 7/3

11. Hallar "n" en:

4 1 4 1 5...n 7n n n 2 3 4

A) 6 B) 6 C) 2D) 5 E) 8

12. La masa de un pndulo recorre16 cm durante la primera oscilaciny en cada una de las oscilascionessiguientes recorre 3/4 del espaciorecorrido en la oscilacin anterior.Calcular el espacio total recorridopor la masa hasta el momento dedetenerse.A) 32 cm B) 128 cmC) 64 cm D) 48 cmE) 256 cm

NIVEL III

13. Se sabe que una pelota al rebotaren el piso pierde 1/5 de la alturadesde la cual fue soltada. Si dejamoscaer una pelota desde 1 m dealtura. Qu longitud recorre hastadetenerse?A) 6 m B) 7 mC) 8 m D) 9 mE) 10 m

14. Anglica camina 5 pasos haciaadelante y 2 hacia atrs, luego da10 hacia adelante y 4 hacia atrs,luego 15 hacia adelante y 6 haciaatrs, y as sucesivamente en P.A.Cuntos pasos habr dado hastael momento en que por primeravez se encuentra a 1105 paso delpunto de partida?

A) 2405B) 2204C) 2505D) 2403E) 2400

15. A lo largo de un camino haba "n"piedras separadas "a" metros cadauna de su consecutiva. Ciertapersona empez por un extremoa llevar una por una todas laspiedras al lugar donde estaba laltima piedra. Al terminar habrarecorrido 10 veces la distanciaentre las piedras extremas. Halle"n".A) 11 B) 12C) 9 D) 8E) 10

33



OPERACIONES MATEMTICASRAZONAMIENTO MATEMTICO - TEMA 7

El concepto de nmero surgi como consecuencia de la necesidad prctica de contar los objetos. Inicialmente secontaba con la ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, conos de abetos, etc. Huellas de esto se han conservadoen las denominaciones de los clculos matemticos: por ejemplo "clculos" en su traduccin del latn significa "cuenta conpiedras". La reserva de nmeros en las primeras etapas era muy limitada, la sucesin de los nmeros naturales conocidosy utilizados era finita y se fue extendiendo solo gradualmente. La conciencia de la prolongacin ilimitada de la sucesinnatural constituye un sntoma de alto nivel de conocimientos y cultura.Junto a la utilizacin de ms y ms nmeros surgieron y se desarrollaron los smbolos, no slo para representar losnmeros, sino tambin las operaciones a realizar con ellos.

I. OPERACIN MATEMTICAUna operacin matemtica es una correspondencia orelacin mediante la cual, dado uno o mas nmeros sehace corresponder otro llamado resultado, consujecin a ciertas reglas o leyes perfectamentedefinidas. Las reglas pueden ser descritas mediantepalabras, pero por razones de simplificacin se lasrepresenta mediante smbolos llamados operadoresmatemticos.

Las operaciones matemticas antes mencionadas sonconocidas universalmente, es decir, que cualquiermatemtico del mundo al observar la siguienteoperacin Log28, sabe que el resultado es 3.

En la presente clase lo que haremos es definiroperaciones matemticas con operadores y reglas dedefinicin elegidos de forma arbitraria.

El operador matemtico puede ser cualquier smbolo(incluso figuras geomtricas).

, , # , , , , ... ? ?Las reglas de definicin se basarn en las operacionesmatemticas ya definidas.

Operacin Operador matemtica matemtico

Adicin +Sustraccin -Multiplicacin xDivisin Radicacin Logaritmacin logValor absoluto Sumatoria Productoria Mximo entero Lmites limIntegracin ? ?

IDEAS FUERZA

Operacin matemtica es el proceso de transformacinde cantidades en otra llamada resultado.

Veamos los siguientes ejemplos:

a b = 2a - a x b2

Regla de definicinOperador

matemtico

x = x - x + 22

Regla de definicinOperador

matemtico

OPERACIONES MATEMTICAS

34RAZ. MATEMTICO

El objetivo de este captulo es familiarizarnos en el usoy manejo de los operadores matemticos, por lo tantousaremos smbolos arbitrarios para representaroperaciones arbitrarias, las cuales definiremos en basea las operaciones conocidas.

II . OPERACIONES EN UNA TABLA DE DO-BLE ENTRADAIndica los elementos que han sido operados y resultadosde dichas operaciones que son presentados en unatabla de doble entrada.

Veamos:

El resultado en una tabla se obtiene intersectandola fila y columna respectiva.

PROPIEDADESSe define en el conjunto "A" mediante el operador(*) lo siguiente:

A. Clausura

a b A a*b A

En la tabla:Si todos los elementos de la columna y fila deentrada pertenecen al conjunto "A", as tambincomo los resultados al operar o cuerpo de la tabla.Entonces diremos que la operacin es clausuraen "A".

B. Conmutativa

a, b A a*b=b*a

En la tabla:"Criterio de la diagonal"Los pasos a seguir son: primero se traza la diagonalque pasa por el operador; luego se observa quelos elementos que se encuentran a ambos ladosde la diagonal mantengan una simetra (un lado esel reflejo del otro lado). Entonces la operacin esconmutativa, en caso contrario no lo ser.Es decir:

abc

*

C. Asociativa

a, b y c A a*(b*c)=(a*b)*c

IDEAS FUERZA

Antes de reemplazar en la definicin, los elementosdel problema, deben de tener la misma forma de ladefinicin.

SUGERENCIAS

IDEAS FUERZA

Operador matemtico es aquel smbolo o figuraque representa la operacin matemtica a realizar.

IDEAS FUERZA

Una operacin matemtica arbitraria es aquella quees definida en funcin a operaciones matemticasuniversalmente definidas.

Ejemplo: en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, se define laoperacin (*) mediante la siguiente tabla:

1234

11234

22341

33412

44123

*

Hallar: 4*3

Resolucin:Ubicamos al elemento (4) en la columna de entrada yal elemento (3) en la fila de entrada, el resultado de laoperacin la encontraremos en la interseccin de lacolumna y la fila del primero y el segundo elementorespectivamente.


35 RAZ. MATEMTICO

D. Elemento neutro

e A / a A a*e=e*a=a

En la tabla:- Se verifica que la operacin sea conmutativa.- En el cuerpo de la tabla se busca una columna

igual a la columna de entrada y una fila igual a lafila de entrada. Donde se intersecten, ser elelemento neutro ("e").Es decir:

El elemento neutro es "1".

Para que una tabla sea conmutativa, tanto la fila y columnade entrada deben estar ordenadas, es decir, los elementos encada fila y columna deben estar en la misma posicin.

SUGERENCIAS

IDEAS FUERZA

Una definicin explcita es aquella cuya regla dedefinicin depende de las variables y de operacionesmatemticas universalmente definidas.

IDEAS FUERZA

Una definicin implcita es aquella cuya regla dedefinicin depende de las variables y del mismooperador matemtico arbitrario.

En un operador grfico, si la variable esta adentro yel resultado numrico est afuera, se analiza deafuera hacia adentro.

SUGERENCIAS

E. Elemento inverso (a- 1)

-1 -1 -1a A; e A/ a A a*a =a *a=e

Donde:e = elemento neutroa-1 = elemento inverso de a

En la tabla:- Se busca el elemento neutro y se considera

todos iguales a l.- Se traza una ele volteada ( ), es decir:

a

a-1

e

Ejemplo:Calcular: 1-1; 2-1; 3-1 en:

123

Resolucin:1. Calcularemos el elemento neutro "e"

123

e=1

Encerremos todos los elementos neutros del cuerpo.

123

2. Aplicamos el criterio de las eles volteadas ( ).

a

a-1

e

Es decir:

1

2

3

Del grfico tenemos que:1-1 = 12-1 = 33-1 = 2

Para hallar el elemento inverso, primero se tiene queverificar que la operacin sea conmutativa, luego quetenga elemento neutro y finalmente procederemos ahallar el elemento inverso.

SUGERENCIAS


36RAZ. MATEMTICO

Problema 1

Si: x+2

x+12(x+1)

=

Hallar "y" en: 4yy=

A) 7 B) 8C) 9 D) 10E) 12

Resolucin:

x+2x+1

2(x+1)=

(x+1)+12(x+1)

=

x+1 = y

y y+12y

=4y

=

Donde: y + 1 = 8

y = 7

Respuesta: A) 7

Problema 2

Si: aa+1

3=

Hallar: "a", si a = 2

A) 21 B) 14

C) 20 D) 10

E) 16

Resolucin:

aa+13

= =2

a 1 13 2

3

a 1 33x2

3

a + 4 = 6 x 3

a = 18 - 4 = 14

Respuesta: B) 14

Problema 3

Si: x = 3x+2

2x+1 = x+6

Hallar: 10 + 11

NIVEL I

1. Si:

Calcule:

A) 2 B) 1

C) 4 D) 3

E) 0

2. Si:

f(x + 1) = x2 + 2x 3, calcule g(3)

Adems: f(g(y)) = y4 + 15

A) 9

B) 7

C) 12

D) 11

E) 10

3. Si:

P(x + 1) =x2 + 3x + 2, halle "y"

Adems: P(P(y)) = 42

A) 4 B) 5C) 3 D) 1E) 2

4. Si: f(x + 3) = x2 1, halle el valorde:

f(a 2) f(2)A ;a 2a 2

A) aB) a2

C) a3 + 1D) a + 1

E) a

A) 20 B) 38

C) 40 D) 30

E) 35

Resolucin:1 determinamos la ley de formacindel operador .

Luego:x = 3x + 2

10 = 3(10) + 2 = 32

2x+1 = x+4

3

11 = 2(5) + 1

5+43 = 3

=

Entonces:

10 + 11 = 32 + 3 = 35

Respuesta: E) 35


37 RAZ. MATEMTICO

NIVEL II

5. Si: 3 2 3 2a b b a

2 xx 1 2 1

Calcule:

E 5 17 (343 16)

A) 70

B) 48

C) 65

D) 50

E) 60

6. Si:2(a b) b a; a b 0

Halle: E 3 5

A) 1

B) 2

C) 3

D) 5

E) 4

7. Si:

3b ba b a ; b aa

halle:

3 4 27 4 27

A) 450

B) 500

C) 503

D) 490

E) 510

8. Sabiendo que:

a (b 1) 2a 3b

Halle "x" en:

5 x x (3 1)

A) 28/5

B) 14/5

C) 20/7

D) 5/12

E) 4/7

9. Si: [x] n n x n 1

x ,n ? ?Simplifique:

[4,2] [6,5]E

[ 3,7] [ 2,2]

A) 5/7

B) 3/2

C) 10/11

D) 10/7

E) 9/20

10. Si:

Halle:

A) 10

B) 13

C) 15

D) 36

E) 14

11. Si:

Hale el valor de:

A) 90

B) 74

C) 60

D) 56

E) 78

12. Si:

Hallar el valor de:

A) 7

B) 9

C) 5

D) 8

E) 6

NIVEL III

13. Si:

Halle:

A) 6

B) 9

C) 8

D) 7

E) 5

14. Si:

Calcule:

A) 19B) 20C) 21D) 18E) 22

15. Sabiendo que:

Calcule:

A) 7

B) 9

C) 10

D) 8

E) 6

38RAZ. MATEMTICO



MXIMOS Y MNIMOS IRAZONAMIENTO MATEMTICO - TEMA 8

CERTEZAS

Los problemas son generalmente asi; se tiene un recipiente

(caja) con objetos, del cual se debe extraer al azar la

cantidad mnima de objetos para estar completamente

seguros (es decir tener la certeza) de conseguir algo.

La estrategia a utilizar en estos problemas es asumir que

ocurre el peor de los casos.

MXIMOS Y MNIMOS DE EXPRESIONESCUADRTICAS

Sea la expresin:

2E(x) Ax Bx C ;A 0

La cual puede tener un valor mximo o un valor mnimo,esto depende del signo del coeficiente A.Si A es positivo entonces E(x) tiene un valor mnimo; pero siA es negativo, E(x) tiene un valor mximo. Para ambos casosel valor de "x" que maximiza o minimiza a E(x) se calcula as:

0Bx 2A

El presente tema, mximos y mnimos, es de aplicacin amplia en varias ramas de la ciencia e ingeniera. Es adems

importante para el examen de admisin a San Marcos, ya que hay una gran variedad de problemas sobre mximos y

mnimos que han sido preguntas de examen, como por ejemplo: Certezas, recorridos mnimos, mximos y mnimos de

expresiones cuadrticas, de reas, etc.

Luego, el valor mximo o mnimo de la expresin E seobtiene evaluando E(x0).Adems sabemos que grficamente, la expresin cuadrticaE(x), es una parabola:

i) Si A > 0

Emin

ii) Si A

39 RAZ. MATEMTICO39

Problema 1En la figura, AB = 20 km, AP = 3 km,y BQ = 12 km. Una persona ubicadaen el punto P debe llegar a un puntode AB y luego dirigirse al punto Q.Cul es la longitud de l mnimorecorrido?

San Marcos 2003

Nivel fcil

A) 21 kmB) 24 kmC) 25 kmD) 28 kmE) 26 km

Resolucin

Planteo:

Anlisis:Para que el recorrido sea mnimo nosabemos donde debe estar ubicado elpunto R de AB . Pero s sabemos queel menor recorrido se logra con unsegmento recto que une el punto departida (P) con el punto de llegada (Q).

Estrategia de solucin:La estrategia es usar el segmento ABcomo un eje de simetra como si fueraun "espejo".

Pasos:

Se prolonga PA hasta P' de

modo que P'A = AP = 3 km

Luego P'R = PR = a

Del grfico se observa que el

recorrido es el mismo si parte del

punto P o si parte del punto P'.

Ejecucin:

Entonces el recorrido mnimo se

obtiene con el segmento recto P 'Q ,

as:

Se forma un tringulo rectngulo yluego se calcula: P'Q = (a + b) = 25

La longitud del recorrido mnimo es

25 kmRespuesta: C) 25

Problema 2Se tiene 13 fichas numeradas del 1 al13, todas con las caras que indican suvalor contra la superficie de la mesacomo se muestra en la figura.Cuntas fichas como mnimo se debevoltear al azar para tener la certeza deque la suma de los valores de todas lasfichas volteadas sea mayor que 21?

San Marcos 2008I

Nivel intermedio

A) 6B) 5C) 7D) 8E) 9

ResolucinSe tiene 13 fichas con los nmeros:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13Nos piden:El nmero mnimo de fichas a voltear,tal que la suma de sus valores seamayor que 21.Para conseguir que las fichas volteadassumen ms de 21, las fichas que sevolteen deberan ser los de mayor valory de esa manera volteariamos la menorcantidad de fichas. Pero como es alazar, nada nos garantiza que as ser yque tengamos certeza.

Estrategia:Sabemos que para tener certeza nosdebemos poner en el peor de loscasos. Es decir, primero se voltean lasfichas de menor valor.En el peor caso, las fichas volteadasson:

1, 2, 3, 4, 5, 6 suma = 21

Luego volteando una ficha ms delresto (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13),cualquiera, se obtiene con certeza unasuma mayor que 21.(# fichas volteadas como mnimo) =

6 + 1 = 7

Respuesta: C) 7

Problema 3Para vender sus productos, uncomerciante mayorista de tubrculosslo dispone de una balanza con dosplatillos y pesas de 3 kg, 5 kg y 7 kg,una de cada una. Cuntas veces comomnimo utilizar las pesas para venderexactamente 26 kg de papas?

San Marcos 2005

Nivel difcil

A) 2 B) 4 C) 3

D) 6 E) 5

40RAZ. MATEMTICO

MXIMOS Y MNIMOS I

40

NIVEL I

1. Si: 3a + 4b = 48, halle el mximovalor de 3ab.A) 45 B) 108 C) 90D) 162 E) 144

2. Si: m.n = 75, calcule el mnimovalor de:

P = 4m + 3nA) 120 B) 130 C) 60D) 140 E) 110

3. Determinar el producto mximo.A) 19034 30966B) 25019 24981C) 22780 27220D) 24995 25005E) 26315 23685

4. Se tiene un terreno de la formaindicada en la figura cuyopermetro es de 192 metros, halleel rea mxima que puede tenerdicho terreno.

ResolucinDispone solo de pesas de 3, 5 y 7 kg,una de cada una, y de una balanza de2 platillos.Nos piden:Nmero mnimo de veces que utilizarlas pesas para vender 26 kg de papas.

Anlisis:Usando las tres pesas puede pesar3 + 5 + 7 = 15 kg.Le faltara slo 11 kg para completarlos 26 kg.

Estrategia:Como no dispone de otras pesas elcomerciante puede utilizar las papasque ya ha pesado, como si fuera unanueva pesa. De esa manera har menospesadas con la balanza.

Ejecucin:1era pesada:

2da pesada:

De esta manera se obtiene:

15 + 11 = 26 kg de papas

Las pesas se utilizan 2 veces como

mnimo.

Respuesta: A) 2

A) 1732 m2 B) 1023 m2

C) 1152 m2 D) 1122 m2

E) 1800 m2

NIVEL II

5. Cul es el mximo valor de laexpresin M + N?

20M

138 x 5 2 x 3

2 2

N k 6k 3 2

A) 15 B) 14 C) 13D) 8 E) 5

6. Resultados de una investigacinplantean que el volumen de 1 kgde cierta sustancia depende dela temperatura a la que seencuentra. El Volumen (en cm3)= 24 7t2 + 728t. Donde t es latemperatura en C y adems0 < t < 100. A qu temperaturadebe encontrarse dicha sustanciapara tener su mximo volumen?A) 50C B) 52C C) 72CD) 60C E) 48C

7. Calcule el mximo valor de:

7xM ;x 0x 3x 1

2

4 2 ?

A) 9/4 B) 7/5 C) 10/3D) 1/2 E) 1

8. Halle el mximo valor de:

23xA ; x 0x x 1

2

4 2 ?

A) 23 B) 23/2

C) 23/3 D) 27/2

E) 21

9. Halle el mnimo valor de:

x 3A 5x 3 x

2

2 2

A) 8 B) 5 C) 7D) 9 E) 6

10. Si: a, b, c ;? adems a + b + c = 2,

calcule el mximo valor de L.L=(4a+bc)(a+3b+2c)(2ab+2c)

A) 2/3 B) 8 C) 8/3D) 8/9 E) 1

11. Se tiene la siguiente figura, cul

es la mxima rea que puedetener el rectngulo inscrito en el

tringulo mostrado?

A) 60 B) 50 C) 80D) 70 E) 65

41 RAZ. MATEMTICO41

MXIMOS Y MNIMOS I

12. Calcule el rea mxima que puedetomar la regin sombreada.

A) 192 cm2 B) 88 cm2

C) 90 cm2 D) 96 cm2

E) 92 cm2

NIVEL III

13. En la pizarra se muestra un trozode madera cuadrada. Cuntos

cortes rectos como mnimo se deberealizar con una sierra elctrica paraobtener los cuadraditos con losnmeros 1, 6, 10, 15?

A) 5

B) 6

C) 4

D) 3

E) 7

14. Un comerciante dispone de unabalanza de un solo platillo que solopuede pesar 3, 6, 9 12 kgexactamente. Si adems tiene

una pesa de 2 kg. Cuntas vecescomo mnimo tendr que utilizar labalanza para pesar exactamente44 kg de azcar?A) 3 B) 5 C) 6D) 4 E) 7

15. Alejandro lanz "m" veces un dado.El mximo puntaje total que pudohaber obtenido es 120, peroobtuvo 62 y solo obtuvo puntajepar en cada lanzamiento. Si 3veces obtuvo el mximo puntaje,Cuntas veces obtuvo el mnimo?A) 5 B) 10 C) 8D) 15 E) 12

1. Si: a + b = 12, cul es el mximo valor que tomar"a x b"?

_______________________________________

2. Si: a + b = 12, cul es el mnimo valor que tomar"a x b", si a y b son enteros positivos?

_______________________________________

3. Se tiene un rectngulo cuyo permetro es de 36 m,cul es la mxima rea del rectngulo?

_______________________________________

4. Se tiene un rectngulo cuyo permetro es de 36 m,cul es la mnima rea del rectngulo, si sus ladosson nmeros enteros?

_______________________________________

5. Si 245

(x 3) es mximo, entonces "x" tomar el valor

entero de:_______________________________________

6. Se tienen 20 fichas numeradas del 1 al 20. Indiquecuntas fichas se deben de extraer como mnimo paraestar completamente seguros de obtener al menos:una ficha con numeracin par._______________________________________

7. Para qu valor de x la ecuacin x2 + 6x+ 9 tomar sumximo valor?

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