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Teoría y ejercicios basicos sobre límites y sus teoremas
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CALCULO CALCULO DIFERENCIALDIFERENCIAL
LímitesLímites
S E X T O C U R S OS E X T O C U R S O
LímitesLímites
Comenzamos con el problema de la Tangente a la curva y=2x^2+x-1, sabiendo que pasa por el punto P(1,2).
Q(x, 2x^2+x-1)
P(1,2)
Tangente a Y
LímitesLímites
La variación de la pendiente de la recta secante a medida que el punto Q se aproxima al punto P, es la base fundamental del Cálculo Diferencial.
Q(x, 2x^2+x-1)
P(1,2)
Tangente a Y
mpq 2x2+x-3 x-1=
Winplot
Factorizar: mpq 2x2+x-3 x-1=
Simplificar: y x2-x-12 x+3=
y 3x2-x-2 3x+2=
Límites en Proyecto Descartes
LímitesLímites
Escribimos: Lim f(x) = L xx–›aa
Y decimos “el límite de f(x), cuando xx tiende a aa, es igual a L”, si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como deseemos) tomando xx lo bastante cerca de aa, pero no igual a aa.
LímitesLímites
Winplot
aa
LL
aa
LL
aa
LL
LÍMITELÍMITE
ACERCAMIENTO
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir:
Lf(x)limax
NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓNFUNCIÓN
33
55
-3-3
33
-2-2xx
ff(x)(x)
3.53.5
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x
Encuentre:
EJERCICIO 1EJERCICIO 1Dado el gráfico de f(x): Dado el gráfico de f(x):
g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim
g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)lim
g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim
axaxax
axaxax
axaxax
existen )(y )( Si xglímxflímaxax
PROPIEDADES DE LOS LÍMITESPROPIEDADES DE LOS LÍMITES
?
n
ax
n
ax
axax
f(x)limf(x)lim
g(x)limKK.g(x)lim
existen )(y )( Si xglímxflímaxax
PROPIEDADES DE LOS LÍMITESPROPIEDADES DE LOS LÍMITES
EvalúeEvalúe los siguientes límites: los siguientes límites:
EJERCICIO 2EJERCICIO 2
3xsi,1x1/
3 xsi2,xf(x)dondef(x);4)
3x4xx2xx
3)
xx1x1
2)
x24x
1)
2
3x
1/3
23
2
1x
0x
0x
lim
lim
lim
lim
EJERCICIO 3EJERCICIO 3
Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:
2)(x
2x3)(xlimb.
1x1)(x2x
lima.
2x
1x
EJERCICIO 4EJERCICIO 4
Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:
c. Lim (x2+2x)sen(5x)X->0 3x
d. Lim Tan(3x)X->0 2x
Continuidad de una FunciónContinuidad de una Función
Dícese de una función Dícese de una función f f es continua en el número es continua en el número a a si:si:
Continuidad en Descartes
f(a)f(x)limax
TEOREMA DE LA TEOREMA DE LA COMPRESIONCOMPRESION
En caso de que se cumpla la siguiente relación (para En caso de que se cumpla la siguiente relación (para toda x perteneciente a algún intervalo abierto que toda x perteneciente a algún intervalo abierto que contenga a contenga a cc):):
y además se cumple:y además se cumple:
Entonces:Entonces:
h(x)f(x)g(x)
Lh(x)limg(x)limcxcx
Lf(x)limcx
h(x)h(x)
g(x)g(x)
f(x)f(x)
cc
LL
x
y
TEOREMA DE LA TEOREMA DE LA COMPRESIONCOMPRESION
11. Si. Si
22. Dada la función g(x)=xsen(1/x). . Dada la función g(x)=xsen(1/x). Estime : Estime :
(trabaje gráficamente)(trabaje gráficamente)
f(x)limHalle
xtodapara2cosx,f(x)x2
0x
2
g(x)lim0x
PROBLEMA 1PROBLEMA 1
LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITOINFINITO
Cuando se habla del Límite de una función cuando Cuando se habla del Límite de una función cuando XX tiende a Infinito:tiende a Infinito:
Quiere decir que para todo Quiere decir que para todo εε > 0 > 0 existe un existe un AA que que pertenece a los pertenece a los RR++, tal que si , tal que si X>AX>A, entonces:, entonces:εε > > ׀׀ f(x)-L f(x)-L ׀׀
Lf(x)limx
LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITOINFINITO
xxx
xx
x
35
lím c.
5lím b.
3
1lím a.
3
x
3
x
23x
2353
lím f.
21
líme.
135
límd.
2
2
x
2x
x
xxx
xx
x
2xsen3x
limc)
xπ)sen(x
limb)
xtanx
lima)
0x
0x
0x
Evalúe los siguientes límites utilizando Evalúe los siguientes límites utilizando propiedades y límites notables:propiedades y límites notables:
LÍMITES TRIGONOMETRICOS LÍMITES TRIGONOMETRICOS
xcosx1
lim0x
“La mayoría de la gente se da por vencida cuando están a punto de alcanzar el éxito”
Napoleón Bonaparte
REFLEXIÓNREFLEXIÓN