MANUAL BÁSICO DE GEOGEBRA

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE TAMAULIPAS

COORDINACIÓN DE ZONA No. 5

CEMSADET No. 11 “SAN ANTONIO DE PADUA”

28EMS0011J PERÍODO: 2014-B

2014

MANUAL BÁSICO DE

GEOGEBRA Herramienta de colaboración con las TIC´s

MTRO. RAYMUNDO HERNÀNDEZ DAVID

MANUAL BÁSICO DE GEOGEBRA 2014

Mtro. Raymundo Hernández David Página 1

ÍNDICE

I Introducción -------------------------------------------------------------------- ----------------- 3

II Justificación--------------------------------------------------------------------- ---------------- 5

III Metodología-------------------------------------------------------------------- ----------------- 7

Prácticas

1 Tipos de ángulos ----------------- 9

2 Ángulos complementarios ----------------- 10

3 Ángulos suplementarios ----------------- 11

4 Teorema de Thales ----------------- 12

5 División de un segmento en partes iguales ----------------- 13

6 Mediatriz de un segmento ----------------- 14

7 Construcción de la mediatriz de un segmento ----------------- 15

8 Bisectriz de un ángulo ----------------- 16

9 Construcción de la bisectriz ----------------- 17

10 Construcción aproximada de un polígono regular de n lados ----------------- 18

11 Teselaciones con polígonos regulares ----------------- 19

12 Área del paralelogramo ----------------- 20

13 Área del rombo ----------------- 21

14 Área del trapecio ----------------- 22

15 Área del triángulo ----------------- 23

16 Área de un polígono regular y del círculo ----------------- 24

17 Calculo de áreas por descomposición y Teorema de Pick ----------------- 25

18 Construcción de un trapecio conocidos sus lados ----------------- 27

19 Posiciones relativas de recta y circunferencia ----------------- 28

20 Posiciones relativas de 2 circunferencias ----------------- 29

21 Ángulos inscritos 1 ----------------- 30





24 Cuadrilátero inscrito ----------------- 33


26 Ángulos semiinscritos ----------------- 35

27 Ángulos interiores a una circunferencia ----------------- 36

28 Ángulos exteriores a una circunferencia ----------------- 37

29 Ángulos interiores y exteriores en la circunferencia ----------------- 38

30 Cuadrilátero inscrito en 2 circunferencias secantes ----------------- 39

31 Tres circunferencias ¿concurrentes? ----------------- 40

32 Cuatro círculos iguales ----------------- 42

33 Suma de los ángulos de un triangulo ----------------- 44

34 Teorema de Pitágoras 1 ----------------- 46

35 Teorema de Pitágoras 2 ----------------- 48

36 Caracterización de triángulos ----------------- 49

37 Medianas y Baricentro ----------------- 51

38 Concurrencia de las medianas ----------------- 53

39 Mediatrices y Circuncentro ----------------- 54

40 Concurrencia de las mediatrices ----------------- 55

41 Alturas y Ortocentro ----------------- 56

42 Concurrencia de las alturas ----------------- 58

43 Bisectrices e Incentro ----------------- 60

44 Concurrencia de las bisectrices ----------------- 62

45 Recta de Euler ----------------- 64

46 Circunferencia de los 9 puntos o de Feuerbach ----------------- 66

47 Puntos, rectas, y circunferencias notables en el triángulo ----------------- 68

48 Segmentos paralelos a los lados ----------------- 70



I. INTRODUCCIÒN

Si es cierto aquello de que “una imagen vale más que mil palabras”, una imagen animada e interactiva debe valer más que un millón. Quizá no sea para tanto, pero la posibilidad de mover las figuras y experimentar con ellas, ver “que pasa si ...”, contribuye sin duda decisivamente a la adquisición e interiorización de técnicas y conocimientos matemáticos.

Uno de los objetivos que se persigue con la enseñanza de la Matemática, en el área de geometría y trigonometria, es desarrollar la imaginación espacial del alumno a través de la representación plana de sólidos, el cálculo de volúmenes y capacidades, así como aplicaciones sencillas de los teoremas de semejanza y de Pitágoras en la solución de problemas en el espacio.

En el desarrollo de este trabajo se presentan actividades que buscan desarrollar habilidades con el apoyo del geogebra. Se describe a geogebra y su uso en la enseñanza de la geometría, así como la postura psicopedagógica en la que se apoya. Los temas que se presentan son susceptibles de trabajarse con este software didáctico.

Una de las propuestas del nuevo enfoque es la integración, tanto al interior de las Matemáticas, como en su relación con otras asignaturas. Así, al interior de las Matemáticas, podemos relacionar geometría con aritmética; una forma es pedirle al alumno que suponga que va llenado con cubos pequeños en geogebra ya que con esta actividad el alumno aplica el concepto de fracciones; relacionamos también la geometría con el álgebra cuando dirigimos al alumno para demostrar el cuadrado de un binomio, por procedimientos algebraicos y con la demostración por áreas.

Por otra parte, se trabajaran con actividades que relacionan a la geometría con la Trigonometría y con la Presentación y Tratamiento de la Información. Además, la relación de las Matemáticas con otras asignaturas, se da claramente con la Física y la Química. Por ejemplo, cuando suponemos que vamos colocando cubitos llenos de algún líquido (agua, gasolina, éter, petróleo,...) dentro del geogebra y, valiéndonos de las tablas de densidad de los líquidos, calculamos el peso de los cubitos y graficamos el número de éstos en relación con su peso en un plano cartesiano.

El profesor propicia en que los alumnos adquieran conocimientos y habilidades de pensamiento, así como razonamientos necesarios para avanzar en el estudio de las Matemáticas y puedan acceder al conocimiento de otras disciplinas. Entre las muchas aplicaciones, por ejemplo, se usan en la Historia, para saber cuándo ocurrió un hecho; en la Geografía, para los usos horarios y el cálculo de la hora en cualquier lugar del mundo, para ubicar una nave según la latitud, la longitud y la altura respecto del nivel del mar, para medir la humedad, la velocidad del aire o la presión atmosférica en cierto lugar; en la Música, para las frecuencias de las notas o los tiempos, ayudándose del metrónomo; en la Biología, para las fórmulas de las flores y si éstas son tetrámeras o pentámeras, y si tienen estambres libres o soldados; en la Física, para calcular el movimiento o el alcance de un objeto, o qué forma debe tener una cúpula para lograr una óptima acústica; en la Química, para obtener compuestos, midiendo las cantidades adecuadas de las sustancias que intervienen en las reacciones químicas.



El GeoGebra es un programa computacional. Este programa representa una tecnología informática que puede tener gran impacto en los procesos de mediación en la educación matemática a nivel secundario, pues ofrece la posibilidad de trabajar la Geometría y el Álgebra simultáneamente de formas dinámicas, atractivas e integradas.

El GeoGebra es un software libre, galardonado en el 2002 con el European Academia Software Award (Suiza, 2002), con el International Free Software Award, category Education (Francia, 2005) y con el Distinguished Development Awar otorgado por la Association for Educational Communications and Technology de Orlando (USA, 2008), entre otros reconocimientos.

Este recurso, al igual que el Cabri y el Geometer Sketchpad, es un software matemático en los que funciona una colección de objetos básicos, un conjunto de acciones elementales referidas a estos objetos, y un lenguaje de programación de alto nivel con una semántica y una sintaxis particulares, que, complementado con una interfaz accesible, permite obtener resultados predecibles al relacionar estos objetos y operar sus acciones.

En este sentido, representa un micromundo de posibilidades, que ofrece gran autonomía y capacidad de manipulación a sus usuarios; un entorno dinámico e interactivo con prestaciones que:

1. Requieren la realización de acciones informáticas relativamente complejas (diseño, programación, ejecución). 2. Devuelven resultados matemáticos (como gráficas, construcciones, transformaciones, cálculos), y paramatemáticos (como simulaciones, modelos, clasificaciones, ordenamientos, iteraciones). 3. Facilitan el desarrollo de acciones matemáticas (como resolución de problemas, demostración, conjeturación, aplicación, verificación), y metamatemáticas (como análisis, deducción, inducción, reflexión, enseñanza, aprendizaje, valoración, experimentación).

Por estas razones, este software debe ser estudiado con profundidad, para analizar sus

fortalezas y sus debilidades durante sesiones presenciales y virtuales, y de esta manera establecer parámetros comparativos para su valoración. Asimismo, es importante compararlo con el Cabri y el Geometer‟s Sketchpad; que son software comerciales con ciertas similitudes con el GeoGebra y que han sido también muy promocionados en la educación matemática.

II. JUSTIFICACIÓN



En el presente Curso-Taller:” Geogebra una herramienta de colaboración”, se establecen

criterios para adquirir el conocimiento de una forma didáctica, lúdica y tecnológica, entre los que

destacan:

Adquirir seguridad y destreza en el empleo de técnicas y procedimientos básicos a través de la solución de problemas.

Al tener seguridad en lo que hace, el alumno tendrá menos dudas y fallas, realizará las tareas con más confianza en sí mismo y así aumentará su autoestima; la destreza le disminuirá la dificultad para llevar a buen término sus trabajos, los hará con habilidad y rapidez. Por ejemplo, si el maestro pide al alumno calcular la longitud de la diagonal del salón entre dos vértices opuestos, dados el largo, el ancho y la altura; el alumno, luego de mirar el salón, hace un dibujo y aplica el teorema de Pitágoras, y podrá usar sin vacilaciones este método a problemas donde le pidan calcular la diagonal entre vértices opuestos de un cubo o de un paralelepípedo.

Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un problema. Teniendo en consideración que para resolver un problema es necesario: 1. Leer cuidadosamente el problema hasta comprenderlo. 2. Ser capaz de reconocer los datos, la incógnita y la condición o condiciones. 3. Concebir un plan para resolverlo; de no encontrarse una relación inmediata, pueden considerarse problemas auxiliares. Obtener finalmente un plan de solución. 4. Ejecutar el plan. 5. Examinar la solución obtenida.

• Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas. El alumno formará juicios probables sobre relaciones matemáticas entre elementos de un problema, a partir de indicios y observaciones, los comentará con el maestro y con sus compañeros; al socializar el conocimiento se dará cuenta de si su razonamiento es correcto. En el ejemplo mencionado, podrá ver que su resultado cae en un rango posible, de acuerdo a las medidas del salón. Una de sus conjeturas puede ser la generalización del teorema de Pitágoras al calcular la diagonal entre vértices opuestos. • Reconocer situaciones análogas. El alumno encontrará semejanzas entre problemas distintos. En el ejemplo anterior, el alumno recordará el cálculo de las dimensiones de un triángulo rectángulo; luego de calcular la diagonal entre vértices opuestos de un cubo, reconocerá una situación análoga en un paralelepípedo.

• Escoger o adaptar estrategias de solución.



El alumno trazará acciones para resolver un problema. En el caso dado, dibujará primero la diagonal sobre el piso del salón para obtener un triángulo rectángulo y luego trazará una segunda diagonal que quedará en el espacio y formará un segundo triángulo rectángulo. • Comunicar estrategias, procedimientos y resultados en forma clara y concisa. El alumno comentará sus formas o métodos de solución, empleando el vocabulario adecuado para que sus compañeros le entiendan. Por ejemplo, hará el dibujo donde muestre cómo se forman los triángulos rectángulos, colocará una notación adecuada y mencionará correctamente la hipotenusa y los catetos.

• Predecir y generalizar resultados. El alumno puede decir algo sobre el resultado sin haber llegado a él; por ejemplo, que la diagonal del salón entre vértices opuestos será mayor que el largo, el ancho, la altura y la diagonal sobre el piso; podrá generalizar que en lugar de aplicar dos veces el teorema de Pitágoras es mejor extraer la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las tres dimensiones; y conocer cuál es el orden de magnitud que deberá tener el valor numérico del resultado. • Desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo. El razonamiento es una secuencia lógica de proposiciones que llevan a demostrar algo y se hace con orden y método; consta de explicaciones, argumentos o motivos. Si se conocen aplicaciones diversas del teorema de Pitágoras ello puede ser un incentivo para hacer la demostración geométrica formal del teorema.



III. METODOLOGÌA

El enfoque de resolución de problemas se puede considerar como el sinónimo de

"aprender haciendo". En esta propuesta se entiende el enfoque de resolución de problemas

como una modalidad didáctica en la que el docente genera situaciones en las que los estudiantes

pueden explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, acercándose a

demostraciones, analizar y/o generar aplicaciones, investigar y, en general, elaborar conceptos,

procedimientos, algoritmos u otros tópicos matemáticos acerca de los cuales deben aprender.

Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el estudiante, interactuando

con desafíos especialmente diseñados, en un ambiente cooperativo y estimulante, busca

soluciones, explicaciones o justificaciones. Algunas de estas situaciones pueden ser:

1. Explorar una situación problemática con el objeto de acercarse a un concepto. Por

ejemplo, explorar la forma en que se comportan los números decimales para acercarse al

concepto de número racional y/o de número irracional.

2. Explorar una situación problemática con el objeto de generar procedimientos para

buscar y reconocer una solución: ¿cómo medir la altura de un edificio?, ¿el ancho de un

río o de un área en la que no se puede acceder al otro costado?

3. Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información que

involucre el uso de modelos matemáticos: ¿cómo utilizar una rueda para medir el largo

de un camino sinuoso? o ¿cómo determinar la distancia entre dos puntos de un mapa

conocida la escala?

4. Analizar una situación con el objeto de generar un modelo de la misma: ¿cómo varían

el área y el volumen de un cuerpo al duplicar, triplicar y, en general, al modificar las

dimensiones de sus lados?

Para el profesor aquí hay varios desafíos. El primero es elegir las situaciones problemáticas

de modo que interesen a sus estudiantes y que los hagan interactuar con ideas y modelos

matemáticos pertinentes y poderosas. El segundo es organizar la situación de aprendizaje de

modo que sea espontánea, grata, cooperativa y efectiva. El desafío final es sacarle partido a la

experiencia de resolución de problemas. En efecto, se requiere de habilidad y de experiencia para

cerrar adecuadamente, "pasando en limpio" lo aprendido a través de los intentos de los

estudiantes.

También es importante acompañar a los jóvenes en el proceso de comprender lo que hicieron, tanto ellos mismos como sus compañeros. Toda experiencia de resolución de problemas debiera terminar con una actividad de cierre que ayude a formalizar y a comprender los procesos involucrados.



PRÁCTICAS DE LABORATORIO CON GEOGEBRA



1. Tipos de ángulos

Mueve el deslizador para varía el ángulo de grado en grado. Sobre el deslizador, se indica de que

tipo de ángulo se trata.

1.- ¿Qué ángulos son agudos?

2.- ¿Qué ángulos son obtusos?

3.- ¿Qué ángulos son cóncavos?

4.- ¿Y convexos?

5.- Indica de que tipo es cada uno de los ángulos siguientes:

190º ...................... 100º ...................... 85º ...................... 350º ......................

Notas:

El ángulo de 360º no se visualiza en la plantilla, se pasa de 359º a 0º.



2. Ángulos complementarios

Mueve el punto D para ver distintos pares de ángulos complementarios.

1.- Si un ángulo es menor que 45º, su complementario es ....

2.- ¿Qué ángulo es igual a su complementario?

3.- Indica los complementarios de los ángulos siguientes:

30º ........ 80º ........ 44º ........ 27º ........ 75º ........

Notas:



3. Ángulos suplementarios

Mueve el punto D para ver distintos pares de ángulos suplementarios.

1.- Si un ángulo es agudo, su suplementario es ....

2.- ¿Qué ángulo es igual a su suplementario?

3.- Indica los suplementarios de los ángulos siguientes:

30º ........ 165º ........ 45º ........ 36º ........ 108º .........

Notas:



4. Teorema de Thales

1.- Comprueba los resultados de la pantalla con una calculadora (en el ordenador tienes una). Ten

en cuenta que tanto las medidas que se presentan como los resultados , están redondeados a

cuatro decimales, por lo que puede haber alguna diferencia en las últimas cifras.

2.- ¿Se verifica también que '

' '

PA PA

AB A B ? ¿Por qué?

3.- ¿Se cumple que ' ' ' ' '

' ' '

PA A B B C

AA BB CC ?

4.- ¿Y que ' ' '

' ' '

PA PB PC

AA BB CC ?

Comprueba todo lo anterior modificando la posición de algunos de los puntos verdes.

Notas:

Todos los resultados están redondeados a cuatro decimales.



5. División de un segmento en partes iguales

Haz clic repetidamente en el tercer botón para ver la construcción paso a paso. Si quieres ver una

explicación de cada paso, haz clic en el último botón, y luego repetidamente en el tercer botón de

la nueva ventana. Quizás tengas que moverla para poder ver mejor el dibujo. Una vez que tengas

el dibujo completo,

1.- Mueve el punto C. ¿Cambia la división del segmento por la elección del punto C?

2.- Los segmentos AC, CD, DE, EF y FG son iguales porque los hemos construido así. Pero, ¿por

qué son iguales los segmentos AH, HI, IJ, JK y KB?

3.- Utiliza el mismo procedimiento para, utilizando regla y compás, dividir el segmento AB del

dibujo en tres partes iguales.

Notas:



6. Mediatriz de un segmento

1.- Mueve el punto C (azul). ¿Cómo cambian las distancias CA y CB a los extremos del

segmento?

2.- ¿Cuando son mínimas?

3.- Mueve el punto D (rojo) y observa como cambian sus distancias DA y DB a los extremos del

segmento. ¿Cuándo son iguales?

4.- ¿Cuándo es menor DA que DB?

Notas:



7. Construcción de la mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él por su punto medio. Se caracteriza

porque todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de los extremos del segmento.



la nueva ventana. Quizás tengas que moverla para poder ver mejor el dibujo.

1.- ¿Porqué la recta así construida es la mediatriz?

2.- Utiliza el mismo procedimiento para construir, utilizando regla y compás, la mediatriz del

segmento AB de la figura.

Notas:



8. Bisectriz de un ángulo

1.- Desplaza el punto Q por el dibujo. ¿Cuándo es QG < QH y cuando es QG > QH?

2.- Entonces, ¿cuando es QG = QH?

3.- Desplaza ahora el punto (solo se mueve sobre la bisectriz). ¿Por qué siempre es PE = PF?

Utiliza la pista si es necesario.

4.- ¿Hay puntos en la bisectriz que no estan a la misma distancia de los lados?

5.- ¿Hay puntos fuera de la bisectriz que estén a la misma distancia de ambos lados? Marca la

casilla “Por tanto ...” y luego la siguiente.

6.- ¿Cómo son los ángulos opuestos por el vértice? Marca la siguiente casilla

7.- ¿Por qué la recta bisectriz es la misma para los ángulos opuestos por el vértice? Marca la

siguiente casilla

8.- ¿Por qué son perpendiculares las dos rectas bisectrices?

Notas:



9. Construcción de la bisectriz



la nueva ventana. Quizás tengas que moverla para poder ver mejor el dibujo.

1.- ¿Porqué la recta así construida es la bisectriz? Haz clic en las casillas a la derecha del dibujo para ver una explicación paso a paso. Justifica brevemente cada una de las afirmaciones que se hacen:

a)

b)

c)

d)

e)

2.- Utiliza el mismo procedimiento para construir, utilizando regla y compás, la bisectriz del

ángulo de la figura.

Notas:



10. Construcción aproximada de un polígono regular de n lados

Vete marcando las sucesivas casillas de la derecha para ir viendo la construcción aproximada de

un polígono de n lados inscrito en la circunferencia. Puedes cambiar el número de lados en

cualquier momento con el deslizador n, entre 3 y 12.

1. ¿Qué ocurre si movemos el punto D? ¿Lo podemos situar en cualquier sitio?

2. Marca la casilla inferior. ¿Para que valores de n la construcción es exacta?

3. ¿Cómo es el último ángulo comparado con los anteriores? ¿Qué pasa si el valor de n es

grande?

3. ¿Para que valores de n conoces una construcción exacta (distinta de esta)? ¿Es más simple o

más complicada que esta?

4. Entonces, ¿para que valores de n es útil esta construcción?

5. Utiliza este procedimiento para construir, utilizando regla y compás, un heptágono regular.

Notas: La construcción solo es exacta para n = 3, 4 y 6. Pero para estos valores de n hay

construcciones exactas mucho más sencillas. Por otra parte, hay construcciones exactas para n =

5, 8, 10 y 12. Por lo que la utilidad de esta construcción aproximada se reduce a los casos n = 7, 9

y 11, aunque ya en este caso el último lado es apreciablemente menor que los demás.



11. Teselaciones con polígonos regulares

En esta plantilla tienes herramientas para dibujar polígonos regulares de 3 a 12 lados,

desplegando el segundo icono de la barra superior.

Para cada uno basta con indicar dos vértices consecutivos en sentido contrario al de las

agujas del reloj. Para dibujar polígonos contiguos, utiliza para el nuevo vértices del anterior. Con

las flechas de la derecha puedes deshacer o rehacer los pasos que has dado. Con la goma de

borrar puedes eliminar el polígono o punto que señales. Las lupas te permiten hacer zoom.

El icono con cuatro flechas permite desplazar todo el dibujo.

1. Si usas un solo tipo de polígono, ¿con cuales puedes cubrir cualquier superficie poniéndolos

juntos sin que se superpongan ni quede espacio entre ellos?

2. ¿Y si empleas dos tipos de polígono?

3. ¿Y tres distintos, como en la figura?

A esto se le llama "teselar” el plano. Dibuja a continuación, a mano alzada, bocetos de las

teselaciones que hayas hecho en la pantalla (al menos una con un solo tipo de polígono, otra con

dos tipos y otra con tres).

Notas:

Los polígonos se construyen a partir de dos vértices consecutivos. El orden de los puntos

determina a que lado del segmento estará el polígono: Al ir del primero al segundo punto

indicados, el polígono se recorre en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj).

Si un punto ya es un vértice de varios polígonos, hay varias “copias” de él en la pantalla, y

debe elegirse una cualquiera de ellas.



12. Área del paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero con los lados paralelos dos a dos.

1. Desplaza el deslizador hacia la derecha. ¿En que figura se transforma el paralelogramo?

2. ¿Cómo son las bases y alturas de ambas figuras?

3. Por tanto, el área del paralelogramo se calcula como ...

Puedes mover el punto C para cambiar la forma del paralelogramo.

Notas:

Si la proyección de C sobre el lado AB cae fuera de este, la figura pierde claridad. Sería

preciso dividir el paralelogramo en más piezas para transformarlo en un rectángulo en esa

orientación. Pero siempre es posible cambiar el papel de los lados, de manera que las bases sean

los lados mayores, con lo que desaparece el problema.



13. Área del rombo

Un rombo es un cuadrilátero con los cuatro lados iguales. Sus diagonales, en el dibujo d1 y d2,

son perpendiculares. H, I, J y K son los puntos medios de los lados, y O es el punto en que se

cortan las diagonales. Mueve el punto deslizante hacia la derecha y observa el resultado.

1. ¿En que figura se ha transformado el rombo?

2. ¿Cuánto miden los lados de esta nueva figura?

3. Y su área, ¿cómo es comparada con la inicial?

4. Por tanto, el área inicial es ...

En realidad, siempre que las diagonales sean perpendiculares puede calcularse así el área,

aunque no se trate de un rombo.

5. Desplaza los puntos O, A, B, C y D para obtener un cuadrilátero que no sea un rombo, pero

con las diagonales perpendiculares, y calcula su área. Mueve el deslizador para comprobarlo.

6. Copia ese cuadrilátero arriba, en la parte derecha de la figura, así como el calculo de su área.

Notas:

El área puede calcularse como el producto de las diagonales entre dos siempre que estás

sean perpendiculares. Incluso si el cuadrilátero es no convexo, aunque la figura pierde claridad en

este caso.

14. Área del trapecio



Un trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos, sus bases. En el dibujo, b1 y b2. E y

F son los puntos medios de los lados no paralelos. Mueve el punto deslizante hacia la derecha y

observa el resultado.

1. ¿En que figura se ha transformado el trapecio?

2. ¿Cómo son las áreas de ambas figuras?

3. ¿Cuál es la base de esta nueva figura?

4. ¿Y su altura?

5. Por tanto, el área del trapecio se calcula como ...

Mueve los puntos A, B, C y/o D para cambiar la forma del trapecio.

6. Copia a la derecha del otro el nuevo trapecio y el cálculo de su área.

Notas:



15. Área del triángulo

D y E son los puntos medios de los lados respectivos, h es la altura del triángulo y b su base.

Desplaza el punto deslizante hacia la derecha y observa la figura obtenida.

1. ¿Qué figura se obtiene?

2. ¿Cómo es la base de la nueva figura comparada con la del triángulo?

3. ¿Y la altura?

4. Por tanto, el área del triángulo se calcula como ...

5. Mueve el vértice C para obtener un triángulo obtusángulo. Copia a la derecha el nuevo

triángulo y el cálculo de su área.

Notas:



16. Área de un polígono regular y del círculo

Aquí tienes un polígono regular de n lados, inicialmente 6, inscrito en una circunferencia. Para

hallar el área del polígono, lo consideramos descompuesto en n triángulos iguales, de base l (lado

del polígono) y altura a (apotema del polígono). Mueve el deslizador para cambiar el número n de

lados.

1. ¿Qué ocurre con la apotema y el radio cuando aumenta n?

2. ¿Y con los perímetros y áreas del polígono y la circunferencia?

Notas:



17. Calculo de áreas por descomposición y Teorema de Pick

1. Las líneas de esta rejilla están separadas por una distancia de 1 cm. ¿cuál es el área de los

cuadrados que forman?

2. Descompón el polígono de la figura en partes menores más sencillas (triángulos, rectángulos,

trapecios, ...), de las que sepas calcular el área. Hazlo en el dibujo de arriba y calcula entonces

cuanto vale el área de todo el polígono, indicando el área de cada una de las partes en que lo

dividiste. Puedes comprobar el resultado marcando la casilla „Área‟. Si no coincide con el tuyo,

revisa tus cálculos.

3. Mueve los puntos en la pantalla para formar un nuevo polígono. Cópialo arriba a la derecha del

otro y calcula su área como en el punto 2.

4. Marca la casilla „Teorema de Pick‟ (previamente debes haber marcado la de „Área‟). Lee el

texto que aparece y cuenta el número de puntos interiores al polígono (P i) y que se encuentran

en el perímetro (Pp), no sólo los vértices, e indicalos en los deslizadores de la derecha. Si el

resultado no coincide con el área, vuelve a contar el número de puntos interiores y en el

perímetro.



5. Comprueba el Teorema de Pick, modificando los vértices, al menos cinco veces. Anota a

continuación el número de puntos interiores, en el perímetro y las áreas en cada caso.

Notas:

El número de puntos interiores y en el perímetro no se actualiza automáticamente al

modificar el polígono. Deben contarse a mano e indicar su valor con los deslizadores. La

demostración se basa en la descomposición del polígono en triángulos de área ½ . Aunque no es

muy complicada, excede claramente el nivel de estas actividades.

En esta plantilla, los vértices solo pueden situarse en puntos de la rejilla. No ocurre lo

mismo si lo que se mueven son los lados. Pero moviendo nuevamente los vértices, se pueden

volver a situar sobre la rejilla.

Si el polígono resultante es cruzado, el perímetro se corta a si mismo, el área calculada por

la plantilla es la suma algebraica de las áreas. En este caso, las áreas opuestas por un vértice

tienen distinto signo. Dada la dificultad de este concepto, debe evitarse que los perímetros se

crucen.



18. Construcción de un trapecio conocidos sus lados

En esta actividad se muestra como construir un trapecio, dadas las longitudes de sus lados, y

como calcular su área en función únicamente de estos. Las bases del trapecio son a = AB y c = D,

con AB mayor que CD, y los lados no paralelos b = BC y d = DA.

1. Vete marcando las casillas que aparecen, hasta completar la construcción. Reprodúcela en la

figura, utilizando regla y compás.

2. Marca la última casilla para ver como se calcula el área en función de los lados.

3. Expresa en una fórmula el área del trapecio SABCD en función solo de las longitudes a, b, c y d

de los lados. Repite el cálculo paso a paso si AB = 12, BC = 6, CD = 3 y DA = 8.

Notas:



19. Posiciones relativas de recta y circunferencia

Las posiciones relativas de una circunferencia y una recta dependen de la magnitud r del radio y

de la distancia d del centro a la recta. Desplaza el centro de la circunferencia, o modifica su radio y

observa las distintas situaciones que se presentan. También puedes mover la recta, desplazando

los puntos A y B por los que pasa.

1. Enumera las posiciones relativas esencialmente distintas pueden adoptar una circunferencia y una recta, indicando las relaciones entre el radio y la distancia en cada caso:

2. ¿Cuántos puntos en común tienen en cada una de esas posiciones?

Notas:



20. Posiciones relativas de 2 circunferencias

Las posiciones relativas de dos circunferencias dependen de la magnitud de sus radios, r1 y r2, y de la distancia d que separa sus centros. Desplaza el centro de la de menor radio hasta que sea totalmente interior a la otra y observa las distintas situaciones que se presentan.

1. Enumera las posiciones relativas esencialmente distintas pueden adoptar dos circunferencias, indicando las relaciones entre los radios y la distancia en cada caso:

2. ¿Cuantos puntos en común tienen en cada una de ellas?

3. ¿Y cuantas tangentes comunes?

4. ¿Que cambia si los radios de las dos circunferencias son iguales?

5. ¿En cuantos puntos se cortan cada una de las circunferencias con el eje radical en cada uno de los casos?

Notas:



21. Ángulos inscritos 1

1. ¿De que tipo es el triángulo AOC?

2. Por tanto, los ángulos en A y C son ....

3. ¿Cuanto mide entonces el ángulo AOC comparado con el CAO?

4. ¿Y comparado con el COB?

5. Es decir, el ángulo inscrito (CAB) mide .. .... que el ángulo central (COB) que abarca el

mismo arco (CB), al menos cuando uno de sus lados es un diámetro.

Notas:

Las actividades Angulos inscritos 1, Angulos inscritos 2 y Angulos inscritos 3 están

pensadas para realizarse en este orden y en una misma sesión.

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/AngulosInscritos1.html






Recordando la actividad anterior, indica:

1. ¿Cómo es el ángulo CAD comparado con el COD?

2. ¿Y el BAD comparado con el BOD?

3. Por tanto, el ángulo inscrito CAB mide .. .... que el ángulo central COB, también cuando

el centro de la circunferencia es interior al ángulo.

Notas:




Ahora el segmento AD es un diámetro, de manera que el centro O es exterior al ángulo.

1. Indica qué relación hay entre el ángulo BAC y los ángulos DAC y DAB: BAC __ DAC __ DAB

2. Igualmente entre el ángulo BOC y DOC y DOB: BOC ___ DOC ___ DOB

3. ¿Y entre el ángulo DAC y el ángulo DOC? DAC ____ DOC

4. Igualmente, para el ángulo DAB y el DOB: DAB ____ DOB

5. Entonces, ¿cómo son los ángulos BAC (inscrito) y BOC (central)? BAC ____ BOC

6. Por tanto, en cualquier caso, el .ángulo inscrito en la circunferencia mide ______ que el

ángulo central que abarca el mismo arco.

Notas:



24. Cuadrilátero inscrito

Vete marcando las casillas y, recordando las actividades anteriores, contesta:

1. ¿Qué relación hay entre los ángulos a y f?

2. ¿Y entro los ángulos c y e?

3. ¿Cuánto suman los ángulos e y f?

4. Entonces, cuánto los ángulos opuestos a y c suman ____

5. Es decir, los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito son _________

Notas:



25. Angulos inscritos 4

Sobre la circunferencia hay 12 puntos igualmente espaciados. Numéralos del 1 al 12 como las

horas de la esfera de un reloj de agujas, de manera que al punto A le corresponda el 3.

1. ¿Cuánto vale el ángulo central determinado por dos puntos consecutivos?

2. Entonces, ¿cuánto mide el ángulo AOB de la figura?

3. ¿Y el ACB?

4. ¿Qué ocurre con el ángulo ACB si desplazamos el punto C, con el deslizador rojo, sin rebasar

el punto B?

5. ¿Y si rebasa el punto B?

6. Para que el ángulo BCA sea recto, ¿cómo deben estar situados los puntos A y B?

7. ¿En que punto tendríamos que colocar B para que el ángulo ACB fuese de 60º?

8. ¿En que puntos podría estar entonces C?

Notas:



26. Ángulos semiinscritos

El ángulo semiinscrito en una circunferencia es el formado por una cuerda y la tangente en uno de

sus extremos. Vete marcando las sucesivas casillas y contestando las cuestiones:

1. ¿Por qué la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio?

2. En la figura solo se representa la tangente a partir de B en un sentido. La prolongación del

segmento BA‟ en sentido opuesto a partir de B, forma otro ángulo con el segmento BA. ¿Qué

relación tiene con el primero?

3. ¿De que tipo es el triángulo OBA y por qué?

4. ¿Por qué el radio perpendicular a la cuerda AB divide al triángulo OAB en dos partes iguales?

5. ¿Por qué son iguales los ángulos DOB y ABA‟?

6. Entonces, el ángulo semiinscrito en una circunferencia mide _________ que el ángulo central

que abarca el mismo arco.

7. Justifica por qué el ángulo A”BA mide también la mitad que el ángulo central que abarca el

mismo arco que él.

8. ¿Para qué valor del ángulo b serán iguales los ángulos AOB y A”BA?

Notas:



27. Ángulos interiores a una circunferencia

Vete marcando las sucesivas casillas, comprobando en la figura los textos respectivos, y contesta

las cuestiones:

1. ¿Cómo son los ángulos AIB y CIB?

2. ¿Y los ángulos i = AIB e i‟ = DIA?

3. ¿Por qué a + d = 180º - i‟?

4. En el triángulo ADI, el ángulo i es el ángulo exterior correspondiente al vértice I. ¿A qué es

igual siempre el ángulo exterior de un triángulo correspondiente a un vértice?

5. ¿Qué arco abarcan los ángulos a y o‟?

6. ¿Y los ángulos d y o?

7. Por tanto, el ángulo interior a una circunferencia es igual a ________________ de los ángulos

centrales que abarcan los mismos arcos.

8. Si el ángulo i fuese recto, ¿cómo serían los ángulos o y o‟?

Notas:

Al mover los puntos A, B, C y D, no deben cruzarse, pues ya no se cortarán los segmentos

AC y BD. Lo siguen haciendo las rectas, pero en el exterior de la circunferencia.

Los resultados se redondean a dos decimales, por lo que pueden no ser exactos.



28. Ángulos exteriores a una circunferencia

El ángulo exterior a una circunferencia es uno que tiene su vértice en el exterior de la

circunferencia y cuyos lados son secantes a la circunferencia. Vete marcando las sucesivas

casillas, comprobando en la figura los textos respectivos, y contesta las cuestiones:

1. ¿Por qué a + d = 180º - i‟?

2. En el triángulo ECA, el ángulo c es el ángulo exterior correspondiente al vértice C. ¿Un ángulo

de un triángulo siempre es igual a la diferencia entre el ángulo exterior y el interior de los otros

dos vértices?

3. ¿Qué arco abarcan los ángulos a y o‟?

4. ¿Y los ángulos c y o?

7. Por tanto, el ángulo exterior a una circunferencia es igual a ________________ de los ángulos

centrales que abarcan los mismos arcos.

8. Si el ángulo i fuese recto, ¿cómo serían los ángulos o y o‟?

Notas: Al mover los puntos A, B, C y D, las rectas AD y BC deben seguir cruzándose en el exterior

de la circunferencia. Además el punto E debe estar a la izquierda de la circunferencia, pues de lo

contrario algunos pasos intermedios son incorrectos.

Los resultados se redondean a dos decimales, por lo que pueden no ser exactos.



29. Ángulos interiores y exteriores en la circunferencia

Sobre la circunferencia hay 12 puntos igualmente espaciados. Numéralos del 1 al 12 como las

horas de la esfera de un reloj de agujas, con las 12 arriba.

1. ¿Cuánto vale el ángulo central determinado por dos puntos consecutivos?

2. ¿Cómo son, uno con respecto al otro, los dos ángulos indicados en la figura y por qué?

3. Señala cuanto miden, indicando como se calculan.

4. Mueve B hasta el punto 11, dejando los otros como están. ¿Cuanto miden ahora los ángulos y

como se calcula?

5. Mueve el punto B para que coincida con el A, sin mover ni C ni D. Indica cuanto mide el nuevo

ángulo y di como se calcula.

6. ¿Si hubiésemos movido el punto A para que coincidiese con el B, el resultado sería el mismo?

¿Por qué?

7. Coloca el punto A a las 10, el B a las 11, el D a las 12 y el C a las 4. ¿Cuánto miden ahora los

ángulos indicados? Indica como los calculas. Ten en cuenta que ahora no son ángulos

exteriores a la circunferencia.

Notas: El ángulo pedido puede resultar interior, exterior, inscrito o semiinscrito en la

circunferencia. En ocasiones es más sencillo calcular el suplementario del ángulo pedido. Si las

rectas AC y BD resultan ser paralelas, el resultado sigue siendo correcto, pero los alumnos

pueden tener dificultades para interpretarlo.



30. Cuadrilátero inscrito en 2 circunferencias secantes

El cuadrilátero ABCD tiene los vértices A y D en la circunferencia s, y los vértices B y C en la t. Los

puntos de intersección M y N de las circunferencias están en los lados AB y CD. Responde a las

cuestiones, justificando las respuestas. Utiliza para ello las pistas. Marca solo una de las

cuestiones a la vez.

1ª cuestión:

2ª cuestión:

Si los puntos A y B, o C y D, se cruzan, ¿se mantienen las respuestas anteriores?

Notas:

En esta actividad se trata de aplicar los conocimientos anteriores. Si alguno de los puntos

A, B, C ó D se sitúan entre M y N, la figura es más difícil de interpretar.



31. Tres circunferencias ¿concurrentes?

Mueve los puntos D, E y F por el interior de los respectivos lados, pero no los sitúes en los

vértices. ¿Se cortan siempre los tres círculos en un mismo punto?

Vete marcando las sucesivas casillas y responde a las cuestiones:

1. Observa que el punto H puede quedar dentro, en el perímetro o fuera del triángulo. Antes de

seguir, sitúa los puntos D, E y F de manera que H este dentro del triángulo.

2. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero este inscrito?

3. ¿Cómo son entonces los ángulos HDB y HFB del cuadrilátero HFDB?

4. ¿Y los ángulos HFA y HFB?

5. Por tanto, los ángulos HFA y HDB _________________



6. ¿A qué ángulo es igual el HEA y por qué?

7. Por tanto, los ángulos HEC y HDB _________________

8. Y los ángulos HEC y HDC ______________________

9. Por tanto, el cuadrilátero CDHE es _________ y las tres circunferencias _________

10. Aproxima los puntos D y E a B y A respectivamente, de manera que H quede fuera del

triángulo. ¿Qué debe modificarse de lo anterior? ¿La conclusión es la misma?

11. Si el punto H esta sobre un lado, el razonamiento anterior no sirve. ¿Puedes razonar que en

este caso también las tres circunferencias deben pasar por el mismo punto?

12. Dibuja en la figura los segmentos HD, HE y HF y marca de la misma forma los ángulos iguales.

Comprueba que los son con un transportador.

Notas:

Está es una actividad de aplicación de conocimientos anteriores. El punto E puede estar

fuera del triángulo, en cuyo caso el resultado sigue siendo cierto, pero es necesario modificar

ligeramente los argumentos.



32. Cuatro círculos iguales

Las cuatro circunferencias tienen el mismo radio, llamémosle „a‟.

1. Marca solo las dos primeras casillas y trata de ver para que ángulos las circunferencias p y r

son exteriores, tangentes o secantes.

2. Marca la tercera casilla y mueve los vértices. ¿Qué relación hay entre los ángulos del triángulo

y los ángulos en S?

3. Marca la cuarta casilla. ¿Cómo son los lados de los triángulos ABC y PQR? Sus ángulos son

entonces ____________



4. ¿Cuál es la distancia del punto S a los puntos P, Q y R?

5. Marca la quinta casilla. ¿Cómo son los ángulos PQR y PSR, y por qué? Ahora debe estar clara

la respuesta a la cuestión 2.

6. Mueve los vértices e indica cuando se dan las tres situaciones indicadas en la figura:

a)

b)

c)

Notas:

En esta actividad se intenta sobre todo que los alumnos descubran la respuesta moviendo

los vértices y observando lo que sucede. Posteriormente, con la ayuda de las pistas, pueden

justificar sus conclusiones.



33. Suma de los ángulos de un triangulo

1. Comprueba con un transportador el valor de los ángulos de la figura, y súmalos. Ten en cuenta

que están expresados en grados, con decimales, no en grados minutos y segundos.

2. Mueve los vértices a otras posiciones, de manera que alguno de los ángulos sea obtuso, y

vuelve a sumarlos: ___ + ___ + ___ = ___

3. Mueve el deslizador hacia la derecha. Los dos cuadriláteros que se mueven no cambian de

forma, solo de posición. ¿Qué movimiento realiza cada uno?

4. ¿Por qué el segmento CD es paralelo al AB?



5. ¿Por qué son iguales los ángulos ABC y BCD?

6. ¿Por qué son iguales los ángulos BAC y DCE?

7. Por tanto, los ángulos de un triángulo suman siempre ____

8. El punto interior del triángulo puede ser cualquiera, pero en este caso es uno muy concreto.

Mueve los vértices e intenta averiguar de que punto notable del triángulo se trata. También

puedes utilizar una regla en la figura de arriba.

Es el ____________, porque _______________________________________

Notas:

El punto interior escogido es el baricentro del triángulo. Los segmentos lo unen con los

puntos medios de los lados y, prolongándolos, se ve que pasan por el vértice opuesto.



34. Teorema de Pitágoras 1

El Teorema de Pitágoras dice en cualquier

triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos. En la figura se ha

construido un cuadrado a partir de cada lado

del triángulo rectángulo ABC. Mueve el punto

deslizante y observa como cambian las zonas

malva y amarilla, según t varia de 0 a 3. Vuelve

a situarlo a la izquierda (t = 0).

1. Cuando t varia de 0 a 1, los lados exteriores de los cuadrados malva y amarillo se desplazan a

lo largo de la recta que los contiene sin cambiar de longitud. ¿En que tipo de cuadrilátero se

transforman estos cuadrados?

2. ¿Cuánto valen la base y la altura de cada uno de ellos?

2. Por tanto, sus áreas ________________________________________

3. ¿Cómo son los dos triángulos en que está dividido el rectángulo superior, comparados con el

triángulo ABC?

4. Cuando t = 1, cuanto miden los lados verticales de los ___________ malva y amarillo?



5. Cuando t varía de 1 a 2, los ____________ malva y amarillo se trasladan verticalmente sin

cambiar de forma ni tamaño. ¿Qué distancia se mueven?

6. Cuando t = 2, como es el triángulo inferior comparado con el ABC?

7. Cuando t varía de 2 a 3, el lado común de los ____________ malva y amarillo se desplaza

verticalmente sin cambiar de longitud. ¿cómo cambian las áreas de estos __________ ?

8. Cuando t = 3, ambos cuadriláteros juntos forman un ___________ de lado ___

9. Por tanto, a2 ___ b2 ___ c2

Notas:

Es importante que los alumnos se convenzan de que las áreas malva y amarilla conservan

su área invariable en toda la transformación.

El deslizador también se mueve de forma más controlada con las teclas de dirección o “+” y

“-“. Para ello debe hacerse primero clic con el ratón sobre él.



35. Teorema de Pitágoras 2

El Teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo

rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados de los catetos: c² = a² + b². En

la figura tenemos cuatro triángulos rectángulos iguales,

de catetos a y b, situados en las esquinas de un

cuadrado de lado a + b.

Mueve el punto deslizante y compara las áreas blancas

al principio y al final.

Mueve el punto E para variar la forma del triángulo rectángulo. También puedes mover los puntos

A y B, para cambiar su tamaño y posición.

1. ¿Qué tipo de cuadrilátero forma el área blanca central? Explica por que y cual es su área.

2. Entonces, el cuadrado grande esta dividido inicialmente en ___ triángulos iguales y un

_______________ de lado ___ y área ____.

3. Cuando se mueve el punto deslizante hacia la derecha, dos de los triángulos giran. Pero

¿cambian de forma o de tamaño? Explica por qué.

4. Al final, ¿de que tipo son los dos cuadriláteros blancos, y cuanto valen sus lados y áreas?

5. Entonces, al final el cuadrado grande esta dividido en ___ triángulos ________ a los iniciales y

2 _________ de áreas ____ y ____.

6. Por tanto, como son las áreas del _________ blanco inicial y de los dos _________ blancos

finales?

7. Por tanto, a2 ___ b2 ___ c2.

Notas:



36. Caracterización de triángulos

1. El triángulo de la figura parece rectángulo. ¿Lo es realmente? Por qué?

2. Si los vértices están en puntos de la rejilla, ¿cómo puedes calcular las longitudes de los lados?

3. Mueve el punto B tres unidades hacia la izquierda y el punto C una hacia abajo, y calcula

entonces cuánto valen los cuadrados de las longitudes de cada lado.

4. Cuando el triángulo es acutángulo, a2 ___ b2 ___ c2.

5. Cuando el triángulo es obtusángulo, a2 ___ b2 ___ c2.



6. ¿Puedes situar los vértices B y C de manera que el triángulo sea rectángulo sin que el

punto B este en la misma línea horizontal que el A? Dibújalos en la figura de arriba y calcula los

cuadrados de las longitudes de sus lados.

Notas:

Para determinar si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo, se compara el

cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos. Pero en la plantilla se

supone que el lado mayor es el a. Si no es así, la respuesta puede ser incorrecta, si los ángulos B

o C llegan a ser rectos u obtusos.

Si los vértices ocupan puntos de la rejilla, loa alumnos pueden calcular fácilmente las

longitudes de los lados aplicando el teorema de Pitágoras. Si se arrastra un vértice cerca de un

punto de la rejilla, este lo “atrae”, por lo que es muy fácil situarlos sobre ella.



37. Medianas y Baricentro

Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del

lado opuesto. Se cortan las tres en el Baricentro G, que es el centro de gravedad del triángulo.

1. Fíjate en que la distancia del Baricentro G al vértice es el doble que al punto medio del lado

opuesto. Mueve el vértice B para ver como cambian estas distancias, pero no su razón, que

siempre es 2. Anota en el dibujo esa nueva posición de B y las seis distancias de G a los

vértices y a los puntos medios de los lados opuestos. Comprueba que el cociente siempre es

2. Ten en cuenta que en la pantalla, las distancias están redondeadas a dos decimales.

2. ¿Cómo serán las áreas de los dos triángulos en que cada mediana divide al triángulo? ¿Por

qué?

3. ¿Y las de los tres triángulos formados por el baricentro y dos de los vértices?



4. Finalmente, ¿cómo son las áreas de los seis triángulos en que las tres medianas dividen al

triángulo ABC?

5. ¿El Baricentro siempre es interior al triángulo?

Nota: Para comparar las áreas de dos triángulos, puedes comparar sus base y sus alturas.

Notas:

Esta actividad se da por hecho que las tres medianas se cortan en un punto. En la

siguiente, se trata de que el alumno se convenza de ello. Pueden utilizarse en orden inverso, a

criterio del docente.

Para comparar las áreas, los alumnos deben relacionar bases y alturas de los triángulos

pequeños entre si y con el ABC. Para comparar las alturas deben utilizar proporcionalidad de

triángulos, sabiendo que el baricentro divide a la mediana en la proporción 2:1.



38. Concurrencia de las medianas

1. El lado AB del triángulo de la figura es muy fácil dividirlo en tres partes iguales. Hazlo y a

continuación, utilizando los instrumentos de dibujo, divide los lados AC y BC también en tres

partes iguales.

2. ¿Los triángulos pequeños porque son iguales entre si y semejantes al ABC?

3. ¿Por qué las rectas que pasan por cada vértice y por G también pasan por el punto medio del

lado opuesto?

4. ¿De que rectas se trata entonces?

5. Que proporción de la mediana representa la distancia entre el baricentro G y el punto medio

del lado opuesto?

Notas:

Para justificar sus respuestas los alumnos deben utilizar el teorema de Thales y la

semejanza de triángulos. Después de realizar la actividad debe quedar claro que las tres

medianas siempre se cortan en un punto, y que este las divide en la proporción 2:1.



39. Mediatrices y Circuncentro

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por su punto

medio (recuerda la definición de mediatriz de un segmento). Las tres se cortan en el Circuncentro

M.

1. ¿Por qué deben cortarse las tres en un mismo punto?

2. ¿Por qué la circunferencia que tiene centro en M y pasa por un vértice, pasa también por los

otros dos?

3. Cambia la posición del vértice B y fíjate en los valores de los ángulos y la posición del

circuncentro. ¿Siempre es interior al triángulo?

4. ¿Cuándo es interior al triángulo?

5. ¿Cuándo es exterior al triángulo?

6. Cuando ocurre esto último, ¿en cuál de los tres segmentos circulares que determinan los lados

del triángulo se encuentra el circuncentro? Recuerda que un segmento circular es el área

limitada por una la circunferencia y una cuerda.

7. ¿Cuándo está en el perímetro del triángulo?

8. Cuando ocurre esto último, ¿exactamente dónde se encuentra el circuncentro?

9. Relaciona lo anterior con lo que sabes sobre los ángulos inscritos en una circunferencia.

Notas: En la siguiente actividad se insiste más en por qué deben cortarse las trs mediatrices en

un punto. Pueden utilizarse en orden inverso.



40. Concurrencia de las mediatrices

1. Marca la casilla correspondiente a la mediatriz del lado BC, mBC. ¿Por qué las circunferencias

que pasan por B y C tienen que tener sus centros en esta mediatriz?

2. Mueve el centro A‟ de la circunferencia hasta conseguir que pase por el vértice A. Por tres

puntos que no están en línea recta, como A, B y C, cuantas circunferencias pasan?

3. Marca la casilla de la mediatriz mAC, correspondiente al vértice B. Donde habrá que situar el

punto B‟ para que la nueva circunferencia pase por el vértice B?

4. Como las circunferencias que pasan por A y B tienen su centro en la tercera mediatriz, mAB,

esta debe pasar también por el punto en que se cortan las otras dos.

Notas:



41. Alturas y Ortocentro

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por el vértice

opuesto. Se cortan las tres en el Ortocentro (H).

Mueve los vértices y observa los valores de los ángulos y la posición del ortocentro H.

1. ¿El ortocentro siempre se encuentra en el interior del triángulo?

2. ¿Cuándo se encuentra en el interior del triángulo?

3. ¿Cuándo se encuentra en el exterior del triángulo?

4. Cuando se encuentra en el perímetro del triángulo?



5. Cuando ocurre esto último, ¿exactamente donde se encuentra el ortocentro?

Marca la casilla „Ampliación‟ y las sucesivas, para contestar las cuestiones siguientes.

Previamente sitúa los vértices de manera que el triángulo sea acutángulo.

6. ¿Por qué son iguales los ángulos <d y <c, de un lado, y <e y <a de otro?

7. ¿Cómo son los ángulos <f y <b? _____ ¿Y los ángulos <g y <b? ______

9. ¿Por qué debe estar el punto Q en la circunferencia circunscrita?

10. Por tanto, los simétricos del ortocentro respecto de cada lado se hallan ___________

11. ¿Sabrías decir si el área de la circunferencia circunscrita es siempre más o menos que el doble

de la del triángulo?

Notas:

En la actividad siguiente se trata la concurrencia de las tres alturas, que aquí se da por

supuesta. Pueden utilizarse en orden inverso.

La ampliación, que los simétricos del ortocentro respecto de los lados se hallan en la

circunferencia circunscrita, no se trata habitualmente en el currículo, aunque es un resultado

asequible que obliga a utilizar conocimientos anteriores. Si el triángulo es obtusángulo, el

resultado se mantiene, pero es más difícil de interpretar pues, de una parte, el ortocentro se

encuentra en el exterior de la circunferencia circunscrita y de otra, las rflexiones se producen

sobre las prolongaciones de los lados. Todo ello hace más difícil la argumentación.



42. Concurrencia de las alturas

Para ver que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto, el ortocentro, vete marcando

las casillas, y contesta a las preguntas:

1. ¿Cómo son los lados del triángulo antimedial comparados con los del ABC?

2. Por tanto, los vértices del triángulo ABC son ________________ de los lados del triángulo

antimedial DEF.

3. Entonces, las mediatrices del triángulo DEF, ¿qué son en el triángulo ABC?

4. ¿Las mediatrices del triángulo DEF deben cortarse en un punto?



5. Por tanto, las alturas del triángulo ABC _______________

6. Es decir, el __________ del triángulo ABC es el __________ de su triángulo antimedial (DEF).

7. ¿Cambia algo de lo anterior si el triángulo es obtusángulo o rectángulo?

Notas:

Se deduce aquí la concurrencia de las alturas a partir de la concurrencia, más sencilla, de

las mediatrices del triángulo “antimedial” del dado. El triángulo antimedial esta determinada por

las rectas paralelas a los lados que pasan por los vértices. Es decir, el triángulo dado es el

triángulo medial, sus vértices son los puntos medios de los lados, de su triángulo antimedial.

Aunque la plantilla funciona correctamente con triángulos obtusángulos, es mejor empezar

con uno acutángulo.



43. Bisectrices e Incentro

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a cada ángulo en dos partes iguales.

Recuerda la definición de bisectriz de un ángulo. Las tres se cortan en el Incentro.

1. ¿Cómo son las distancias de un punto de la bisectriz a los lados de un ángulo?

2. Entonces, si un punto se halla en dos de las bisectrices, ¿cómo son sus distancias a los tres

lados del ángulo?

3. Por tanto, el punto en que se cortan dos de las bisectrices _________ en la tercera bisectriz.

Se trata del Incentro.

4. El Incentro se halla entonces a la misma distancia r de los tres lados. Una circunferencia con

centro en el incentro y esa distancia r como radio, será ______ a los tres lados del triángulo.

Se trata de la circunferencia inscrita en el triángulo.



5. ¿Puede haber una circunferencia mayor que la inscrita que este totalmente contenida en el

triángulo?

6. ¿El Incentro siempre está en el interior del triángulo?

7. Si unimos el incentro con los tres vértices, el triángulo queda descompuesto en tres con el

vértice común I. ¿Cuánto valen las alturas de estos triángulos, considerando los lados del

triángulo ABC como bases?

8. ¿Como calcularías el área del triángulo si conoces el valor de r y de los tres lados?

Notas:

En la siguiente actividad se insiste más en la concurrencia de las tres bisectrices. Pueden

utilizarse en orden inverso.

Aquí se supone que el alumno conoce que la distancia de un punto a una recta es la

mínima distancia a cualquier punto de la recta, y que se alcanza sobre la perpendicular a la recta.

También que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio.



44. Concurrencia de las bisectrices

1. Marca la casilla correspondiente a la bisectriz del ángulo A, bA. ¿Por qué las circunferencias

tangentes a los lados AB y AC tienen que tener sus centros en esta bisectriz?

2. Mueve el centro A‟ de la circunferencia hasta conseguir que sea tangente también al lado BC.

Entonces, ¿cómo será la distancia de A‟ a los tres lados?

3. Marca la casilla de la bisectriz bB, correspondiente al ángulo B. ¿Donde habrá que situar el

punto B‟ para que la nueva circunferencia sea tangente al lado AC?

4. Por tanto, la tercera bisectriz bC debe pasar por el mismo punto, que será el incentro del

triángulo.



5. Si el triángulo tiene dos ángulos similares y el otro muy pequeño, cerca de qué se encuentra el

incentro?

6. ¿Y si tiene un ángulo muy grande, de casi 180º, donde se situará el incentro?

7. ¿Dirías que el incentro es un buen “centro” para cualquier triángulo?

8. De los cuatro puntos notables principales del triángulo (Baricentro, Ortocentro, Circuncentro y

Ortocentro, ¿cuál dirías que es más adecuado como su „centro‟?

Notas:

Aquí se supone que el alumno conoce que la distancia de un punto a una recta es la

mínima distancia a cualquier punto de la recta, y que se alcanza sobre la perpendicular a la recta.

También que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio.



45. Recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el circuncentro y ortocentro.

Marca las sucesivas casillas y contesta a las preguntas, justificándolas.

1. ¿Cómo son los lados del triángulo antimedial, comparados con los del ABC?

2. ¿Están alineados los vértices de ambos triángulos con los puntos medios de los lados? Los

puntos A, P y D, por ejemplo.

3. ¿Cómo son las medianas de ambos triángulos?

4. ¿Y los baricentros?



5. ¿Cómo es la distancia GD, comparada con la AG? (y GE con BG, y GF con CG)

6. El circuncentro del triángulo antimedial, ¿qué es en relación con el triángulo ABC?

7. Entonces, ¿el ortocentro H y el circuncentro M están alineados con el baricentro G?

8. ¿Cómo son las distancias MG y GH?

9. ¿Cuál será la recta de Euler de un triángulo isósceles?

10. ¿Hay algún tipo de triángulo que no tiene recta de Euler?

11. Dibuja el triángulo antimedial del ABC, y el ortocentro, circuncentro y baricentro del triángulo

ABC, asi como su recta de Euler.

Notas:

Esta actividad es claramente de ampliación, aunque la recta de Euler suele mencionarse en

la mayoría de los textos. Por otra parte, la alineación de Ortocentro, Baricentro y Circuncentro y la

relación entre sus distancias es importante para entender muchas cuestiones de la geometría del

triángulo.



46. Circunferencia de los 9 puntos o de Feuerbach

La Circunferencia de los nueve puntos, o de Feuerbach, de un triángulo pasa por los tres puntos

medios de los lados, los tres pies de las alturas y los tres puntos medios entre el ortocentro H y los

tres vértices. Marca las tres casillas para ver estos puntos y la circunferencia que los contiene.

Marca después las sucesivas casillas y contesta razonadamente a las preguntas.

1. ¿Por qué son iguales y paralelos los segmentos B1A1 y A3B3?

2. ¿Por qué CH es perpendicular a AB?

3. ¿Por qué los cuatro vértices de un rectángulo están en una misma circunferencia de centro el

punto en que se cortan sus diagonales?

4. ¿Por qué es recto el ángulo B1B2B3?

5. ¿Por qué deben estar los nueve puntos en la misma circunferencia?

6. ¿Por qué HN es la mitad que HM y los tres puntos están alineados?



7. ¿Cómo son los triángulos formados por el ortocentro y dos de los tres vértices de un triángulo

acutángulo, cómo por ejemplo el ABH?

8. ¿Cuál es el ortocentro del triángulo ABH?

9. ¿Qué ocurre entonces si llevas el punto C hasta la posición que ocupaba H?.

10. ¿Cuáles son entonces las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos ABH, BCH y

CAH?

11. Utilizando los instrumentos de dibujo, completa la figura de arriba con las alturas, el ortocentro,

el circuncentro y la circunferencia de Feuerbach. Marca los puntos que están en ésta y su

centro.

Notas:

Esta actividad es claramente de ampliación; la circunferencia de los nueve puntos no se

tratar casi nunca en los textos escolares. Pero es sin duda un resultado curioso y a la vez,

bastante asequible. Para su comprensión son necesarios solo resultados bien conocidos por los

alumnos.



47. Puntos, rectas, y circunferencias notables en el triángulo

En esta pantalla puedes ver todos los puntos notables, rectas y circun-ferencias asociadas al

triángulo que has visto anteriormente.

Son muchos para verlos todos a la vez, así que vete marcando o desmar-cando casillas, según

necesites mostrar u ocultar los distintos elementos.

1. En la figura, une con flechas los nombres de las rectas (Medianas, ...) con los puntos en que se

cortan (Ortocentro, ...).

2. ¿Cuál es la circunferencia circunscrita y cuál es su centro?

3. ¿Cuál es la circunferencia inscrita y cuál es su centro?

4. ¿Qué puntos se hallan en la recta de Euler?

5. ¿Cómo son las distancias del baricentro al ortocentro y al circuncentro?

6. ¿Donde se halla situado exactamente el centro de la circunferencia de los 9 puntos?



7. Describe los puntos que se hallan en la circunferencia de los nueve puntos.

8. ¿Qué posición relativa tienen la circunferencia de los 9 puntos y la inscrita?

9. ¿Qué son las circunferencias exinscritas?

10. ¿Qué posición relativa tienen la circunferencia de los 9 puntos y las exinscritas?

11. ¿Cuál es la recta de Euler si el triángulo es isósceles?

12. Indica todo lo que ocurre si el triángulo es equilátero.

13. ¿Cómo son las circunferencias circunscrita y de los 9 puntos si el triángulo es acutángulo,

rectángulo u obtusángulo?

14. ¿Qué puntos notables están fuera del triángulo cuando es obtusángulo?

15. ¿Dónde están esos puntos cuando es rectángulo?

Notas:

En esta actividad es una especie de compendio. En ella pueden verse todos los puntos,

rectas y circunferencias asociados a un triángulo vistos anteriormente. Permite visualizar las

relaciones que hay entre ellos, por lo que es un buen colofón al estudio de la geometría del

triángulo.

La batería de preguntas presentada es un tanto exhaustiva, pero como en todas las

actividades aquí presentadas, es solo un ejemplo. Pueden obviarse, por ejemplo, todo lo

relacionado con elementos menos básicos, como las circunferencias exinscritas, la de los nueve

puntos y la recta de Euler.



48. Segmentos paralelos a los lados

Contesta razonadamente a las preguntas. Puedes mover el punto D por el interior del triángulo,

así como los tres vértices, y usar las herramientas para medir ángulos, distancias o áreas.

1. ¿De que tipo son los cuadriláteros AIDH, BEDJ y CGDF?

2. ¿Cómo son los triángulos DEF, DGH y DIJ comparados con el ABC?

3. ¿Cuánto suman los perímetros de los tres triángulos DEF, DGH y DIJ?

Haz coincidir ahora el punto D con el incentro K.



4. ¿Cómo son ahora los cuadriláteros?

5. ¿Cuánto vale el perímetro de cada triángulo?

Haz coincidir ahora el punto D con el baricentro O.

6. ¿Cuánto valen ahora las áreas de los cuadriláteros AIDH, BEDJ y CGDF comparadas con la

del triángulo ABC?

7. ¿Y las de los triángulos DEF, DGH y DIJ?

Notas:

Esta es una situación problemática sencilla en la que pueden ponerse en juego los

conocimientos de los alumnos. Para forzar a que el punto D coincida con el incentro K o con el

circuncentro O, puede introducirse en la línea de entrada “D=K” o “D=O”.

Pueden utilizarse las herramientas de la barra superior para medir, angulos, distancias o

superficies.

Para los ángulos debe marcarse, en este orden, un punto en un lado, el vértice y un punto en el

otro lado, siempre en sentido positivo, contrario al de las agujas del reloj.

Para medir distancias, basta señalar los puntos.

En cuanto a las áreas, basta hacer clic en el interior del polígono deseado y, si hay más de uno

superpuesto, escoger el que interesa del menú emergente.

Después de utilizar cualquiera de estas herramientas, debe hacerse clic en la primera, para que el

ratón vuelva a funcionar para señalar y desplazar objetos.



Mtro. Raymundo Hernández David

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MANUAL BÁSICO DE GEOGEBRA