serie: competencias bsicas

Notas de Razonamiento Matemtico

Versin 1.1 - Agosto 2010

Alberto LomelMarisela Castillo

Jorge HerreraFelipe RamrezEnrique Comer

Instituto Tecnolgico de Tijuana

Documento de apoyo para estudiantes y maestros del Semestre Cero o Prope-dutico en el Instituto Tecnolgico de Tijuana.

Esta obra se publica bajo una licencia de Creative Commons(ver: http://creativecommons.org/licences/by-nc-nd/2.5/). Bsicamente, ustedpuede distribuir y comunicar pblicamente la obra, siempre que se cumpla con(1) dar crdito al autor(es) de la obra, (2) no la utilice para fines comerciales y (3)no la altere, transforme o genere una obra derivada de ella. Adems, al utilizar odistribuir la obra, debe especificar claramente los trminos de esta licencia. Estascondiciones pueden modificarse con permiso escrito del autor(es).

ndice

1. Pensamiento Matemtico 61.1. Cultura matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Competencias matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Fluidez y grado de dificultad de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Escritura y visualizacin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1. Graficacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2. GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Nmeros Reales 132.1. Propiedades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Sintxis y semntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Sustitucin algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Conceptos matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Resta y divisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2. Expresin algebraica y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.3. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.4. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. lgebra 263.1. Operaciones algebraicas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4. Propiedades de la igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6. Ecuaciones cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Representacin grfica de funciones 384.1. Funcin Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1. Graficacin de la funcin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2. Dominio y Rango de la Funcin Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2. Funcin Cuadrtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.1. Dominio y Rango de la Funcin Cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3. Funcin Raz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.1. Raz Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.2. Funcin Raz Cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.3. Dominio y Rango de la Funcin Raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4. Funcin Racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.1. Funcin Racional Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.2. Funcin Racional Cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4.3. Dominio y Rango de las funciones Racionales. . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5. Funcin Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6. Funcin Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.7. Funciones Trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5. Lgica y Razonamiento 525.1. Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2. Deduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3. Comprobacin o justificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4. Estrategias de prueba o demostracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4.1. Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4.2. Contrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4.3. Anlisis regresivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4.4. Negacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.5. Mtodo exhaustivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6. Resolucin de Problemas 576.1. Diagramas y modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2. Movimiento lineal con velocidad constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3. Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Referencias 63

Presentacin para el maestro

El curso de Razonamiento Matemtico viene a ser un elemento central en el desarrollodel programa de estudios, debido a la importancia de las matemticas en las carreras deIngeniera. Este curso se relaciona con los otros cursos de Competencias Bsicas y se apoyafuertemente en ellos para lograr una formacin integral en el individuo. Por ejemplo paralos temas de Sintaxis y Funciones se apoya en Competencia Digital y para el desarrollode evidencias y el Portafolio en Aprendizaje Autnomo. Se interacta y se actualizan loscontenidos de los cursos para ver si estn cumpliendo la funcin integradora.

El curso est centrado en el aprendizaje por parte del alumno de los aspectos bsicos delas matemticas y un aspecto caracterstico del curso es el de no tratar de "ensear mucho",esto es: que el alumno aprenda unos cuantos conceptos bsicos, pero que los domine y noque vea una cantidad extensa de temas sin dedicarle el tiempo suficiente para el anlisis yla reflexin.

El alumno tiene muchos conocimientos previos, sin embargo muchos de ellos son aisla-dos y a veces incoherentes. El principal objetivo del curso es una labor integradora de todolo que ha aprendido en la Secundaria y Preparatoria, quiz desde Primaria.

Por ejemplo un porcentaje muy alto de alumnos tiene conocimientos como: (1). El ordende los factores no altera el producto, (2). Las leyes de los signos, (3). La (llamada) frmulageneral y (4). La ley de la tortilla. Sin embargo muchos conocen slamente el nombre y nopueden utilizarlo, han estado acostumbrados a ver una frmula o un procedimiento y adesarrollar 20 problemas iguales para reforzarlo. Este conocimiento puede ser til si lograatarlo a algo que ya est dominado y que sea parte fundamental de su competencia y noslo un conocimiento aislado.

El alumno cuando llega de preparatoria tiene la vaga idea de que hay alrededor de 40 50 propiedades de lgebra que debe saber, pero no sabe cules y muchas no las sabe utilizar.Nuestro objetivo es que se aprenda unas cuantas bien y que cada conocimiento nuevo quevaya adquiriendo lo ate a las propiedades bsicas que ya tiene para reforzar su competencia,esta competencia matemtica se va desarrollando da a da con el reforzamiento y la prctica,la reflexin y la conexin de los conocimientos que se van estudiando.

Las principales universidades del mundo, declaran que un alumno necesita alrededorde 100 competencias para poder cursar un curso de Clculo de Ingeniera. Por ejemplo laUniversidad Simon Fraser de Canad, recomienda 110 [4]. Lo ideal es que el alumno tengaestas competencias, pero en el Semestre Cero, nos vamos a enfocar a que aprenda unascuntas, y lo ms importante a que est capacitado para poder ir aprendiendo (reforzando)o mejorando su dominio de las dems. Todo esto centrado en: sintaxis, lgebra de nmerosreales, lgica, variacin y funciones.

Especficamente nos enfocamos a doce competencias: dos con respecto a la actitud hacialas matemticas, ocho de carcter algortmico, una orientada a la argumentacin lgica yuna ms, que viene a ser la culminacin y la suma de toda la preparacin matemtica y quees la capacidad de enfrentar, plantear, analizar y resolver problemas.

Finalmente la forma de abordar los temas es en base al concepto de Fluidez, que consisteen mantener al alumno dentro de la zona que lo motiva a seguir mejorando su desempeoacadmico mediante retos acordes a sus capacidades, esto mediante actividades con ejerci-cios escalonados de acuerdo al grado de dificultad donde el alumno puede ir comprobandosu nivel de dominio para cada competencia especfica.

5

1 PENSAMIENTO MATEMTICO

Presentacin para el alumno

Durante toda su preparacin escolar hasta el momento, ha llevado cursos de matemti-cas. En Ingeniera es fundamental el conocimiento matemtico y el presente curso es parareflexionar sobre los conocimientos adquiridos, para integrar los diferentes temas que sehan aprendido y para subsanar los aspectos bsicos que no se hayan aprendido bien.

Debemos entender que el presente curso no es para repasar o volver a ver los temas yacubiertos en cursos de secundaria o preparatoria; es para darse cuenta de la importanciade tener el conocimiento estructurado, para conectar los conocimientos adquiridos con losfundamentos, y para reflexionar sobre los conceptos. Por lo tanto, cada uno de los temasy ejemplo que se cubran en el curso debern integrarse a los conceptos bsicos y formarde una manera slida la competencia matemtica que se va enriqueciendo da a da con elanlisis, la reflexin y la conexin de las ideas.

Otro aspecto central en la preparacin matemtica es la habilidad para resolver pro-blemas; de nada servira tener una preparacin muy slida en conceptos matemticos y sermuy eficiente en el desarrollo de procedimientos y algoritmos, si no se pudiera aplicar esto ala resolucin de problemas. Debemos entender que un ingeniero debe enfrentar diariamentediversos retos y debe estar capacidado para poder resolver las diferentes situaciones que sele presenten, que nunca van a ser exactamente las mismas; por lo tanto, la CompetenciaMatemtica tiene centrada su formacin principalmente en la solucin de problemas. Aquse presentan diferentes puntos de vista de expertos en el tema y diversos modelos para queel estudiante vaya formando su propio esquema que a fin de cuentas le ayude a moldear supropia visin para enfrentar los retos diarios.

Como complemento adems de lo anterior, se utilizan diversas herramientas que se com-plemetan con la Competencia Digital y la de Aprendizaje Autnomo, que vienen a ser unapoyo muy importante para crear la atmsfera necesaria requerida para el aprendizaje. En-tendiendo por Atmsfera: el aula, el maestro, los compaeros, la computadora, las redessociales, los otros cursos y en el general el entorno que directa o indirectamente afecta laformacin diaria de la Competencia Matemtica.

Es importante finalmente que se entienda que la preparacin matemtica es fundamen-talmente responsabilidad de cada aprendedor1 y que el maestro y el curso solamente sonun apoyo para brindar las condiciones ptimas en que se pueda construir el aprendizaje ydesarrollar la competencia deseada, pero que sin la voluntad y el esfuerzo diario no se lo-gra. Le deseamos mucho xito en la construccin de la estructura matemtica que le ayudea poder cursar con xito su carrera y esperamos que este curso sea un apoyo para alcanzarsus objetivos en la vida.

1. Pensamiento Matemtico

Pensar matemticamente es un atributo cada vez ms importante para los profesionalesde todas las carreras. John Mason [3] nos presenta la necesidad de crear y mantener unaatmsfera apropiada para desarrollarlo:

1Utilizamos aprendedor ya que las palabras educando y estudiante no abarcan el carcter dinmico, laresponsabilidad e intencionalidad de la empresa de aprender. Como referencia, ver el uso del trmino por elProf. Robert J. Marzano en [2].

6

1 PENSAMIENTO MATEMTICO

Ningn pensamiento ocurre en el vaco. La atmsfera cognitiva y emocionalafecta tu pensamiento, ests consciente de ello o no. Para ser un pensador matemti-co efectivo necesitas confianza para intentar tus nuevas ideas y tratar sensible-mente con tus estados emocionales. La base de la confianza descanza en experi-mentar el poder de tu pensamiento para incrementar tu comprensin. Solamentela experiencia personal reflexiva, puede lograr esto2.

Esta reflexin es precisamente la que se busca desarrollar en algunas de las estrategiasactuales de aprendizaje basado en competencias (p. ej. el portafolio), como se ver en laseccin 1.2.

La atmsfera requerida para desarrollar el pensamiento matemtico requiere de tresprocesos bsicos: (1) indagacin o cuestionamiento, (2) enfrentar desafos y (3) reflexionar.La persona que se desarrolla intelectual y emocionalmente en dicha atmsfera, requiere unaactitud de poder hacer3:, una actitud que dice:

Puedo Cuestionar: Identificar situaciones o problemas a investigar, identificar mis hipte-sis, negociar el significado de los trminos

Puedo aceptar desafos: hacer conjeturas, buscar argumentos que las justifiquen o lasinvaliden, revisar, modificar, alterar

Puedo reflexionar: ser autocrtico, esperar y evaluar diferentes enfoques, hacer ajustes,re-negociar, cambiar de direccin

A diferencia de lo que se percibe en ocasiones al leer un libro de texto de matemticas, dondea cada paso se avanza de manera segura y bien argumentada, la creacin de las matemticasy la solucin de problemas propios de esta materia, no avanzan de manera secuencial ynica, sino que lo hacen en base a exploraciones e intuiciones que posteriormente cristalizanen una solucin elegante o al menos bien estructurada y justificada donde cada smbolo quese escribe contribuye directamente a la solucin. Dichas intuiciones slo se desarrollan conla interaccin dedicada e intensional del aprendedor con los objetos y procesos matemticos,desde los ms sencillos y concretos, hasta los ms complejos y abstractos.

2Ver [3] p. 1523Ver [3] p. 153

7

1.1 Cultura matemtica 1 PENSAMIENTO MATEMTICO

COMPETENCIA DE LA UNIDADAdquiere el compromiso para desarrollar su Competencia Matemtica y se integraa la atmsfera apropiada para el desarrollo del aprendizaje.COMPETENCIAS ESPECFICASEl alumno es responsable de su aprendizaje. Analiza y reflexiona sobre las compe-tencias matemticas que debe desarrollar. Describe, evala y selecciona los ambi-entes y las herramientas para realizar su aprendizaje (fluidez, GeoGebra, Portafolio,etc.)ACTIVIDADESSe resuelve un problema donde se pone en prctica los aspectos bsicos de laCultura Matemtica.Hacer una prctica en Geogebra.Escribir en su sitio web las reflexiones de la semana.EVALUACINPrctica de laboratorio: (En cordinacin con el curso de Competencia Digital)Creacin de un sitio web: En Google/Site (o equivalente), se crea un sitio personaldel curso.Elaborar un ensayo: Qu espera del curso, cmo se relaciona este curso con otrosy cmo puede utilizar los conocimientos de los otros cursos para mejorar su com-petencia matemtica.

1.1. Cultura matemtica

Actualmente disfrutamos de una gran riqueza matemtica. Tanto las matemticas lla-madas puras (p. ej. teora de nmeros y lgebra abstracta) como las matemticas aplicadas(p. ej. mtodos numricos, fsica-matemtica) se han desarrollado gracias a una culturapropia que promueve sobre todo el descubrimiento de proposiciones verdaderas y su de-mostracin. Alan J. Bishop [1] describe de manera sucinta, los componentes4 de dicha cul-tura. La siguiente Tabla enfatiza los valores de cada componente:

Componente valoressimblico racionalidad y objetismo (reificacin)

social control (prediccin) y progresocultural apertura y misterio

Cuadro 1: Componentes de la cultura matemtica y sus valores

1.2. Competencias matemticas

Las competencias en Matemticas son muy generales, y como se mencion en la seccinanterior a lo largo de la carrera se deben de ir adquiriendo y reforzando. Especficamentepara el curso de clculo se requieren conocimientos muy concretos; una buena referenciaWeb es "Calculus Readiness Assessment Topics" de la Universidad Simon Fraser de Canad(ms detalles en [4])

4ver [1] p.131

8

1 PENSAMIENTO MATEMTICO 1.3 Fluidez y grado de dificultad de los problemas

Para el curso del Semestre Cero se establecieron 12 competencias, con las cuales se cubrenvarias de las 110 que recomienda la SFU de Canad y las dems el alumno podr desarrol-larlas o reforzarlas utilizando las habilidades que aqu se vern. A continuacin se presentanlas Competencias de Curso de Razonamiento Matemtico.

El alumno que cursa el Semestre Cero:

1. Es responsable de su aprendizaje.2. Est dispuesto a enfrentar retos matemticos.3. Utiliza (adecuada/ formalmente) los nmeros reales.4. Realiza operaciones con fracciones.5. Factoriza expresiones algebraicas.6. Utiliza adecuadamente la Sintaxis y Semntica de las expresiones.7. Utiliza las propiedades de la igualdad para resolver ecuaciones.8. Justifica sus procedimientos.9. Conoce y aplica el Teorema de Pitgoras.10. Conoce, relaciona y aplica el Crculo Trigonomtrico.11.Reconoce y realiza la Grfica de funciones bsicas.12. Resuelve problemas de matemticas.

Estas 12 competencias se van adquiriendo y reforzando mediante la prctica en cadauno de los temas del curso a travs del semestre y sirven como base para poder adquirir lapreparacin necesaria en Matemticas para ingresar al primer semestre de una carrera deIngeniera.

1.3. Fluidez y grado de dificultad de los problemas

El desempeo y desarrollo intelectual dependen en gran medida del grado de dificultadde los problemas a que nos enfrentamos. Segn propuso el Dr. Mihaly Csikszentmihalyi,existe una zona de fluidez en el cuadrante Capacidades .vs. Retos de forma tal que si unapersona enfrenta regularmente retos a la medida de sus capacidades, entonces dicha personatiene un mejor desarrollo y a la vez obtiene una mayor satisfaccin, que una persona que seenfrenta a retos ya sea menores o mayores a sus capacidades. Este concepto aplicado al reade educacin matemtica ha sido estudiado por Gaye Williams [5]. Para mayor informacinrecomendamos visitar la pgina de Aprendizaje, Fluir y Felicidad en el proyecto Cemati.org.

1.4. Escritura y visualizacin matemtica

1.4.1. Graficacin

Entendemos por graficar dentro del contexto de las matemticas la accin de representaren el plano (dos dimensiones), o en el espacio (tres dimensiones) un conjunto de parejas otripletas ordenadas de valores.

Estas representaciones en general obedecen a reglas que se definen con el concepto defuncin, mismo que se explica en temas posteriores.

En este punto lo que nos interesa es comprender el concepto de grfica y por ende el degraficar.

9

1.4 Escritura y visualizacin matemtica 1 PENSAMIENTO MATEMTICO

Un ejemplo de una grfica es una recta, que en su caso ms simple corresponde ya sea ala recta horizontal y = c o la recta vertical x = c.

Cmo podemos entonces entender lo mencionado anteriormiente?

Para contestar esta pregunta podemos hacer uso de algunas herramientas de cmputo,que nos permiten visualizar lo que las expresiones anteriores significan.

En la siguiente seccin presentamos una excelente herramienta que usaremos con fre-cuencia.

1.4.2. GeoGebra

GeoGebra [6] es un software matemtico que nos ayuda a obtener entre otras cosas, gr-ficas de funciones. Lo primero que tenemos que hacer es instalarlo en nuestra computadora.Para esto es necesario ir al sitio http://www.geogebra.org/cms/. En este sitio se cuenta condos opciones: una que hace referencia a un programa instalador que se ubica en el sitio de-nominado WebStar, la otra (que es la recomendada) descarga el archivo de instalacin, queal terminar de descargarse se ejecuta con doble click, se siguen las instrucciones por omisinsugeridas y listo.

Una vez terminada la instalacin nos encontramos con la siguiente ventana que muestrala pantalla de inicio (a la que hemos agregado un ejemplo).

10

1 PENSAMIENTO MATEMTICO 1.4 Escritura y visualizacin matemtica

Figure 1: Ventana Principal

Esta pantalla consta de cuatro regiones.Una corresponde a la del Menu Principal con las siguientes opciones: Archivo, Edita,

Vista, etc.

Figure 2: Men de GeoGebra

El rea de trabajo se divide en dos ventanas: la grfica, que es la ventana en dondese representan los distintos objetos (puntos, rectas, circunferencias, etc) introducidos en el

11

1.4 Escritura y visualizacin matemtica 1 PENSAMIENTO MATEMTICO

campo de entrada. Ver la siguiente figura.

Figure 3: Ventana grfica

y la algebraica, donde queda el registro de los objetos pero algebraicamente. Es decir sise grafica una recta, en la ventana algebraica se observa su ecuacin. Veamos el caso de lasfiguras. Se observa una funcin raz y =

x, dos puntos en ella A y C. Por estos puntos se

hace pasar una recta secante.

Figura 4: Ventana algebraica

En la ventana algebraica se observa la funcin y las coordenadas del punto A y B.Adems de otros elementos que en este ejemplo estn incluidos.

En la parte inferior encontramos el campo de entradas, en l, se escriben los comandosque el programa interpreta y los despliega en la ventana de trabajo o grfica.

12

2 NMEROS REALES

Figure 5: Ventana de entradas

Para mayor informacin puede descargar el archivo Introduccin a GeoGebra [7].

2. Nmeros Reales

La pregunta ms difcil que cualquier maestro se puede hacer es: cunto debe de saberde lgebra un alumno? Junto con esta vienen otras: cuntas propiedades hay?, cules sonlas ms importantes?, cules son las que debo de tener escritas? o bien, cuntas es sufi-ciente para tener xito en el curso de matemticas y los dems en una carrera de Ingeniera?En cualquier carrera de ingeniera es fundamental el conocimiento de las propiedades al-gebraicas y el manejo adecuado de las expresiones. Pero parece ser que siempre se quedacorto el conocimiento de los alumnos y seguido escuchamos, "es que andan mal en lgebra",tanto por parte de maestros de matemticas como maestros de otras asignaturas.

Tratando de remediar este asunto, los programas acadmicos de todo el mundo han idea-do diferentes formas de "complementar" y "remediar" esta situacin, programando cursosextras de lgebra donde se trata de cubrir la mayor cantidad de material posible para que nole falte algo al estudiante. Sin embargo la mayora de las veces no se ha tenido xito y vemosque los alumnos siguen "mal en lgebra". Aqu proponemos una alternativa diferente.

En lugar de ensear mucho, vamos a tratar de ensear muy poco, yo s que esto es muydifcil porque desde secundaria el maestro de matemticas trata de cubrir el mayor materialposible siempre tratando de ensear mucho, pero paradjicamente mientrar ms trata deensear el alumnos aprende menos. Lo que aqu vamos a ver es muy poco, si es posibleque alumno aprenda solamente unas cuantas propiedades, mientrar menos mejor; pero quelas aprenda bien. Que sepa que con tres propiedades bsicas puede explicar y entender todaspropiedades de lgebra que va a utilizar en su carrera y que cada conocimiento nuevo oanterior de lgebra, lo ate a estos conceptos bsicos. Que vea que toda el lgebra se fun-damenta en pocos axiomas bsicos y que vaya desarrollando slidamente la competenciamatemtica en base a muy pocos cimientos.

Es muy difcil convencer a un maestro de que "ensee poco", y si quiere ensear mucho,que cada una de las cosas que se presente est directamente relacionada con los pocosconocimientos de base y sean consistentes. Nuestra filosofa es: "Ensea poco para que elalumno aprenda mucho".

Para facilitar la comprensin y el manejo de las propiedades algebraicas se han divididoen partes y les hemos dado nombres especiales, esto con el fin de facilitar su comprensin,memorizacin y su uso; que si bien solamente se utilizan en el ITT, se aclara que se utilizatambin el nombre formal.

13

2.1 Propiedades Bsicas 2 NMEROS REALES

COMPETENCIA DE LA UNIDADConoce los axiomas de los nmeros reales y relaciona cualquier propiedad alge-braica con los axiomas de manera que la competencia algebraica se va desarrollan-do slidamente poco a poco en base a los pocos principios esenciales.COMPETENCIAS ESPECFICASAplica correctamente las propiedades algebraicas. Conoce y utiliza la sintaxis yla semntica de las expresiones algebraicas. Identifica y aplica la jerarqua de op-eradores. Construye rboles sintcticos. Evala expresiones algebraicas mediantesustituciones.

ACTIVIDADESHacer una cartulina con las propiedades escritas y pegarla en el saln y en cadapaso de un ejercicio indicar qu propiedad se est utilizando para que el alumnose familiarice con ellas.Practicar la elaboracin de rboles sintcticos y sustitucin en forma escalonada deacuerdo a la dificultad.Practica la escritura en lenguaje LATEX de expresiones matemticas.Propiciar la reflexin sobre los conceptos matemticos, que los alumnos los ex-pliquen con sus propias palabra y que escriban un ensayo sobre sus reflexiones ensu sitio.EVALUACINExamen escrito. Prctica en LATEX (en coordinacin con el curso de CompetenciaDigital). Ejercicios de tarea.

2.1. Propiedades Bsicas

El Dilema del Mosquetero.

Una de las novelas ms famosas de la Literatura Universal es: Los tres Mosqueteros deAlexandre Dumas. Es la historia de un joven habitante de la Gascua que saba utilizar muybien la espada. Como su padre conoca a Mesieur de Trville Capitn de los Mosqueteros delRey lleg con una carta de recomendacin pues su mayor deseo era volverse mosquetero.

Al salir de ver a Mesieur de Trville tena mucha prisa porque vio al hombre misteriosoque le rob la carta y por su arrebato le peg en el hombro a Athos, ste lo ret a duelo aMedioda junto al Convento de los Carmelitas Descalzos, siguiendo con su prisa se enredcon la capa de Porthos y quedaron de batirse a la 1:00 atrs del Luxemburgo, finalmenterecogi un pauelo de una Dama el cual estaba pisando Aramis y obtuvo su tercer duelo alas 2:00.

Al enfrentar sus compromisos de honor tuvo el siguiente dilema, si podra enfrentar alos tres o solamente a uno, incluso se disculp con los otros dos pues les dijo, es posibleque no cumpla mi compromiso con ustedes porque puedo ser herido; pero har lo posible,tratando de terminar pronto con los dos primeros para poder cumplir con Aramis que erael tercero.

14

2 NMEROS REALES 2.1 Propiedades Bsicas

Al empezar el duelo con Athos, llegaron los Guardias del Cardenal y dijeron: quedanarrestados pues estn prohibidos los duelos; los tres mosqueteros le dijeron a DArtagnan,puedes retirarte porque esta es una disputa entre los Guardias y nosotros; pero DArtagnanles dijo: me parece injusto que seis solamente tres contra siete; y se uni a ellos para vencera los guardias.

A partir de ese momento DArtagnan, y los tres mosqueteros Athos, Porthos y Aramisfueron inseparables y el libro narra las fascinantes aventuras, que continan en la novela delHombre con la Mscara de Hierro y en la de Veinte Aos Despus.

En base a este cuento y tomando la experiencia de varios maestros, se lleg a formularuna manera de estructurar las propiedades algebraicas con el fin de facilitar su manejo, suaprendizaje y sobre todo mantener el aspecto formal.

Propiedades Bsicas de los Nmeros Reales:

Propiedad Enunciado Formal Forma ReducidaCerradura de la Suma x, yeR x + yeR + es Operacin Binaria

Cerradura de la Multiplicacin x, yeR x yeR * es Operacin BinariaAsociativa de la Suma a + (b + c) = (a + b) + c Reacomodo

Conmutativa de la Suma a + b = b + a ReacomodoConmutativa de la Multiplicacin a b = b a Reacomodo

Elemento Inverso Aditivo a + (a) = 0 CancelacinElemento Neutro Aditivo a + 0 = a Cancelacin

Elemento Inverso Multiplicativo a (a1) = 1 CancelacinElemento Neutro Multiplicativo a 1 = a CancelacinAsociativa de la Multiplicacin a (b c) = (a b) c Dilema del Mosquetero

Distributiva a (b + c) = a b + a c Dilema del Mosquetero

Ejemplos.

1: a(b + c + d) = ab + ac + ad

2: (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bc

3:(2x + 3y)(5x y) = 10x2 + 15xy 2xy 3y2 = 10x2 + 13xy 3y2

15

2.2 Sintxis y semntica 2 NMEROS REALES

Ejercicios: Utilizando las propiedades simplifique las siguientes expresiones:

6. (m2 m(4m + 2n) + n(5 n(m + 1)) (7m2 + mn 3n2))

5. (7a 2b)(a2 5ab + 2b2)

4. 5(3x y) + 5(x + 5y) 4(2x + y)

3. (7x 3y)2

2. (a + b)(c + d)

1. x(y + z + w)

Figura 6: Escalera para simplificacin de expresiones

2.2. Sintxis y semntica

En matemticas como en cualquier lenguaje hay dos elementos centrales que se debentomar en cuenta para poder entender correctamente los conceptos y los procedimientos. Elprimero es la Sintaxis y el segundo la Semntica.

Explicado de una manera simple la sintaxis es la forma como se escribe y la semnticasu significado.

Por ejemplo, analicemos la palabra TUNA.

La sintaxis es la secuencia de las cuatro letras en orden, pero su semntica puede variar.Por ejemplo en espaol es el fruto del nopal y en ingls es un pescado.

Otro ejemplo. Consideremos TRES y 3. Aqu tenemos dos formas distintas de escribir elnmero. Qu quiere decir esto?, que tenemos diferente sintaxis pero la misma semntica.

En matemticas es muy importante la sintaxis (la forma cmo se escribe) porque uncambio pequeo puede hacer que vare la semntica. Por ejemplo: senx2 comparado consen2x.

En la primera expresin primero debemos elevar la variable x al cuadrado y despuscalcular la funcin seno. En cambio en la segunda expresin, primero se aplica la funcinseno y despus el resultado se eleva al cuadrado.

En otras palabras la segunda expresin es equivalente (tiene la misma semntica) que(senx)2

Hay que ser muy cuidadosos, sobretodo con los parntesis, es muy comn quitar parn-tesis que no se necesitan, pero hay que estar seguros de que al cambiar la sintaxis quitandoparntesis la semntica sea la misma. Si en el ejemplo anterior, a la expresin (senx)2 lequitamos los parntesis, podramos dejar la expresin senx2, que como ya mencionamos esotra cosa.

16

2 NMEROS REALES 2.2 Sintxis y semntica

Cmo aprender correctamente la sintaxis en matemticas?

Analicemos la expresin: 2+ 5 3

Lo que sucede es que las expresiones algebraicas utilizan los operadores binarios +, ,*, /; los cuales se llaman binarios porque representan operaciones entre dos elementos. Siqueremos utilizar 3, debemos usar parntesis. As 2 + 5 * 3 puede ser (2+5)*3 2+(5*3). Elparntesis indica que operacin debe ser primero.

Podramos representar las dos formas anteriores mediante rboles sintcticos:

(2+5)*3

3(2+5)

52

2 + (5*3)

(5*3)

35

2

En el caso de 2+ 5 3 los dos resultados estn bien. La calculadora sencilla toma el ordende escritura y se obtiene 21 (Primer rbol), la calculadora cientfica, en cambio, utiliza lajerarqua algebraica de operadores y obtiene 17 (Segundo rbol).

Jerarqua de Operadores:

No es necesario utilizar parntesis cuando el orden en que se deben efectuar las opera-ciones cumple con la siguiente jerarqua:

1. Operadores unitarios y funciones como: Potencia, Raz, seno, coseno, . . . logartmica,exponencial, etc.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Sumas y restas.

Nota: Los parntesis alteran la jerarqua de los operadores, o sea que las operacionesentre parntesis se llevan a cabo primero.

17

2.2 Sintxis y semntica 2 NMEROS REALES

Ejercicio: En las siguientes expresiones indicar el orden de los operadores:

6. tan(x + 1ex 1)

5. (x + 12)/(13 5x)

4. 7+ sen3x2

3. 6x2 8x + 1

2. abc + d

1. ab + c

Figura 7: Escalera para indicar el orden de los operadoresPara resolver cada uno de los ejemplos, primero debemos poner la expresin en forma

lineal, por ejemplo:2+ x6 x2 quedara: (2+ x)/(6 x

2)

Ejercicio: Construir el rbol sintctico en los ejercicios anteriores.

En el caso de tener varias sumas o multiplicaciones no es necesario usar parntesis,analicemos: a+ b+ c. Las expresiones podran ser: (a+ b) + c a+ (b+ c) y los rboles son:

(a+b)+c

ca+b

ba y

a+(b+c)

b+c

cb

a

.

Pero por la ley asociativa (reacomodo) el resultado de los dos rboles es igual, por lo quepodemos tomar cualquiera y por costumbre podemos suprimir los parntesis. De cualquiermanera al principio mientras nos familiarizamos con las expresiones y adquirimos periciaes conveniente numerarlos de izquierda a derecha como en el primer rbol.

Qu sucede si en lugar de suma (+) es resta ()?Los casos seran: (ab)c y a(bc) y los rboles

(a-b)-c

ca-b

ba y

a-(b-c)

b-c

cb

a

.La resta no es asociativa as que son dos expresiones con significado distinto. En este

caso s es importante que se enumeren los operadores de izquierda a derecha.

18

2 NMEROS REALES 2.2 Sintxis y semntica

rboles Sintcticos: Para entender mejor la sintaxis de una expresin podemos hacer unrbol sintctico. Empezando con el operador de menor rango (o sea el que tiene el nmeromayor) empezar a descomponer hacia abajo en una o dos ramas para cada operador hastaterminar con todos los operadores.

Ejercicio 1. La expresin es a b+ c y sabemos que a la suma le toc el nmero 2, por lotanto en un primer paso tenemos:

a*b + c

ca*b

Finalmente descomponemos el producto y tenemos el rbol.

a*b + c

ca*b

ba

Hacer el rbol sintctico de los otros 5 ejercicios anteriores.

Se presentan otros dos ejemplos

Ejemplo: La expresin 7+ sen3x2 tiene el rbol:

7 + sen3x2

sen3x2

senx2

x2

x

7

Ejemplo:La expresin 7(1 x)e3x1 ln(7 2x) tiene el rbol:

19

2.3 Sustitucin algebraica 2 NMEROS REALES

7(1 x)e3x1 ln(4 2x)

ln(4 2x)

4-2x

2x

x2

4

7(1 x)e3x1

e3x1

3x-1

13x

x3

7(1-x)

1-x

x1

7

2.3. Sustitucin algebraica

Uno de los aspectos ms importantes de los rboles sintcticos es su utilizacin paraentender el concepto de sustitucin, porque nos indica el orden correcto en que se debenhacer las operaciones para evaluar una expresin.

Ejercicio 1. Evaluar la expresin ab + c si a = 2, b = 3, c = 4.

El rbol sintctico es:

ab + c

cab

ba

Reemplazando las hojas del rbol por los valores y efectualdo las operaciones, el resul-tado est en el nodo raz: 2.

-4

32

2

-46

32

Ejemplo: Evaluar la expresin 2+x6x2 con x=3

20

2 NMEROS REALES 2.3 Sustitucin algebraica

El rbol sintctico es:

(2+ x)/(6 x2)

6 x2

x2

x

6

2+x

x2

Reemplazando las hojas por el valor de x, y efectuando operaciones tenemos:

( )

( )

( )

3

6

( )

32

53

-3

9

3

6

5

32

Evale los ejercicios anteriores con x = 5.

21

2.4 Conceptos matemticos 2 NMEROS REALES

2.4. Conceptos matemticos

2.4.1. Resta y divisin

La operacin de sustraccin o resta a b en el conjunto de los nmeros reales R, estadefinida mediante la adicin del inverso aditivo de b, es decir: a b = a + (b)

Por ejemplo para el conjunto de los nmeros naturales N = {1, 2, 3, ...}los inversos serepresentan como N = {1,2,3, ...} y as, agregando el cero, se forma el conjunto de losenteros. Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3, ...}

Como la resta es sumar el inverso, cuando tenemos expresiones algebraicas con sumas yrestas, las restas las tomamos como sumas (de inversos) y podemos tratarlas prcticamenteigual que las sumas. Por ejemplo a(b c) = ab ac por lo que la Ley Distributiva de lasuma tambin se cumple para la resta. De este modo no tenemos que estar aprendiendonuevas reglas para la operacin de resta.

La divisin de a entre b, se define como el producto de a por el inverso multiplicativode b: ab = a 1b = a b1 ; b 6= 0

Divisin y el cero: (1). 0a = 0 (2).a0 no esta de f inida (3).

00 indeterminado (tampoco

est definido)

Ver las divisiones como multiplicaciones por un inverso es muy til al igual que la resta,porque podemos extrapolar varias de las operaciones y conceptos bsicos de la multipli-cacin a la divisin. As por ejemplo a+bc =

ac +

bc debido a que c, al estar dividiendo, est

implicando en realidad una multiplicacin (considerando su inverso) por lo tanto se cumplela Ley Distributiva (Dilema del Mosquetero, 2a. opcin).

2.4.2. Expresin algebraica y polinomios

Polinomio

En secundaria y preparatoria se conoce un polinomio como una expresin algebraica convarios trminos, si es monomio con un trmino, si es binomio con dos, trinomio con tres ypolinomio no se con cuntos pero deben ser muchos. Sin embargo desde el punto de vista dematemticas y su manejo formal un polinomio es una expresin algebraica donde aparecennicamente sumas, diferencias o productos de nmeros reales o variables. Podemos tambindar una definicin formal.

Definicin. Un polinomio de una variable de grado n, es una expresin de la forma

anxn + an1xn1 + an2xn2 + ...+ a2x2 + a1x + a0 (con an 6= 0)Ejemplos5:1) 5a 6cde 2) 7xy + az 2b + 3 3) 3x3 + 2x2 12x 84) x2 + 2x + 5 5) x16 + 1

5Nota: (1) y (2) son multivariables, el resto con polinomios univariables

22

2 NMEROS REALES 2.4 Conceptos matemticos

Ejemplos de expresiones que no son polinomios:1) 1x + 3x 2)

x5x2 3) 3x

2 +

x 24) xy +

2 5) x

23 y 13

Ejercicio: Identificar si la expresin es polinomio. Si es polinomio encontrar el grado.

6. 3u3v42u5v2+(u2v2)2

u3v2

5. 45x7 + 38x5 8x3

4. 12m2

n +17m

n 14

n

3. xy 3z + 2

2. 60x2 85x 24

1. x4 3x2 + 7x + 4

Races.

La raz cuadrada de un nmero x es un nmero no negativo y tal que: y2 = x y serepresenta por x

12 o por

x

Propiedades:i)

ab =

a

b ii)

ab =

ab

Si las races existen.

Debido a la definicin

x2 = |x|. Nota:

x2 6= x (cuando x < 0)Ejemplos Numricos:

1)

64 = 8 2)

1625 =

45 3)

49 =

23 4)

72 =

36 2 = 36 2 = 62

Ejemplos algebraicos: Suponiendo x, y 01)

a4 = a2 2)

x2y6 = (

x2

y6) = xy3 3)

9x4 =

32

x4 = 3x2

4)

4x2y4 =

22x2y4 =

22

x2

y4 = 2xy2 5)

36x2y8 =

62

x2

y8 = 6xy4

Ejercicio: Definir la raz n-sima de un nmero.

Las expresiones que contienen operaciones polinmicas y races se llaman ExpresionesAlgebraicas.

2.4.3. Ecuaciones

Una ecuacin es una igualdad con variable(s). La igualdad se representa matemtica-mente con el smbolo = en medio de dos expresiones. Aqu consideraremos exclusivamenteecuaciones con variable real y cuyas expresiones son formadas por operaciones algebraicas.

Ejemplos:

1) 4(x 3) = 4x 12 2) x + 2 = 10 3) x + 5 = x 7

23

2.4 Conceptos matemticos 2 NMEROS REALES

4) x2 3x = 18 5) 6x 7 = 2x + 5

Un valor de la variable es solucin de la ecuacin si al sustituir el valor por la variablese obtiene una proposicin verdadera.

Ejemplos:

1. x = 1 es solucion de 4(x 3) = 4x 12 pues 4(1 3) = 4(1) 12 8 = 82. x = 5 es solucion de x2 5 = 4x pues (5)2 5 = 4(5) 20 = 203. x = 3 es solucion de x2 + 3x =

x3+3x . (3)

2 + 33 =(3)3+3

3 9+ 1 = 27+33 10 = 303Ejercicios: Sustituir el valor de la variable y comprobar si el valor dado es una solucin.6.

3x 2 = 0, x = 23

5. 12w 7w = 2w + 1, w = 13

4. 5x + 3 = 7x 2, x = 52

3. 8) (x + 3) (3x 1) = 0, x = 2

2. (3x 4) 9x = 6x + 8, x = 1

1. 6z 7 = 2z + 5, z = 3

Resolver una ecuacin es encontrar los valores de la(s) variable(s) que sean solucin, estolo veremos en la unidad 3.

2.4.4. Funciones

Es un conjunto de pares ordenados tales que no hay dos pares con el mismo primerelemento. Tambin se puede expresar como la relacin matemtica entre el conjunto A y elconjunto B. Notacin f : A B.

Dominio de una Funcin

El conjunto de los primeros elementos en los pares ordenados en una funcin f se llamaDominio y se denota: DOM( f ) y el conjunto formado por los segundos elementos se llamaRango y su notacin es: RAN( f ).

Si consideramos la funcin como una relacin, a cada elemento del dominio le co-rresponde un elemento nico del rango, sin embargo para un elemento del rango podrahaber varios elementos del dominio. Si a un elemento del dominio le llamamos x entoncesel correspondioente elemento del rango se denota por f (x).

Ejemplos:1) f (x) = 2x + 4, Funcin lineal.

24

2 NMEROS REALES 2.4 Conceptos matemticos

2) f (x) = 4x2 + 2x 3, Funcin cuadrtica.3) f (x) = 12x+3 , Funcin racional lineal.4) f (x) = 14x2+6x+5 , Funcin racional cuadrtica.5) f (x) = sen2x, Funcin Trigonomtrica.6) f (x) = 5+ ln(x 1), Funcin logartmica.7) f (x) =

9 x2, Funcin Raz.

8) f (x) =

3x + 2, Funcin Raz.9) f (x) = ex1, Funcin exponencial.En la Unidad 4 volveremos a tratar las funciones y veremos grficas utilizando GeoGebra.

2.4.5. Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero a, denotado |a|, es uno de los dos nmeros +a o a, elque sea positivo, 0 (el nmero 0) si a=0.

|a| ={

a a 0a a < 0

Ejemplos:1) |3| = 3 2) | 10| = (10) = 10 3) |8 6| = |2| = 24) |7 15| = | 8| = (8) = 8 5) |5 12| = | 7| = 7Propiedades:i) | a| = |a| ii) |a b| = |b a| iii) |a| |b| = |ab| iv) | ab | = |a||b|v) |a + b| |a|+ |b| Desigualdad Triangular.

25

3 LGEBRA

3. lgebra

Indiscutiblemente que lo ms importante es entender las propiedades algebraicas, re-flexionar sobre ellas, conectar los conocimientos y tener una preparacin slida. Sin embargosi no se tiene destreza en el manejo del lgebra, los conceptos tericos no nos servirin demucho; as que en esta unidad pretendemos principalmente que el alumno adquiera lahabilidad mecnica que un alumo de ingeniera ocupa en el aspecto algebraico.

Muchos de los ejercicios, si bien son de mecanizacin, es importante sealar que se debede hacer mencin en cada paso algebraico, de la propiedad utilizada o la razn por la quees posible hacerlo, propiciando as la reflexin, para que el alumno pueda conectar lo queva haciendo con sus conocimientos previos y que su competencia algebraica vaya creciendo.

Al igual que en los casos anteriores no queremos "ensear mucho", con dos o tres cosasque aprenda es bueno: que puedan aplicar la Ley Distributiva (Dilema del Mosquetero), quepuedan factorizar un trinomio y que sepan realizar operaciones con fracciones. Esto es loesencial y lo dems lo pueden ir aprendiendo y reforzando en el transcurso del presente y losprximos semestres. Lo ms importante aqu es que puedan identificar en qu situacionesse aplica y que puedan desarrollar el procedimiento sin error en ms del 90 % de los casos.

COMPETENCIA DE LA UNIDADTiene destreza aplicando las propiedades del lgebra elemental y resuelve ecua-ciones justificando sus procedimientos.COMPETENCIAS ESPECFICASDomina las tres propiedades bsicas de los nmeros reales. Tiene destreza paraaplicar las propiedades en expresiones algebraicas. Factoriza una expresin alge-braica. Justifica cada uno de sus pasos algebraicos. Resuelve ecuaciones lineales ycuadrticas.ACTIVIDADESSolucin de ejercicios en forma escalonada. Actividad en equipos donde se asignaa cada paso algebraico las propiedades utilizadas. Presentacin de ejercicios re-sueltos por equipos, anlisis y reflexin de resultados. Ejercicios de tareas en lalibreta.EVALUACINExamen escrito. Revisin de tareas. Revisin de portafolio y del sitio.

3.1. Operaciones algebraicas bsicas

Introduccin

En este tema vamos a aplicar las propiedades de los nmeros reales para efectuar opera-ciones, simplificar y factorizar expresiones algebraicas. Al realizar los ejercicios recomen-dados se desarrollar el dominio y la fluidez necesaria para enfrentar con xito los temassubsiguientes.

Recordemos que las propiedades bsicas de los nmeros reales se pueden resumir entres: Reacomodo, Cancelacin y Dilema del Mosquetero. Con estas tres como base y algunasobservaciones y aclaraciones vamos a poder desarrollar todos los conocimientos requeridosde lgebra.

26

3 LGEBRA 3.1 Operaciones algebraicas bsicas

Primeramente por el Dilema del Mosquetero (Ley Distributiva de la Multiplicacin conrespecto a la Suma), vemos que

(7 + 5)x = 7x + 5x, por lo que si vemos esta propiedad a la inversa tenemos 7x + 5x =(7+ 5)x = 12x

Esto se le conoce como reduccin de trminos semejantes.

a) Adicin y sustraccin de Polinomios.

Smbolos de agrupacin. Los smbolos de agrupacin, como son los parntesis ( ), llaves{ } y corchetes [ ], se utilizan para sealar, de una manera sencilla, ms de una operacin.Recordemos que los parntesis alteran la jerarqua de los operadores, o sea que las ope-raciones entre parntesis se llevan a cabo primero.

Jerarqua de Operadores: No es necesario utilizar parntesis cuando el orden en que sedeben efectuar las operaciones cumple con la siguiente jerarqua:

1. Operadores unitarios y funciones como: Potencia, Raz, seno, coseno, logartmica,exponencial, etc.

2. Multiplicaciones y divisiones.3. Sumas y restas.

Ejemplo: Eliminar los smbolos de agrupacin y reducir trminos semejantes:1) 2x (5x 2y) + (x 6y) = 2x 5x + 2y + x 6y= (2x 5x + x) + (2y 6y)

= 2x 4yAqu se utiliz el Reacomodo (Leyes asociativa y conmutativa de la suma y el Dilema del

Mosquetero, adems de la definicin de resta que significa sumar el inverso.

2) 6a {2b + [3 (a + b) + (5a 2)]} =6a {2b + [3 a b + 5a 2]}= 6a {2b +3 a b + 5a 2}

= 6a 2b 3+ a + b 5a + 2= (6a + a 5a) + (2b + b) + (3+ 2)= 2a b 1

Ejercicios: Simplificar

6. a + {2b [3+ (5a 2b) (7a + 2)]}

5. 15 5[4 2(x + 1)] [3x 5(x + 4)]

4. 3y [x 2(3x y)] [2y (x + 3y)]

3. 5x + [6 (2x 1)]

2. 2x (2 x)

1. 3a + (2+ 5a)

27

3.1 Operaciones algebraicas bsicas 3 LGEBRA

b) Multiplicacin y Divisin

Adems de las leyes bsicas de los nmeros reales es conveniente utilizar algunas defini-ciones sobre notacin y manejo algebraico. Veremos tambin que algunas propiedades muytiles se desprenden de los axiomas.

Definicin.Si a R, m N, entonces: am = a a ... a (m veces), am = 1am , a0 = 1.Propiedades:1. Leyes de los signos. (Se justifican con las propiedades bsicas y la definicin de inverso)(+a)(+b) = +ab (a)(+b) = ab (+a)(b) = ab (a)(b) = +ab2. Potencias.Si a R m, n Z, entonces: i) am an = am+n ii) (ab)n = an bnSi a 6=0 entonces: iii) aman = amn iv)

( ab)n

= an

bn

3. Fracciones.i) ab cd = acbd ii)

abcd= adbc iii)

ab +

cd =

ad+bcbd

Ejemplos:

1) (2ab2)(3a4bc2) =(2 3)(a1 a4)(b2 b)(c2)= 6a5b3c2

Aqu utilizamos la Ley Asociativa de la Multiplicacin (Dilema del Mosquetero), la LeyConmutativa de la Multiplicacin (Reacomodo) y la definicin de exponente.

2) 2x2(x2 x + 4) =(2x2)(x2) + (2x2)(x) + (2x2)(4)= 2x4 + 2x3 8x23) 3a2b(a2b 2b2c + 5c2a) =3a2b(a2b) + 3a2b(2b2c) + 3a2b(5c2a)= 3a4b2 6a2b3c +

15a3bc2

Nota: En los ltimos dos ejemplos se utiliz la Ley Distributiva Extendida (Dilema delMosquetero).

Ejercicios. Efectuar operaciones y simplificar

6. x2(2x2 3x 4) x(x3 3x2 4x)

5. 2a2b(a3 + 5a2b2 3b4)

4. (2ab3)2(32a2c)3(a4bc2)5

3. 3x2(x3 2x2 + 1)

2. (x2)(x3) (x2)(x)

1. (22ab4)3(a2b)5

Para multiplicar polinomios, se considera el primer polinomio como una sola cantidad yse aplica la Ley Distributiva (Dilema del Mosquetero).

28

3 LGEBRA 3.1 Operaciones algebraicas bsicas

Ejemplos:

1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)x + (x + 2)3 =x(x + 2) + 3(x + 2) = x2 + 2x + 3x + 6= x2 + 5x + 6

2. (3x 4)2 = (3x 4)(3x 4) =(3x 4)3x + (3x 4)(4)= 3x(3x 4) 4(3x 4)= 9x2 12x 12x + 16= 9x2 24x + 16

3. (x2 2x + 1)(2x 3) = (x2 2x + 1)(2x) + (x2 2x + 1)(3)= 2x3 4x2 + 2x 3x2 + 6x 3= 2x3 7x2 + 8x 3

Ejercicios:6. (x2 + 3x + 2)(x2 3x + 2)

5. (x 2y)(x2 + 2xy + 4y2)

4. (2x 1)(4x2 + 2x + 1)

3. (x + 2)(x 4) x(x 2)

2. (2x 5)(x + 7)

1. (x + 7)(x 3)

Finalmente veremos potencias de fracciones

1. [2x4yz

6xy2 ]3 =[ x

3z3y ]

3 = x9z3

33y3 =x9z39y3

2. (2a2bc3)3

(3ab2)2 =23a6b3c932a2b4 =

8a4c99b

3. 16a4b3

(2ab)3 +36a5b2(3a2b)2 =

16a4b3(2)3a3b3 +

36a5b2(3)2a4b2 =

16a4b38a3b3 +

36a5b29a4b2 = 2a + 4a = 2a

Ejercicio No.5: Efectuar operaciones y simplificar

3. (6x2y3z

8xy5z2 )3

2. 44a3b266a5b8

1. x6y4

x3y2

29

3.2 Factorizacin 3 LGEBRA

3.2. Factorizacin

Si un polinomio se escribe como el producto de otros polinomios, cada polinomio delproducto es un factor del polinomio original.

Por ejemplo: Como x2 9 = (x + 3)(x 3), entonces (x + 3) y (x 3) son factores dex2 9.

La factorizacin es de gran importancia en numerosas aplicaciones matemticas, ya quepermite reducir el estudio de expresiones complicadas al estudio de expresiones ms sim-ples. Se pueden determinar propiedades importantes del polinomio x2 9, haciendo unanlisis de los factores (x + 3) y (x 3).

Interesan principalmente los factores no triviales de los polinomios, esto es factores quecontienen polinomios de grado mayor que cero, excepto si los coeficientes son enteros encuyo caso se separa el factor comn entero de los trminos del polinomio. Esto se haceaplicando la ley distributiva (Dilema del Mosquetero) a la inversa.

Ejemplo: 4x2y + 8z3 = 4(x2y + 2z3)

Es necesario especificar el sistema (conjunto) del cual se han de elegir los coeficientes enlas factorizaciones, en este caso slo se seleccionarn coeficientes enteros.

Factorizacin por Factor Comn

Como ya habamos mencionado la factorizacin por factor comn, Ley Distributiva(Dilema del Mosquetero) es muy importante y es quiz la esencia de los mtodos de facto-rizacin porque en su comprensin est la base de todos los mtodos de factorizacin.

La explicacin es muy simple, factorizar por Factor Comn es aplicar la Ley Distributiva(Dilema del Mosquetero / 2a. opcin) a la inversa, esto es:

ab + ac = a(b + c)

Ejemplos:1. 7xy + 2xz = x(7y + 2z)2. 9a2 + 12ab = 3a(3a + 4b)3. 10x3yz4 + 15xy4z3 20x2y2z2 = 5xyz2(2x2z2 + 3y3z 4xy)

Una variante interesante del Mtodo de Factor Comn es la factorizacin por Agru-pacin: En este caso se separan en dos partes los trminos de la expresin y cada unose factoriza por separado, si en los resultados queda un factor comn se vuelve aplicar elmtodo de Factor Comn:

ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b)

Ejemplos:

30

3 LGEBRA 3.2 Factorizacin

1) x2 + 7x + xy + 7y = x(x + 7) + y(x + 7) = (x + 7)(x + y)2) x3 + x2 + 6x + 6 = x2(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 1)(x2 + 6)3) a2 2a 15 = a2 5a + 3a 15 = a(a 5) + 3(a 5) = (a 5)(a + 3)4) 2a3 5a2 + 4a 10 = a2(2a 5) + 2(2a 5) = (2a 5)(a2 + 2)

Ejercicio. Factorizar:6. 7x2 14x 6x + 12

5. x3 + 4x2y + xy2 + 4y3

4. x3 9x2 + 2x18

3. 5a5b4 10a3b6 + 20a2b8

2. 4xy 6xz + 8xw

1. 7xy + 2xz

Factorizacin por Productos Notables (opcional)

1)x2 y2 = (x + y)(x y), Diferencia de cuadrados.2)x2 + 2xy + y2 = (x + y)(x + y) = (x + y)2, Trinomio cuadrado perfecto.3)acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d), Trinomio cuadrado no perfecto.4)x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2), Suma de cubos.5)x3 y3 = (x y)(x2 + xy + y2), Diferencia de cubos.

Factorizacin de un trinomio cuadrtico

Empezando tambin con la Ley Distributiva (Dilema del Mosquetero) podemos efectuarel siguiente producto:

(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

Si observamos con cuidado, vemos que el coeficiente del trmino cuadrtico es el pro-ducto de a y c, que son los coeficientes de x en los factores, el trmino independiente de x esel producto de b y d, que son los trminos independientes de x en los factores; tenemos en-tonces dos pares de nmeros y el coeficiente de x es la suma de los resultados al multiplicarlos primeros por los segundos. Esto es:

acx2 +(ad + bc)x +bda bc d

31

3.3 Operaciones con Fracciones 3 LGEBRA

O sea que haciendo el producto cruzado de a con c, y de b con d se obtiene el coeficientede x

Ejemplos:1) x2 + 8x + 15 = (x + 5)(x + 3) 2) 5x2 14x 3 = (x 3)(5x + 1)3) x2 + 10x+ 25 = (x+ 5)(x+ 5) = (x+ 5)2 4) 6x2 7x 5 = (2x+ 1)(3x 5)

Ejercicio.Factorizar los siguientes trinomios:6. 7x2 20x + 12

5. 5x2 17x + 6

4. 5x2 14x 3

3. x2 4x 21

2. x2 + 2x 8

1. x2 x 6

3.3. Operaciones con Fracciones

Muchos problemas en matemticas incluyen combinaciones de expresiones racionales yluego se trata de simplificar el resultado.

Puesto que las expresiones racionales son cocientes que contienen smbolos que repre-sentan nmeros reales, se pueden aplicar las propiedades para cocientes.

En problemas de simplificacin es de particular importancia la siguiente propiedad:adbd =

ab dd = ad 1 = ab Esto es, adbd = ab

Esta propiedad se enuncia de la siguiente manera: Un factor comn en el numeradory en el denominador puede ser cancelado del cociente. Un modo de usar esta tcnicaen problemas en que intervienen expresiones racionales es factorizando el numerador y eldenominador de la expresin racional dada en factores primos, y cancelando los factorescomunes que aparezcan tanto en el numerador como en el denominador. La expresinresultante se dice que ha sido simplificada, que es irreducible.

Ejemplos:

1. 3a32a2bab2ab =

3a3ab +

2a2bab +

ab2ab =

3a2b + 2a + b

2. 12x36x2+18x

6x =12x36x 6x

2

6x +18x6x = 2x

2 x + 33. 2x3x26x2x2 =

(1+x)(23x)(2x+1)(3x2) = (3x2)(1+x)(3x2)(2x+1) = (1+x)(2x+1)

Muchas veces se deben hacen operaciones antes de simplicar

32

3 LGEBRA 3.3 Operaciones con Fracciones

4. x26x+9x21 2x2x3 =

(x3)(x3)(x1)(x+1) 2(x1)(x3) = 2(x3)(x3)(x1)(x+1)(x3)(x1) = 2(x3)(x+1)

5. x+22x3 x24

2x23x =x+2

2x3 2x23x

x24 =x+2

2x3 x(2x3)(x+2)(x2) = x(x+2)(2x3)(x+2)(x2)(2x3) = xx2

Una variante importante de la suma de fracciones es cuando los denominadores tienenun factor comn:

abm +

cdm =

adm+cbmbdm2 =

m(ad+bc)bdm2 =

ad+bcbdm

En este caso el procedimiento es mediante el uso del Mnimo Comn Mltiplo (MCM)de los denominadores o Mnimo Comn Denominador (MCD) de las fracciones. El MCDde las fracciones se puede encontrar mediante la factorizacin en primos de cada denom-inador, y multiplicando luego los factores primos distintos utilizando el mayor exponenteque aparezca en cada factor primo.

6. 6x(3x2) +5

3x2 2x2 =

a)Los denominadores se factorizan primeramente en caso de que no esten ya factoriza-dos.

b)Encontrar el MCD: en este caso es x2(3x 2).c)Dividir el MCD por cada denominador: el cociente se multiplica por el numerador.

x2(3x2)x(3x2) = x, se multiplica por 6.

x2(3x2)(3x2) = x

2, se multiplica por 5.

x2(3x2)x2 = (3x 2), se multiplica por (-2).

x(6)+x2(5)(3x2)(2)x2(3x2) =

6x+5x26x+4x2(3x2) =

5x2+4x2(3x2)

7. 2x+5x2+6x+9 +x

x29 +1

x3 =2x+5

(x+3)(x+3) +x

(x+3)(x3) +1

x3 =(2x+5)(x3)+x(x+3)+(1)(x+3)2

(x+3)2(x3) =(2x2x15)+(x2+3x)+(x2+6x+9)

(x+3)2(x3) =4x2+8x6(x+3)2(x3) =

2(2x2+4x3)(x+3)2(x3)

Simplificar una fraccin compleja:

8.1 2x+1

x 1x=

(x+1)2x+1

x21x

=x1x+1

x21x

=x1x+1

(x+1)(x1)x

= x(x1)(x+1)(x+1)(x1) =

x(x+1)2

33

3.4 Propiedades de la igualdad 3 LGEBRA

Ejercicios (primera parte)

6. 4x39x

10x4+11x36x2

5. 12y2+3y

20y2+9y+1

4. 6x27x5

3x22x5

3. (a3b32a2b415ab5)

ab3

2. 2a4b4a3b2+2a2b3

2a2b

1. 9x26xy12y2

3xy

Ejercicios (segunda parte)

6.6x5

3 +72

15 2x73

5.x2 15x+1

5

4. x3x24x5 2x+17x3+2x25x + 5x314x3+115x15

3. 5x2x6 35x214x3 + 110x213x3

2. 5a2+12a+4a416 25a

2+20a+4a22a

1. a2+4a+3

3a2+a2 3a22a

2a2+13a+21

3.4. Propiedades de la igualdad

La igualdad la podemos ver como una balanza, para fines prcticos lo que nos interesaes cmo podemos manejar la igualdad en matemticas. Principalmente queremos poderresolver ecuaciones.

Propiedades:i) Aditiva: a = b a + c = b + cii) Multiplicativa: a = b a c = b ciii) Operador: Si f es una funcin, a = b f (a) = f (b)

34

3 LGEBRA 3.5 Ecuaciones lineales

En realidad con la ltima propiedad basta y lo que escencialmente dice es que si apli-camos cualquier operacin a los dos lados de la igualdad, la igualdad se conserva. Porejemplo podemos dividir, elevar al cuadrado, sacar raz cuadrada, aplicar logaritmo, unafuncin trigonomtrica, etc.

3.5. Ecuaciones lineales

Para la solucin de ecuaciones lineales fundamentalmente necesitamos: Las propiedadesde los nmeros y la propiedad aditiva y multiplicativa de la igualdad.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucin, y en ecuaciones linealestenemos:

Propiedad Aditiva:Si p(x) = q(x) es una ecuacin entonces p(x) + c = q(x) + c es una ecuacin equivalente.Propiedad Multiplicativa:Si p(x) = q(x) es una ecuacin y c 6= 0 entonces p(x) c = q(x) c es una ecuacin

equivalente.

Nota: Como la resta es sumar el inverso y la divisin es multiplicar por el inverso sirestamos o dividimos en ambos lados se obtiene una ecuacin equivalente.

Una ecuacin lineal tiene la forma ax + b = 0, sin embargo una ecuacin puede teneruna forma diferente y despus de pasos algebraicos se puede ver que es lineal.

Como ya sabemos, resolver una ecuacin es encontrar la solucin, y es muy claro que lasolucin de una ecuacin lineal de la forma x = a es el nmero a. Por lo tanto para resolveruna ecuacin lineal la estrategia es realizar operaciones algebraicas y aplicar las propiedadesde la igualdad para convertirla en una ecuacin equivalente que tenga la forma x = a.

Ejemplo 1: Resolver la ecuacin 5(x 1) + 2 = 3(x + 2) 1Primeramente efectuamos operaciones5x 5+ 2 = 3x + 6 1 o tambin 5x 3 = 3x + 55x 3 3x + 3 = 3x + 5 3x + 3 aplicando la propiedad aditiva2x = 8 por reduccin de trminos semejantes (Cancelacin y Dilema del Mosquetero)2x2=

82

por la propiedad multiplicativax = 4 por cancelacin y tenemos que la solucin es el nmero 4.

Ejemplo 2. Resolver la ecuacin15+

23(x +

12) =

25 1

2(x + 3)

15+

23

x +13=

25 1

2x 3

2efectuando operaciones

23

x +8

15= 1

2x +1110

simplificando23

x +8

15+

12

x 815

= 12

x +1110

+12

x 815

Propiedad aditiva2x3+

x2=1110 8

15Cancelacin

4x + 3x6

=33 16

30operaciones con fraciones, o tambin

7x6=4930

35

3.6 Ecuaciones cuadrticas 3 LGEBRA

67 7x

6=

67 49

30propiedad multiplicativa

x =75

cancelacin.

Ejercicio. Resolver las ecuaciones siguientes:

6.34(

x2+

15) 3

2=

13 2

3(

x2+

34)

5.12+ 3(

x2+ 5) =

34+ 5(

x3 1)

4. 3+ 5(x +12) =

12 3(x 1

3)

3. x + 5 = 3(2x 1) + 4

2. 4+ 5(3x 1) = 2(x 3) 2

1. 5(x 1) + 2 = 3(x + 2) 1

3.6. Ecuaciones cuadrticas

Una ecuacin cuadrtica tiene la forma ax2 + bx + c = 0, llamada Forma General dela Cuadrtica y veremos esencialmente dos formas de resolverla. Primeramente debemosrealizar operaciones y aplicar propiedades de la igualdad para llevarla a la forma general.

Primeramente veremos el Mtodo por Factorizacin, para este utilizamos la propiedad:

a b = 0 a = 0 b = 0

Ejemplos. Resolver1. 5x2 25x = 0Factorizando obtenemos 5x(x 5) = 0por lo tanto 5x = 0 x 5 = 0por lo que x = 0 x = 5 y estas son las dos races de la ecuacin.

2. x2 x 6 = 0Factorizando obtenemos (x 3)(x + 2) = 0 x 3 = 0 x + 2 = 0por lo que x = 3 x = 2 y estas son las dos races de la ecuacin.

3. 10x2 + 13x 3 = 0Factorizando obtenemos (5x 1)(2x + 3) = 0 5x 1 = 0 2x + 3 = 0por lo que x =

15

x = 32

y estas son las dos races de la ecuacin.

36

3 LGEBRA 3.6 Ecuaciones cuadrticas

El segundo mtodo es utilizando la Frmula General de la Ecuacin Cuadrtica:

x =bb2 4ac

2a

Ejemplo: Resolver x2 x 1 = 0

Aplicando la Frmula tenemos:

x =(1)(1)2 4(1)(1)

2(1)=

11+ 42

=15

2por lo que las dos races

son 1+

52 y

152

Ejercicio. Resolver las ecuaciones siguientes:6. 3x2 + 2x + 5 = 0

5. 2x2 + 5x 1 = 0

4. x2 + 2x 4 = 0

3. 6x2 7x + 2 = 0

2. 3x2 + 2x 1 = 0

1. x2 2x 10 = 0

37

4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES

4. Representacin grfica de funciones

En la vida diaria una persona tiene contacto con el concepto de funcin muy seguido, porejemplo. El costo de la electricidad que consume, lo que paga en la gasolinera, la paridadpeso-dlar, etc. Es tan importante este concepto que practicamente podramos decir queno hay un lugar en la vida moderna donde no est presente. Las compaas de seguros, lasempresas automotrices, y casi toda la economa actual se maneja en respuesta a las funcionesque rigen su operacin. En el rea de ingeniera tambin es de particular importancia en lamayora de las aplicaciones.

Es por lo tanto de particular importancia que un alumno tenga un dominio del conceptoy sepa analizar, representar y manipular las funciones.

COMPETENCIA DE LA UNIDADReconoce, identifica los puntos fundamentales y grafica una funcin.COMPETENCIAS ESPECFICASReconoce las funciones elementales. Identifica los puntos y elementos fundamen-tales de una funcin. Encuentra el dominio y el rango de una funcin. Maneja conpericia GeoGebra.ACTIVIDADESPrcticas de Laboratorio (en coordinacin con el curso de Competencia Digital).Elabora un resumen de los tipos de funciones y sus grficas y los sube a su sitio.EVALUACINExamen escrito. Revisin del Site. Examen en la computadora

Como vimos en la Unidad 1, una funcin es un conjunto de pares ordenados (x,y), cuyoprimer elemento no se repite. Las funciones reales se pueden graficar en el Plano Cartesiano(dos rectas numricas perpediculares). En muchos de los casos conocemos una frmula querelaciona y con x, en este caso se usa la notacin y = f (x) y para hacer la grficaconviene encontrar algunos puntos de la funcin.

Como se conoce la frmula, prcticamente podemos encontrar el punto que queramosdndole valor a x, pero conviene seleccionar adecuadamente los puntos segn el tipo defuncin para hacer la grfica de una manera ms eficiente.

4.1. Funcin Lineal

La funcin lineal es de la forma f (x) = mx + b, donde m representa la pendiente (incli-nacin) y b representa la interseccin de la recta con el eje y (cuando el valor de x = 0 ) se lellama ordenada en el origen. La pendiente m puede ser positiva (sube), negativa (baja) o cero(recta horizontal).

Cuando b = 0 tenemos la funcion f (x) = mx que nos representa una funcin que pasapor el origen (0.0).

La pendiente viene a ser intuitivamente lo que sube o baja la recta entre lo que avanza.

m =lo que sube (baja)

lo que avanza.

En la siguiente grfica observamos cmo el valor de la pendiente es igual a 0.5 positivo,resultado de avanzar una unidad y subir 0.5 unidades.

38

4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES 4.1 Funcin Lineal

4.1.1. Graficacin de la funcin lineal

Para graficar la funcin es suficiente con cualquier par de puntosEjemplo. f (x) = 3x 6x = 0 y = f (0) = 6, x = 1 y = f (1) = 3(1) 6 = 3Estos valores los podemos poner en una tabla (tabulacin)x y0 -61 -3

Como pueden ser cualquier par de puntos, una costumbre (cuando la funcin no pasapor el origen) es encontrar las intersecciones con los ejes.

x = 0 y = f (0) = 6, y = 0 3x 6 = 0 x = 2x y0 -62 0

Por supuesto que podemos poner todos los puntos que queramos en la tabulacin, peropara la lnea recta con dos es suficiente.

Podemos tambin encontrar el valor de la pendiente: m = 31 = 3, pendiente positivao sea que sube 3 unidades en y por cada unidad que avanza de x.

39

4.2 Funcin Cuadrtica. 4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES

Vea la figura anterior y observe los valores calculados previamente y su posicin en lagrfica.

Baje el siguiente archivo llamado pendiente.ggb de GeoGebra para ver el comportamientode la funcin con diferentes valores de la pendiente.

Ejemplos:

Encuentre con el mtodo desarrollado anteriormente los puntos caractersticos y las grafi-cas de las funciones siguientes, corrobore sus resultados usando el software GeoGebra.Identifique los valores de b y m, comente lo que sucede cuando los valores son positivoso negativos:

6. y = 12 x 23

5. f (x) = 5x + 14

4. y = 12 x + 4

3. f (x) = 3x 25

2. 3x + 2y = 12

1. f (x) = 2+ 3x

4.1.2. Dominio y Rango de la Funcin Lineal.

Esta funcin como podemos observar en la grfica es vlida para todos los valores de x,por lo tanto D f = (, ), los parentesis indican que el intervalo es abierto. y el rangoR f = (, ) es igual al dominio (excepto cuando m = 0, en cuyo caso R f = {b} ).

4.2. Funcin Cuadrtica.

La funcin cuadrtica tiene la forma general: f (x) = ax2 + bx + c. El caso ms simple escuando a = 1, b = 0, c = 0 es decir, f (x) = x2 que representa una parbola que pasa porel origen (0, 0). Su grfica es la siguiente.

40

4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES 4.2 Funcin Cuadrtica.

El vrtice de coordenadas (0, 0) abriendose hacia arriba de manera simtrica al eje y, condominio D f = (, ) donde el "(" indica un intervalo abierto, es decir que el valor no seincluye en l, y rango R f = [0, ), donde el "[" indica que el intervalo es cerrado, es decirque el cero est incluido.

Retomando la forma general, vemos que en esta funcin se pueden identificar algunascaractersticas generales conociendo algunos parmetros, como por ejemplo el valor delcoeficiente principal (es decir el de la variable cuadrtica) y el discriminante b2 4ac.

Donde el valor de a puede ser

{a > 0 parabola abre hacia arribaa < 0 parabola abre hacia abajo

y el discriminante que nos permite saber cuntas veces la grfica de la parbola cruza eleje x.

Observemos la grfica anterior donde la parbola corta al eje x en un solo punto elorigen; pero cuando los valores de b y c son distintos de cero, las coordenadas del vrticede la parbola se pueden ubicar en cualquier parte del plano. Y dependiendo de su posicines que pueden o no cortar al eje x. Una manera de saber si la grfica de la parbola intersectaal eje x o no, es con el uso del discriminante.

Que puede tener tres casos.

b2 4ac > 0 corta en dos puntos al eje xb2 4ac = 0 corta en un punto al eje xb2 4ac < 0 no corta al eje x

En el primer caso si el valor obtenido del discriminante es racional; se puede factorizarcon los mtodos estudiados en la unidad anterior, en caso contrario se tiene que usar la fr-mula general. Por ltimo para hacer una buena grfica de una funcin cuadrtica (parbola)es conveniente conocer su vrtice, este se encuentra en V = (h,k) y se obtiene de la siguienteforma: h = b2a k = f (h) = a(h)

2 + b(h) + c, o sea que para encontrar k, se sustituye elvalor de h en la funcin original.

Ejemplo. Graficar f (x) = x2 6x + 8x2 6x + 8 = 0 se iguala a cero para encontrar las intersecciones con el eje x.(x 4)(x 2) = 0 resolviendo para cada factor se obtienex = 4, x = 2f (0) = 02 6(0) + 8 = 8 la interseccin con y = 8El valor del vrtice:

41

4.2 Funcin Cuadrtica. 4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES

h = (6)2(1) =62 = 3

f (3) = 32 6(3) + 8 = 1 = kLas coordenadas de V son (3,1)x y2 03 -14 0

D f = (, ), R f = [1, ).

Ejemplo. Graficar f (x) = x2 + 6x + 12

Vemos que calculando el discriminante tenemosb2 4ac = 62 4(1)(12) = 36 48 = 12. Por tanto, no hay interseccin con el eje x.

En este caso podemos encontrar los puntos donde la parbola intersecta el eje yx2 + 6x + 12 = 12 Cancelandox2 + 6x + 12+ (12) = 12+ (12)x2 + 6x = 0x(x + 6) = 0 encontrando los valoresx = 0 y x = 6 que son los valores donde y = 12.

Procedemos a encontrar las coordenadas del Vrtice.h = b2a =

62 = 3

f (h) = (3)2 + 6(3) + 12 = 9 18+ 12 = 3V = (3, 3)Vea la siguiente grfica en la que se muestran los puntos que acabamos de encontrar,

adems de que es posible observar cmo la parbola no intersecta el eje x.

42

4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES 4.3 Funcin Raz.

4.2.1. Dominio y Rango de la Funcin Cuadrtica

Dependiendo si la parbola abre hacia arriba o hacia abajo, el vrtice nos representa envalor mnimo o mximo respectivamente, lo que determina el valor del Rango. Es decir siel vrtice es un mnimo el rango es R f = [h, ) y si es un mximo R f = (, h].

El valor del dominio en una funcin cuadrtica y en general en cualquier funcin polinmicaes D f = (, ).

4.3. Funcin Raz.

De la funcin raz vamos a trabajar con dos tipos.Raz Linealf (x) =

ax + b

Raz Cuadrticaf (x) =

ax2 + bx + c

4.3.1. Raz Lineal

La raz lineal como funcin se grafica como una media parbola y dependiendo del valorde a es como esta se abre, ya sea, hacia la derecha (a>0) o izquierda (a

4.3 Funcin Raz. 4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES

Ver grfica siguiente.

4.3.2. Funcin Raz Cuadrtica

Diferente a la raz lineal, la raz cuadrtica se grafica de dos formas, como una mediahiperbola (a > 0).

Para encontrar los valores de inicio resolvemos ax2 + bx+ c = 0 encontrando dos puntosque corresponden a las coordenadas de inicio de las hiprbolas. para identificar la tendenciade las grficas tomaremos otros dos valores, uno mayor que el punto de inicio de la hiprbolaque abre a la derecha y el otro menor que el punto de inicio de la hiprbola que abre haciala izquierda.

Ejemplo

Sea la funcin f (x) =

x2 5x + 6. En este caso resolvemos primero x2 5x + 6 = 0(x 3)(x 2) = 0 de donde se ve que los valores son x = 3 y x = 2. Que corresponden a lascoordenadas de los puntos A y B de la grfica. Se seleccionan otros dos puntos arbitrariosen este caso el punto F = (6, 0) y el punto G = (2, 0) encontrando sus correspondientesordenadas.

Con x = 6 tenemos f (6) =

62 5(6) + 6 3.46 encontrando las coordenadas delpunto D = (6, 3.46) y con x = 2 se obtiene f (2) = (2)2 5(2) + 6 4.47 quedefinen las coordenadas del punto C = (2, 4.47). como se puede apreciar en la siguientegrfica.

44

4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES 4.3 Funcin Raz.

El otro caso cuando el valor de a < 0 nos da como resultado la grfica de una mediaelipse con valor mximo a la mitad de las coordenadas de los puntos de inicio y terminode la misma. Para encontrar estos puntos procedemos de la misma forma que lo hicimosen el caso anterior, es decir resolvemos ax2 + bx + c = 0 encontrando las races y el puntomedio como se mencion anteriormente, es el valor mximo de la misma.

Veamos un ejemplo.

Sea la funcin f (x) =x2 5x + 6. Resolviendo

x2 5x + 6 = 0 = (x + 6)(x 1) = 0 de donde se obtienen las coordenadas de lospuntos C = (1, 0) y D = (6, 0) el valor medio de estos puede encontrarse con la frmulah = b2a =

(5)2(1) =

52 = 2.5, encontrando la abscisa de A = (2.5, 0) correpondiente a

un valor de y igual a f (2.5) = (2.5)2 5x + 6 = 3.5 que proporciona la ordenada deB = (2.5, 3.5) con estos puntos trazamos una media elipse. Ver grfica anterior.

4.3.3. Dominio y Rango de la Funcin Raz

En el caso de la funcin raz lineal, los valores de x para los que la funcin est definidadependen de la forma de la grfica, si la media parbola abre hacia la derecha. el dominio

45

4.4 Funcin Racional. 4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES

incluye dicho valor y todos los valores mayores que ste, D f = [2, ) y el Rango los valoresmayores que cero, R f = [0, ). En caso contrario, es decir, que la parbola abra hacia laizquierda, los valores del dominio incluyen al valor de inicio de la parbola y todos losmenores a este. Suponiendo que el valor fuera x = -1. El dominio ser D f = (, 1] y elrango es similar al anterior R f = [0, ).

Para la funcin raz cuadrtica en la que el valor de a > 0, Donde las hiprbolas abrenhacia afuera, vease la grfica del ejemplo. El dominio es D f = (, 2][3, ) y el rangoes de R f = [0, ) y para la funcin raz con a < 0 cuya grfica es una media elipse, el valordel dominio es D f = [6, 1] y el rango R f = [0, 3.5].

4.4. Funcin Racional.

Esta funcin es de la forma f (x) = N(x)Q(x) donde Q(x) 6= 0 y N(x) , Q(x) son polinomiosde cualquier grado. Para la graficacin de estos se hacen necesarios conceptos que se vernen el curso de Clculo Diferencial.

En este curso propedutico veremos solamente los casos donde el numerador es unaconstante k y el denominador es una funcin lineal o cuadrtica.

4.4.1. Funcin Racional Lineal

Esta funcin f (x) = kax+b tiene dos casos especiales, el casoka > 0 y

ka < 0.

La grfica anterior corresponde al primer caso; para graficar esta funcin necesitamosencontrar en primer lugar el punto correspondiente a la asntota vertical.

Este punto es aquel en el que el denominador se hace cero por tanto para calcularlo,igualemos el denominador a cero y resolvamos para x.

Despus, hay que encontrar los vrtices de la hiprbola; para esto, trazamos la bisectrizentre las asntotas vertical y horizontal, debido a que el ngulo entre stas es 90, la bisectrizes una recta a 45 que pasa por el punto de interseccin de las asntotas.

La ecuacin de esta recta, la igualamos con la funcin original, y se resuelve para las xs.Estos puntos los sustitumos en la funcin original o en la ecuacin de la recta y encontramoslas ordenadas.

46

4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES 4.4 Funcin Racional.

Por ltimo podemos encontrar la interseccion con el eje y.Veamos un ejemplo:Sea la funcin f (x) = 12x6 . La asntota vertical se encuentra en el punto donde 2x 6 =

0 x = 3, veamos la grfica y observemos que este punto correspondiente a A = (3, 0)Despues obtenemos la ecuacin de la recta bisectriz, y = x 3 igualando las funciones

para encontrar el punto de interseccin1

2x6 = x 3 cancelando x 3 tenemos1

2x6 x + 3 = 0 tomando denominador comn1x(2x6)+3(2x6)

2x6 =12x2+6x+6x18

2x6 = 0 cancelando 2x 6 y multiplicando por (-1) obten-emos:

2x2 12x + 17 = 0 usando la llamada frmula general encontramos que x1 2.29 yx2 3.71, se sustituyen en

y = x 3 = 2.29 3 = 0.71 obteniendose el punto C = (2.29,0.71) el otro punto loencontramos al sustituir

y = 3.71 3 = 0.71, lo que permite encontrar las coordenadas del punto B = (3.71, 0.71)La interseccin con el eje y la encontramos sustituyendo x = 0 en la funcin original.f (0) = 12(0)6 =

16 = 0.17, encontrando las coordenadas del punto D = (0,0.17)

El segundo caso.Se resuelve de manera similar pero al graficar se invierte la hiprbola.

4.4.2. Funcin Racional Cuadrtica

Son de la forma f (x) = kax2+bx+c ; se vern dos casos, similar a la racional linealka > 0 y

ka < 0. Otra condicin es que el discriminante sea positivo en ambos casos.

El mtodo de solucin es similar al de la funcin racional lineal slo que, en este tipo defunciones como el denominador es una funcin de segundo grado, se tienen dos races, portanto son dos asntotas verticales.

Veamos la grfica siguiente.

47

4.4 Funcin Racional. 4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES

Tenemos que la funcin es f (x) = 1x2+x6 al resolver el denominador se observa que losvalores son x = 3 y x = 2, los que permiten encontrar los puntos A y B que son los puntosen el eje x, donde cruzan las asntotas verticales. El punto medio de la parte cuadrticaque es el mximo valor, lo obtenemos calculando el punto medio entre los dos valoresque obtuvimos o bien con la frmula xm = b2a =

12 = 0.5, la ordenada la obtenemos

sustituyendo este valor en la funcin original.f (0.5) = 1

(.5)2+.56 0.16 por lo tanto C = (0.5,0.16).Debido a que encontrar los puntos F, G, H e I, resulta en clculos muy complicados se

deja como opcional.El segundo caso donde ka < 0 se resuelve de manera similar.Veamos la grfica de la funcin f (x) = 1x2+x+6

Los comentarios y clculos para esta grfica son similares a los de la anterior.

4.4.3. Dominio y Rango de las funciones Racionales.

En las funciones racionales el dominio incluye todos los valores de x excepto en los quela funcin es indeterminada. Y el rango se comporta de igual manera. Los valores donde la

48

4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES 4.5 Funcin Logaritmo Natural

funcin es indeterminada es en los puntos donde encontramos asntotas verticales. Para elrango los valores son todos excepto el que corresponte a la asntota horizontal.

De los ejemplos.En primer caso D f = (, 3) (3,) y el rango R f = (, 0) (0,)El segundo caso D f = (,2) (2,), el rango es similar al anterior.El tercer caso D f = (,3) (3, 2) (2,),el rango es similar al anterior.En el cuarto caso D f = (,2) (2, 3) (3,) y el rango similar a los otros casos.

4.5. Funcin Logaritmo Natural

De la forma f (x) = k + ln(x p) donde k representa el desplazamiento vertical y pel desplazamiento horizontal. Tiene como caso ms simple cuando k = p = 0 es decir,f (x) = ln(x) y cuyo dominio es D f = (0,) y que el valor para x = 1 es ln(1) = 0 tieneuna grfica como la siguiente:

La siguiente grfica nos muestra la funcin desplazada horizontalmente a la derecha entres unidades, la ecuacin es f (x) = ln(x 3), en esta el dominio es D f = (3,)

49

4.6 Funcin Exponencial 4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES

Por ltimo veamos la misma grfica pero adems de las 3 unidades desplazadas hori-zontalmente tenemos 2 unidades desplazadas verticalmente hacia arriba. La ecuacin de lafuncin es f (x) = 2+ ln(x 3).

4.6. Funcin Exponencial

De la forma f (x) = k + e(x+p) que de igual manera que en la funcin logaritmo, la krepresenta un desplazamiento vertical, hacia arriba si k > 0 y hacia abajo si k < 0 y p > 0 undesplazamiento horizontal a la izquierda y a la derecha si k < 0; el dominio de la funcinexponencial es D f = (,) y el rango es de R f = (k,). Veamos la siguiente grfica.

4.7. Funciones Trigonomtricas.

Dentro de las funciones trigonomtricas veremos nicamente la funcin seno, f (x) =sen(x), cuyos valores estn asociados al circulo trigonomtrico que se discutir en captulos

50

4 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES 4.7 Funciones Trigonomtricas.

posteriores. Por el momento lo importante es reconocerla y remarcar que el dominio de lafuncin es de D f = (,) con un comportamiento peridico, es decir, que los valores serepiten con perodo 2pi, y que el rango, denominado amplitud es R f = [1, 1], ver la grficasiguiente.

51

5 LGICA Y RAZONAMIENTO

5. Lgica y Razonamiento

Una de las herramientas ms importantes de las matemticas es la lgica, porque nosayuda para argumentar nuestras respuestas y a comprobar si lo que proponemos es correcto.Aparte de la utilidad en matemticas, la lgica nos ayuda a estructurar nuestras ideas y aestablecer argumentos y conclusiones de una manera formal y ordenada. Muchas veces enla vida cotidiana se nos presentan situaciones aparentemente complejas y que parece difcilel poder establecer una conclusin; pero con un simple anlisis se puede convertir en unasituacin muy sencilla.

En este tema analizaremos las formas ms comunes de razonamiento y argumentacin,principalmente en el rea de matemticas. Cundo es posible establecer una conclusin ypor qu es vlida. Es importante que el alumno se acostumbre a argumentar sus accionesy procedimientos, no solamente en matemticas sino en cualquier otra materia y en susactividades diarias. Adems se presenta una manera formal de establecer una demostracin.

COMPETENCIA DE LA UNIDADUtiliza la inferencia deductiva para argumentar sus acciones en la vida diaria.COMPETENCIAS ESPECFICASDesarrolla una demostracin completa. Establece un argumento. Conoce los casosModus Ponendo Ponens y Modus Tollendo Tollens. Acostumbra argumentar susdisertaciones.ACTIVIDADESElaborar una cartulina con las inferencias deductivas fundamentales. Presentacinde una demostracin detallada paso a paso. Escribir en el sitio un resumen con lasobservaciones propias.EVALUACINExamen escrito. Revisin del sitio.

5.1. Inferencia

Entendemos por inferencia cualquier proceso mediante el cual se obtienen conclusionesen base a la informacin conocida. Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde laspremisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusin. Unainferencia puede ser: Inductiva, Deductiva, Transductiva o Abductiva.

Inductiva (de lo particular a lo general)

Este es el caso en el que, debido a varias observaciones se formula una regla generalo incluso una teora. Aqu por ejemplo, si durante la primera semana el maestro llega 10minutos tarde, podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusin nonecesariamente es vlida porque puede ser que el maestro algn da llegue temprano. Engeneral una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y engeneral no podemos estar seguros de que ser verdadero lo que concluimos. En este casopodemos mencionar el ejemplo del mentiroso: Un joven le dice a un amigo, t todos losdas dices mentiras; y el contesta, no es cierto, ayer en todo el da no dije una sola mentira.Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observacin deuno o ms casos y no se puede asegurar con certeza de que sea cierta, pero la verificacinde ms casos particulares y el conocimiento del tema hacen que la teora propuesta sea cadavez ms creble.

52

5 LGICA Y RAZONAMIENTO 5.2 Deduccin

La induccin es un caso muy importante de razonamiento ya que permite crear hiptesisy es como los investigadores generan las nuevas teoras. Para mayor informacin puedevisitar el URL: http://www.mitecnologico.com/Main/EjemploInferenciaInductiva

Deductiva (de lo general a lo particular)

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabeque siempre que llueve hay nubes, concluimos que el da de hoy que est lloviendo haynubes. Tambin se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analizatodos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas slo hay una posible situacin, eneste caso decimos que la situacin nica es la conclusin. As que estamos seguros de quesi las premisas son verdaderas entonces la conclusin tambin lo es.

En este caso entran MPP y MTT y se puede hacer una tabla con todos los posibles casos,llamada tabla de verdad, donde se ven las dos formas vlidas de establecer una inferenciavlida. La inferencia deductiva es la nica aceptada como vlida en lgica y matemticaspara hacer comprobaciones y sacar conclusiones, por tal razn se le dedica una seccincompleta en estas notas.

Transductiva (de particular a particular o de general a general)

Con el mismo caso del maestro que llega tarde durante los primeros das y conclumosque el lunes siguiente tambin llegar tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentidoy conclumos que lo que nos dice es ese momento es mentira.

El anterior sera de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplode un compaero maestro que la primera vez que imparti matemticas discretas observque todos sus alumnos estudiaban mucho, concluy que para el siguiente semestre todos losalumnos iban a estudiar. Esta es la situacin donde, como en el caso inductivo, no podemosestar seguros de que la conclusin es verdadera.

Abductiva (Propone una serie de posibles hiptesis sobre un hecho)

Es semejante a la deductiva, tambin utiliza la estrategia de analizar todas las posibili-dades, pero esta vez hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabeque siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, perono se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma vlidade obtener conclusiones en matemticas o en lgica y es necesario conocer ms informacinpara poder verificar la validez. Con la abduccin, as como con el proceso inductivo sepueden crear nuevas teoras y muchas veces se debe a la experiencia o conocimiento sobreel que se est haciendo la inferencia.

Se recomienda la leccin "Tres Tipos de Razonamiento", de Charles S. Peirce, que puedeencontrar (a la fecha) en el siguiente URL:http://www.unav.es/gep/OnThreeTypesReasoning.html.

5.2. Deduccin

La deduccin o inferencia deductiva, es el nico razonamineto aceptado para hacer de-mostraciones formales, pero antes de ver qu es, consideremos los siguientes casos:

Caso 1. Estamos dentro de un lugar cerrado y no podemos saber si est o no llovien-do, pero tenemos la siguiente informacin. Sabemos que siempre que llueve hay nubes y

53

5.2 Deduccin 5 LGICA Y RAZONAMIENTO

sabemos tambin que hay nubes. El argumento lo podemos escribir como:

Premisa Si llueve hay nubesPremisa Hay nubes

Conclusin ?

Caso 2. Un padre le dice a su hijo que si hace la tarea lo lleva al cine. No sabemos si hizoo no la tarea pero en la tarde los vemos en el cine. El argumento quedara:

Premisa Si haces la tarea te llevo al cinePremisa Los vimos en el cine

Conclusin ?

Si se hace el experimento en un saln de clases o con un grupo de personas, en el primercaso todos contestan que no se sabe pues puede o no llover. Sin embargo en el segundo casocasi todos coinciden en que s hay conclusin y que se est seguro que hizo la tarea.

Analicemos los casos simblicamente, en el primer caso p: llueve q:hay nubesen el segundo p: hacer la tarea q:llevarlo al cine. Las tablas quedan:

Primer casoPremisa pqPremisa q

Conclusin ?

Segundo casoPremisa pqPremisa q

Conclusin ?

Observamos que en ambos casos es la misma estructura del argumento, por lo que enlos dos casos se puede sacar conclusin vlida o en ninguno. Pero no es posible que en unos y en el otro no.

La respuesta correcta es que en ningn caso se puede obtener conclusin vlida.

A continuacin se presentan los cuatro casos posibles de argumento con una condicionalsimple, de los cuales dos tienen conclusin vlida y dos no. Como en casi todos los casos,en matemticas, las propiedades se pueden establecer con implicaciones, este modelo derazonamiento resulta ser central para poder entender matemticas. Los cuatro casos deInferencia Deductiva con una Implicacin:

MPPPremisa ACPremisa A

Conclusin C

Premisa ACPremisa C

Conclusin NO HAY

Premisa ACPremisa A

Conclusin NO HAY

Premisa ACPremisa C

Conclusin A

54

5 LGICA Y RAZONAMIENTO 5.3 Comprobacin o justificacin

Notamos que tanto el primero, como el ltimo son argumentos vlidos; mientras queen los otros dos no hay conclusin. El primero se llama MPP: Modus Ponendo Ponens y elltimo MTT: Modus Tollendo Tollens, estn en latn y en espaol MPP podra ser Ley deAfirmar Afirmando o de Poner Poniendo y MTT quedara Ley de Negar Negando o QuitarQuitando. Sin embargo es costumbre nombrarlos en latn.

Tanto MPP como MTT son reglas de inferencia vlidas, en lgica existen varias reglas deinferencia, pero por ahora solamente utilizaremos estas dos.

5.3. Comprobacin o justificacin

Una comprobacin es una justicacin formal, informal, geomtrica, ilustracin, argumen-too proceso para convencer de que algo est bi