Manual de Fotogrametria2013

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

INTRODUCCION A LA FOTOGRAMETRIA

POR

Martín E. Candanedo G., Ph. D.

* * * *

2013

Introducción a la Fotogrametría

Dr. Martín E. Candanedo G. 2

ABSTRACTO

El campo de desempeño del Ingeniero Civil impone la necesidad, a este

profesional, de manejar los conceptos básicos de la Fotogrametría.

Tradicionalmente estos conceptos han sido aplicados para el diseño,

planeamiento, ejecución, supervisión y verificación de proyectos típicos de la

Ingeniería Civil. Proyectos tales como el diseño de carreteras, los levantamientos

catastrales, obtención de datos geográficos para el manejo de cuencas

hidrográficas y otros.

En el presente documento se introduce al estudiante al desarrollo y evolución de la

Fotogrametría, sus teorías, equipos y tecnología. Se puede apreciar como el

desarrollo de más y mejores equipos influyen en el desarrollo de nuevas

aplicaciones de la Fotogrametría.

La Fotogrametría análoga es estudiada con el objetivo de ayudar al estudiante a

establecer un punto de partida en el desarrollo de la Fotogrametría como disciplina

de la Ingeniería Geomática de hoy en día. Así como el desarrollo de la fotografía

aérea y la clasificación de la Fotogrametría.



Los modelos matemáticos presentados aquí apoyan los conocimientos de la

Fotogrametría Analítica y Digital. Entre los modelos aquí revisados el estudiante

estudiará las transformaciones de coordenadas entre la imagen y el estéreo

trazador. Transformaciones que son validas no sólo en relaciones fotografía aérea

versus mapas sino en imágenes digitales (i.e. imágenes de satélites) versus

mapas.

Finalmente se presenta un capítulo donde el estudiante podrá aplicar los

conocimientos adquiridos en proyectos fotogramétricos, adquiriendo la experiencia

necesaria para el manejo, planeamiento y análisis de este tipo de proyectos

especiales.



Dedicado a mis estudiantes quienes representan el reto e inspiración para el

mejoramiento permanente.



Contenido

Introducción ..................................................... 9

1.1 Eras de la Fotogrametría. ................................... 11

1.1.1 Fotogrametría Pionera. .............................. 11

1.1.2 Fotogrametría Análoga. .............................. 12

1.1.3 Fotogrametría Analítica. .............................. 13

1.1.4 Fotogrametría Digital. ............................... 14

1.2 Problemas en la Fotogrametría de Hoy en día. .................... 15

2. Orientación de un Estéreo-par ..................................... 17

2.1 Orientación Analítica ...................................... 18

2.2 Orientación Empírica ...................................... 19

2.2.1 Orientación Relativa ................................ 21

2.2.1.1 Orientación Relativa Empírica en Trazadores

Análogos ........................................ 26

2.2.1.1.1 Orientación Relativa Independiente: ............... 30

2.2.1.1.2 Orientación Relativa Dependiente ................. 34

2.3 Superficie Crítica ......................................... 36

2.4 Deformaciones del Modelo .................................. 37

2.5 Orientación Absoluta ...................................... 45

3.BASES GEOMÉTRICAS DE LAS FOTOGRAFÍAS AÉREAS ................. 51

DEFINICIÓN: .................................................... 51

3.1 CLASIFICACIÓN DE FOTOGRAFÍAS .......................... 51

3.1.1 Según la Orientación de la Cámara Fotográfica .............. 52

3.1.1.1 Fotos Verticales .................................. 52

3.1.1.2 Fotos Casi Verticales ............................. 52



3.1.1.3 Fotos Oblicua (Baja) ............................. 52

3.1.1.4 Fotos Oblicuas (Altas) ............................ 52

3.1.1.5 Fotos Convergentes ............................. 53

3.1.2 Según el tipo de emulsión utilizada. ...................... 53

3.1.2.1 Fotografía en Pancromático (Blanco y Negro) ........... 53

3.1.2.2 Fotografía a Color ............................... 53

3.1.2.3 Fotografía Infrarroja en Blanco y Negro ................ 54

3.1.2.4 Fotografía Infrarroja a Color ........................ 54

3.2 CLASIFICACIÓN DE CÁMARAS FOTOGRAMÉTRICAS ............. 54

3.2.1 Cámaras de ángulo Angosto ........................... 55

3.2.2 Cámaras de Ángulo Normal ........................... 55

3.2.3 Cámaras Gran Angular ............................... 55

3.2.4 Cámaras Gran Angulares ............................. 56

4. ESCALA FOTOGRÁFICA ......................................... 57

5. ECUACIÓN DE COLINEARIDAD .................................... 60

6. MEDIDAS DE IMAGEN EN COORDENADAS ........................... 64

6.1 COMPARADORES ........................................ 64

6.2 ESTÉREO-COMPARADORES ............................... 65

6.3 MONO-COMPARADOR .................................... 67

6.4 AUTO SET-1: UN COMPARADOR AUTOMÁTICO ................. 70

6.5 APARATOS PARA TRANSFERENCIA DE PUNTOS ................ 74



7.0 REDUCCIÓN DE IMAGEN EN COORDENADAS ....................... 74

7.1 TRANSFORMACIÓN DENTRO DEL SISTEMA DE IMAGEN .......... 75

7.1.1 Modelo de Transformación de Affine ..................... 76

7.1.2 Modelo de Transformación Bilineal ...................... 77

7.2 CORRECCIÓN EN LA DISTORSIÓN DE LENTES ................. 78

7.3 CORRECCIÓN DE LA REFRACCIÓN ATMOSFÉRICA .............. 80

7.4 CORRECCIÓN PARA LA CURVATURA DE LA TIERRA ............. 83

7.4.1 FOTOGRAFÍAS TERRESTRES ........................ 83

7.4.2 FOTOGRAFÍAS AÉREAS VERTICALES .................. 86

8.0 MODELOS MATEMÁTICOS ...................................... 90

8.1 Transformación de proyección ............................... 96

8.2 Transformación Lineal Directa (DLT) ........................... 98

8.3 Ecuación de Colinearidad ................................... 104

8.3.1 Linearización de la Ecuación de Colinearidad ............... 110

8.4 Ajuste de Bloques ........................................ 114

9.0 SELECCIÓN DE PUNTOS PARA LA FOTOGRAMETRÍA ANALÍTICA ........ 117

9.1 PUNTO NATURAL ........................................ 117

9.2 PUNTOS SEÑALADOS ..................................... 118

9.3 PUNTOS ARTIFICIALES .................................... 122

9.4 PUNTOS FICTICIOS....................................... 122

9.5 LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN UN BLOQUE DE

FOTOGRAFÍAS AÉREAS ................................. 123

Conclusión ..................................................... 124





Introducción

El principal objetivo del presente trabajo es el de exponer a los estudiantes de la

carrera de Ingeniería Civil a los diversos conceptos relacionados con los Principios

de Fotogrametría; el de proveerlos con una visión retrospectiva que se remonta

desde los inicios de la Fotogrametría como ciencia hasta el presente donde la

Fotogrametría Digital es utilizada para modelar tridimensionalmente la superficie de

planetas inimaginables de alcanzar, o para modelar el cuerpo humano y así

garantizar el éxito en la realización de operación en donde la precisión de un corte

define la restitución completa del paciente o la perdida total de algún sentido vital

para el buen desenvolvimiento del ser humano.

Se listan una serie de equipo utilizados en Fotogrametría de forma tal que el

estudiante se vea relacionado con la terminología, utilización y aprovechamiento

de los mismos.

Por otro lado, el trabajo presenta de manera específica las teorías establecidas

durante el período de la Fotogrametría Análoga por considerarse constructivo y

necesario para el mejor aprovechamiento de las desarrolladas durante la fase de la

Fotogrametría Analítica.



Se refuerzan los conceptos relacionados con los ajustes de mínimos cuadrados,

específicamente, el modelo de Gauss-Markov de ecuaciones de observación

utilizados muy comúnmente por fotogrametristas, geodéstas, cartógrafos, etc., para

el desarrollo y solución de modelos matemáticos tanto lineales como no lineales,

estos últimos linearizados a través de las series de Taylor.

Finalmente, también se introducen conceptos relacionados con tecnología de

actualidad como lo son los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS) y los

Sistemas de Información Geográfica (SIG.), lo que le permite al estudiante estar al

tanto de los avances técnico-científicos del momento.



1.1 Eras de la Fotogrametría.

Al igual que cualquier ciencia, la Fotogrametría ha pasado a través de una serie de

etapas o períodos en los cuales ésta fue avanzando y siendo más especializada

con el fin de satisfacer las necesidades del hombre. Cada una de estas etapas o

eras han sido marcadas por algún tipo de descubrimiento o tragedia alrededor del

mundo. De esta forma la Fotogrametría está dividida en cuatro generaciones, las

cuales son identificadas por los instrumentos y técnicas aplicadas.

1.1.1 Fotogrametría Pionera.

La primera generación de la Fotogrametría cubre la segunda mitad del siglo XIX

(1840 - 1900) y está marcada con la presentación de los primeros resultados

fotográficos por el señor Lois Daguerre en 1837. Es importante resaltar que el

hombre usó la fotografía en este período para obtener Posicionamiento

tridimensional de puntos. En otras palabras, el hombre usó la fotografía para hacer

mediciones en tres dimensiones con la misma precisión en el que lo hacia en

mediciones terrestres. Esta primera generación de la Fotogrametría es llamada la

Fotogrametría pionera porque fue durante este período que el uso de la estéreo-

fotografía fue introducido (1843) y las fotografías aéreas fueron tomadas por

primera vez haciendo uso de globos de aire caliente. En adición, el primer texto de



Fotogrametría fue escrito. Esta primera generación de la Fotogrametría fue el

punto de partida para el desarrollo del concepto del uso de la Fotogrametría con el

propósito de producir mapas aunque dicho concepto no estaba aún

completamente maduro.

1.1.2 Fotogrametría Análoga.

La segunda generación de la Fotogrametría es llamada la Fotogrametría Análoga,

la cual se extiende desde 1900 hasta 1950. En esta era los estéreo trazadores

análogos (Analog Plotters) fueron usados para establecer la relación entre

imágenes y objetos (modelos) usando proyecciones ópticas o mecánicas. Los

procesos de orientación interna, relativa y absoluta, así como también la

compilación de mapas tuvo que ser hecho por el operador. Otra característica de

esta segunda generación fue el amplio uso de cámaras aéreas, las cuales fueron

usadas durante la primera guerra mundial en misiones de reconocimiento. Este

hecho marca la segunda generación de desarrollo de la Fotogrametría.



1.1.3 Fotogrametría Analítica.

La tercera generación de la Fotogrametría ha sido llamada la Fotogrametría

Analítica, la cual inicia en Agosto de 1957 cuando U. H. Helava introduce el

concepto del Estéreo Trazador Analítico (Analytical Plotter). Sin embargo, el

principal evento en la Fotogrametría Analítica sucedió hasta 1976 cuando en un

congreso en Helsinki fueron presentados ocho modelos de estéreo trazadores

analíticos por siete compañías diferentes. Debido al hecho de que las

computadoras estuvieron a mayor disponibilidad, los estéreo trazadores analíticos

fueron usados para resolver algunos de los problemas que habían sido

encontrados durante los primeros períodos. Un ejemplo de esto fue el uso de

computadoras para realizar la reducción analítica de las coordenadas dadas por la

máquina en coordenadas de la imagen (foto) después de haber sido medidas las

marcas fiduciales en el sistema de coordenadas de la máquina e incorporando la

información de calibración de la cámara.

Otro ejemplo del uso de computadoras en ésta tercera era de la Fotogrametría fue

la ejecución de la orientación relativa de manera analítica después de haber

medido las coordenadas de los puntos de Von Grubber en el sistema de

coordenadas de la imagen de dos fotografías traslapadas. Además, a través del

uso de las computadoras y la implementación de programas, las computadoras

pudieron realizar la orientación absoluta en el sistema de coordenadas del terreno



con la ayuda de puntos de control sobre el terreno. Durante este período la

investigación fue concentrada en: aéreo-triangulación de modelos independientes,

ajuste con el uso de polinomios, ajuste de bloques. Todas estas técnicas fueron

dispersas alrededor del mundo, lo que incorporó que mas tareas sean realizadas

por los computadoras. Debido a los muchos desarrollos en la capacidad de las

computadoras a este período se le denominó el período de la Fotogrametría

Asistida por Computadoras.

1.1.4 Fotogrametría Digital.

Finalmente, La Fotogrametría Digital, la cuarta generación es marcada por el

procesamiento de imágenes digitales las cuales pueden ser obtenidas de forma

directa, a través de la percepción remota del terreno, o de forma indirecta, a través

de fotografías aéreas existentes. La Fotogrametría Digital tiene sus raíces en los

años 50's pero no fue sino hasta los 80's cuando las computadoras ofrecieron el

poder suficiente para manejar las tareas tan complejas relacionadas con la

Fotogrametría Digital, las cuales se caracterizan por el gran tiempo de cómputo

que consumen.



1.2 Problemas en la Fotogrametría de Hoy en día.

Hoy en día se tiene que enfrentar dos problemas en el uso de computadoras para

el proceso de creación de mapas. El primero está relacionado con aquellas tareas

que las computadoras pueden realizar fácilmente. Es decir aquellos problemas que

pertenecen a la aplicación de la teoría en la formulación de la solución como es el

caso de la Aéreo-triangulación, Orientación Relativa y Absoluta, y la reducción de

coordenadas. Como vemos, todas estas tareas comparten un factor común, ellas

siguen un modelo matemático muy bien definido el cual, quizás, es muy difícil de

explicar a personas sin conocimiento en el campo de la Fotogrametría pero a la

vez éstos son bien fáciles de programar. El segundo tipo de problema encontrado

en la Fotogrametría Digital es aquel representado por las tareas fáciles de explicar

a personas no especializadas en las materias. Tareas que no requieren ningún

conocimiento especial sino aquellos obtenidos durante nuestros primeros años de

escuela primaria. Estas tareas están relacionadas con las funciones relacionadas a

través de la capacidad fundamental del cerebro humano. Este tipo de problema

incluye la percepción de formas, esquinas de edificios, puntos conjugados en

fotografías traslapadas. Estas tareas son extremadamente fáciles de realizar por

los humanos pero extremadamente difíciles de programar en computadoras debido

a la ausencia de modelos matemáticos que describan las tareas.



Por otro lado, la Fotogrametría Digital introduce otro problema como lo es la gran

cantidad de memoria requerida para archivar las imágenes digitales y la poca

precisión en el sistema de coordenadas del objeto debido a la limitante en el

tamaño de los píxeles (unidad mínima de resolución de la pantalla). Sin embargo,

se espera que estos problemas puedan ser resueltos próximamente en un corto

plazo. Otro problema que introduce la Fotogrametría Digital es su compleja

naturaleza, la cual incluye un sin número de disciplinas tales como: óptica,

mecánica, gráfica en computadoras, bancos de datos, sistemas expertos, patrones

de reconocimiento, procesamiento de señales e imágenes, y visión de

computadoras. Debido a este sin número de disciplinas, el investigador debe tener

una amplia gama de conocimientos para poder enfrentar los problemas

encontrados en la Fotogrametría digital. Uno de los objetivos de hoy en día en el

campo de la fotogrametría digital es la creación de la máquina de mapas, la cual

será capaz de realizar por si sola todas las tareas relacionadas con la elaboración

de mapas. Pero para consecución de este objetivo, la Fotogrametría digital deberá

resolver primero los problemas del segundo tipo.



2. Orientación de un Estéreo-par

La orientación de fotografías en un instrumento fotogramétrico es el primer

procedimiento que debe realizarse, antes que un mapa pueda ser compilado.

Debemos preguntarnos a nosotros mismos ¿por qué es esto tan importante y

por qué no podemos simplemente trazar un mapa bajo un estereoscopio de

espejos? La mayor razón para la orientación de fotografías es el hecho que es

imposible tomar fotos completamente verticales en un aeroplano. Debido a las

turbulencias el aeroplano y la cámara están siempre inclinados en ángulos

pequeños. Mediante la orientación de dos fotografías su posición y altitud es

restablecida como era durante la exposición. Esto puede realizarse mediante

una solución de un solo paso (analítica) o por un procedimiento de dos pasos el

cual es comúnmente usado por estéreo-trazadores.

En este capítulo la solución de dos pasos, consistente de orientaciones relativa y

absoluta, es discutida. Nos concentraremos en el método empírico el cual no

requiere ningún cálculo y por tanto, es usado por instrumentos análogos. La

analítica, solución de un paso, es bosquejada brevemente.



2.1 Orientación Analítica

Bajo la suposición que la orientación interior es disponible (xp , yp - punto

principal; c - distancia focal) la orientación exterior de un estéreo par debe

resolverse para doce parámetros: seis para cada fotografía:

Xo , Yo , Zo : centro de perspectiva,

, , : Ángulos de rotación.

Las ecuaciones de colinearidad constituyen el modelo matemático más popular

para este propósito. Ellas expresan las coordenadas de la imagen (x, y) como

funciones f1, f2 de:

coordenadas terrestres (X, Y, Z)

orientación interior (xp , yp , c)

orientación exterior (Xo , Yo , Z o , , , )

x = f1 ( xp , c , Xo , Yo , Z o , , , , X, Y, Z ) (2-1)

y = f2 ( yp , c , Xo , Yo , Z o , , , , X, Y, Z )

Las dos ecuaciones pueden establecerse para cada punto medido en una

imagen. Por tanto, obtenemos cuatro ecuaciones para cada punto en el caso

del estéreo-par. Como seis parámetros son desconocidos (orientación exterior)



por foto, tenemos que medir las coordenadas de imagen de por lo menos tres

puntos de control en un estéreo-par para obtener las doce ecuaciones.

Igualmente debemos tener presente el hecho que un nuevo punto (un punto de

coordenadas terrestres desconocidas) añade tres incógnitas (X, Y, Z) y cuatro

ecuaciones de observación al sistema, lo cual significa que puntos del terreno

desconocidos (puntos de amarre) contribuyen a la solución por mínimos

cuadrados y aumentan la redundancia. La solución de las ecuaciones de

colinearidad (ajuste) requiere la linearización de f1 y f2 así como de valores

aproximados. Aunque esta es la solución más exacta, sólo puede ser usada en

trazadores analíticos. Para trazadores análogos los métodos empíricos han sido

desarrollados, los cuales están completamente libres de cálculo.

2.2 Orientación Empírica

La orientación empírica de un estéreo-par consta de dos pasos:

a) La orientación relativa, la cual establece las posiciones relativas y ladeos de

dos imágenes en un sistema de coordenadas local (creamos el llamado

modelo estéreo) y,

b) la orientación absoluta, la cual transforma el modelo estéreo en el sistema de

coordenadas terrestres.



El paso b), puede ser expresado por una transformación tridimensional

semejante (2-2):

XG = XT + s R X (2-2)

Las coordenadas terrestres XG son encontradas aplicando

3 traslaciones XT = (XT , YT , ZT )

3 rotaciones R - (, , ) , y

1 factor de escala s,

al modelo de coordenadas. Para determinar estos siete parámetros de la

orientación absoluta necesitamos una combinación de los siguientes puntos de

control terrestre, lo cual nos permitirá establecer ecuaciones de observación:

Punto de control completo: 3 ecuaciones (X, Y, Z)

Punto de control horizontal: 2 ecuaciones (X, Y)

Punto de control vertical: 1 ecuación (Z).

Consecuentemente necesitamos al menos dos controles completos y uno

vertical (o dos puntos de control horizontal y tres de control vertical) para

realizar la orientación absoluta de un estéreo-par). Los puntos de control vertical

no deben formar una línea recta.



Ahora queremos averiguar cuántos parámetros tenemos que resolver para la

orientación relativa (paso a):

12 parámetros de orientación de un estéreo-par

-7 parámetros de orientación absoluta

5 parámetros de orientación relativa

De los doce parámetros, cinco definen la orientación relativa. Ésta no requiere

ningún punto de control, ya que el modelo estéreo es creado en un sistema de

coordenadas local arbitrario sin ninguna conexión con el sistema terrestre.

Resolvemos la orientación relativa usando la condición de intersección

(coplanaridad) de rayos de luz conjugados.

2.2.1 Orientación Relativa

Para determinar los cinco parámetros para la orientación relativa debemos

encontrar al menos cinco puntos en los cuales los rayos de luz conjugados se

interceptan. En este caso todos los demás rayos de luz conjugados interceptan

la superficie del modelo también. La formulación analítica de esta condición está

dada por DET (b , p1 , p2 ) = 0 y tiene ser cumplida en los cinco puntos (ver

Figura 2-1).



Figura 2-1: Co-planaridad de tres vectores b , p1 , p2

En el caso de fotografías aéreas podemos asumir que los ángulos de rotación

son pequeños. Así, cantidades diferenciales pueden ser introducidas (2-3) lo

cual permite linearizar las ecuaciones de colinearidad entre el modelo (punto P)

y las dos imágenes (Figura. 2-2). Podemos hacer las siguientes suposiciones:

centros de perspectiva:

O1 = (0, 0, Zo1)

O2 = ( bx , dby , Zo1 + dbz )

Punto modelo: P (X, Y, Z)

altura de vuelo sobre el terreno: h = Zo1 - Z

ángulos de rotación: i = di , i = di ,i = di (i = 1, 2) (2-3)

Z

Y

X

b

O2 O1

P

p1

p2



Consecuentemente obtenemos la matriz de rotación lineal:

1 -d dy

dR = d 1 -d (2 – 4)

-dy d 1

Figura 2-2: Un modelo de sistema de coordenadas para fotografías verticales.

Usando estos valores diferenciales en las ecuaciones de colinearidad

O1

Y

Z

X

P

O2

bx

dby

dbz



X = Xo + (Z - Zo ) r11 (x - xp ) + r12 (y - yp ) - r13 c (2-5)

r31 (x - xp ) + r32 (y - yp ) - r33 c

Y = Yo + (Z - Zo ) r21 (x - xp ) + r22 (y - yp ) - r23 c (2-6)

r31 (x - xp ) + r32 (y - yp ) - r33 c

podemos escribir dos pares de ecuaciones (para las imágenes izquierda y

derecha). La diferencia de las dos coordenadas Y, las cuales están dadas en el

sistema modelo, debe ser 0 a fin de satisfacer la condición de intersección.

Linearizando las ecuaciones de colinearidad y sustrayendo Y2 de Y1 obtenemos

una ecuación, de la cual la diferencia de coordenadas y de imagen (py = y2 - y1 -

paralaje) es extraída (2-7). Esto nos da la llamada ecuación de paralaje.

py = c dby + y2 dbz + x1 y1 d1 -(c + y12) d1 - x1 d1 - x2 y2 d2

h h c c c

+ ( c + y22 ) d2 + x2 d2 (2-7)

c

x1 , x2 , y1 , y2 ... coordenadas de imagen izquierda (1) y derecha (2).

Aunque (2-7) contiene ocho parámetros, la orientación relativa está definida sólo

por cinco. Por tanto, simplemente seleccionamos cinco de los parámetros de

orientación y fijamos los otros cero (0). Dos series de parámetros comúnmente

usadas son:



(a) d1 , d2 , d1 , d2 , d2 llamada orientación relativa independiente, ya que

ambas fotos son rotadas independientemente (aplicada en los trazadores

análogos Wild B8 y A7);

(b) dby , dbz , d2 , d2 , d2 llamada orientación relativa dependiente, debido a

que ésta no influye la foto 1, pero determina todos los parámetros en la foto 2.

Ésta es típicamente usada para formar una franja de fotografías aéreas con

trazadores a proyección, sin embargo, puede usarse en el A7. Como puede

observarse en (2-7), bx no tiene ninguna influencia en los paralajes y,

solamente cambia la escala del modelo. Midiendo las coordenadas de

imagen (x1, y1, x2 , y2 ) de al menos cinco puntos, las ecuaciones de

observación pueden ser planteadas (p es la observación). Un ajuste por

mínimos cuadrados puede ser realizado para determinar los cinco parámetros

de orientación.

Los trazadores análogos no permiten la medición de coordenadas de imagen.

Así la ecuación de paralaje no puede ser aplicada directamente a la orientación.

Primero debemos transformar ésta en un modelo espacial multiplicando las

coordenadas de imagen por la escala del modelo h/c (2-8):

pY = h py, Y = h y1 = h y2 , X = h x1 = h x2 + b (2-8) c c c c c

Las ecuaciones de paralaje en coordenadas del modelo están dadas en (2-9).



pY = dby + Y dbz - XY d1 + h(1 + Y2 )d1 - Xd1 - (X - b)Y d2 h h h2 h2 h

+ h(1 + Y2 ) d2 + (X - b) d2 (2-9) h2

Los paralajes Y son ahora medidos en coordenadas del modelo (lo cual puede

ser realizado por cualquier trazador análogo) y los cinco parámetros pueden ser

calculados.

2.2.1.1 Orientación Relativa Empírica en Trazadores Análogos

Cuando los trazadores análogos fueron desarrollados, las computadoras no

estaban disponibles para ajustes fotogramétricos. Por tanto, los métodos

empíricos tuvieron que ser establecidos para eliminar los paralajes Y en cinco

puntos sin cálculos, sino aplicando la siguiente estrategia:

empieza eliminando el paralaje Y en el primer punto en el modelo estéreo,

en el siguiente punto el paralaje Y tiene que ser eliminado sin crear uno nuevo

en el punto previo.

se sigue este procedimiento hasta que no hay más paralajes Y en los cinco

puntos bien distribuidos.



Prácticamente seis puntos son usados para la orientación relativa. Éstos son

llamados puntos de orientación o puntos “Von Grubber”. Sus posiciones en el

modelo estéreo están dadas en la figura 2-3.

Efectos de los elementos de las ecuaciones de paralaje sobre el

dby

d1

d1

dbz

d2

d2



paralaje Y. Figura 2-3:Influencias de los parámetros de orientación sobre el paralaje Y (Py).

Figura 2-4: Sistema de coordenadas del modelo con los seis puntos de orientación.

b........................... base

a........................... distancia al borde del modelo

O2

Y

X

Z

3

a

1

5

a b

b

b

b

a

h

h 4

2

6

a

O1

dw2



h.......................... altura de vuelo

todas las unidades están en espacio modelo.

Las coordenadas de los puntos de orientación en el sistema de la Figura 2-4 son

(2-10):

1 = (0, 0, 0) 2 = (b, 0, 0)

3 = (0, a, 0) 4 = (b, a, 0) (2-10)

5 = (0, -a, 0) 6 = (b, a, 0)

01 = (0, 0, h) 02 = (b, 0, h)

Antes que la estrategia mencionada anteriormente pueda desarrollarse,

debemos estudiar la influencia de cada parámetro de orientación sobre los

paralajes Y en las posiciones “Von Grubber”. Esto se realiza aplicando las

coordenadas de los puntos de orientación (2-10) a los coeficientes de los

parámetros en la ecuación (2-9): por ejemplo, el paralaje Y de d es causado por

el coeficiente (-X), así no hay influencia en los puntos 3, 5 (ya que X = 0), en 2,

4, 6 la influencia depende de (b) y es señalado en la dirección negativa.



La Figura 2-3 muestra las influencias de los ocho parámetros de orientación en

los paralajes Y. Usando esta gráfica podemos establecer las reglas:

2.2.1.1.1 Orientación Relativa Independiente:

Empezamos el procedimiento en

(1) punto 1 y aplicar 2 , para eliminar el paralaje Y, entonces proceder a

(2) punto 2 y rectificar con 1. Como puede observarse, 1 no crea un nuevo

paralaje en el punto 1.

Después de estos dos pasos no hay más paralajes en 1 y 2, de hecho hemos

eliminado también la influencia de la constante de d2 (2)

Ahora continuamos con

(3) punto 3 y rectificar con 2 y

(4) punto 4 y rectificar con 1. 2 no afecta 1 y 2, y 1 no influye 1, 2, ó 3. El

modelo estéreo está libre ahora de paralajes Y en los cuatro puntos, así un

punto más es necesario para completar la orientación relativa. Debido al

hecho que el componente cuadrático de 2 (2q) fue eliminado en los puntos 3



y 4 éste aparece duplicado en 5 y 6. Conociendo que la influencia restante

es,

_

py 56 = 2 a2 d2 (2-11) h

(5) calculamos el parámetro necesario para eliminar la influencia 2 :

_

d2 = py 56 h (2-12) 2a2 _ En este caso, sin embargo, py56 debe ser medido en el espacio modelo y por

tanto, estar a escala para el cambio de 2.



2

2

22

2 21 d

h

ad

h

ah

2

2

12

1

a

h

Figura 2-5: Sobre corrección de paralajes y de los puntos 5 y 6

Después del paso (5) nuevos paralajes aparecerán en los primeros cuatro

puntos de orientación, sin embargo, todos están libres de la influencia de 2, por

lo cual pueden ser rectificados siguiendo los pasos (1) a (4). Idealmente, no

debe haber paralajes remanentes en los puntos 5 y 6. Debido a simplificaciones

(suposición de localización de los 6 puntos de orientación sobre un plano como

ideal, ecuaciones linearizadas) uno tiene que cumplir un número de

especificaciones antes que un modelo estéreo perfecto sea establecido.

El paso (5) requiere el cálculo de d2. Esto puede ser simplificado usando

la llamada rectificación : tratamos de encontrar una constante la cual

cambie py 56 en el paralaje original Y causado por d2 (2-13).

py 56 = py 56 (2-13)

(2-14)

El factor de sobre-corrección puede ser calculado con (2-10). Aplicando py 56

en los puntos 5 y 6 hemos eliminado realmente por completo la influencia de

d2, lo cual es equivalente al paso (5). Como puede verse en la tabla 2-1,



depende de la distancia focal y no necesita ser calculado para cada orientación

separadamente (Fig. 2-6) (Tabla 2-1).

2

2

2

2

12

11

2

1

d

c

a

h (2-15)

Figura 2-6: Determinación del factor de sobre-corrección .

NA NA WA SWA

c (mm)

Formato (cm)

d (mm)

300

23x23

100

5.0

210

23x23

100

2.7

150

23x23

100

1.6

85

23x23

100

0.86



Tabla 2-1: Sobre-corrección para diferentes tipos de cámaras.

2.2.1.1.2 Orientación Relativa Dependiente

La orientación relativa dependiente puede realizarse siguiendo estos pasos:

1. eliminar el paralaje Y en el punto 2 con by

2. eliminar éste en el punto 1 con 2

3. continuar en el punto 4 con bz y

4. en el punto 3 con 2 ;

5. hacer la sobre-corrección de los paralajes remanentes en los puntos 5 y 6

y empezar de nuevo el paso (1). La secuencia de estos cinco pasos debe

seguirse estrictamente, ya que by afecta ambos puntos 1 y 2, y bz influye

sobre 3 y 4.

Debido a un número de simplificaciones la convergencia puede ser muy lenta,

especialmente en áreas montañosas. Para agilizar las iteraciones uno debe

considerar la determinación de 2 por un método gráfico (Fig. 2-7).



Figura 2-7: Determinación de 2 por interpolación lineal

d

d

d



Uno tiene que cumplir los pasos (1) a (4) para dos diferentes valores de 2 (2(1)

y 2(2)). Las correcciones son calculadas para ambos valores y trazadas en el

gráfico. La intersección de una línea recta que pase por estos dos puntos con el

eje horizontal nos da la corrección 2(0).

2.3 Superficie Crítica

La convergencia no es posible, si los puntos de orientación y los centros de

perspectiva caen en un cilindro (Figura 2-8). En este caso 2 es indeterminado,

lo cual significa que para cualquier valor de 2 se podría terminar sin paralajes Y

en los puntos 5 y 6 después de los pasos (1) a (4). Como puede observarse en

la figura 2-6 la superficie crítica depende del tipo de cámara y de la superficie del

terreno. Mientras una superficie relativamente plana podría causar una

singularidad con cámaras de ángulo normal (NA), uno no tendría que volar a

través de valles realmente profundos para encontrar una superficie crítica con

lentes de ángulo super-ancho (SWA).



Durante la orientación empírica uno puede averiguar acerca de la superficie

crítica si no hay paralajes remanentes después de los pasos (1) a (4). Si el

método gráfico de la Fig. 2-7 es aplicado, la línea de interpolación podría ser

idéntica al eje 2. En el caso de la orientación analítica una singularidad

numérica (por ejemplo, división por (0) podría aparecer.

A fin de evitar superficies críticas uno debe:

(a) cambiar la distancia focal de la cámara,

(b) volar a través y no a lo largo de valles,

(c) tratar de encontrar un punto entre 5 y 6 que no caiga en el cilindro, por

ejemplo, en un valle transversal que una el uno con el otro, y

(d) determinar los parámetros de orientación del bloque completo por una

solución ajustada, amarrando el aislado estéreo-par junto con todas las otras

imágenes.

2.4 Deformaciones del Modelo

Después de terminada la orientación relativa usualmente quedan algunos

pequeños paralajes Y remanentes, lo cual no altera la percepción

estereoscópica del modelo. Sin embargo, ellos originan errores de parámetros

de orientación. Usualmente la precisión de los parámetros es de menor



interés, ya que una orientación absoluta debe ser realizada para transformar un

modelo estéreo en un sistema de coordenadas terrestres.

Singularidad de la orientación relativa: Todos los puntos de orientación están situados en un cilindro.

Figura 2-8: Puntos de Orientación y centros de perspectiva cayendo sobre un cilindro.



22

22

2

1112

2

161

YdYdh

bX

dh

bXhYdd

h

XYd

h

Xhdb

h

bXdbp zxx

Las inexactitudes de la orientación relativa causan deformaciones del modelo

estéreo, es decir, el plano ideal uniforme de seis puntos de orientación está

inclinado, torcido o doblado. Aunque la orientación absoluta podría eliminar las

deformaciones planas (por ejemplo una inclinación del modelo), algunas de las

deformaciones no pueden ser corregidas.

Para estudiar la influencia de los errores en los parámetros sobre la componente

Z (elevación) del modelo estéreo tenemos que determinar primero el paralaje en

x (px = x2 - x1). De igual manera que derivamos el paralaje Y en la fórmula (2-

9), podemos obtener (2-16), la cual nos da la influencia de los errores en los

parámetros sobre X (en coordenadas del modelo).

(2-16)

con:

xx b

c

xh

c

xhdb 21



Para transformar el paralaje x en elevación, simplemente usamos la relación

(figura 2-9),

dZ = h px

b

dZ

px

h

O1 O2



22

2

22

111

22

db

hYd

b

YbX

db

bX

b

hd

b

hYd

b

XYd

b

X

b

hdb

b

bXdb

b

hdZ zx

Figura 2-9: Influencia del paralaje x sobre la elevación dZ.

En la fórmula final (2-17) uno puede ver directamente la influencia de cualquiera

de los parámetros de orientación sobre la elevación.

La gráfica (Figura 2.10) muestra las deformaciones del modelo plano.

(2-17)

Las deformaciones debidas a d y d no pueden ser corregidas completamente

por la orientación absoluta (no son planas), por tanto ellas causan alguna

influencia en el mapa final.

Ejemplo

Dado un estéreo-par aéreo (c = 85 mm, formato 23x23 cm, escala de imagen SI

= 10,000; recubrimiento longitudinal 60%; recubrimiento lateral 25%) queremos

encontrar la influencia máxima de d2 = 0.03 grados y d2 = 0.02 grados

después de la orientación absoluta. De los valores anteriores, b resulta igual a

920 m y la máxima extensión del modelo en Y es de 862 m.





Figura 2-10: Deformaciones en elevación del Modelo causadas por los parámetros de orientación.

(a) La deformación d2 tiene su máximo en los puntos de orientación 3 y 5

(máximo negativo); el error es calculado por:

dZ = - (X - b) d2 = 862 0.03 = 0.41 m

b

= 63.662 grados.

(b) La deformación d2 consta de dos componentes, uno es la constante (dZ) y

la otra es el cuadrático (dZq).

dZ = ( h2 + (X - b)2 ) d2 b b

dZ dZq



El máximo aparece en los puntos 1, 3, 5 (X = 0) y consta de:

dZ = h2 d2 = 8502 0.02 = 0.25 m

b 920

dZq = (X - b)2 d2 = 920 0.02 = 0.29 m

b

El máximo error será 0.54 m. Como puede observarse de la Figura 2-9, sin

embargo, la orientación absoluta rectifica algo de estas distorsiones. El

resultado puede ser representado por un plano a través de los seis puntos de

orientación de la superficie cuadrática. Por tanto, el error remanente es, dZq / 4

= 7 cm en el centro del modelo estéreo (X = b/2 ).



Figura 2-11: Deformación del Modelo debida a d2

Esto no influye en la precisión total del mapa, la cual en este caso será z = 0.1

% de h (para lentes SWA) = 8.5 cm; los errores en la definición del punto ( = 10

cm), así que la precisión esperada de trazado es cerca de 13 cm en elevación.

2.5 Orientación Absoluta

La orientación absoluta transforma el modelo estéreo en un sistema de

coordenadas terrestres por aproximación analítica (transformación tridimensional

de similitud). La fórmula analítica está dada por (2-18):

XG = XT + SM R X (2-18)

con:

XG ............coordenadas terrestres (XG, YG, ZG)

X ............coordenadas del modelo (X, Y, Z)

XT ...........vector de traslación (XT ,YT ,ZT )

R ........... matriz de rotación, consta de (, , )

SM .......... factor de escala (del modelo al terreno).



Para determinar los siete parámetros de la orientación absoluta al menos: dos

de los tres puntos de control vertical son necesarios. Tanto en trazadores

analíticos como en los análogos asistidos por computadora, la orientación

absoluta es realizada numéricamente; solamente en los trazadores puramente

análogos, tenemos que realizar una orientación absoluta empírica.

Antes de empezar el procedimiento, los puntos de control deben ser trazados en

una hoja de papel (hoja de mapa) a la escala deseada (SG). La orientación es

realizada en cinco pasos (los números entre paréntesis indican puntos del

modelo, los otros puntos del mapa).

(1) Traslación Planimétrica (XT , YT ): El punto de control 1 es determinado en el

modelo estéreo y la hoja del mapa es movida sobre la mesa de trazado hasta

el punto quede debajo de la pluma (Figura 2-12).

..punto de control total

..punto de control vertical



Figura 2-12: Moviendo el punto1 hacia la pluma del trazador.

(2) Alineamiento de la Hoja del Mapa (): El punto 2 es seleccionado en el

modelo estéreo y el mapa es girado alrededor del punto 1 () hasta que 12

y (1)(2) estén alineadas (Figura 2-13).

Figura 2-13: Alineamiento del mapa.



(3) Ajuste a la Escala del Modelo Estéreo (SM): Cambiando la longitud base del

modelo estéreo en el trazador análogo, la escala es ajustada de tal forma

que los puntos 1 y 2 correspondan a sus posiciones exactas en el mapa

(Figura 2-14).La corrección de la base puede ser calculada midiendo la

distancia (1)(2) en el modelo estéreo y comparando este valor con la

distancia entre los puntos de control 12 (del modelo al terreno o mapa).

__ SM = 12_ SM es el factor de corrección de escala,

(1)(2) no la escala del modelo en sí.

Figura 2-14: Ajuste a la Escala del Modelo estéreo.



La base (b) del trazador análogo consta de (bx),(by) y (bz) y puede ser

corregida por:

bx = SM (bx)

by = SM (by)

bz = SM (bz)

Después de este paso, las coordenadas horizontales del modelo y del mapa

deben ser idénticas.

(4) Traslación Vertical: (ZT). Regresando al punto 1 en el modelo estéreo, la

escala de elevación (amarrada a un tornillo o un disco) es fijada a la elevación

correcta (componente Z de las coordenadas terrestres del punto 1).

(5) Nivelación del Modelo Estéreo: (, ). El modelo estéreo debe rotarse

alrededor de los ejes X e Y a fin de hacer ambos sistemas, del modelo y del

terreno, paralelos. Estas inclinaciones ( y ) son calculadas midiendo las

elevaciones del modelo en los tres puntos de control vertical y comparándolas

con los discrepantes valores del terreno: (dz1=0, dz2 , dz3). Paralelos a los

ejes XG e YG son dibujadas a través de los puntos 1 y 2 respectivamente

(Figura 2-13) y las diferencias de elevación en las intersecciones con el

triángulo (dz4 y dz5 ) son usadas para calcular los ángulos por (2-19).

= dz4 - dz2 = dz5 (2-19)

Y24 x15



Todos los siete elementos de la orientación absoluta están determinados ahora.

También en estos cinco pasos, justo como en la orientación relativa, un número

de iteraciones serán necesarias para ajustar completamente el modelo estéreo

al sistema de coordenadas terrestres. Algunos parámetros de orientación

pueden ser determinados en diferentes formas, depende de la construcción del

trazador análogo.



Figura 2-15: Corrección de las inclinaciones del modelo estéreo.

3.BASES GEOMÉTRICAS DE LAS FOTOGRAFÍAS AÉREAS

DEFINICIÓN: Antes de entrar en los detalles de la geometría y base matemática relacionada con

la Fotogrametría, se dará una definición de lo que es fotogrametría. Según el

manual de la Fotogrametría (ASPRS, 1980), ésta se define como " el arte y ciencia

de obtener información confiable referente a las propiedades de la superficies del

terreno y los objetos sin establecer contacto físico con los objetos y de esta forma

realizar mediciones e interpretaciones de esta información."

3.1 CLASIFICACIÓN DE FOTOGRAFÍAS



Las fotografías pueden ser clasificadas de acuerdo a la posición de la cámara

fotográfica, de acuerdo al formato usado o longitud focal, o según el tipo de

emulsión utilizada.

3.1.1 Según la Orientación de la Cámara Fotográfica

Las clasificaciones de las fotografías cuya orientación de cámara varía pueden ser

identificadas por su variación en la orientación del eje óptico y el eje vertical.

3.1.1.1 Fotos Verticales

Son las fotos tomadas con su eje óptico en coincidencia con el eje vertical local.

3.1.1.2 Fotos Casi Verticales

Son aquellas fotos en las cuales el eje óptico está en coincidencia con el eje

vertical adoptado en un rango de +/- 3.

3.1.1.3 Fotos Oblicua (Baja)

Incluyen aquellas fotos no verticales que no incluyen el horizonte en la imagen.

3.1.1.4 Fotos Oblicuas (Altas)

Son aquellas fotografías no verticales que presentan el horizonte en la imagen.



3.1.1.5 Fotos Convergentes

Este tipo de fotografías son representadas por un par fotográfico de fotos oblicuas

(baja) las cuales son tomadas en secuencia y en la cuales los ejes ópticos

convergen uno al otro. Cada foto cubre esencialmente la misma porción de terreno

sobre el suelo.

3.1.2 Según el tipo de emulsión utilizada.

Las fotografías aéreas serán clasificadas de acuerdo al tipo de emulsión utilizada,

las cuales a su vez tendrán aplicaciones específicas.

3.1.2.1 Fotografía en Pancromático (Blanco y Negro)

Este tipo de emulsión es el utilizado mas ampliamente para cartografía

fotogramétrica y foto-interpretación.

3.1.2.2 Fotografía a Color

Esta emulsión es usada para la foto-interpretación y está limitada a extensiones

cartográficas. Esta emulsión proporciona una gama de matices que varía en gran

medida con la obtenida en películas blanco y negro.



3.1.2.3 Fotografía Infrarroja en Blanco y Negro

Usada también en la foto-interpretación pues penetra con mayor eficiencia que la

película pancromática aquellas áreas cubiertas de niebla debido que cuenta con

una mayor longitud de onda. Esta película es utilizada para detectar camuflages y

el delineamiento de cuerpos de agua. Rara vez utilizada para la cartografía.

3.1.2.4 Fotografía Infrarroja a Color

Este tipo de emulsión es usado para la foto-interpretación de áreas cubiertas por

vegetación; particularmente en el análisis de desarrollo de cultivos, control de

enfermedades en cultivos, análisis de suelos, y polución de las aguas.

3.2 CLASIFICACIÓN DE CÁMARAS FOTOGRAMÉTRICAS

Una característica de las cámaras fotogramétricas es la posibilidad de la

determinación de su orientación interior. La misma define el punto de mejor

geometría o punto principal definido a su vez por las coordenadas xp e yp según el

eje de coordenadas de la fotografía. Además, es posible también la determinación

de la distancia focal corregida c junto a la determinación de la distorsión de los



lentes de dicha cámara. Los formatos que comúnmente se utilizan en las cámaras

fotográficas son de 23 cm por 23 cm. Estas cámaras son fabricadas con diferentes

distancias focales lo que determina el ángulo de cobertura del lente medido sobre

la diagonal. A continuación se clasificarán las cámaras según la distancia focal.

3.2.1 Cámaras de ángulo Angosto

Tienen un ángulo de cobertura de 10 a 20 grados. Su longitud focal es de 610 mm

a 915 mm, y son utilizadas para la foto-interpretación.

3.2.2 Cámaras de Ángulo Normal

La longitud focal de estas cámaras varía entre 210 mm a 300 mm y su ángulo de

cobertura esta entre 50 y 75 grados. Es utilizada principalmente en foto-

interpretación, cartografía, fotografía a color, levantamiento de mosaicos y

fotografía ortogonal.

3.2.3 Cámaras Gran Angular

Este grupo lo comprenden aquellas cámaras cuyo ángulo de cobertura está entre

85 y 95 grados y cuya longitud focal esta alrededor de los 150 mm. Estas cámaras

son las cámaras fotogramétricas de mayor uso y mas comunes en el mercado.



3.2.4 Cámaras Gran Angulares

Tienen un ángulo de cobertura que varia entre 110 y 130 grados y una distancia

focal de 90 mm. Utilizadas en fotogrametría de áreas con poco relieve o

relativamente planas.



4. ESCALA FOTOGRÁFICA La escala de un punto en la foto esta dada por la relación de tamaño imagen-

objeto. Debido a la característica de proyección central de la fotografía aérea, la

escala puede ser definida en términos de distancias en la imagen y en el espacio

objeto.

Sea m la distancia entre dos puntos medidos en la imagen y M la distancia entre

los mismos dos puntos sobre el terreno, entonces la escala de la imagen (Si) será:

También la escala de la imagen puede ser expresada en términos de la distancia

focal calibrada c y la altura de vuelo h. De esta forma tenemos:

Como vemos la escala de la imagen expresa una relación entre la elevación del

avión sobre un punto determinado y la distancia focal calibrada. Por ende esta

relación se da en términos puntuales a través del terreno. En otras palabras,

debiéramos tener una escala diferente para cada punto sobre la imagen. Una de la

iS =m

M (4-1)

hc=Si / (4-2)



suposiciones hechas para la determinación de la escala de una imagen es la de

considerar una elevación promedio en el terreno y de allí medir la elevación del

avión. De esta forma, la escala de un punto cuya elevación ha esta referida a un

datum especifico y sea H la elevación del avión con respecto a el mismo datum,

tenemos que la escala del punto a será:

Ejemplo No.

Un avión vuela a una altura de 5200 pies sobre el nivel del mar, se sabe

que el nivel medio de elevación del terreno es de 980 pies y que la longitud focal

de 8.25 pulgadas. Cual es la escala de la imagen?

iS =1

6138

Ejemplo No.

a

a

S =c

H - h (4-3)

iS =8.25 / 12

5200 -980



Calcule la altura de vuelo del avión con respecto al nivel medio del suelo si

la distancia focal calibrada es de 15 cm y la escala Si=10,000.

Otro tipo de relación que envuelve la escala fotográfica es la que es establecida a

través de una distancia medida en la foto, su correspondiente distancia medida

sobre el suelo, la distancia correspondiente medida sobre el mapa y la escala del

mapa.

iS = 10000,c = 150mm,h = ?

i

i

S =c

hh =

c

S

h =0.15

1 / 10000h = 1,500mts



5. ECUACIÓN DE COLINEARIDAD El concepto de colineridad esta definido a través del gráfico siguiente:

Figura 4.1 Relación de colinearidad

El concepto se basa en que un punto P en el espacio objeto, la estación de

exposición O y un punto p en el espacio imagen se encuentran sobre una línea

común. Esto es denominado el rayo de formación de imagen, el cual pasa sin

exposición al punto en la imagen. Este tratamiento geométrico de la Fotogrametría

no involucra pequeñas perturbaciones como el encogimiento de la película; sin



embargo, la distorsión de la imagen producto de los lentes y la refracción

atmosférica si son considerados.

Un importante resultado de la condición de colineridad es el establecimiento de

relaciones de triángulos correspondientes a los espacios de objeto e imagen.

Asumiremos inicialmente que el sistema de coordenadas del objeto (XYZ) puede

ser rotado alrededor de sus ejes paralelos hacia los ejes de coordenadas de la

imagen (x, y, z). A estos ejes rotados los denominaremos (X' Y' Z'), con los cuales

estableceremos un sistema de triángulos semejantes en los planos X'Z' y Y'Z', de

esta forma tenemos:

''

''

0

0

ZZ

XX

c

xx p

(4-4)

en adición, tenemos:

''

''

0

0

ZZ

YY

c

xx p

(4-5)

de estas dos ecuaciones tenemos lo siguiente:

0

'0

Z-Z

X-X*c-x=x p

(4-6)



Nótese que el valor (Zo' - Z') ha sido invertido al valor (Z'- Zo') y por ello obtenemos

un signo negativo (-) delante de la segunda expresión en cada una de las

ecuaciones.

'

0

'

Z-Z

Y-Y*c-y=y o

p

(4-7)

Las funciones escritas arriba establecen la ecuación de colineridad. Sin embargo,

el sistema de coordenadas del objeto es paralelo al sistema de coordenadas de

imagen por lo que debemos rotar el sistema de coordenadas (X, Y, Z) con la

intención de obtener un sistema paralelo a (X', Y', Z') el cual es paralelo al sistema

de coordenadas de la imagen. La mencionada rotación es posible con el uso de

una matriz de rotación (R):

oZZ'

oYY'

oXX'

*

rrr

rrr

rrr

=

c

ypy

xpx

333231

332221

131211

(4-8)

De donde el vector entre el punto objeto y el centro de perspectiva es rotado desde

un sistema paralelo a la imagen a un sistema paralelo al objeto; el cual puede ser

escrito como:

x = xp - c * Nx / D (4-9)

y = yp - c * Ny / D (4-10)



donde Nx, Ny y D son expresados como:

)Y-(Yr+)Y-(Y*r+)X-(X*r=N o31O21o11x (4-11)

y 12 o 22 o 32 oN = r *(X - X )+r *(Y -Y )+r *(Z - Z ) (4-12)

D= r * (X - X )+ r * (Y - Y )+ r * (Z - Z )13 o 23 o 33 o (4-13)

Donde la matriz de rotación se expresa como:

R=

coscossinsincoscossincossincossinsin

cossinsinsinsincoscoscossinsinsincos

sinsincoscoscos

(4-14)



6. MEDIDAS DE IMAGEN EN COORDENADAS En los capítulos siguientes veremos que las coordenadas de imagen son usadas

como observaciones para los modelos matemáticos. Ahora vamos a discutir los

procesos de medida de imagen coordenadas en comparadores, la reducción de

valores medidos dentro del sistema definido por las marcas fiduciales y la

distorsión que influyen en la exactitud de las coordenadas. Finalmente, diferentes

tipos de puntos pueden ser tomados y de esa forma la posición fotogramétrica

estará descrita.

6.1 COMPARADORES

Comparadores son máquinas de alta precisión para medir las coordenadas X,Y en

el plano de la imagen. Dependiendo de la construcción la precisión de estos

instrumentos puede ser tan exacta como 1mm. Usualmente, las fotografías son

fijadas con placas de vidrio, la cual son movidas por giradores manuales. El

sistema de visión y las marcas de medida son estacionarías. Procederemos más

adelante a discutir 2 tipos de comparadores:

El monocomparador para medir las coordenadas de imagen en una fotografía y el

estereocomparador el cual es usado para seleccionar en la imagen puntos



estereoscópicamente y la medida de coordenadas en ambas fotografías

simultáneamente.

6.2 ESTÉREO-COMPARADORES

Estos instrumentos tienen que estar específicamente desarrollado para medidas

de imagen en coordenadas en la triangulación área del estereo par fotogramétrico.

Los estereo-comparadores usualmente consisten de dos placas montadas en un

marco sólido. Dos marcas de medida estacionarías son centradas encima de las

placas. Si las dos fotografías son alineadas (como abajo de un estereoscopio de

espejo) y son acercadas como en el caso normal, estos puntos pueden

seleccionarse estereoscópicamente. En el caso del estereo-comparador Wild

STK-1, una larga placa es movida en ambas imágenes en paralelo (figura 5-1).

Esto es usado para seleccionar un punto en la imagen izquierda, y para medir en

este comparador (máquina) las coordenadas (x1 , y1). La placa chica solo traslada

la imagen derecha relativa para la izquierda. Esto es usado para aclarar la

distorsión entre la marca de medida y el punto conjugado en la imagen derecha,

por lo tanto, nosotros actualmente medimos los paralajes (Px , Py) del punto en la

imagen derecha (5-1). Las coordenadas del comparador de la imagen derecha

son computados para las coordenadas de la imagen izquierda y los paralajes (5-3).



Px = x2 - x1 (5-1)

Px , Py son la diferencia de coordenadas (paralajes)

x 2 = x 1 + Px (5-2)

y 2 = y 1 + Py (5-3)

Figura 5-1: El Wild STK-1 estereo-comparador

La mayor ventaja del estereo-comparador es que los puntos son seleccionados en

una vista tridimensional, la cual naturalmente produce altas precisiones y minimiza

la selección errónea de puntos. Sin embargo, la visión estereoscópica es solo

posible si las rotaciones w y ø de las fotografías aéreas son pequeñas; para la

convergencia fotográfica esta es muy dificultosa para obtener una vista



estereoscópica. Por lo tanto, la razón base-altura del par estéreo será entre 1:5 y

1:10. Una gran relación de base-altura imposibilita realizar estereoscopía.

B:H = 1:5 - 1:10 (5-4)

6.3 MONO-COMPARADOR

El principio básico del mono-comparador es el de exponer usando el Zeiss PK-1,

el cual es un comparador de precisión y proporciona automáticamente los registros

de coordenadas (Figura 5-2). Este consiste de una placa de vidrio en la cual la

fotografía podrá ser fijada. Bajo la placa, dos escalas de vidrio estacionarías son

sujetadas en el marco junto con la marca de medición en el centro.

En la placa movible se llevará la fotografía, a diferentes posiciones x,y que pueden

seleccionarse. Estos instrumentos tienen un sistema de visión binocular; ambos

ojos son dirigidos para la misma área en la foto.

En el borde del carro hay puestas unas líneas en paralelo la cual son parte de un

codificador lineal para el registro automático de coordenadas junto con las dos

escalas de vidrio (Figura 5-3). El ancho de cada par de línea es de 40um. Por

debajo de la escala de vidrio hay una fuente de luz el cual se enfoca unos 45º

hacia el carro. En las líneas negras toda la luz es completamente absorbida. La

luz pasa a través de las escalas de vidrio, y el botón del carro es oprimido. Los



espacios entre las líneas de luz son completamente reflectados, en las líneas

negras estas son absorbidas. La luz restante pasa a través de las escalas una

segunda vez y es absorbida por un censor (diodo), el cual mide la intensidad de la

luz reflejada. Si el carro es movido percibiremos una secuencia máxima y mínima

de intensidad en el censor, el cual puede ser contado por el procesador.

Adicionalmente, entre las altas y bajas intensidades podremos interpolar en 20

pasos. Por consiguiente, una precisión de 1um puede ser alcanzada con este

instrumento.

Figura 5-2: El mono-comparador Zeiss Pk-1



Figura 5-3: Registrador automático de coordenadas de imagen con el mono-comparador

Codificadores de este tipo son usados con varios instrumentos modernos de

fotografía, como los análogos computarizados y ploters analíticos. En este

contexto también mencionaremos la regla "Abbe's", la cual nos plantea que la

precisión de un comparador depende de su construcción. Abbe dice que la

distancia que deseamos medir y la escala deberán estar en la misma línea

recta. Cuanto mas alejados esten los dos, mayor será el error de medición. La

Figura 5-4 nos muestra un ejemplo en la cual la escala es distorsionada para la

distancia que será medida.



Figura 5-4. Un comparador construido conforme con las reglas de Abbe

El Zeiss PK-1 es construido según la regla Abbe's con las 2 escalas alineadas

con las marcas flotante (el estéreo-comparador en la figura 5-1 no es de este tipo),

por lo tanto esta precisión depende únicamente de la escala del vidrio.

Para propósitos fotogramétricos una precisión de 1um tiene que ser alcanzada y

así permitir una mayor exactitud para la determinación de un punto.

6.4 AUTO SET-1: UN COMPARADOR AUTOMÁTICO



Auto Set-1 es un comparador para realizar medidas automáticas de coordenadas

de imágenes en fotogrametría industrial. Este es parte de un sistema giratorio de

llaves (STARS-1) desarrollado por Servicios Geodésicos Inc. (GSI). Auto Set-1 es

esencialmente un monocomparador cuya placa es movida con alta presición con

un servo-motor en la dirección del eje x,y. La estabilidad de estos aparatos es

garantizada por una base sólida de granito. Los puntos no son medidos por un

operador humano; en cambio, una pequeña parte de la fotografía es digitalizada

por una cámara CCD (Figura 5-5).

Figura 5-5.Digitalización con Auto Set-1



Esta imagen digital es consecuentemente analizada en el computador. Las

posiciones aproximadas de los puntos fijos deben ser conocidos para ser

evaluadas. Usualmente puntos retro-reflectivos son utilizados. Si ellos son

iluminados con una luz rápida durante la exposición, estos dan un contraste muy

fuerte y pueden ser automáticamente mostrados en la parte digitalizada en la foto.

La determinación de las coordenadas de la imagen actual es hecha por un

algoritmo de extracción centroidal (Figura 5-6). Esta técnica encuentra los bordes

de los puntos y determina el centro de gravedad de todas los píxeles (5-3).

Centro de gravedad



Figura 5-6. Extracción del centroide

Xc= (Xi (gi – gth)) Yc= (Yi (gi – gth)) (5-3) (gi - gth) (gi - gth)

Xc , Yc ………………………… centro de gravedad Xi, Yi ………………………… coordinates of any pixel of the target gi ………………………………. Valor de gris del píxel en el punto (Xi, Yi )

gth ………………………………. Valor inicial de gris.

Este sistema es muy utilizado en la fotogrametría industrial y produce precisiones

en la determinación de las coordenadas de imagen mejor que 1um (después del

ajuste). Más importante, que esta precisión es la independencia del operador, ya

que las medidas son hechas automáticamente.



6.5 APARATOS PARA TRANSFERENCIA DE PUNTOS

Para la mayoría de las aplicaciones fotogramétricas los estéreo-comparadores no

son útiles como lo son las fotografías convergentes, por eso, los mismos mono-

comparadores son preferidos, los cuales son relativamente baratos y más chicos.

Sin embargo, la identificación de puntos conjugados en un número de imágenes se

hace difícil. Con este propósito el aparato de transferencia de puntos ha sido

desarrollado para seleccionar y marcar puntos estereoscópicamente. Estos

instrumentos nos proporciona físicamente marcas de puntos en la emulsión de la

película a través de pinchadas o pequeños agujeros. Esto es importante para así

unir puntos que son usualmente puntos naturales y no pueden ser identificados

muy bien en una sola fotografía. (e.g. Wild Pug4, Kern PMG 2, Zeiss PM-1).

7.0 REDUCCIÓN DE IMAGEN EN COORDENADAS

En este capítulo discutiremos las técnicas de transformación de medidas del

comparador (máquina) dentro del sistema de coordenadas de imagen, y en que

forma corregir todos los tipos de errores sistemáticos en los puntos de la imagen.



7.1 TRANSFORMACIÓN DENTRO DEL SISTEMA DE IMAGEN

Los valores medidos por un comparador (x,y) son expresadas en un sistema local

de coordenadas (máquina), la cual no tiene conexión con el sistema de

coordenada de imagen definido por las marcas fiduciales de la cámara (Figura

6.1).

Figura 6.1 Transformación de coordenadas

Si se utiliza una imagen digital, las medidas son usualmente dadas en

coordenadas de píxeles con el origen en lo más alto de la esquina izquierda de la

matriz de valores de grises. Estas medidas pueden ser transformadas dentro del

sistema de imagen por la transformación de Affine (Figura 6.1).



2

2

b

a

1

1

0

0

b

a

b

a

y

x

y

x

7.1.1 Modelo de Transformación de Affine

Los parámetros de transformación son calculados usando las coordenadas de las

marcas fiduciales del certificado de calibración, las cuales son evaluadas para

todos las cámaras métricas. Para fotografías aficionadas el origen del sistema de

coordenadas de imagen es aproximadamente el centro de la imagen.

(6-1)

00 ,ba ………………………… Translaciones para cambiar del sistema original del

comparador a el centro de la imagen.

2121 ,,, bbaa …………………. 4 parámetros no ortogonales (esto no es una

matriz de rotación), y permiten diferentes escalas

en las direcciones x, y así como diferentes

rotaciones en los ejes coordenados.

La transformación de Affine compensa la mayor parte de los errores debido al

encogimiento de la película, escalas diferentes, y la falta de ortogonalidad de los

ejes del comparador.



En la mayor parte de las fotografías las cuatro marcas fiduciales son evaluadas

para los modelos de transformación de coordenadas en la imágen. Como

tenemos que encontrar los elementos para la transformación de Affine, podemos

resolver por la teoría de mínimo de cuadrados (una marca fiducial define dos

ecuaciones, consecuentemente las cuatro marcas fiduciales nos dan ocho

ecuaciones de observación).

7.1.2 Modelo de Transformación Bilineal

Algunas veces la transformación bilineal es usada para cámaras cuyas marcas

fiduciales están en las esquinas de la fotografía (6-2) y (6-3).

.

1 2

3

4 6

7

8

5



La transformación bilineal consiste de ocho parámetros los cuales pueden ser

resueltos por las ocho ecuaciones de observación de las marcas fiduciales.

x = ao + a1X + a2Y + a3XY (6-2)

y = bo + b1X + b2Y + b3XY (6-3)

7.2 CORRECCIÓN EN LA DISTORSIÓN DE LENTES

Para conseguir precisiones altas en los puntos objetivos de las coordenadas de

imagen, esta debe estar libre de errores sistemáticos. Por lo tanto, tenemos que

saber conseguir todas las influencias físicas en las coordenadas de imagen. No

todos estos valores pueden ser medidos directamente, simplemente son dados en

el certificado de calibración, tal como, la distorsión radial en los lentes. Ellos son

usualmente definidos como una polinomial gráfica (Figura 6-2) o son listados en

una tabla en intervalos de más o menos 1cm. La distorsión radial de lentes

depende de la distancia entre el punto principal (Xp,Yp) y el punto en la imagen (Xi ,

Yi) (6-4), esto es llamado el radio (ri).

22

pipii yyxxr (6-4)



Figura 6-2. Corrección Radial de lentes

Para cada punto en la imagen una distorsión específica puede ser determinada por

la distancia radial computada y la interpolación entre los valores dados del

certificado de calibración. La dimensión en la distorsión (r) es usualmente

pequeña que 5um en cámaras métricas modernas. La corrección radial tiene que

ser separada dentro de estos componentes (x,y) y pueden ser aplicados

directamente con la coordenada de imagen de un punto específico (6-5 , 6-6).

(6-5)

(6-6)



7.3 CORRECCIÓN DE LA REFRACCIÓN ATMOSFÉRICA

Como el índice refractivo cambia a lo largo de un radio de luz de la estación de

exposición con el punto objeto, la corrección entre las 2 no puede aproximarse a

una línea recta. La variación en el índice es dado por el cambio de temperatura,

humedad, y la presión de aire en diferentes capas de la atmósfera. Esta influencia

siempre es en la dirección radial de los puntos. (Figura 6-3)

Figura 6-3.Corrección de refracción atmosférica

La desviación angular del rayo de luz es dada por t en la ecuación (6-7).



(6-7)

Hemos visto que la refracción depende del índice K, la cual varía con la

meteorología y la longitud de onda de la luz. Muchas fórmulas diferentes están

derivadas para aproximarse a K para longitud de ondas pancromáticas y una

atmósfera estándar (6-6).

)2506(250600241.0

2

00

2

0

0

pp

p

ZZZ

Z

ZZ

ZK

(6-8)

Z0 =centro de perspectiva sobre el nivel del mar (unidad en Km). Zp =nivel medio del terreno sobre el nivel del mar (unidad en Km). Otra formula para K es:

K = 13 * ( Z0 - Zp ) [ 1 - 0.02 ( 2 * Z0 + Zp ) ] * 10-6



El desplazamiento radial de las coordenadas de imagen (r) puede ser derivadas

para t (6-7) o como una función de K (6-7). Finalmente, tenemos que dividir esta

corrección dentro de las componentes X,Y en una vía similar, como hicimos para la

distorsión radial en (6-4).

(6-9)

(6-8)

Estas correcciones son necesarias para lentes de ángulos gran angulares y

pequeñas escalas fotográficas como pueden ser visibles en la tabla 6-1.



Tabla 6-1. Corrección de Coordenadas de la Imagen (Zp=0.5 km)

7.4 CORRECCIÓN PARA LA CURVATURA DE LA TIERRA

La curvatura de la tierra no es un error del modelo fotogramétrico, solo es un

problema en la definición del sistema de coordenadas terrestres. Las coordenadas

de la tierra son usualmente relacionados con un plano X - Y, mientras que la

proyección de mapas que son relativamente dadas por una esfera en un elipsoide.

Para muchas aplicaciones la diferencia puede ser descartada, sin embargo, la

corrección debe ser aplicada para mapas de escalas pequeñas y proyectos

fotogramétricos de terrenos con áreas largas. En este sección discutiremos la

corrección en la curvatura de la tierra en la coordenada de imagen, en capítulos

siguientes la corrección en el sistema objetivo es explicada.

7.4.1 FOTOGRAFÍAS TERRESTRES

La influencia de la curvatura de la tierra en elevaciones ( E) es aproximado en (6-

11), una aproximación similar es hecha por la refracción ( R) en (6-12). La

ecuación (6-15) nos da la formula directa para la corrección de la estimación de la

coordenada Y de la fotografía horizontal (Figura 6-4). Si tomamos la imagen del

terreno, la comparamos con la coordenada Y del ángulo vertical de un teodolito y

solo representamos a la coordenada que necesita ser corregida.



El procedimiento usual para posicionamiento de puntos en proyectos del terreno es

el siguiente:

Primero, todas las coordenadas de los puntos son determinados sin considerar la

curvatura de la tierra y refracciones; esto significa que derivamos estos valores

aproximadamente. Con estos podemos computar la mencionada corrección para

la coordenada Y.



Figura 6-4. Corrección Combinada de Refracción Atmosférica y Curvatura de la Tierra (Fotogrametría terrestre)

Ei = influencia de la curvatura de la tierra sobre las elevaciones

Ri = influencia de la refracción Ai =distancia entre la estación de exposición y punto objeto k....coeficiente de refracción = 0.13 Zi ..elevación del punto objeto Z0 . elevación de la estación de exposición

(6-11)

(6-12)

La relación máxima de la elevación del objeto y el centro de perspectiva es dado

bajo:

(6-13)

(Z0 + Zi ) /2R es la influencia de la elevación sobre el dato en la extensión de la distancia Ai .



Esta función puede ser cambiada para expresar la elevación del objeto

dependiendo de la coordenada de imagen yi y una corrección yi (6-10)

(6-14)

yi : corrección de las coordenadas de imagen

Finalmente, computamos esta corrección yi (6-15)

(6-15)

La influencia en la coordenada de imagen es pequeña para cortas distancias, sin

embargo, esto no puede ser desapercibido para distancias de 1 Km de longitud.

Estas correcciones tienen que ser aplicados en proyectos, tales como, rastreador

de satélites y pequeñas escalas del terreno para foto-triangulación.

7.4.2 FOTOGRAFÍAS AÉREAS VERTICALES

En proyecciones fotogramétricas aéreas asumimos que las coordenadas de la

tierra son dadas en un sistema de coordenadas planas el cual es tangencial con el

centro de la tierra en el modelo - estereo (figura 6-5).



Figura 6-5 Modelo Estéreo de la Tierra

El control geodésico, sin embargo, es emparentado con el geoide o elipsoide, el

cual significa que las elevaciones son erróneas en Ei . Obviamente, la diferencia



de elevaciones depende de la distancia de un punto específico desde el centro del

modelo - estereo. Antes podíamos usar los puntos de control, y teníamos que

reducir sus elevaciones del plano tangencial. Una vez que determinemos los

puntos analíticamente es complementado en este sistema de coordenadas planas

(topocéntricas), los puntos nuevos tienen que ser corregidos otra vez por Ei , en

orden están puestos en el dato. Queremos el estimado de la corrección máxima

Emax , la cual aparece en la esquina del modelo - estereo (6-16).

R

B

R

B

E8

5

2

2

52

2

max

(6-16)

B √(5/2 )= mitad diagonal del modelo - estereo

Considerando una precisión vertical de la determinación del punto

z = ± 0.06 ‰ de h (altura de vuelo)

Las elevaciones deben ser corregidas por:

Lentes gran angular para escalas de imagen menores de 1:6000 Lentes angulares para escala de imagen menor que 1:10,000 Lentes normal para escalas de imagen menores que 1:20,000



Escala de Foto

(en metros) Corrección máxima de curvatura de la Tierra ∆Emax

‰ de altura de vuelo

c = 85 mm c = 150 mm c = 300mm

1:10,000 0.08 0.10 0.06 0.03

1:50,000 2.1 0.49 0.28 0.14

1:100,000 8.3 0.98 0.56 0.28

Tabla 6-2 Correcciones máximas en las esquinas del modelo

Existen otros tipos de distorsiones que deben ser consideradas para los lentes de

las cámaras que pueden ser modelados bajo ciertas circunstancias. Estas

distorsiones son:

a) Distorsión de de-centrado: ocurre cuando hay un mal alineamiento de el

sistema de los lentes a lo largo del eje óptico.

b) Distorsión anómala: es una distorsión irregular de la fotografía que no

puede ser conectada con ninguna influencia física.

c) Distorsión de película fotográfica: representa la distorsión del plano

fotográfico.

Está claro que estas distorsiones y sus parámetros de corrección deben estar

disponibles previo a cualquier calibración. Finalmente los errores sistemáticos

producto de la falta de adherencia de la película al marco de la fotografía

(unflatness) podrían exceder los 5μm en algunas regiones de la fotografía. Para

obtener la máxima precisión en la posición de puntos, la corrección de estos

errores es mandataria.



8.0 MODELOS MATEMÁTICOS

Históricamente la decisión de planificación estratégica de crecimiento de un país

ha sido competencia del estado. Sin embargo con los procesos de privatización

de las empresas del estado, las compañías privadas prestadoras de los servicios

públicos planifican las inversiones con el propósito maximizar los beneficios sin

priorizar la demanda social.

El estado actual debe planificar su crecimiento del país buscando el bienestar

general orientando las inversiones del capital privado. Es entonces el estado

quien debe conjugar el rumbo de crecimiento y desarrollo.

El reemplazo del rol estatal por el del mercado privado conlleva a que solo los

sectores previamente capacitados puedan absorber u beneficiarse del impacto,

lo que resulta en un incremento de la brecha entre los ricos y los pobres. En

medio de esta situación se dice que la economía crece.

Si desarrollo tiene que ver con aspectos como mejoramiento de calidad de vida,

disminución de la pobreza, entonces se puede concluir que crecimiento



económico y desarrollo no son sinónimos. Es por ello que el estado debe asumir

un rol de promotor de estrategias del desarrollo nacional.

En la economía mundial globalizada, las principales actividades dominantes

actúan como unidad a escala planetaria.

La economía globalizada es un sistema en expansión y altamente dinámico pero

también segregante y excluyente de importantes sectores y territorios. Incluye lo

que crea valor o se valoriza y excluye lo que se devalúa.

Las condiciones físicas, topográficas o de distancia han dejado de ser prioritarias

para la localización de las inversiones y emergen como determinantes otro tipo

de condiciones.

Hora existe una competencia entre territorios para la captación de las

inversiones (MERCOSUR, ECO, NAPTA, etc.).

Uno de los indicadores de la evolución de la economía de un país es el PBI

(producto interno bruto). Donde un aumento del PIB nos indica un crecimiento

económico y una apertura externa. Si comparamos la distribución de los

ingresos y existe una disparidad entre los sectores (pobres vs. ricos).



Antes que cualquier modelo matemático sea derivado, debemos ver de cerca las

aplicaciones de los métodos fotogramétricos y sus ventajas. El fotogrametrista

está interesado en derivar objetos en el espacio tridimensional o coordenadas

sobre suelo con el uso de imágenes fotográficas con la mayor precisión sin tocar

el objeto mismo. Generalmente este método es conocido como posicionamiento

puntual fotogramétrico.

Los procedimientos clásicos para el posicionamiento 3 – Dimensional incluye

métodos geodésicos, como lo son la intersección de teodolitos y la medición

directa de coordenadas, lo que se conoce también como la medición de

coordenadas de máquinas.

Existen muchas ventajas de la fotogrametría sobre las otras técnicas

mencionadas. Primeramente, la fotogrametría es un método de posicionamiento

de no contacto, por lo que no necesitamos hacer contacto con el objeto a medir

sobre la superficie terrestre. En fotogrametría tomamos imágenes con un gran

número de puntos de forma simultánea y además podemos guardar la fotografía

como documentación.

Al mantener estas tres ventajas en nuestras mentes, podemos describir muchas

aplicaciones del proceso de posicionamiento puntual fotogramétrico. La lista que



se presenta a continuación no está completa pero sirve como ilustración al

potencial de uso de este trabajo.

Determinación de los puntos de control para cartografía y topografía .

Puntos de control para ortofotografía y mapas de ortofotos.

Densificación de redes de triangulación

Modelos Digitales de elevación (DEM) – captura de datos.

Levantamientos de edificios y construcciones

Levantamiento de modelos técnicos

Reconstrucción de objetos por fotografía aficionada

Procesos de control industrial (visión de máquinas y robótica)

El proceso común para resolver el problema de posicionamiento

fotogramétrico puede ser descrito como sigue:

“Las coordenadas de puntos en la imagen son medidos a partir de dos o mas

fotografías con traslape; su posición en el espacio objeto (3 – D) debe estar

directamente determinada (Deseamos obtener la solución de un solo paso

sin tener que usar el modelo estéreo).



Las coordenadas de la imagen y la orientación interna de la cámara definen

un grupo de rayos de luz. Todos los rayos de luz de un bloque de fotografías

puede ser notado y trasladado de forma tal que la intersección conjugada de

los rayos se de con los puntos sobre el espacio objeto (mundo real – 3D).

Esta técnica es conocida como ajuste del Bloque “Bundle (block)

Adjustment”.

La relación entre las coordenadas de la imagen y el objeto esta dada por una

relación de perspectiva lo cual significa que todos los rayos de luz “tienen”

que pasar a través de un punto único, llamado centro de perspectiva. Existen

tres (3) transformaciones diferentes que se pueden aplicar para resolver este

problema.

a) La transformación de proyección

b) La ecuación de colinearidad

c) La transformación lineal (directa (DLT))

Las sirvientes convenciones son utilizadas para derivar las transformaciones

básicamente debemos distinguir entre la orientación interior, exterior y

coordenadas de punto en la imagen y el espacio objeto.



Orientación Interior: Xp, Yp punto principal C longitud focal calibrada

Orientación Exterior: Xo, Yo, Zo coordenadas del punto de perspectiva en el objeto

ω, , κ Ángulos de rotación en los tres ejes ω: rotación primaria (X)

: rotación secundaria (Y) κ: rotación terciaria (Z) R matriz de rotación Imagen → terreno M(= RT) Matriz de rotación Terreno → imagen Coordenadas de puntos x, y coordenadas de la imagen X, Y, Z coordenadas del objeto

La matriz de rotación (R) es utilizada para transformar las coordenadas de

la imagen al sistema de coordenadas del terreno.

En la literatura la matriz (M) de rotación representa la inversa de la matriz

de rotación (R) por lo que el sistema de coordenadas del terreno es

cambiado al sistema de la imagen, debido que las rotaciones son

ortogonales, la inversión de R se adquiere simplemente al trasponer esta

matriz por lo que la transpuesta de R que corresponde a M y la

transpuesta de M corresponde a R (MT = R).



8.1 Transformación de proyección

La relación de proyección entre dos planos es el modelo matemático más

simple utilizado en fotogrametría analítica. Este modelo fue introducido por

Otto Von Gruber ( 7-1) expresan las coordenadas de la imagen (x,y) como

función de las coordenadas del objeto (terreno, X,Y,Z) y ocho parámetros

transformación de proyección:

121

321

YcXc

aYaXax

(7-1)

121

321

YcXc

bYbXby

(7-2)

a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2. Parámetros de proyección (8). X, Y = Coordenadas del terreno x, y = Coordenadas de la Imagen

Los ocho parámetros deben satisfacer la condición:

a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

a12 + b1

2 + c12 = a1

2 + b22 + c2

2



Como se aprecia ocho (8) parámetros desconocidos definen la relación

comparados a los nueve (9) parámetros vistos en la ecuación de colinearidad

correspondientes a la orientación interior y exterior de la fotografía. Conociendo

cuatro (5) puntos de control, los cuales están contenidos en un plano común, se

pueden conocer los ocho parámetros de transformación de proyección

aplicando el modelo de Gauss-Markov de ecuaciones de observación de la

teoría de mínimos cuadrados.

La condición de que los puntos de control se encuentren en un mismo plano se

conoce como la condición de co – planaridad (5 puntos sobre el mismo plano)

que reemplaza uno de los nueve (9) parámetros de la ecuación de colinearidad.

Una ventaja clara de este modelo matemático es que las orientaciones interior y

exterior de la cámara no son necesarias. La mayor desventaja claro esta que

todos los puntos deben pertenecer o formar un plano de lo contrario las

deformaciones y distorsiones del modelo son inevitables. Una nota importante

en este modelo es que la coordenada del terreno (Z) no está presente ya que el

plano del objeto se relaciona con el plano de la imagen. Obviamente este

modelo tiene un limitado número de aplicaciones como lo son las fachadas de

edificios o de terrenos planos.



8.2 Transformación Lineal Directa (DLT)

La transformación lineal directa es una forma diferente de escribir la ecuación de

colinearidad. Esta fue introducida por Abdel – Aziz y Karara en 1971 para evitar

la calibración de cámaras de aficionados, y para medir las coordenadas del

comparador o de la máquina de forma directa en fotogrametría o redes de

triangulación fotogramétrica. Esta transformación elimina los parámetros de

orientación (Interior y exterior) existentes en la ecuación de colinearidad. Por lo

tanto el DLT tiene dos ventajas:

a) Primeramente, es una transformación directa del comparador o

máquina a las coordenadas del terreno.

b) Segundo, este modelo matemático es lineal y no requiere

aproximaciones.

El DLT puede ser derivado al combinar la transformación de Affine con la

ecuación de colinearidad.

)()(

)()(

033023013

031021011

ZZrYYrXXr

ZZrYYrXXrcxx xp

(7-3)

033023013

032022012

ZZrYYrYYr

ZZrYYrXXrcyy yp

(7-4)



Donde:

c x , c y :son dos longitudes focal de lente

:, yx :coordenadas del comparador

X, Y, Z :coordenadas del punto sobre el suelo Xo, Yo, Zo :coordenadas del centro

de perspectiva sobre el terreno. r11, r12, r13, r21, r22, r23, r31, r32,r33 :rotaciones en k,,

Si observamos cuidadosamente, notamos la primera diferencia con respecto a la

ecuación de colinearidad, existen dos longitudes de focal de lente. Para el DLT

solo existe una longitud de foco “c”. Lo que equivale a los factores de escala de

la transformación de Affine. Los otros cuatro (4) parámetros (dos

desplazamientos y dos rotaciones) están implícitos en otros parámetros de la

ecuación de colinearidad. Típicamente los desplazamientos del punto principal

con coordenadas pp yx , , junto a las rotaciones son compensados por la

rotación , alrededor del eje z.

Si escogemos las coordenadas del comparador ( x , y ) como función de las

coordenadas del terreno (x, y, z) obtenemos la siguiente:



111109

4321

ZLYLXL

LZLYLXLx (7-5)

111109

8765

ZLYLXL

LZLYLXLy (7-6)

donde los coeficientes de las coordenadas de tierra (L1 …L11) son lineales y

contienen las orientaciones interior y exterior. Como observamos se necesitan

más parámetros (once en total) que la ecuación regular de colinearidad (9, 6

exterior y 3 interior) y que la transformación de proyección (8 parámetros).

Si comparamos el DLT con la ecuación de colinearidad, los parámetros extras

cuentan o representan la deformación Affine de la película. Todos los once (11)

parámetros lineales pueden ser expresados como funciones de los elementos de

las orientaciones interior y exterior.

L

rcrxL

xp 1113

1

(7-7)

L

rcrxL

xp 2123

2

L

rcrxL

xp 3133

3

L

ZrYrXrcxxL

p 031021011

4



L

rcryL

yp 1213

5

L

rcryL

yp 2223

6

L

rcryL

yp 2233

7

L

ZrYrXrcyL

y

p

032022012

8

L

rL 13

9

L

rL 23

10

L

rL 33

11

033023013 ZrYrXrL

Se hace necesario el disponer de más de once observaciones para resolver este

modelo de la Teoría de los mínimos cuadrado. Si cada punto sobre el terreno

proporciona dos ecuaciones de observación (una por la coordenada x y otra por

y) se requieren al menos seis (6) puntos de control de terreno.

Las ecuaciones de observación pueden obtenerse al multiplicar el denominador

de la ecuación A por las coordenadas de la máquina. Los coeficientes de la



matriz de diseño son las coordenadas del terreno junto a las coordenadas de la

imagen. Las siguientes ecuaciones con la adición de correcciones en x y y

representan el modelo matemático. Las correcciones x y y toman en

consideración la distorsión del modelo:

xxZLxYLxXLxLZLYLXLvx 111094321 (7-8)

yxZLyYLyXLyLZLYLXLvy 111098765 (7-9)

Una vez los once parámetros han sido calculados, las orientaciones interior y

exterior de la cámara pueden ser calculadas de la siguiente forma:

2

11

2

10

2

91 LLLL (7-10)

2

11310291 LLLLLLLxp

2

11710695 LLLLLLLy p

222

3

2

2

2

1 px xLLLLc

222

7

2

6

2

5 py yLLLLc

LL9

1sin



11

101tanL

L

x

p

c

LLxLr

19

11

)cos(cos 111

r

1

8

4

1

11109

765

321

0

0

0

L

L

LLL

LLL

LLL

Z

Y

X

Algunas ventajas del modelo DLT son:

a) Proporciona una relación directa entre las coordenadas del comparador que

son medidas en el espacio imagen y los objetos en el terreno, que son el

resultado del proceso de posicionamiento fotogramétrico.

b) Las ecuaciones de observación son muy simples. Los coeficientes de

parámetros desconocidos son lineales.

c) No se necesitan valores iniciales de aproximaciones debido a que se tiene

un sistema lineal. De hecho el DLT es dado como método para estimar

valores aproximados para el ajuste de bloques.

d) Es posible el egresar parámetros de corrección para errores sistemáticos

yx , en la relación de perspectiva. Como lo son las distorsiones de la

cámara.



Por otro lado el DLT presenta algunas desventajas:

a) Necesitamos al menos seis puntos de control Tridimensional (X,Y,Z

conocidos) para resolver el sistema de once(11) parámetros por medio de

mínimo cuadrados.

b) La precisión del ajuste de bloque es mas baja con respecto a la ecuación

de colinearidad.

c) La solución es muy sensible a la configuración de los puntos de control en

el espacio-objeto.

En general el DLT es una herramienta simple utilizada en el proceso de

posicionamiento fotogramétrico de puntos. Su mayor aplicación fotogramétrico

de rango cercano, si cámaras de aficionados son usadas.

8.3 Ecuación de Colinearidad

Es el modelo matemático más popular en fotogrametría analítica. El significado

geométrico es muy simple: el punto objeto y su proyección en la imagen se

encuentran sobre una línea recta y atraviesan el centro de perspectiva. Estas

ecuaciones fueron usadas primeramente por H.H.Schmid en 1953 y extendidas



por D.C Brown en 1954. Originalmente estas ecuaciones fueron usadas para la

calibración de las cámaras.

033023013

031021011

ZZrYYrXXr

ZZrYYrXXrcxx p

(7-11)

033023013

032022012

ZZrYYrXXr

ZZrYYrXXrcyy p

(7-12)

cyx pp ,, :orientación interior y sistema de coordenadas de la

imagen en el centro de perspectiva.

000 ,, ZYX :Proyección del centro de perspectiva en el espacio

objeto (terreno).

,, : ángulos de rotación

ZYX ,, : Coordenadas de un punto sobre el espacio objeto(terreno).

En este modelo matemático todos los parámetros de orientación de la foto y los

puntos sobre el objeto están explícitamente presentes. Esto nos permite el

resolver por cada uno de éstos parámetros y sistema de coordenadas de puntos.

La ecuación de colinearidad puede ser derivada de dos formas diferentes:

triángulos semejantes y notación matriciales (vectores).



Utilizando triángulos semejantes vemos la siguiente figura:

Figura 7-1 Triángulos semejantes del centro de perspectiva.



Al momento de la exposición (toma fotográfica) del punto P (sobre el suelo), este

se encuentra sobre una línea recta con el punto p’ (sobre la imagen) y el centro

de perspectiva (O), en otras palabras los puntos P, p’ y O son colineales o

cumplen con el principio de colinearidad.

Se asume un sistema de coordenadas del espacio objeto (terreno) X, Y, Z que

puede ser rotado en su origen de forma tal que le hace paralelo al sistema de

coordenadas de la imagen (x, y, z).

Este sistema rotado se denomina X’, Y’, Z’. Podemos buscar los triángulos

similares en ambos planos X’Z’ y Y’Z’ y poder escribir las relaciones siguientes:

''

'

0'

ZZ

XX

c

xx

O

p

(7-13)

''

'

0'

ZZ

YY

c

yy

O

p

(7-14)

De aquí obtenemos

'

0

0

'

''

ZZ

XXcxx p

(7-15)



'

0

0

'

''

ZZ

YYcyy p

(7-16)

Estas funciones expresan las ecuaciones de colinearidad, sin embargo, el

sistema de coordenadas de terreno esta notado pues es paralelo al sistema de

coordenadas de la imagen. Esto significa que debemos aplicar rotaciones X’,

Y’,Z’. Esto equivale a rotar el vector que va del punto objeto al centro de

perspectiva es rotado desde un sistema paralelo al sistema de coordenadas de

la imagen a un sistema paralelo al espacio objeto (recuerde que R rota los ejes

del espacio imagen al objeto). Por lo tanto el sistema de coordenadas del objeto

se escriben como:

''

'

'

0

'

0

'

0

333231

232221

131211

0

0

0

ZZ

YY

XX

rrr

rrr

rrr

ZZ

YY

XX

(7-17)

La transformación inversa se logra al invertir la matriz R y como esta es

ortogonal, la inversa se obtiene con RT’. Utilizando las matrices anteriores

podemos escribir la ecuación de colinearidad final.

033023013

031021011

ZZrYYrXXr

ZZrYYrXXcrxx p

(7-18)



031021011 ZZrYYrXXrNx

032022012 ZZrYYrXXrNY

033023013 ZZrYYrXXrD

033023013

032022012

ZZrYYrXXr

ZZrYYrXXcryy p

(7-19)

o

D

Ncxx X

p (7-20)

D

Ncyy

y

p (7-21)

donde :

(7-22)

(7-23)

(7-24)

coscossinsincoscossincossincossinsin

cossinsinsinsincoscoscossinsinsincos

sinsincoscoscos

R (7-25)

Como es sabido los nueve parámetros de orientación de la matriz de rotación son

definidos por las rotaciones sobre los tres ejes principales. Para determinar todos

los coeficientes de rotación se deben cumplir seis condiciones de ortogonalidad.

Todos los vectores deben tener una longitud de uno y cualquier combinación debe

ser igual a uno.



0

1

133221

332211

rrrrrr

rrrrrr

TTT

TTT

(7-26)

Es importante resaltar que esta matriz de rotación es completamente dependiente

del orden de las rotaciones. En nuestro caso, la rotación primaria es alrededor del

eje X (rotación ω), la secundaria alrededor del eje Y (rotación φ), y la terciaria

alrededor del eje Z (rotación ). También se dice que la matriz de rotación

representa rotaciones jerárquicas.

8.3.1 Linearización de la Ecuación de Colinearidad

Para utilizar la ecuación de Colinearidad en el modelo Gauss-Markov de

ecuaciones de observación en la teoría de mínimos cuadrados, la ecuación de

Colineridad debe ser linearizada. Lo anterior se logra al aplicar series de Taylor

que se terminan con los términos lineales. La solución de dichas series requiere el

conocimiento de valores aproximados del vector incógnita del modelo Gauss-

Markov. Para linearizar la ecuación de colineridad, debemos escribir la misma

como una función de los parámetros de orientación y las coordenadas del objeto.

Las series de Taylor consiste de dos componentes: los valores aproximados de la

función f(xo) (7-28) y la suma de las derivadas de primer orden (2f/dx) veces la

corrección lineal (dx, 7-29).

),,,,,,,,,,( 000 ZYXZYXcxfxD

Ncxx p

Xp



),,,,,,,,,,( 000 ZYXZYXcyfyD

Ncyy p

y

p (7-28)

Series de Taylor:

dx

x

fxfxf o )()( (7-29)

Donde x= vector de parámetros incógnitos Xo = aproximaciones, ∂f/∂x = vector de todas las derivadas parciales dx= vector de corrección.

1

px

fx 1

py

fy

1aD

N

c

fx x

1b

D

N

c

fy y

211132

0

)( aDrNrD

c

X

fxx

212132

0

)( bDrNrD

c

X

fyy

321232

0

)( aDrNrD

c

Y

fxx

322232

0

)( bDrNrD

c

Y

fyy

431332

0

)( aDrNrD

c

Z

fxx

432332

0

)( bDrNrD

c

Z

fyy

5210310230330 )()())()(( arZZrYYD

NrZZrYY

D

cfx x



5210320230330 )()())()(( brZZrYYD

NrZZrYY

D

cfy y

6cos)sincos( aDD

NNN

D

cfx x

yx

6sin)sincos( bDD

NNN

D

cfy y

yx

7aND

cfxy

7bN

D

cfyx

813112)( arNrD

D

c

X

fxx

813122

)( brNrDD

c

X

fyy

923212)( arNrD

D

c

Y

fxx

923222

)( brNrDD

c

Y

fyy

1033312)( arNrD

D

c

Z

fxx

1033322

)( brNrDD

c

Z

fyy

Por cada punto medido en la imagen pueden escribir dos (2) ecuaciones de

observación, las cuales representan la forma linearizada de la ecuación de

colineridad. Para calcular los valores numéricos de las derivadas parciales se

requieren de valores aproximados de los parámetros desconocidos. En la

siguiente ecuación (7-39) los valores de ijij yx , están medidos en las



coordenadas de la imagen, 00

, ijij yx representan los valores calculados a partir

de los valores aproximados. El índice i cuenta el punto y el índice j cuenta la

fotografía o estación de exposición. Las ecuaciones de observación completa se

escribirían de la siguiente forma:

dcj

cj

fxdxv pjxij

0

orientación interior

0

00

dj

fxjd

j

fxjd

j

fx

ángulos de rotación.

jdZ

jZ

fxjdY

jY

fxjdX

jX

fxo

o

0

0

0

0

0

0

0

centro de perspectiva

dZi

Zi

fxdYi

Yi

fxdXi

Xi

fx000

coordenadas de terreno

)( 0 ijxxij discrepancias. (7-39)

anterioralsimilarvyij

Como se puede observar en el modelo de Gauss-Markov de ecuaciones de

observación de la teoría de mínimos cuadrados, el vector de observaciones (Y)

estará compuesto de todos los Vx y Vy, la matriz de diseño (A) estará compuesta



por los valores de las ecuaciones diferenciales parciales evaluadas con los valores

aproximados del vector de parámetros incógnitos.

8.4 Ajuste de Bloques

Los bloques fotográficos son representados por dos o más pares de fotografías

aéreas y que deben ser analizados como un todo generando un modelo

tridimensional de un área extensa de la superficie de la tierra. A través de los

bloques fotográficos se toma ventaja del uso de las computadoras, pues con

anterioridad a las computadoras, la creación de modelos tridimensionales estaba

limitado a los estéreo-trazadores análogos tipo proyección (i.e. Balplex Múltiple)

que normalmente tenían a disposición 8 proyectores o sea 4 pares fotográficos.

Es importante, además, que en el ajuste de bloque debemos distinguir dos tipos

diferentes de puntos. Los puntos de control distinguidos por el símbolo (∆), a los

cuales se les conocen todas sus coordenadas (X, Y, Z) en el terreno, Por otro

lado se tiene los puntos de amarre o puntos de pase distinguidos por el símbolo

(○), a los cuales se les desconoce sus coordenadas de terreno que pasan a ser

incógnitas dentro del modelo de Gauss-Markov y que deben ser resueltas

igualmente que los parámetros de transformación del modelo matemático que se

este utilizando para la orientación analítica.



Los puntos de amarre o pase contribuyen con tres incógnitas en el vector (X) de

parámetros desconocidos, pero contribuyen con 4 observaciones por par de

fotos aéreas utilizadas en el vector (Y) de observaciones.

Es pues tarea normal del profesional que planifica una misión de fotografía

aérea, el definir el número de puntos de control total o puntos de amarre que se

requieren en el análisis de un bloque fotográfico basado en el número de

observaciones que deben haber disponibles para el ajuste de mínimos

cuadrados y el número de parámetros desconocidos ha encontrar y definidos por

el modelo matemático que se utilizará.

Ejemplo:

Se tiene un bloque fotográfico de cuatro fotografías que fue tomado con una

cámara. Se conocen los parámetros de la orientación interna de la foto (xc, yc, c).

Dentro del bloque fotográfico existen los puntos de control (∆) 1,2, 7 y 8, Los

puntos 1 y 2 aparecen en las fotos No. 1 y No. 2 mientras que los puntos 7 y 8

aparecen en las fotos No. 3 y N. 4. Existen, además cuatro puntos de amarre (○)

3, 4, 5 y 6 que se encuentran en las cuatro fotografías. Determine la redundancia

del sistema si se utiliza la ecuación de colineridad como modelo.



∆..punto de control total.

○.. punto de amarre.

Parámetros desconocidos:

Centros de perspectiva (Xo, Yo, Zo) : 3 x 4 = 12

Ángulos de rotación (ω,φ ,) : 3 x 4 = 12 Coordenadas de los puntos de amarre (X,Y,Z) : 3 x 4 = 12 Total de incógnitas …… 36 parámetros Observaciones: 2 obs/punto x 4 puntos/foto x 6 fotos : 48 observaciones Redundancia:

n-m…. : 48 – 36 = 12 observaciones.

1 2

3 4

5 6

1 2

3 4

5 6

3 4

5 6

7 8

3 4

5 6

7 8



9.0 SELECCIÓN DE PUNTOS PARA LA FOTOGRAMETRÍA ANALÍTICA

Diferentes tipos de puntos pueden ser usados para la ubicación fotogramétrica.

Ellos son clasificados dependiendo de la ruta que hayan marcado sobre el terreno

o en las imágenes. En los siguientes puntos mostraremos la diferencia entre foco

natural, foco señalado, punto artificial y punto ficticio.

9.1 PUNTO NATURAL

Focos naturales son utilizados como el objeto principal para el tiempo de

exposición puede ser identificado después sobre la fotografía. Para pequeñas

escalas fotográficas estos pueden ser edificios, esquemas de campo, árboles

particulares o intersección de caminos. Para mapas de grandes escalas podemos

seleccionar c.1, esquinas de edificios o rocas. Los focos naturales son

seleccionados bajo un estereoscopio de espejo para hacerlo más seguro pueden

ser diferidos en los 30 y pueden ser medidos también. Esto puede ser útil para

separar los focos en verticales y horizontales (ejemplo el punto más alto de una

torre puede ser identificado muy bien en las posiciones horizontales no obstante,

es casi imposible medirlo estereoscópicamente debido al fondo que aparece en las

diferentes imágenes).



Si los focos naturales son usados como puntos de control, el operador tendrá que

salir con papel impresor de fotografía aérea e inspeccionar directamente en campo

los puntos de control. Solo se puede evitar el uso de puntos borrosos en el imagen

de la fotografía, cruzando líneas con un pequeño ángulo, y puntos. En áreas de

sombra, como bajo los árboles o edificios. Los puntos seleccionados son

marcados en el papel impresor. Son registrados para preparar pequeños

bosquejos del ambiente del objeto.

Puntos naturales son típicamente usados para la orientación absoluta de

ploteadores análogos y para mapas fotogramétricos en general. Resulta más

económicos que construir (focos o puntos) señalados, mientras que ellos son

menos precisos y no adecuados para posesionar puntos de alta precisión.

9.2 PUNTOS SEÑALADOS

Son puntos los cuales eran marcados por sobre la tierra antes de ser tomada la

fotografía. El foco es necesario para lograr una alta precisión y hacer seguro que

puntos iguales de buen contraste que son accesibles en toda la fotografía. Estos

focos pueden ser usados cono puntos de control si sus coordenadas geodésicas



son medidas por teodolitos, medidor de distancia electrónico o sistemas pocisional

global o simplemente con puntos atados para triangulación aérea.

De acuerdo con estos puntos los nombres comúnmente usados para diferentes

tipos de puntos de posición fotogramétrica tienen que ser discutidos:

- Puntos de control son usados para definir un dato para el arreglo por medio de su

tierra u objeto coordinados que son accesibles.

- Puntos de verificación son usados para determinar la precisión de las

coordenadas derivadas de arreglo fotogramétrico. Estos objetos coordenados son

accesibles y tienen medidas independientes por métodos geodésicos, mientras

que ellos no son incluidos en el arreglo fotogramétrico. Son usados solamente

para comparación.

- Puntos iguales son aplicados siempre iguales traslapando fotografías de un

bloque. Pueden ser identificados en diferentes imágenes; sus coordenadas

terrestres son determinadas por triangulación aérea.

El tamaño del punto depende de la escala de la imagen. Una formula simple para

estimar el diámetro en centímetros es dada por (8-1). Este tamaño del punto en la

imagen puede ser más grande que la marca medida, pero cada foco puede ser



claramente colocado en el instrumento fotogramétrico. De seguro el diámetro

también dependerá del contraste del foco y la base.

d (cm) = Si : equivalente a 17 y 33 μm en la imagen (8-1) 300 a 600

El siguiente ejemplo muestra como esta formula puede ser aplicada para computar

el diámetro del foco:

(a) Pequeña escala: mapa aéreo 1:30,000 d = 50 - 100 cm

(b) Escala grande fotogrametría catastral 1:4,000 d =7 - 13cm

(c) Aplicaciones terrestres (construcción) 1:250 d = 4 - 8mm

Este tamaño de punto también depende de la resolución del sensor. Si una

cámara CCD usada debemos considerar el espacio del píxel (dimensión del píxel).

Por ejemplo, si una cámara digital es usada en un aeroplano, el foco es usado para

imágenes iguales menores que 5-10 píxeles en el diámetro. Estos focos tienen

que estar aproximadamente 1m sobre la tierra.

Para una longitud focal, c =11 mm una dimensión del píxel de px = py = 10μm y

una altura de vuelo h = 100 m en la escala de la imagen Si = 9,090, h = 100m, Si =

9,090 pixel en tierra: 9cm



Sólo se tiene que considerar que el foco aparece (largo o grande) en la imagen ya

que ellos son el objeto para su alto contraste (este efecto es llamado "en flor" en

cámaras CCD). Pueden aparecer de 1.5 a 3 veces más largo que su tamaño

geométrico. En general, los focos pueden ser mayor que el tamaño de la marca

medida (20-25mm) o pueden ser más pequeñas que la marca medida en un anillo,

la cual usualmente es 40mm.

A fin de permitir la medida estereoscópica los focos pueden tener la misma

elevación que el área a su alrededor. Cambios abruptos de elevación causan

diferentes fondos (debido al desplazamiento del relieve) y hacer medidas verticales

se dificulta. La siguiente tabla muestra los colores que pueden ser usados como

focos con diferentes tipos de películas. A fin de encontrar los focos fácilmente en

la fotografía se marcan unas franjas y puntos auxiliares usados sobre el terreno

(figura 8-1).

Figura 8-1 Identificación de Puntos por rayado



9.3 PUNTOS ARTIFICIALES

Estos puntos son marcados artificialmente en la emulsión de la película por puntos

traspuestos como mencionamos en el capitulo anteriores esto es necesario, si son

usados monocomparadores para medir imágenes coordenadas. En el punto

transpuesto, puntos iguales son seleccionados con respecto a sus contrastes y

calidad estereoscópica, antes ellos son físicamente marcados sobre la película.

Usualmente, puntos artificiales corresponden a definir focos naturales. La

precisión producida por puntos iguales artificiales es casi equivalente a la precisión

producida por focos señalados. De seguro, la selección será hecha

cuidadosamente. Marcando artificialmente los focos es solamente posible si

rasgos naturales aparecen en la imagen, si esto no contrasta tiene que ser puesto

afuera.

9.4 PUNTOS FICTICIOS

Ningún punto ficticio aparece en la imagen ni en el objeto. Sus localizaciones son

definidas por un eje X-Y en el modelo estéreo, del explorador analíticos.

Usualmente, elevaciones son medidas estereoscópicamente en estas locaciones



(e.g. usando la red medida) como un método para capturar modelos digitales de

elevación. Ellos no pueden ser usados como nudos o puntos comunes.

9.5 LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN UN BLOQUE DE FOTOGRAFÍAS AÉREAS

La mejor localización para puntos de control es en los limites del bloque. Ambos

tipos de puntos, señalados y naturales pueden ser usados, dependiendo de la

precisión necesitada. Es necesaria una separación de puntos de control horizontal

y vertical para algunas aplicaciones. Focos señalados son mejoras para estabilizar

puntos iguales. Mientras, mejores definidos los focos naturales pueden hacer la

tarea, también, si ellos pueden se identificados en todas las superposiciones

fotográficas igualmente. De lo contrario, son necesarias marcas artificiales. Desde

un punto de vista económico, puntos artificiales marcados son la solución

económica.



Conclusión El presente trabajo recopila material relacionado a la fotogrametría analítica en

donde se incorporan modelos matemáticos y conceptos tales como la teoría de

mínimos cuadrados. Modelos tales como la transformación de affine y las

transformación bilineal capaces de establecer una relación entre las

coordenadas de la máquina y las coordenadas de la imagen.

El estudiante de la carrera de licenciatura en Ingeniería Civil utiliza estos

conceptos no sólo para resolver los modelos matemáticos aquí planteados, sino

también, para buscar la solución de otros problemas como los manejados en los

procesos de digitalización de mapas y georeferenciación de imágenes digitales.

Por otro lado, se introducen temas como los Sistemas de Posicionamiento

Global, GPS, los sistemas de referencia terrestre, que vinculan al estudiante con

áreas de Geodesia y Catastro.

Al terminar el curso el estudiante tendrá las herramientas necesarias para

hacerle frente a proyectos donde se vinculen teorías de manejo de fotogrametría

Analítica y Fotogrametría Digital.

Documents

Manual de Fotogrametria2013